Integration durch Subsumieren mit dem Differenzialzeichenrechner. Methode zur Variablenänderung im unbestimmten Integral

In dieser Lektion lernen wir eine der wichtigsten und gebräuchlichsten Techniken kennen, die bei der Lösung unbestimmter Integrale verwendet wird – die Variablenänderungsmethode. Die erfolgreiche Beherrschung des Stoffes erfordert erste Kenntnisse und Integrationsfähigkeiten. Wenn Sie in der Integralrechnung das Gefühl haben, ein voller Kessel sei leer, dann sollten Sie sich zunächst mit dem Material vertraut machen, in dem ich in verständlicher Form erklärt habe, was ein Integral ist, und grundlegende Beispiele für Anfänger im Detail analysiert habe.

Technisch gesehen ist die Variablenersetzungsmethode in unbestimmtes Integral auf zwei Arten umgesetzt:

– Subsumieren der Funktion unter dem Differentialvorzeichen;
– Tatsächliches Ersetzen der Variablen.

Im Wesentlichen handelt es sich hierbei um dasselbe, das Design der Lösung sieht jedoch anders aus.

Beginnen wir mit einem einfacheren Fall.

Subsumieren einer Funktion unter dem Differentialzeichen

Im Unterricht Unbestimmtes Integral. Beispiele für Lösungen Wir haben gelernt, wie man das Differential öffnet. Ich erinnere Sie an das Beispiel, das ich gegeben habe:

Das heißt, das Aufdecken eines Differentials ist formal fast dasselbe wie das Auffinden einer Ableitung.

Beispiel 1

Prüfung durchführen.

Wir schauen uns die Integraltabelle an und finden eine ähnliche Formel: . Das Problem ist jedoch, dass wir unter dem Sinus nicht nur den Buchstaben „X“ haben, sondern einen komplexen Ausdruck. Was zu tun ist?

Wir bringen die Funktion unter das Differentialzeichen:

Durch Öffnen des Differentials lässt sich leicht prüfen, ob:

Tatsächlich und ist eine Aufnahme derselben Sache.

Dennoch blieb die Frage bestehen, wie wir auf die Idee kamen, dass wir im ersten Schritt unser Integral genau so schreiben müssen: ? Warum ist das so und nicht anders?

Formel (und alle anderen Tabellenformeln) sind NICHT NUR für die Variable gültig und anwendbar, sondern auch für jeden komplexen Ausdruck NUR ALS FUNKTIONSARGUMENT( – in unserem Beispiel) UND DER AUSDRUCK UNTER DEM DIFFERENZZEICHEN WAREN DAS GLEICHE .

Daher sollte die mentale Überlegung beim Lösen etwa so aussehen: „Ich muss das Integral lösen.“ Ich habe in der Tabelle nachgeschaut und eine ähnliche Formel gefunden . Aber ich habe ein komplexes Argument und kann die Formel nicht sofort anwenden. Wenn ich es jedoch schaffe, es unter das Differentialzeichen zu bringen, ist alles in Ordnung. Wenn ich es aufschreibe, dann. Aber im ursprünglichen Integral gibt es keinen Faktor drei. Damit sich die Integrandenfunktion nicht ändert, muss ich sie mit „multiplizieren“. Im Zuge einer solchen gedanklichen Überlegung entsteht folgender Eintrag:

Jetzt können Sie die tabellarische Formel verwenden :

Bereit

Der einzige Unterschied besteht darin, dass wir nicht den Buchstaben „X“ haben, sondern einen komplexen Ausdruck.

Lass uns das Prüfen. Öffnen Sie die Ableitungstabelle und differenzieren Sie die Antwort:

Die ursprüngliche Integrandenfunktion wurde erhalten, was bedeutet, dass das Integral korrekt gefunden wurde.

Bitte beachten Sie, dass wir bei der Verifizierung die Regel zur Differenzierung einer komplexen Funktion verwendet haben . Im Wesentlichen subsumiert man die Funktion unter dem Differentialzeichen und - das sind zwei zueinander inverse Regeln.

Beispiel 2

Lassen Sie uns die Integrandenfunktion analysieren. Hier haben wir einen Bruch und der Nenner ist eine lineare Funktion (mit „x“ hoch). Wir schauen uns die Tabelle der Integrale an und finden das ähnlichste: .

Wir bringen die Funktion unter das Differentialzeichen:

Wem es schwerfällt, auf Anhieb herauszufinden, mit welchem ​​Bruch er multipliziert werden soll, kann die Differenz schnell in einem Entwurf aufdecken: . Ja, es stellt sich heraus, dass das bedeutet, dass ich das Integral mit multiplizieren muss, damit sich nichts ändert.
Als nächstes verwenden wir die tabellarische Formel :

Untersuchung:


Die ursprüngliche Integrandenfunktion wurde erhalten, was bedeutet, dass das Integral korrekt gefunden wurde.

Beispiel 3

Finden Sie das unbestimmte Integral. Prüfung durchführen.

Beispiel 4

Finden Sie das unbestimmte Integral. Prüfung durchführen.

Dies ist ein Beispiel dafür unabhängige Entscheidung. Die Antwort finden Sie am Ende der Lektion.

Mit etwas Erfahrung in der Lösung von Integralen werden solche Beispiele einfach erscheinen und wie verrückt wirken:

Am Ende dieses Absatzes möchte ich auf den Fall „frei“ eingehen, wenn in lineare Funktion Die Variable wird in einen Einheitskoeffizienten einbezogen, zum Beispiel:

Genau genommen sollte die Lösung so aussehen:

Wie Sie sehen, war die Subsumierung der Funktion unter dem Differentialzeichen „schmerzlos“, ohne dass es zu Multiplikationen kam. Daher wird in der Praxis eine so lange Lösung oft vernachlässigt und sofort aufgeschrieben . Aber seien Sie bereit, dem Lehrer gegebenenfalls zu erklären, wie Sie das Problem gelöst haben! Denn tatsächlich gibt es in der Tabelle kein Integral.

Methode zur Variablenänderung im unbestimmten Integral

Betrachten wir nun den allgemeinen Fall – die Methode zum Ändern von Variablen im unbestimmten Integral.

Beispiel 5

Finden Sie das unbestimmte Integral.

Als Beispiel habe ich das Integral genommen, das wir uns gleich zu Beginn der Lektion angesehen haben. Wie wir bereits sagten, gefiel uns zur Lösung des Integrals die tabellarische Formel , und ich möchte die ganze Angelegenheit auf sie reduzieren.

Die Idee hinter der Ersetzungsmethode ist Ersetzen Sie einen komplexen Ausdruck (oder eine Funktion) durch einen einzelnen Buchstaben.
In diesem Fall heißt es:
Der zweitbeliebteste Ersatzbuchstabe ist der Buchstabe .
Grundsätzlich können Sie auch andere Buchstaben verwenden, wir bleiben aber dennoch bei den Traditionen.

Also:
Aber wenn wir es ersetzen, bleibt uns ! Wahrscheinlich haben viele vermutet, dass bei einem Übergang zu einer neuen Variablen im neuen Integral alles durch den Buchstaben ausgedrückt werden sollte und dort überhaupt kein Platz für ein Differential ist.
Die logische Schlussfolgerung ist, dass es notwendig ist in einen Ausdruck verwandeln, der nur davon abhängt.

Die Aktion ist wie folgt. Nachdem wir einen Ersatz ausgewählt haben, in diesem Beispiel. . wir müssen das Differential finden. Ich denke, bei Differenzen hat jeder bereits eine Freundschaft aufgebaut.

Seit damals

Nach der Demontage des Differentials empfehle ich, das Endergebnis so kurz wie möglich noch einmal zusammenzufassen:
Nun drücken wir nach den Proportionsregeln aus, was wir brauchen:

Zusammenfassend:
Auf diese Weise:

Und das ist bereits das tabellarischste Integral (Die Integraltabelle gilt natürlich auch für die Variable).

Abschließend bleibt nur noch der umgekehrte Austausch durchzuführen. Erinnern wir uns daran.

Bereit.

Der endgültige Entwurf des betrachteten Beispiels sollte etwa so aussehen:

“

Ersetzen wir:

“

Das Symbol hat keine mathematische Bedeutung; es bedeutet, dass wir die Lösung für Zwischenerklärungen unterbrochen haben.

Wenn Sie ein Beispiel in einem Notizbuch vorbereiten, ist es besser, die umgekehrte Ersetzung mit einem einfachen Bleistift zu markieren.

Aufmerksamkeit! In den folgenden Beispielen wird die Ermittlung des Differentials nicht im Detail beschrieben.

Und jetzt ist es an der Zeit, sich an die erste Lösung zu erinnern:

Was ist der Unterschied? Es gibt keinen grundsätzlichen Unterschied. Es ist eigentlich dasselbe. Aus Sicht des Aufgabenentwurfs ist die Methode zur Subsumierung einer Funktion unter dem Differentialzeichen jedoch viel kürzer.

Es stellt sich die Frage. Wenn die erste Methode kürzer ist, warum dann die Ersatzmethode verwenden? Tatsache ist, dass es bei einer Reihe von Integralen nicht so einfach ist, die Funktion an das Vorzeichen des Differentials „anzupassen“.

Beispiel 6

Finden Sie das unbestimmte Integral.

Machen wir einen Ersatz: (hier fällt es schwer, sich einen anderen Ersatz vorzustellen)

Wie Sie sehen, wurde durch den Ersatz das ursprüngliche Integral deutlich vereinfacht – auf eine gewöhnliche Potenzfunktion reduziert. Dies ist der Zweck der Ersetzung – die Vereinfachung des Integrals.

Faule Fortgeschrittene können dieses Integral leicht lösen, indem sie die Funktion unter dem Differentialzeichen subsumieren:

Eine andere Sache ist, dass eine solche Lösung offensichtlich nicht für alle Studierenden geeignet ist. Darüber hinaus wird bereits in diesem Beispiel die Methode der Subsumierung einer Funktion unter dem Differentialvorzeichen verwendet erhöht das Risiko, bei einer Entscheidung verwirrt zu werden, deutlich.

Beispiel 7

Finden Sie das unbestimmte Integral. Prüfung durchführen.

Beispiel 8

Finden Sie das unbestimmte Integral.

Ersatz:
Es bleibt abzuwarten, was daraus wird

Okay, wir haben es ausgedrückt, aber was tun mit dem „X“, das im Zähler verbleibt?!
Von Zeit zu Zeit stoßen wir bei der Lösung von Integralen auf den folgenden Trick: Wir drücken aus derselben Ersetzung aus!

Beispiel 9

Finden Sie das unbestimmte Integral.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Die Antwort finden Sie am Ende der Lektion.

Beispiel 10

Finden Sie das unbestimmte Integral.

Sicherlich ist einigen Leuten aufgefallen, dass es in meiner Nachschlagetabelle keine Regel zum Ersetzen von Variablen gibt. Dies geschah bewusst. Die Regel würde zu Verwirrung bei der Erklärung und beim Verständnis führen, da sie in den obigen Beispielen nicht explizit vorkommt.

Jetzt ist es an der Zeit, über die Grundvoraussetzung der Verwendung der Variablensubstitutionsmethode zu sprechen: Der Integrand muss eine Funktion und deren Ableitung enthalten:(Funktionen sind möglicherweise nicht im Produkt enthalten)

In diesem Zusammenhang muss man beim Finden von Integralen oft einen Blick auf die Ableitungstabelle werfen.

Im betrachteten Beispiel stellen wir fest, dass der Grad des Zählers um eins kleiner ist als der Grad des Nenners. In der Ableitungstabelle finden wir die Formel, die den Grad lediglich um eins reduziert. Und das heißt, wenn man ihn als Nenner bezeichnet, ist die Wahrscheinlichkeit groß, dass aus dem Zähler etwas Gutes wird.

Die Integrale, die wir betrachten werden, ähneln den Integralen des vorherigen Absatzes, sie haben die Form: oder

(Koeffizienten A, B Und F ungleich Null sind).

Das heißt, wir haben jetzt eine lineare Funktion im Zähler. Wie löst man solche Integrale?

Beispiel 14

Finden Sie das unbestimmte Integral

Bitte seien Sie vorsichtig, jetzt schauen wir uns einen typischen Algorithmus an.

1) Wenn ein Integral der Form gegeben ist

Oder

(wobei die Koeffizienten A, B Und F ungleich Null sind), dann ist das erste, was wir tun, ... einen Entwurf zu erstellen. Tatsache ist, dass wir jetzt eine kleine Auswahl durchführen müssen.

2) Bilden wir den Zähler des Integranden identische Transformationen(Drücken wir den Zähler durch den Nenner aus). Dazu schließen wir zunächst einfach den Ausdruck, der in diesem Beispiel im Nenner steht (egal ob unter der Wurzel oder ohne Wurzel), unter das Differentialzeichen: .

3) Öffnen Sie das Differential:

Schauen wir uns den Zähler unseres Integrals an:

Es kam etwas anders... Und jetzt müssen wir einen Multiplikator für das Differential wählen, so dass es beim Öffnen mindestens 3 beträgt X. In diesem Fall erhält man mit einem geeigneten Multiplikator:

4) Zur Selbstkontrolle öffnen wir unser Differential noch einmal:

Schauen wir uns noch einmal den Zähler unseres Integrals an:

Es ist schon näher, aber wir haben nicht „diesen“ Begriff (+2), sondern einen anderen: (+3/2).

5) Zu unserem Differential

Wir weisen den Term zu, den wir ursprünglich im Integranden hatten:

.

– Subtrahieren ( in diesem Fall subtrahieren wir; manchmal müssen wir im Gegenteil addieren)

unser „falscher“ Begriff:

– Wir setzen beide Konstanten in Klammern und weisen rechts ein Differentialsymbol zu:

– Subtrahieren (in einigen Beispielen müssen Sie hinzufügen) Konstanten:

.

6) Wir prüfen:

Wir haben genau den Zähler des Integranden erhalten, was bedeutet, dass die Auswahl erfolgreich war.

Das endgültige Design der Lösung sieht in etwa so aus:

(1) Wir wählen den Zähler im Entwurf gemäß dem oben besprochenen Algorithmus aus. Wir prüfen unbedingt, ob die Auswahl richtig getroffen wurde. Mit etwas Erfahrung in der Lösung von Integralen fällt es Ihnen nicht schwer, die Auswahl im Kopf durchzuführen.

(2) Teilen Sie den Zähler Term für Term durch den Nenner. Bei der praktischen Problemlösung kann dieser Schritt entfallen

(3) Mithilfe der Eigenschaft der Linearität trennen wir die Integrale. Es empfiehlt sich, alle Konstanten außerhalb der Vorzeichen der Integrale zu verschieben.

(4) Das erste Integral ist eigentlich tabellarisch, wir verwenden die Formel (Konstante C wir werden später hinzufügen, wenn wir das zweite Integral nehmen). Im zweiten Integral wählen wir ein vollständiges Quadrat (wir haben diese Art von Integralen im vorherigen Absatz untersucht). Der Rest ist eine Frage der Technik.

Und für den Anfang ein paar Beispiele, die Sie selbst lösen können – eines ist einfacher, das andere komplexer.

Beispiel 15

Finden Sie das unbestimmte Integral

Beispiel 16

Finden Sie das unbestimmte Integral

Zur Lösung der Beispiele 15 und 16 ist ein Sonderfall der Integration einer Potenzfunktion hilfreich, der nicht in unserer Referenztabelle enthalten ist:

.

Beispiel 15: Lösung:

Beispiel 16: Lösung:

.

Also setzen wir unsere Bekanntschaft mit den grundlegenden Methoden der Integration fort. Das letzte Mal haben wir gelernt, wie man es benutzt und schaute mir die einfachsten der einfachsten Funktionen an. Jetzt ist es an der Zeit, weiterzumachen und unsere Fähigkeiten schrittweise zu erweitern.

Also, Methode, eine Funktion unter dem Differentialzeichen zu subsumieren – was ist ihr Wesen? Allgemein gesagt, diese Methode ist keine unabhängige Integrationsmethode. Dies ist eher ein Sonderfall einer allgemeineren und leistungsfähigeren Methode – Variablenersetzungsmethode. Oder Substitutionsmethode. Warum? Sondern weil der Prozess der Integration selbst durch die Subsumierung unter ein Differential immer noch mit der anschließenden Einführung einer neuen Variablen einhergeht. Das klingt im Moment unklar, aber mit Beispielen wird alles viel klarer.

Was wir im heutigen Material brauchen:

1) Die Regel zum Öffnen des Differentials einer beliebigen Funktion F(X). Es ist die Regel selbst. Wir brauchen hier keine strenge Definition dessen, was ein Differential ist. Und die Regel ist diese:

d(f(x)) = f ’(X)dx

Alles ist einfach, wie im Märchen: Wir berechnen die Ableitung der FunktionF'(X)und multipliziere es mit dx(Argumentdifferential).

2) Tabelle der Derivate. Ja Ja! Ich bin ernst. :) :)

3) Nun, das ist logisch. Da wir hier mit aller Kraft integrieren.) Dies ist das Thema der letzten beiden Lektionen.

4) Regel zur Differenzierung komplexer Funktionen.

Das ist eigentlich alles.

Wann wird diese Methode am häufigsten angewendet? Am häufigsten wird es in zwei typischen Situationen verwendet:

Fall 1 – Komplexe Funktion eines linearen Arguments

Die Integrandenfunktion hat die Form:

F(kx+ B)

Im Argument - lineares Designkx+ B. Oder mit anderen Worten, unter dem Integral gibt es eine komplexe Funktion des linearen Arguments kx+b.

Zum Beispiel:

Und ähnliche Funktionen. Integrale aus solchen Funktionen lassen sich sehr leicht auf tabellarische reduzieren und nach einigen erfolgreich gelösten Beispielen wörtlich im Gedächtnis behalten. Und wir werden entscheiden.)

Fall 2 – Komplexe Funktion aus einem beliebigen Argument

In diesem Fall ist die Integrandenfunktion das Produkt:

F(G(X))· G’(X)

Mit anderen Worten, unter dem Integral hängt das Produkt eines bestimmten komplexe FunktionF(G(X)) Und Ableitung seines internen Arguments G’(X) . Oder das Integral lässt sich leicht auf diese Form reduzieren. Dies ist ein komplizierterer Fall. Über ihn – im zweiten Teil der Lektion.

Um die Leute nicht mit langen Wartezeiten und Schimpfereien zu quälen, gehen wir gleich zu den Beispielen weiter Fall 1 . Wir werden die Funktionen integrieren, die ich oben beschrieben habe. In Ordnung.

Wie wendet man eine lineare Funktion auf ein Differential an?

Und schicken Sie sofort ein Beispiel ins Studio.)

Beispiel 1

Wir schauen in die Integraltabelle und finden eine ähnliche Formel (das ist die 4. Gruppe):

Alles wäre gut, aber... es gibt ein Problem. :) In der Tabelle der Integrale im Exponenten ex Kosten nur x. In unserem Indikator hängt 3x aus. Drei X. Es funktioniert nicht... Die tabellarische Formel eignet sich nicht für die direkte Anwendung: Die drei haben alles ruiniert. AssistenzprofessorIn! Ah, Assistenzprofessor! Was sollen wir tun? (Mit)

Um dieses Beispiel zu bewältigen, müssen wir dieses Integral an die Tabellenformel „anpassen“. Und jetzt werde ich im Detail zeigen, wie genau die Anpassung erfolgt. Gehen wir dazu zum Anfang des Abschnitts zurück und merken uns die allgemeinste Notation für das unbestimmte Integral. IN Gesamtansicht. Da ist sie:

Also. Der Trick besteht darin, dass diese allgemeinste Aufzeichnung des unbestimmten Integrals gültig ist nicht nur für Variable x, aber auch für jeden anderen Buchstaben – y, z, t oder sogar eine ganze Zahl komplexer Ausdruck. Welches wollen wir? Wichtig ist, dass eine einzige Voraussetzung beachtet wird: in Klammern die Integrandenfunktion f(...), die Stammfunktion F(...) und unter dem Differential d(…) stand identische Ausdrücke. An allen drei Orten! Es ist wichtig.

Zum Beispiel:

Und so weiter.) Egal welcher Buchstabe und welcher komplexe Ausdruck an diesen drei Stellen erscheint, die tabellarische Integrationsformel funktioniert immer noch! Und das ist nicht überraschend: Wir haben jedes Recht, jeden komplexen Ausdruck zu bezeichnen ein Brief. Und arbeiten Sie vollständig mit der gesamten Struktur, als ob es so wäre ein Brief. Und der Tabelle ist es egal, welcher Buchstabe da ist – x, y, zet, te... Für sie sind alle Buchstaben gleich.) Daher kann das Design selbst in allen Klammern absolut alles sein. Wenn nur Das gleiche.)

Daher für unsere spezifische tabellarische Formel ∫ e x dx = e x + C , wir können schreiben:

Jetzt lasst uns spekulieren. Damit wir das Recht haben, die Tabelle in unserem Beispiel zu verwenden, müssen wir sicherstellen, dass die folgende Konstruktion unter dem Integral gebildet wird:

Sowohl im Indikator als auch unter dem Differential sollte ein Ausdruck vorhanden sein 3x. Schauen wir uns nun noch einmal unser Beispiel an:

Mit dem Indikator ist alles wie es sein soll, wir haben 3x. Je nach den Bedingungen.) Aber unter dem Differential gibt es immer noch nur x. Störung! Wie können wir dx Tun d(3x)?

Um dieses hehre Ziel zu erreichen, müssen wir zwei Differentiale irgendwie verbinden – ein neues d(3x) und Alt dx. In diesem Fall ist es sehr einfach. Wenn Sie natürlich wissen, wie sich das Differential öffnet.)

Wir bekommen:

Großartig! Die Verbindung zwischen dem alten und dem neuen Differential wird also wie folgt aussehen:

Dx = d(3x)/3.

Was? Sie wissen nicht mehr, wie Sie das Differential öffnen? Dies ist eine Frage für das erste Semester. Auf dem Weg zur Differentialrechnung.)

Was können wir jetzt tun? Rechts! Anstelle des alten Differentials dx ersetzen wir in unserem Beispiel den neuen Ausdruck d(3x)/3. Die Drei im Nenner stellt für uns kein Hindernis mehr dar: Wir können es rausholen... raus. Für das Vorzeichen des Integrals.)

Was wir bekommen:

Das ist großartig. Im Indikator Aussteller und unter dem Differential Es entstand ein absolut identischer Ausdruck 3x. Und das ist genau das, was wir so sehr versucht haben.) Und jetzt können Sie mit dem Ausdruck 3x vollständig arbeiten, wie mit ein neuer Brief. Sei zum Beispiel t. Dann, nachdem wir den Ausdruck 3x durch t ersetzt haben, sieht unser Integral so aus:

Und das neue Integral über der Variablen t ist bereits ein Tabellenintegral, das wir wirklich brauchen! Und nun können Sie die tabellarische Formel mit gutem Gewissen verwenden und mit ruhiger Hand aufschreiben:

Aber zum Entspannen ist es noch zu früh. Das ist noch nicht die Antwort: Wir brauchen x, nicht t. Jetzt müssen Sie sich nur noch t = 3x merken und ausführen umgekehrter Ersatz. Und jetzt ist unsere Antwort komplett fertig! Da ist er:

So hat alles geklappt. Na, schauen wir es uns mal an? Was wäre, wenn sie irgendwo einen Fehler gemacht hätten? Differenzieren wir das Ergebnis:

Nein. Alles ist gut.)

Beispiel 2

In der Tabelle der Integralfunktionen cos(X+4) Da ist nicht. Es gibt einfach den Kosinus x. Aber! Wenn wir den Ausdruck x+4 irgendwie organisieren und unter dem Differential D ( X +4) , dann kommen wir zum Tabellenintegral:

∫ cos x dx = sin x + C

Also verbinden wir unser benötigtes neues Differential d(x+4) mit dem alten dx:

D(X+4) = (x+4)’·dx= 1·dx = dx

Wow, wie gut! Es stellt sich heraus, dass unser neues Differential d(x+4) dasselbe ist wie nur dx! Und ohne zusätzliche Koeffizienten. Totales Freebie!)

Ja, das ist richtig. Ersetzen Sie dx gerne durch d(x+4), arbeiten Sie mit der Klammer (x+4) als neuen Buchstaben und nutzen Sie die Tabelle guten Gewissens.

Diesmal schreibe ich die Lösung etwas kompakter:

Wir überprüfen das Ergebnis der Integration durch umgekehrte Differenzierung:

(sin(x+4)+C)' = (sin(x+4))' + C' = cos(x+4)∙(x+4)'+0 = cos(x+4)∙1 = cos(x+4)

Alles in Schokolade.)

Nun, ist es problematisch? Ich stimme zu, es ist mühsam. Schreiben Sie jedes Mal Differentiale auf, verbinden Sie sie miteinander, drücken Sie das alte Differential durch das neue aus ... Verzweifeln Sie nicht! Essen gute Nachrichten! Normalerweise tun sie das nicht. :) Ich habe die Lösung nur so ausführlich beschrieben, um die Essenz des Algorithmus zu verstehen. In der Praxis sind die Dinge viel einfacher. Schreiben wir noch einmal unsere Zusammenhänge zwischen den alten und neuen Differentialen aus beiden Beispielen auf:

Was können Sie aus diesen Aufnahmen erkennen? Zwei Sehr wichtige Fakten!

Erinnern:

1) Jeder numerische Koeffizient ungleich Null k (k≠0)kann zum Ausgleich unter der Differenz eingegeben werden, indem man das Ergebnis durch diesen Koeffizienten dividiert:

2) Jeder konstante Term Bkann ohne Konsequenzen unter dem Differential hinzugefügt werden:

Ich werde diese Tatsachen nicht unbedingt beweisen. Weil es einfach ist. Ich hoffe, aus den Beispielen geht alles klar.) Wenn Sie Strenge wollen, um Gottes willen. Vereinfachen Sie die rechten Seiten beider Gleichungen, indem Sie die Differentiale erweitern. Und hier und da bekommt man einfach dx. :) :)

Diese beiden Tatsachen lassen sich leicht zu einer, universelleren zusammenfassen.

Jedes lineare Design kx+b kann unter dem Differenzial hinzugefügt werden dxnach der Regel:

Dieses Verfahren heißt Subsumieren einer Funktion unter dem Differentialzeichen. In diesem Fall unter dem Differential zusammengefasst lineares Design kx+ B. Wir transformieren künstlich ein Differential, das für uns unbequem ist dx in einer bequemen D(kx+ B) .

Und warum brauchen wir so schreckliche Möglichkeiten – fragen Sie? Es besteht einfach keine Notwendigkeit dafür. Aber mit Hilfe eines solch geschickten Manövers werden sich viele nicht-tabellarische Integrale jetzt buchstäblich im Kopf festsetzen. Wie verrückt.)

Sehen!

Beispiel 3

Wir reduzieren dieses Beispiel auf ein tabellarisches Integral einer Potenzfunktion:

Dazu platzieren wir unsere lineare Struktur 2x+1 unter dem Differential, stehend unter dem Quadrat. Das heißt, statt dx schreiben wir d(2x+1). Also uns notwendig. Aber Mathematik das ist aus unserem Handeln notwendig Der Kern des Beispiels hat sich nicht geändert! Deshalb machen wir einen Kompromiss und multiplizieren gemäß unserer Regel zusätzlich die gesamte Struktur mit dem Faktor 1/2 (wir haben k = 2, also 1/k = 1/2).

So:

Und jetzt zählen wir:

Die Arbeit ist erledigt.) Aber hier haben einige Leser möglicherweise eine Frage. Eine sehr gute Frage übrigens!

Schließlich könnten wir den Ausdruck 2x + 1 nicht unter das Differential setzen, keine neue Variable einführen, sondern einfach die Klammern nehmen und dummerweise mit der Schulformel für das Quadrat der Summe quadrieren

(2x+1) 2 = 4x 2 +4x+1,

Integrieren Sie dann jeden Begriff Begriff für Begriff (im Kopf!). Ist das möglich? Sicherlich! Und warum nicht? Versuch es! Und vergleichen Sie die Ergebnisse. Dort wird es eine Überraschung für Sie geben! Einzelheiten finden Sie am Ende der Lektion. :) :)

Jetzt machen wir weiter. Die restlichen Beispiele schreibe ich ohne besondere Kommentare auf ... Wir bringen das lineare Argument kx+b unter das Differential und nehmen den resultierenden Koeffizienten 1/k außerhalb des Integralzeichens. Und wir arbeiten nach der Tabelle. Die endgültigen Antworten sind fett gedruckt.

Beispiel 4

Leicht!

Beispiel5

Kein Problem!

Und zum Schluss noch ein letztes Beispiel.

Beispiel 6

Und so einfach ist alles!

Und wie? Gefallen? Und jetzt können Sie solche Beispiele in Ihrem Kopf anklicken! Eine verlockende Möglichkeit, oder?) Darüber hinaus erscheinen solche Integrale selbst oft als separate Begriffe in komplizierteren Beispielen.

Übrigens besteht nach einer gewissen Erfahrung im Umgang mit der Stammfunktionstabelle im Laufe der Zeit keine Notwendigkeit mehr, eine neue Zwischenvariable t einzuführen. Als unnötig.

Zum Beispiel sehr bald, Sie werden es sofort tun in meinen Gedanken Sie werden auf solche Beispiele eine fertige Antwort geben:

Und sogar in einer Sitzung mit Monstern umgehen wie:

Und Sie versuchen, dieses Integral „frontal“ zu berechnen, indem Sie es mithilfe der Newtonschen Binomialformel auf die 1000. Potenz erhöhen! Sie müssen 1001 Terme Term für Term integrieren, ja ... Aber unter Verwendung der Subtraktion unter dem Differential – in einer Zeile!

So okay! Bei einer linearen Funktion ist alles sehr klar. Wie man es genau unter das Differential bringt, ist dasselbe. Und dann höre ich eine logische Frage: Aber kann nur eine lineare Funktion unter einem Differential subsumiert werden?

Natürlich nicht! Jede Funktion f(x) kann unter einem Differential subsumiert werden! Der eine der komfortabel in einem konkreten Beispiel. Und wie praktisch es ist - von konkretes Beispiel Kommt darauf an, ja... Es ist nur so, dass man am Beispiel einer linearen Funktion sehr einfach den Summiervorgang selbst demonstrieren kann. An den Fingern, wie man sagt.) Und jetzt nähern wir uns allmählich einem allgemeineren Thema Fall 2 .

Wie subsumiere ich eine beliebige Funktion unter einem Differential?

Wir werden über den Fall sprechen, wenn der Integrand die folgende Form hat:

F(G(X))· G’(X ) .

Oder was ist das Gleiche? Integrand hat die Form:

F(G(X))· G’(X)dx

Nichts Besonderes. Ich habe gerade dx hinzugefügt.)

Kurz gesagt, wir werden über Integrale der Form sprechen:

Haben Sie keine Angst vor all den Strichen und Klammern! Jetzt wird alles viel klarer.)

Was ist hier der Sinn? Vom ursprünglichen Integranden können wir unterscheiden komplexes Argument G(X ) Und seine Ableitung G’(X) . Aber nicht nur hervorheben, sondern in das Formular schreiben funktioniert eine komplexe Funktion F(G(X)) von diesem Argument bis zu seiner Ableitung G’(X) . Was durch den Eintrag ausgedrückt wird:

F(G(X))· G’(X)

Lassen Sie uns nun alles in Bezug auf das Differential umformulieren: Integrand Ausdruck kann als Produkt einer komplexen Funktion dargestellt werden F(G(X)) Und Differenzial seiner Argumentation G’(X) dx.

Und daher kann unser gesamter Integrand so geschrieben werden:

Wir sprechen Russisch eine Zwischenfunktion einführenG(X) unter dem Differentialzeichen . Es war dx, wurde aber zu d(g(x)). Und warum brauchen wir diese Metamorphosen? Und was wäre, wenn wir jetzt eine neue Variable einführen? t = g(x), dann wird unser Integral deutlich vereinfacht:

Und wenn das neue Integral durch neue Variable T plötzlich (!) entpuppt es sich als tabellarisch, dann ist alles in Schokolade. Lasst uns den Sieg feiern!)

„Viele Bücher“, ja. Aber mit Beispielen wird jetzt alles viel klarer. :) So, der zweite Teil des Stücks!

Beispiel7

Dies ist ein Klassiker des Genres. Unterhalb des Integrals steht ein Bruch. Sie können die Tabelle nicht direkt verwenden, Sie können nichts mit irgendwelchen Schulformeln umwandeln. Ja, nur wenn man es unter das Differential bringt, wird gespart. Dazu schreiben wir unseren Integranden als Produkt aus. Zumindest das hier:

Jetzt lass es uns herausfinden. Mit dem quadrierten Logarithmus ist alles klar. Es ist auch ein Logarithmus in Afrika... Was ist 1/x? Erinnern wir uns an unsere unvergessliche Derivatetabelle... Ja! Das Ableitung des Logarithmus!

Wir fügen jetzt stattdessen in die Integrandenfunktion ein 1/x Ausdruck (ln x) ’ :

Also haben wir die ursprüngliche Integrandenfunktion vorgestellt in der Form, die wir brauchen F(G(X))· G’(X) . Sie haben sie verwandelt das Produkt einer bestimmten Funktion des Logarithmus f(ln x) Und Ableitung desselben Logarithmus (ln x) ’ . Nämlich – in die Arbeit ln 2 x Und (ln x) ’.

Lassen Sie uns nun im Detail entschlüsseln, welche Aktionen sich hinter jedem Buchstaben verbergen.

Nun, mit der Funktion g(x) ist alles klar. Das ist der Logarithmus: g(x) = log x.

Was verbirgt sich unter dem Buchstaben f? Es dämmert nicht jedem sofort... Und unter dem Buchstaben f haben wir eine Aktion versteckt - quadrieren:

Das ist das gesamte Transkript.)

A der gesamte Integrand Sie können es jetzt folgendermaßen umschreiben:

Und welche Funktion haben wir in diesem Beispiel zum Differential hinzugefügt? In diesem Beispiel haben wir unter dem Differential hinzugefügt logarithmisch Funktion ln x!

Die Arbeit ist erledigt.) Um sicherzustellen, dass das Ergebnis korrekt ist, können (und sollten) Sie die Antwort immer differenzieren:

Hurra! Alles ok.)

Achten Sie nun darauf, wie genau wir die endgültige Antwort aller Beispiele in dieser Lektion unterscheiden. Haben Sie das Muster noch nicht erkannt? Ja! Wie komplexe Funktion! Es ist natürlich: Das Differenzieren einer komplexen Funktion und das Subsumieren der Funktion unter dem Differentialzeichen sind zwei zueinander inverse Handlungen. :) :)

Dies war ein ziemlich einfaches Beispiel. Um herauszufinden, was was ist. Jetzt ist das Beispiel eindrucksvoller.)

Beispiel 8

Auch hier wird nichts direkt entschieden. Versuchen wir es mit der Methode, es unter dem Differential zu platzieren und dann auszutauschen. Die Frage ist: Was werden wir hinzufügen und ersetzen? Hier liegt nun ein Problem vor.)

Wir müssen die Integrandenfunktion ausprobieren x cos(x 2 +1) irgendwie in Form eines Werkes präsentieren Funktionen von etwas an Derivat das ist genau das:

Nun ja, wir haben sowieso die Arbeit bereits es gibt x und Kosinus.) Mein Instinkt sagt mir, dass die Funktion g(x), die wir unter dem Differential subsumieren werden, der Ausdruck sein wird x 2 +1, der innerhalb des Kosinus liegt. Es schreit einfach danach:

Alles ist klar. Interne Funktion g istx 2 +1,und das äußere f ist ein Kosinus.

Bußgeld. Lassen Sie uns nun prüfen, ob der verbleibende Multiplikator irgendwie damit zusammenhängt X Mit Ableitung des Ausdrucks x 2 +1, den wir als Kandidaten für die Fertigstellung des Differentials ausgewählt haben.

Lassen Sie uns unterscheiden:

Ja! Es gibt einen Zusammenhang! Wenn 2x = (x 2 +1)’, dann können wir für ein einzelnes X schreiben:

Oder in Form von Differentialen:

Alle. Außer x 2 +1 haben wir an keiner anderen Stelle im Beispiel weitere Ausdrücke mit x. Weder im Integranden noch im Differentialvorzeichen. Das ist es, was wir wollten.

Unter Berücksichtigung dieser Tatsache schreiben wir nun unser Beispiel um und ersetzen den Ausdruck x 2 +1 mit neuem Brief und - weiter! Stimmt, das ist ... Der 1/2-Koeffizient kam immer noch heraus ... Es spielt keine Rolle, wir kriegen es raus, raus! :) :)

Das ist alles. Wie wir sehen, wurde im vorherigen Beispiel eine logarithmische Funktion unter dem Differential eingeführt, und hier - quadratisch

Betrachten wir nun ein exotischeres Beispiel.

Beispiel 9

Es sieht schrecklich aus! Allerdings ist es noch zu früh, um zu trauern. Es ist Zeit, sich an unsere geliebte Derivatetabelle zu erinnern.) Und etwas genauer: Arkussinus-Ableitung.

Da ist sie:

Wenn wir dann genau diesen Arkussinus unter das Differential setzen, dann wird dieses böse Beispiel in einer Zeile gelöst:

Und das ist es!

Lassen Sie uns nun anhand dieses Beispiels unseren gesamten faszinierenden Prozess der Subsumierung der Arkussinusfunktion unter dem Differential analysieren. Was mussten wir tun, um diese Aufgabe erfolgreich zu bewältigen? Wir mussten identifizieren im Ausdruck

Ableitung eines anderen Ausdrucks – Arkussinus! Mit anderen Worten, zuerst abrufen(gemäß der Ableitungstabelle) das

Und dann arbeiten von rechts nach links. So:

Aber das ist komplizierter als eine einfache Differenzierung, da müssen Sie zustimmen! Genau das Gleiche wie zum Beispiel beim Extrahieren Quadratwurzel schwieriger als Quadrieren.) Wir müssen abholen die gewünschte Funktion. Gemäß der Tabelle der Derivate.

Daher müssen wir bei der Integration neben der direkten Differenzierung auch ständig die umgekehrte Operation ausführen – das Erkennen in Funktionen Ableitungen anderer Funktionen. Hier gibt es keinen klaren Algorithmus. Hier gelten die Übungsregeln.) Es gibt nur ein Rezept - Beispiele lösen! So viel wie möglich. Lösen Sie mindestens 20-30 Beispiele – und Sie werden solche Ersetzungen bemerken und diese schnell und einfach durchführen. Automatisch würde ich sogar sagen. Und auf jeden Fall notwendig Kennen Sie die Ableitungstabelle! Auswendig.)

Ich werde nicht einmal faul sein und die beliebtesten Designs in einem separaten zusammenfassen. Differentialtabelle.

Diese kleine Übersichtstabelle reicht bereits völlig aus, um die meisten Beispiele erfolgreich zu behandeln, die mit der Methode der Subsumierung einer Funktion unter dem Differentialzeichen gelöst wurden! Es macht Sinn, es herauszufinden. :) :)

Ich werde separat sagen, dass die Konstruktion dx/x und das entsprechende Tabellenintegral ln|x| – einer der beliebtesten in der Integration!

Diese tabellarische Formel mit Logarithmus wird reduziert auf Alle Integrale von Brüchen, dessen Zähler die Ableitung des Nenners ist. Überzeugen Sie sich selbst:

Nach dieser Regel ist dies beispielsweise auch ohne Ersatz möglich in einer Zeile Integrieren Sie beispielsweise die Tangente. Hat hier mal jemand nach der Tangente gefragt? Bitte!

Und selbst solche Giganten sind auch in einer Linie integriert!

Es ist lustig, nicht wahr? :) :)

Vielleicht haben die Scharfäugigen eine Frage, warum im ersten Fall drei Fälle Ich habe ein Modul unter dem Logarithmus geschrieben, aber im letzten Fall habe ich es nicht geschrieben?

Antwort: Ausdruck e x +1, im letzten Beispiel unter dem Logarithmus stehend, positiv für jedes reelle x. Daher der Logarithmus des Ausdruckse x +1ist immer definiert, und in diesem Fall können anstelle eines Moduls reguläre Klammern verwendet werden. :) :)

Warum steht im Tabellenintegral ein Modul unter dem Logarithmus? Schließlich hat der Logarithmus in der Ableitungstabelle keinen Modul, und beim Differenzieren schreiben wir ruhig:

(ln x)‘ = 1/x

Und wenn wir die Funktion 1/x integrieren, schreiben wir aus irgendeinem Grund auch ein Modul ...

Ich werde diese Frage später beantworten. In den Lektionen gewidmet bestimmtes Integral. Dieses Modul ist verknüpft mit Definitionsbereich der Stammfunktion.

Hinweis: In Wahrheit führen wir, wie Zauberer in einem Zirkus, einfach eine Reihe von Manipulationen mit Funktionen durch und wandeln sie entsprechend einem bestimmten Zeichen ineinander um. :) Und im Moment kümmern wir uns überhaupt nicht um den Bereich der Definition. Und um ehrlich zu sein: vergebens. Schließlich arbeiten wir noch mit Funktionen! Und der Definitionsbereich ist übrigens der wichtigste Teil jeder Funktion! :) Einschließlich der Funktionen, mit denen wir hier arbeiten – dem Integranden f(x) und Stammfunktion F(x). Wir werden uns also später an den Definitionsbereich erinnern. In einer besonderen Lektion.) Geduld, Freunde!

Also haben wir uns typische Beispiele für Integrale angesehen, die durch Subsumieren einer Funktion unter dem Differentialzeichen gelöst werden. Ist das schwierig? Zuerst – ja. Aber nach etwas Training und der Entwicklung Ihrer Fähigkeiten werden Ihnen solche Integrale als die einfachsten erscheinen!

Und jetzt – die versprochene Überraschung! :) :)

Gehen wir zurück zu Beispiel Nr. 3. So, um den Ausdruck zusammenzufassen 2x+1 Unter dem Differential erhielten wir diese Antwort:

Das ist die richtige Antwort. Differenzieren Sie auf dem Papier als komplexe Funktion und überzeugen Sie sich selbst. :) :)

Schauen wir uns nun eine andere Möglichkeit an, dasselbe Beispiel zu lösen. Wir werden nichts unter das Differential legen, sondern einfach dummerweise das Quadrat der Summe erweitern und jeden Term Term für Term integrieren. Wir haben jedes Recht!

Wir bekommen:

Und das auch die richtige Antwort!

Frage: Sind die erste und die zweite Antwort auf dasselbe Integral gleich oder unterschiedlich?

Schließlich erhalten logischerweise zwei Antworten auf dasselbe Beispiel verschiedene Wege, sollte passen, oder? Jetzt werden wir es herausfinden! Lassen Sie uns das erste Ergebnis durch Erweitern transformieren Würfel der Summe nach der abgekürzten Multiplikationsformel (A+ B) 3 = A 3 +3 A 2 B+3 ab 2 + B 3 .

Was wir bekommen:

Vergleichen wir nun beide Ergebnisse:

Und... hier stimmt etwas nicht! Woher kommt der „zusätzliche“ Bruch 1/6 im ersten Ergebnis? Es stellt sich heraus, dass wir für dasselbe Integral erhalten zwei unterschiedliche Antworten!

Paradox? Mystiker?

Ruhig! Die Lösung des Rätsels liegt darin. Erinnern wir uns an die allererste Lektion zum Thema Integration. :) Aus irgendeinem Grund gibt es dort einen sehr wichtigen Satz: zwei Stammfunktionen derselben FunktionF 1 ( X ) UndF 2 ( X ) unterscheiden sich durch eine Konstante voneinander.

Schauen wir uns nun unsere Ergebnisse genauer an. Und... wir sehen, dass dies in unserem Fall der Fall ist: Die auf zwei verschiedenen Wegen erhaltenen Antworten unterscheiden sich um eine Konstante. Um ein Sechstel. :) :)

F 1 (x) – F 2 (x) = 1/6

Das ist das ganze Geheimnis. Es gibt also keinen Widerspruch. :) :)

Und im Allgemeinen können Sie bis zu drei nehmen verschiedene Wege! Glauben Sie mir nicht? Überzeugen Sie sich selbst! :) :)

Methode Nr. 1 . Wir gehen nicht auf den Sinus des Doppelwinkels ein, sondern fassen das Argument einfach zusammen 2x unter dem Differential (wie wir es tatsächlich bereits während des Analyseprozesses getan haben):

Methode Nr. 2 . Wir öffnen den Sinus des Doppelwinkels und bringen ihn unter das Differential Sünde x:

Methode Nr. 3 . Wir öffnen wieder den Sinus des Doppelwinkels, bringen ihn aber unter das Differential cos x:

Lassen Sie uns nun alle drei Antworten differenzieren und weiter wundern:

Wunder, und das ist alles! Es gab drei verschiedene Antworten! Und dieses Mal sehen sie sich nicht einmal ähnlich. Und die Ableitung ist dieselbe! :) Handelt es sich wirklich wieder um eine Integralkonstante und jede der drei Funktionen unterscheidet sich durch eine Konstante von der anderen? Ja! Seltsamerweise ist das aber genau so.) Und Sie erkunden diese drei Funktionen selbst! Denken Sie nicht, dass es harte Arbeit ist. :) Konvertieren Sie jede Funktion in ein Typ - entweder um zu Sünde 2 x, entweder um zu Weil 2 x. Und mögen sie Ihnen helfen Schulformeln Trigonometrie! :) :)

Warum habe ich mir diese Überraschungen angeschaut und überhaupt mit diesem Smalltalk über die Integralkonstante angefangen?

Hier ist das Ding.Wie Sie sehen, kann sich bereits ein kleiner Unterschied in der Integralkonstante im Prinzip stark ändern Aussehen Antwort, ja... Aber der Trick ist, dass diese Antwort hört nie auf, richtig zu sein! Und wenn Sie plötzlich die Antwort in der Sammlung von Problemen sehen, nicht passend Bei Ihnen ist es zu früh, sich aufzuregen. Denn diese Tatsache bedeutet keineswegs, dass Ihre Antwort falsch ist! Möglicherweise sind Sie einfach anders auf die Antwort gekommen, als der Autor des Beispiels beabsichtigt hatte. Das passiert.) Und die zuverlässigste Prüfung, basierend auf. Welche? Rechts! Differenzierung der endgültigen Antwort! Wir haben die Integrandenfunktion – das bedeutet, dass alles in Ordnung ist.

Nun, jetzt spüren wir es, Wie wichtig ist das dx-Symbol unter dem Integral? In vielen Beispielen ist er der Einzige, der spart, ja. Mächtiges Ding! Also lasst es uns jetzt nicht vernachlässigen! :) :)

Jetzt lasst uns trainieren! Da das Thema nicht das einfachste ist, wird es dieses Mal mehr Beispiele für das Training geben.

Finden Sie unbestimmte Integrale, indem Sie eine Funktion unter dem Differentialzeichen subsumieren:

Diesmal werde ich keine Antworten geben. Es wird nicht interessant sein. :) Seien Sie nicht faul, das Ergebnis zu differenzieren! Wir haben die Integrandenfunktion - OK. Nein – suchen Sie nach der Stelle, an der Sie Fehler gemacht haben. Alle Beispiele sind sehr einfach und können in einer (maximal zwei) Zeile gelöst werden. Für diejenigen, die dringend Antworten benötigen: Alle Beispiele stammen aus der Sammlung mathematischer Analyseprobleme von G.N. Bermann. Laden Sie es herunter, suchen Sie nach Ihrem Beispiel und probieren Sie es aus. :) Viel Glück!

Lassen Sie uns zunächst ein wenig über die Formulierung des Problems in allgemeiner Form sprechen und dann zu Beispielen für die Integration durch Substitution übergehen. Nehmen wir an, wir haben ein bestimmtes Integral $\int g(x) \; dx$. Allerdings enthält die Integraltabelle nicht die erforderliche Formel und es ist nicht möglich, ein gegebenes Integral in mehrere tabellarische Integrale aufzuteilen (d. h. die direkte Integration entfällt). Das Problem wird jedoch gelöst, wenn es uns gelingt, eine bestimmte Substitution $u=\varphi(x)$ zu finden, die unser Integral $\int g(x) \; dx$ zu einem Tabellenintegral $\int f(u) \; du=F(u)+C$. Nach Anwendung der Formel $\int f(u)\; du=F(u)+C$ alles, was wir tun müssen, ist die Variable $x$ zurückzugeben. Formal lässt sich das so schreiben:

$$\int g(x)\; dx=|u=\varphi(x)|=\int f(u) \; du=F(u)+C=F(\varphi(x))+C.$$

Das Problem besteht darin, wie man eine solche Substitution $u$ wählt. Dazu benötigen Sie zum einen Kenntnisse über die Ableitungstabelle und die Fähigkeit, diese zur Differenzierung komplexer Funktionen zu nutzen, und zum anderen die Tabelle der unbestimmten Integrale. Darüber hinaus werden wir dringend eine Formel benötigen, die ich unten aufschreiben werde. Wenn $y=f(x)$, dann:

\begin(Gleichung)dy=y"dx\end(Gleichung)

Diese. Das Differential einer Funktion ist gleich der Ableitung dieser Funktion multipliziert mit dem Differential der unabhängigen Variablen. Diese Regel ist sehr wichtig und ermöglicht Ihnen die Verwendung der Substitutionsmethode. Hier geben wir einige Sonderfälle an, die sich aus Formel (1) ergeben. Sei $y=x+C$, wobei $C$ eine bestimmte Konstante ist (einfach ausgedrückt eine Zahl). Wenn wir dann den Ausdruck $x+C$ anstelle von $y$ in Formel (1) einsetzen, erhalten wir Folgendes:

$$ d(x+C)=(x+C)" dx $$

Da $(x+C)"=x"+C"=1+0=1$ ist, lautet die obige Formel:

$$ d(x+C)=(x+C)" dx=1\cdot dx=dx.$$

Schreiben wir das erhaltene Ergebnis separat auf, d.h.

\begin(Gleichung)dx=d(x+C)\end(Gleichung)

Die resultierende Formel bedeutet, dass das Hinzufügen einer Konstante unter dem Differential dieses Differential nicht ändert, d. h. $dx=d(x+10)$, $dx=d(x-587)$ und so weiter.

Betrachten wir einen weiteren Sonderfall für Formel (1). Sei $y=Cx$, wobei $C$ wiederum eine Konstante ist. Finden wir das Differential dieser Funktion, indem wir den Ausdruck $Cx$ anstelle von $y$ in Formel (1) einsetzen:

$$ d(Cx)=(Cx)"dx $$

Da $(Cx)"=C\cdot (x)"=C\cdot 1=C$, dann wird die obige Formel $d(Cx)=(Cx)"dx$ zu: $d(Cx)=Cdx $ . Wenn wir beide Seiten dieser Formel durch $C$ dividieren (unter der Annahme, dass $C\neq 0$ ist), erhalten wir $\frac(d(Cx))(C)=dx$. Dieses Ergebnis kann etwas anders umgeschrieben werden bilden:

\begin(Gleichung)dx=\frac(1)(C)\cdot d(Cx)\;\;\;(C\neq 0)\end(Gleichung)

Die resultierende Formel legt nahe, dass die Multiplikation des Ausdrucks unter dem Differential mit einer Konstante ungleich Null die Einführung eines entsprechenden Multiplikators erfordert, der diese Multiplikation kompensiert. Zum Beispiel: $dx=\frac(1)(5) d(5x)$, $dx=-\frac(1)(19) d(-19x)$.

In den Beispielen Nr. 1 und Nr. 2 werden die Formeln (2) und (3) im Detail betrachtet.

Eine Anmerkung zu Formeln

In diesem Thema werden sowohl die Formeln 1-3 als auch Formeln aus der Tabelle der unbestimmten Integrale verwendet, die auch ihre eigenen Zahlen haben. Um Verwirrung zu vermeiden, vereinbaren wir Folgendes: Wenn im Thema der Text „Verwenden Sie Formel Nr. 1“ vorkommt, bedeutet dies wörtlich Folgendes: „Verwenden Sie Formel Nr. 1, befindet sich auf dieser Seite". Wenn wir eine Formel aus der Integraltabelle benötigen, geben wir diese jedes Mal separat an. Zum Beispiel so: „Wir verwenden Formel Nr. 1 aus der Integraltabelle.“

Und noch eine kleine Anmerkung

Bevor Sie mit der Arbeit mit Beispielen beginnen, wird empfohlen, sich mit dem Material vertraut zu machen, das in früheren Themen zum Konzept eines unbestimmten Integrals und vorgestellt wurde. Die Präsentation des Materials in diesem Thema basiert auf den Informationen, die in den genannten Themen bereitgestellt werden.

Beispiel Nr. 1

Finden Sie $\int \frac(dx)(x+4)$.

Wenn wir uns zuwenden, können wir keine Formel finden, die genau dem Integral $\int \frac(dx)(x+4)$ entspricht. Formel Nr. 2 der Integraltabelle kommt diesem Integral am nächsten, d.h. $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$. Das Problem ist folgendes: Die Formel $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$ geht davon aus, dass im Integral $\int \frac(du)(u)$ die Ausdrücke im Nenner und unter dem Differential müssen gleich sein (beide haben den gleichen Buchstaben $u$). In unserem Fall steht in $\int \frac(dx)(x+4)$ der Buchstabe $x$ unter dem Differential und der Ausdruck $x+4$ im Nenner, d.h. Es besteht eine deutliche Diskrepanz zur tabellarischen Formel. Versuchen wir, unser Integral an das tabellarische zu „passen“. Was passiert, wenn wir das Differential durch $x+4$ anstelle von $x$ ersetzen? Um diese Frage zu beantworten, verwenden wir , indem wir den Ausdruck $x+4$ anstelle von $y$ ersetzen:

$$ d(x+4)=(x+4)"dx $$

Da $(x+4)"=x"+(4)"=1+0=1$, dann wird die Gleichheit $ d(x+4)=(x+4)"dx $ zu:

$$ d(x+4)=1\cdot dx=dx $$

Also $dx=d(x+4)$. Um ehrlich zu sein, hätte man das gleiche Ergebnis erzielen können, wenn man einfach die Zahl $4$ anstelle der Konstante $C$ eingesetzt hätte. In Zukunft werden wir dies tun, aber zum ersten Mal haben wir das Verfahren zum Erhalten der Gleichheit $dx=d(x+4)$ im Detail untersucht. Aber was bringt uns die Gleichheit $dx=d(x+4)$?

Und es gibt uns die folgende Schlussfolgerung: Wenn $dx=d(x+4)$, dann können wir im Integral $\int \frac(dx)(x+4)$ anstelle von $dx$ $d(x) ersetzen +4)$ , und das Integral ändert sich dadurch nicht:

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)$$

Wir haben diese Transformation nur durchgeführt, damit das resultierende Integral vollständig der Tabellenformel $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$ entspricht. Um diese Entsprechung vollständig zu verdeutlichen, ersetzen wir den Ausdruck $x+4$ durch den Buchstaben $u$ (d. h. wir machen Auswechslung$u=x+4$):

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)=|u=x+4|=\int \frac(du)(u )=\ln|u|+C.$$

Tatsächlich ist das Problem bereits gelöst. Es bleibt nur noch die Variable $x$ zurückzugeben. Unter Berücksichtigung von $u=x+4$ erhalten wir: $\ln|u|+C=\ln|x+4|+C$. Komplette Lösung Ohne Erklärung sieht es so aus:

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)=|u=x+4|=\int \frac(du)(u )=\ln|u|+C=\ln|x+4|+C.$$

Antwort: $\int \frac(dx)(x+4)=\ln|x+4|+C$.

Beispiel Nr. 2

Finden Sie $\int e^(3x) dx$.

Wenn wir uns der Tabelle der unbestimmten Integrale zuwenden, können wir keine Formel finden, die genau dem Integral $\int e^(3x) dx$ entspricht. Formel Nr. 4 aus der Integraltabelle kommt diesem Integral am nächsten, d.h. $\int e^u du=e^u+C$. Das Problem ist folgendes: Die Formel $\int e^u du=e^u+C$ geht davon aus, dass im Integral $\int e^u du$ die Ausdrücke in den Potenzen von $e$ und unter dem Differential sein müssen gleich (bei beiden gibt es einen Buchstaben $u$). In unserem Fall steht in $\int e^(3x) dx$ unter dem Differential der Buchstabe $x$ und in der Potenz von $e$ der Ausdruck $3x$, d.h. Es besteht eine deutliche Diskrepanz zur tabellarischen Formel. Versuchen wir, unser Integral an das tabellarische zu „passen“. Was passiert, wenn Sie die Differenz durch $3x$ anstelle von $x$ ersetzen? Um diese Frage zu beantworten, verwenden wir , indem wir den Ausdruck $3x$ anstelle von $y$ ersetzen:

$$ d(3x)=(3x)"dx $$

Da $(3x)"=3\cdot (x)"=3\cdot 1=3$, dann wird die Gleichheit $d(3x)=(3x)"dx$ zu:

$$ d(3x)=3dx $$

Wenn wir beide Seiten der resultierenden Gleichheit durch $3$ dividieren, erhalten wir: $\frac(d(3x))(3)=dx$, d.h. $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$. Tatsächlich könnte die Gleichheit $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ erhalten werden, indem man einfach die Zahl $3$ anstelle der Konstante $C$ einsetzt. In Zukunft werden wir dies tun, aber zum ersten Mal haben wir das Verfahren zum Erhalten der Gleichheit $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ im Detail untersucht.

Was hat uns die resultierende Gleichheit $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ gebracht? Das bedeutet, dass anstelle von $dx$ $\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ in das Integral $\int e^(3x) dx$ eingesetzt werden kann und sich das Integral nicht ändert:

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x) $$

Nehmen wir die Konstante $\frac(1)(3)$ aus dem Integralzeichen und ersetzen wir den Ausdruck $3x$ durch den Buchstaben $u$ (d. h. wir machen Auswechslung$u=3x$), danach wenden wir die tabellarische Formel $\int e^u du=e^u+C$ an:

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x)=\frac(1)(3)\cdot \int e^(3x) d(3x)=|u=3x|=\frac(1)(3)\cdot\int e^u du=\frac(1)(3)\cdot e^u+C.$$

Wie im vorherigen Beispiel müssen wir die ursprüngliche Variable $x$ zurückgeben. Da $u=3x$, dann $\frac(1)(3)\cdot e^u+C=\frac(1)(3)\cdot e^(3x)+C$. Die komplette Lösung ohne Kommentare sieht so aus:

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x)=\frac(1)(3)\cdot \int e^(3x) d(3x)=|u=3x|=\frac(1)(3)\cdot\int e^u du=\frac(1)(3)\cdot e^u+C=\frac(1)( 3)\cdot e^(3x)+C.$$

Antwort: $ \int e^(3x) dx= \frac(1)(3)\cdot e^(3x)+C$.

Beispiel Nr. 3

Finden Sie $\int (3x+2)^2 dx$.

Um dieses Integral zu finden, verwenden wir zwei Methoden. Die erste Möglichkeit besteht darin, die Klammern zu öffnen und direkt zu integrieren. Die zweite Methode besteht darin, die Substitutionsmethode zu verwenden.

Erster Weg

Da $(3x+2)^2=9x^2+12x+4$, dann $\int (3x+2)^2 dx=\int (9x^2+12x+4)dx$. Wenn wir das Integral $\int (9x^2+12x+4)dx$ als Summe von drei Integralen darstellen und die Konstanten aus den Vorzeichen der entsprechenden Integrale herausnehmen, erhalten wir:

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\ cdot \int 1 dx $$

Um $\int x^2 dx$ zu finden, setzen wir $u=x$ und $\alpha=2$ in Formel Nr. 1 der Integraltabelle ein: $\int x^2 dx=\frac(x^(2 +1))( 2+1)+C=\frac(x^3)(3)+C$. Wenn wir in ähnlicher Weise $u=x$ und $\alpha=1$ in dieselbe Formel aus der Tabelle einsetzen, erhalten wir: $\int x^1 dx=\frac(x^(1+1))(1+1 )+ C=\frac(x^2)(2)+C$. Da $\int 1 dx=x+C$, dann:

$$ 9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\cdot \int 1 dx=9\cdot\frac(x^3)(3)+12\cdot \frac(x^ 2)(2)+4\cdot x+C=3x^3+6x^2+4x+C. $$

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\ cdot \int 1 dx=\\ =9\cdot\frac(x^3)(3)+12\cdot \frac(x^2)(2)+4\cdot x+C=3x^3+6x^ 2+4x+C. $$

Zweiter Weg

Wir werden die Klammern nicht öffnen. Versuchen wir, den Ausdruck $3x+2$ unter dem Differential anstelle von $x$ erscheinen zu lassen. Dadurch können Sie eine neue Variable eingeben und die Tabellenformel anwenden. Wir benötigen den Faktor $3$, der unter dem Differential erscheint. Wenn wir also $C=3$ in den Wert einsetzen, erhalten wir $d(x)=\frac(1)(3)d(3x)$. Außerdem fehlt unter dem Differential der Term $2$. Durch Addition einer Konstanten unter dem Vorzeichen des Differentials ändert sich dieses Differential nicht, d.h. $\frac(1)(3)d(3x)=\frac(1)(3)d(3x+2)$. Aus den Bedingungen $d(x)=\frac(1)(3)d(3x)$ und $\frac(1)(3)d(3x)=\frac(1)(3)d(3x+2 ) $ wir haben: $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$.

Ich möchte darauf hinweisen, dass die Gleichung $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$ auch auf andere Weise erhalten werden kann:

$$ d(3x+2)=(3x+2)"dx=((3x)"+(2)")dx=(3\cdot x"+0)dx=3\cdot 1 dx=3dx;\ \dx=\frac(1)(3)d(3x+2). $$

Wir verwenden die resultierende Gleichung $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$ und ersetzen den Ausdruck $\frac(1)(3)d(3x) in das Integral $\int (3x+2). )^2 dx$ +2)$ statt $dx$. Nehmen wir die Konstante $\frac(1)(3)$ als Vorzeichen des resultierenden Integrals:

$$ \int (3x+2)^2 dx=\int (3x+2)^2 \cdot \frac(1)(3)d(3x+2)=\frac(1)(3)\cdot \ int (3x+2)^2 d(3x+2). $$

Die weitere Lösung besteht darin, die Substitution $u=3x+2$ durchzuführen und Formel Nr. 1 aus der Integraltabelle anzuwenden:

$$ \frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\frac(1)(3)\cdot \int u^ 2 du=\frac(1)(3)\cdot \frac(u^(2+1))(2+1)+C=\frac(u^3)(9)+C. $$

Wenn wir den Ausdruck $3x+2$ anstelle von $u$ zurückgeben, erhalten wir:

$$ \frac(u^3)(9)+C=\frac((3x+2)^3)(9)+C. $$

Die vollständige Lösung ohne Erklärung lautet:

$$ \int (3x+2)^2 dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\\ = \frac(1)(3)\cdot \int u^2 du=\frac(u^3)(9)+C=\frac((3x+2)^3)(9)+C. $$

Ich sehe ein paar Fragen voraus, also werde ich versuchen, sie zu formulieren und Antworten zu geben.

Frage Nr. 1

Hier stimmt etwas nicht. Als wir auf die erste Art und Weise gelöst haben, erhielten wir $\int (9x^2+12x+4)dx=3x^3+6x^2+4x+C$. Beim Lösen des zweiten Weges lautete die Antwort: $\int (3x+2)^2 dx=\frac((3x+2)^3)(9)+C$. Es ist jedoch nicht möglich, von der zweiten Antwort zur ersten zu gelangen! Wenn wir die Klammern öffnen, erhalten wir Folgendes:

$$ \frac((3x+2)^3)(9)+C=\frac(27x^3+54x^2+36x+8)(9)+C=\frac(27x^3)(9) +\frac(54x^2)(9)+\frac(36x)(9)+\frac(8)(9)+C=3x^3+6x^2+4x+\frac(8)(9)+ C. $$

Die Antworten stimmen nicht überein! Woher kommt der zusätzliche Bruch $\frac(8)(9)$?

Diese Frage legt nahe, dass Sie sich auf frühere Themen beziehen sollten. Lesen Sie das Thema über das Konzept eines unbestimmten Integrals (achten Sie darauf). Besondere Aufmerksamkeit Frage Nr. 2 am Ende der Seite) und direkte Integration (es lohnt sich, auf Frage Nr. 4 zu achten). In diesen Themen wird dieses Problem ausführlich behandelt. Kurz gesagt, die Integralkonstante $C$ kann dargestellt werden in verschiedene Formen. Wenn wir in unserem Fall beispielsweise $C_1=C+\frac(8)(9)$ umbenennen, erhalten wir:

$$ 3x^3+6x^2+4x+\frac(8)(9)+C=3x^3+6x^2+4x+C_1. $$

Daher gibt es keinen Widerspruch; die Antwort kann entweder in der Form $3x^3+6x^2+4x+C$ oder in der Form $\frac((3x+2)^3)(9)+ geschrieben werden C$.

Frage Nr. 2

Warum war es notwendig, auf die zweite Art zu entscheiden? Das ist eine unnötige Komplikation! Warum einen Haufen unnötiger Formeln verwenden, um eine Antwort zu finden, die man mit der ersten Methode in wenigen Schritten erhält? Dazu mussten lediglich die Klammern mit der Schulformel geöffnet werden.

Zunächst einmal ist das keine große Komplikation. Wenn Sie die Substitutionsmethode verstanden haben, werden Sie beginnen, ähnliche Beispiele in einer Zeile zu lösen: $\int (3x+2)^2 dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d ( 3x+2)=\frac((3x+2)^3)(9)+C$. Betrachten wir dieses Beispiel jedoch anders. Stellen Sie sich vor, Sie müssen nicht $\int (3x+2)^2 dx$, sondern $\int (3x+2)^(200) dx$ berechnen. Beim zweiten Lösungsweg müssen Sie nur noch die Grade leicht anpassen und schon ist die Antwort fertig:

$$ \int (3x+2)^(200) dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^(200) d(3x+2)=|u=3x+2| =\\ =\frac(1)(3)\cdot \int u^(200) du=\frac(u^(201))(603)+C=\frac((3x+2)^(201) )(603)+C. $$

Stellen Sie sich nun vor, dass das gleiche Integral $\int (3x+2)^(200) dx$ auf die erste Weise genommen werden muss. Zuerst müssen Sie die Klammer $(3x+2)^(200)$ öffnen, um so eine Summe von zweihundertein Termen zu erhalten! Und dann muss auch jeder Begriff integriert werden. Daher lautet die Schlussfolgerung hier: Für große Leistungen ist die direkte Integrationsmethode nicht geeignet. Die zweite Methode ist trotz ihrer scheinbaren Komplexität praktischer.

Beispiel Nr. 4

Finden Sie $\int \sin2x dx$.

Wir werden dieses Beispiel auf drei verschiedene Arten lösen.

Erster Weg

Schauen wir uns die Tabelle der Integrale an. Formel Nr. 5 aus dieser Tabelle kommt unserem Beispiel am nächsten, d.h. $\int \sin u du=-\cos u+C$. Um das Integral $\int \sin2x dx$ in die Form $\int \sin u du$ anzupassen, verwenden wir , indem wir den Faktor $2$ unter dem Differentialzeichen einführen. Tatsächlich haben wir dies bereits in Beispiel Nr. 2 getan, sodass wir auf detaillierte Kommentare verzichten können:

$$ \int \sin 2x dx=\left|dx=\frac(1)(2)\cdot d(2x) \right|=\int \sin 2x \cdot\frac(1)(2)d(2x )=\\ =\frac(1)(2) \int \sin 2x d(2x)=|u=2x|=\frac(1)(2) \int \sin u du=-\frac(1) (2)\cos u+C=-\frac(1)(2)\cos 2x+C. $$

Antwort: $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2)\cos 2x+C$.

Zweiter Weg

Um die zweite Methode zu lösen, wenden wir eine einfache trigonometrische Formel an: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Ersetzen wir den Ausdruck $2 \sin x \cos x$ anstelle von $\sin 2x$ und nehmen die Konstante $2$ aus dem Integralzeichen:

Was ist der Zweck einer solchen Transformation? Es gibt kein Integral $\int \sin x\cos x dx$ in der Tabelle, aber wir können $\int \sin x\cos x dx$ ein wenig transformieren, sodass es eher wie in der Tabelle aussieht. Dazu suchen wir $d(\cos x)$ mithilfe von . Ersetzen wir $\cos x$ anstelle von $y$ in der genannten Formel:

$$ d(\cos x)=(\cos x)"dx=-\sin x dx. $$

Da $d(\cos x)=-\sin x dx$, dann ist $\sin x dx=-d(\cos x)$. Da $\sin x dx=-d(\cos x)$ ist, können wir $-d(\cos x)$ in $\int \sin x\cos x dx$ anstelle von $\sin x dx$ ersetzen. Der Wert des Integrals ändert sich nicht:

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \cos x \cdot (-d(\cos x))=-2\int\cos x d(\cos x) $$

Mit anderen Worten: wir unter dem Differential hinzugefügt$\cos x$. Nachdem wir nun die Substitution $u=\cos x$ vorgenommen haben, können wir Formel Nr. 1 aus der Integraltabelle anwenden:

$$ -2\int\cos x d(\cos x)=|u=\cos x|=-2\int u du=-2\cdot \frac(u^2)(2)+C=-u^ 2+C=-\cos^2x+C. $$

Die Antwort ist eingegangen. Im Allgemeinen müssen Sie den Buchstaben $u$ nicht eingeben. Wenn Sie über ausreichende Kenntnisse in der Lösung dieser Art von Integralen verfügen, entfällt die Notwendigkeit einer zusätzlichen Notation. Die vollständige Lösung ohne Erklärung lautet:

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\sin x dx=-d(\cos x)|=-2\int\cos x d(\cos x)= |u=\cos x|=\\ =-2\int u du=-2\cdot \frac(u^2)(2)+C=-u^2+C=-\cos^2x+C. $$

Antwort: $\int \sin2x dx=-\cos^2x+C$.

Dritter Weg

Zur Lösung auf die dritte Art wenden wir die gleiche trigonometrische Formel an: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Ersetzen wir den Ausdruck $2 \sin x \cos x$ anstelle von $\sin 2x$ und nehmen die Konstante $2$ aus dem Integralzeichen:

$$ \int \sin 2x dx=\int 2 \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx $$

Finden wir $d(\sin x)$ mit . Ersetzen wir $\sin x$ anstelle von $y$ in der genannten Formel:

$$ d(\sin x)=(\sin x)"dx=\cos x dx. $$

Also $d(\sin x)=\cos x dx$. Aus der resultierenden Gleichheit folgt, dass wir $d(\sin x)$ in $\int \sin x\cos x dx$ anstelle von $\cos x dx$ einsetzen können. Der Wert des Integrals ändert sich nicht:

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x) $$

Mit anderen Worten: wir unter dem Differential hinzugefügt$\sin x$. Nachdem wir nun die Substitution $u=\sin x$ vorgenommen haben, können wir Formel Nr. 1 aus der Integraltabelle anwenden:

$$ 2\int\sin x d(\sin x)=|u=\sin x|=2\int u du=2\cdot \frac(u^2)(2)+C=u^2+C= \sin^2x+C. $$

Die Antwort ist eingegangen. Die vollständige Lösung ohne Erklärung lautet:

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\cos x dx=d(\sin x)|=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x)=|u=\sin x|=\\ =2\int u du=2\cdot \frac(u^2)(2)+C=u^2+C=\sin^2x+C. $$

Antwort: $\int \sin2x dx=\sin^2x+C$.

Es ist möglich, dass nach der Lektüre dieses Beispiels, insbesondere der drei (auf den ersten Blick) unterschiedlichen Antworten, eine Frage aufkommt. Betrachten wir es.

Frage 3

Warten. Die Antworten sollten die gleichen sein, aber sie sind unterschiedlich! In Beispiel Nr. 3 bestand der Unterschied nur in der Konstante $\frac(8)(9)$, aber hier sind die Antworten nicht einmal optisch ähnlich: $-\frac(1)(2)\cos 2x+C $, $-\ cos^2x+C$, $\sin^2x+C$. Geht es wirklich wieder nur um die Integralkonstante $C$?

Ja, genau diese Konstante ist es, die zählt. Lassen Sie uns alle Antworten auf eine Form reduzieren, danach wird dieser Unterschied in den Konstanten völlig klar. Beginnen wir mit $-\frac(1)(2)\cos 2x+C$. Wir verwenden eine einfache trigonometrische Gleichung: $\cos 2x=1-2\sin^2 x$. Dann wird der Ausdruck $-\frac(1)(2)\cos 2x+C$ zu:

$$ -\frac(1)(2)\cos 2x+C=-\frac(1)(2)\cdot(1-2\sin^2 x)+C=-\frac(1)(2) +\frac(1)(2)\cdot 2\sin^2x+C=\sin^2 x+C-\frac(1)(2). $$

Lassen Sie uns nun mit der zweiten Antwort arbeiten, d. h. $-\cos^2x+C$. Da $\cos^2 x=1-\sin^2x$, dann:

$$ -\cos^2x+C=-(1-\sin^2x)+C=-1+\sin^2x+C=\sin^2x+C-1 $$

Die drei Antworten, die wir in Beispiel Nr. 4 erhalten haben, waren: $\sin^2 x+C-\frac(1)(2)$, $\sin^2x+C-1$, $\sin^2x+ C$. Ich denke, es ist jetzt klar, dass sie sich nur in einer bestimmten Anzahl voneinander unterscheiden. Diese. es stellte sich wieder heraus, dass es sich um eine Integralkonstante handelte. Wie Sie sehen, kann ein kleiner Unterschied in der Integralkonstante das Erscheinungsbild der Antwort im Prinzip stark verändern, was jedoch nicht dazu führt, dass die Antwort richtig ist. Worauf ich hinaus will: Wenn Sie in der Aufgabensammlung eine Antwort sehen, die nicht mit Ihrer übereinstimmt, heißt das noch lange nicht, dass Ihre Antwort falsch ist. Möglicherweise sind Sie einfach anders auf die Antwort gekommen, als der Autor des Problems beabsichtigt hatte. Und eine Überprüfung anhand der Definition des unbestimmten Integrals hilft Ihnen, die Richtigkeit der Antwort zu überprüfen. Wenn beispielsweise das Integral $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2)\cos 2x+C$ korrekt gefunden wird, dann gilt die Gleichheit $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+ C\right)"=\sin 2x$. Überprüfen wir also, ob es wahr ist, dass die Ableitung von $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)$ gleich dem Integranden ist von $\sin 2x $:

$$ \left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)"=\left(-\frac(1)(2)\cos 2x\right)"+C"=-\frac (1)(2)\cdot(\cos 2x)"+0=\\ =-\frac(1)(2)\cdot (-\sin 2x)\cdot (2x)"=-\frac(1) (2)\cdot (-\sin 2x)\cdot 2=\sin 2x. $$

Die Prüfung wurde erfolgreich abgeschlossen. Die Gleichheit $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)"=\sin 2x$ ist erfüllt, daher gilt die Formel $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2 )\cos 2x+C$ ist korrekt. In Beispiel Nr. 5 überprüfen wir auch das Ergebnis, um sicherzustellen, dass es korrekt ist. Das Vorhandensein einer Prüfung ist nicht zwingend erforderlich, obwohl dies in einigen typischen Berechnungen der Fall ist Tests Es besteht die Pflicht, das Ergebnis zu überprüfen.

Die in diesem Artikel beschriebene Methode basiert auf der Gleichheit ∫ f (g (x)) d (g (x)) = F (g (x)) + C. Sein Ziel ist es, den Integranden auf die Form f (g (x)) d (g (x)) zu reduzieren. Um es verwenden zu können, ist es wichtig, eine Tabelle mit Stammfunktionen und eine Tabelle mit Ableitungen von Basic zur Hand zu haben elementare Funktionen, geschrieben in Form von Differentialen.

Tabelle der Stammfunktionen

Beispiel 1

Finden Sie das unbestimmte Integral ∫ sin (x 2) d (x 2) .

Lösung

Wir sehen, dass in der Bedingung der Integrand bereits unter dem Differentialvorzeichen steht. Gemäß der Tabelle der Stammfunktionen ist ∫ sin x d x = - cos x + C, was bedeutet ∫ sin (x 2) d (x 2) = - cos (x 2) + C.

Antwort: ∫ sin (x 2) d (x 2) = - cos (x 2) + C

Beispiel 2

Finden Sie die Menge der Stammfunktionen der Funktion y = ln 3 x x.

Lösung

Um die Antwort zu finden, müssen wir ∫ ln 3 x x d x berechnen. Lösen wir das Problem mit der Methode der Subsumierung des Differentialzeichens. Gemäß der Ableitungstabelle ist d x x = d ln x, was ∫ ln 3 x x d x = ∫ ln 3 x d (ln x) bedeutet. Mithilfe derselben Tabelle können wir die Antwort sofort aufschreiben: ∫ ln 3 x x d x = ∫ ln 3 x d (ln x) = ln 4 x 4 + C.

Hier bedarf es einer kleinen Klarstellung. Wir können eine weitere Variable z = ln x einführen und erhalten ∫ ln 3 x x d x = ∫ ln 3 x d (ln x) = ln x = z = ∫ z 3 d z . Verwenden Sie dann die Tabelle der Stammfunktionen für Potenzfunktionen können wir schreiben, dass ∫ z 3 d z = z 4 4 + C . Kehren wir nun zur ursprünglichen Variablen zurück und erhalten: z 4 4 + C = z = ln x = ln 4 x 4 + C.

Antwort:∫ ln 3 x x d x = ln 4 x 4 + C .

Mit der Methode der Subsumierung des Differentialzeichens können Sie auch die Stammfunktionen für Tangens und Kotangens berechnen.

Beispiel 3

Finden Sie das Tangentenintegral ∫ t g x d x .

Lösung

∫ t g x d x = ∫ sin x d x cos x

Da sin x d x = - d (cos x) ist, können wir ∫ sin x d x cos x = - ∫ d (cos x) cos x zusammenfassen. Wir nehmen die Tabelle der Stammfunktionen und stellen fest, dass - ∫ d (cos x) cos x = - ln cos x + C 1 = - ln cos x + C, wobei C = - C 1.

Antwort:∫ t g x d x = - ln cos x + C .

Das Schwierigste bei der Anwendung dieser Methode ist die Bestimmung des Teils der Funktion, der unter dem Differentialzeichen zusammengefasst werden muss. Die Fähigkeit, dies schnell zu tun, erfordert Erfahrung.

Beispiel 4

Bewerten Sie das unbestimmte Integral ∫ x 2 d x 1 + x 6 .

Lösung

Laut Ableitungstabelle ist d (x 3) = 3 x 2 d x, was x 2 d x = 1 3 d (x 3) bedeutet. Wir verwenden die Tabelle der Basisintegrale und stellen fest, dass ∫ d x 1 + x 2 = a r c r g x + C . Dies bedeutet, dass Sie das Problem mit der Methode der Subsumierung des Differentialvorzeichens wie folgt lösen können:

∫ x 2 d x 1 + x 6 = ∫ 1 3 d (x 3) 1 + x 3 2 = x 3 = t = = 1 3 ∫ d t 1 + t 2 = 1 3 a r c t g (t) + C = x 3 = t = 1 3 a r c t g (x 3) + C

Antwort:∫ x 2 d x 1 + x 6 = 1 3 a r c t g (x 3) + C

Beispiel 5

Bewerten Sie das unbestimmte Integral ∫ d x x 2 + 2 x + 4 .

Lösung

Beginnen wir mit der Transformation des radikalen Ausdrucks.

x 2 + 2 x + 4 = x 2 + 2 x + 1 - 1 + 4 = x 2 + 2 x + 1 + 3 = x + 1 2 + 3

Danach können wir schreiben, dass ∫ d x x 2 + 2 x + 4 = ∫ d x x + 1 2 + 3 .

Da d (x + 1) = d x, dann ∫ d x x + 1 2 + 3 = ∫ d x (x + 1) x + 1 2 + 3 = x + 1 = z = ∫ d z z 2 + 3.

Schauen wir uns die Tabelle der Stammfunktionen an und finden die Antwort:

∫ d z z 2 + 3 = ln z + z 2 + 3 + C = z = x + 1 = ln x + 1 + (x + 1) 2 + 3 + C = = ln x + 1 + x 2 + 2 x + 4+C

Antwort: ∫ d x x 2 + 2 x + 4 = ln x + 1 + x 2 + 2 x + 4 + C

Vorläufige Transformationen des Integranden können oft recht komplex sein.

Beispiel 6

Finden Sie die Menge der Stammfunktionen der Funktion ∫ x d x 4 x 2 + 2 x + 1 .

Lösung

Beginnen wir auch mit der Transformation des Ausdrucks in ein Integral.

∫ x d x 4 x 2 + 2 x + 1 = ∫ x d x 4 x 2 1 2 x + 1 4 = ∫ x d x 2 x 2 + 1 2 x + 1 4 = = 1 2 ∫ x d x x 2 + 1 2 x + 1 16 - 1 16 + 1 4 = 1 2 ∫ x d x x + 1 4 2 + 3 16

Fassen wir nun zusammen, was unter dem Differentialzeichen passiert ist.

Da d x + 1 4 2 + 3 16 = x + 1 4 2 + 3 16 "d x = 2 x + 1 4 2 d x = 2 x d x + d x 2, dann:

2 x d x = d x + 1 4 2 + 3 16 - d x 2 ⇒ x d x = 1 2 d x + 1 4 2 + 3 16 - d x 4

Daher können wir Folgendes schreiben:

1 2 ∫ x d x x + 1 4 2 + 3 16 = 1 2 ∫ 1 2 d x + 1 4 2 + 3 16 - d x 4 x + 1 4 2 + 3 16 = = 1 4 ∫ d x + 1 4 2 + 3 16 x + 1 4 2 + 3 16 - 1 8 ∫ d x x + 1 4 2 + 3 16

Basierend auf d x = d x + 1 4 können Sie den Ausdruck wie folgt umwandeln:

1 4 ∫ d x + 1 4 2 + 3 16 x + 1 4 2 + 3 16 - 1 8 ∫ d x x + 1 4 2 + 3 16 = = 1 4 ∫ d x + 1 4 2 + 3 16 x + 1 4 2 + 3 16 - 1 8 ∫ d x + 1 4 x + 1 4 2 + 3 16 = = x + 1 4 2 + 3 16 = z x + 1 4 = t = 1 4 ∫ z - 1 2 d z - 1 8 ∫ d t t 2 + 3 16

Als Ergebnis haben wir zwei Integrale erhalten, deren Werte der Tabelle entnommen werden können.

1 4 ∫ z - 1 2 d z - 1 8 ∫ d t t 2 + 3 16 = 1 4 1 - 1 2 + 1 z - 1 2 + 1 - 1 8 ln t + t 2 + 3 16 + C = = 1 2 z 1 2 - 1 8 ln t + t 2 + 3 16 + C = = 1 2 x + 1 4 2 + 3 16 1 2 - 1 8 ln x + 1 4 + x + 1 4 2 + 3 16 + C = = 1 2 x 2 + 1 2 x + 1 4 - 1 8 ln x + 1 4 + x 2 + 1 2 x + 1 4 + C

Antwort: ∫ x d x 4 x 2 + 2 x + 1 = 1 2 x 2 + 1 2 x + 1 4 - 1 8 ln x + 1 4 + x 2 + 1 2 x + 1 4 + C

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