Valoarea medie este cea mai valoroasă din punct de vedere analitic și o formă universală de exprimare a indicatorilor statistici. Cea mai comună medie - media aritmetică - are o serie de proprietăți matematice care pot fi utilizate în calculul ei. În același timp, atunci când se calculează o medie specifică, este întotdeauna recomandabil să se bazeze pe formula sa logică, care este raportul dintre volumul atributului și volumul populației. Pentru fiecare medie, există un singur raport de referință adevărat, care, în funcție de datele disponibile, poate solicita diferite forme mediu. Cu toate acestea, în toate cazurile în care natura valorii medii implică prezența ponderilor, este imposibil să se utilizeze formulele lor neponderate în locul formulelor medii ponderate.

Valoarea medie este valoarea cea mai caracteristică a atributului pentru populație și mărimea atributului populației distribuite în părți egale între unitățile populației.

Se numește caracteristica pentru care se calculează valoarea medie mediat .

Valoarea medie este un indicator calculat prin compararea valorilor absolute sau relative. Valoarea medie este

Valoarea medie reflectă influența tuturor factorilor care influențează fenomenul studiat și este rezultatul acestora. Cu alte cuvinte, prin anularea abaterilor individuale și eliminarea influenței cazurilor, valoarea medie, reflectând masura generala rezultate ale acestei acţiuni, acţionează ca un model general al fenomenului studiat.

Condiții de utilizare a mediilor:

Ø omogenitatea populatiei studiate. Dacă unele elemente ale populației supuse influenței unui factor aleatoriu au valori semnificativ diferite ale trăsăturii studiate față de restul, atunci aceste elemente vor afecta mărimea mediei pentru această populație. În acest caz, media nu va exprima valoarea cea mai tipică a caracteristicii pentru populație. Dacă fenomenul studiat este eterogen, se impune defalcarea lui în grupuri care conțin elemente omogene. În acest caz, se calculează mediile de grup - medii de grup, care exprimă valoarea cea mai caracteristică a fenomenului din fiecare grup, iar apoi se calculează valoarea medie generală pentru toate elementele, caracterizând fenomenul în ansamblu. Se calculează ca media medie a grupului, ponderată cu numărul de elemente ale populației incluse în fiecare grupă;

Ø un numar suficient de unitati in agregat;

Ø valorile maxime si minime ale trasaturii in populatia studiata.

Valoarea medie (indicator)- aceasta este o caracteristică cantitativă generalizată a unei trăsături într-o populație sistematică în condiții specifice de loc și timp.

În statistică, sunt utilizate următoarele forme (tipuri) de medii, numite putere și structurală:

Ø medie aritmetică(simplu și ponderat);

simplu

Trimiteți-vă munca bună în baza de cunoștințe este simplu. Utilizați formularul de mai jos

Buna treaba la site">

Studenții, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vor fi foarte recunoscători.

Găzduit la http://www.allbest.ru/

ÎNdirijarea

În această lucrare de curs este luată în considerare subiectul studierii metodei mediilor. Ele afișează principalii indicatori care caracterizează fenomenele sociale, de exemplu, cifra de afaceri, salariile, stocurile, prețurile, natalitatea. Caracterizat prin valori medii și indicatori calitativi ai activității comerciale: profit, costuri de distribuție, rentabilitate etc. O înțelegere corectă a esenței mediei printr-un singur și aleatoriu vă permite să identificați necesarul și general, precum și să extrageți tendința legilor sociale și dezvoltare economică. Metoda mediilor își găsește aplicarea în studii statisticeîn orice domeniu.

ÎN sectiunea teoretica vom studia tipurile de medii si anume: media aritmetica, armonica, geometrica, patratica, cubica, precum si mediile structurale - in analiza economica si conditiile de utilizare a acestora.

În partea practică, sunt prezentate sarcini pentru găsirea valorilor medii, folosind exemplul acestor sarcini, acestea vor arăta căi diferite calculul valorilor medii, precum și utilizarea acestora în analiza economică.

1 . Medii în analiza economică

După cum știți, statisticile explorează fenomenele socio-economice de masă. Oricare dintre aceste fenomene poate avea o expresie cantitativă diferită a unuia dintre oricare dintre semnele. De exemplu, salariul unei profesii de angajați sau prețurile de pe piață pentru orice produs etc. Valorile medii reflectă indicatorii calitativi ai activității comerciale: profit, costuri de distribuție, rentabilitate etc.

Pentru a studia o anumită populație în funcție de caracteristici variabile (în schimbare cantitativ), statisticile folosesc valori medii.

Valoarea medie se numește un indicator de generalizare care caracterizează nivelul tipic al fenomenului în anumite condiții de loc și timp, care reflectă mărimea caracteristicii variabilei în cursul calculului la 1 unitate. agregat omogen calitativ. Numărul de indicatori calculați ca medii și utilizați în practică este destul de mare.

Principala proprietate a valorii medii este că valoarea medie reprezintă valoarea unei anumite caracteristici în întreaga populație cu primul număr, indiferent de diferențele sale cantitative în unitățile individuale ale populației și, de asemenea, exprimă lucrul comun care este inerent tuturor unităților populației analizate. Deci, prin caracteristicile unității de populație, valoarea medie caracterizează întreaga populație în general.

Ele sunt legate de legea numerelor mari. Esența acestei relații constă în faptul că abaterile aleatorii ale valorilor individuale, atunci când sunt mediate conform legii numerelor mari, se anulează reciproc, iar tendința principală de dezvoltare este dezvăluită în medie.

Mediile pot compara indicatorii care se referă la populații cu un număr diferit de unități. Condiția principală pentru utilizarea științifică a mediilor în evaluarea fenomenelor sociale este un set omogen, pentru care se calculează media. Valoarea medie, care este identică din punct de vedere al tehnicii de calcul și al formei, în condiția unei populații eterogene, este fictivă, iar pentru o populație omogenă corespunde realității.

Omogenitatea calitativă a populaţiei este determinată printr-o analiză teoretică cuprinzătoare a esenţei oricărui fenomen. De exemplu, la calcularea randamentului mediu, este necesar ca datele de intrare să se refere la o cultură omogenă (adică la randamentul mediu de grâu) sau la un grup de culturi (de exemplu, la randamentul mediu de cereale). Nu este posibil să se calculeze valoarea medie pentru culturi eterogene.

Deci, principalele proprietăți ale mediei sunt:

Prezența stabilității - aceasta vă permite să extrageți modele de dezvoltare a fenomenelor.

Ajută la caracterizarea dezvoltării nivelului fenomenului în raport cu timpul.

Ajută la extragerea și caracterizarea relației dintre două sau mai multe fenomene.

Factorul asupra căruia se efectuează media se numește semn mediu. Iar valoarea sa pentru fiecare unitate a populației se numește valoarea sa individuală.

Valoarea unei caracteristici care apare în unități individuale sau grupuri de unități și nu se repetă se numește varianta ei.

Media poate lua valori care nu sunt inerente niciunui dintre constituenții populației. De asemenea, în practică, de foarte multe ori valoarea medie este exprimată pentru o caracteristică discretă ca și pentru una continuă. De exemplu, numărul mediu de nașteri la 1.000 de locuitori într-o regiune: disponibil în regiune aşezări, unde fiecare are propria sa natalitate. Pentru a calcula rata medie a natalității pentru regiune, este necesar să corelați numărul tuturor bebelușilor născuți cu populația și să înmulțiți rezultatul cu 1000.

Rezultatul calculării valorii medii pentru acest indicator poate fi exprimat și în fracții, chiar dacă numărul de nașteri este un întreg.

Media este rezultatul tuturor factorilor care influențează fenomenul studiat. Cu alte cuvinte, atunci când le calculăm, influența factorilor aleatori se anulează și apoi este posibil să se determine modelul care este inerent fenomenului studiat.

Valoarea metodei mediilor constă în posibilitatea trecerii de la singular la general, de la aleatoriu la regulat, existența mediilor este o categorie a realității obiective.

Astfel, la calcularea mediei sunt impuse următoarele cerințe de bază:

Ele trebuie calculate astfel încât valoarea medie să răsplătească ceea ce împiedică extracția trasaturi caracteristiceși modele în dezvoltarea fenomenului și nu a ascuns dezvoltarea.

Poate fi calculat doar pentru o populație omogenă. Valoarea medie, care a fost calculată pentru o populație eterogenă, se numește măturare.

Valorile medii, identice în ceea ce privește tehnica de calcul și forma, în unele cazuri pot fi ample, iar în altele - generale, în funcție de scopul pentru care sunt interpretate.

Nu uitați că valoarea medie oferă întotdeauna o caracteristică generalizată a unui singur atribut. Fiecare unitate a populației are multe caracteristici. Prin urmare, este necesar să se calculeze sistemul de medii pentru a caracteriza fenomenul din toate părțile.

Calculul valorilor medii se efectuează conform regulilor elaborate de statistica matematică.

Tehnicile din matematică, care sunt utilizate în diferite secțiuni de statistică, sunt direct legate de calcularea mediilor.

În fenomenele sociale, valorile medii sunt relativ constante, cu alte cuvinte, într-o perioadă de timp desemnată, fenomenele de același tip sunt reflectate de aproximativ aceleași medii.

O condiție importantă pentru calcularea valorilor medii pentru populația studiată este omogenitatea calitativă a acesteia. Să presupunem că componentele individuale ale populației, în cursul expunerii la influența oricărui factor aleatoriu, au dimensiuni foarte mari (mici) ale trăsăturii studiate, care diferă semnificativ de restul. Acești itemi vor afecta mărimea mediei pentru acea populație, astfel încât media nu va exprima valoarea cea mai caracteristică a caracteristicii pentru populație.

Valoarea medie este o caracteristică statistică generalizantă, în care se cuantifică nivelul tipic al unei trăsături care are membri ai populației studiate. Cu toate acestea, o medie nu poate caracteriza toate caracteristicile distribuției statisticilor. Există coincidențe ale mediilor aritmetice cu distribuții diferite.

Măsurile variației sunt utilizate pentru a caracteriza și organiza populațiile de statistici. Variația este diferența dintre valorile unui anumit atribut în diferite unități ale populației în aceeași perioadă de timp. Variația ajută la înțelegerea esenței fenomenului luat în considerare. Intervalul de variație, varianța, abaterea liniară medie, abaterea standard și coeficientul de variație se referă la indicatorii de variație.

Dacă fenomenul studiat nu este omogen, atunci este împărțit în grupuri care conțin elemente omogene. Pentru un eveniment dat, mediile de grup sunt calculate mai întâi; ele exprimă o magnitudine mai tipică a evenimentului în fiecare grup. În plus, pentru toate elementele, se calculează o valoare medie comună, care caracterizează fenomenul în ansamblu. Se calculează ca media medie a grupului, ponderată cu numărul de elemente ale populației care sunt incluse în fiecare grup.

Totuși, în practică, îndeplinirea necondiționată a acestei condiții ar presupune o limitare a posibilităților de analiză statistică. Deci mediile sunt adesea calculate din fenomene neomogene.

O altă condiție de bază pentru utilizarea mediilor în analize statistice este un număr suficient de unități din populație, în funcție de care se calculează valorile medii ale atributului. Suficiența unităților studiate este asigurată de definirea corectă a limitelor populației studiate. Această condiție devine decisivă în cazul utilizării observării eșantionului, când este important să se asigure reprezentativitatea eșantionului.

Determinarea valorilor minime și maxime ale unei caracteristici în populația luată în considerare este, de asemenea, o condiție pentru utilizarea valorii medii în analiza statistică. Dacă există abateri mari între valorile extreme și medie, atunci este important să se verifice dacă extremele aparțin populației studiate. Dacă variabilitatea puternică a unei trăsături este cauzată de factori pe termen scurt și aleatori, atunci este posibil ca valorile extreme să nu fie caracteristice populației. Aceasta înseamnă că acestea trebuie excluse din analiză, deoarece afectează media.

2 . Tipuri de medii

Mediile sunt împărțite în două clase mari: mediile puterii și mediile structurii.

Medii de putere:

Aritmetic

armonic

Geometric

pătratică

Medii structurale:

Alegerea formei mediei depinde de baza inițială de calcul a mediei și de informațiile economice disponibile pentru calcularea acesteia.

Baza inițială pentru calcul și punctul de referință pentru alegerea corectă a formei valorii medii sunt relațiile economice care exprimă semnificația valorilor medii și relația dintre indicatori.

Calculul unor valori medii:

Salariu mediu 1 angajat = Salarizare / Numar de angajati

Prețul mediu al unui produs = Costul de producție / Numărul de unități de producție

Costul mediu al unui produs = Costul de producție / Numărul de unități de producție

Randament mediu = Recoltă brută / suprafață însămânțată

Productivitatea medie a muncii \u003d volumul de produse, lucrări, servicii / ore lucrate

Intensitatea medie a muncii \u003d ore lucrate/volum de produse, lucrări, servicii

Intensitatea medie a capitalului \u003d Costul mediu al activelor fixe / volumul produselor, lucrărilor și serviciilor

Rentabilitatea medie a activelor \u003d volumul produselor, lucrărilor și serviciilor / costul mediu al activelor fixe

Raportul mediu capital-muncă \u003d valoarea medie a activelor fixe de producție / efectivul mediu personalul de producție

Rata medie de respingere = (costul produselor defecte / Costul tuturor produselor fabricate) * 100%

Tipurile de medii enumerate pot fi combinate formula generala(valoarea medie a fenomenului studiat):

m este exponentul valorii medii;

x este valoarea curentă a caracteristicii medii;

n este numărul de caracteristici.

În funcție de valoarea exponentului m, se disting următoarele tipuri de valori medii ale puterii dacă:

m = -1 - medie armonică;

m = 0 - medie geometrică;

m = 1 - medie aritmetică;

m = 2 - rădăcină pătrată medie.

Economia folosește un numar mare de indicatori calculati ca medii. De exemplu, un indicator integral al veniturilor lucrătorilor societate pe acţiuni(AO) este venitul mediu al unui lucrător, care este determinat de raportul dintre fondul total de salarii și plățile sociale pentru o anumită perioadă (an, trimestru, lună) și numărul total de lucrători din AO.

Pentru lucrătorii cu același nivel de venit, de exemplu, angajații din sectorul public și pensionarii pentru limită de vârstă, este posibil să se determine ponderea cheltuielilor pentru achiziționarea de alimente. Astfel, puteți calcula durata medie a zilei de lucru, categoria salarială medie a lucrătorilor, nivel mediu productivitatea muncii etc.

Regula majoranței mijloacelor: cu cât exponentul m este mai mare, cu atât mai multă valoare in medie.

Media aritmetică are următoarele proprietăți:

Suma abaterilor valorilor individuale ale unei caracteristici de la valoarea sa medie este egală cu zero.

Dacă toate valorile atributului (x) sunt mărite (scăzute) cu același număr de K ori, atunci media va crește (scădea) de K ori.

Dacă toate valorile atributului (x) sunt mărite (scăzute) cu același număr A, atunci media va crește (scădea) cu același număr A.

Dacă toate valorile ponderilor (f) sunt mărite sau micșorate de același număr de ori, atunci media nu se va modifica.

Suma abaterilor pătrate ale valorilor individuale ale atributului de la media aritmetică este mai mică decât de la orice alt număr. Dacă, la înlocuirea valorilor individuale ale unei trăsături cu o valoare medie, este necesar să se mențină aceeași sumă de pătrate a valorilor originale, atunci media va fi o medie pătratică.

Utilizarea simultană a unor proprietăți face posibilă simplificarea calculului mediei aritmetice: puteți scădea din toate valorile atributului valoare constantăȘi, reduceți diferențele cu un factor comun K și împărțiți toate ponderile f la același număr și, folosind datele modificate, calculați media. Apoi, dacă valoarea medie obținută este înmulțită cu K și A se adaugă la produs, atunci obținem valoarea dorită a mediei aritmetice conform formulei:

Media transformată obținută în acest fel se numește momentul de ordinul întâi, iar metoda de mai sus de calculare a mediei se numește metoda momentelor, sau referință de la zero condiționat.

Dacă, la grupare, valorile atributului mediu sunt date pe intervale, atunci când se calculează media aritmetică, punctele de mijloc ale acestor intervale sunt luate ca valoare a atributului în grupuri, adică pornesc din ipoteza unei distribuții uniforme a unităților populației pe intervalul valorilor atributelor. Pentru intervalele deschise din primul și ultimul grup, dacă există, valorile atributului trebuie determinate de un expert, pe baza esenței proprietăților atributului și populației.

În absența posibilității evaluării de către experți, valorile caracteristicii în intervale deschise, pentru a găsi limita lipsă a intervalului deschis, se utilizează intervalul (diferența dintre valorile sfârșitului și începutului intervalului) intervalului învecinat (principiul „vecin”). Cu alte cuvinte, lățimea (pasul) intervalului deschis este determinată de valoarea intervalului adiacent.

3. Paplicarea practică a mediilor

Valorile medii sunt folosite pentru a găsi ecuația de regresie.

Datele inițiale ale indicatorilor x și y, precum și calculele intermediare pentru găsirea coeficienților ecuației de regresie liniară, sunt prezentate în Tabelul 1.

Tabelul 1 - Calcule necesare pentru găsirea parametrilor de regresie

	Producția de lapte pe vacă (Y)

Formula ecuației de regresie:

Aflați coeficientul de regresie a1

Ecuația de regresie liniară: y = 183,7241x + 2171,751

2) Înainte de a construi liniile empirice și teoretice de dependență ale lui y față de x, vom construi un tabel de valori.

Tabelul 2 - Valorile funcțiilor teoretice și empirice

	Durata perioadei vegetative (X)	Producția de lapte pe vacă (Y)

Punctele de regresie liniară și valorile empirice sunt prezentate în graficul de mai jos (Fig. 1).

Figura 1 - Valori empirice și teoretice

3) Coeficient de corelație liniară:

Relația dintre semne este directă, nesemnificativă.

4) Coeficient de determinare:

R2 = (0,28*0,28)*100% = 7,84%

Coeficient de alienare: A= 0,96

5) Calculați eroarea coeficientului de corelație și fiabilitatea coeficientului.

Să verificăm semnificația lui r folosind testul t al lui Student la un nivel de semnificație a=0,05

6) Coeficientul Spearman nu se va putea compara corect cu valoarea tabelului deoarece dimensiunea eșantionului este mai mare de 40.

7) Coeficientul de corelație al semnelor Ferchen

Tabelul 3 - Numărul C, H

	Producția de lapte pe vacă (Y)	Durata perioadei vegetative (X)

C=24; H=41-24=17

Kf \u003d (24-17) / 41 \u003d 0,17<0,3 =>legătura este nesemnificativă

8) Coeficientul de corelație arată că relația dintre durata perioadei vegetative și producția de lapte la 1 vacă este directă, dar nu semnificativă. Coeficientul de determinare este mult mai mic de 50%, prin urmare, relația dintre cele două caracteristici este slabă. Pentru toate metodele de testare a semnificației coeficientului de determinare, s-a constatat că coeficientul de corelație liniară este nesemnificativ.

Modul este valoarea unei caracteristici (variante), cel mai des întâlnită în populația studiată. Într-o serie de distribuție discretă, modul va fi varianta cu cea mai mare frecvență.

De exemplu: Distribuția pantofilor de damă vânduți după mărime este caracterizată după cum urmează:

Tabel 4 - S-au vândut pantofi de damă după mărime

În această serie de distribuție, modul este dimensiunea 37, adică Mo = 37.

Pentru o serie de distribuție pe intervale, modul este determinat de formula:

unde ХMo este limita inferioară a intervalului modal;

hMo este valoarea intervalului modal;

fMo este frecvența intervalului modal;

fMo-1 și, respectiv, fMo+1 - frecvența de interval

precedând modalul şi urmând-o.

De exemplu: Distribuția lucrătorilor în funcție de vechimea în muncă este caracterizată de următoarele date.

Tabelul 5

Determinați modul seriei de intervale a distribuției.

Modul seriei de intervale este:

Mo \u003d 6 + 2x (35-20) / (35-20 + 35-11) \u003d 6,77 ani.

Moda este întotdeauna oarecum vagă; depinde de mărimea grupurilor și de poziția precisă a limitelor grupului. Moda este utilizată pe scară largă în practica comercială la studierea cererii consumatorilor, la înregistrarea prețurilor etc.

Mediana în statistică este o variantă situată la mijlocul unei serii ordonate de date și care împarte populația statistică în două părți egale, astfel încât o jumătate din valoare să fie mai mică decât mediana, iar cealaltă jumătate este mai mare decât aceasta. Pentru a determina mediana, este necesar să construiți o serie clasată, adică o serie în ordine crescătoare sau descrescătoare a valorilor caracteristice individuale.

Într-o serie ordonată discretă cu un număr impar de membri, mediana va fi varianta situată în centrul seriei.

De exemplu: Experiența a cinci lucrători a fost de 2, 4, 7, 9 și 10 ani. În această serie, mediana este de 7 ani, adică. Eu=7 ani

Dacă o serie ordonată discretă constă dintr-un număr par de membri, atunci mediana va fi media aritmetică a două opțiuni adiacente din centrul seriei.

De exemplu: Experiența de muncă a șase lucrători a fost de 1, 3, 4, 5, 10 și 11 ani. Există două opțiuni în acest rând, stând în centrul rândului. Acestea sunt opțiunile 4 și 5. Media aritmetică a acestor valori va fi mediana seriei:

Eu = (4+5)/2 = 4,5 ani

Pentru a determina mediana pentru datele grupate, trebuie citite frecvențele cumulate.

De exemplu: pe baza datelor disponibile, determinați mărimea medie a pantofului

Tabelul 6

Mărimea pantofului	Numărul de perechi vândute	Suma frecvențelor cumulate

valoarea medie modul median

Pentru a determina mediana, este necesar să se calculeze suma frecvențelor acumulate ale seriei. Creșterea totalului continuă până când suma acumulată de frecvențe depășește jumătate din suma frecvențelor seriei. În exemplul nostru, suma frecvențelor a fost 300, jumătatea sa - 150. Suma acumulată a frecvențelor s-a dovedit a fi 169. Varianta corespunzătoare acestei sume, adică. 37 este mediana seriei.

Dacă suma frecvențelor acumulate față de una dintre opțiuni este exact jumătate din suma frecvențelor seriei, atunci mediana este definită ca media aritmetică a acestei opțiuni și a următoarei.

De exemplu: Pe baza datelor disponibile, determinăm salariul mediu al lucrătorilor

Tabelul 7

Mediana va fi:

Eu \u003d (16,0 + 16,8) / 2 \u003d 16,4 mii de ruble.

Mediana seriei de variație a intervalului a distribuției este determinată de formula:

Unde ХМе este limita inferioară a intervalului median;

hMe - valoarea intervalului median;

F este suma frecvențelor seriei;

fMe - frecvența intervalului median;

Tabelul 8

	Numărul de întreprinderi	Suma frecvențelor cumulate

Să definim mai întâi intervalul median. ÎN acest exemplu suma frecvențelor acumulate care depășește jumătate din suma tuturor valorilor seriei corespunde intervalului 400-500. Acesta este intervalul median, adică. intervalul care conține mediana seriei. Să-i definim sensul:

Eu \u003d 400 + 100x (80 / 2 -11) / 30 \u003d 400 + 96,66 \u003d 496,66 persoane.

Dacă suma frecvențelor acumulate față de unul dintre intervale este exact jumătate din suma frecvențelor seriei, atunci mediana este determinată de formula:

unde n este numărul de unități din populație.

De exemplu: Pe baza datelor disponibile privind distribuția întreprinderilor după numărul de personal industrial și de producție, calculați mediana în seria de variații de interval

Tabelul 9

Grupuri de întreprinderi după numărul de PPP, pers.	Numărul de întreprinderi	Suma frecvențelor cumulate

Mediana se calculează după cum urmează:

Eu \u003d 500 + 100 ((80 + 1) / 2 - 40) / 20 \u003d 502,5 persoane.

Modul și mediana în seria de intervale pot fi determinate grafic:

Moda în serie discretă - peste poligonul de distribuție;

Moda în serie de intervale - conform histogramei de distribuție;

Mediana - prin cumulat.

Modul seriei de intervale a distribuției se determină din histograma distribuției se determină după cum urmează.

Pentru a face acest lucru, este selectat cel mai înalt dreptunghi, care în acest caz este modal. Apoi conectăm vârful drept al dreptunghiului modal cu colțul din dreapta sus al dreptunghiului anterior. Iar vârful din stânga dreptunghiului modal este cu colțul din stânga sus al dreptunghiului următor. În plus, din punctul de intersecție a acestora, o perpendiculară este coborâtă pe axa absciselor. Abscisa punctului de intersecție al acestor drepte va fi modul de distribuție.

Figura 2 - Definiția grafică a modei prin histogramă

Mediana se calculează din cumulat. Pentru determinarea acestuia, dintr-un punct de pe scara frecvențelor (frecvențe) acumulate corespunzător la 50%, se trasează o linie dreaptă, paralelă cu axa absciselor, până se intersectează cu cumulul. Apoi, din punctul de intersecție al dreptei specificate cu cumulul, o perpendiculară este coborâtă pe axa absciselor. Abscisa punctului de intersecție este mediana.

Figura 3 - Definirea grafică a mediei prin cumulat

Pe lângă mod și mediană, în seria de variante pot fi definite și alte variabile. caracteristici structurale- cuantile.

Quantilele sunt destinate unui studiu mai profund al structurii seriei de distribuție.

O cuantilă este o valoare a unei caracteristici care ocupă un anumit loc într-o populație ordonată după această caracteristică.

Furnizați Informații importante despre structura seriei variaționale a oricărei trăsături. Împreună cu mediana, ei împart seria de variații în 4 părți egale. Există două quartile, acestea sunt notate cu simbolurile Q, quartilele superioare și inferioare. 25% dintre valori sunt mai mici decât quartila inferioară, 75% dintre valori sunt mai mici decât quartila superioară.

Pentru a calcula quartila, este necesar să împărțiți seria de variații cu mediana în două părți egale, apoi să găsiți mediana în fiecare dintre ele. De exemplu, dacă eșantionul constă din 6 elemente, atunci al doilea element este luat ca quartila inițială a eșantionului, iar al cincilea element este luat ca quartila inferioară.

Există următoarele tipuri de cuantile:

Quartile - valorile atributelor care împart setul ordonat în patru părți egale;

Decilele sunt valori caracteristice care împart setul ordonat în zece părți egale;

Procentele sunt valorile unei caracteristici care împart un set ordonat în o sută de părți egale.

Astfel, pentru a caracteriza poziția centrului seriei de distribuție, pot fi utilizați 3 indicatori: valoarea medie a caracteristicii, mod, mediană.

Atunci când alegeți tipul și forma unui indicator specific al centrului de distribuție, este necesar să se pornească de la următoarele recomandări:

Pentru procesele socio-economice durabile, media aritmetică este utilizată ca indicator al centrului.

Astfel de procese sunt caracterizate prin distribuții simetrice, în care

Pentru procesele instabile, poziția centrului de distribuție este caracterizată de Mo sau Me.

Pentru procesele asimetrice, caracteristica preferată a centrului de distribuție este mediana, deoarece ocupă o poziție între media aritmetică și mod.

Wconcluzie

Rezumând, putem spune că domeniul de aplicare și utilizarea mediilor în statistică este destul de largă.

Valorile medii sunt indicatori generalizatori în care se exprimă acțiunea condițiilor generale, regularitatea fenomenului studiat. Mediile statistice se calculează pe baza datelor de masă ale observației de masă organizate corect statistic (continuă sau eșantion). Cu toate acestea, media statistică va fi obiectivă și tipică dacă este calculată din date de masă pentru o populație omogenă calitativ (fenomene de masă). Utilizarea mediilor ar trebui să plece de la o înțelegere dialectică a categoriilor de general și individual, de masă și de individ.

Media reflectă generalul care se formează în fiecare individ, singur obiect, motiv pentru care media are mare importanță pentru a identifica tipare inerente fenomenelor sociale de masă și imperceptibile în fenomene singulare.

Abaterea individului de la general este o manifestare a procesului de dezvoltare. În cazuri individuale izolate, pot fi așezate elemente ale unuia nou, avansat. În acest caz, factorul specific, luat pe fondul valorilor medii, este cel care caracterizează procesul de dezvoltare. Prin urmare, media reflectă nivelul caracteristic, tipic, real al fenomenelor studiate. Caracteristicile acestor niveluri și modificările lor în timp și spațiu este una dintre principalele probleme ale mediilor. Deci, prin medii, de exemplu, schimbările în bunăstarea populației se reflectă în salariile medii, veniturile familiei în ansamblu și pentru grupuri sociale individuale și nivelul consumului de produse, bunuri și servicii.

Indicatorul mediu este o valoare tipică (obișnuită, normală, stabilită în ansamblu), dar este astfel deoarece se formează în condiții normale, naturale pentru existența unui fenomen de masă specific, considerat în ansamblu. Media reflectă proprietatea obiectivă a fenomenului. În realitate, există adesea doar fenomene deviante, iar media ca fenomen poate să nu existe, deși conceptul de tipicitate a unui fenomen este împrumutat din realitate.

Valoarea medie este o reflectare a valorii trăsăturii studiate și, prin urmare, este măsurată în aceeași dimensiune cu această trăsătură. Cu toate acestea, există diferite moduri de a determina aproximativ nivelul de distribuție a populației pentru a compara caracteristicile rezumate care nu sunt direct comparabile între ele, de exemplu populatia medie populaţia în raport cu teritoriul (densitatea medie a populaţiei). În funcție de factorul care trebuie eliminat, se va găsi și conținutul mediei.

Combinarea mijloacelor generale cu mediile de grup face posibilă limitarea populațiilor omogene calitativ. Împărțind masa de obiecte care alcătuiesc acest sau acel fenomen complex în grupuri omogene intern, dar calitativ diferite, care caracterizează fiecare dintre grupuri cu media sa, se pot dezvălui rezervele procesului noii calități emergente. De exemplu, distribuția populației pe venituri face posibilă identificarea formării de noi grupuri sociale.

Literatură

1. Baturina I., Neprintseva E. Productie si furnizare. Costuri și profituri. \\ Zhur. Jurnalul economic rus. Nr. 3., 2009, p. 119.

2. Belozhetsky I.A. Profitul întreprinderii. // Zhur. „Finanțe”, nr. 3, 2009, p. 40.

3. Bulatova A.S. Economie: manual. - M.: Editura BEK. - 2008. - str. 632.

4. Probabilitate. Exemple și sarcini: A. Shen - Moscova, MTsNMO, 2009 - 64 p.

5. Dolan E. J., Lindsay D. Microeconomie. - 2009. - str. 448.

6. Eliseeva I.I. Teoria generală statistică: un manual pentru universități / I.I. Eliseeva, M.M. Yuzbashev; ed. I.I. Eliseeva. - M.: Finanțe și statistică, 2009. - 656 p.

7. Efimova M.R. Workshop de teoria generală a statisticii: tutorial pentru universități / M.R. Efimova și alții - M.: Finanțe și statistică, 2007. - 368 p.

8. Zubko N.M. Teoria economică- Minsk: STC API. - 2008. - str. 311.

9. Emtsov R.G., Lukin M.Yu. Microeconomie: manual. - M.: Universitatea de Stat din Moscova. M.V. Lomonosov, Editura DIS. - 2009. - str. 320.

10. Edwin J. Dolan, David E. Lindsay. Piața: model microeconomic. Pe. din engleza. Sankt Petersburg: 2010. - p. 224.

11. Khayman D.N. Microeconomia modernă: analiză și aplicare. Pe. din engleza. M.: Finanțe și statistică, 2008, v. 1 p. 116.

12. Kodatsky V.P. Probleme de formare a profitului. // Zhur. The Economist, nr. 3, 2010, p. 49-60.

13. Teoria generală a statisticii: Metodologia statistică în studiul activității comerciale: manual pentru universități / O.E. Bashina și alții; ed. O.E. Bashina, A.A. Spirin. - M.: Finanțe și statistică, 2008. - 440 p.

14. Salin V.N. Cursul de teoria statisticii pentru formarea specialistilor in profil financiar si economic: manual / V.N. Salin, E.Yu. Churilova. - M.: Finanțe și statistică, 2008. - 480 p.

15. Statistică socio-economică: atelier: manual / V.N. Salin și alții; ed. V.N. Salina, E.P. Shpakovskaya. - M.: Finanțe și statistică, 2009. - 192 p.

16. Statistică: manual / A.V. Bagat și alții; ed. V.M. Simchery. - M.: Finanțe și statistică, 2010. - 368 p.

17. Statistică: manual / I.I. Eliseeva și alții; ed. I.I. Eliseeva. - M.: Educatie inalta, 2008. - 566 p.

18. Teoria statisticii: un manual pentru universități / R.A. Shmoylov și alții; ed. R.A. Shmoylova. - M.: Finanțe și statistică, 2008. - 656 p.

19. Shmoylova R.A. Workshop de teoria statisticii: manual pentru universități / R.A. Shmoylov și alții; ed. R.A. Shmoylova. - M.: Finanțe și statistică, 2009. - 416 p.

Găzduit pe Allbest.ru

Documente similare

Tipuri și aplicarea valorilor statistice absolute și relative. Esența mediei în statistici, tipuri și forme de medii. Formule și tehnici de calcul a mediei aritmetice, medie armonică, medie structurală. Calculul indicatorilor de variație.

prelegere, adăugată 13.02.2011


Grupuri de valori medii: putere, structural. Caracteristici ale utilizării mediilor, tipuri. Luarea în considerare a proprietăților de bază ale mediei aritmetice. Caracterizarea mediilor structurale. Analiza exemplelor bazate pe statistici reale.

lucrare de termen, adăugată 24.09.2012


Conceptul de valori absolute și relative în statistică. Tipuri și relații ale valorilor relative. Valori medii și principii generale de aplicare a acestora. Calculul mediei prin indicatorii structurii, conform rezultatelor grupării. Definiţia variation indicators.

prelegere, adăugată 25.09.2011


Aplicarea metodei comparațiilor de bilanţ pentru a determina raportul dintre sursele de resurse. Compararea elementelor din bilanţ pentru perioada de raportare. Medii în analiza economică: medii aritmetice, geometrice, simple, ponderate.

test, adaugat 08.06.2015


Calculul nivelurilor medii ale productivității muncii și indicatorilor de variație. Conceptul de mod și mediană a unui semn, construcția unui poligon și evaluarea naturii asimetriei. O tehnică pentru alinierea unei serii de dinamici într-o linie dreaptă. Indicii de volum individuali și agregați.

test, adaugat 24.09.2012


Studiul esenței, tipurilor, domeniului de aplicare a valorilor medii. Caracteristicile mediilor de putere: media aritmetică; armonică medie; medie geometrică; rădăcină medie pătrată. Analiza mărimilor structurale: mediană, mod, calculul acestora.

lucrare de termen, adăugată 16.01.2010


Indicatori tehnico-economici ai grupelor de plante; linii de distributie. Valori relative ale intensității, lanțului și indicilor de bază ai cifrei de afaceri comerciale. Calculul mediei, modului și medianei. Deviație standard; dispersie, coeficient de variație.

test, adaugat 10.06.2013


Mediu statisticiși gruparea analitică a datelor întreprinderii. Rezultatele calculării coeficientului Fechner pentru magazine. Măsurarea gradului de apropiere a conexiunii în statistică folosind indicatorul de corelație. Câmpuri de corelație și ecuații de regresie pentru atelier.

lucrari practice, adaugat 26.11.2012


Determinarea ratei efective a șomajului. Indicatorii macroeconomici ai economiei ruse. Calcule ale cantității cerute după o modificare a prețului. Determinarea valorii profitului contabil și economic pe exercițiu. Calcule ale PIB-ului real al statului.

test, adaugat 15.01.2011


Condiții de utilizare a mediilor în analiză. Tipuri de medii. Media aritmetică. Armonică medie. Medie geometrică. Pătrat mediu și cubic mediu. Medii structurale.

Cursul 6

Dintre indicatorii care caracterizează agregatele statistice, loc important sunt de dimensiuni medii.

Valoarea medie este un indicator care dă o caracteristică generalizată (medie) a unităţilor populaţiei studiate. Media reflectă totalul disponibil în fiecare unitate a populației.

Esența prelucrării statistice prin metoda valorii medii este înlocuirea valorilor individuale ale unei caracteristici cu valoarea lor medie. În acest caz, volumul total al populației rămâne neschimbat.

Exemplu: există date despre producția a 5 muncitori: 135, 141, 153, 159, 162. Determinați producția medie. .

Valori medii pe care trebuie să le cunoașteți pe de rost:

Media aritmetică;

Armonică medie;

Cronologic mediu;

Rădăcină pătrată medie, cubic;

medie geometrică;

Medii structurale: mod, mediană.

1. Media aritmetică: cel mai adesea în statistică și cercetarea socio-economică se folosește o valoare aritmetică.

Media aritmetică simplă este considerată în cazurile în care valoarea caracteristicii se repetă unul sau acelasi numar ori în seria de distribuție:

Unde n-numarul unitatilor populatiei.

Media aritmetică ponderată este utilizată în cazurile în care fiecare valoare caracteristică este repetată de un număr inegal de ori sau frecvența seriei de distribuție depășește unul pentru cel puțin o caracteristică:

Unde f-greutate.(de cate ori se repeta fiecare unitate a populatiei)

2. Media armonică: în unele cazuri, sunt cunoscute opțiunile (x) și produsele opțiunilor pe frecvență (x f), în timp ce frecvențele în sine (f) sunt necunoscute, atunci se folosește media armonică, care este simplă și ponderată.

Muncă x f exprimat printr-un indicator economic complex M(M= x f). Pentru a calcula media când x f =M=1 , se aplică media armonică simplă: .

Dacă x f =M? 1, atunci media ponderată armonică se utilizează pentru calcul: .

Media armonică - reciproca mediei aritmetice, din valorile reciproce ale atributului.

Proprietățile mediilor

1. Dacă din fiecare opțiune se scade sau se adaugă același număr, atunci media va crește sau scade cu același număr.

2. Dacă fiecare opțiune este mărită sau redusă în A ori, atunci media va crește sau va scădea cu aceeași sumă.

3. Dacă toate frecvenţele sunt mărite sau scăzute în A ori, media nu se va schimba.

4. Dacă toate frecvenţele sunt mărite sau reduse cu A, atunci media se va schimba imprevizibil.

5. Media aritmetică a sumei mai multor valori este egală cu suma mediei aritmetice a acestor valori.

6. Suma algebrică a abaterilor valorilor atributelor de la media aritmetică este întotdeauna egală cu zero.

Exemplu: Aflați randamentul mediu în 2003 și 2004.

Unde f-greutate

3. Media cronologică: utilizată pentru a calcula valoarea medie dacă datele originale sunt prezentate pe anumite date, momente de timp:

Exemplu: Găsi cost mediu OPF

Costul OPF

Să aducem toate calculele la un numitor: Х=uh

4. Pătrat mediu: folosit pentru a măsura variația unei caracteristici în populație:

5. Cubic mediu: .

6. Media geometrică: folosită cel mai adesea pentru a determina rata medie de creștere pe unitatea de timp:,

Exemplu: Calculați rata medie anuală de creștere

Unde m=n-1.

Media geometrică este folosită cel mai adesea în calculele economice, dar ia în considerare doar începutul și sfârșitul seriei și nu reflectă cu acuratețe dinamica schimbării, adică. nu ia în calcul suma seriei.

7. Media cumulativă:

Formula medie cumulativă reflectă mai clar dinamica schimbărilor și ajută la vizualizarea sumei seriei clasate.

Toate mediile considerate (cu excepția mediei cronologice) sunt medii ale legii puterii și sunt derivate din următoarea formulă: , unde se obține la

k=-1? armonică medie;

k=0? medie geometrică;

k=1? medie aritmetică;

k=2? rădăcină medie pătrată;

k=3? cubic mediu.

Toți acești indicatori sunt calculați pentru o caracteristică variabilă pentru medii simple. Dacă toate valorile unei caracteristici dintr-o serie de distribuție sunt aceleași, atunci toate valorile medii sunt egale. Există o relație între valorile medii indicate (pentru o serie de distribuție):

Această inegalitate se numește regula majorității mediilor.

8. Medii structurale:

1) Modul mediu structural ( lu) este cea mai frecventă valoare a seriei, cu alte cuvinte, modul este varianta care are cea mai mare frecvență. În seria discretă, modul este determinat vizual, în seria de intervale, intervalul modal este determinat vizual, iar modul (punctul) este determinat de formula: , unde

X 0 ? limita inferioară a intervalului modal;

i? interval serie pas;

f lu ? frecvența intervalului modal;

f Lu-1 ? frecvența intervalului premergător modalului;

f Lu+1 ? frecvenţa intervalului după modal.

Exemplu: Găsiți Mo în serii discrete și interval.

2) Mediana structurală medie ( Pe mine) este valoarea care traversează seria clasată.

În serii impare, pare și discrete, mediana este determinată vizual, dar în seria discretă se determină folosind frecvențele acumulate. În seria de intervale, intervalul median este găsit vizual, folosind frecvențele acumulate, iar mediana în sine (punctată) conform formulei:

X 0 ? limita inferioară a intervalului median;

i• pas de serie de interval;

?f? suma frecvențelor acumulate;

S Eu-1 ? suma frecvențelor acumulate până la intervalul median;

f Pe mine ? frecvența intervalului median.

Exemplu: Găsește-mă în serii impare, pare, discrete, cu intervale.

serie de intervale:

Dacă x avg. este egal cu Mo = Me - aceasta este o distribuție simetrică, dacă x media nu este egal cu Mo, nu este egal cu Me - distribuția este asimetrică.

Introducere 3
1. Conceptul de medie 4
2. Tipuri de medii și cum se calculează 8
3. Medii structurale 13
4. Indicatori de variație 16
Concluzia 21
Referințe 22

Introducere

Valorile medii sunt utilizate în etapa de prelucrare și rezumare a datelor statistice primare obținute. Necesitatea de a determina valorile medii se datorează faptului că, pentru diferite unități ale populațiilor studiate, valorile individuale ale aceleiași trăsături, de regulă, nu sunt aceleași.
Valoarea medie se numește un indicator care caracterizează valoarea generalizată a unei caracteristici sau a unui grup de caracteristici din populația studiată.
Dacă se studiază o populație cu caracteristici omogene calitativ, atunci valoarea medie acționează aici ca o medie tipică. De exemplu, pentru grupurile de lucrători dintr-o anumită industrie cu un nivel fix de venit, se determină o medie tipică a cheltuielilor pentru bunuri de bază, de exemplu. media tipică generalizează valorile calitativ omogene ale atributului în populația dată, care este ponderea cheltuielilor lucrătorilor din acest grup pentru bunuri esențiale.
În studiul unei populații cu caracteristici calitativ eterogene, pot trece în prim-plan indicatorii medii atipici. Astfel, de exemplu, indicatorii medii ai venitului național produs pe cap de locuitor (grupe de vârstă diferite), indicatorii medii ai randamentelor culturilor de cereale în toată Rusia, natalitatea medie a populației din toate regiunile țării, temperaturile medii pentru o anumită perioadă etc. Aici, valorile medii generalizează valori calitativ eterogene ale caracteristicilor sau agregatelor spațiale sistemice sau agregatelor dinamice extinse în timp. Aceste medii se numesc medii de sistem.
1. Conceptul de medie

De regulă, multe caracteristici ale unităților de agregate statistice sunt diferite în sensul lor, de exemplu, salariile lucrătorilor unei profesii a unei întreprinderi nu sunt aceleași pentru aceeași perioadă de timp, recoltele recoltelor în fermele din regiune și prețurile de piață pentru aceleași produse sunt diferite etc. Așadar, pentru a determina valoarea atributului, caracteristică întregii populații de unități studiate, se recurge la calculul valorilor medii.
Valoarea medie în statistică este un indicator generalizator care caracterizează nivelul tipic al unui fenomen în condiții specifice de loc și timp, reflectând amploarea unui atribut variabil pe unitatea de populație omogenă calitativ. În practica economică se utilizează o gamă largă de indicatori, calculați ca medii.
De exemplu, un indicator generalizator al veniturilor lucrătorilor dintr-o societate pe acțiuni (SA) este venitul mediu al unui lucrător, determinat de raportul dintre fondul de salarii și plățile sociale pentru perioada analizată (an, trimestru, lună) și numărul de lucrători din SA. Pentru persoanele cu un nivel de venit destul de omogen, precum angajații din sectorul public și pensionarii pentru limită de vârstă (cu excepția celor cu beneficii și venituri suplimentare), este posibil să se determine cotele tipice ale cheltuielilor pentru achiziționarea de produse alimentare. Deci putem vorbi despre durata medie a zilei de lucru, categoria salarială medie a muncitorilor, nivelul mediu al productivității muncii etc.
Calcularea mediei este o tehnică comună de generalizare; indicatorul mediu reflectă generalul care este tipic (tipic) pentru toate unitățile populației studiate, în timp ce, în același timp, ignoră diferențele dintre unitățile individuale. În fiecare fenomen și în dezvoltarea lui există o combinație de întâmplare și necesitate. La calcularea mediilor, datorită funcționării legii numerelor mari, aleatorietatea se anulează reciproc, se echilibrează, prin urmare este posibil să se abstragă de la trăsăturile nesemnificative ale fenomenului, de la valorile cantitative ale atributului în fiecare caz specific. Abilitatea de a face abstracție de la aleatoriu valori individuale, se concluzionează fluctuațiile și valoarea științifică a mediilor ca caracteristici generalizatoare ale agregatelor.
Acolo unde este nevoie de generalizare, calculul unor astfel de caracteristici duce la înlocuirea multor valori individuale diferite ale unei trăsături cu un indicator mediu care caracterizează întregul set de fenomene, ceea ce face posibilă identificarea tiparelor inerente fenomenelor sociale de masă care sunt imperceptibile în un singur fenomen.
Media reflectă nivelul caracteristic, tipic, real al fenomenelor studiate, caracterizează aceste niveluri și modificările lor în timp și spațiu.
Media este o caracteristică sumară a regularităților procesului în condițiile în care se desfășoară.
Analiza mediilor relevă, de exemplu, modele de schimbări ale productivității muncii, salariile lucrătorilor dintr-o anumită întreprindere într-un anumit stadiu al dezvoltării sale economice, schimbările climatice într-un anumit punct de pe glob pe baza observațiilor pe termen lung ale temperaturii medii a aerului etc.
Totuși, pentru ca indicatorul mediu să fie cu adevărat tipic, acesta nu trebuie determinat pentru nicio populație, ci doar pentru populațiile formate din unități omogene calitativ. Aceasta este condiția principală pentru utilizarea justificată științific a mediilor.
Mediile obţinute pentru populaţii eterogene vor distorsiona natura fenomenului social studiat, îl vor falsifica sau vor fi lipsite de sens. Deci, dacă calculăm nivelul mediu al veniturilor angajaților oricărui district, obținem o medie fictivă, deoarece pentru a o calcula a fost folosit un set eterogen, inclusiv angajații întreprinderilor. tipuri variate(de stat, comun, arendare, pe acțiuni), precum și organe controlat de guvern, sfere ale științei, culturii, educației etc. În astfel de cazuri, metoda medie este utilizată în combinație cu metoda grupării, ceea ce face posibilă evidențierea grupurilor omogene, în funcție de care se calculează mediile tipice de grup.
Mediile de grup fac posibilă evitarea unor medii „măturatoare”, oferă o comparație a nivelurilor grupurilor individuale cu nivelul general al populației, identifică diferențele existente etc.
Cu toate acestea, rolul mediilor nu poate fi redus doar la caracterizarea valorilor tipice ale caracteristicilor în populațiile care sunt omogene în ceea ce privește această caracteristică. În practică, statistica modernă folosește așa-numitele medii de sistem, generalizând fenomene eterogene (caracteristicile statului, un singur sistem economic: de exemplu, venitul național mediu pe cap de locuitor, randamentul mediu de cereale pe întreg teritoriul țării, venitul mediu real pe cap de locuitor, consumul mediu de alimente pe cap de locuitor, productivitatea muncii sociale).
ÎN conditii moderne dezvoltarea relațiilor de piață în economie, mediile servesc ca instrument pentru studierea tiparelor obiective ale fenomenelor socio-economice. Cu toate acestea, analiza economică nu trebuie să se limiteze doar la indicatori medii, întrucât mediile generale favorabile pot ascunde atât deficiențe majore, cât și grave în activitățile entităților economice individuale, cât și germenii unuia nou, progresiv. Astfel, de exemplu, distribuția populației pe venituri face posibilă dezvăluirea formării de noi grupuri sociale. Prin urmare, împreună cu datele statistice medii, este necesar să se țină seama de caracteristicile unităților individuale ale populației.
Media ar trebui calculată pentru un set format dintr-un număr suficient de mare de unități, deoarece, în acest caz, conform legii numerelor mari, diferențele individuale aleatorii dintre unități se anulează reciproc și nu au un efect semnificativ asupra valorii medii, ceea ce contribuie la manifestarea principalului, esențial inerent în întreaga masă. Dacă se bazează pe o medie dintr-un grup mic de date, atunci se pot trage concluzii incorecte, deoarece o astfel de medie va reflecta o influență semnificativă a caracteristicilor individuale, de exemplu. momente aleatorii care nu sunt caracteristice populaţiei studiate în ansamblu.
Fiecare medie caracterizează populația studiată în funcție de orice atribut, dar pentru a caracteriza orice populație, a descrie trăsăturile sale tipice și caracteristicile calitative, este nevoie de un sistem de indicatori medii. Prin urmare, în practica statisticii interne pentru studiul fenomenelor socio-economice, de regulă, se calculează un sistem de indicatori medii. Deci, de exemplu, indicatorii salariului mediu sunt evaluați împreună cu indicatorii producției medii, raportul capital-muncă și raportul putere-greutate al muncii, gradul de mecanizare și automatizare a muncii etc.
Media trebuie calculată ținând cont de conținutul economic al indicatorului studiat. Prin urmare, pentru un indicator specific utilizat în analiza socio-economică, pe baza metodei științifice de calcul poate fi calculată o singură valoare adevărată a mediei.

Să ne oprim asupra unora principii generale utilizarea mediilor.
1. Media trebuie determinată pentru populațiile formate din unități omogene calitativ.
2. Media ar trebui calculată pentru o populație formată dintr-un număr suficient de mare de unități.
3. Ar trebui calculată media pentru populația ale cărei unități se află într-o stare normală, naturală.
4. Media trebuie calculată ținând cont de conținutul economic al indicatorului studiat.

2. Tipuri de medii și metode de calcul a acestora

Să luăm acum în considerare tipurile de medii, caracteristicile calculului lor și domeniile de aplicare. Valorile medii sunt împărțite în două clase mari: medii de putere, medii structurale.
Mediile legii puterii includ cele mai cunoscute și utilizate tipuri, cum ar fi media geometrică, media aritmetică și pătratul mediu.
Modul și mediana sunt considerate ca medii structurale.

VALORI MEDII

Medii de putere: medii structurale:
armonic
aritmetic
cub
geometric
modul pătratic
median
quartila
decil

Să ne oprim asupra mediilor de putere. Mediile de putere, în funcție de prezentarea datelor inițiale, pot fi simple și ponderate. O medie simplă este calculată din date negrupate și are următoarea formă generală:
,
unde Xi este varianta (valoarea) caracteristicii medii;

n este numărul de opțiuni.
Media ponderată este calculată din datele grupate și are o formă generală
,
unde Xi este varianta (valoarea) caracteristicii medii sau valoarea medie a intervalului în care este măsurată varianta;
m este exponentul mediei;
fi este o frecvență care indică de câte ori apare i-a valoare semn mediu.
Să dăm ca exemplu calculul vârstei medii a elevilor dintr-un grup de 20 de persoane:
Nu. p / p
Vârstă
(ani) № p / p Vârsta
(ani) № p / p Vârsta
(ani) № p / p Vârsta
(ani)
1
2
3
4
5 18
18
19
20
19 6
7
8
9
10 20
19
19
19
20 11
12
13
14
15 22
19
19
20
20 16
17
18
19
20 21
19
19
19
19

Calculăm vârsta medie folosind formula medie simplă:

Să grupăm datele sursă. Obținem următoarea serie de distribuție:

Vârsta, X ani 18 19 20 21 22 Total
Număr de studenți 2 11 5 1 1 20

Ca urmare a grupării, obținem un nou indicator - frecvența, care indică numărul de elevi în vârstă de X ani. Prin urmare, varsta medie grupul de elevi va fi calculat folosind formula medie ponderată:

Formulele generale pentru calcularea mediilor exponențiale au un exponent (m). În funcție de valoarea necesară, se disting următoarele tipuri de medii de putere:
medie armonică dacă m = -1;
medie geometrică dacă m –> 0;
medie aritmetică dacă m = 1;
rădăcină medie pătrată dacă m = 2;
cubic mediu dacă m = 3.
Dacă calculăm toate tipurile de medii pentru aceleași date inițiale, atunci valorile lor nu vor fi aceleași. Aici se aplică regula majorității mediilor: cu o creștere a exponentului m, crește și valoarea medie corespunzătoare:

În practica statistică, mai des decât alte tipuri de medii ponderate, se folosesc medii ponderate aritmetice și armonice.
tabelul 1
Tipuri de mijloace de putere

Tip de putere
indicator mediu
gradul (m) Formula de calcul
Simplu ponderat
Armonica -1

Geometric 0

Aritmetica 1

Pătratul 2

Cubic 3

Media armonică are o structură mai complexă decât media aritmetică. Media armonică este utilizată pentru calcule atunci când ponderile nu sunt unitățile populației - purtătorii trăsăturii, ci produsele acestor unități și valorile trăsăturii (adică m = Xf). Timpul mediu de oprire armonică ar trebui utilizat în cazurile de determinare, de exemplu, a costurilor medii ale forței de muncă, timpului, materialelor pe unitatea de producție, pe parte pentru două (trei, patru etc.) întreprinderi, lucrători angajați în fabricarea aceluiași tip de produs, aceeași piesă, produs.
Principala cerință pentru formula de calcul a valorii medii este ca toate etapele calculului să aibă o justificare reală semnificativă; valoarea medie rezultată ar trebui să înlocuiască valorile individuale ale atributului pentru fiecare obiect fără a întrerupe legătura dintre indicatorii individuali și sumar. Cu alte cuvinte, valoarea medie trebuie calculată în așa fel încât, atunci când fiecare valoare individuală a indicatorului mediu este înlocuită cu valoarea sa medie, un indicator rezumativ final, conectat într-un fel sau altul cu cel mediat, să rămână neschimbat. Acest indicator final se numește determinant, deoarece natura relației sale cu valorile individuale determină formula specifică pentru calcularea valorii medii. Să arătăm această regulă pe exemplul mediei geometrice.
Formula medie geometrică

cel mai adesea utilizat la calcularea valorii medii a valorilor relative individuale ale dinamicii.
Media geometrică este utilizată dacă este dată o succesiune de valori relative ale dinamicii în lanț, indicând, de exemplu, o creștere a producției față de nivelul din anul precedent: i1, i2, i3,..., in. Este clar că volumul producției anul trecut este determinată de nivelul său inițial (q0) și de creșterea ulterioară de-a lungul anilor:
qn=q0× i1× i2×...×in.
Luând qn ca indicator definitoriu și înlocuind valorile individuale ale indicatorilor de dinamică cu cele medii, ajungem la relația

3. Medii structurale

Pentru a studia se folosește un tip special de medii - medii structurale structura interna serie de distribuție a valorilor caracteristice, precum și pentru estimarea valorii medii (tipul puterii), dacă, conform datelor statistice disponibile, nu se poate efectua calculul acesteia (de exemplu, dacă în exemplul considerat nu existau date atât cu privire la volumul producției, cât și la valoarea costurilor pe grupuri de întreprinderi).
Ca medii structurale, cei mai des utilizați sunt indicatorii de modă - cea mai frecventă valoare repetată a caracteristicii - și mediana - valoarea caracteristicii, care împarte succesiunea ordonată a valorilor sale în două părți egale ca număr. Ca urmare, într-o jumătate din unitățile populației, valoarea atributului nu depășește nivelul median, iar în cealaltă jumătate nu este mai mică decât acesta.
Dacă caracteristica studiată are valori discrete, atunci nu există dificultăți deosebite în calcularea modului și a mediei. Dacă datele despre valorile atributului X sunt prezentate sub formă de intervale ordonate ale modificării acestuia (serie de intervale), calculul modului și al mediei devine oarecum mai complicat. Deoarece valoarea mediană împarte întreaga populație în două părți egale ca număr, ea ajunge într-unul dintre intervalele caracteristicii X. Utilizând interpolare, valoarea mediană se găsește în acest interval median:
,
unde XMe este limita inferioară a intervalului median;
hMe este valoarea sa;
(Suma m) / 2 - jumătate din numărul total de observații sau jumătate din volumul indicatorului care este utilizat ca ponderare în formulele de calcul a valorii medii (în termeni absoluti sau relativi);
SMe-1 este suma observațiilor (sau volumul caracteristicii de ponderare) acumulate înainte de începutul intervalului median;
mMe este numărul de observații sau volumul caracteristicii de ponderare în intervalul median (de asemenea, în termeni absoluti sau relativi).
În acest exemplu, chiar și trei valori medii pot fi obținute - pe baza semnelor numărului de întreprinderi, volumului de producție și a valorii totale a costurilor de producție:

Astfel, pentru jumătate dintre întreprinderi, costul unei unități de producție depășește 125,19 mii ruble, jumătate din volumul total de producție este produs cu un nivel al costurilor pe produs de peste 124,79 mii ruble. și 50% din costul total este format la nivelul costului unui produs peste 125,07 mii de ruble. De asemenea, observăm că există o anumită tendință ascendentă a costului, deoarece Me2 = 124,79 mii ruble, iar nivelul mediu este de 123,15 mii ruble.
Când se calculează valoarea modală a unei caracteristici în funcție de datele seriei de intervale, este necesar să se acorde atenție faptului că intervalele sunt aceleași, deoarece indicatorul frecvenței valorilor caracteristicii X depinde de aceasta. Pentru o serie de intervale cu intervale egale, valoarea modului este determinată ca
,
unde XMo este valoarea inferioară a intervalului modal;
mMo este numărul de observații sau volumul caracteristicii de ponderare în intervalul modal (în termeni absoluti sau relativi);
mMo-1 - la fel pentru intervalul care precede modalul;
mMo+1 - la fel pentru intervalul care urmează modalului;
h este valoarea intervalului de modificare a trăsăturii în grupuri.
Pentru exemplul nostru, trei valori modale pot fi calculate pe baza semnelor numărului de întreprinderi, volumului producției și mărimii costurilor. În toate cele trei cazuri, intervalul modal este același, deoarece pentru același interval atât numărul de întreprinderi, volumul producției, cât și valoarea totală a costurilor de producție se dovedesc a fi cele mai mari:

Astfel, cel mai des se întâlnesc întreprinderi cu un nivel de cost de 126,75 mii ruble, cel mai adesea se produc produse cu un nivel de cost de 126,69 mii ruble, iar cel mai adesea costurile de producție sunt explicate printr-un nivel de cost de 123,73 mii ruble.

4. Indicatori de variație

Condițiile specifice în care se află fiecare dintre obiectele studiate, precum și caracteristicile dezvoltării proprii (sociale, economice etc.) sunt exprimate prin nivelurile numerice corespunzătoare ale indicatorilor statistici. Astfel, variația, adică. discrepanţa dintre nivelurile aceluiaşi indicator la diferite obiecte este obiectivă şi ajută la înţelegerea esenţei fenomenului studiat.
Există mai multe moduri de a măsura variația în statistici.
Cel mai simplu este calculul indicatorului intervalului de variație H ca diferență între valorile maxime (Xmax) și minime (Xmin) observate ale trăsăturii:
H=Xmax - Xmin.
Cu toate acestea, intervalul de variație arată doar valorile extreme ale trăsăturii. Repetabilitatea valorilor intermediare nu este luată în considerare aici.
Caracteristicile mai stricte sunt indicatorii de fluctuație în raport cu nivelul mediu al atributului. Cel mai simplu indicator de acest tip este abaterea liniară medie L ca medie aritmetică a abaterilor absolute ale unei trăsături de la nivelul său mediu:

Odată cu repetarea valorilor individuale ale lui X, se utilizează formula medie aritmetică ponderată:

(Reamintim că suma algebrică a abaterilor de la nivelul mediu este zero.)
Indicatorul abaterii liniare medii și-a găsit aplicație largă în practică. Cu ajutorul acestuia, de exemplu, se analizează compoziția lucrătorilor, ritmul producției, uniformitatea aprovizionării cu materiale și se dezvoltă sisteme de stimulente materiale. Dar, din păcate, acest indicator complică calculele de tip probabilistic, îngreunează aplicarea metodelor statisticii matematice. Prin urmare, în statistică cercetare științifică Varianta este adesea folosită pentru a măsura variația.
Varianța caracteristicii (s2) este determinată pe baza mediei puterii pătratice:
.
Indicatorul s, egal, se numește abatere standard.
În teoria generală a statisticii, indicele de dispersie este o estimare a indicatorului teoriei probabilităților cu același nume și (ca sumă a abaterilor pătrate) o estimare a dispersiei în statistici matematice, ceea ce face posibilă utilizarea prevederilor acestor discipline teoretice pentru analiza proceselor socio-economice.
Dacă variația este estimată dintr-un număr mic de observații luate de la o populație generală nelimitată, atunci valoarea medie a caracteristicii este determinată cu o anumită eroare. Valoarea calculată a dispersiei pare să fie deplasată în jos. Pentru a obține o estimare imparțială, varianța eșantionului obținută din formulele de mai sus trebuie înmulțită cu n / (n - 1). Ca urmare, cu un număr mic de observații (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле
.
De obicei, deja la n > (15÷20) discrepanța dintre estimările părtinitoare și nepărtinitoare devine nesemnificativă. Din același motiv, părtinirea nu este de obicei luată în considerare în formula de adăugare a variațiilor.
Dacă din populația generală se prelevează mai multe eșantioane și de fiecare dată când se determină valoarea medie a atributului, atunci se pune problema estimării variabilității mediilor. De asemenea, este posibil să se estimeze varianța valorii medii pe baza unei singure observații din eșantion folosind formula
,
unde n este dimensiunea eșantionului; s2 este varianța caracteristicii calculată din datele eșantionului.
Valoarea se numește eroare medie de eșantionare și este o caracteristică a abaterii valorii medii eșantionului a caracteristicii X de la valoarea sa medie adevărată. Indicatorul de eroare medie este utilizat în evaluarea fiabilității rezultatelor observării eșantionului.
Indicatori de dispersie relativă. Pentru a caracteriza măsura fluctuației trăsăturii studiate, indicatorii de fluctuație sunt calculați în termeni relativi. Ele vă permit să comparați natura dispersiei în distribuții diferite (unități diferite de observare a aceleiași trăsături în două populații, cu valori diferite medii, la compararea populațiilor eterogene). Calculul indicatorilor măsurării dispersiei relative se realizează ca raport indicator absolut dispersie la media aritmetică, înmulțită cu 100%.
1. Coeficientul de oscilație reflectă fluctuația relativă a valorilor extreme ale atributului în jurul mediei
.
2. Oprirea liniară relativă caracterizează ponderea valorii medii a semnului abaterilor absolute de la valoarea medie
.
3. Coeficient de variație:

este cea mai comună măsură a varianței utilizată pentru a evalua caracterul tipic al mediilor.
În statistică, populațiile cu un coeficient de variație mai mare de 30–35% sunt considerate a fi eterogene.
Această metodă de estimare a variației are și un dezavantaj semnificativ. Într-adevăr, să fie, de exemplu, populația inițială de muncitori cu o vechime medie în muncă de 15 ani, cu o abatere standard s = 10 ani, „în vârstă” cu încă 15 ani. Acum = 30 de ani, iar abaterea standard este tot 10. Populația, anterior eterogenă (10/15 × 100 = 66,7%), devine, în timp, destul de omogenă (10/30 × 100 = 33,3%).

Concluzie

Valoarea medie este un indicator generalizator care caracterizează nivelul tipic al fenomenului. Exprimă valoarea atributului, raportată la unitatea populației.
Media generalizează întotdeauna variația cantitativă a trăsăturii, adică. în valori medii se anulează diferențele individuale în unitățile populației datorate unor circumstanțe aleatorii. Spre deosebire de medie valoare absolută, care caracterizează nivelul atributului unei unități separate a populației, nu permite compararea valorilor atributului pentru unități aparținând unor populații diferite.
Pentru ca media să fie cu adevărat tipică, aceasta trebuie calculată ținând cont de anumite principii.
Astfel, semnificația valorilor medii constă în funcția lor de generalizare. Media înlocuiește număr mare valorile individuale ale atributului, dezvăluind proprietăți comune inerente tuturor unităților populației. Acest lucru, la rândul său, face posibilă evitarea cauzelor aleatorii și identificarea tiparelor comune datorate cauzelor comune.

Bibliografie

1. Grigorieva R.P. Statistici. - M.: Editura lui Mihailov, 2008. - 366c.
2. Eliseeva I.I., Yuzbashev M.M. Teoria generală a statisticii. - M.: Finanţe şi statistică, 2004. - 298s.
3. Zolotarev A.A. Statistica. – M.: Vlados, 2008. – 378s.
4. Statistica macroeconomică. - M.: Delo, 2009. - 452 p.
5. Sidenko A.V. Statistici. - M.: Finanțe și statistică, 2004. - 502 p.
6. Statistici. Curs de curs. L.P. Harcenko, V.G. Ionin și colab., Novosibirsk, NGAEiU, 2007. - 228p.
7. Teoria Statisticii / Ed. R.A. Shmoylova. - M.: Finanțe și statistică, 2009. - 318s.
8. Yachikov R.A. Teoria statisticii. - M.: Finanțe și statistică, 2008. - 484 p.

© Plasarea materialului pe alte resurse electronice numai însoțit de un link activ

Lucrări de control în Magnitogorsk, cumpărați lucrări de control, lucrări de termenîn drept, cumpărați studii de drept, lucrări de studii în RANEPA, lucrări de studii în drept în RANEPA, lucrări de diplomă în drept în Magnitogorsk, diplome de drept în MIEP, diplome și lucrări de studii în VSU, hârtii de testîn SGA, teze de master în drept la Chelga.

Cea mai comună formă de indicatori statistici este valoarea medie, care este o caracteristică cantitativă generalizată a unei trăsături într-o populație statistică în condiții specifice de loc și timp. Indicatorul sub forma unei valori medii exprimă trăsături tipice și oferă o descriere generalizată a aceluiași tip de fenomene în funcție de unul dintre semnele diferite. Utilizarea pe scară largă a mediilor se explică prin faptul că acestea au o serie de proprietăți pozitive care le fac un instrument indispensabil pentru analiza fenomenelor și proceselor din economie.

Cea mai importantă proprietate a valorii medii este că reflectă comunul care este inerent tuturor unităților populației studiate. Valorile atributului unităților individuale ale populației fluctuează într-o direcție sau alta sub influența multor factori, printre care pot fi atât de bază, cât și aleatoriu. De exemplu, prețul acțiunilor unei corporații este determinat în principal de rezultatele financiare ale activităților sale. Totodată, în anumite zile și pe anumite burse de valori, din cauza circumstanțelor predominante, aceste acțiuni pot fi vândute la un curs mai mare sau mai mic. Esența mediei constă în faptul că anulează abaterile valorilor atributului unităților individuale ale populației, datorită acțiunii factorilor aleatori, și ia în considerare modificările cauzate de acțiunea principalilor factori. Acest lucru permite ca media să reflecte nivelul tipic al atributului și să facă abstracție de caracteristicile individuale ale unităților individuale.

Tipicitatea mediei este direct legată de omogenitatea populației. Valoarea medie va reflecta nivelul tipic al atributului numai atunci când este calculată dintr-o populație omogenă calitativ. Deci, dacă calculăm rata medie pentru acțiunile tuturor întreprinderilor vândute într-o anumită zi pe o anumită bursă, obținem o medie fictivă. Acest lucru se va explica prin faptul că populația utilizată pentru calcul este extrem de eterogenă. În aceasta și cazuri similare metoda mediilor se foloseste in combinatie cu metoda gruparii: daca populatia este eterogena, mediile generale trebuie inlocuite sau completate cu medii de grup, i.e. medii calculate pentru grupuri omogene calitativ.

Următoarele convenții sunt utilizate în teoria mediilor.

1. Se numeste semnul prin care se determina media caracteristică medie si se noteaza.

2. Valoarea atributului mediu pentru fiecare unitate a populației se numește ei valoare individuală si se noteaza.

3. Repetabilitatea valorilor individuale se numește frecvență și se notează f .

4. Se notează valoarea totală a caracteristicii W .

Orice atribut cantitativ al unei populații statistice are o singură valoare medie. Se poate calcula căi diferiteîn funcție de forma de exprimare a caracteristicii medii (absolută, relativă și medie) și de informațiile disponibile. In functie de grad k sunt obținute tipuri diferite mediu.

1.medie aritmetică simplă - cel mai comun tip de mediu

k =1

2.Media ponderată aritmetică – este utilizat dacă se cunosc valorile individuale ale trăsăturii și frecvențele acestora f . Fiecare opțiune este „ponderată” cu frecvența sa, adică. inmultiti cu ea. Frecvențele f se numesc ponderi statistice sau pur si simplu ponderile medii .

Exemplu. Pe baza datelor disponibile, calculăm experiența medie de muncă a angajaților

3.Armonică medie simplă este utilizat dacă este necesar ca suma reciprocelor valorilor individuale ale atributului să rămână neschimbată în timpul medierii.

unde este suma valorilor reciproce ale caracteristicii.

Exemplu. O mașină cu încărcătură de la întreprindere la depozit a mers cu o viteză de 40 km/h, iar înapoi goală cu o viteză de 60 km/h. Ce este viteza medie masina pentru ambele calatorii?

Fie distanța de transport S km. S nu joacă niciun rol în calculul vitezei medii. La modificarea valorilor individuale ale vitezei la valoarea medie, este necesar ca timpul petrecut în ambele călătorii să rămână neschimbat, altfel viteza medie poate fi orice - de la viteza unei țestoase la viteza luminii. Timpul de călătorie este același. Asa de,

Reducând toți termenii egalității cu S, obținem i.e. condiţia mediei armonice este îndeplinită. Înlocuind și , obținem

Media aritmetică de 50 km/h nu este corectă, pentru că are ca rezultat un timp de mișcare diferit decât este în realitate. Dacă distanța este de 96 km, atunci în timp real mișcarea va fi

În practica statistică, media ponderată armonică este mai des utilizată.

4.Armonică medie ponderată este utilizat dacă sunt cunoscute valorile individuale ale caracteristicii și valorile totale ale caracteristicii.

Exemplu

5.Agregat mediu este utilizat dacă se cunosc valorile totale ale trăsăturii și frecvențele acestora.

Exemplu. Determinați costul mediu de producție, dacă este cunoscut

6.rădăcină medie pătrată folosit pentru a calcula abaterea standard, care este un indicator al variației, precum și în inginerie

k =2

Pătrat mediu ponderat

7.Medie geometrică utilizat pentru a calcula rata medie de creștere conform schemei în lanț k= 0

La k= 1 obținem media aritmetică, k= 2 - pătratică, cu k= 3 - cubic, cu k= 0 - geometric, k= -1 este media armonică. Cu cât exponentul este mai mare k , subiecte mai multă valoare mărime medie. Dacă toate valorile inițiale ale unei caracteristici sunt egale, atunci toate mediile sunt egale cu const. Deci avem următoarea relație, care se numește regula majorării mijloacelor :

Folosind această regulă, statisticile pot, în funcție de starea de spirit și de dorința „expertului” său, fie „îneca”, fie „salva” un elev care a primit note 2 și 5 într-o sesiune. Care este scorul său mediu?

Judecând după media aritmetică, scorul mediu este 3,5. Dar dacă decanul vrea să „înece” nefericitul și calculează media armonică, atunci studentul rămâne un ratat mediu care nu a ajuns în primele trei.

Cu toate acestea, consiliul studențesc poate obiecta decanului și poate prezenta valoarea cubică medie . Studentul arată deja „bine” și chiar aplică pentru o bursă.

Mediile structurale - mod și mediana - spre deosebire de mediile de putere, care sunt în mare măsură o caracteristică abstractă a populației, acționează ca valori specifice care coincid cu variante bine definite ale populației. Acest lucru le face indispensabile în rezolvarea problemelor practice.

Modă- aceasta este cea mai comună valoare a atributului în unități din această populație. Pentru o serie de distribuție discretă, modul este determinat fără calcul, privind prin coloana de frecvență și corespunde valorii caracteristicii cu cea mai mare frecvență. Din exemplul nr. 1, cea mai mare frecvență f=20, care corespunde cu 4 categorie tarifară, prin urmare M o =4.

Pentru o serie de distribuție pe intervale, modul este determinat de formulă

unde este limita inferioară a intervalului modal;

– valoarea intervalului modal;

– frecvenţele intervalului, respectiv, premergătoare modalului, modalului şi următor modalului.

Modal corespunde intervalului cu cea mai mare frecvență.

Să calculăm modul de exemplu Nr. 2. Modalul corespunde intervalului 130-140. Pentru el , = 140-130=10, =20,

Cel mai adesea, rata de producție a muncitorilor este de 134%, cel mai adesea planul este supraîmplinit cu 34%.

Median- valoarea caracteristicii care se află la mijlocul seriei clasate și o împarte la jumătate. Serii clasificate - o serie aranjată în ordinea crescătoare sau descrescătoare a unei caracteristici. Pentru seriile variaționale discrete, mediana nu este calculată, ci determinată analizând seria. De exemplu, pentru cinci muncitori, rata zilnică de producție a pieselor este de 10, 12, 15, 16 și, respectiv, 18 bucăți. Pe mine este rezultatul celui de-al treilea angajat și este egal cu 15 părți. Cu un număr par de valori ale atributelor, mediana este luată ca jumătate de sumă a valorilor atributelor care ocupă valoarea mediană. De exemplu, la 10 valori, jumătatea sumei celor 5 și 6 valori ale atributului.

Pentru o serie de intervale, mediana este determinată de formulă

Unde – limita inferioară a intervalului median;

– valoarea intervalului median;

– jumătate din volumul seriei de variații;

– frecvența acumulată a intervalului care precede mediana;

– frecvența intervalului median.

Mediana este intervalul corespunzător la jumătate din volumul seriei. Pentru a găsi intervalul median este necesar să se acumuleze frecvențe până se găsește un interval care conține jumătate din volumul seriei.

Să calculăm mediana de exemplu nr. 2. Intervalul median este 120-130, deoarece frecvența cumulativă corespunzătoare acesteia conține jumătate din volumul seriei. Pentru el

– Jumătate dintre lucrători îndeplinesc o rată de producție mai mică de 129%, iar cealaltă jumătate dintre lucrători îndeplinesc o rată de producție mai mare de 129%.