Quadratische Gleichung und Satz des Pythagoras. Geschichte des Satzes des Pythagoras

Laut Van der Waerden ist es sehr wahrscheinlich, dass das Verhältnis stimmt Gesamtansicht war in Babylon bereits um das 18. Jahrhundert v. Chr. bekannt. e.

Um 400 v. Chr. Chr. gab Platon laut Proklos eine Methode zum Auffinden pythagoräischer Drillinge an, indem er Algebra und Geometrie kombinierte. Um 300 v. Chr. e. Der älteste axiomatische Beweis des Satzes des Pythagoras erschien in Euklids Elementen.

Formulierungen

Die Grundformulierung enthält algebraische Operationen – in einem rechtwinkligen Dreieck, dessen Längen gleich sind ein (\displaystyle a) Und b (\displaystyle b), und die Länge der Hypotenuse ist c (\displaystyle c), ist die folgende Beziehung erfüllt:

Eine äquivalente geometrische Formulierung ist auch möglich, indem man auf den Flächenbegriff einer Figur zurückgreift: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des auf der Hypotenuse aufgebauten Quadrats gleich der Summe der Flächen der auf der Hypotenuse aufgebauten Quadrate Beine. Der Satz ist in dieser Form in Euklids Elementen formuliert.

Umgekehrter Satz des Pythagoras- eine Aussage über die Rechtwinkligkeit eines beliebigen Dreiecks, dessen Seitenlängen durch die Beziehung zusammenhängen a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). Als Konsequenz für jedes Tripel positiver Zahlen ein (\displaystyle a), b (\displaystyle b) Und c (\displaystyle c), so dass a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), es gibt ein rechtwinkliges Dreieck mit Beinen ein (\displaystyle a) Und b (\displaystyle b) und Hypotenuse c (\displaystyle c).

Nachweisen

In der wissenschaftlichen Literatur gibt es mindestens 400 Beweise für den Satz des Pythagoras, was sowohl durch seine grundlegende Bedeutung für die Geometrie als auch durch die elementare Natur des Ergebnisses erklärt wird. Die Hauptrichtungen des Beweises: die algebraische Verwendung von Beziehungen zwischen den Elementen eines Dreiecks (z. B. die beliebte Ähnlichkeitsmethode), die Flächenmethode, es gibt auch verschiedene exotische Beweise (z. B. mit Differentialgleichung).

Durch ähnliche Dreiecke

Der klassische Beweis von Euklid zielt darauf ab, die Flächengleichheit zwischen Rechtecken festzustellen, die durch Zerlegen des Quadrats über der Hypotenuse durch die Höhe des rechten Winkels mit den Quadraten über den Beinen gebildet werden.

Die für den Beweis verwendete Konstruktion lautet wie folgt: für ein rechtwinkliges Dreieck mit einem rechten Winkel C (\displaystyle C), Quadrate über den Beinen und und Quadrate über der Hypotenuse A B I K (\displaystyle ABIK) Höhe wird gebaut CH und der Strahl, der es fortsetzt s (\displaystyle s), das Quadrat über der Hypotenuse in zwei Rechtecke teilen und . Der Beweis zielt darauf ab, die Flächengleichheit des Rechtecks ​​festzustellen A H J K (\displaystyle AHJK) mit einem Quadrat über dem Bein A C (\displaystyle AC); Die Gleichheit der Flächen des zweiten Rechtecks, das das Quadrat über der Hypotenuse bildet, und des Rechtecks ​​​​über dem anderen Schenkel wird auf ähnliche Weise hergestellt.

Flächengleichheit eines Rechtecks A H J K (\displaystyle AHJK) Und A C E D (\displaystyle ACED) entsteht durch die Kongruenz von Dreiecken △ A C K ​​​​(\displaystyle \triangle ACK) Und △ A B D (\displaystyle \triangle ABD), deren Fläche jeweils der Hälfte der Fläche der Quadrate entspricht A H J K (\displaystyle AHJK) Und A C E D (\displaystyle ACED) dementsprechend im Zusammenhang mit der folgenden Eigenschaft: Die Fläche eines Dreiecks ist gleich der Hälfte der Fläche eines Rechtecks, wenn die Figuren eine gemeinsame Seite haben und die Höhe des Dreiecks zur gemeinsamen Seite die andere Seite ist das Rechteck. Die Kongruenz von Dreiecken ergibt sich aus der Gleichheit zweier Seiten (Seiten von Quadraten) und dem Winkel zwischen ihnen (bestehend aus einem rechten Winkel und einem Winkel bei). A (\displaystyle A).

Somit stellt der Beweis fest, dass die Fläche eines Quadrats über der Hypotenuse aus Rechtecken besteht A H J K (\displaystyle AHJK) Und B H J I (\displaystyle BHJI) ist gleich der Summe der Flächen der Quadrate über den Beinen.

Beweis von Leonardo da Vinci

Zur Flächenmethode gehört auch ein von Leonardo da Vinci gefundener Beweis. Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck △ A B C (\displaystyle \triangle ABC) mit rechtem Winkel C (\displaystyle C) und Quadrate A C E D (\displaystyle ACED), B C F G (\displaystyle BCFG) Und A B H J (\displaystyle ABHJ)(siehe Bild). In diesem Beweis nebenbei HJ (\displaystyle HJ) letztes Mal draußen Es entsteht ein Dreieck, kongruent △ A B C (\displaystyle \triangle ABC), spiegelt sich außerdem sowohl relativ zur Hypotenuse als auch relativ zur Höhe dazu wider (d. h. J I = B C (\displaystyle JI=BC) Und H I = A C (\displaystyle HI=AC)). Gerade C I (\displaystyle CI) spaltet das auf der Hypotenuse aufgebaute Quadrat in zwei gleiche Teile, da Dreiecke △ A B C (\displaystyle \triangle ABC) Und △ J H I (\displaystyle \triangle JHI) gleich im Aufbau. Der Beweis stellt die Kongruenz von Vierecken fest C. A. J. I. (\displaystyle CAJI) Und D A B G (\displaystyle DABG), deren Fläche sich einerseits als gleich der Summe der Hälfte der Flächen der Quadrate auf den Beinen und der Fläche des ursprünglichen Dreiecks andererseits als die Hälfte herausstellt Fläche des Quadrats auf der Hypotenuse plus Fläche des ursprünglichen Dreiecks. Insgesamt ist die halbe Summe der Flächen der Quadrate über den Beinen gleich der halben Fläche des Quadrats über der Hypotenuse, was der geometrischen Formulierung des Satzes des Pythagoras entspricht.

Beweis mit der Infinitesimalmethode

Es gibt mehrere Beweise, die die Technik der Differentialgleichungen verwenden. Insbesondere wird Hardy ein Beweis zugeschrieben, der infinitesimale Beininkremente verwendet ein (\displaystyle a) Und b (\displaystyle b) und Hypotenuse c (\displaystyle c), und die Ähnlichkeit mit dem ursprünglichen Rechteck beibehalten, d. h. die Erfüllung der folgenden Differentialbeziehungen sicherstellen:

Mit der Methode der Variablentrennung wird daraus eine Differentialgleichung abgeleitet c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), deren Integration die Beziehung ergibt c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Anwendung von Anfangsbedingungen a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0) definiert die Konstante als 0, was zur Aussage des Theorems führt.

Die quadratische Abhängigkeit in der endgültigen Formel ergibt sich aus der linearen Proportionalität zwischen den Seiten des Dreiecks und den Inkrementen, während die Summe mit unabhängigen Beiträgen aus den Inkrementen verschiedener Schenkel verbunden ist.

Variationen und Verallgemeinerungen

Ähnliche geometrische Formen auf drei Seiten

Eine wichtige geometrische Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras wurde von Euklid in den Elementen gegeben, indem er von den Flächen der Quadrate auf den Seiten zu den Flächen willkürlicher Ähnlichkeit überging geometrische Formen: Die Summe der Flächen solcher auf den Beinen aufgebauten Figuren ist gleich der Fläche einer ähnlichen auf der Hypotenuse aufgebauten Figur.

Die Hauptidee dieser Verallgemeinerung besteht darin, dass die Fläche einer solchen geometrischen Figur proportional zum Quadrat einer ihrer linearen Abmessungen und insbesondere zum Quadrat der Länge einer beliebigen Seite ist. Daher für ähnliche Figuren mit Flächen A (\displaystyle A), B (\displaystyle B) Und C (\displaystyle C), auf Beinen mit Längen gebaut ein (\displaystyle a) Und b (\displaystyle b) und Hypotenuse c (\displaystyle c) Dementsprechend gilt folgende Beziehung:

Denn nach dem Satz des Pythagoras a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), dann fertig.

Wenn es außerdem möglich ist, ohne Berufung auf den Satz des Pythagoras zu beweisen, dass für drei QuadrateÄhnliche geometrische Figuren auf den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks haben die folgende Beziehung: A + B = C (\displaystyle A+B=C), dann kann man unter Verwendung der Umkehrung des Beweises der Verallgemeinerung von Euklid einen Beweis des Satzes des Pythagoras ableiten. Wenn wir beispielsweise auf der Hypotenuse ein rechtwinkliges Dreieck kongruent mit dem ursprünglichen Dreieck mit einer Fläche konstruieren C (\displaystyle C), und an den Seiten - zwei ähnliche rechtwinkliges Dreieck mit Quadraten A (\displaystyle A) Und B (\displaystyle B), dann stellt sich heraus, dass durch die Division des ursprünglichen Dreiecks durch seine Höhe Dreiecke an den Seiten entstehen, d. h. die Summe der beiden kleineren Flächen der Dreiecke ist gleich der Fläche des dritten, also A + B = C (\displaystyle A+B=C) und indem man die Beziehung auf ähnliche Figuren anwendet, wird der Satz des Pythagoras abgeleitet.

Kosinussatz

Der Satz des Pythagoras ist ein Sonderfall des allgemeineren Kosinussatzes, der die Längen der Seiten in einem beliebigen Dreieck in Beziehung setzt:

Wo ist der Winkel zwischen den Seiten? ein (\displaystyle a) Und b (\displaystyle b). Wenn der Winkel 90° beträgt, dann cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), und die Formel vereinfacht sich zum üblichen Satz des Pythagoras.

Kostenloses Dreieck

Es gibt eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras auf ein beliebiges Dreieck, die ausschließlich auf dem Verhältnis der Seitenlängen basiert. Es wird angenommen, dass sie erstmals vom sabischen Astronomen Thabit ibn Qurra aufgestellt wurde. Darin passt für ein beliebiges Dreieck mit Seiten ein gleichschenkliges Dreieck mit einer Basis an der Seite hinein c (\displaystyle c), wobei der Scheitelpunkt mit dem Scheitelpunkt des ursprünglichen Dreiecks gegenüber der Seite zusammenfällt c (\displaystyle c) und Ecken an der Basis, gleich dem Winkel θ (\displaystyle \theta), gegenüberliegende Seite c (\displaystyle c). Dadurch entstehen zwei Dreiecke, ähnlich dem Original: das erste – mit Seiten ein (\displaystyle a), die am weitesten davon entfernte Seite des eingeschriebenen gleichschenkligen Dreiecks, und r (\displaystyle r)- Seitenteile c (\displaystyle c); der zweite - symmetrisch dazu von der Seite b (\displaystyle b) mit der Seite s (\displaystyle s)- der entsprechende Teil der Seite c (\displaystyle c). Damit ist die folgende Beziehung erfüllt:

degeneriert zum Satz des Pythagoras bei θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). Die Beziehung ergibt sich aus der Ähnlichkeit der gebildeten Dreiecke:

Satz von Pappus über Flächen

Nichteuklidische Geometrie

Der Satz des Pythagoras leitet sich aus den Axiomen der euklidischen Geometrie ab und gilt nicht für die nichteuklidische Geometrie – die Erfüllung des Satzes des Pythagoras ist äquivalent zum Postulat der euklidischen Parallelität.

In der nichteuklidischen Geometrie wird die Beziehung zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks zwangsläufig eine andere Form haben als im Satz des Pythagoras. Beispielsweise haben in der Kugelgeometrie alle drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, die den Oktanten der Einheitskugel begrenzen, eine Länge π / 2 (\displaystyle \pi /2), was dem Satz des Pythagoras widerspricht.

Darüber hinaus gilt der Satz des Pythagoras in der hyperbolischen und elliptischen Geometrie, wenn die Anforderung, dass das Dreieck rechteckig ist, durch die Bedingung ersetzt wird, dass die Summe zweier Winkel des Dreiecks gleich dem dritten sein muss.

Kugelförmige Geometrie

Für jedes rechtwinklige Dreieck auf einer Kugel mit Radius R (\displaystyle R)(zum Beispiel, wenn der Winkel in einem Dreieck recht ist) mit Seiten a , b , c (\displaystyle a,b,c) Die Beziehung zwischen den Seiten ist:

Diese Gleichheit lässt sich als Spezialfall des sphärischen Kosinussatzes herleiten, der für alle sphärischen Dreiecke gilt:

Wo ch (\displaystyle \operatorname (ch) )- hyperbolischer Kosinus. Diese Formel ist ein Sonderfall des Satzes des hyperbolischen Kosinus, der für alle Dreiecke gilt:

Wo γ (\displaystyle \gamma)- ein Winkel, dessen Scheitelpunkt der Seite gegenüberliegt c (\displaystyle c).

Verwendung der Taylor-Reihe für den hyperbolischen Kosinus ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\ approx 1+x^(2)/2)) kann gezeigt werden, dass, wenn ein hyperbolisches Dreieck abnimmt (d. h. wann ein (\displaystyle a), b (\displaystyle b) Und c (\displaystyle c) gegen Null tendieren), dann nähern sich die hyperbolischen Beziehungen in einem rechtwinkligen Dreieck der Beziehung des klassischen Satzes des Pythagoras an.

Anwendung

Abstand in zweidimensionalen Rechtecksystemen

Die wichtigste Anwendung des Satzes des Pythagoras ist die Bestimmung des Abstands zwischen zwei Punkten in einem rechtwinkligen Koordinatensystem: der Distanz s (\displaystyle s) zwischen Punkten mit Koordinaten (a , b) (\displaystyle (a,b)) Und (c , d) (\displaystyle (c,d)) entspricht:

Für komplexe Zahlen Der Satz des Pythagoras gibt eine natürliche Formel zum Ermitteln des Moduls einer komplexen Zahl an – für z = x + y i (\displaystyle z=x+yi) es ist gleich der Länge

Satz des Pythagoras: Summe der Flächen der auf Beinen ruhenden Quadrate ( A Und B), gleich der Fläche des auf der Hypotenuse aufgebauten Quadrats ( C).

Geometrische Formulierung:

Der Satz wurde ursprünglich formuliert auf die folgende Weise:

Algebraische Formulierung:

Das heißt, die Länge der Hypotenuse des Dreiecks wird mit bezeichnet C, und die Längen der Beine durch A Und B :

Beide Formulierungen des Satzes sind gleichwertig, die zweite Formulierung ist jedoch einfacher; sie erfordert nicht den Begriff der Fläche. Das heißt, die zweite Aussage kann überprüft werden, ohne etwas über die Fläche zu wissen und indem man nur die Längen der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks misst.

Umgekehrter Satz des Pythagoras:

Nachweisen

An dieser Moment In der wissenschaftlichen Literatur sind 367 Beweise dieses Theorems verzeichnet. Wahrscheinlich ist der Satz des Pythagoras der einzige Satz mit einer so beeindruckenden Anzahl von Beweisen. Diese Vielfalt lässt sich nur durch die grundlegende Bedeutung des Satzes für die Geometrie erklären.

Natürlich lassen sich alle konzeptionell in eine kleine Anzahl von Klassen einteilen. Die bekanntesten davon: Beweise nach der Flächenmethode, axiomatische und exotische Beweise (z. B. unter Verwendung von Differentialgleichungen).

Durch ähnliche Dreiecke

Der folgende Beweis der algebraischen Formulierung ist der einfachste der Beweise, der direkt aus den Axiomen konstruiert wurde. Insbesondere wird der Begriff der Fläche einer Figur nicht verwendet.

Lassen ABC Es gibt ein rechtwinkliges Dreieck mit einem rechten Winkel C. Zeichnen wir die Höhe aus C und bezeichne seine Basis mit H. Dreieck ACHähnlich einem Dreieck ABC an zwei Ecken. Ebenso Dreieck CBHähnlich ABC. Durch die Einführung der Notation

wir bekommen

Was ist gleichwertig

Wenn wir es addieren, erhalten wir

Beweise mit der Flächenmethode

Die folgenden Beweise sind trotz ihrer scheinbaren Einfachheit gar nicht so einfach. Sie alle nutzen Flächeneigenschaften, deren Beweis komplexer ist als der Beweis des Satzes des Pythagoras selbst.

Beweis durch Äquikomplementierung

1. Ordnen wir vier gleiche rechtwinklige Dreiecke an, wie in Abbildung 1 gezeigt.
2. Viereck mit Seiten C ist ein Quadrat, da die Summe von zwei scharfe Kanten 90° und der aufgeklappte Winkel beträgt 180°.
3. Die Fläche der gesamten Figur entspricht einerseits der Fläche eines Quadrats mit der Seite (a + b) und andererseits der Summe der Flächen von vier Dreiecken und zwei inneren Quadrate.

Q.E.D.

Beweise durch Äquivalenz

Eleganter Beweis mittels Permutation

Ein Beispiel für einen solchen Beweis ist in der Zeichnung rechts dargestellt, wo ein auf der Hypotenuse aufgebautes Quadrat in zwei auf den Beinen aufgebaute Quadrate umgeordnet wird.

Euklids Beweis

Zeichnung für Euklids Beweis

Illustration für Euklids Beweis

Die Idee von Euklids Beweis ist wie folgt: Versuchen wir zu beweisen, dass die Hälfte der Fläche des auf der Hypotenuse aufgebauten Quadrats gleich der Summe der halben Flächen der auf den Beinen aufgebauten Quadrate ist, und dann die Flächen von das große und zwei kleine Quadrate sind gleich.

Schauen wir uns die Zeichnung links an. Darauf haben wir Quadrate auf den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks konstruiert und einen Strahl s vom Scheitelpunkt des rechten Winkels C senkrecht zur Hypotenuse AB gezeichnet. Er schneidet das auf der Hypotenuse aufgebaute Quadrat ABIK in zwei Rechtecke – BHJI und HAKJ. jeweils. Es stellt sich heraus, dass die Flächen dieser Rechtecke genau den Flächen der Quadrate entsprechen, die auf den entsprechenden Beinen aufgebaut sind.

Versuchen wir zu beweisen, dass die Fläche des Quadrats DECA gleich der Fläche des Rechtecks ​​AHJK ist. Dazu verwenden wir eine Hilfsbeobachtung: Die Fläche eines Dreiecks mit der gleichen Höhe und Grundfläche wie Das gegebene Rechteck ist gleich der halben Fläche des gegebenen Rechtecks. Dies ist eine Folge der Definition der Fläche eines Dreiecks als halbes Produkt aus Grundfläche und Höhe. Aus dieser Beobachtung folgt, dass die Fläche des Dreiecks ACK gleich der Fläche des Dreiecks AHK (in der Abbildung nicht dargestellt) ist, die wiederum gleich der Hälfte der Fläche des Rechtecks ​​AHJK ist.

Lassen Sie uns nun beweisen, dass die Fläche des Dreiecks ACK auch gleich der Hälfte der Fläche des Quadrats DECA ist. Dazu muss lediglich die Gleichheit der Dreiecke ACK und BDA nachgewiesen werden (da die Fläche des Dreiecks BDA gemäß obiger Eigenschaft gleich der halben Fläche des Quadrats ist). Diese Gleichheit ist offensichtlich, die Dreiecke sind auf beiden Seiten gleich und der Winkel zwischen ihnen ist gleich. Nämlich - AB=AK,AD=AC - die Gleichheit der Winkel CAK und BAD lässt sich leicht durch die Bewegungsmethode beweisen: Wir drehen das Dreieck CAK um 90° gegen den Uhrzeigersinn, dann ist es offensichtlich, dass die entsprechenden Seiten der beiden Dreiecke in Frage wird übereinstimmen (aufgrund der Tatsache, dass der Winkel am Scheitelpunkt des Quadrats 90° beträgt).

Die Begründung für die Flächengleichheit des Quadrats BCFG und des Rechtecks ​​BHJI ist völlig ähnlich.

Damit haben wir bewiesen, dass sich die Fläche eines auf der Hypotenuse aufgebauten Quadrats aus den Flächen der auf den Beinen aufgebauten Quadrate zusammensetzt. Die Idee hinter diesem Beweis wird durch die obige Animation weiter veranschaulicht.

Beweis von Leonardo da Vinci

Beweis von Leonardo da Vinci

Die Hauptelemente des Beweises sind Symmetrie und Bewegung.

Betrachten wir die Zeichnung, wie aus der Symmetrie hervorgeht, als Segment CICH schneidet das Quadrat ABHJ in zwei identische Teile (da Dreiecke ABC Und JHICH gleich im Aufbau). Bei einer Drehung um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn erkennen wir die Gleichheit der schattierten Figuren CAJICH Und GDAB . Nun ist klar, dass die Fläche der von uns schattierten Figur gleich der Summe der Hälfte der Flächen der auf den Beinen aufgebauten Quadrate und der Fläche des ursprünglichen Dreiecks ist. Andererseits entspricht sie der Hälfte der Fläche des auf der Hypotenuse aufgebauten Quadrats plus der Fläche des ursprünglichen Dreiecks. Der letzte Schritt des Beweises bleibt dem Leser überlassen.

Beweis mit der Infinitesimalmethode

Der folgende Beweis mithilfe von Differentialgleichungen wird oft dem berühmten englischen Mathematiker Hardy zugeschrieben, der in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts lebte.

Schauen Sie sich die in der Abbildung gezeigte Zeichnung an und beobachten Sie den Seitenwechsel A können wir die folgende Beziehung für infinitesimale Seiteninkremente schreiben Mit Und A(unter Verwendung der Dreiecksähnlichkeit):

Beweis mit der Infinitesimalmethode

Mit der Methode der Variablentrennung finden wir

Ein allgemeinerer Ausdruck für die Änderung der Hypotenuse bei beidseitigen Inkrementen

Integrieren gegebene Gleichung und unter Verwendung der Anfangsbedingungen erhalten wir

So kommen wir zur gewünschten Antwort

Wie leicht zu erkennen ist, entsteht die quadratische Abhängigkeit in der endgültigen Formel aufgrund der linearen Proportionalität zwischen den Seiten des Dreiecks und den Inkrementen, während die Summe mit unabhängigen Beiträgen aus den Inkrementen verschiedener Schenkel verbunden ist.

Ein einfacherer Beweis kann erhalten werden, wenn wir annehmen, dass eines der Beine kein Inkrement erfährt (in diesem Fall das Bein B). Dann erhalten wir für die Integrationskonstante

Variationen und Verallgemeinerungen

• Wenn wir anstelle von Quadraten andere ähnliche Figuren auf den Seiten konstruieren, dann gilt die folgende Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächen ähnlicher Figuren, die auf den Seiten aufgebaut sind, gleich der Fläche der Figur, die auf der Hypotenuse aufgebaut ist. Insbesondere:
  • Die Summe der Flächen regelmäßiger Dreiecke, die auf den Beinen aufgebaut sind, ist gleich der Fläche eines regelmäßigen Dreiecks, das auf der Hypotenuse aufgebaut ist.
  • Die Summe der Flächen der auf den Beinen aufgebauten Halbkreise (sowie des Durchmessers) ist gleich der Fläche des auf der Hypotenuse aufgebauten Halbkreises. Dieses Beispiel wird verwendet, um die Eigenschaften von Figuren zu beweisen, die durch die Bögen zweier Kreise begrenzt werden und als hippokratische Lunulae bezeichnet werden.

Geschichte

Chu-pei 500–200 v. Chr. Links steht die Inschrift: Die Summe der Quadrate der Längen von Höhe und Basis ist das Quadrat der Länge der Hypotenuse.

Das alte chinesische Buch, über das Chu-pei spricht Pythagoräisches Dreieck mit Seiten 3, 4 und 5: Im selben Buch wird eine Zeichnung vorgeschlagen, die mit einer der Zeichnungen der hinduistischen Geometrie von Bashara übereinstimmt.

Cantor (der größte deutsche Mathematikhistoriker) glaubt, dass die Gleichheit 3² + 4² = 5² den Ägyptern bereits um 2300 v. Chr. bekannt war. h., zur Zeit König Amenemhets I. (laut Papyrus 6619 des Berliner Museums). Laut Cantor bauten die Harpedonaptes oder „Seilzieher“ rechte Winkel aus rechtwinkligen Dreiecken mit den Seitenlängen 3, 4 und 5.

Es ist sehr einfach, ihre Bauweise zu reproduzieren. Nehmen wir ein 12 m langes Seil und binden wir im Abstand von 3 m einen farbigen Streifen daran fest. von einem Ende und 4 Meter vom anderen. Der rechte Winkel wird zwischen 3 und 4 Meter langen Seiten geschlossen. Den Harpedonaptianern könnte man einwenden, dass ihre Bauweise überflüssig wird, wenn man beispielsweise einen Holzwinkel verwendet, der von allen Zimmerleuten verwendet wird. Tatsächlich sind ägyptische Zeichnungen bekannt, in denen ein solches Werkzeug zu finden ist, beispielsweise Zeichnungen, die eine Tischlerwerkstatt darstellen.

Etwas mehr ist über den Satz des Pythagoras bei den Babyloniern bekannt. In einem Text aus der Zeit Hammurabis, also aus dem Jahr 2000 v. h., es wird eine ungefähre Berechnung der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gegeben. Daraus lässt sich schließen, dass man in Mesopotamien zumindest teilweise mit rechtwinkligen Dreiecken rechnen konnte. Basierend einerseits auf dem aktuellen Wissensstand über die ägyptische und babylonische Mathematik und andererseits auf einer kritischen Untersuchung griechischer Quellen kam Van der Waerden (niederländischer Mathematiker) zu folgendem Schluss:

Literatur

Auf Russisch

• Skopets Z. A. Geometrische Miniaturen. M., 1990
• Elensky Shch. Auf den Spuren von Pythagoras. M., 1961
• Van der Waerden B. L. Erwachende Wissenschaft. Mathematik Antikes Ägypten, Babylon und Griechenland. M., 1959
• Glazer G.I. Geschichte der Mathematik in der Schule. M., 1982
• W. Litzman, „The Pythagorean Theorem“ M., 1960.
  • Eine Seite über den Satz des Pythagoras mit zahlreichen Beweisen, Material aus dem Buch von V. Litzmann, große Nummer Zeichnungen werden in Form separater Grafikdateien dargestellt.
• Der Satz des Pythagoras und die pythagoräischen Tripel, Kapitel aus dem Buch von D. V. Anosov „Ein Blick auf die Mathematik und etwas daraus“
• Über den Satz des Pythagoras und Methoden zu seinem Beweis G. Glaser, Akademiker der Russischen Akademie für Pädagogik, Moskau

Auf Englisch

• Satz des Pythagoras bei WolframMathWorld
• Cut-The-Knot, Abschnitt über den Satz des Pythagoras, ca. 70 Beweise und umfangreiche Zusatzinformationen (Englisch)

Wikimedia-Stiftung. 2010.

Pythagoras ist ein griechischer Wissenschaftler, der vor etwa 2500 Jahren (564-473 v. Chr.) lebte.

Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit Seiten A, B Und Mit(Abb. 267).

Lassen Sie uns Quadrate auf seinen Seiten bilden. Die Flächen dieser Quadrate sind jeweils gleich A 2 , B 2 und Mit 2. Lasst uns das beweisen Mit 2 = a 2 +b 2 .

Konstruieren wir zwei Quadrate MCOR und M’K’O’R’ (Abb. 268, 269), wobei wir als Seite jedes von ihnen ein Segment nehmen, das der Summe der Schenkel des rechtwinkligen Dreiecks ABC entspricht.

Nachdem wir die in den Abbildungen 268 und 269 gezeigten Konstruktionen in diesen Quadraten abgeschlossen haben, werden wir sehen, dass das MCOR-Quadrat in zwei Quadrate mit Flächen unterteilt ist A 2 und B 2 und vier gleiche rechtwinklige Dreiecke, von denen jedes gleich dem rechtwinkligen Dreieck ABC ist. Das Quadrat M'K'O'R' wurde in ein Viereck (in Abbildung 269 schattiert) und vier rechtwinklige Dreiecke unterteilt, von denen jedes auch gleich dem Dreieck ABC ist. Ein schattiertes Viereck ist ein Quadrat, da seine Seiten gleich sind (jede ist gleich der Hypotenuse des Dreiecks ABC, d. h. Mit), und die Winkel sind rechte Winkel ∠1 + ∠2 = 90°, daher ∠3 = 90°).

Somit ist die Summe der Flächen der auf den Beinen aufgebauten Quadrate (in Abbildung 268 sind diese Quadrate schattiert) gleich der Fläche des ICOR-Quadrats ohne die Summe der Flächen von vier gleichen Dreiecken und der Fläche von ​​Das auf der Hypotenuse aufgebaute Quadrat (in Abbildung 269 ist dieses Quadrat ebenfalls schattiert) ist gleich der Fläche des Quadrats M'K'O'R', gleich dem Quadrat MCOR, ohne die Summe der Flächen von vier ähnliche Dreiecke. Daher ist die Fläche eines auf der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks aufgebauten Quadrats gleich der Summe der Flächen der auf den Beinen aufgebauten Quadrate.

Wir bekommen die Formel Mit 2 = a 2 +b 2 wo Mit- Hypotenuse, A Und B- Beine eines rechtwinkligen Dreiecks.

Der Satz des Pythagoras wird üblicherweise kurz wie folgt formuliert:

Das Quadrat der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate der Schenkel.

Aus der Formel Mit 2 = a 2 +b 2 können Sie die folgenden Formeln erhalten:

A 2 = Mit 2 - B 2 ;

b 2 = Mit 2 - A 2 .

Diese Formeln können verwendet werden, um die unbekannte Seite eines rechtwinkligen Dreiecks aus seinen beiden gegebenen Seiten zu ermitteln.

Zum Beispiel:

a) wenn die Beine gegeben sind A= 4 cm, B= 3 cm, dann können wir die Hypotenuse finden ( Mit):

Mit 2 = a 2 +b 2, d.h. Mit 2 = 4 2 + 3 2 ; mit 2 = 25, daher Mit= √25 = 5(cm);

b) wenn die Hypotenuse gegeben ist Mit= 17 cm und Bein A= 8 cm, dann können Sie ein anderes Bein finden ( B):

B 2 = Mit 2 - A 2, d.h. B 2 = 17 2 - 8 2 ; B 2 = 225, von wo B= √225 = 15 (cm).

Folgerung: Wenn zwei rechtwinklige Dreiecke ABC und A 1 B 1 C 1 Hypotenuse haben Mit Und Mit 1 sind gleich und Bein B Dreieck ABC ist länger als das Bein B 1 Dreieck A 1 B 1 C 1,

dann das Bein A Dreieck ABC ist kleiner als Bein A 1 Dreieck A 1 B 1 C 1.

Basierend auf dem Satz des Pythagoras erhalten wir tatsächlich:

A 2 = Mit 2 - B 2 ,

A 1 2 = Mit 1 2 - B 1 2

In den geschriebenen Formeln sind die Minuenden gleich und der Subtrahend in der ersten Formel ist größer als der Subtrahend in der zweiten Formel, daher der erste Unterschied weniger als die Sekunde,

d.h. A 2 ein 1 2 . Wo A eine 1.

Der Text der Arbeit wird ohne Bilder und Formeln veröffentlicht.
Die Vollversion des Werkes ist im Reiter „Arbeitsdateien“ im PDF-Format verfügbar

Einführung

Im schulischen Geometriekurs werden ausschließlich mathematische Probleme mit dem Satz des Pythagoras gelöst. Leider wird die Frage der praktischen Anwendung des Satzes des Pythagoras nicht berücksichtigt.

In diesem Zusammenhang bestand das Ziel meiner Arbeit darin, die Anwendungsbereiche des Satzes des Pythagoras herauszufinden.

Derzeit ist allgemein anerkannt, dass der Erfolg der Entwicklung vieler Bereiche der Wissenschaft und Technologie von der Entwicklung verschiedener Bereiche der Mathematik abhängt. Eine wichtige Voraussetzung Die Steigerung der Produktionseffizienz ist weit verbreitet mathematische Methoden in die Technik und nationale Wirtschaft, was die Schaffung neuer, wirksame Methoden qualitative und quantitative Forschung, die es uns ermöglicht, Probleme aus der Praxis zu lösen.

Ich werde Beispiele für die praktische Anwendung des Satzes des Pythagoras betrachten. Ich werde nicht versuchen, alle Beispiele für die Verwendung des Theorems zu nennen – das wäre kaum möglich. Der Anwendungsbereich des Theorems ist recht umfangreich und kann im Allgemeinen nicht mit ausreichender Vollständigkeit angegeben werden.

Hypothese:

Mit dem Satz des Pythagoras können Sie nicht nur mathematische Probleme lösen.

Demzufolge Forschungsarbeit Folgendes Ziel wird definiert:

Informieren Sie sich über die Anwendungsbereiche des Satzes des Pythagoras.

Basierend auf dem oben genannten Ziel wurden folgende Aufgaben identifiziert:

Sammeln Sie Informationen zur praktischen Anwendung des Satzes des Pythagoras in verschiedene Quellen und Anwendungsbereiche des Theorems identifizieren.

Studieren Sie einige historische Informationen über Pythagoras und seinen Satz.

Zeigen Sie die Anwendung des Satzes bei der Lösung historischer Probleme.

Verarbeiten Sie die gesammelten Daten zum Thema.

Ich war damit beschäftigt, Informationen zu suchen und zu sammeln – gedrucktes Material zu studieren, mit Material im Internet zu arbeiten und die gesammelten Daten zu verarbeiten.

Forschungsmethodik:

Studieren von theoretischem Material.

Studium der Forschungsmethoden.

Praktische Anwendung Forschung.

Kommunikativ (Messmethode, Fragebogen).

Projekttyp: Informationen und Forschung. Die Arbeit wurde in der Freizeit erledigt.

Über Pythagoras.

Pythagoras – altgriechischer Philosoph, Mathematiker, Astronom. Er begründete viele Eigenschaften geometrischer Figuren, entwickelte mathematische Theorie Zahlen und ihre Proportionen. Er leistete bedeutende Beiträge zur Entwicklung der Astronomie und Akustik. Autor der Goldenen Verse, Gründer der pythagoräischen Schule in Kroton.

Der Legende nach wurde Pythagoras um 580 v. Chr. geboren. e. auf der Insel Samos in einer wohlhabenden Kaufmannsfamilie. Seine Mutter, Pyphasis, erhielt ihren Namen zu Ehren von Pythia, einer Priesterin von Apollo. Pythia sagte Mnesarchus und seiner Frau die Geburt eines Sohnes voraus, der Sohn wurde auch nach Pythia benannt. Vielen alten Zeugnissen zufolge war der Junge sagenhaft schön und zeigte bald seine außergewöhnlichen Fähigkeiten. Seine ersten Kenntnisse erhielt er von seinem Vater Mnesarchus, einem Juwelier und Schnitzer. Edelsteine, der davon träumte, dass sein Sohn sein Geschäft weiterführen würde. Aber das Leben hat anders entschieden. Der zukünftige Philosoph zeigte große Fähigkeiten für die Wissenschaft. Zu den Lehrern von Pythagoras gehörten Pherekydes von Syros und der Älteste Hermodamant. Das erste vermittelte dem Jungen die Liebe zur Wissenschaft und das zweite die Liebe zur Musik, Malerei und Poesie. Anschließend traf sich Pythagoras berühmter Philosoph- Mathematiker Thales von Milet und ging auf seinen Rat hin nach Ägypten – dem Zentrum der damaligen Wissenschaft und Forschungstätigkeit. Nachdem er 22 Jahre in Ägypten und 12 Jahre in Babylon gelebt hatte, kehrte er auf die Insel Samos zurück, verließ sie dann aus unbekannten Gründen und zog in die Stadt Kroton in Süditalien. Hier gründete er die Pythagoräische Schule (Union), in der verschiedene Fragen der Philosophie und Mathematik studiert wurden. Im Alter von etwa 60 Jahren heiratete Pythagoras Theano, einen seiner Schüler. Sie haben drei Kinder, die alle Anhänger ihres Vaters werden. Die historischen Verhältnisse jener Zeit sind geprägt von einer breiten Bewegung des Demos gegen die Macht der Aristokraten. Auf der Flucht vor den Wogen des Volkszorns zogen Pythagoras und seine Schüler in die Stadt Tarentum. Einer Version zufolge kam Kilon, ein reicher und böser Mann, zu ihm und wollte betrunken der Bruderschaft beitreten. Nachdem er abgelehnt worden war, begann Zylon, gegen Pythagoras zu kämpfen. Während des Brandes retteten die Schüler auf eigene Kosten das Leben des Lehrers. Pythagoras wurde traurig und beging bald Selbstmord.

Es sei darauf hingewiesen, dass dies eine der Optionen für seine Biografie ist. Die genauen Daten seiner Geburt und seines Todes sind nicht bekannt; viele Fakten über sein Leben sind widersprüchlich. Aber eines ist klar: Dieser Mann lebte und hinterließ seinen Nachkommen ein großes philosophisches und mathematisches Erbe.

Satz des Pythagoras.

Der Satz des Pythagoras ist die wichtigste Aussage der Geometrie. Der Satz ist wie folgt formuliert: Die Fläche eines Quadrats, das auf der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks aufgebaut ist, ist gleich der Summe der Flächen der Quadrate, die auf seinen Schenkeln aufgebaut sind.

Die Entdeckung dieser Aussage wird Pythagoras von Samos (12. Jahrhundert v. Chr.) zugeschrieben.

Eine Untersuchung babylonischer Keilschrifttafeln und alter chinesischer Manuskripte (Kopien noch älterer Manuskripte) zeigte, dass der berühmte Satz lange vor Pythagoras bekannt war, vielleicht mehrere tausend Jahre vor ihm.

(Es besteht jedoch die Annahme, dass Pythagoras einen vollständigen Beweis dafür lieferte)

Aber es gibt eine andere Meinung: In der pythagoräischen Schule gab es einen wunderbaren Brauch, Pythagoras alle Verdienste zuzuschreiben und sich selbst den Ruhm der Entdecker nicht zuzuschreiben, außer vielleicht in wenigen Fällen.

(Iamblichus – syrischer griechischsprachiger Schriftsteller, Autor der Abhandlung „Das Leben des Pythagoras“. (2. Jahrhundert n. Chr.)

So glaubt der deutsche Mathematikhistoriker Cantor, dass die Gleichheit 3 ​​2 + 4 2 = 5 2 war

den Ägyptern um 2300 v. Chr. bekannt. e. zur Zeit von König Amenehmet (laut Papyrus 6619 des Berliner Museums). Einige glauben, dass Pythagoras den Satz vollständig bewiesen hat, während andere ihm diesen Verdienst absprechen.

Einige schreiben Pythagoras den Beweis zu, den Euklid in seinen Elementen lieferte. Andererseits behauptet Proklos (Mathematiker, 5. Jahrhundert), dass der Beweis in den Elementen Euklid selbst gehörte, d. h. die Geschichte der Mathematik hat fast keine verlässlichen Daten über die mathematische Tätigkeit von Pythagoras erhalten. In der Mathematik gibt es vielleicht keinen anderen Satz, der alle Arten von Vergleichen verdient.

In einigen Listen von Euklids Elementen wurde dieser Satz wegen der Ähnlichkeit der Zeichnung mit einer Biene, einem Schmetterling („Schmetterlingssatz“), der im Griechischen Nymphe genannt wurde, „Nymphensatz“ genannt. Die Griechen verwendeten dieses Wort, um einige andere Göttinnen sowie junge Frauen und Bräute zu benennen. Der arabische Übersetzer achtete nicht auf die Zeichnung und übersetzte das Wort „Nymphe“ mit „Braut“. So entstand der liebevolle Name „Brautsatz“. Einer Legende zufolge dankte Pythagoras von Samos den Göttern, indem er 100 Stiere opferte, als er seinen Satz bewies. Daher ein anderer Name – „der Satz von hundert Bullen“.

Im englischsprachigen Raum hieß es: „ Windmühle„, „Pfauenschwanz“, „Brautstuhl“, „Eselbrücke“ (wenn der Schüler sie nicht „überqueren“ konnte, dann war er ein echter „Esel“)

Im vorrevolutionären Russland wurde die Zeichnung des Satzes des Pythagoras für den Fall eines gleichschenkligen Dreiecks „Pythagoras-Hose“ genannt.

Diese „Hosen“ entstehen, wenn man auf jeder Seite eines rechtwinkligen Dreiecks nach außen Quadrate bildet.

Wie viele verschiedene Beweise für den Satz des Pythagoras gibt es?

Seit der Zeit von Pythagoras sind mehr als 350 davon erschienen. Der Satz wurde in das Guinness-Buch der Rekorde aufgenommen. Wenn wir die Beweise des Satzes analysieren, ist dies grundsätzlich der Fall verschiedene Ideen Sie verbrauchen wenig.

Anwendungsbereiche des Theorems.

Es wird häufig zum Lösen verwendet geometrisch Aufgaben.

Mit seiner Hilfe können Sie die Werte der Quadratwurzeln ganzer Zahlen geometrisch ermitteln:

Dazu bauen wir ein rechtwinkliges Dreieck AOB (Winkel A beträgt 90°) mit Einheitsschenkeln. Dann ist seine Hypotenuse √2. Dann konstruieren wir ein Einheitssegment BC, BC steht senkrecht auf OB, die Länge der Hypotenuse OC = √3 usw.

(Wir treffen diese Methode bei Euklid und F. Kirensky).

Aufgaben im Überblick Physiker Gymnasien erfordern Kenntnisse des Satzes des Pythagoras.

Hierbei handelt es sich um Probleme im Zusammenhang mit der Addition von Geschwindigkeiten.

Achten Sie auf die Folie: eine Aufgabe aus einem Physiklehrbuch der 9. Klasse. IN im praktischen Sinne Es lässt sich wie folgt formulieren: In welchem ​​Winkel zur Flussströmung sollte sich ein Boot, das Passagiere zwischen Anlegestellen befördert, bewegen, um den Fahrplan einzuhalten (die Anlegestellen liegen an gegenüberliegenden Ufern des Flusses)?

Wenn ein Biathlet auf ein Ziel schießt, nimmt er eine „Anpassung an den Wind“ vor. Wenn der Wind von rechts weht und der Athlet gerade schießt, fliegt die Kugel nach links. Um das Ziel zu treffen, müssen Sie das Visier um die Entfernung, um die das Geschoss verschoben wird, nach rechts bewegen. Für sie wurden spezielle Tabellen zusammengestellt (basierend auf Folgerungen von Pythagoras). Der Biathlet weiß, in welchem ​​Winkel er das Visier bewegen muss, wenn die Windgeschwindigkeit bekannt ist.

Astronomie - auch ein weites Anwendungsgebiet des Theorems Weg des Lichtstrahls. Die Abbildung zeigt den Weg eines Lichtstrahls von A nach B und zurück. Der Strahlengang ist der Übersichtlichkeit halber mit einem gekrümmten Pfeil dargestellt; tatsächlich ist der Lichtstrahl gerade.

Welchen Weg nimmt der Strahl?? Licht bewegt sich auf dem gleichen Weg hin und her. Was ist die halbe Strecke, die der Strahl zurücklegt? Wenn wir das Segment bezeichnen AB Symbol l, die Hälfte der Zeit T und gibt mit dem Buchstaben auch die Lichtgeschwindigkeit an C, dann nimmt unsere Gleichung die Form an

c * t = l

Das ist das Produkt aus aufgewendeter Zeit und Geschwindigkeit!

Versuchen wir nun, dasselbe Phänomen aus einem anderen Bezugsrahmen zu betrachten, beispielsweise von einem Raumschiff, das mit hoher Geschwindigkeit an einem laufenden Strahl vorbeifliegt v. Bei einer solchen Beobachtung ändern sich die Geschwindigkeiten aller Körper und stationäre Körper beginnen, sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit zu bewegen v In die andere Richtung. Nehmen wir an, dass sich das Schiff nach links bewegt. Dann beginnen sich die beiden Punkte, zwischen denen der Hase läuft, mit der gleichen Geschwindigkeit nach rechts zu bewegen. Während der Hase seinen Weg läuft, ist außerdem der Ausgangspunkt A verschiebt sich und der Strahl kehrt zu einem neuen Punkt zurück C.

Frage: Wie viel Zeit hat der Punkt, sich zu bewegen (um sich in Punkt C zu verwandeln), während sich der Lichtstrahl bewegt? Genauer gesagt: Was ist die Hälfte dieses Hubraums? Wenn wir die halbe Laufzeit des Strahls mit dem Buchstaben bezeichnen T", und die halbe Distanz A.C. Brief D, dann erhalten wir unsere Gleichung in der Form:

v * t" = d

Brief v gibt die Geschwindigkeit des Raumfahrzeugs an.

Noch eine Frage: Wie weit reicht der Lichtstrahl?(Genauer gesagt, was ist die Hälfte dieses Weges? Wie groß ist die Entfernung zum unbekannten Objekt?)

Wenn wir die halbe Länge des Lichtweges mit dem Buchstaben s bezeichnen, erhalten wir die Gleichung:

c * t" = S

Hier C ist die Lichtgeschwindigkeit und T"- Dies ist die gleiche Zeit wie oben besprochen.

Betrachten Sie nun das Dreieck ABC. Dies ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der Höhe l, die wir eingeführt haben, als wir den Prozess aus einem festen Blickwinkel betrachteten. Da die Bewegung senkrecht ist l, dann konnte es sie nicht beeinflussen.

Dreieck ABC bestehend aus zwei Hälften - identischen rechtwinkligen Dreiecken, deren Hypotenusen AB Und B.C. müssen mit den Beinen verbunden werden nach dem Satz des Pythagoras. Eines der Beine ist D, die wir gerade berechnet haben, und der zweite Zweig ist s, durch den das Licht geht und den wir ebenfalls berechnet haben. Wir erhalten die Gleichung:

S 2 = l 2 +d 2

Das ist Satz des Pythagoras!

Phänomen Sternaberration, 1729 entdeckt, ist, dass alle Sterne auf Himmelssphäre Ellipsen beschreiben. Die große Halbachse dieser Ellipsen wird von der Erde aus in einem Winkel von 20,5 Grad beobachtet. Dieser Winkel ist mit der Bewegung der Erde um die Sonne mit einer Geschwindigkeit von 29,8 km pro Stunde verbunden. Um einen Stern von einer sich bewegenden Erde aus zu beobachten, ist es notwendig, das Teleskoprohr zusammen mit der Bewegung des Sterns nach vorne zu neigen, da sich das Okular zusammen mit der Erde vorwärts bewegt, während das Licht über die Länge des Teleskops wandert. Die Addition der Lichtgeschwindigkeiten und der Erdgeschwindigkeit erfolgt vektoriell, mit dem sogenannten.

Pythagoras. U 2 =C 2 +V 2

C-Lichtgeschwindigkeit

V-Grundgeschwindigkeit

Teleskoprohr

Ende des 19. Jahrhunderts gab es verschiedene Annahmen über die Existenz menschenähnlicher Marsbewohner, eine Folge der Entdeckungen des italienischen Astronomen Schiaparelli (er entdeckte Kanäle auf dem Mars, die lange Zeit als künstlich galten). Natürlich hat die Frage, ob es möglich ist, mit diesen hypothetischen Lebewesen über Lichtsignale zu kommunizieren, eine lebhafte Diskussion ausgelöst. Die Pariser Akademie der Wissenschaften setzte sogar einen Preis von 100.000 Francs für den ersten Menschen aus, der mit einem Bewohner eines anderen Himmelskörpers Kontakt aufnahm; Dieser Preis wartet noch auf den glücklichen Gewinner. Als Scherz, wenn auch nicht ganz ohne Grund, wurde beschlossen, den Bewohnern des Mars ein Signal in Form des Satzes des Pythagoras zu übermitteln.

Es ist nicht bekannt, wie das geht; Aber es ist jedem klar, dass die mathematische Tatsache, die durch den Satz des Pythagoras ausgedrückt wird, überall gilt, und daher müssen Bewohner einer anderen Welt, die uns ähnlich ist, ein solches Signal verstehen.

Mobilfunk

Wer in der modernen Welt nutzt kein Mobiltelefon? Jeder Mobilfunkteilnehmer ist an seiner Qualität interessiert. Und die Qualität wiederum hängt von der Höhe der Antenne des Mobilfunkbetreibers ab. Um den Radius zu berechnen, in dem eine Übertragung empfangen werden kann, verwenden wir Satz des Pythagoras.

Welche größte Höhe Muss eine Antenne eines Mobilfunkbetreibers vorhanden sein, damit in einem Umkreis von R=200 km gesendet werden kann? (Der Radius der Erde beträgt 6380 km.)

Lösung:

Lassen AB= x , BC=R=200 km , OC= r =6380 km.

OB=OA+ABOB=r + x.

Mit dem Satz des Pythagoras erhalten wir Antwort: 2,3 km.

Beim Bau von Häusern und Ferienhäusern stellt sich oft die Frage nach der Länge der Sparren für das Dach, wenn die Balken bereits hergestellt sind. Beispiel: Es ist geplant, auf einem Haus ein Satteldach zu bauen (Schnittform). Wie lang sollten die Sparren sein, wenn die Balken AC=8 m und AB=BF sind?

Lösung:

Das Dreieck ADC ist gleichschenklig AB=BC=4 m, BF=4 m. Wenn wir annehmen, dass FD=1,5 m, dann:

A) Vom Dreieck DBC: DB=2,5 m.

B) Aus dem Dreieck ABF:

Fenster

In Gebäuden Gotischer und romanischer Stil Die oberen Teile der Fenster sind durch Steinrippen unterteilt, die nicht nur eine dekorative Funktion haben, sondern auch zur Festigkeit der Fenster beitragen. Die Abbildung zeigt ein einfaches Beispiel eines solchen Fensters im gotischen Stil. Die Konstruktionsmethode ist sehr einfach: Aus der Abbildung lassen sich leicht die Mittelpunkte von sechs Kreisbögen ermitteln, deren Radien gleich sind

Fensterbreite (b) für Außenbögen

halbe Breite, (b/2) für Innenbögen

Es bleibt ein vollständiger Kreis übrig, der vier Bögen berührt. Da es zwischen zwei konzentrischen Kreisen eingeschlossen ist, ist sein Durchmesser gleich dem Abstand zwischen diesen Kreisen, also b/2, und daher beträgt der Radius b/4. Und dann wird es klar und

die Lage seines Mittelpunktes.

IN romanische Architektur Das in der Abbildung dargestellte Motiv ist häufig anzutreffen. Wenn b immer noch die Breite des Fensters angibt, betragen die Radien der Halbkreise R = b / 2 und r = b / 4. Der Radius p des Innenkreises kann aus dem in Abb. gezeigten rechtwinkligen Dreieck berechnet werden. gepunktete Linie Die Hypotenuse dieses Dreiecks, die durch den Tangentialpunkt der Kreise verläuft, ist gleich b/4+p, eine Seite ist gleich b/4 und die andere ist gleich b/2-p. Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

(b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/4-p) 2

b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4 - bp/2 +p 2 ,

Wenn wir durch b dividieren und ähnliche Begriffe zusammenbringen, erhalten wir:

(3/2)p=b/4, p=b/6.

In der Forstwirtschaft: Für den Baubedarf werden Baumstämme in Balken geschnitten, wobei die Hauptaufgabe darin besteht, so wenig Abfall wie möglich zu erzeugen. Die geringste Abfallmenge fällt an, wenn das Holz das größte Volumen hat. Was sollte in dem Abschnitt stehen? Wie aus der Lösung hervorgeht, muss der Querschnitt quadratisch sein und Satz des Pythagoras und andere Überlegungen erlauben uns, eine solche Schlussfolgerung zu ziehen.

Größtes Holzvolumen

Aufgabe

Aus einem zylindrischen Baumstamm müssen Sie einen rechteckigen Balken mit dem größten Volumen schneiden. Welche Form soll sein Querschnitt haben (Abb. 23)?

Lösung

Wenn die Seiten eines rechteckigen Abschnitts x und y sind, dann nach dem Satz des Pythagoras

x 2 + y 2 = d 2,

wobei d der Durchmesser des Stammes ist. Das Volumen eines Balkens ist dann am größten, wenn seine Querschnittsfläche am größten ist, also wenn xy seinen größten Wert erreicht. Aber wenn xy am größten ist, dann wird auch das Produkt x 2 y 2 am größten sein. Da die Summe x 2 + y 2 unverändert bleibt, ist das Produkt x 2 y 2 nach dem, was zuvor bewiesen wurde, am größten, wenn

x 2 = y 2 oder x = y.

Der Querschnitt des Balkens sollte also quadratisch sein.

Transportaufgaben(sogenannte Optimierungsprobleme; Probleme, deren Lösung uns die Beantwortung der Frage ermöglicht: Wie werden Mittel eingesetzt, um große Vorteile zu erzielen)

Auf den ersten Blick nichts Besonderes: Messen Sie an mehreren Stellen die Höhe vom Boden bis zur Decke und ziehen Sie ein paar Zentimeter ab, damit der Schrank nicht an der Decke anliegt. Dadurch kann es beim Zusammenbau der Möbel zu Schwierigkeiten kommen. Schließlich bauen Möbelhersteller den Rahmen zusammen, indem sie den Schrank in eine horizontale Position bringen, und wenn der Rahmen zusammengebaut ist, heben sie ihn in eine vertikale Position. Schauen wir uns die Seitenwand des Schranks an. Die Höhe des Schrankes sollte 10 cm geringer sein als der Abstand vom Boden zur Decke, sofern dieser Abstand 2500 mm nicht überschreitet. Und die Tiefe des Schrankes beträgt 700 mm. Warum 10 cm und nicht 5 cm oder 7 und was hat der Satz des Pythagoras damit zu tun?

Also: Seitenwand 2500-100=2400 (mm) - maximale Höhe der Struktur.

Beim Anheben des Rahmens muss die Seitenwand sowohl vertikal als auch diagonal frei passieren können. Von Satz des Pythagoras

AC = √ AB 2 + BC 2

AC = √ 2400 2 + 700 2 = 2500 (mm)

Was passiert, wenn die Höhe des Schranks um 50 mm reduziert wird?

AC = √ 2450 2 + 700 2 = 2548 (mm)

Diagonale 2548 mm. Das bedeutet, dass Sie keinen Schrank installieren können (Sie könnten die Decke ruinieren).

Blitzableiter.

Es ist bekannt, dass ein Blitzableiter alle Gegenstände vor Blitzen schützt, deren Abstand von seiner Basis das Doppelte seiner Höhe nicht überschreitet. Es ist notwendig, die optimale Position des Blitzableiters auf einem Satteldach zu bestimmen und dessen niedrigste zugängliche Höhe sicherzustellen.

Nach dem Satz des Pythagoras H 2 ≥ a 2 +b 2 bedeutet h≥(a 2 +b 2) 1/2

Dringend für Sommerhütte Wir müssen ein Gewächshaus für Setzlinge bauen.

Aus Brettern wird ein 1m1m großes Quadrat hergestellt. Es sind Filmreste mit den Maßen 1,5m1,5m vorhanden. In welcher Höhe in der Mitte des Quadrats sollte der Streifen angebracht werden, damit die Folie ihn vollständig bedeckt?

1) Gewächshausdiagonale d==1,4;0,7

2) Filmdiagonale d 1= 2,12 1,06

3) Schienenhöhe x= 0,7

Abschluss

Als Ergebnis der Recherche habe ich einige Anwendungsbereiche des Satzes des Pythagoras herausgefunden. Ich habe zu diesem Thema viel Material aus literarischen Quellen und dem Internet gesammelt und verarbeitet. Ich habe einige historische Informationen über Pythagoras und seinen Satz studiert. Ja, tatsächlich können Sie mit dem Satz des Pythagoras nicht nur mathematische Probleme lösen. Der Satz des Pythagoras hat seine Anwendung im Bauwesen und in der Architektur, in der Mobilkommunikation und in der Literatur gefunden.

Studium und Analyse von Informationsquellen zum Satz des Pythagoras

zeigte, dass:

A) Die ausschließliche Aufmerksamkeit von Mathematikern und Mathematikliebhabern für den Satz beruht auf seiner Einfachheit, Schönheit und Bedeutung.

B) Der Satz des Pythagoras dient seit vielen Jahrhunderten als Anstoß für interessante und wichtige mathematische Entdeckungen (Satz von Fermat, Einsteins Relativitätstheorie);

V) Satz des Pythagoras – ist die Verkörperung der universellen Sprache der Mathematik, die auf der ganzen Welt gültig ist;

G) Der Anwendungsbereich des Theorems ist recht umfangreich und kann im Allgemeinen nicht mit ausreichender Vollständigkeit angegeben werden;

D) Die Geheimnisse des Satzes des Pythagoras begeistern die Menschheit weiterhin und daher hat jeder von uns die Möglichkeit, an ihrer Entdeckung beteiligt zu sein.

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Eines können Sie hundertprozentig sicher sein: Auf die Frage nach dem Quadrat der Hypotenuse wird jeder Erwachsene kühn antworten: „Die Summe der Quadrate der Beine.“ Dieser Satz ist fest in den Köpfen aller verankert. Gebildete Person, aber alles, was Sie tun müssen, ist jemanden zu bitten, es zu beweisen, und es können Schwierigkeiten auftreten. Erinnern wir uns daher und betrachten wir verschiedene Möglichkeiten, den Satz des Pythagoras zu beweisen.

Kurze Biografie

Der Satz des Pythagoras ist fast jedem bekannt, aber aus irgendeinem Grund ist die Biographie der Person, die ihn in die Welt gesetzt hat, nicht so beliebt. Dies kann behoben werden. Bevor Sie sich also mit den verschiedenen Möglichkeiten befassen, den Satz des Pythagoras zu beweisen, müssen Sie sich kurz mit seiner Persönlichkeit vertraut machen.

Pythagoras - Philosoph, Mathematiker, Denker ursprünglich aus Heute ist es sehr schwierig, seine Biographie von den Legenden zu unterscheiden, die sich zum Gedenken an diesen großen Mann entwickelt haben. Aber wie aus den Werken seiner Anhänger hervorgeht, wurde Pythagoras von Samos auf der Insel Samos geboren. Sein Vater war ein gewöhnlicher Steinmetz, aber seine Mutter stammte aus einer Adelsfamilie.

Der Legende nach wurde die Geburt von Pythagoras von einer Frau namens Pythia vorhergesagt, nach der der Junge benannt wurde. Ihrer Vorhersage zufolge sollte der geborene Junge der Menschheit viel Nutzen und Gutes bringen. Genau das hat er getan.

Geburt des Theorems

In seiner Jugend zog Pythagoras nach Ägypten, um dort berühmte ägyptische Weise zu treffen. Nach einem Treffen mit ihnen durfte er studieren, wo er alle großen Errungenschaften der ägyptischen Philosophie, Mathematik und Medizin lernte.

Wahrscheinlich ließ sich Pythagoras in Ägypten von der Majestät und Schönheit der Pyramiden inspirieren und schuf seine große Theorie. Das mag die Leser schockieren, aber moderne Historiker glauben, dass Pythagoras seine Theorie nicht bewiesen hat. Doch er gab sein Wissen nur an seine Anhänger weiter, die später alle notwendigen mathematischen Berechnungen durchführten.

Wie dem auch sei, heute ist nicht eine Methode zum Beweis dieses Theorems bekannt, sondern mehrere gleichzeitig. Heute können wir nur vermuten, wie genau die alten Griechen ihre Berechnungen durchgeführt haben. Deshalb werden wir uns hier verschiedene Möglichkeiten ansehen, den Satz des Pythagoras zu beweisen.

Satz des Pythagoras

Bevor Sie mit den Berechnungen beginnen, müssen Sie herausfinden, welche Theorie Sie beweisen möchten. Der Satz des Pythagoras lautet wie folgt: „In einem Dreieck, in dem einer der Winkel 90° beträgt, ist die Summe der Quadrate der Schenkel gleich dem Quadrat der Hypotenuse.“

Es gibt insgesamt 15 verschiedene Möglichkeiten, den Satz des Pythagoras zu beweisen. Dies ist eine ziemlich große Zahl, daher konzentrieren wir uns auf die beliebtesten davon.

Methode eins

Lassen Sie uns zunächst definieren, was uns gegeben wurde. Diese Daten gelten auch für andere Methoden zum Beweis des Satzes des Pythagoras, daher lohnt es sich, sich sofort alle verfügbaren Notationen zu merken.

Angenommen, wir erhalten ein rechtwinkliges Dreieck mit den Schenkeln a, b und einer Hypotenuse gleich c. Die erste Beweismethode basiert auf der Tatsache, dass Sie aus einem rechtwinkligen Dreieck ein Quadrat zeichnen müssen.

Dazu müssen Sie dem Bein der Länge a ein Segment hinzufügen, das dem Bein b entspricht, und umgekehrt. Dadurch sollten zwei gleiche Seiten des Quadrats entstehen. Jetzt müssen nur noch zwei parallele Linien gezeichnet werden, und schon ist das Quadrat fertig.

Innerhalb der resultierenden Figur müssen Sie ein weiteres Quadrat mit einer Seite zeichnen gleich der Hypotenuse das ursprüngliche Dreieck. Dazu müssen Sie von den Eckpunkten ас und св aus zwei parallele Segmente zeichnen, die gleich s sind. Somit erhalten wir drei Seiten des Quadrats, von denen eine die Hypotenuse des ursprünglichen rechtwinkligen Dreiecks ist. Jetzt muss nur noch das vierte Segment gezeichnet werden.

Basierend auf der resultierenden Zahl können wir schließen, dass die Fläche des äußeren Quadrats (a + b) 2 beträgt. Wenn Sie in die Abbildung hineinschauen, können Sie erkennen, dass es neben dem inneren Quadrat noch vier rechtwinklige Dreiecke gibt. Die Fläche beträgt jeweils 0,5av.

Daher ist die Fläche gleich: 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2

Daher ist (a+c) 2 =2ab+c 2

Und daher ist c 2 =a 2 +b 2

Der Satz ist bewiesen.

Methode zwei: ähnliche Dreiecke

Diese Formel zum Beweis des Satzes des Pythagoras wurde auf der Grundlage einer Aussage aus dem Abschnitt der Geometrie über abgeleitet ähnliche Dreiecke. Es besagt, dass der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks im Durchschnitt proportional zu seiner Hypotenuse und dem Abschnitt der Hypotenuse ist, der vom Scheitelpunkt des 90°-Winkels ausgeht.

Die Ausgangsdaten bleiben gleich, also beginnen wir gleich mit dem Beweis. Zeichnen wir ein Segment CD senkrecht zur Seite AB. Basierend auf der obigen Aussage sind die Seiten der Dreiecke gleich:

AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.

Um die Frage zu beantworten, wie der Satz des Pythagoras zu beweisen ist, muss der Beweis durch die Quadrierung beider Ungleichungen abgeschlossen werden.

AC 2 = AB * AD und CB 2 = AB * DV

Jetzt müssen wir die resultierenden Ungleichungen addieren.

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), wobei AD + DV = AB

Es stellt sich heraus, dass:

AC 2 + CB 2 =AB*AB

Und deshalb:

AC 2 + CB 2 = AB 2

Beweis des Satzes des Pythagoras und verschiedene Wege Seine Lösungen erfordern eine vielschichtige Herangehensweise an dieses Problem. Diese Option ist jedoch eine der einfachsten.

Eine andere Berechnungsmethode

Beschreibungen verschiedener Methoden zum Beweis des Satzes des Pythagoras bedeuten möglicherweise nichts, bis Sie anfangen, selbst zu üben. Viele Techniken beinhalten nicht nur mathematische Berechnungen, sondern auch die Konstruktion neuer Figuren aus dem ursprünglichen Dreieck.

In diesem Fall ist es notwendig, ein weiteres rechtwinkliges Dreieck VSD vom Bein BC aus zu vervollständigen. Somit gibt es nun zwei Dreiecke mit einem gemeinsamen Schenkel BC.

Wenn man weiß, dass die Flächen ähnlicher Figuren ein Verhältnis haben wie die Quadrate ihrer ähnlichen linearen Abmessungen, dann gilt:

S avs * c 2 - S avd * in 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2

S avs *(von 2 - bis 2) = a 2 *(S avd -S vsd)

von 2 - bis 2 =a 2

c 2 =a 2 +b 2

Da diese Option von den verschiedenen Methoden zum Beweis des Satzes des Pythagoras für die 8. Klasse kaum geeignet ist, können Sie die folgende Methode verwenden.

Der einfachste Weg, den Satz des Pythagoras zu beweisen. Rezensionen

Historikern zufolge wurde diese Methode erstmals zum Beweis des Theorems verwendet antikes Griechenland. Es ist das einfachste, da es keinerlei Berechnungen erfordert. Wenn Sie das Bild richtig zeichnen, ist der Beweis der Aussage a 2 + b 2 = c 2 deutlich sichtbar.

Bedingungen für diese Methode wird sich geringfügig vom vorherigen unterscheiden. Um den Satz zu beweisen, nehmen wir an, dass das rechtwinklige Dreieck ABC gleichschenklig ist.

Wir nehmen die Hypotenuse AC als Seite des Quadrats und zeichnen seine drei Seiten. Zusätzlich ist es notwendig, in das resultierende Quadrat zwei diagonale Linien zu zeichnen. Darin entstehen also vier gleichschenklige Dreiecke.

Sie müssen außerdem ein Quadrat zu den Beinen AB und CB zeichnen und in jedes davon eine diagonale gerade Linie zeichnen. Wir zeichnen die erste Linie vom Scheitelpunkt A, die zweite von C.

Jetzt müssen Sie sich die resultierende Zeichnung genau ansehen. Da es auf der Hypotenuse AC vier Dreiecke gibt, die dem Original entsprechen, und auf den Seiten zwei, zeigt dies die Richtigkeit dieses Satzes.

Dank dieser Methode zum Beweis des Satzes des Pythagoras entstand übrigens der berühmte Satz: „Die Hosen des Pythagoras sind in alle Richtungen gleich.“

Beweis von J. Garfield

James Garfield ist der zwanzigste Präsident der Vereinigten Staaten von Amerika. Er prägte nicht nur die Geschichte als Herrscher der Vereinigten Staaten, sondern war auch ein begnadeter Autodidakt.

Zu Beginn seiner Karriere war er gewöhnlicher Lehrer an einer öffentlichen Schule, wurde aber bald Direktor einer der höheren Bildungseinrichtungen. Der Wunsch nach Selbstentwicklung ermöglichte es ihm, eine neue Theorie zum Beweis des Satzes des Pythagoras vorzuschlagen. Der Satz und ein Beispiel seiner Lösung lauten wie folgt.

Zuerst müssen Sie zwei rechtwinklige Dreiecke auf ein Blatt Papier zeichnen, sodass der Schenkel des einen eine Fortsetzung des zweiten ist. Die Eckpunkte dieser Dreiecke müssen verbunden werden, um letztendlich ein Trapez zu bilden.

Wie Sie wissen, ist die Fläche eines Trapezes gleich dem Produkt aus der halben Summe seiner Grundflächen und seiner Höhe.

S=a+b/2 * (a+b)

Betrachtet man das resultierende Trapez als eine aus drei Dreiecken bestehende Figur, so ergibt sich seine Fläche wie folgt:

S=av/2 *2 + s 2 /2

Jetzt müssen wir die beiden ursprünglichen Ausdrücke ausgleichen

2ab/2 + c/2=(a+b) 2 /2

c 2 =a 2 +b 2

Über den Satz des Pythagoras und Methoden zu seinem Beweis ließe sich mehr als ein Band schreiben. Lehrhilfe. Aber gibt es einen Punkt, an dem dieses Wissen nicht in der Praxis angewendet werden kann?

Praktische Anwendung des Satzes des Pythagoras

Leider sehen moderne Lehrpläne die Verwendung dieses Theorems nur bei geometrischen Problemen vor. Die Absolventen werden bald gehen Schulmauern ohne jemals zu wissen, wie sie ihr Wissen und ihre Fähigkeiten in der Praxis anwenden können.

Verwenden Sie tatsächlich den Satz des Pythagoras in Ihrem Alltagsleben Jeder kann. Und das nicht nur bei beruflichen Tätigkeiten, sondern auch bei alltäglichen Hausarbeiten. Betrachten wir mehrere Fälle, in denen der Satz des Pythagoras und Methoden zu seinem Beweis äußerst notwendig sein können.

Zusammenhang zwischen Theorem und Astronomie

Es scheint, wie Sterne und Dreiecke auf dem Papier verbunden werden können. Tatsächlich ist die Astronomie ein wissenschaftliches Gebiet, in dem der Satz des Pythagoras weit verbreitet ist.

Betrachten Sie beispielsweise die Bewegung eines Lichtstrahls im Raum. Es ist bekannt, dass sich Licht in beide Richtungen mit gleicher Geschwindigkeit bewegt. Nennen wir die Flugbahn AB, entlang der sich der Lichtstrahl bewegt l. Und nennen wir mal die Hälfte der Zeit, die Licht braucht, um von Punkt A nach Punkt B zu gelangen T. Und die Geschwindigkeit des Strahls - C. Es stellt sich heraus, dass: c*t=l

Wenn Sie denselben Strahl von einer anderen Ebene aus betrachten, beispielsweise von einem Raumschiff, das sich mit der Geschwindigkeit v bewegt, ändert sich bei der Beobachtung von Körpern auf diese Weise ihre Geschwindigkeit. In diesem Fall beginnen sich auch stationäre Elemente mit der Geschwindigkeit v in die entgegengesetzte Richtung zu bewegen.

Nehmen wir an, der Comicliner segelt nach rechts. Dann beginnen sich die Punkte A und B, zwischen denen der Strahl rast, nach links zu bewegen. Wenn sich der Strahl außerdem von Punkt A nach Punkt B bewegt, hat Punkt A Zeit, sich zu bewegen, und dementsprechend erreicht das Licht bereits einen neuen Punkt C. Um die halbe Strecke zu ermitteln, um die sich Punkt A bewegt hat, müssen Sie multiplizieren die Geschwindigkeit des Liners um die Hälfte der Laufzeit des Strahls (t").

Und um herauszufinden, wie weit ein Lichtstrahl in dieser Zeit wandern könnte, müssen Sie die Hälfte des Weges mit einem neuen Buchstaben s markieren und den folgenden Ausdruck erhalten:

Wenn wir uns vorstellen, dass die Lichtpunkte C und B sowie der Raumliner die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks sind, dann teilt das Segment von Punkt A bis zum Liner dieses in zwei rechtwinklige Dreiecke. Dank des Satzes des Pythagoras können Sie daher die Entfernung ermitteln, die ein Lichtstrahl zurücklegen kann.

Dieses Beispiel ist natürlich nicht das erfolgreichste, da nur wenige das Glück haben, es in der Praxis auszuprobieren. Betrachten wir daher alltäglichere Anwendungen dieses Theorems.

Reichweite der mobilen Signalübertragung

Smartphones sind aus dem modernen Leben nicht mehr wegzudenken. Aber welchen Nutzen hätten sie, wenn sie ihre Abonnenten nicht über Mobilfunk verbinden könnten?!

Die Qualität der Mobilfunkkommunikation hängt direkt von der Höhe ab, in der sich die Antenne des Mobilfunkbetreibers befindet. Um zu berechnen, wie weit ein Telefon von einem Mobilfunkmast entfernt ein Signal empfangen kann, können Sie den Satz des Pythagoras anwenden.

Nehmen wir an, Sie müssen die ungefähre Höhe eines stationären Turms ermitteln, damit er ein Signal in einem Umkreis von 200 Kilometern verteilen kann.

AB (Turmhöhe) = x;

BC (Signalübertragungsradius) = 200 km;

OS (Radius des Globus) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Unter Anwendung des Satzes des Pythagoras finden wir heraus, dass die Mindesthöhe des Turms 2,3 Kilometer betragen sollte.

Satz des Pythagoras im Alltag

Seltsamerweise kann der Satz des Pythagoras sogar in alltäglichen Angelegenheiten nützlich sein, beispielsweise bei der Bestimmung der Höhe eines Kleiderschranks. Auf den ersten Blick erübrigt sich eine derart aufwändige Berechnung, da die Messung einfach mit einem Maßband durchgeführt werden kann. Doch viele fragen sich, warum es bei der Montage zu gewissen Problemen kommt, wenn alle Maße mehr als genau genommen wurden.

Tatsache ist, dass der Kleiderschrank in horizontaler Position montiert und erst dann angehoben und an der Wand montiert wird. Daher muss sich die Seite des Schranks beim Anheben der Struktur sowohl in der Höhe als auch in der Diagonale des Raums frei bewegen können.

Nehmen wir an, es gibt einen Kleiderschrank mit einer Tiefe von 800 mm. Abstand vom Boden zur Decke – 2600 mm. Ein erfahrener Möbelbauer wird sagen, dass die Höhe des Schranks 126 mm unter der Raumhöhe liegen sollte. Aber warum genau 126 mm? Schauen wir uns ein Beispiel an.

Lassen Sie uns anhand idealer Schrankabmessungen die Funktionsweise des Satzes des Pythagoras überprüfen:

AC =√AB 2 +√BC 2

AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - alles passt.

Nehmen wir an, die Höhe des Schranks beträgt nicht 2474 mm, sondern 2505 mm. Dann:

AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.

Daher ist dieser Schrank nicht für die Aufstellung in diesem Raum geeignet. Denn das Anheben in eine vertikale Position kann zu Schäden am Körper führen.

Vielleicht können wir, nachdem wir verschiedene Methoden zum Beweis des Satzes des Pythagoras durch verschiedene Wissenschaftler geprüft haben, zu dem Schluss kommen, dass er mehr als wahr ist. Jetzt können Sie die erhaltenen Informationen in Ihrem täglichen Leben nutzen und völlig sicher sein, dass alle Berechnungen nicht nur nützlich, sondern auch korrekt sind.