Welche identischen Ausdrücke kennen Sie? Algebra-Lektion zum Thema „Identitäten“

04.07.2020

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Bei der Identitätsumwandlung handelt es sich um die Arbeit, die wir mit numerischen und literalen Ausdrücken sowie mit Ausdrücken durchführen, die Variablen enthalten. Wir führen alle diese Transformationen durch, um den ursprünglichen Ausdruck in eine für die Lösung des Problems geeignete Form zu bringen. Wir werden in diesem Thema die wichtigsten Arten von Identitätstransformationen betrachten.

Identische Transformation eines Ausdrucks. Was ist das?

Das Konzept der identischen Transformation begegneten wir erstmals im Algebraunterricht der 7. Klasse. Damals lernten wir erstmals den Begriff identisch gleicher Ausdrücke kennen. Lassen Sie uns die Konzepte und Definitionen verstehen, um das Thema leichter verständlich zu machen.

Definition 1

Identische Ausdruckstransformation– Hierbei handelt es sich um Aktionen, die mit dem Ziel durchgeführt werden, den ursprünglichen Ausdruck durch einen Ausdruck zu ersetzen, der dem Original identisch ist.

Häufig wird diese Definition in abgekürzter Form verwendet, wobei das Wort „identisch“ weggelassen wird. Es wird davon ausgegangen, dass wir den Ausdruck in jedem Fall so umwandeln, dass wir einen Ausdruck erhalten, der mit dem ursprünglichen identisch ist, und dies muss nicht gesondert hervorgehoben werden.

Lassen Sie uns veranschaulichen diese Definition Beispiele.

Beispiel 1

Wenn wir den Ausdruck ersetzen x + 3 − 2 zu einem identisch gleichen Ausdruck x+1, dann führen wir eine identische Transformation des Ausdrucks durch x + 3 − 2.

Beispiel 2

Ersetzen des Ausdrucks 2 a 6 durch den Ausdruck eine 3 ist eine Identitätstransformation, während der Ausdruck ersetzt wird X zum Ausdruck x 2 ist keine Identitätstransformation, da die Ausdrücke X Und x 2 sind nicht identisch gleich.

Wir machen Sie auf die Schreibweise von Ausdrücken bei identischen Transformationen aufmerksam. Normalerweise schreiben wir das Original und den resultierenden Ausdruck als Gleichheit. Wenn man also x + 1 + 2 = x + 3 schreibt, bedeutet dies, dass der Ausdruck x + 1 + 2 auf die Form x + 3 reduziert wurde.

Die aufeinanderfolgende Ausführung von Aktionen führt uns zu einer Gleichheitskette, die mehrere hintereinander liegende identische Transformationen darstellt. Somit verstehen wir den Eintrag x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x als sequentielle Umsetzung zweier Transformationen: Zuerst wurde der Ausdruck x + 1 + 2 auf die Form x + 3 gebracht, und zwar auf die Form 3 + x.

Identische Transformationen und ODZ

Eine Reihe von Ausdrücken, die wir in der 8. Klasse zu studieren beginnen, ergeben nicht für alle Werte der Variablen einen Sinn. Um in diesen Fällen identische Transformationen durchzuführen, müssen wir auf den Bereich der zulässigen Variablenwerte (APV) achten. Durch die Durchführung identischer Transformationen kann die ODZ unverändert bleiben oder eingeschränkt werden.

Beispiel 3

Beim Durchführen eines Übergangs von einem Ausdruck a + (− b) zum Ausdruck a − b Bereich der zulässigen Variablenwerte A Und B Bleibt das selbe.

Beispiel 4

Übergang von Ausdruck x zu Ausdruck x 2 x führt zu einer Einengung des Bereichs zulässiger Werte der Variablen x von der Menge aller reellen Zahlen auf die Menge aller reellen Zahlen, aus der Null ausgeschlossen wurde.

Beispiel 5

Identische Ausdruckstransformation x 2 x Ausdruck x führt zu einer Erweiterung des Bereichs zulässiger Werte der Variablen x von der Menge aller reellen Zahlen außer Null auf die Menge aller reellen Zahlen.

Das Einschränken oder Erweitern des Bereichs zulässiger Werte von Variablen bei der Durchführung von Identitätstransformationen ist bei der Lösung von Problemen wichtig, da dies die Genauigkeit von Berechnungen beeinträchtigen und zu Fehlern führen kann.

Grundlegende Identitätstransformationen

Sehen wir uns nun an, was Identitätstransformationen sind und wie sie durchgeführt werden. Lassen Sie uns die Arten von Identitätstransformationen, mit denen wir am häufigsten zu tun haben, in eine Gruppe grundlegender Transformationen einteilen.

Zusätzlich zu den Hauptidentitätstransformationen gibt es eine Reihe von Transformationen, die sich auf Ausdrücke eines bestimmten Typs beziehen. Bei Brüchen handelt es sich um Techniken zum Reduzieren und Bringen auf einen neuen Nenner. Bei Ausdrücken mit Wurzeln und Kräften alle Aktionen, die basierend auf den Eigenschaften von Wurzeln und Kräften ausgeführt werden. Bei logarithmischen Ausdrücken Aktionen, die auf der Grundlage der Eigenschaften von Logarithmen ausgeführt werden. Für trigonometrische Ausdrücke alle Operationen mit trigonometrischen Formeln. Alle diese besonderen Transformationen werden ausführlich in separaten Themen besprochen, die in unserer Ressource zu finden sind. In diesem Zusammenhang werden wir in diesem Artikel nicht näher darauf eingehen.

Betrachten wir nun die wichtigsten Identitätstransformationen.

Begriffe und Faktoren neu anordnen

Beginnen wir mit der Neuordnung der Begriffe. Wir beschäftigen uns am häufigsten mit dieser identischen Transformation. Und als Hauptregel kann hier die folgende Aussage angesehen werden: In jeder Summe hat eine Neuanordnung der Begriffe keinen Einfluss auf das Ergebnis.

Diese Regel basiert auf den kommutativen und assoziativen Eigenschaften der Addition. Diese Eigenschaften ermöglichen es uns, Begriffe neu anzuordnen und Ausdrücke zu erhalten, die den Originalen identisch sind. Deshalb ist die Neuordnung der Terme in der Summe eine Identitätstransformation.

Beispiel 6

Wir haben die Summe der drei Terme 3 + 5 + 7. Wenn wir die Terme 3 und 5 vertauschen, erhält der Ausdruck die Form 5 + 3 + 7. Für den Begriffstausch gibt es in diesem Fall mehrere Möglichkeiten. Sie alle führen zu Ausdrücken, die identisch mit dem Original sind.

Nicht nur Zahlen, sondern auch Ausdrücke können als Terme in der Summe fungieren. Sie können, genau wie Zahlen, neu angeordnet werden, ohne das Endergebnis der Berechnungen zu beeinflussen.

Beispiel 7

Die Summe der drei Terme 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 und - 12 a der Form 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12 ) · a-Begriffe können beispielsweise wie folgt neu angeordnet werden: (- 12) · a + 1 a + b + a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3 . Im Gegenzug können Sie die Terme im Nenner des Bruchs 1 a + b neu anordnen, und der Bruch nimmt die Form 1 b + a an. Und der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen a 2 + 2 a + 5 ist auch eine Summe, bei der die Begriffe vertauscht werden können.

Genau wie Terme können Sie Faktoren in den ursprünglichen Ausdrücken austauschen und identisch korrekte Gleichungen erhalten. Diese Aktion unterliegt der folgenden Regel:

Definition 2

In einem Produkt hat die Neuanordnung von Faktoren keinen Einfluss auf das Ergebnis der Berechnungen.

Diese Regel basiert auf den kommutativen und kombinativen Eigenschaften der Multiplikation, die die Richtigkeit der identischen Transformation bestätigen.

Beispiel 8

Arbeiten 3 5 7 durch Umordnen der Faktoren kann in einer der folgenden Formen dargestellt werden: 5 3 7, 5 7 3, 7 3 5, 7 5 3 oder 3 7 5.

Beispiel 9

Die Umordnung der Faktoren im Produkt x + 1 x 2 - x + 1 x ergibt x 2 - x + 1 x x + 1

Erweiternde Klammern

Klammern können numerische und variable Ausdrücke enthalten. Diese Ausdrücke können in identisch gleiche Ausdrücke umgewandelt werden, in denen es überhaupt keine oder weniger Klammern als in den ursprünglichen Ausdrücken gibt. Diese Methode zur Transformation von Ausdrücken wird Klammererweiterung genannt.

Beispiel 10

Lassen Sie uns Operationen mit Klammern in einem Ausdruck der Form ausführen 3 + x − 1 x um den identisch korrekten Ausdruck zu erhalten 3 + x − 1 x.

Der Ausdruck 3 x - 1 + - 1 + x 1 - x kann in den identisch gleichen Ausdruck ohne Klammern 3 x - 3 - 1 + x 1 - x umgewandelt werden.

Wir haben die Regeln zum Konvertieren von Ausdrücken mit Klammern ausführlich im Thema „Klammern erweitern“ besprochen, das auf unserer Ressource veröffentlicht ist.

Gruppierung von Begriffen, Faktoren

In Fällen, in denen es um drei oder mehr Begriffe geht, können wir auf diese Art von Identitätstransformationen als Gruppierungsbegriffe zurückgreifen. Bei dieser Transformationsmethode werden mehrere Begriffe zu einer Gruppe zusammengefasst, indem man sie neu anordnet und in Klammern setzt.

Beim Gruppieren werden die Begriffe vertauscht, sodass die gruppierten Begriffe im Ausdrucksdatensatz nebeneinander liegen. Sie können dann in Klammern eingeschlossen werden.

Beispiel 11

Nehmen wir den Ausdruck 5 + 7 + 1 . Wenn wir den ersten Term mit dem dritten gruppieren, erhalten wir (5 + 1) + 7 .

Die Gruppierung von Faktoren erfolgt analog zur Gruppierung von Begriffen.

Beispiel 12

Auf der Arbeit 2 3 4 5 Wir können den ersten Faktor mit dem dritten und den zweiten mit dem vierten gruppieren und erhalten so den Ausdruck (2 4) (3 5). Und wenn wir den ersten, zweiten und vierten Faktor gruppieren würden, würden wir den Ausdruck erhalten (2 3 5) 4.

Die gruppierten Begriffe und Faktoren können wie folgt dargestellt werden: Primzahlen, und Ausdrücke. Gruppierungsregeln wurden ausführlich im Thema „Gruppieren von Summanden und Faktoren“ besprochen.

Ersetzen von Differenzen durch Summen, Teilprodukte und umgekehrt

Das Ersetzen von Differenzen durch Summen wurde dank unserer Vertrautheit mit entgegengesetzten Zahlen möglich. Nun subtrahiere ich von einer Zahl A Zahlen B kann als Addition zu einer Zahl betrachtet werden A Zahlen − b. Gleichwertigkeit a − b = a + (− b) kann als gerecht angesehen werden und auf dieser Grundlage Differenzen durch Summen ersetzen.

Beispiel 13

Nehmen wir den Ausdruck 4 + 3 − 2 , in dem die Differenz der Zahlen 3 − 2 wir können es als Summe schreiben 3 + (− 2) . Wir bekommen 4 + 3 + (− 2) .

Beispiel 14

Alle Unterschiede im Ausdruck 5 + 2 x − x 2 − 3 x 3 − 0 , 2 kann durch Summen wie ersetzt werden 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0, 2).

Aus etwaigen Differenzen können wir Summen bilden. Ebenso können wir den umgekehrten Ersatz vornehmen.

Dank des Konzepts der reziproken Zahlen ist es möglich, die Division durch die Multiplikation mit dem Kehrwert des Divisors zu ersetzen. Diese Transformation kann geschrieben werden als a: b = a (b − 1).

Diese Regel war die Grundlage für die Regel zur Division gewöhnlicher Brüche.

Beispiel 15

Privat 1 2: 3 5 kann durch ein Produkt der Form ersetzt werden 1 2 5 3.

Ebenso kann analog die Division durch Multiplikation ersetzt werden.

Beispiel 16

Im Fall des Ausdrucks 1 + 5: x: (x + 3) Ersetzen Sie die Division durch X kann mit multipliziert werden 1x. Division durch x+3 wir können durch Multiplikation mit ersetzen 1x + 3. Die Transformation ermöglicht es uns, einen Ausdruck zu erhalten, der mit dem Original identisch ist: 1 + 5 · 1 x · 1 x + 3.

Das Ersetzen der Multiplikation durch Division erfolgt nach dem Schema a · b = a: (b − 1).

Beispiel 17

Im Ausdruck 5 x x 2 + 1 - 3 kann die Multiplikation durch Division als 5: x 2 + 1 x - 3 ersetzt werden.

Dinge mit Zahlen machen

Das Ausführen von Operationen mit Zahlen unterliegt der Regel der Reihenfolge, in der Aktionen ausgeführt werden. Zunächst werden Operationen mit Zahlenpotenzen und Zahlenwurzeln durchgeführt. Danach ersetzen wir Logarithmen, trigonometrische und andere Funktionen durch ihre Werte. Dann werden die Aktionen in Klammern ausgeführt. Und dann können Sie alle weiteren Aktionen von links nach rechts ausführen. Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass Multiplikation und Division vor Addition und Subtraktion stehen.

Durch Operationen mit Zahlen können Sie den ursprünglichen Ausdruck in einen ihm gleichen identischen Ausdruck umwandeln.

Beispiel 18

Lassen Sie uns den Ausdruck 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x umwandeln, indem wir alle möglichen Operationen mit Zahlen durchführen.

Lösung

Achten wir zunächst auf den Abschluss 2 3 und Wurzel 4 und berechnen Sie ihre Werte: 2 3 = 8 und 4 = 2 2 = 2 .

Setzen wir die erhaltenen Werte in den ursprünglichen Ausdruck ein und erhalten: 3 · (8 - 1) · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .

Führen wir nun die Schritte in Klammern aus: 8 − 1 = 7 . Kommen wir nun zum Ausdruck 3 · 7 · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .

Alles was wir tun müssen, ist Zahlen zu multiplizieren 3 Und 7 . Wir erhalten: 21 · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .

Antwort: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

Operationen mit Zahlen können andere Arten von Identitätstransformationen vorausgehen, wie etwa das Gruppieren von Zahlen oder das Öffnen von Klammern.

Beispiel 19

Nehmen wir den Ausdruck 3 + 2 (6:3) x (y 3 4) − 2 + 11.

Lösung

Zunächst ersetzen wir den Quotienten in Klammern 6: 3 über seine Bedeutung 2 . Wir erhalten: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11.

Erweitern wir die Klammern: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 − 2 + 11.

Lassen Sie uns die numerischen Faktoren im Produkt sowie die Begriffe, die Zahlen sind, gruppieren: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Führen wir die Schritte in Klammern aus: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Antwort:3 + 2 (6:3) x (y 3 4) − 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Wenn wir mit numerischen Ausdrücken arbeiten, besteht das Ziel unserer Arbeit darin, den Wert des Ausdrucks zu ermitteln. Wenn wir Ausdrücke mit Variablen transformieren, besteht das Ziel unseres Handelns darin, den Ausdruck zu vereinfachen.

Den gemeinsamen Faktor ausklammern

In Fällen, in denen die Terme im Ausdruck denselben Faktor haben, können wir diesen gemeinsamen Faktor aus Klammern herausnehmen. Dazu müssen wir zunächst den ursprünglichen Ausdruck als Produkt eines gemeinsamen Faktors und eines Ausdrucks in Klammern darstellen, der aus den ursprünglichen Termen ohne gemeinsamen Faktor besteht.

Beispiel 20

Numerisch 2 7 + 2 3 Wir können den gemeinsamen Faktor herausnehmen 2 außerhalb der Klammern und erhalten einen identisch korrekten Ausdruck der Form 2 (7 + 3).

Die Regeln zum Herausnehmen des gemeinsamen Faktors aus Klammern können Sie im entsprechenden Abschnitt unserer Ressource auffrischen. Das Material bespricht ausführlich die Regeln zum Entfernen des gemeinsamen Faktors aus Klammern und liefert zahlreiche Beispiele.

Ersetzen von Zahlen und Ausdrücken durch identisch gleiche Ausdrücke

Die Zahlen und Ausdrücke, aus denen der ursprüngliche Ausdruck besteht, können durch identisch gleiche Ausdrücke ersetzt werden. Eine solche Transformation des ursprünglichen Ausdrucks führt zu einem ihm identischen Ausdruck.

Beispiel 22 Beispiel 23

Betrachten Sie den Ausdruck 1 + eine 5, in dem wir den Grad a 5 durch ein dazu identisches Produkt ersetzen können, beispielsweise der Form a · a 4. Dies wird uns den Ausdruck geben 1 + a · a 4.

Die durchgeführte Transformation ist künstlich. Es macht nur Sinn, sich auf andere Veränderungen vorzubereiten.

Beispiel 24

Betrachten Sie die Transformation der Summe 4 x 3 + 2 x 2. Hier der Begriff 4 x 3 wir uns als Werk vorstellen können 2 x 2 2 x. Dadurch nimmt der ursprüngliche Ausdruck die Form an 2 x 2 2 x + 2 x 2. Jetzt können wir den gemeinsamen Faktor isolieren 2 x 2 und setze es aus Klammern: 2 x 2 (2 x + 1).

Addieren und Subtrahieren derselben Zahl

Das gleichzeitige Addieren und Subtrahieren derselben Zahl oder desselben Ausdrucks ist eine künstliche Technik zur Transformation von Ausdrücken.

Beispiel 25

Betrachten Sie den Ausdruck x 2 + 2 x. Wir können eins davon addieren oder subtrahieren, was es uns ermöglicht, anschließend eine weitere identische Transformation durchzuführen – um das Quadrat des Binomials zu isolieren: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 − 1 = (x + 1) 2 − 1.

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Folienunterschriften:

Identitäten. Identische Transformationen von Ausdrücken. 7. Klasse.

Finden wir den Wert der Ausdrücke für x=5 und y=4 3(x+y)= 3(5+4)=3*9=27 3x+3y= 3*5+3*4=27 Finden wir den Wert der Ausdrücke für x=6 und y=5 3(x+y)= 3(6+5)=3*11=33 3x+3y= 3*6+3*5=33

FAZIT: Wir haben das gleiche Ergebnis erzielt. Aus der Verteilungseigenschaft folgt, dass im Allgemeinen für alle Werte der Variablen die Werte der Ausdrücke 3(x+y) und 3x+3y gleich sind. 3(x+y) = 3x+3y

Betrachten wir nun die Ausdrücke 2x+y und 2xy. bei x=1 und y=2 nehmen sie gleiche Werte an: 2x+y=2*1+2=4 2xy=2*1*2=4 bei x=3, y=4 sind die Bedeutungen der Ausdrücke unterschiedlich 2x+ y=2* 3+4=10 2xy=2*3*4=24

FAZIT: Die Ausdrücke 3(x+y) und 3x+3y sind identisch gleich, aber die Ausdrücke 2x+y und 2xy sind nicht identisch gleich. Definition: Zwei Ausdrücke, deren Werte für alle Werte der Variablen gleich sind, werden als identisch gleich bezeichnet.

IDENTITÄT Die Gleichheit 3(x+y) und 3x+3y gilt für alle Werte von x und y. Solche Gleichheiten werden Identitäten genannt. Definition: Eine Gleichheit, die für beliebige Werte der Variablen gilt, wird Identität genannt. Auch echte numerische Gleichheiten gelten als Identitäten. Wir sind bereits auf Identitäten gestoßen.

Identitäten sind Gleichheiten, die die grundlegenden Eigenschaften von Operationen mit Zahlen ausdrücken. a + b = b + a ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac

Weitere Beispiele für Identitäten können angegeben werden: a + 0 = a a * 1 = a a + (-a) = 0 a * (-b) = - ab a- b = a + (- b) (-a) * ( - b) = ab Das Ersetzen eines Ausdrucks durch einen anderen identisch gleichen Ausdruck wird als Identitätstransformation oder einfach als Transformation eines Ausdrucks bezeichnet.

Um ähnliche Begriffe zu erhalten, müssen Sie deren Koeffizienten addieren und das Ergebnis mit dem gemeinsamen Buchstabenteil multiplizieren. Beispiel 1. Geben wir ähnliche Terme an: 5x +2x-3x=x(5+2-3)=4x

Wenn den Klammern ein Pluszeichen vorangestellt ist, können die Klammern weggelassen werden, während das Vorzeichen jedes in den Klammern eingeschlossenen Begriffs beibehalten wird. Beispiel 2. Öffnen Sie die Klammern im Ausdruck 2a + (b -3 c) = 2 a + b – 3 c

Wenn den Klammern ein Minuszeichen vorangestellt ist, können die Klammern weggelassen werden, indem das Vorzeichen jedes in den Klammern eingeschlossenen Begriffs geändert wird. Beispiel 3. Öffnen Sie die Klammern im Ausdruck a – (4 b – c) = a – 4 b + c

Hausaufgabe: Absatz 5, Nr. 91, 97, 99 Danke für die Lektion!

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Dieses Projekt wurde mit dem Ziel entwickelt, Schüler auf das Staatsexamen in der 9. Klasse und anschließend auf das Einheitliche Staatsexamen in der 11. Klasse vorzubereiten....

Also, Freunde, in der letzten Lektion haben wir uns mit verstanden, was die Wörter bedeuten „Der Ausdruck hat keine Bedeutung“. Und jetzt ist es an der Zeit, es herauszufinden Was ist Ausdruckskonvertierung? Und das Wichtigste - Warum wird es benötigt?

Was ist Ausdruckskonvertierung?

Die Antwort ist einfach und unanständig.) Dies jede Handlung mit Ausdruck. Und alle. Sie haben all diese Transformationen seit der ersten Klasse durchgeführt. Alles ist natürlich nicht wörtlich... Mehr dazu weiter unten.)

Nehmen wir zum Beispiel einen supercoolen numerischen Ausdruck, sagen wir 3+2. Wie kann es umgewandelt werden? Ja, ganz einfach! Nimm es wenigstens und zähle:

3+2 = 5

Diese Kindergartenberechnung wird sein einen Ausdruck umwandeln. Sie können denselben Ausdruck anders schreiben:

3+2 = 2+3

Aber hier haben wir überhaupt nichts gezählt. Wir haben einfach unseren Ausdruck übernommen und umgeschrieben in einer anderen Form. Das wird auch eine Transformation des Ausdrucks sein. Sie können es auch anders schreiben. Zum Beispiel so:

3+2 = 10-5

Und dieser Eintrag - auch eine Transformation eines Ausdrucks.

Oder so:

3+2 = 10:2

Auch eine Transformation eines Ausdrucks!

Wenn Sie und ich älter sind und mit Algebra befreundet sind, dann schreiben wir:

Jeder, der sich mit Algebra auskennt, wird, ohne sich wirklich anzustrengen oder etwas zu zählen, in seinem Kopf herausfinden, dass links und rechts eine gewöhnliche Fünf steht. Probieren Sie es aus und versuchen Sie es.)

Und wenn wir wirklich älter sind, können wir folgende Horrorgeschichten aufschreiben:

Protokoll 2 8+ Protokoll 2 4 = Protokoll 2 32

Oder sogar diese:

5 Sünde 2 X+5 cos 2 X=5 tgx ctgx

Inspiriert es? Und natürlich können Sie so viele solcher Transformationen durchführen, wie Sie möchten! Soweit es die Vorstellungskraft zulässt. Und eine Reihe von Mathematikkenntnissen.)

Hast du es verstanden?

Beliebig Aktion auf den Ausdruck beliebig es in einer anderen Form zu schreiben heißt einen Ausdruck umwandeln. Und das ist alles. Alles ist sehr einfach.

Einfachheit ist natürlich immer eine gute und angenehme Sache, aber für jede Einfachheit muss man irgendwo bezahlen, ja ... Hier gibt es ein bedeutsames „Aber“. All diese mysteriösen Transformationen gehorchen immer einem sehr wichtige Regel. Diese Regel ist so wichtig, dass sie bedenkenlos aufgerufen werden kann Hauptregel alles Mathematik. Und es brechen einfache Regel zwangsläufig wird zu Fehlern führen. Lassen wir uns darauf ein?)

Angenommen, wir hätten unseren Gesichtsausdruck zufällig und aus heiterem Himmel verändert, etwa so:

3+2 = 6+1

Konvertierung? Sicherlich. Wir haben den Ausdruck in einer anderen Form aufgeschrieben! Aber... was ist hier los?

Antwort: So ist es nicht.) Der Punkt ist, dass Transformationen „zufällig undvom Idioten“ Sie interessieren sich überhaupt nicht für Mathematik.) Warum? Denn die gesamte Mathematik basiert auf Transformationen, in denen sich Veränderungen ergeben Aussehen, aber das Wesen des Ausdrucks ändert sich nicht. Dies ist ihre strikte Anforderung. Und ein Verstoß gegen diese Anforderung führt zu Fehlern. Drei plus zwei kann in jeder beliebigen Form geschrieben werden. In welchem Beispiel auch immer es erforderlich ist, wir werden es in dieser Form aufschreiben. Aber von Natur aus Das Es sollten immer fünf sein. In welcher Form auch immer wir diese 3+2 aufschreiben. Aber wenn Sie den Ausdruck 3+2 in einer anderen Form schreiben, erhalten Sie plötzlich statt fünf die Zahl fünfundzwanzig, Irgendwo hast du unterwegs einen Fehler gemacht. Kommen Sie zurück und beheben Sie den Fehler.)

Und jetzt ist die Zeit für weise grüne Gedanken gekommen.)

Erinnern:

1. Jede Aktion an einem Ausdruck, die ihn in einer anderen Form schreibt, wird als Transformation des Ausdrucks bezeichnet.

2. Transformationen,Ausdrücke, die das Wesentliche nicht verändern, sollen identisch sein.

3. Die gesamte Mathematik basiert auf identischen Transformationen von Ausdrücken.

genau Identitätstransformationen und erlaube uns, Schritt für Schritt, Stück für Stück, uns zu verändern komplexes Beispiel in einen einfachen, weißen und flauschigen Ausdruck verwandeln die Essenz des Beispiels. Wenn wir in der Kette unserer Transformationen plötzlich irgendwo einen Fehler machen und an irgendeinem Punkt eine NICHT IDENTISCHE Transformation machen, dann werden wir uns dann entscheiden ganz anders Beispiel. Mit anderen Antworten, ja... Was mit den richtigen nichts mehr zu tun hat.) Brechen wir die Identität auf und vermasseln wir woanders – fangen wir schon mit der Lösung an dritte Beispiel. Und so weiter, je nach Anzahl der Pfosten kann man von einem Problem mit einem Zug und einem Auto zu einem Problem mit eineinhalb Baggern kommen.)

Ein anderes Beispiel. Für Schüler, die schon jetzt mit aller Kraft Algebra lernen. Nehmen wir an, wir müssen den Wert des Ausdrucks (40+7) 2 ermitteln. Wie kommt man da raus, d.h. unseren wütenden Gesichtsausdruck verändern? Sie können einfach den Ausdruck in Klammern berechnen (wir erhalten 47), mit sich selbst mit einer Spalte multiplizieren und erhalten (wenn Sie zählen) 2209. Oder Sie können die Formel verwenden

(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 .

Wir erhalten: (40+7) 2 = 40 2 +2∙40∙7+7 2 = 1600+560+49 = 2209.

Aber! Es besteht die Versuchung (z. B. aufgrund der Unkenntnis der Formel), beim Quadrieren einfach zu schreiben:

(40+7) 2 = 40 2 +7 2 .

Leider ist bei diesem einfachen und scheinbar offensichtlichen Übergang die Identität unserer Transformationen verloren gegangen verletzt. Links ist alles wie es sein soll, 2209, aber rechts ist es schon eine andere Nummer. 1649. Rechnen Sie nach und alles wird klar. Hier ist ein typisches Beispiel für eine NICHT identische Transformation. Und dementsprechend kam heraus Fehler.)

Dies ist die Hauptregel zum Lösen jeder Aufgabe: Wahrung der Identität von Transformationen.

Ich habe der Übersichtlichkeit halber ein Beispiel mit den numerischen Ausdrücken 3+2 und (40+7) 2 gegeben.

Wie wäre es mit algebraische Ausdrücke? Alles das selbe! Nur in algebraischen Ausdrücken werden Identitätstransformationen angegeben Formeln und Regeln. Nehmen wir an, in der Algebra gibt es eine Formel:

a(b-c) = ab - ac

Das bedeutet, dass wir in jedem Beispiel jedes Recht anstelle des Ausdrucks haben ABC) Fühlen Sie sich frei, einen alternativen Ausdruck zu schreiben ab - ac. Umgekehrt. Es ist die Mathematik, die uns diese beiden Ausdrücke zur Auswahl gibt. Und von welchem man schreiben soll konkretes Beispiel kommt darauf an.

Oder das beliebte:

A 2 - B 2 = (A- B)(A+ B)

Wieder zwei Möglichkeiten. Beides ist richtig.) Dies auch identische Transformation. Was sich besser schreiben lässt – die Differenz der Quadrate oder das Produkt der Klammern – wird Ihnen das Beispiel zeigen.)

Ein anderes Beispiel. Eine der wichtigsten und notwendigsten Transformationen in der Mathematik ist Haupteigenschaft eines Bruchs. Sie können (werden) den Link ausführlicher lesen und ansehen (wenn ich die Lektion mache), aber hier möchte ich Sie nur an die Regel erinnern:

Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs durch multipliziert (dividiert) werden DasselbeWenn es sich um eine Zahl oder einen Ausdruck handelt, der ungleich Null ist, ändert sich ein Bruch nicht.

Hier ist ein Beispiel für Identitätstransformationen mit dieser Eigenschaft:

Wie Sie wahrscheinlich erraten haben, kann diese herrliche Kette auf unbestimmte Zeit fortgesetzt werden...) Solange der kreative Impuls ausreicht. Alle möglichen Nachteile und Wurzeln, lassen Sie sich davon nicht stören. Das ist alles Dasselbe Fraktion. Von sein Wesen. Zwei Drittel. 2/3. Nur in verschiedenen Formen aufgezeichnet.:) Eine sehr wichtige Eigenschaft. Dies ermöglicht es Ihnen sehr oft, alle möglichen Beispielmonster in weiße und flauschige Monster zu verwandeln.)

Natürlich gibt es viele Formeln und Regeln, die identische Transformationen definieren. Ich würde sogar viel sagen. Aber die wichtigsten, auf die man in der Mathematik zumindest auf der Dreierstufe verzichten kann es ist verboten, ist ein durchaus angemessener Betrag.

Hier sind einige der grundlegenden Transformationen:

1. Arbeiten mit Monomen und Polynomen. Ähnliche Begriffe reduzieren (oder kurz ähnlich);

2. Erweiternde und einschließende Klammern ;

3. Faktorisierung ;

4. und quadratische Trinomialentwicklung.

5. Arbeiten mit Brüchen und Bruchausdrücken.

Diese fünf grundlegenden Transformationen werden häufig verwendet in der gesamten Mathematik. Von elementar bis höher. Und wenn Sie nicht mindestens eines dieser fünf einfachen Dinge beherrschen, werden Sie, wie in jeder Mathematik, unweigerlich vor großen Problemen stehen weiterführende Schule, und in der High School und noch mehr an der Universität. Beginnen wir also mit ihnen. In den nächsten Lektionen in diesem Abschnitt.)

Es gibt noch coolere Transformationen. Für fortgeschrittene Schüler und Studenten. Sei es:

6. und alles, was damit zusammenhängt;

7. Ein vollständiges Quadrat auswählen aus einem quadratischen Trinom;

8. Division von Polynomen Ecke oder nach Horners Schema ;

9. Zerlegung eines rationalen Bruchs in eine Summe elementarer (einfachster) Brüche. Die nützlichste Funktion für Studenten beim Arbeiten

Ist also alles klar über die Identität von Transformationen und die Bedeutung ihrer Beobachtung? Großartig! Dann ist es an der Zeit, zur nächsten Ebene überzugehen und vollständig von der einfachen Arithmetik zur ernsthafteren Algebra überzugehen. Und mit einem Funkeln in den Augen.)

Neben der Untersuchung von Operationen und ihren Eigenschaften in der Algebra beschäftigen sie sich auch mit Konzepten wie Ausdruck, Gleichung, Ungleichheit . Die erste Bekanntschaft mit ihnen erfolgt im Mathematik-Grundkurs. Sie werden in der Regel ohne strenge Definitionen, meist ostensiv, eingeführt, was vom Lehrer nicht nur eine sehr sorgfältige Verwendung der Begriffe, die diese Konzepte bezeichnen, erfordert, sondern auch die Kenntnis einer Reihe ihrer Eigenschaften. Daher besteht die Hauptaufgabe, die wir uns zu Beginn des Studiums des Materials in diesem Abschnitt stellen, darin, das Wissen über Ausdrücke (numerisch und mit Variablen), numerische Gleichheiten und numerische Ungleichungen, Gleichungen und Ungleichungen zu klären und zu vertiefen.

Das Studium dieser Konzepte sei mit der Verwendung der mathematischen Sprache verbunden, heißt es Künstliche Sprachen, die zusammen mit dieser oder jener Wissenschaft geschaffen und entwickelt werden. Wie jede andere mathematische Sprache hat sie ihr eigenes Alphabet. In unserem Kurs wird es teilweise vorgestellt, da der Beziehung zwischen Algebra und Arithmetik mehr Aufmerksamkeit geschenkt werden muss. Dieses Alphabet umfasst:

1) Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; mit ihrer Hilfe werden Zahlen nach besonderen Regeln geschrieben;

2) Betriebszeichen +, -, , :;

3) Beziehungszeichen<, >, =, M;

4) Kleinbuchstaben des lateinischen Alphabets, sie werden zur Bezeichnung von Zahlen verwendet;

5) Klammern (rund, geschweift usw.), sie werden technische Zeichen genannt.

Mit diesem Alphabet werden in der Algebra Wörter gebildet, Ausdrücke genannt, und aus Wörtern werden Sätze gewonnen – numerische Gleichheiten, numerische Ungleichungen, Gleichungen, Ungleichungen mit Variablen.

Wie Sie wissen, Aufzeichnungen 3 + 7, 24: 8, 3 × 2 - 4, (25 + 3)× 2 -17 werden aufgerufen numerische Ausdrücke. Sie werden aus Zahlen, Aktionszeichen und Klammern gebildet. Wenn wir alle im Ausdruck angegebenen Aktionen ausführen, erhalten wir eine aufgerufene Zahl der Wert eines numerischen Ausdrucks . Der Wert des numerischen Ausdrucks ist also 3 × 2 - 4 ist gleich 2.

Es gibt numerische Ausdrücke, deren Werte nicht gefunden werden können. Sie sagen über solche Ausdrücke, dass sie ergibt keinen Sinn .

Zum Beispiel, Ausdruck 8: (4 - 4) macht keinen Sinn, da sein Wert nicht gefunden werden kann: 4 - 4 = 0 und eine Division durch Null ist unmöglich. Ausdruck 7-9 macht auch keinen Sinn, wenn wir ihn am Set betrachten natürliche Zahlen, da die Werte des Ausdrucks 7-9 in diesem Satz nicht zu finden sind.

Betrachten Sie den Eintrag 2a + 3. Er wird aus Zahlen, Aktionszeichen und dem Buchstaben a gebildet. Wenn Sie Zahlen anstelle von a ersetzen, erhalten Sie verschiedene numerische Ausdrücke:

wenn a = 7, dann 2 × 7 + 3;

wenn a = 0, dann 2 × 0 + 3;

wenn a = - 4, dann 2 × (- 4) + 3.

In der Notation 2a + 3 heißt ein solcher Buchstabe Variable , und der Eintrag selbst ist 2a + 3 - Ausdruck mit einer Variablen.

Eine Variable wird in der Mathematik üblicherweise durch einen beliebigen Kleinbuchstaben des lateinischen Alphabets bezeichnet. IN Grundschule Neben Buchstaben werden auch andere Symbole zur Bezeichnung einer Variablen verwendet, beispielsweise . Dann hat der Ausdruck mit einer Variablen die Form: 2× + 3.

Jeder Ausdruck mit einer Variablen entspricht einer Menge von Zahlen, deren Ersetzung einen sinnvollen numerischen Ausdruck ergibt. Diese Menge heißt Ausdrucksbereich .

Zum Beispiel, Der Definitionsbereich des Ausdrucks 5: (x - 7) besteht aus allen reellen Zahlen außer der Zahl 7, da bei x = 7 der Ausdruck 5: (7 - 7) keinen Sinn ergibt.

In der Mathematik werden Ausdrücke betrachtet, die eine, zwei oder mehr Variablen enthalten.

Zum Beispiel, 2a + 3 ist ein Ausdruck mit einer Variablen und (3x + 8y) × 2 ist ein Ausdruck mit drei Variablen. Um einen numerischen Ausdruck aus einem Ausdruck mit drei Variablen zu erhalten, müssen Sie anstelle jeder Variablen Zahlen einsetzen, die zum Definitionsbereich des Ausdrucks gehören.

Wir haben also herausgefunden, wie aus dem Alphabet der mathematischen Sprache numerische Ausdrücke und Ausdrücke mit Variablen gebildet werden. Wenn wir eine Analogie zur russischen Sprache ziehen, dann sind Ausdrücke Wörter einer mathematischen Sprache.

Mit dem Alphabet einer mathematischen Sprache ist es jedoch möglich, beispielsweise solche Einträge zu bilden: (3 + 2)) - × 12 oder 3x – y: +)8, der weder als numerischer Ausdruck noch als Ausdruck mit einer Variablen bezeichnet werden kann. Diese Beispiele zeigen, dass die Beschreibung, welche Symbole des Alphabets einer mathematischen Sprache zur Bildung numerischer und variabler Ausdrücke verwendet werden, keine Definition dieser Konzepte darstellt. Lassen Sie uns einen numerischen Ausdruck definieren (ein Ausdruck mit Variablen wird auf ähnliche Weise definiert).

Definition.Wenn f und q numerische Ausdrücke sind, dann (f) + (q), (f) - (q), (f) × (q), (f) (q) - numerische Ausdrücke. Jede Zahl wird als numerischer Ausdruck betrachtet.

Wenn wir dieser Definition genau folgen würden, müssten wir zu viele Klammern schreiben, zum Beispiel (7) + (5) oder (6): (2). Um die Notation zu verkürzen, haben wir vereinbart, keine Klammern zu schreiben, wenn mehrere Ausdrücke addiert oder subtrahiert werden und diese Operationen von links nach rechts ausgeführt werden. Ebenso werden beim Multiplizieren oder Dividieren mehrerer Zahlen keine Klammern geschrieben und diese Operationen werden in der Reihenfolge von links nach rechts ausgeführt.

Zum Beispiel, sie schreiben so: 37 – 12 + 62 - 17+13 oder 120:15-7:12.

Darüber hinaus haben wir vereinbart, zuerst die Aktionen der zweiten Stufe (Multiplikation und Division) und dann die Aktionen der ersten Stufe (Addition und Subtraktion) auszuführen. Daher wird der Ausdruck (12-4:3) + (5-8:2-7) wie folgt geschrieben: 12 – 4: 3 + 5 – 8: 2 – 7.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks 3x (x - 2) + 4 (x - 2) für x = 6.

Lösung

1 Weg. Ersetzen wir in diesem Ausdruck die Zahl 6 anstelle der Variablen: 3 × 6-(6 – 2) + 4×(6 – 2). Um den Wert des resultierenden numerischen Ausdrucks zu ermitteln, führen wir alle angegebenen Aktionen aus: 3 × 6 × (6 – 2) + 4 × (6-2) = 18 × 4 + 4 × 4 = 72 + 16 = 88. Daher , Wann X= 6 ist der Wert des Ausdrucks 3x (x-2) + 4(x-2) 88.

Methode 2. Bevor wir die Zahl 6 in diesen Ausdruck einsetzen, vereinfachen wir ihn: 3x (x - 2) + 4(x - 2) = (X - 2)(3x + 4). Und dann stattdessen in den resultierenden Ausdruck ersetzen X Nummer 6, führen Sie die folgenden Schritte aus: (6 - 2) × (3×6 + 4) = 4× (18 + 4) = 4×22 = 88.

Achten wir auf Folgendes: Sowohl bei der ersten als auch bei der zweiten Lösungsmethode haben wir einen Ausdruck durch einen anderen ersetzt.

Zum Beispiel, der Ausdruck 18×4 + 4×4 wurde durch den Ausdruck 72+16 und der Ausdruck 3x (x - 2) + 4(x - 2) - durch den Ausdruck ersetzt (X - 2)(3x + 4), und diese Ersetzungen führten zum gleichen Ergebnis. Wenn man in der Mathematik die Lösung eines bestimmten Problems beschreibt, sagt man, dass wir es getan haben Identitätstransformationen Ausdrücke.

Definition.Zwei Ausdrücke gelten als identisch gleich, wenn für alle Werte der Variablen im Definitionsbereich der Ausdrücke ihre entsprechenden Werte gleich sind.

Beispiele für identisch gleiche Ausdrücke sind die Ausdrücke 5(x + 2) und 5x+ 10, da für alle reellen Werte X ihre Werte sind gleich.

Wenn wir zwei identisch gleiche Ausdrücke auf einer bestimmten Menge mit einem Gleichheitszeichen verbinden, erhalten wir einen Satz namens Identität auf diesem Set.

Zum Beispiel, 5(x + 2) = 5x + 10 ist eine Identität auf der Menge der reellen Zahlen, da für alle reellen Zahlen die Werte des Ausdrucks 5(x + 2) und 5x + 10 gleich sind. Unter Verwendung der Notation eines allgemeinen Quantors kann diese Identität wie folgt geschrieben werden: (" x О R) 5(x + 2) = 5x + 10. Echte numerische Gleichheiten werden auch als Identitäten betrachtet.

Das Ersetzen eines Ausdrucks durch einen anderen, der ihm in einer Menge identisch ist, wird aufgerufen identische Transformation eines gegebenen Ausdrucks auf dieser Menge.

Indem wir also den Ausdruck 5(x + 2) durch den identisch gleichen Ausdruck 5x + 10 ersetzten, führten wir eine identische Transformation des ersten Ausdrucks durch. Aber wie kann man bei gegebenen Ausdrücken herausfinden, ob sie identisch gleich sind oder nicht? Finden Sie die entsprechenden Werte von Ausdrücken, indem Sie Variablen durch bestimmte Zahlen ersetzen? Es dauert lange und ist nicht immer möglich. Doch welche Regeln müssen dann beachtet werden, wenn identische Transformationen von Ausdrücken durchgeführt werden? Es gibt viele dieser Regeln, darunter auch die Eigenschaften algebraischer Operationen.

Aufgabe. Faktorisieren Sie den Ausdruck ax - bx + ab - b 2 .

Lösung. Gruppieren wir die Terme dieses Ausdrucks nach zwei (den ersten mit dem zweiten, den dritten mit dem vierten): ax - bx+ ab - b 2 = (ax-bx)+(ab-b 2). Diese Transformation ist aufgrund der assoziativen Eigenschaft der Addition reeller Zahlen möglich.

Nehmen wir den gemeinsamen Faktor aus jeder Klammer im resultierenden Ausdruck heraus: (ax – bx) + (ab – b 2) = x(a – b) + b(a – b) – diese Transformation ist basierend auf dem Distributiv möglich Eigenschaft der Multiplikation relativ zur Subtraktion reeller Zahlen.

Im resultierenden Ausdruck haben die Terme einen gemeinsamen Faktor. Nehmen wir ihn aus den Klammern: x(a – b) + b(a – b) = (a – b)(x – b). Grundlage der durchgeführten Transformation ist die Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition.

Also, ax - bx + ab - b 2 = (a - b)(x -b) .

Im Grundstudium der Mathematik werden in der Regel nur identische Transformationen numerischer Ausdrücke durchgeführt. Theoretische Basis solche Transformationen sind die Eigenschaften der Addition und Multiplikation, unterschiedliche Regeln: Addieren einer Summe zu einer Zahl, eine Zahl zu einer Summe, Subtrahieren einer Zahl von einer Summe usw.

Zum Beispiel Um das Produkt 35 × 4 zu finden, müssen Sie die folgenden Transformationen durchführen: 35 × 4 = (30 + 5) × 4 = 30 × 4 + 5 × 4 = 120 + 20 = 140. Die durchgeführten Transformationen basieren auf: der Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition; Prinzip des Zahlenschreibens Dezimalsystem Notation (35 = 30 + 5); Regeln zum Multiplizieren und Addieren natürlicher Zahlen.

Identitätstransformationen

1. Das Konzept der Identität. Grundlegende Arten von Identitätstransformationen und Phasen ihrer Untersuchung.

Das Studium verschiedener Transformationen von Ausdrücken und Formeln nimmt den geringsten Teil der Lernzeit in einem Schulmathematikkurs ein. Die einfachsten ^""-Formationen, basierend auf den Eigenschaften arithmetischer Operationen, werden bereits in der Grundschule erstellt. Die Hauptlast der Entwicklung der Fähigkeiten und Fertigkeiten zur Durchführung von Transformationen trägt jedoch der Schulalgebrakurs 1 >Dies liegt an:

mit einem starken Anstieg der Zahl der durchgeführten Transformationen, ihrer Vielfalt;

mit der Komplikation von Aktivitäten, um sie zu rechtfertigen und die Bedingungen ihrer Anwendbarkeit zu klären;

i) mit der Identifizierung und Untersuchung der verallgemeinerten Konzepte von Identität, identischer Transformation, äquivalenter Transformation und logischer Konsequenz.

Die Linie der Identitätstransformationen erfährt im Grundkurs Algebra der Schule folgende Entwicklung:

,4b-Klassen - Öffnen der Klammern, Einbringen ähnlicher Begriffe, Entfernen des Faktors aus den Klammern;

7 Klasse - identische Transformationen ganzzahliger und gebrochener Ausdrücke;

H-Klasse - identische Transformationen von Ausdrücken, die Quadwurzeln enthalten;

( > Klasse - Identische Transformationen trigonometrischer Ausdrücke und Ausdrücke, die einen Grad mit einem rationalen Exponenten enthalten.

Die Linie der Identitätstransformationen ist eine der wichtigen ideologischen Linien des Algebra-Kurses. Daher ist der Mathematikunterricht in den Jahrgangsstufen 5-6 so aufgebaut, dass sich die Schüler bereits in diesen Jahrgangsstufen die Fähigkeiten einfachster Identitätstransformationen aneignen (ohne den Begriff „Identitätstransformationen“ zu verwenden). Diese Fähigkeiten werden durch die Durchführung von Übungen zur Verwendung ähnlicher Begriffe, zum Öffnen und Schließen von Klammern, zum Platzieren eines Faktors aus Klammern usw. entwickelt. Die einfachsten Transformationen von numerischen und wörtliche Ausdrücke. Auf dieser Ausbildungsstufe werden Transformationen beherrscht, die direkt auf der Grundlage der Gesetze und Eigenschaften arithmetischer Operationen durchgeführt werden.

Zu den Hauptproblemtypen in den Klassen 5-6, bei deren Lösung die Eigenschaften und Gesetze arithmetischer Operationen aktiv genutzt und durch die Fähigkeiten zur Identitätstransformation ausgebildet werden, gehören:

Begründung von Algorithmen zur Durchführung von Aktionen an den Zahlen der untersuchten Zahlenmengen;

Berechnen der Werte eines numerischen Ausdrucks auf die rationalste Weise;

Vergleichen der Werte numerischer Ausdrücke, ohne die angegebenen Aktionen auszuführen;

Vereinfachung von Buchstabenausdrücken;

Nachweis der Bedeutungsgleichheit zweier wörtlicher Ausdrücke usw.

Stellen Sie sich die Zahl 153 als Summe von Zifferntermen vor; als Differenz zweier Zahlen, als Produkt zweier Zahlen.

Stellen Sie sich die Zahl 27 als Produkt dreier identischer Faktoren vor.

Diese Übungen zur Darstellung derselben Zahl in verschiedenen Notationsformen helfen dabei, das Konzept der Identitätstransformationen zu beherrschen. Diese Ideen können zunächst willkürlich sein, später können sie jedoch zielgerichtet sein. Beispielsweise wird die Darstellung in Form einer Summe von Zifferntermen verwendet, um die Regeln für das Addieren natürlicher Zahlen in einer „Spalte“ zu erläutern, und die Darstellung in Form einer Summe oder Differenz von „bequemen“ Zahlen wird verwendet, um schnelle Berechnungen durchzuführen Bei verschiedenen Produkten wird die Darstellung in Form eines Produkts von Faktoren verwendet, um verschiedene Bruchausdrücke zu vereinfachen.

Finden Sie den Wert des Ausdrucks 928 36 + 72 36.

Eine rationale Möglichkeit, den Wert dieses Ausdrucks zu berechnen, basiert auf der Verwendung des Verteilungsgesetzes der Multiplikation relativ zur Addition: 928 36 + 72 36 = (928 + 72) 36 = 1000 36 = 36000.

In einem schulischen Mathematikkurs lassen sich die folgenden Phasen bei der Beherrschung der Verwendung von Transformationen alphanumerischer Ausdrücke und Formeln unterscheiden.

Bühne. Anfänge der Algebra. In dieser Phase wird ein undifferenziertes Transformationssystem verwendet; es wird durch Regeln zum Durchführen von Aktionen an einem oder beiden Teilen der Formel dargestellt.

Beispiel. Gleichungen lösen:

a) 5x - bx = 2; b) 5x = 3x + 2; V) 6 (2 - 4u) + 5u = 3 (1 - Zu).

Die allgemeine Idee der Lösung besteht darin, diese Formeln mithilfe mehrerer Regeln zu vereinfachen. In der ersten Aufgabe Die Vereinfachung wird durch die Anwendung der Identität erreicht: 5x- bx= (5 - 3)x. Die auf dieser Identität basierende Identitätstransformation transformiert diese Gleichung in ihr Äquivalent Urshshomie 2x - 2.

Zweite Gleichung erfordert zu seiner Lösung nicht nur eine identische, sondern auch eine radikale Transformation; In dieser Funktion wird hier das Prinzip der Übertragung von Termen der Gleichung von einem Teil der Gleichung auf einen anderen mit modifiziertem Chic verwendet. Bei der Lösung einer so einfachen Aufgabe wie b) werden beide Mon-in-Transformationen verwendet – sowohl identische als auch äquivalente. Diese Bestimmung gilt auch für umständlichere Aufgaben wie die dritte.

Das Ziel der ersten Stufe besteht darin, zu lehren, wie man schnell die einfachsten Gleichungen löst, Formeln vereinfacht, die Funktionen definieren, und Berechnungen auf der Grundlage der Eigenschaften von Aktionen rational durchführt.

Meise. Ausbildung von Fähigkeiten im Umgang mit bestimmten TransformationsartenII Neigung Die Konzepte der Identität und identischen Transformation werden im Kurs der 7. Klasse explizit eingeführt. So wird beispielsweise in Yu. N. Makarychevs Lehrbuch „Algebra 7“ das Konzept identisch gleicher Ausdrücke eingeführt: „Zwei Ausdrücke, deren entsprechende Werte sind.“ gleich für alle Wertevariablen, Splash identisch gleich“ dann das Konzept der Identität: „Eine Gleichheit, die für beliebige Werte der Variablen gepaart ist, heißt.“ Identität."

Es werden 11 Beispiele genannt:

Im Lehrbuch A.G. Mordkovichs „Algebra 7“ liefert sofort ein verfeinertes Identitätskonzept: "Identität- Das ist Gleichheit, wahr für alle akzeptabel Werte der in seiner Zusammensetzung enthaltenen Variablen.“

Bei der Einführung des Konzepts der Identitätstransformation sollte man zunächst auf die Zweckmäßigkeit verzichten, Identitätstransformationen zu untersuchen. Dazu können Sie sich verschiedene Übungen zur Bedeutungsfindung von Ausdrücken überlegen.

liiiipiiMep, finde den Wert des Ausdrucks 37.1x + 37.ly wann X= 0,98, y = 0,02. Unter Verwendung der Verteilungseigenschaft der Multiplikation ergibt sich der Ausdruck 37.1l + 37.1 bei kann durch den Ausdruck 37.1(x + ausgedrückt werden y), identisch gleich. Noch schmerzhafter Wurm 1 Lösung für die folgende Übung: Finden Sie den Wert des Ausdrucks

()-(a-6)_ p r i. a) d = z > ^ = 2; B) A = 121, Kommersant - 38; c) a = 2,52, b= 1 -.

ab 9

11Nach den durchgeführten Transformationen stellt sich heraus, dass die Wertemenge dieses Ausdrucks aus einer Zahl 4 besteht.

In Yu. N. Makarychevs Lehrbuch „Algebra 7“ wird die Einführung des Konzepts der Identitätstransformation durch die Betrachtung eines Beispiels motiviert: „Um den Wert des Ausdrucks xy bei x = 2,3 zu finden; y = 0,8; z = 0,2, Sie müssen 3 Schritte ausführen: xy - xz = 2,3 0,8 - 2,3 0,2 = 1,84 - 0,46 = 1,38.

11Es ist erwähnenswert, dass eine Art von Transformation spezifisch für die Kurische Algebra und die Prinzipien der Analysis ist. Dies sind Transformationen von Ausdrücken, die enthalten Vorübergänge, Und Transformationen basierend auf den Regeln der Differenzierung und Integration. Der Hauptunterschied zwischen diesen „analytischen“ Transformationen und „algebraischen“ Transformationen besteht in der Art der Menge, durch die die Variablen die Identitäten durchlaufen. In algebraischen Identitäten gibt es einen Bereich der Variablen numerische Bereiche und in analytischen Mengen werden diese Mengen definiert viele Funktionen. Zum Beispiel die Regel der Differentialsumme: (Z"+g)" hier/und g-Variablen, die durch die Menge laufen

Ich habe aber differenzierbare Funktionen mit einem gemeinsamen Definitionsbereich. Äußerlich ähneln diese Transformationen Transformationen algebraischer Art, weshalb sie manchmal „Grenzalgebra“ und „Differenzierungsalgebra“ sagen.

Die im Schulalgebrakurs untersuchten Identitäten und das algebraische Material des Algebrakurses und die Anfänge der Analysis können unterteilt werden in zwei Klassen.

Die erste besteht aus den abgekürzten Multiplikationsidentitäten, fair in

aw v.

iiioGom kommutativer Ring und die Identitäten - =-,a* 0, in jedem Fall fair

Ohm-Feld.

Die zweite Klasse bilden Identitäten, die arithmetische Ausdrücke und grundlegende Elementarfunktionen sowie Zusammensetzungen elementarer Funktionen verbindenHixFunktionen. Die meisten Identitäten dieser Klasse haben auch eine gemeinsame mathematische Grundlage, nämlich dass Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen Isomorphismen verschiedener Zahlengruppen sind. Beispielsweise gilt die Aussage: Es gibt eine eindeutige kontinuierliche isomorphe Abbildung / der additiven Gruppe reeller Zahlen in die multiplikative Gruppe positiver reeller Zahlen, unter der die Einheit auf eine gegebene Zahl abgebildet wird a> 0, ein F 1; Diese Abbildung wird durch eine Minusfunktion mit Basis gegeben A:/(X)= A.Ähnliche Aussagen gibt es für Potenz- und Logarithmusfunktionen.

Die Methodik zur Untersuchung der Identitäten beider Klassen weist viele Gemeinsamkeiten auf. Im Allgemeinen umfassen die in einem Schulmathematikkurs untersuchten Identitätstransformationen:

Transformation von Ausdrücken, die Radikale und Potenzen enthalten, mit gebrochenen Exponenten;

Transformationen von Ausdrücken, die Grenzübergänge enthalten, und Transformationen, die auf den Regeln der Differenzierung und Integration basieren.

Dieses Ergebnis kann durch die Ausführung von nur zwei Aktionen erzielt werden – wenn Sie den Ausdruck verwenden x (y-z), identisch gleich dem Ausdruck xy-xz: x(y-Z) = 2,3 (0,8 - 0,2) = 2,3 0,6 = 1,38.

Wir haben die Berechnungen vereinfacht, indem wir den Ausdruck ersetzt haben xy-xz identisch gleicher Ausdruck x(y - z).

Das Ersetzen eines Ausdrucks durch einen anderen identisch gleichen Ausdruck wird aufgerufen identische Transformation oder einfach Transformation des Ausdrucks.

Entwicklung verschiedene Arten Transformationen in dieser Phase beginnen mit der Einführung abgekürzter Multiplikationsformeln. Dann werden Transformationen, die mit der Potenzierungsoperation verbunden sind, mit verschiedenen Klassen von Elementarfunktionen betrachtet – exponentiell, Potenz, logarithmisch, trigonometrisch. Jede dieser Transformationsarten durchläuft eine Lernphase, in der der Schwerpunkt auf der Beherrschung ihrer charakteristischen Merkmale liegt.

Mit zunehmender Materialanhäufung wird es möglich, die Konzepte identischer und äquivalenter Transformationen zu identifizieren und auf dieser Grundlage einzuführen.

Es ist zu beachten, dass das Konzept der Identitätstransformation im Schulalgebrakurs nicht in voller Allgemeinheit, sondern nur in der Anwendung auf Ausdrücke vermittelt wird. Transformationen werden in zwei Klassen unterteilt: Identitätstransformationen sind Transformationen von Ausdrücken und Äquivalent - Formeltransformationen. Für den Fall, dass ein Teil der Formel vereinfacht werden muss, wird in dieser Formel ein Ausdruck hervorgehoben, der als Argument für die angewandte Identitätstransformation dient. Zum Beispiel die Gleichungen 5x - 3x - 2 und 2x = 2 gelten nicht nur als gleichwertig, sondern als identisch.

In Algebra-Lehrbüchern Sh.A. Alimova und anderen wird der Begriff der Identität in den Klassen 7-8 nicht explizit und erst in der 9. Klasse im Thema „Trigonometrische Identitäten“ bei der Lösung von Aufgabe 1 eingeführt: „Beweisen Sie, wann.“ afkk, Zu < eZ , die Gleichheit 1 + cot 2 a = -\- wahr ist“, wird dieses Konzept eingeführt. Hier wird den Schülern erklärt, dass Sünde A

die angegebene Gleichheit „gilt für alle zulässigen Werte von a, d.h. so dass seine linken und rechten Teile einen Sinn ergeben. Solche Gleichheiten heißen Identitäten, und Probleme zum Beweis solcher Gleichheiten werden Probleme zum Beweis von Identitäten genannt.“

Stufe III. Organisation eines integralen Systems von Transformationen (Synthese).

Das Hauptziel dieser Stufe besteht darin, einen flexiblen und leistungsstarken Apparat zu schaffen, der zur Lösung verschiedener pädagogischer Aufgaben geeignet ist.

Der Einsatz der zweiten Stufe des Transformationsstudiums erfolgt im gesamten Algebrakurs der Grundschule. Der Übergang zur dritten Stufe erfolgt bei der abschließenden Wiederholung des Kurses im Zuge des Verständnisses des bereits bekannten, in Teilen erlernten Materials zu einzelnen Transformationsarten.

Im Laufe der Algebra und dem Beginn der Analysis verbessert sich das im Grunde bereits gebildete ganzheitliche System der Transformationen schrittweise weiter. Es werden auch einige neue Arten von Transformationen hinzugefügt (z. B. im Zusammenhang mit trigonometrischen und logarithmischen Funktionen), die es jedoch nur bereichern, seine Fähigkeiten erweitern, seine Struktur jedoch nicht ändern.

Die Methodik zum Studium dieser neuen Transformationen unterscheidet sich praktisch nicht von der im Algebra-Kurs verwendeten.

Es ist notwendig, eine Art von Transformationen zu beachten, die spezifisch für die Kurens der Algebra und die Prinzipien der Analysis ist. Dies sind Transformationen von Ausdrücken, die enthalten Durchgänge begrenzen, Und Transformationen basierend auf den Regeln der Differenzierung und Integration. Der Hauptunterschied zwischen diesen „analytischen“ Transformationen und „algebraischen“ Transformationen besteht in der Art der Menge, durch die die Variablen in den Identitäten laufen. In algebraischen Identitäten gibt es einen Bereich der Variablen numerische Bereiche und in analytischer Hinsicht sind diese Sätze sicher viele Funktionen. Zum Beispiel die Regel zum Differenzieren einer Summe: ( F + G )" = F + G "; Hier Mief - Variablen, die mehrere, aber differenzierbare Funktionen mit einem gemeinsamen Definitionsbereich durchlaufen. Äußerlich ähneln diese Transformationen Transformationen algebraischer Art, weshalb sie manchmal „Grenzalgebra“ und „Differenzierungsalgebra“ sagen.

Die im Schulalgebrakurs untersuchten Identitäten und das algebraische Material des Algebrakurses und die Anfänge der Analysis können unterteilt werden in zwei Klassen.

Die erste besteht aus den abgekürzten Multiplikationsidentitäten, fair in

jeder kommutative Ring und die Identitäten - = -,a*0, gültig in jedem

Wechselstrom mit

Die zweite Klasse bilden Identitäten, die arithmetische Operationen und grundlegende Elementarfunktionen verbinden, sowie Zusammensetzungen von Elementarfunktionen. Die meisten Identitäten dieser Klasse haben auch eine gemeinsame mathematische Grundlage, nämlich dass Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen Isomorphismen verschiedener Zahlengruppen sind. Beispielsweise gilt die folgende Aussage: Es gibt eine eindeutige kontinuierliche isomorphe Abbildung / der additiven Gruppe reeller Zahlen in die multiplikative Gruppe positiver reeller Zahlen, unter der man auf eine gegebene Zahl abgebildet wird a> 0, ein F 1; diese Abbildung ist durch eine Exponentialfunktion mit Basis i gegeben: / (x) = a*. Ähnliche Aussagen gibt es für Potenz- und Logarithmusfunktionen.

Die Methodik zur Untersuchung der Identitäten beider Klassen ist vielfältig allgemeine Merkmale. Im Allgemeinen umfassen die in einem Schulmathematikkurs untersuchten Identitätstransformationen:

Transformationen algebraischer Ausdrücke;

Transformationen von Ausdrücken, die Radikale und Potenzen mit gebrochenen Exponenten enthalten;

Konvertieren trigonometrischer Ausdrücke;

Konvertieren von Ausdrücken, die Potenzen und Logarithmen enthalten;

Transformationen von Ausdrücken, die Übergänge zu Grenzwerten enthalten, und Transformationen, die auf Differenzierungs- und Integrationsregeln basieren.

2. Merkmale der Organisation des Aufgabensystems bei der Untersuchung von Identitätstransformationen

Das Grundprinzip der Organisation eines Aufgabensystems ist deren Präsentation von einfach bis komplex Berücksichtigung der Notwendigkeit der Schüler, realisierbare Schwierigkeiten zu überwinden und problematische Situationen zu schaffen. Dieses Grundprinzip bedarf einer Konkretisierung in Bezug auf die Merkmale dieses Lehrmaterials. Hier ist ein Beispiel für ein Übungssystem zum Thema: „Quadrat der Summe und.“

Differenz zweier Zahlen.

Hier endet das Hauptübungssystem. Ein solches System sollte die Assimilation des Grundmaterials gewährleisten.

Die folgenden Übungen (17-19) ermöglichen es den Schülern, ihre Aufmerksamkeit auf typische Fehler zu richten und tragen zur Entwicklung ihres Interesses und ihrer kreativen Fähigkeiten bei.

Im Einzelfall kann die Anzahl der Übungen im System geringer oder größer sein, die Reihenfolge ihrer Durchführung sollte jedoch gleich sein.

Um verschiedene Aufgabensysteme in mathematischen Methoden zu beschreiben, wird ein anderes Konzept verwendet: Übungszyklus. Der Übungszyklus zeichnet sich dadurch aus, dass mehrere Aspekte des Lernens und Techniken zur Anordnung des Stoffes zu einer Übungsfolge zusammengefasst werden. In Bezug auf Identitätstransformationen kann die Idee eines Zyklus wie folgt gegeben werden.

Der 11. Übungszyklus ist mit dem Studium einer Identität verbunden, um die sich andere Identitäten gruppieren, die in natürlicher Verbindung mit ihr stehen. In „Loop Stop“ mit Exekutive umfasst Aufgaben, die erforderlich sind erkenne< ii In noch die Anwendbarkeit der betreffenden Identität. Die untersuchte Identität wird verwendet, um Berechnungen in verschiedenen numerischen Bereichen durchzuführen.

Die Aufgaben in jedem Zyklus sind unterteilt in zwei Gruppen. ZU Erste Dazu gehören Aufgaben, die während des ersten Kennenlernens der Identität durchgeführt werden. Sie werden in mehreren Lektionen durchgeführt, die zu einem Thema zusammengefasst sind. Zweite Gruppe Übungen verbinden die untersuchte Identität mit verschiedenen Anwendungen. Die Übungen in dieser Gruppe sind in der Regel über verschiedene Themen verteilt.

Die beschriebene Zyklusstruktur bezieht sich auf die Phase der Entwicklung von Fähigkeiten zur Anwendung bestimmter Arten von Transformationen. In der letzten Phase (Tane-Synthese) werden die Zyklen modifiziert. Erstens, beide Shdapii-Gruppen vereinigen sich und bilden sich „abgerollter“ Zyklus , und aus der ersten Gruppe sind diejenigen ausgeschlossen, die hinsichtlich des Wortlauts oder der Komplexität des Schreibens am einfachsten sind. Die übrigen Aufgabentypen werden komplexer. Zweitens, Es kommt zu einer Verschmelzung von Zyklen, die sich auf verschiedene Identitäten beziehen, und daher nimmt die Rolle von Maßnahmen zur Anerkennung der Anwendbarkeit einer bestimmten Identität zu.

Schauen wir uns ein konkretes Beispiel eines Zyklus an.

Beispiel. Aufgabenzyklus für Identität x -y 2 = (x-y)(x + y).

Die erste Aufgabengruppe dieses Zyklus wird wie folgt abgeschlossen:

aktuelle Bedingungen. Die Studierenden haben sich gerade mit der Formulierung der Identität vertraut gemacht (oder besser gesagt mit zwei Formulierungen): „Die Differenz der Quadrate zweier Ausdrücke ist gleich dem Produkt der Summe und der Differenz dieser Ausdrücke“ und „Das Produkt der Summe“. und die Differenz zweier Ausdrücke ist gleich der Differenz der Quadrate dieser Ausdrücke“), ihre Aufzeichnung in Form einer Formel und der Beweis. Im Folgenden finden Sie einige Beispiele für die Verwendung einer auf dieser Identität basierenden Transformation. Endlich beginnen die Schüler eigenständige UmsetzungÜbungen.

Erste Aufgabengruppe

Zweite Aufgabengruppe

(Die Aufgaben jeder Gruppe können den Schülern mit einem Multimedia-Beamer präsentiert werden)

Lassen Sie uns eine methodische Analyse dieses Systems von Aufgabentypen durchführen.

Die Aufgabe a0 zielt darauf ab, die Struktur der untersuchten Identität festzulegen. Dies wird durch das Ersetzen der Buchstaben (x und.) erreicht y) beim Schreiben der Identität in anderen Briefen. Aufgaben dieser Art ermöglichen es, den Zusammenhang zwischen verbalem Ausdruck und der symbolischen Form der Identität zu klären.

Aufgabe a 2) zielt darauf ab, einen Zusammenhang zwischen dieser Identität und dem Zahlensystem herzustellen. Der hier umgewandelte Ausdruck ist nicht rein wörtlich, sondern alphanumerisch. Um die durchgeführten Aktionen zu beschreiben, ist es notwendig, das Konzept zu verwenden Auswechslung Buchstaben Nummer in der Identität. Fähigkeits-Entwicklung

Die Anwendung der Substitutionsoperation und die Vertiefung ihres Verständnisses erfolgt I gm bei der Durchführung von Aufgaben des Typs d 2).

Der nächste Schritt zur Beherrschung der Identität wird durch Aufgabe a) veranschaulicht. In dieser Aufgabe hat der für die Transformation vorgeschlagene Ausdruck nicht die Form von Quadraten; Transformation wird erst möglich, wenn... h(chp1k wird bemerken, dass die Zahl 121 als Quadrat einer Zahl dargestellt werden kann. Somit, Priyum, wird diese Aufgabe nicht in einem Schritt, sondern in zwei Schritten erledigt: auf der Spuriiiiu die Möglichkeit erkannt wird, einen gegebenen Ausdruck auf die Differenz von Quadraten zu reduzieren, auf dem zweiten Unter Verwendung der Identität wird eine Transformation durchgeführt.

In den ersten Phasen der Beherrschung der Identität wird jeder Schritt aufgezeichnet:

I " I /с 2 = 11 2 - & 2 = (11 - £)(11 + Zu), Künftig werden einige Erkennungsvorgänge von den Studierenden mündlich durchgeführt.

Im Beispiel dd) ist es erforderlich, Verbindungen zwischen dieser Identität und anderen Identitäten im Zusammenhang mit Handlungen mit Monomen herzustellen; in d 3) sollte die Identität für die Quadratdifferenz zweimal angewendet werden; g) Die Schüler müssen eine gewisse psychologische Barriere überwinden und den Bereich der irrationalen Zahlen betreten.

Aufgaben des Typs b) zielen darauf ab, Fähigkeiten zum Ersetzen der Arbeit zu entwickeln (,v - y)(x + y) durch Differenz X 2 - J 2 . Eine ähnliche Rolle spielen Aufgaben vom Typ c). In Beispielen vom Typ d) ist es erforderlich, eine der Transformationsrichtungen auszuwählen.

Im Allgemeinen konzentrieren sich die Aufgaben der ersten Gruppe auf die Beherrschung der Struktur der Identität, die Funktionsweise der Substitution in den einfachsten und wichtigsten Fällen und die Idee der Reversibilität der von der Identität durchgeführten Transformationen.

Die Hauptmerkmale und Ziele, die wir bei der Betrachtung des ersten | Ruinen von Zyklusaufgaben beziehen sich auf jeden Übungszyklus, der Bajonette zur Identitätsverwendung bildet. Für jede neu eingeführte Identität muss die Aufgabengruppe im Zyklus die hier beschriebenen Merkmale beibehalten; Die Unterschiede können nur in der Anzahl der Aufgaben liegen.

1 Die zweite Aufgabengruppe des Zyklus zielt im Gegensatz zur ersten auf die größtmögliche Nutzung und Berücksichtigung der Besonderheiten dieser besonderen Identität ab. Die Aufgaben dieser Gruppe gehen davon aus, dass die Fähigkeiten, Identitäten für Differenzen von Quadraten zu verwenden, (im einfachsten Fall) bereits entwickelt sind; tspi, Aufgaben dieser Gruppe - das Verständnis der Identität zu vertiefen, indem ihre verschiedenen Anwendungen in verschiedenen Situationen in Kombination mit der Verwendung von Material im Zusammenhang mit anderen Themen des Mathematikkurses betrachtet werden.

Betrachten wir die Lösung der Aufgabe l):

x 3 - 4x = 15 o x 3 - 9x = 15 - 5x o x(x~3)(x + 3) = 5(3 - x) ox = 3, oder \{\ 1-3) = -5. Die gleichung x(x + 3) = -5 hat daher keine echten Wurzeln \ 3 ist die einzige Wurzel der Gleichung.

Wir sehen, dass die Verwendung der Identität für die Quadratdifferenz Teil der Lösung des Beispiels ist und die Leitidee für die Durchführung von Transformationen darstellt.

Zyklen von Aufgaben im Zusammenhang mit Identitäten für elementare Funktionen, haben ihre eigenen Eigenschaften, die darauf zurückzuführen sind, dass Erstens. Die entsprechenden Identitäten werden im Zusammenhang mit der Untersuchung funktionaler Materialien untersucht und /und>-“touykh, Sie erscheinen später als die Identitäten der ersten Gruppe und werden mit untersucht

Nutzung bereits ausgebildeter Fähigkeiten zur Durchführung identischer Transformationen. Ein wesentlicher Teil der Verwendung von Identitätstransformationen im Zusammenhang mit Elementarfunktionen entfällt auf die Lösung irrationaler und transzendentaler Gleichungen. Die Zyklen im Zusammenhang mit der Assimilation von Identitäten umfassen nur die meisten einfache Gleichungen, aber schon hier empfiehlt es sich, an der Beherrschung der Methode zur Lösung solcher Gleichungen zu arbeiten: Reduzierung durch Ersetzen des Unbekannten durch eine algebraische Gleichung.

Die Abfolge der Schritte für diese Lösung ist wie folgt:

a) Finden Sie die Funktion<р, для которой данное уравнение/(х) = 0 представимо в виде F (ср(лг)) = 0;

b) eine Substitution vornehmen bei= ср(х) und lösen Sie die Gleichung F(y) = 0;

c) Lösen Sie jede der Gleichungen <р(х) = Wo (j k ) - die Menge der Wurzeln der Gleichung F(y) = 0.

Ein neues Problem, das bei der Untersuchung von Identitäten mit Elementarfunktionen berücksichtigt werden muss, ist die Berücksichtigung des Definitionsbereichs. Hier sind Beispiele für drei Aufgaben:

a) Stellen Sie die Funktion y = 4 log 2 x grafisch dar.

b) Lösen Sie die Log-Gleichung X + log(x - 3) = 1.

c) Auf welcher Menge liegt die Formel log (x - 5) + log (x + 5) = log ( X 2 - 25) ist eine Identität?

Ein typischer Fehler, den Schüler bei der Lösung von Problem a) machen, ist die Verwendung der Gleichheit A 1. ohne Berücksichtigung der Bedingung Kommersant > 0. In diesem Fall stellt sich am Ende heraus, dass der gewünschte Graph die Form einer Parabel hat und nicht die richtige Antwort – den rechten Ast der Parabel. Aufgabe b) zeigt eine der Quellen zum Erhalten komplexer Gleichungs- und Ungleichungssysteme, wenn die Definitionsbereiche von Funktionen berücksichtigt werden müssen, und Aufgabe c) zeigt eine Übung, die als Vorbereitungsübung dienen kann.

Die Idee, die diese Aufgaben vereint – die Notwendigkeit, den Definitionsbereich einer Funktion zu untersuchen – lässt sich nur durch den Vergleich solcher Aufgaben offenbaren, die in ihrer äußeren Form heterogen sind. Die Bedeutung dieser Idee für die Mathematik ist sehr groß. Es kann als Grundlage für mehrere Übungszyklen dienen – für jede der Klassen elementarer Funktionen.

Zusammenfassend stellen wir fest, dass die Untersuchung von Identitätstransformationen in der Schule von großer Bedeutung ist pädagogischen Wert. Die Fähigkeit, einige Berechnungen anzustellen, Berechnungen durchzuführen und ein Objekt über einen langen Zeitraum mit unermüdlicher Aufmerksamkeit zu überwachen, ist für Menschen unterschiedlichster Berufe erforderlich, unabhängig davon, ob sie im Bereich geistiger oder körperlicher Arbeit tätig sind. Die Besonderheit des Abschnitts „Identische Transformationen von Ausdrücken“ besteht darin, dass er den Studierenden vielfältige Möglichkeiten eröffnet, diese wichtigen beruflich bedeutsamen Fähigkeiten zu entwickeln.