Hinzufügung der Kubikwurzelformel. Welche Aktionen können Sie mit ihnen durchführen? Respektieren Sie Ihre Privatsphäre auf Unternehmensebene

Die Quadratwurzel einer Zahl x ist eine Zahl a, die, wenn sie mit sich selbst multipliziert wird, die Zahl x ergibt: a * a = a^2 = x, √x = a. Wie bei allen Zahlen können Sie die arithmetischen Operationen Addition und Subtraktion mit Quadratwurzeln durchführen.

Anweisungen

• Erstens beim Hinzufügen Quadratwurzeln Versuchen Sie, diese Wurzeln zu extrahieren. Dies ist möglich, wenn die Zahlen unter dem Wurzelzeichen perfekte Quadrate sind. Gegeben sei zum Beispiel der Ausdruck √4 + √9. Die erste Zahl 4 ist das Quadrat der Zahl 2. Die zweite Zahl 9 ist das Quadrat der Zahl 3. Somit ergibt sich: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
• Wenn unter dem Wurzelzeichen keine vollständigen Quadrate vorhanden sind, versuchen Sie, den Multiplikator der Zahl unter dem Wurzelzeichen zu entfernen. Gegeben sei zum Beispiel der Ausdruck √24 + √54. Faktorisieren Sie die Zahlen: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Die Zahl 24 hat einen Faktor von 4, der unter dem Quadratwurzelzeichen herausgezogen werden kann. Die Zahl 54 hat einen Faktor von 9. Somit ergibt sich: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . In diesem Beispiel war es durch die Entfernung des Faktors unter dem Wurzelzeichen möglich, den gegebenen Ausdruck zu vereinfachen.
• Die Summe zweier Quadratwurzeln sei der Nenner eines Bruchs, zum Beispiel A / (√a + √b). Und lassen Sie Ihre Aufgabe darin bestehen, „die Irrationalität im Nenner loszuwerden“. Dann können Sie die folgende Methode verwenden. Multiplizieren Sie Zähler und Nenner des Bruchs mit dem Ausdruck √a - √b. Somit erhalten wir im Nenner die abgekürzte Multiplikationsformel: (√a + √b) * (√a - √b) = a – b. Wenn der Nenner analog die Differenz zwischen den Wurzeln √a - √b enthält, müssen Zähler und Nenner des Bruchs mit dem Ausdruck √a + √b multipliziert werden. Nehmen wir zum Beispiel den Bruch 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
• Überlegen Sie mehr komplexes Beispiel Irrationalität im Nenner loswerden. Gegeben sei der Bruch 12 / (√2 + √3 + √5). Es ist notwendig, Zähler und Nenner des Bruchs mit dem Ausdruck √2 + √3 - √5 zu multiplizieren:
  12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
• Wenn Sie schließlich nur einen ungefähren Wert benötigen, können Sie die Quadratwurzeln mit einem Taschenrechner berechnen. Berechnen Sie die Werte für jede Zahl separat und notieren Sie sie mit der erforderlichen Genauigkeit (z. B. zwei Nachkommastellen). Und führen Sie dann die erforderlichen Rechenoperationen durch, wie bei gewöhnlichen Zahlen. Nehmen wir zum Beispiel an, Sie müssen den ungefähren Wert des Ausdrucks √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 kennen.

Quadratwurzel einer Zahl X angerufene Nummer A, was im Prozess der Multiplikation mit sich selbst ( A*A) kann eine Zahl angeben X.
Diese. A * A = A 2 = X, Und √X = A.

Oben Quadratwurzeln ( √x) können Sie wie andere Zahlen arithmetische Operationen wie Subtraktion und Addition ausführen. Um Wurzeln zu subtrahieren und zu addieren, müssen sie mit Zeichen verbunden werden, die diesen Aktionen entsprechen (z. B √x — √y ).
Und dann bringen Sie die Wurzeln zu ihnen Einfachste Form- Wenn es zwischen ihnen ähnliche gibt, ist eine Kürzung erforderlich. Es besteht darin, die Koeffizienten ähnlicher Terme mit den Vorzeichen der entsprechenden Terme zu nehmen, sie dann in Klammern zu setzen und die gemeinsame Wurzel außerhalb der Klammern des Faktors abzuleiten. Der von uns erhaltene Koeffizient wird nach den üblichen Regeln vereinfacht.

Schritt 1: Quadratwurzeln ziehen

Um Quadratwurzeln zu bilden, müssen Sie zunächst diese Wurzeln ziehen. Dies ist möglich, wenn die Zahlen unter dem Wurzelzeichen perfekte Quadrate sind. Nehmen Sie zum Beispiel den angegebenen Ausdruck √4 + √9 . Erste Nummer 4 ist das Quadrat der Zahl 2 . Zweite Nummer 9 ist das Quadrat der Zahl 3 . Somit können wir die folgende Gleichheit erhalten: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Das war's, das Beispiel ist gelöst. Aber so einfach geht das nicht immer.

Schritt 2. Den Multiplikator der Zahl unter der Wurzel herausziehen

Wenn es unter dem Wurzelzeichen keine perfekten Quadrate gibt, können Sie versuchen, den Multiplikator der Zahl unter dem Wurzelzeichen zu entfernen. Nehmen wir zum Beispiel den Ausdruck √24 + √54 .

Faktorisieren Sie die Zahlen:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Unter 24 Wir haben einen Multiplikator 4 , es kann unter dem Quadratwurzelzeichen herausgezogen werden. Unter 54 Wir haben einen Multiplikator 9 .

Wir bekommen Gleichheit:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Angesichts dieses Beispiel erhalten wir den Faktor, der unter dem Wurzelzeichen entfernt wird, wodurch der gegebene Ausdruck vereinfacht wird.

Schritt 3: Den Nenner reduzieren

Stellen Sie sich die folgende Situation vor: Die Summe zweier Quadratwurzeln ist der Nenner des Bruchs, zum Beispiel: A/(√a + √b).
Jetzt stehen wir vor der Aufgabe, „die Irrationalität im Nenner loszuwerden“.
Verwenden wir die folgende Methode: Multiplizieren Sie Zähler und Nenner des Bruchs mit dem Ausdruck √a - √b.

Wir erhalten nun die abgekürzte Multiplikationsformel im Nenner:
(√a + √b) * (√a – √b) = a – b.

Ähnlich verhält es sich, wenn der Nenner eine Wurzeldifferenz hat: √a - √b, Zähler und Nenner des Bruchs werden mit dem Ausdruck multipliziert √a + √b.

Nehmen wir als Beispiel den Bruch:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Beispiel einer komplexen Nennerreduktion

Nun betrachten wir ein ziemlich komplexes Beispiel für die Beseitigung der Irrationalität im Nenner.

Nehmen wir zum Beispiel einen Bruch: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Sie müssen Zähler und Nenner nehmen und mit dem Ausdruck multiplizieren √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Schritt 4. Berechnen Sie den ungefähren Wert mit dem Taschenrechner

Wenn Sie nur einen ungefähren Wert benötigen, können Sie dies mit einem Taschenrechner tun, indem Sie den Wert der Quadratwurzeln berechnen. Der Wert wird für jede Zahl separat berechnet und mit der erforderlichen Genauigkeit, die durch die Anzahl der Nachkommastellen bestimmt wird, notiert. Als nächstes werden alle erforderlichen Operationen wie bei gewöhnlichen Zahlen ausgeführt.

Beispiel für die Berechnung eines Näherungswerts

Es ist notwendig, den ungefähren Wert dieses Ausdrucks zu berechnen √7 + √5 .

Als Ergebnis erhalten wir:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Bitte beachten Sie: Auf keinen Fall sollten Sie Quadratwurzeln addieren Primzahlen, das ist völlig inakzeptabel. Das heißt, wenn wir die Quadratwurzel aus fünf und die Quadratwurzel aus drei addieren, können wir nicht die Quadratwurzel aus acht erhalten.

Hilfreicher Rat: Wenn Sie sich entscheiden, eine Zahl zu faktorisieren, müssen Sie zur Ableitung des Quadrats unter dem Wurzelzeichen eine umgekehrte Prüfung durchführen, d. h. alle aus den Berechnungen resultierenden Faktoren multiplizieren und das Endergebnis erhalten Die mathematische Berechnung sollte die Zahl sein, die uns ursprünglich gegeben wurde.

Regeln zum Subtrahieren von Wurzeln

1. Die Wurzel eines Grades aus einem Produkt nichtnegativer Zahlen ist gleich dem Produkt von Wurzeln gleichen Grades aus Faktoren: wo (die Regel zum Ziehen einer Wurzel aus einem Produkt).

2. Wenn , dann y (die Regel zum Ziehen der Wurzel eines Bruchs).

3. Wenn dann (die Regel zum Extrahieren einer Wurzel aus einer Wurzel).

4. Wenn dann die Regel für die Potenzierung der Wurzel).

5. Wenn dann wo, d. h. der Exponent der Wurzel und der Exponent des Wurzelausdrucks können mit derselben Zahl multipliziert werden.

6. Wenn dann 0, d. h. einem größeren positiven Radikalausdruck entspricht und höherer Wert Wurzel

7. Alle oben genannten Formeln werden häufig in umgekehrter Reihenfolge (d. h. von rechts nach links) angewendet. Zum Beispiel,

(Regel der Wurzelmultiplikation);

(Regel der Wurzelteilung);

8. Die Regel zum Entfernen des Multiplikators unter dem Wurzelzeichen. Bei

9. Das umgekehrte Problem besteht darin, einen Multiplikator unter dem Vorzeichen der Wurzel einzuführen. Zum Beispiel,

10. Beseitigung der Irrationalität im Nenner eines Bruchs.

Schauen wir uns einige typische Fälle an.

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Zum Beispiel,

11. Anwendung abgekürzter Multiplikationsidentitäten auf Operationen mit arithmetischen Wurzeln:

12. Der Faktor vor der Wurzel wird Koeffizient genannt. Hier ist beispielsweise 3 der Koeffizient.

13. Wurzeln (Radikale) heißen ähnlich, wenn sie die gleichen Wurzelindizes und die gleichen Radikalausdrücke haben und sich nur im Koeffizienten unterscheiden. Um zu beurteilen, ob diese Wurzeln (Radikale) ähnlich sind oder nicht, müssen Sie sie auf ihre einfachste Form reduzieren.

Zum Beispiel und sind seitdem ähnlich

ÜBUNGEN MIT LÖSUNGEN

1. Ausdrücke vereinfachen:

Lösung. 1) Es macht keinen Sinn, den Wurzelausdruck zu multiplizieren, da jeder der Faktoren das Quadrat einer ganzen Zahl darstellt. Verwenden wir die Regel zum Extrahieren der Wurzel eines Produkts:

Zukünftig werden wir solche Handlungen mündlich durchführen.

2) Versuchen wir, wenn möglich, den Wurzelausdruck als Produkt von Faktoren darzustellen, von denen jeder die dritte Potenz einer ganzen Zahl ist, und wenden wir die Regel über die Wurzel des Produkts an:

2. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Lösung. 1) Gemäß der Regel zum Ziehen der Wurzel eines Bruchs gilt:

3) Transformieren Sie die Wurzelausdrücke und extrahieren Sie die Wurzel:

3. Vereinfachen Sie wann

Lösung. Beim Extrahieren einer Wurzel aus einer Wurzel werden die Indikatoren der Wurzeln multipliziert, der Wurzelausdruck bleibt jedoch unverändert

Wenn sich vor der Wurzel ein Koeffizient befindet, der sich unter der Wurzel befindet, geben Sie diesen Koeffizienten vor dem Ziehen der Wurzel unter dem Vorzeichen des Radikals ein, vor dem er erscheint.

Basierend auf den oben genannten Regeln extrahieren wir die letzten beiden Wurzeln:

4. Zur Potenz erheben:

Lösung. Bei der Potenzierung einer Wurzel bleibt der Exponent der Wurzel unverändert und die Exponenten des Wurzelausdrucks werden mit dem Exponenten multipliziert.

(da es definiert ist, dann );

Wenn eine gegebene Wurzel einen Koeffizienten hat, wird dieser Koeffizient separat potenziert und das Ergebnis als Koeffizient der Wurzel geschrieben.

Hier haben wir die Regel verwendet, dass der Indikator der Wurzel und der Indikator des Wurzelausdrucks mit derselben Zahl multipliziert werden können (wir haben mit multipliziert, d. h. durch 2 geteilt).

Zum Beispiel, oder

4) Der Ausdruck in Klammern, der die Summe zweier verschiedener Radikale darstellt, wird quadriert und vereinfacht:

Seit wir ... Haben:

5. Eliminieren Sie die Irrationalität im Nenner:

Lösung. Um die Irrationalität im Nenner eines Bruchs zu beseitigen (zu zerstören), müssen Sie den einfachsten Ausdruck finden, der in einem Produkt mit einem Nenner einen rationalen Ausdruck ergibt, und Zähler und Nenner dieses Bruchs mit dem gefundenen Faktor multiplizieren.

Wenn beispielsweise der Nenner eines Bruchs ein Binomial enthält, müssen Zähler und Nenner des Bruchs mit dem zum Nenner konjugierten Ausdruck multipliziert werden, d. h. die Summe muss mit der entsprechenden Differenz multipliziert werden und umgekehrt.

In komplexeren Fällen wird die Irrationalität nicht sofort, sondern in mehreren Schritten zerstört.

1) Der Ausdruck muss enthalten

Wenn wir Zähler und Nenner des Bruchs mit multiplizieren, erhalten wir:

2) Multiplizieren wir Zähler und Nenner des Bruchs mit dem Teilquadrat der Summe, erhalten wir:

3) Bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner:

Bei der Lösung dieses Beispiels müssen wir bedenken, dass jeder Bruch eine Bedeutung hat, das heißt, der Nenner jedes Bruchs ist ungleich Null. Außerdem,

Bei der Konvertierung von Ausdrücken, die Radikale enthalten, passieren häufig Fehler. Sie werden durch die Unfähigkeit verursacht, das Konzept (Definition) einer arithmetischen Wurzel und eines Absolutwerts richtig anzuwenden.

Regeln zum Subtrahieren von Wurzeln

Berechnen Sie den Wert eines Ausdrucks

Lösung.

Erläuterung.
Um den Wurzelausdruck zu reduzieren, stellen Sie sich die Zahl 31 im zweiten Faktor in seinem Wurzelausdruck als die Summe von 15+16 vor. (Zeile 2)

Nach der Transformation ist klar, dass die Summe im zweiten Wurzelausdruck mithilfe der abgekürzten Multiplikationsformeln als Quadrat der Summe dargestellt werden kann. (Zeile 3)

Stellen wir uns nun jede Wurzel dieses Produkts als Grad vor. (Zeile 4)

Vereinfachen wir den Ausdruck (Zeile 5)

Da der Grad des Produkts gleich dem Produkt der Grade der einzelnen Faktoren ist, stellen wir ihn entsprechend dar (Zeile 6).

Wie Sie sehen können, ermitteln wir mit den abgekürzten Multiplikationsformeln die Differenz zwischen den Quadraten zweier Zahlen. Von dort berechnen wir den Wert des Ausdrucks (Zeile 7)

Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks.

Lösung.

Erläuterung.

Wir nutzen die Eigenschaften der Wurzel, dass die Wurzel einer beliebigen Potenz eines Zahlenquotienten gleich dem Quotienten der Wurzeln dieser Zahlen ist (Zeile 2).

Die Wurzel einer beliebigen Potenz einer Zahl gleicher Potenz ist gleich dieser Zahl (Zeile 3)

Nehmen wir das Minus aus den Klammern des ersten Faktors. In diesem Fall ändern sich alle Vorzeichen innerhalb der Klammern ins Gegenteil (Zeile 4).

Führen wir eine Bruchreduktion durch (Zeile 5)

Stellen wir uns die Zahl 729 als das Quadrat der Zahl 27 und die Zahl 27 als die Potenz der Zahl 3 vor. Von dort erhalten wir den Wert des Wurzelausdrucks.

Quadratwurzel. Erste Ebene.

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1. Einführung in das Konzept der arithmetischen Quadratwurzel

Die Quadratwurzel (arithmetische Quadratwurzel) einer nicht negativen Zahl ist eine nicht negative Zahl, deren Quadrat gleich ist.
.

Die Zahl oder der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen darf nicht negativ sein

2. Quadrattabelle

3. Eigenschaften der arithmetischen Quadratwurzel

Einführung in das Konzept der arithmetischen Quadratwurzel

Versuchen wir herauszufinden, was dieses Konzept der „Wurzel“ ist und „womit sie gegessen wird“. Schauen wir uns dazu Beispiele an, die Ihnen im Unterricht bereits begegnet sind (nun ja, oder denen Sie gerade begegnen werden).

Wir haben zum Beispiel eine Gleichung. Was ist die Lösung gegebene Gleichung? Welche Zahlen können quadriert und erhalten werden? Wenn Sie sich an die Multiplikationstabelle erinnern, können Sie die Antwort leicht geben: und (schließlich erhält man bei der Multiplikation zweier negativer Zahlen eine positive Zahl)! Zur Vereinfachung führten Mathematiker das spezielle Konzept der Quadratwurzel ein und ordneten ihr ein spezielles Symbol zu.

Definieren wir die arithmetische Quadratwurzel.

Warum muss die Zahl nicht negativ sein? Was ist zum Beispiel gleich? Nun, nun, versuchen wir, einen auszuwählen. Vielleicht drei? Überprüfen wir: , nicht. Vielleicht, ? Wir überprüfen noch einmal: . Na, es passt nicht? Das ist zu erwarten – denn es gibt keine Zahlen, die quadriert eine negative Zahl ergeben!

Sie haben jedoch wahrscheinlich bereits bemerkt, dass die Definition besagt, dass die Lösung der Quadratwurzel „eine Zahl eine solche nichtnegative Zahl ist, deren Quadrat gleich ist“. Und ganz am Anfang haben wir das Beispiel analysiert, Zahlen ausgewählt, die quadriert und erhalten werden können, die Antwort war und, aber hier sprechen wir von einer Art „nichtnegativer Zahl“! Diese Bemerkung ist durchaus angebracht. Hier müssen Sie nur die Konzepte differenzieren quadratische Gleichungen und die arithmetische Quadratwurzel der Zahl. Entspricht beispielsweise nicht dem Ausdruck.

Und daraus folgt.

Das ist natürlich sehr verwirrend, aber man muss bedenken, dass die Vorzeichen das Ergebnis der Lösung der Gleichung sind, da wir beim Lösen der Gleichung alle X aufschreiben müssen, die, wenn sie in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden, das Ergebnis ergeben richtiges Ergebnis. Beide passen in unsere quadratische Gleichung.

Jedoch, Wenn Sie einfach die Quadratwurzel aus etwas ziehen, erhalten Sie immer ein nicht negatives Ergebnis.

Versuchen Sie nun, diese Gleichung zu lösen. Nicht mehr alles ist so einfach und reibungslos, oder? Versuchen Sie, die Zahlen durchzugehen, vielleicht klappt etwas?

Fangen wir ganz von vorne an – von vorne: – passt nicht, weitermachen; – weniger als drei, wir lehnen es auch ab, aber was wäre, wenn? Schauen wir mal nach: – passt auch nicht, weil das sind mehr als drei. Dasselbe gilt auch für negative Zahlen. Was sollen wir also jetzt tun? Hat die Suche wirklich nichts ergeben? Überhaupt nicht, jetzt wissen wir mit Sicherheit, dass die Antwort eine Zahl zwischen und sowie zwischen und sein wird. Außerdem werden die Lösungen offensichtlich keine ganzen Zahlen sein. Darüber hinaus sind sie nicht rational. Und was dann? Lassen Sie uns die Funktion grafisch darstellen und die Lösungen darauf markieren.

Versuchen wir, das System zu täuschen und die Antwort mithilfe eines Taschenrechners zu erhalten! Holen wir die Wurzel raus! Oh-oh-oh, es stellt sich heraus, dass diese Zahl nie endet. Wie können Sie sich das merken, da es in der Prüfung keinen Taschenrechner geben wird!? Alles ist sehr einfach, Sie müssen sich nicht daran erinnern, Sie müssen sich nur den ungefähren Wert merken (oder schnell abschätzen können). und die Antworten selbst. Solche Zahlen werden irrational genannt; um das Schreiben solcher Zahlen zu vereinfachen, wurde das Konzept einer Quadratwurzel eingeführt.
Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an, um dies zu untermauern. Schauen wir uns das folgende Problem an: Sie müssen ein quadratisches Feld mit einer Seitenlänge von km diagonal überqueren. Wie viele km müssen Sie zurücklegen?

Am naheliegendsten ist es hier, das Dreieck separat zu betrachten und den Satz des Pythagoras zu verwenden: . Auf diese Weise, . Wie groß ist hier also der erforderliche Abstand? Offensichtlich kann der Abstand nicht negativ sein, das verstehen wir. Die Wurzel aus zwei ist ungefähr gleich, aber wie wir bereits erwähnt haben, ist sie bereits eine vollständige Antwort.

Wurzelextraktion

Um Beispiele mit Wurzeln zu lösen, ohne Probleme zu verursachen, müssen Sie sie sehen und erkennen. Dazu müssen Sie zumindest die Quadrate der Zahlen von bis kennen und diese auch erkennen können.

Das heißt, Sie müssen wissen, was einem Quadrat entspricht und umgekehrt auch, was einem Quadrat entspricht. Diese Tabelle hilft Ihnen zunächst beim Extrahieren der Wurzel.

Sobald Sie eine ausreichende Anzahl von Beispielen gelöst haben, wird die Notwendigkeit dafür automatisch verschwinden.
Versuchen Sie, die Quadratwurzel der folgenden Ausdrücke selbst zu finden:

Na, wie hat es geklappt? Schauen wir uns nun diese Beispiele an:

Eigenschaften der arithmetischen Quadratwurzel

Nachdem Sie nun wissen, wie man Wurzeln zieht, ist es an der Zeit, sich mit den Eigenschaften der arithmetischen Quadratwurzel vertraut zu machen. Es gibt nur 3 davon:

• Multiplikation;
• Aufteilung;
• Potenzierung.

Mit Hilfe dieser Tabelle und natürlich dem Training sind sie ganz einfach zu merken:

Wie man sich entscheidet
quadratische Gleichungen

In den vorherigen Lektionen haben wir uns mit „Wie man lineare Gleichungen löst“, also Gleichungen ersten Grades, befasst. In dieser Lektion werden wir uns das ansehen was man eine quadratische Gleichung nennt und wie man es löst.

Was ist eine quadratische Gleichung?

Der Grad einer Gleichung wird durch den höchsten Grad bestimmt, in dem das Unbekannte steht.

Wenn die maximale Potenz der Unbekannten „2“ ist, dann haben Sie eine quadratische Gleichung.

Beispiele für quadratische Gleichungen

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

Um „a“, „b“ und „c“ zu finden, müssen Sie Ihre Gleichung mit der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung „ax 2 + bx + c = 0“ vergleichen.

Üben wir die Identifizierung der Koeffizienten „a“, „b“ und „c“ in quadratischen Gleichungen.

• a = 5
• b = −14
• c = 17

• a = −7
• b = −13
• c = 8

• a = −1
• b = 1

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

So lösen Sie quadratische Gleichungen

Im Gegensatz zu lineare Gleichungen um quadratische Gleichungen zu lösen, ein besonderes Formel zum Finden von Wurzeln.

Um eine quadratische Gleichung zu lösen, benötigen Sie:

• Reduzieren Sie die quadratische Gleichung auf Gesamterscheinung„ax 2 + bx + c = 0“. Das heißt, auf der rechten Seite sollte nur „0“ verbleiben;
• Verwenden Sie die Formel für Wurzeln:

Schauen wir uns ein Beispiel an, wie man die Formel verwendet, um die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu finden. Lassen Sie uns eine quadratische Gleichung lösen.

Die Gleichung „x 2 − 3x − 4 = 0“ wurde bereits auf die allgemeine Form „ax 2 + bx + c = 0“ reduziert und bedarf keiner weiteren Vereinfachungen. Um es zu lösen, müssen wir uns nur bewerben Formel zum Finden der Wurzeln einer quadratischen Gleichung.

Bestimmen wir die Koeffizienten „a“, „b“ und „c“ für diese Gleichung.

• a = 1
• b = −3
• c = −4

Setzen wir sie in die Formel ein und finden wir die Wurzeln.

Merken Sie sich unbedingt die Formel zum Finden von Wurzeln.

Es kann verwendet werden, um jede quadratische Gleichung zu lösen.

Schauen wir uns ein weiteres Beispiel einer quadratischen Gleichung an.

In dieser Form ist es recht schwierig, die Koeffizienten „a“, „b“ und „c“ zu bestimmen. Reduzieren wir zunächst die Gleichung auf die allgemeine Form „ax 2 + bx + c = 0“.

Jetzt können Sie die Formel für die Wurzeln verwenden.

Es gibt Zeiten, in denen quadratische Gleichungen keine Wurzeln haben. Diese Situation tritt auf, wenn die Formel unter der Wurzel eine negative Zahl enthält.

Aus der Definition einer Quadratwurzel wissen wir, dass es unmöglich ist, die Quadratwurzel einer negativen Zahl zu ziehen.

Betrachten Sie ein Beispiel einer quadratischen Gleichung, die keine Wurzeln hat.

Wir haben also eine Situation, in der die Wurzel eine negative Zahl hat. Das bedeutet, dass die Gleichung keine Wurzeln hat. Deshalb haben wir als Antwort geschrieben: „Es gibt keine wirklichen Wurzeln.“

Was bedeuten die Worte „keine echten Wurzeln“? Warum kann man nicht einfach „keine Wurzeln“ schreiben?

Tatsächlich gibt es in solchen Fällen Wurzeln, die jedoch nicht im Lehrplan der Schule gelehrt werden. Daher schreiben wir als Antwort, dass es zwischen den reellen Zahlen keine Wurzeln gibt. Mit anderen Worten: „Es gibt keine wirklichen Wurzeln.“

Unvollständige quadratische Gleichungen

Manchmal gibt es quadratische Gleichungen, in denen die Koeffizienten „b“ und/oder „c“ explizit fehlen. Zum Beispiel in dieser Gleichung:

Solche Gleichungen werden unvollständige quadratische Gleichungen genannt. Wie man sie löst, wird in der Lektion „Unvollständige quadratische Gleichungen“ besprochen.

Der einfachste Weg, eine Wurzel von einer Zahl zu subtrahieren, ist mit einem Taschenrechner. Wenn Sie jedoch keinen Taschenrechner haben, müssen Sie den Algorithmus zur Berechnung der Quadratwurzel kennen. Tatsache ist, dass unter der Wurzel eine quadrierte Zahl steht. Beispielsweise ist 4 zum Quadrat 16. Das heißt, die Quadratwurzel aus 16 ist gleich vier. Außerdem ist 5 zum Quadrat 25. Daher ist die Wurzel aus 25 5. Und so weiter.

Wenn die Zahl klein ist, kann sie leicht verbal subtrahiert werden. Beispielsweise ist die Wurzel aus 25 gleich 5 und die Wurzel aus 144-12. Sie können auch mit dem Taschenrechner rechnen; es gibt ein spezielles Root-Symbol; Sie müssen die Zahl eingeben und auf das Symbol klicken.

Eine Tabelle mit Quadratwurzeln hilft auch:

Es gibt auch Methoden, die aufwendiger, aber sehr effektiv sind:

Die Wurzel einer beliebigen Zahl kann mit einem Taschenrechner subtrahiert werden, zumal sie heutzutage in jedem Telefon verfügbar sind.

Sie können versuchen, das Ergebnis einer bestimmten Zahl grob abzuschätzen, indem Sie eine Zahl mit sich selbst multiplizieren.



Die Quadratwurzel einer Zahl zu berechnen ist nicht schwierig, insbesondere wenn Sie eine spezielle Tabelle haben. Eine bekannte Tabelle aus dem Algebraunterricht. Diese Operation wird als Ziehen der Quadratwurzel einer Zahl bezeichnet, mit anderen Worten als Lösen einer Gleichung. Fast alle Rechner auf Smartphones verfügen über eine Funktion zur Bestimmung der Quadratwurzel.



Das Ergebnis des Ziehens der Quadratwurzel aus einer bekannten Zahl ist eine andere Zahl, die, wenn sie auf die zweite Potenz (Quadrat) erhöht wird, dieselbe Zahl ergibt, die wir kennen. Schauen wir uns eine der Berechnungsbeschreibungen an, die kurz und klar erscheint:







Hier ein Video zum Thema:

Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Quadratwurzel einer Zahl zu berechnen.

Die beliebteste Methode ist die Verwendung einer speziellen Root-Tabelle (siehe unten).

Außerdem verfügt jeder Rechner über eine Funktion, mit der Sie die Wurzel ermitteln können.

Oder mit einer speziellen Formel.



Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Quadratwurzel einer Zahl zu ziehen. Einer von ihnen ist am schnellsten, nämlich mit einem Taschenrechner.

Wenn Sie jedoch keinen Taschenrechner haben, können Sie dies auch manuell tun.

Das Ergebnis wird korrekt sein.

Das Prinzip ist fast das gleiche wie beim Teilen durch eine Spalte:



















Versuchen wir, die Quadratwurzel einer Zahl ohne Taschenrechner zu finden, zum Beispiel 190969.







Somit ist alles äußerst einfach. Bei Berechnungen kommt es vor allem darauf an, bestimmte Regeln einzuhalten einfache Regeln und logisch denken.

Dazu benötigen Sie eine Quadrattabelle



Zum Beispiel ist die Wurzel von 100 = 10, von 20 = 400 von 43 = 1849

Mittlerweile können fast alle Taschenrechner, auch die auf Smartphones, die Quadratwurzel einer Zahl berechnen. ABER wenn Sie keinen Taschenrechner haben, können Sie die Wurzel einer Zahl auf verschiedene einfache Arten ermitteln:

Zerlegung in Primfaktoren



Faktorisieren Sie die Wurzelzahl in Faktoren, die es sind Quadratzahl. Abhängig von der Wurzelzahl erhalten Sie eine ungefähre oder genaue Antwort. Quadratzahlen sind Zahlen, aus denen die ganze Quadratwurzel gezogen werden kann. Faktoren einer Zahl, deren Multiplikation die ursprüngliche Zahl ergibt. Beispielsweise sind die Faktoren der Zahl 8 2 und 4, da 2 x 4 = 8, die Zahlen 25, 36, 49 sind Quadratzahlen, da 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7. Quadratfaktoren sind Faktoren, die sind Quadratzahlen. Versuchen Sie zunächst, die Wurzelzahl in Quadratfaktoren zu zerlegen.

Berechnen Sie beispielsweise die Quadratwurzel von 400 (von Hand). Versuchen Sie zunächst, 400 in Quadratfaktoren zu faktorisieren. 400 ist ein Vielfaches von 100, also eine durch 25 teilbare Quadratzahl. Wenn man 400 durch 25 teilt, erhält man 16, was ebenfalls eine Quadratzahl ist. Somit kann 400 in die Quadratfaktoren von 25 und 16 zerlegt werden, also 25 x 16 = 400.

Schreiben Sie es auf als: 400 = (25 x 16).



Die Quadratwurzel des Produkts einiger Terme ist gleich dem Produkt der Quadratwurzeln jedes Termes, also (a x b) = a x b. Ziehen Sie mithilfe dieser Regel die Quadratwurzel jedes Quadratfaktors und multiplizieren Sie die Ergebnisse, um die Antwort zu finden.

Ziehen Sie in unserem Beispiel die Wurzel aus 25 und 16.



Wenn die Wurzelzahl nicht in zwei Quadratfaktoren zerlegt wird (was in den meisten Fällen der Fall ist), können Sie die genaue Antwort nicht in Form einer ganzen Zahl finden. Sie können das Problem jedoch vereinfachen, indem Sie die Wurzelzahl in einen Quadratfaktor und einen gewöhnlichen Faktor (eine Zahl, aus der nicht die ganze Quadratwurzel gezogen werden kann) zerlegen. Dann ziehen Sie die Quadratwurzel aus dem Quadratfaktor und ziehen die Wurzel aus dem gemeinsamen Faktor.

Berechnen Sie beispielsweise die Quadratwurzel der Zahl 147. Die Zahl 147 lässt sich nicht in zwei Quadratfaktoren zerlegen, wohl aber in die folgenden Faktoren: 49 und 3. Lösen Sie das Problem wie folgt:



Jetzt können Sie den Wert der Wurzel schätzen (einen Näherungswert finden), indem Sie ihn mit den Werten der Wurzeln der Quadratzahlen vergleichen, die der Grundzahl am nächsten liegen (auf beiden Seiten der Zahlenlinie). Den Wurzelwert erhalten Sie als Dezimalbruch, der mit der Zahl hinter dem Wurzelzeichen multipliziert werden muss.

Kehren wir zu unserem Beispiel zurück. Die Wurzelzahl ist 3. Die ihr am nächsten liegenden Quadratzahlen sind die Zahlen 1 (1 = 1) und 4 (4 = 2). Somit liegt der Wert von 3 zwischen 1 und 2. Da der Wert von 3 wahrscheinlich näher bei 2 als bei 1 liegt, lautet unsere Schätzung: 3 = 1,7. Wir multiplizieren diesen Wert mit der Zahl am Wurzelzeichen: 7 x 1,7 = 11,9. Wenn Sie mit einem Taschenrechner rechnen, erhalten Sie 12,13, was unserer Antwort ziemlich nahe kommt.

Diese Methode funktioniert auch mit großen Zahlen. Betrachten Sie zum Beispiel 35. Die Wurzelzahl ist 35. Die ihr am nächsten kommenden Quadratzahlen sind die Zahlen 25 (25 = 5) und 36 (36 = 6). Somit liegt der Wert von 35 zwischen 5 und 6. Da der Wert von 35 viel näher an 6 als an 5 liegt (weil 35 nur 1 kleiner als 36 ist), können wir sagen, dass 35 etwas kleiner als 6 ist. Überprüfen wir weiter Der Rechner gibt uns als Antwort 5,92 – wir hatten recht.



Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Wurzelzahl in Primfaktoren zu zerlegen. Primfaktoren von Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Schreiben Sie die Primfaktoren in eine Reihe und finden Sie Paare identischer Faktoren. Solche Faktoren können aus dem Wurzelzeichen entnommen werden.

Berechnen Sie beispielsweise die Quadratwurzel von 45. Wir zerlegen die Wurzelzahl in Primfaktoren: 45 = 9 x 5 und 9 = 3 x 3. Somit ist 45 = (3 x 3 x 5). 3 kann als Wurzelzeichen herausgenommen werden: 45 = 35. Jetzt können wir 5 auswerten.

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an: 88.

= (2 x 4 x 11)

= (2 x 2 x 2 x 11). Sie haben drei Multiplikatoren von 2 erhalten; Nehmen Sie ein paar davon und verschieben Sie sie über das Wurzelzeichen hinaus.

2(2 x 11) = 22 x 11. Jetzt können Sie 2 und 11 auswerten und eine ungefähre Antwort finden.

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Um die Wurzel einer Zahl zu extrahieren, sollten Sie einen Taschenrechner verwenden. Wenn Sie keinen geeigneten haben, empfehle ich Ihnen, diese Website aufzurufen und das Problem mit zu lösen Online-Rechner, was den korrekten Wert in Sekunden angibt.

In der Mathematik können Wurzeln quadratisch oder kubisch sein oder einen beliebigen anderen Exponenten (Potenz) haben, der links über dem Wurzelzeichen geschrieben wird. Ein Ausdruck unter dem Wurzelzeichen wird als radikaler Ausdruck bezeichnet. Das Hinzufügen von Wurzeln ähnelt dem Hinzufügen von Termen eines algebraischen Ausdrucks, das heißt, es erfordert die Bestimmung ähnlicher Wurzeln.

Schritte

Bezeichnung der Wurzeln. Ein Ausdruck unter dem Wurzelzeichen () bedeutet, dass aus diesem Ausdruck die Wurzel eines bestimmten Grades extrahiert werden muss.

• Die Wurzel ist durch ein Schild gekennzeichnet.
• Der Exponent (Grad) der Wurzel wird links über dem Wurzelzeichen geschrieben. Die Kubikwurzel von 27 wird beispielsweise wie folgt geschrieben: (27)
• Fehlt der Index (Grad) der Wurzel, dann wird der Exponent als gleich 2 betrachtet, d. h. er ist eine Quadratwurzel (oder Wurzel zweiten Grades).
• Die vor dem Wurzelzeichen geschriebene Zahl wird als Multiplikator bezeichnet (d. h. diese Zahl wird mit der Wurzel multipliziert), zum Beispiel 5 (2)
• Wenn vor der Wurzel kein Faktor steht, ist sie gleich 1 (denken Sie daran, dass jede mit 1 multiplizierte Zahl sich selbst entspricht).
• Wenn Sie zum ersten Mal mit Wurzeln arbeiten, machen Sie sich entsprechende Notizen zum Multiplikator und zum Wurzelexponenten, um Verwirrung zu vermeiden und deren Zweck besser zu verstehen.

Denken Sie daran, welche Wurzeln gefaltet werden können und welche nicht. So wie Sie keine unterschiedlichen Begriffe eines Ausdrucks hinzufügen können, zum Beispiel 2a + 2b 4ab, können Sie auch keine unterschiedlichen Wurzeln hinzufügen.

Identifizieren und gruppieren Sie ähnliche Wurzeln.Ähnliche Wurzeln sind Wurzeln, die die gleichen Indikatoren und die gleichen Wurzelausdrücke haben. Betrachten Sie zum Beispiel den Ausdruck:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

• Schreiben Sie zunächst den Ausdruck so um, dass Wurzeln mit demselben Index nacheinander angeordnet sind.
  2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
• Schreiben Sie dann den Ausdruck so um, dass Wurzeln mit demselben Exponenten und demselben Wurzelausdruck sequentiell stehen.
  2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Vereinfachen Sie die Wurzeln. Zerlegen Sie dazu (wo möglich) die Wurzelausdrücke in zwei Faktoren, von denen einer unter der Wurzel herausgenommen wird. In diesem Fall werden die entnommene Zahl und der Wurzelfaktor multipliziert.

Addieren Sie die Faktoren ähnlicher Wurzeln. In unserem Beispiel gibt es ähnliche Quadratwurzeln von 2 (sie können addiert werden) und ähnliche Quadratwurzeln von 3 (sie können auch addiert werden). U Kubikwurzel Von 3 gibt es keine solchen Wurzeln.

• Es gibt keine allgemein anerkannten Regeln für die Reihenfolge, in der Wurzeln in einem Ausdruck geschrieben werden. Daher können Sie Wurzeln in aufsteigender Reihenfolge ihrer Indikatoren und in aufsteigender Reihenfolge ihrer Wurzelausdrücke schreiben.

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Das Thema Quadratwurzeln ist im schulischen Mathematiklehrplan verpflichtend. Beim Lösen quadratischer Gleichungen können Sie auf sie nicht verzichten. Und später wird es notwendig, nicht nur die Wurzeln zu extrahieren, sondern auch andere Aktionen damit durchzuführen. Darunter sind recht komplexe: Potenzierung, Multiplikation und Division. Es gibt aber auch ganz einfache: Subtraktion und Addition von Wurzeln. Sie scheinen übrigens nur auf den ersten Blick so zu sein. Für jemanden, der gerade erst anfängt, sich mit ihnen vertraut zu machen, ist es nicht immer einfach, sie fehlerfrei auszuführen.

Was ist eine mathematische Wurzel?

Diese Aktion entstand im Gegensatz zur Potenzierung. Die Mathematik schlägt zwei gegensätzliche Operationen vor. Für die Addition gibt es eine Subtraktion. Multiplikation steht im Gegensatz zur Division. Die umgekehrte Wirkung eines Grades besteht darin, die entsprechende Wurzel zu extrahieren.

Wenn der Grad zwei ist, ist die Wurzel quadratisch. Es kommt am häufigsten in der Schulmathematik vor. Es gibt nicht einmal einen Hinweis darauf, dass es quadratisch ist, das heißt, die Zahl 2 ist nicht daneben zugeordnet. Die mathematische Schreibweise dieses Operators (Radikal) ist in der Abbildung dargestellt.

Seine Definition ergibt sich nahtlos aus der beschriebenen Aktion. Um die Quadratwurzel einer Zahl zu ziehen, müssen Sie herausfinden, was der Wurzelausdruck ergibt, wenn er mit sich selbst multipliziert wird. Diese Zahl ist die Quadratwurzel. Wenn wir das mathematisch aufschreiben, erhalten wir Folgendes: x*x=x 2 =y, also √y=x.

Welche Aktionen können Sie mit ihnen durchführen?

Im Kern ist eine Wurzel eine gebrochene Potenz mit einer Eins im Zähler. Und der Nenner kann alles sein. Beispielsweise hat die Quadratwurzel zwei. Daher gelten alle Aktionen, die mit Kräften ausgeführt werden können, auch für Roots.

Und die Anforderungen für diese Aktionen sind dieselben. Wenn Multiplikation, Division und Potenzierung den Schülern keine Schwierigkeiten bereiten, führt das Addieren von Wurzeln ebenso wie das Subtrahieren manchmal zu Verwirrung. Und das alles, weil ich diese Operationen ohne Rücksicht auf das Vorzeichen der Wurzel durchführen möchte. Und hier beginnen die Fehler.

Welche Regeln gelten für das Addieren und Subtrahieren?

Zuerst müssen Sie sich zwei kategorische „Verbote“ merken:

• es ist unmöglich, Additionen und Subtraktionen von Wurzeln wie bei Primzahlen durchzuführen, das heißt, es ist unmöglich, radikale Ausdrücke der Summe unter einem Vorzeichen zu schreiben und damit mathematische Operationen durchzuführen;
• Sie können keine Wurzeln mit unterschiedlichen Exponenten addieren und subtrahieren, beispielsweise quadratisch und kubisch.

Ein klares Beispiel für das erste Verbot: √6 + √10 ≠ √16, aber √(6 + 10) = √16.

Im zweiten Fall ist es besser, sich auf die Vereinfachung der Wurzeln selbst zu beschränken. Und hinterlassen Sie ihren Betrag in der Antwort.

Nun zu den Regeln

1. Finden und gruppieren Sie ähnliche Wurzeln. Das heißt, diejenigen, die nicht nur haben gleiche Zahlen unter dem Radikalen, aber sie selbst haben einen Indikator.
2. Führen Sie im ersten Schritt das Hinzufügen der zu einer Gruppe zusammengefassten Wurzeln durch. Die Implementierung ist einfach, da Sie nur die Werte hinzufügen müssen, die vor den Radikalen stehen.
3. Extrahieren Sie die Wurzeln derjenigen Begriffe, in denen der Wurzelausdruck ein ganzes Quadrat bildet. Mit anderen Worten: Lassen Sie nichts im Zeichen eines Radikalen stehen.
4. Vereinfachen Sie radikale Ausdrücke. Dazu müssen Sie sie in Primfaktoren zerlegen und prüfen, ob sie das Quadrat einer beliebigen Zahl ergeben. Es ist klar, dass dies zutrifft, wenn wir über die Quadratwurzel sprechen. Wenn der Exponent drei oder vier ist, müssen die Primfaktoren die dritte Potenz oder die vierte Potenz der Zahl ergeben.
5. Entfernen Sie unter dem Zeichen des Radikalen den Faktor, der dem Ganzen Kraft verleiht.
6. Sehen Sie nach, ob ähnliche Begriffe erneut auftauchen. Wenn ja, führen Sie den zweiten Schritt erneut aus.

In einer Situation, in der die Aufgabe nicht erforderlich ist genauer Wert Wurzel, es kann mit einem Taschenrechner berechnet werden. Endlos Dezimal, das in seinem Fenster erscheint, aufrunden. Am häufigsten erfolgt dies auf Hundertstel genau. Und führen Sie dann alle Operationen für Dezimalbrüche durch.

Dies sind alle Informationen zum Hinzufügen von Wurzeln. Die folgenden Beispiele veranschaulichen das oben Gesagte.

Erste Aufgabe

Berechnen Sie den Wert von Ausdrücken:

a) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

c) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

a) Wenn Sie dem obigen Algorithmus folgen, können Sie sehen, dass es in diesem Beispiel für die ersten beiden Aktionen nichts gibt. Aber Sie können einige radikale Ausdrücke vereinfachen.

Zerlegen Sie beispielsweise 32 in die beiden Faktoren 2 und 16; 18 ist gleich dem Produkt aus 9 und 2; 128 ist 2 über 64. Vor diesem Hintergrund wird der Ausdruck wie folgt geschrieben:

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9).

Jetzt müssen Sie die Faktoren unter dem Wurzelzeichen entfernen, die das Quadrat der Zahl ergeben. Das ist 16=4 2, 9=3 2, 64=8 2. Der Ausdruck hat die Form:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Wir müssen die Aufnahme etwas vereinfachen. Multiplizieren Sie dazu die Koeffizienten vor den Wurzelzeichen:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

In diesem Ausdruck erwiesen sich alle Begriffe als ähnlich. Daher müssen Sie sie nur falten. Die Antwort lautet: 5√2.

b) Ähnlich wie im vorherigen Beispiel beginnt das Hinzufügen von Wurzeln mit deren Vereinfachung. Die Wurzelausdrücke 75, 147, 48 und 300 werden in den folgenden Paaren dargestellt: 5 und 25, 3 und 49, 3 und 16, 3 und 100. Jeder von ihnen enthält eine Zahl, die unter dem Wurzelzeichen entnommen werden kann :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

Nach der Vereinfachung lautet die Antwort: 5√5 - 5√3. Es kann in dieser Form belassen werden, es ist jedoch besser, den gemeinsamen Faktor 5 aus der Klammer zu nehmen: 5 (√5 - √3).

c) Und noch einmal Faktorisierung: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Nachdem wir die Faktoren unter dem Wurzelzeichen entfernt haben, haben wir:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Nachdem wir ähnliche Begriffe herangezogen haben, erhalten wir das Ergebnis: 7√11.

Beispiel mit gebrochenen Ausdrücken

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

Sie müssen die folgenden Zahlen faktorisieren: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Ähnlich wie bei den bereits besprochenen müssen Sie die Faktoren unter dem Wurzelzeichen entfernen und vereinfache den Ausdruck:

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Dieser Ausdruck erfordert die Beseitigung der Irrationalität im Nenner. Dazu müssen Sie den zweiten Term mit √2/√2 multiplizieren:

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

Um die Aktionen abzuschließen, müssen Sie den gesamten Teil der Faktoren vor den Wurzeln auswählen. Beim ersten ist es 1, beim zweiten ist es 2.