Die Methode zum Abonnieren des Differentialzeichens wird in der Literatur selten angegeben, daher werden wir zunächst zeigen, warum sie vorteilhaft ist.

Oft sieht man im Integranden zwei Fragmente, eines davon ähnlich wie Derivat ein anderer. Zum Beispiel,

a) im Integral der Zähler X sieht aus wie eine Ableitung von :
;

b) Integral
kann dargestellt werden als
, Wo
;

c) Funktion
im Integral
- Das
.

Es wird oft vorgeschlagen, solche Integrale durch Ersetzen durch eine neue Variable zu finden eine Funktion, deren Ableitung entdeckt. Also für die angegebenen Integrale

und wenn
, Das
, Dann
Und
, Wo

b) weil
, Das
, Dann
Und
, Deshalb

Die Austauschmethode wird in Abschnitt 4 ausführlicher beschrieben.

Allerdings ist die Berechnung des 3. Integrals durch Substitution bereits mit Schwierigkeiten verbunden. Lassen Sie uns das bemerken
, wir haben ersetzt
.

Dann
Und
. Äußern
durch T du kannst das:

(
, Deshalb
). Ersetzen wir:

Durch umständliche Aktionen wurde fast alles reduziert und ein einfaches tabellarisches Integral erhalten. Es stellt sich die Frage, ob es möglich gewesen wäre, schneller dazu zu gelangen, wenn fast kein Ausdruck erforderlich gewesen wäre.

Tatsächlich gibt es eine kürzere Lösung:

dann ersetzen
erhalten wir sofort das Integral

Auf die gleiche Weise könnte man die Integrale finden

Hier werden die Aktionen sehr detailliert dargestellt und die Hälfte davon kann übersprungen werden. Durch die folgende Lösung wird die Lösung besonders kurz:

Tabelle der Hauptunterschiede

Beispiele für das Abonnieren eines Differentialzeichens

3) ;

PD1. Finden Sie die Integrale

1) a)
; B)
; V)
; G)
; D)
;

e)
; Und)
; H)
; Und)
; Zu)
;

2) a)
; B)
; V)
; G)
; D)
;

e)
; Und)
; H)
; Und)
; Zu)
;

3) a)
; B)
; V)
; G)
; D)

e)
; Und)
; H)
; Und)
; Zu)
;

4) a)
; B)
; V)
; G)
; D)
;

e)
; Und)
; H)
; Und)
; Zu)
;

5) a)
; B)
; V)
; G)
; D)
;

e)
; Und)
; H)
; Und)
; Zu)
.

§ 3. Integrale von Funktionen, die einen quadratischen Ausdruck enthalten

Bei der Integration von Funktionen, die den Ausdruck enthalten
, die Formel wird helfen
. Zum Beispiel,

B)
;

Es ist zweckmäßig, die resultierende Klammer mit einem neuen Buchstaben zu bezeichnen und mit dem Integral über diese Variable fortzufahren (die Differentiale der neuen und alten Variablen fallen zusammen).

Es ist besser, den Koeffizienten außerhalb der Klammern vor das Quadrat zu setzen:

,

und dann, wenn möglich, nach dem Vorzeichen des Integrals. Also,

Der Zweck der Ersetzung besteht darin, zum Integral ohne linearen Term zu gelangen
, da Integrale nur enthalten
, lassen sich leichter finden, und zwar häufig über eine Tabelle. Gleichzeitig ist es wichtig, sich daran zu erinnern
,
, usw.

Nämlich (siehe § 2),

Wo A– jede Zahl und Zahl
. Außerdem wann

Wo
.

Anmerkung 1. Nach dem Austausch treten häufig Integrale auf
,
oder
. Sie können so gefunden werden:

ebenso im 2. und 3. Fall.

Allerdings sind Integrale der Form
ziemlich komplex. Verwenden Sie vorgefertigte Formeln

(überprüfen Sie durch Differenzierung, ob dies tatsächlich der Fall ist).

KI1. Finden Sie mit Gleichheit
und Ersatz
:

Beispiel 1(um es kurz zu fassen
bezeichnet als
.

Beim Suchen
Und
habe das berücksichtigt
Und
Dementsprechend haben wir die Grundregel der Tabellenintegration angewendet.

KI2. Finden Sie die Integrale, indem Sie jedes in eine Summe von Integralen zerlegen, von denen eines tabellarisch ist und das andere denen in Aufgabe KI1 ähnelt:

Beispiel 2. Finden wir das Integral
, erweitert zur Summe von zwei:

Antwort:(Das Modul wird nicht benötigt, da es immer vorhanden ist
).

Beispiel 3. Nehmen wir das Integral auf die gleiche Weise
:

Der rationalste Weg, die Integrale zu finden, ist dieser:

Wo hast du das gelernt
;

Wo dann
.

Antwort: .

Anmerkung 2. In Zukunft wird man das Integral oft in 2 oder 3 Integrale aufteilen müssen, in denen jeweils eine Konstante vorkommt (
, usw.). Der Kürze halber werden wir die Konstanten in jedem einzelnen Hilfsintegral implizieren (aber nicht angeben) (oder angeben, aber nicht mit einer Zahl versehen), und wir werden nur die allgemeine Konstante schreiben C in der Antwort. Zur gleichen Zeit, immer C- eine lineare Kombination.

KI3. Finden Sie, nachdem Sie ein perfektes Quadrat im Nenner erhalten und eine Substitution vorgenommen haben

Beispiel 4.
Das merke ich

ersetzen
, Dann
Und.

Setzen wir in das Integral ein:

Beispiel 5.

Weil es möglich ist, einen Ersatz herzustellen
, mit welchem
Und
. Ersetzen wir:

Beispiel 6.

Hier ersetzen wir
, Wo
Und
. Ersetzen wir:

Wo
. Teilen wir das Integral in zwei Teile auf:

.

Wie in den vorherigen Beispielen,

und das 2. Integral ist tabellarisch:
.

Also wo
. Damit

Beispiel 7.

Jetzt Ersatz
, Deshalb
Und
.

Kommen wir zum Integral der neuen Variablen:

Wo
.

Finden wir es separat

V)
(tabellenförmiges Integral).

Multiplizieren wir das 2. Ergebnis mit 7, das 3. mit 10, sammeln ähnliche Terme und kehren zur alten Variablen zurück:

KI4. Finden Sie die Integrale irrationaler Funktionen:

Beispiel 8. Lass uns finden
. Ein ähnliches Integral ohne Wurzel wurde bereits oben gefunden (Beispiel 6), und es reicht aus, die Wurzel im entsprechenden Schritt hinzuzufügen:

,

Wo
. Wir brechen es auf

und wir finden

B)
.

Also wo
.

Antwort: .

Beispiel 9.
Es ist praktisch, ein vollständiges Quadrat wie folgt zu erhalten:

Wo
. Dann

.

Wir werden ersetzen
. Dabei
Und
:

Wir gehen genauso vor wie in Beispiel 8:

Antwort: .

Notiz 3. Sie können das „–“-Zeichen oder einen negativen gemeinsamen Faktor nicht unter der Wurzel entfernen:
;, usw. Beispiel 9 zeigt das einzig Mögliche Der richtige Weg Aktionen.

Beispiel 10. Mal sehen, was sich ändert, wenn wir in Beispiel 9 ein Quadrat einfügen: Wir finden
. Nach den gleichen Auswechslungen stellt sich nun heraus, dass dies der Fall ist

Wie gewöhnlich,

und das 2. und 3. Integral werden auf die gleiche Weise wie in Beispiel 9 ermittelt:

;

.

Gemäß der Anleitung auf Seite 19 lässt sich das 1. Integral wie folgt transformieren:

wo nochmal
, A

Das neue Integral wird entweder durch trigonometrische Substitution gefunden
oder durch wiederholte Integration nach Teilen, Nehmen
Und
. Verwenden wir die vorgefertigte Formel
(Seite 19):

Multiplizieren wir alle Integrale mit ihren entsprechenden Koeffizienten und setzen sie zusammen:

In der Antwort präsentieren wir ähnliche Begriffe.

Die in diesem Artikel beschriebene Methode basiert auf der Gleichheit ∫ f (g (x)) d (g (x)) = F (g (x)) + C. Sein Ziel ist es, den Integranden auf die Form f (g (x)) d (g (x)) zu reduzieren. Um es verwenden zu können, ist es wichtig, eine Tabelle mit Stammfunktionen und eine Tabelle mit Ableitungen von Basic zur Hand zu haben elementare Funktionen, geschrieben in Form von Differentialen.

Tabelle der Stammfunktionen

Beispiel 1

Finden Sie das unbestimmte Integral ∫ sin (x 2) d (x 2) .

Lösung

Wir sehen, dass in der Bedingung der Integrand bereits unter dem Differentialvorzeichen steht. Gemäß der Tabelle der Stammfunktionen ist ∫ sin x d x = - cos x + C, was bedeutet ∫ sin (x 2) d (x 2) = - cos (x 2) + C.

Antwort: ∫ sin (x 2) d (x 2) = - cos (x 2) + C

Beispiel 2

Finden Sie die Menge der Stammfunktionen der Funktion y = ln 3 x x.

Lösung

Um die Antwort zu finden, müssen wir ∫ ln 3 x x d x berechnen. Lösen wir das Problem mit der Methode der Subsumierung des Differentialzeichens. Gemäß der Ableitungstabelle ist d x x = d ln x, was ∫ ln 3 x x d x = ∫ ln 3 x d (ln x) bedeutet. Mithilfe derselben Tabelle können wir die Antwort sofort aufschreiben: ∫ ln 3 x x d x = ∫ ln 3 x d (ln x) = ln 4 x 4 + C.

Hier bedarf es einer kleinen Klarstellung. Wir können eine weitere Variable z = ln x einführen und erhalten ∫ ln 3 x x d x = ∫ ln 3 x d (ln x) = ln x = z = ∫ z 3 d z . Mithilfe der Tabelle der Stammfunktionen für Potenzfunktionen können wir dann schreiben, dass ∫ z 3 d z = z 4 4 + C . Kehren wir nun zur ursprünglichen Variablen zurück und erhalten: z 4 4 + C = z = ln x = ln 4 x 4 + C.

Antwort:∫ ln 3 x x d x = ln 4 x 4 + C .

Mit der Methode der Subsumierung des Differentialzeichens können Sie auch die Stammfunktionen für Tangens und Kotangens berechnen.

Beispiel 3

Finden Sie das Tangentenintegral ∫ t g x d x .

Lösung

∫ t g x d x = ∫ sin x d x cos x

Da sin x d x = - d (cos x) ist, können wir ∫ sin x d x cos x = - ∫ d (cos x) cos x zusammenfassen. Wir nehmen die Tabelle der Stammfunktionen und stellen fest, dass - ∫ d (cos x) cos x = - ln cos x + C 1 = - ln cos x + C, wobei C = - C 1.

Antwort:∫ t g x d x = - ln cos x + C .

Das Schwierigste bei der Anwendung dieser Methode ist die Bestimmung des Teils der Funktion, der unter dem Differentialzeichen zusammengefasst werden muss. Die Fähigkeit, dies schnell zu tun, erfordert Erfahrung.

Beispiel 4

Bewerten Sie das unbestimmte Integral ∫ x 2 d x 1 + x 6 .

Lösung

Laut Ableitungstabelle ist d (x 3) = 3 x 2 d x, was x 2 d x = 1 3 d (x 3) bedeutet. Wir verwenden die Tabelle der Basisintegrale und stellen fest, dass ∫ d x 1 + x 2 = a r c r g x + C . Dies bedeutet, dass Sie das Problem mit der Methode der Subsumierung des Differentialvorzeichens wie folgt lösen können:

∫ x 2 d x 1 + x 6 = ∫ 1 3 d (x 3) 1 + x 3 2 = x 3 = t = = 1 3 ∫ d t 1 + t 2 = 1 3 a r c t g (t) + C = x 3 = t = 1 3 a r c t g (x 3) + C

Antwort:∫ x 2 d x 1 + x 6 = 1 3 a r c t g (x 3) + C

Beispiel 5

Bewerten Sie das unbestimmte Integral ∫ d x x 2 + 2 x + 4 .

Lösung

Beginnen wir mit der Transformation des radikalen Ausdrucks.

x 2 + 2 x + 4 = x 2 + 2 x + 1 - 1 + 4 = x 2 + 2 x + 1 + 3 = x + 1 2 + 3

Danach können wir schreiben, dass ∫ d x x 2 + 2 x + 4 = ∫ d x x + 1 2 + 3 .

Da d (x + 1) = d x, dann ∫ d x x + 1 2 + 3 = ∫ d x (x + 1) x + 1 2 + 3 = x + 1 = z = ∫ d z z 2 + 3.

Schauen wir uns die Tabelle der Stammfunktionen an und finden die Antwort:

∫ d z z 2 + 3 = ln z + z 2 + 3 + C = z = x + 1 = ln x + 1 + (x + 1) 2 + 3 + C = = ln x + 1 + x 2 + 2 x + 4+C

Antwort: ∫ d x x 2 + 2 x + 4 = ln x + 1 + x 2 + 2 x + 4 + C

Vorläufige Transformationen des Integranden können oft recht komplex sein.

Beispiel 6

Finden Sie die Menge der Stammfunktionen der Funktion ∫ x d x 4 x 2 + 2 x + 1 .

Lösung

Beginnen wir auch mit der Transformation des Ausdrucks in ein Integral.

∫ x d x 4 x 2 + 2 x + 1 = ∫ x d x 4 x 2 1 2 x + 1 4 = ∫ x d x 2 x 2 + 1 2 x + 1 4 = = 1 2 ∫ x d x x 2 + 1 2 x + 1 16 - 1 16 + 1 4 = 1 2 ∫ x d x x + 1 4 2 + 3 16

Fassen wir nun zusammen, was unter dem Differentialzeichen passiert ist.

Da d x + 1 4 2 + 3 16 = x + 1 4 2 + 3 16 "d x = 2 x + 1 4 2 d x = 2 x d x + d x 2, dann:

2 x d x = d x + 1 4 2 + 3 16 - d x 2 ⇒ x d x = 1 2 d x + 1 4 2 + 3 16 - d x 4

Daher können wir Folgendes schreiben:

1 2 ∫ x d x x + 1 4 2 + 3 16 = 1 2 ∫ 1 2 d x + 1 4 2 + 3 16 - d x 4 x + 1 4 2 + 3 16 = = 1 4 ∫ d x + 1 4 2 + 3 16 x + 1 4 2 + 3 16 - 1 8 ∫ d x x + 1 4 2 + 3 16

Basierend auf d x = d x + 1 4 können Sie den Ausdruck wie folgt umwandeln:

1 4 ∫ d x + 1 4 2 + 3 16 x + 1 4 2 + 3 16 - 1 8 ∫ d x x + 1 4 2 + 3 16 = = 1 4 ∫ d x + 1 4 2 + 3 16 x + 1 4 2 + 3 16 - 1 8 ∫ d x + 1 4 x + 1 4 2 + 3 16 = = x + 1 4 2 + 3 16 = z x + 1 4 = t = 1 4 ∫ z - 1 2 d z - 1 8 ∫ d t t 2 + 3 16

Als Ergebnis haben wir zwei Integrale erhalten, deren Werte der Tabelle entnommen werden können.

1 4 ∫ z - 1 2 d z - 1 8 ∫ d t t 2 + 3 16 = 1 4 1 - 1 2 + 1 z - 1 2 + 1 - 1 8 ln t + t 2 + 3 16 + C = = 1 2 z 1 2 - 1 8 ln t + t 2 + 3 16 + C = = 1 2 x + 1 4 2 + 3 16 1 2 - 1 8 ln x + 1 4 + x + 1 4 2 + 3 16 + C = = 1 2 x 2 + 1 2 x + 1 4 - 1 8 ln x + 1 4 + x 2 + 1 2 x + 1 4 + C

Antwort: ∫ x d x 4 x 2 + 2 x + 1 = 1 2 x 2 + 1 2 x + 1 4 - 1 8 ln x + 1 4 + x 2 + 1 2 x + 1 4 + C

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Bei der Lösung einiger Arten von Integralen wird, wie man sagt, eine Transformation durchgeführt Eingabe unter dem Differentialzeichen. Dies geschieht, um ein tabellarisches Integral zu erhalten und es einfacher zu machen. Verwenden Sie dazu die Formel: $$ f"(x) dx = d(f(x)) $$

Dies möchte ich gerne anmerken wichtige Nuance worüber die Schüler nachdenken. Wie unterscheidet sich diese Methode von der Methode zum Ersetzen einer Variablen (Substitution)? Es ist das Gleiche, nur sieht es in den Aufnahmen anders aus. Beides ist wahr.

Formel

Wenn der Integrand das Produkt zweier Funktionen darstellt, von denen eine ein Differential der anderen ist, dann geben Sie das Vorzeichen des Differentials ein die gewünschte Funktion. Es sieht aus wie das auf die folgende Weise:

$$ \int f(\varphi(x)) \varphi"(x) dx = \int f(\varphi(x)) d(\varphi(x))=\int f(u) du $$ $$ u=\varphi(x)$$

Zusammenfassung der Hauptfunktionen

Um diese Lösungsmethode erfolgreich nutzen zu können, müssen Sie Ableitungs- und Integrationstabellen kennen. Daraus ergeben sich folgende Formeln:

Beispiele für Lösungen

Deshalb haben wir in dem Artikel untersucht, wie einige Arten von Integralen gelöst werden, indem man sie unter dem Differentialzeichen eingibt. Wir erinnerten uns an die Differentiale oft gemeinsamer Elementarfunktionen. Wenn Sie nicht genug Zeit haben, um Probleme zu lösen Tests selbst, dann unterstützen wir Sie gerne dabei so schnell wie möglich. Füllen Sie einfach das Bestellformular aus und wir werden uns mit Ihnen in Verbindung setzen.

Subsumieren des Zählers unter dem Differentialzeichen

Dies ist der letzte Teil der Lektion, Integrale dieser Art kommen jedoch recht häufig vor! Wenn Sie müde sind, ist es vielleicht besser, morgen zu lesen? ;)

Die Integrale, die wir betrachten werden, ähneln den Integralen des vorherigen Absatzes, sie haben die Form: oder (Koeffizienten , und sind ungleich Null).

Das heißt, in unserem Zähler haben wir lineare Funktion. Wie löst man solche Integrale?

Beispiel 14

Bitte seien Sie vorsichtig, jetzt schauen wir uns einen typischen Algorithmus an.

1) Wenn ein Integral der Form oder gegeben ist (Koeffizienten , und ungleich Null), dann ist das erste, was wir tun, ... einen Entwurf zu erstellen. Tatsache ist, dass wir jetzt eine kleine Auswahl durchführen müssen.

2) Wir schließen den Ausdruck, der im Nenner steht (egal ob unter der Wurzel oder ohne Wurzel), unter dem Differentialzeichen ab, in diesem Beispiel:

3) Öffnen Sie das Differential:

Schauen wir uns den Zähler unseres Integrals an:

Es kam etwas anders... Und jetzt müssen wir einen Multiplikator für das Differential auswählen, sodass wir beim Öffnen mindestens erhalten. In diesem Fall ist der entsprechende Multiplikator:

4) Zur Selbstkontrolle öffnen wir unser Differential noch einmal:

Schauen wir uns noch einmal den Zähler unseres Integrals an: .
Es ist näher, aber wir haben den falschen Begriff:

5) Zu unserem Differential:
– wir weisen den Term zu, den wir ursprünglich im Integranden hatten:

– Subtrahieren ( in diesem Fall subtrahieren wir; manchmal müssen wir im Gegenteil addieren) unser „falscher“ Begriff:
– Wir setzen beide Konstanten in Klammern und weisen rechts ein Differentialsymbol zu:

– Subtrahieren (in einigen Beispielen müssen Sie hinzufügen) Konstanten:

6) Wir prüfen:

Wir haben genau den Zähler des Integranden erhalten, was bedeutet, dass die Auswahl erfolgreich war.

Das endgültige Design der Lösung sieht in etwa so aus:

(1) Wir wählen den Zähler im Entwurf gemäß dem oben besprochenen Algorithmus aus. Wir prüfen unbedingt, ob die Auswahl richtig getroffen wurde. Mit etwas Erfahrung in der Lösung von Integralen fällt es Ihnen nicht schwer, die Auswahl im Kopf durchzuführen.

(2) Teilen Sie den Zähler Term für Term durch den Nenner. Bei der praktischen Problemlösung kann dieser Schritt entfallen

(3) Mithilfe der Eigenschaft der Linearität trennen wir die Integrale. Es empfiehlt sich, alle Konstanten außerhalb der Integralzeichen zu verschieben.

(4) Das erste Integral ist eigentlich ein tabellarisches; wir verwenden die Formel (wir werden später eine Konstante hinzufügen, wenn wir das zweite Integral nehmen). Im zweiten Integral wählen wir ein vollständiges Quadrat (wir haben diese Art von Integralen im vorherigen Absatz untersucht).

Der Rest ist eine Frage der Technik.

Und für den Anfang ein paar Beispiele dafür unabhängige Entscheidung– das eine ist einfacher, das andere schwieriger.

Beispiel 15

Finden Sie das unbestimmte Integral:

Beispiel 16

Finden Sie das unbestimmte Integral:

Um diese Beispiele zu lösen, ist ein Spezialfall der Integration hilfreich Power-Funktion was nicht in meiner Tabelle steht:

Wie Sie sehen, ist das Integrieren von Brüchen eine mühsame Aufgabe; oft müssen Sie künstliche Techniken und Selektionen anwenden. Aber was soll man machen…

Es gibt andere Arten von Brüchen, die sogenannten fraktional-rationalen Funktionen, sie werden nach der Methode der unbestimmten Koeffizienten gelöst. Aber das ist bereits das Thema der Lektion Integration gebrochenrationaler Funktionen.

§ 5. Integrale und ihre Anwendungen

.

5.1. Grundlegende Definitionen und Formeln. Funktion F(X) Ist Stammfunktion F(X), wenn auf irgendeinem Set X Gleichheit gilt F (X)= F(X). Die Menge aller Stammfunktionen für F(X) angerufen unbestimmtes Integral und wird bezeichnet. Gleichzeitig, wenn F(X) - eines der Primitiven F(X), Das
, konstant C durchläuft die gesamte Menge der reellen Zahlen. Tabelle 2 zeigt die Grundformeln, in denen u= u(X).

Tabelle 2

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) , 9)

10) 11) 12) 13) 14) 15) 16)

Wenn F(X) – Funktion kontinuierlich auf dem Segment [ A; B], dann ist da bestimmtes Integral aus dieser Funktion, die berechnet werden kann durch Newton-Leibniz-Formel:

, (5.1)

Wo F(X) - jede Stammfunktion für F(X). Im Gegensatz zu einem unbestimmten Integral (bei dem es sich um eine Menge von Funktionen handelt) ist ein bestimmtes Integral eine bestimmte Zahl.

Sowohl unbestimmte als auch bestimmte Integrale haben die Eigenschaft Linearität(Das Integral der Summe der Funktionen ist gleich der Summe der Integrale, und der konstante Faktor kann aus dem Vorzeichen des Integrals entnommen werden):

.

Beispiel 5.1. Finde einen)
; B)
.

Lösung. Im Auftrag A) Wir vereinfachen zunächst den Integranden, indem wir Term für Term jeden Term vom Zähler durch den Nenner dividieren, und verwenden dann die Eigenschaft Linearität und „tabellarische“ Formeln 1)-3):

Im Auftrag B), außerdem Linearität und „tabellarische“ Formeln 3), 9), 1), Wir verwenden die Newton-Leibniz-Formel (5.1):

5.2. Eingabe unter Differenzialzeichen und Ersetzen der Variablen. Möglicherweise stellen Sie fest, dass manchmal ein Teil des Integranden das Differential eines Ausdrucks bildet, was die Verwendung tabellarischer Formeln ermöglicht.

Beispiel 5.2 Finde einen)
; B)
.

Lösung. Im Beispiel A) das merkt man
, und verwenden Sie dann die Formel 5) bei u=ln X:

Im Fall von B)
, und deshalb aufgrund 11) bei
wir bekommen:

Anmerkung 1. Bei der Eingabe des Differenzialzeichens ist es sinnvoll, neben den oben genannten auch folgende Zusammenhänge zu berücksichtigen:

;
;
; ; ;

;
;
;
.

Anmerkung 2. Integrale aus Beispiel 5.2. könnte auch durch einen Variablenwechsel gefunden werden. In diesem Fall sollten bei einem bestimmten Integral auch die Integrationsgrenzen geändert werden. Konvertierungen zu 5.2.b) würde zum Beispiel so aussehen:

Im allgemeinen Fall wird die Wahl des Ersatzes durch die Art des Integranden bestimmt. In manchen Fällen wird ein spezieller Ersatz empfohlen. Zum Beispiel, wenn der Ausdruck eine Irrationalität der Form enthält
, dann können wir sagen
oder
.

Beispiel 5.3 Finde einen)
; B)
.

Lösung. Im Fall von A) wir haben

(Nach dem Austausch haben wir die Tabellenformel angewendet 11 )).

Bei der Entscheidung B) Wir achten darauf, die Grenzen der Integration zu überwinden.

5.3. Integration in Teilstücken. In manchen Fällen hilft die „Integration nach Teilen“-Formel. Für das unbestimmte Integral hat es die Form

, (5.2)

auf jeden Fall

, (5.3)

Es ist wichtig, Folgendes zu berücksichtigen.

1) Wenn der Integrand das Produkt eines Polynoms von enthält X auf Funktionen
, Dann als u Es wird ein Polynom ausgewählt und auf den unter dem Integralzeichen verbleibenden Ausdruck verwiesen dv.

2) Wenn der Integrand inverse trigonometrische ( ) oder logarithmisch (
) funktioniert, dann als u Einer von ihnen ist ausgewählt.

Beispiel 5.4. Finde einen)
; B)
.

Lösung. Im Fall von A) Wenden Sie die Formel an (5.2) Und zweite Regel. Genau, glauben wir
. Dann
. Weiter,
, und deshalb
. Somit, . Im resultierenden Integral wählen wir den ganzen Teil des Integranden aus (dies geschieht, wenn der Grad des Zählers nicht kleiner ist als der Grad des Nenners):

.

Die endgültige Lösung sieht so aus:

Im Beispiel B) wir gebrauchen (5.3) Und erste der Regeln.

5.4. Integrieren von Ausdrücken, die ein quadratisches Trinom enthalten. Die Hauptideen bestehen darin, ein vollständiges Quadrat in einem quadratischen Trinom zu isolieren und eine lineare Substitution durchzuführen, die es ermöglicht, das ursprüngliche Integral auf eine tabellarische Form zu reduzieren 10 )-16 ).

Beispiel 5.5. Finde einen)
; B)
; V)
.

Lösung. Im Fall von A) gehen Sie wie folgt vor:

daher (unter Berücksichtigung 13) )

Beim Lösen des Beispiels B) Es sind zusätzliche Transformationen erforderlich, die sich auf das Vorhandensein einer Variablen im Zähler des Integranden beziehen. Wenn wir das perfekte Quadrat im Nenner () auswählen, erhalten wir:

Für das zweite der Integrale aufgrund 11) (Tabelle 2) wir haben:
. Im ersten Integral tragen wir unter dem Differentialzeichen ein:

Also alles zusammenfügen und zur Variablen zurückkehren X, wir bekommen:

Im Beispiel V) Wir wählen auch zunächst ein vollständiges Quadrat aus:

5.5. Integration einfacher trigonometrischer Funktionen. Bei der Integration von Ausdrücken der Form
(Wo M Und N – ganze Zahlen) wird empfohlen, die folgenden Regeln zu berücksichtigen.

1) Wenn beide Grade gerade sind, dann gelten die Formeln zur „Reduzierung des Grades“: ; .

2) Angenommen, eine der Zahlen M Und N- seltsam. Zum Beispiel, N=2 k+1. In diesem Fall einer der Grade der Funktion cosx „abgespalten“, um es unter das Differentialzeichen zu bringen (seit ). Im übrigen Ausdruck
unter Verwendung der grundlegenden trigonometrischen Identität
ausgedrückt durch
(). Nach der Transformation des Integranden (und unter Berücksichtigung der Linearitätseigenschaft) erhalten wir eine algebraische Summe von Integralen der Form
, die jeweils mithilfe der Formel ermittelt werden können 2) aus Tabelle 2:
.

Darüber hinaus sind die Formeln in manchen Fällen auch nützlich

Beispiel 5.6. Finde einen)
; B)
; V)
.

Lösung. A) Der Integrand enthält einen ungeraden (5.) Grad sinx, Deshalb handeln wir entsprechend zweite Regel, bedenkt, dass .

Im Beispiel B) Verwenden wir die Formel (5.4 ), Linearität unbestimmtes Integral, Gleichheit
und tabellarische Formel 4):

Im Fall von V) der Reihe nach den Grad senken, berücksichtigen wir die Linearität, die Möglichkeit der Einführung einer Konstanten unter dem Differentialzeichen und die notwendigen tabellarischen Formeln:

5.6. Anwendungen eines bestimmten Integrals. Wie Sie wissen, entspricht ein krummliniges Trapez einem nicht negativen und kontinuierlichen Segment [ A; B] Funktionen F(X), bezeichnet die Fläche, die durch den Graphen einer Funktion begrenzt wird j= F(X), Achse OCHSE und zwei vertikale Linien X= A, X= B. Kurz gesagt kann es wie folgt geschrieben werden: (siehe. Abb. 3). und wo