Apoi scăpați de el ridicând ambele părți ale identității la egalitate cu indicele rădăcină. Pentru exemplul de mai sus, această acțiune ar trebui să fie exprimată într-o transformare în această formă: 36*Y² = X. Uneori este mai convenabil să efectuați operația acestui pas înainte de acțiunea din pasul anterior.

Transformați expresia astfel încât toți termenii identității care conțin cel dorit variabil, s-a dovedit a fi în partea stângă a egalității. De exemplu, dacă formula este 36*Y-X*Y+5=X și sunteți interesat de variabila X, va fi suficient să schimbați jumătățile stânga și dreapta ale identității. Și dacă trebuie să exprimați Y, atunci formula ca rezultat al acestei acțiuni ar trebui să ia forma 36*Y-X*Y=X-5.

Simplificați expresia din partea stângă formule astfel încât variabila necesară devine una dintre . De exemplu, pentru formule din pasul anterior, acest lucru se poate face astfel: Y*(36-X)=X-5.

Împărțiți expresiile la ambele semne egale la factorii variabilei care vă interesează. Ca rezultat, numai această variabilă ar trebui să rămână în partea stângă a identității. Cel folosit mai sus după acest pas ar arăta astfel: Y = (X-5)/(36-X).

Dacă variabila dorită ca urmare a tuturor transformărilor va fi ridicată la o anumită putere, atunci scăpați de grad extragând rădăcina din ambele părți formule. De exemplu, formula de la a doua etapă până la această etapă de transformări ar trebui să ia forma Y²=X/36. Și forma sa finală ar trebui să fie astfel: Y=√X/6.

Variabile

Principalul indicator al unei variabile este că este scrisă cu o literă. Sub simbol cel mai adesea o anumită valoare este ascunsă. O variabilă își primește numele deoarece valoarea ei se modifică în funcție de ecuație. De regulă, orice poate fi folosit ca desemnare pentru un astfel de element. De exemplu, dacă știi că ai 5 ruble și vrei să cumperi mere care costă 35 de copeici, numărul final de mere pe care le poți cumpăra este (de exemplu, „C”).

Exemplu de utilizare

Dacă există o variabilă care a fost aleasă la discreția dvs., trebuie să scrieți o ecuație algebrică. Acesta va lega cantitățile cunoscute și necunoscute împreună și va arăta relația dintre ele. Această expresie va include numere, variabile și o operație algebrică. Este important de reținut că expresia va conține semnul egal.

Ecuația completă conține valoarea expresiei ca întreg. Este separat de restul ecuației printr-un semn egal. În exemplul anterior cu mere, 0,35 sau 35 copeici înmulțiți cu „C” este o expresie. Pentru a crea ecuație completă, scrie urmatoarele:

Expresii monomiale

Există două clasificări principale ale expresiilor: monomii. Monomiile sunt o singură variabilă, un număr sau un produs al unei variabile și al unui număr. În plus, o expresie a mai multor variabile sau expresii cu exponenți este, de asemenea, un monom. De exemplu, numărul 7, variabila x și produsul 7*x este un monom. Expresiile cu exponenți, inclusiv x^2 sau 3x^2y^3 sunt, de asemenea, monomii.

Polinomiale

Polinoamele sunt expresii care implică combinarea adunării sau scăderii a două sau mai multe. Orice tip de monomii, inclusiv cifre, variabile individuale sau expresii cu numere și necunoscute, pot fi incluse într-un polinom. De exemplu, expresia x+7 este un polinom care se adună împreună de monomul x și monomul 7. 3x^2 este, de asemenea, un polinom. 10x+3xy-2y^2 este un polinom care combină trei monomii folosind adunarea și scăderea.

Variabile dependente și independente

Variabilele independente sunt necunoscutele care determină celelalte părți ale ecuației. Ele sunt singure în expresii și nu se schimbă cu alte variabile.

Valorile variabilelor dependente sunt determinate cu ajutorul celor independente. Valorile lor sunt adesea determinate empiric.

Importanța variabilelor în matematică este mare, deoarece pe parcursul existenței sale, oamenii de știință au reușit să facă multe descoperiri în acest domeniu, iar pentru a enunța pe scurt și clar cutare sau cutare teoremă, folosim variabile pentru a scrie formulele corespunzătoare. De exemplu, teorema lui Pitagora asupra unui triunghi dreptunghic: a 2 \u003d b 2 + c 2. Cum să scrieți de fiecare dată când rezolvați o problemă: conform teoremei lui Pitagora - o scriem cu o formulă și totul devine imediat clar.

Deci, în acest articol va fi discutat despre ce sunt variabilele, despre tipurile și proprietățile lor. De asemenea, vor fi luate în considerare diverse inegalități, formule, sisteme și algoritmi pentru soluționarea acestora.

Conceptul de variabilă

Mai întâi, să aflăm ce este o variabilă? Aceasta este o valoare numerică care poate lua multe valori. Nu poate fi permanent, pentru că sarcini diferiteși ecuații, pentru comoditatea soluției, luăm numere diferite ca variabilă, adică, de exemplu, z este o desemnare generală pentru fiecare dintre mărimile pentru care este luată. De obicei, ele sunt notate cu litere ale alfabetului latin sau grecesc (x, y, a, b și așa mai departe).

Mânca tipuri diferite variabile. Ele sunt date ca niște mărimi fizice - calea (S), timpul (t) și pur și simplu valori necunoscuteîn ecuații, funcții și alte expresii.

De exemplu, există o formulă: S = Vt. Aici, variabilele denotă anumite cantități legate de lumea reală - calea, viteza și timpul.

Și există o ecuație de forma: 3x - 16 = 12x. Aici, x este deja luat ca un număr abstract care are sens în această notație.

Tipuri de cantități

Prin mărime se înțelege ceva care exprimă proprietățile unui anumit obiect, substanță sau fenomen. De exemplu, temperatura aerului, greutatea animalului, procentul de vitamine dintr-o tabletă - toate acestea sunt cantități ale căror valori numerice pot fi calculate.

Fiecare mărime are propriile sale unități de măsură, care împreună formează un sistem. Se numește sistem numeric (SI).

Ce sunt variabilele și constantele? Să le luăm în considerare pe exemple concrete.

Să luăm o mișcare uniformă rectilinie. Un punct din spațiu se mișcă de fiecare dată cu aceeași viteză. Adică timpul și distanța se schimbă, dar viteza rămâne aceeași. ÎN acest exemplu timpul și distanța sunt variabile, în timp ce viteza este o constantă.

Sau, de exemplu, „pi”. Acesta este un număr irațional care continuă fără o succesiune repetată de cifre și nu poate fi scris în întregime, așa că în matematică este exprimat printr-un simbol convențional care ia doar valoarea unei fracții infinite date. Adică „pi” este constant.

Poveste

Istoria notării variabilelor începe în secolul al XVII-lea cu omul de știință René Descartes.

El a desemnat cantitățile cunoscute cu primele litere ale alfabetului: a, b și așa mai departe, iar pentru necunoscut a sugerat folosirea ultimelor litere: x, y, z. Este de remarcat faptul că Descartes a considerat astfel de variabile numere nenegative, iar când se confrunta cu parametri negativi, a pus un semn minus în fața variabilei sau, dacă nu se știa ce semn este numărul, o elipsă. Dar, de-a lungul timpului, numele variabilelor au început să desemneze numere de orice semn, iar asta a început cu matematicianul Johann Hudde.

Calculele la matematică sunt mai ușor de rezolvat cu variabile, deoarece, de exemplu, cum rezolvăm acum ecuații biquadratice? Introducem o variabilă. De exemplu:

x4 + 15x2 + 7 = 0

Pentru x 2 luăm niște k, iar ecuația ia o formă clară:

x 2 = k, pentru k ≥ 0

k2 + 15k + 7 = 0

Așa este utilă introducerea variabilelor în matematică.

Inegalități, exemple de soluții

O inegalitate este o notație în care două expresii matematice sau două numere sunt conectate prin semne de comparație:<, >, ≤, ≥. Sunt stricte și sunt indicate prin semne< и >sau nestrict cu semne ≤, ≥.

Pentru prima dată aceste semne au fost introduse de Thomas Harriot. După moartea lui Thomas, cartea sa cu aceste notații a fost publicată, matematicienilor le-au plăcut, iar în timp au devenit utilizate pe scară largă în calculele matematice.

Există mai multe reguli de urmat atunci când rezolvați inegalitățile cu o singură variabilă:

1. Când transferăm un număr dintr-o parte a inegalității în alta, îi schimbăm semnul la opus.
2. La înmulțirea sau împărțirea părților unei inegalități cu un număr negativ, semnele acestora sunt inversate.
3. Dacă înmulțiți sau împărțiți ambele părți ale inegalității cu un număr pozitiv, obțineți o inegalitate egală cu cea inițială.

A rezolva o inegalitate înseamnă a găsi toate valorile valide pentru o variabilă.

Exemplu cu o variabilă:

10x - 50 > 150

Rezolvarea ca de obicei ecuație liniară- transferăm termeni cu o variabilă la stânga, fără o variabilă - la dreapta și dăm termeni similari:

Împărțiți ambele părți ale inegalității la 10 și obțineți:

Pentru claritate, în exemplul rezolvării unei inegalități cu o variabilă, desenăm o linie numerică, marchem punctul 20 perforat pe ea, deoarece inegalitatea este strictă și acest număr nu este inclus în setul soluțiilor sale.

Soluția acestei inegalități este intervalul (20; +∞).

Rezolvarea unei inegalități nestricte se realizează în același mod ca și una strictă:

Dar există o excepție. O înregistrare de forma x ≥ 5 trebuie înțeleasă după cum urmează: x este mai mare sau egal cu cinci, ceea ce înseamnă că numărul cinci este inclus în mulțimea tuturor soluțiilor inegalității, adică atunci când scriem răspunsul, vom pune o paranteză pătrată în fața numărului cinci.

Inegalități pătrate

Dacă iei ecuație pătratică de forma ax 2 + bx + c = 0 și schimbăm semnul egal în semnul inegalității din acesta, apoi, în consecință, obținem un pătrat inegalitate.

Pentru a rezolva o inegalitate pătratică, trebuie să fii capabil să rezolvi ecuații pătratice.

y = ax 2 + bx + c este funcţie pătratică. O putem rezolva folosind discriminantul sau folosind teorema Vieta. Luați în considerare cum sunt rezolvate aceste ecuații:

1) y = x 2 + 12x + 11 - funcția este o parabolă. Ramurile sale sunt îndreptate în sus, deoarece semnul coeficientului „a” este pozitiv.

2) x 2 + 12x + 11 = 0 - egalați cu zero și rezolvați folosind discriminantul.

a=1, b=12, c=11

D \u003d b 2 - 4ac \u003d 144 - 44 \u003d 100\u003e 0, 2 rădăcini

Conform ecuației obținem:

x 1 = -1, x 2 = -11

Sau puteți rezolva această ecuație folosind teorema lui Vieta:

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 + x 2 = -12

x 1 x 2 = c/a, x 1 x 2 = 11

Folosind metoda de selecție, obținem aceleași rădăcini ale ecuației.

Parabolă

Deci prima soluție inegalitatea pătratului este o parabolă. Algoritmul de rezolvare a acestuia este următorul:

1. Stabiliți unde sunt îndreptate ramurile parabolei.

2. Echivalăm funcția cu zero și găsim rădăcinile ecuației.

3. Construim o dreaptă numerică, marchem rădăcinile pe ea, desenăm o parabolă și găsim decalajul de care avem nevoie, în funcție de semnul inegalității.

Rezolvați inegalitatea x 2 + x - 12 > 0

O scriem ca o funcție:

1) y \u003d x 2 + x - 12 - parabolă, ramuri în sus.

Echivalăm cu zero.

x 1 = 3, x 2 = -4

3) Înfățișăm o dreaptă numerică și punctele 3 și -4 pe ea. Parabola va trece prin ele, se ramifică și răspunsul la inegalitate va fi un set valori pozitive, adică (-∞; -4), (3; +∞).

Metoda de spațiere

A doua cale este metoda intervalului. Algoritmul de rezolvare:

1. Aflați rădăcinile ecuației pentru care inegalitatea este egală cu zero.

2. Marcați-le pe linia numerică. Astfel, este împărțit în mai multe intervale.

3. Determinați semnul oricărui interval.

4. Punem semne la intervalele rămase, schimbându-le după una.

Rezolvați inegalitatea (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≤ 0

1) Zerouri de inegalitate: 4, 5 și -7.

2) Le înfățișăm pe o dreaptă numerică.

3) Determinați semnele intervalelor.

Răspuns: (-∞; -7]; .

Să mai rezolvăm o inegalitate: x 2 (3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Zerourile inegalității: 0, 2, -2 și 1.

2. Marcați-le pe linia numerică.

3. Determinați semnele intervalelor.

Linia dreaptă este împărțită în intervale - de la -2 la 0, de la 0 la 1, de la 1 la 2.

Să luăm valoarea de pe primul interval - (-1). Înlocuitor în inegalitate. La valoare dată inegalitatea devine pozitivă, ceea ce înseamnă că semnul pe acest interval va fi +.

Inegalitate Peste zero, adică trebuie să găsiți setul de valori pozitive pe linie.

Răspuns: (-2; 0), (1; 2).

Sisteme de ecuații

Un sistem de ecuații cu două variabile se numește două ecuații, unite printr-o paranteză, pentru care este necesar să se găsească decizie comună.

Sistemele pot fi echivalente dacă soluția generală a unuia dintre ele este soluția celuilalt, sau ambele nu au soluții.

Vom studia soluția sistemelor de ecuații cu două variabile. Există două moduri de a le rezolva - metoda substituției sau metoda algebrică.

Metoda algebrică

Pentru a rezolva sistemul prezentat în imagine folosind această metodă, trebuie mai întâi să înmulțiți una dintre părțile sale cu un astfel de număr, astfel încât apoi să puteți anula reciproc o variabilă din ambele părți ale ecuației. Aici înmulțim cu trei, trasăm o linie sub sistem și adunăm părțile acestuia. Ca urmare, x-urile devin identice ca modul, dar opuse ca semn și le reducem. În continuare, obținem o ecuație liniară cu o variabilă și o rezolvăm.

L-am găsit pe Y, dar nu ne putem opri aici, pentru că nu l-am găsit încă pe X. Înlocuim Y în partea din care va fi convenabil să retrageți X, de exemplu:

X + 5y = 8, pentru y = 1

Rezolvăm ecuația rezultată și găsim x.

Principalul lucru în rezolvarea sistemului este să scrieți corect răspunsul. Mulți elevi fac greșeala de a scrie:

Răspuns: -3, 1.

Dar aceasta este o intrare greșită. La urma urmei, așa cum am menționat deja mai sus, atunci când rezolvăm un sistem de ecuații, căutăm o soluție generală pentru părțile sale. Răspunsul corect ar fi:

Metoda de înlocuire

Aceasta este poate cea mai simplă metodă în care este dificil să greșești. Să luăm sistemul de ecuații numărul 1 din această imagine.

În prima sa parte, x a fost deja redus la forma de care avem nevoie, așa că trebuie doar să-l înlocuim într-o altă ecuație:

5y + 3y - 25 = 47

Transferăm numărul fără o variabilă la dreapta, aducem termeni similari la bun simțși găsiți jocul:

Apoi, ca și în metoda algebrică, înlocuim valoarea lui y în oricare dintre ecuații și găsim x:

x = 3y - 25, cu y = 9

FUNCȚII ȘI LIMITE IX

§ 201. Constante şi variabile. Conceptul de funcție

Am întâlnit deja conceptul de funcție de mai multe ori. În partea I, ne-am uitat la liniară, pătratică, putere și funcții trigonometrice. Capitolul anterior a fost dedicat studiului funcțiilor exponențiale și logaritmice. Acum trebuie să facem revizuire generală ceea ce știm deja despre funcții și luăm în considerare câteva întrebări noi.

Observând diverse procese, se poate observa că cantitățile implicate în ele se comportă diferit: unele dintre ele se modifică, altele rămân constante. Dacă, de exemplu, într-un triunghi ABC, vârful B este mutat de-a lungul dreptei MN paralelă cu baza AC (Fig. 263), atunci valorile unghiurilor A, B și C se vor schimba continuu, iar suma lor, înălțimea h iar aria triunghiului va rămâne neschimbată.

Alt exemplu. Dacă orice gaz este comprimat la o temperatură constantă, atunci volumul său ( V) și presiune ( R) se va schimba: volumul va scădea și presiunea va crește. Produsul acestor cantități, așa cum este stabilit de legea Boyle-Mariotte, va rămâne constant:

Vp=c ,

Unde Cu este o constantă.

Toate mărimile pot fi împărțite în constante și variabile.

Cantitățile variabile implicate în orice proces de obicei nu se schimbă independent unele de altele, ci în legătură strânsăîmpreună. De exemplu, comprimarea unui gaz (la o temperatură constantă) duce la o modificare a volumului acestuia, iar aceasta, la rândul său, provoacă o schimbare a presiunii gazului. O modificare a razei bazei unui cilindru determină o modificare a zonei acestei baze; acesta din urmă duce la o modificare a volumului cilindrului și așa mai departe.Una dintre sarcinile netede ale studiului matematic al unui proces este de a stabili modul în care o modificare a unor variabile afectează o modificare a altor variabile.

Să ne uităm la câteva exemple. Legea lui Boyle menționată mai sus - Mariotte spune că la o temperatură constantă volumul de gaz V se modifică invers cu presiunea R : V = c / p . Dacă presiunea este cunoscută, atunci volumul gazului poate fi calculat folosind această formulă. La fel, formula S = π r 2 vă permite să determinați aria unui cerc S dacă raza acestuia este cunoscută r . Conform formulei β = π / 2 - α poate fi găsit colt ascutit triunghi dreptunghic, dacă se cunoaște un alt unghi ascuțit al acestui triunghi etc.

Când se compară două variabile, este convenabil să se considere una dintre ele ca independent variabil iar celălalt ca dependent valoare variabilă. De exemplu, raza unui cerc r este firesc să o considerăm o variabilă independentă și aria unui cerc S = π r 2 - variabila dependenta. În mod similar, presiunea gazului R poate fi considerată o variabilă independentă; apoi volumul acestuia V = c / p va fi variabila dependentă.

Care dintre cele două variabile ar trebui aleasă ca dependentă și care ca independentă? Această întrebare este rezolvată în moduri diferite în funcție de obiectiv. Dacă, de exemplu, ne interesează la ce duce schimbarea presiunii gazului la o temperatură constantă, atunci este firesc să luăm tăierea ca o variabilă independentă și volumul ca o variabilă dependentă. În acest caz, variabila dependentă V va fi exprimată în termenii variabilei independente R dupa formula: V = c / p . Dacă vrem să aflăm consecințele comprimării unui gaz, atunci este mai bine să considerăm volumul ca o variabilă independentă, iar presiunea ca o variabilă dependentă. Apoi variabila dependentă R va fi exprimat în termenii variabilei independente V prin formula R = c / V . În oricare dintre aceste cazuri, cele două mărimi sunt legate între ele în așa fel încât pentru fiecare valoare posibilă a uneia dintre ele să corespundă o valoare bine definită a celeilalte.

Dacă fiecare valoare a unei variabile Xîntr-un fel pus în corespondenţă cu o valoare bine definită a unei alte mărimi la, atunci spunem că este dată o funcție.

valoarea la în același timp ei sună dependent variabilă sau funcţie, și valoarea X - independent variabilă sau argument.

Pentru a exprima ce la au o funcție de argument X , utilizați de obicei notația: la = f (X ), y = g (X ) , la = φ (X ), etc. (se citește: y este egal cu ef din x, y este egal cu același din x, y este egal cu phi din x etc.). Alegerea unei litere pentru a desemna o funcție ( f, g φ ) este, desigur, neesențială. Ceea ce contează este relația dintre cantități X Și la exprimă această scrisoare.

Valoarea pe care o ia funcția f (X ) la x = a , notat f (A ). Dacă, de exemplu, f (X ) = X 2 + 1, atunci

f (1) = 1 2 + 1 = 2;

f (2) = 2 2 + 1 = 5;

f (A + 1) = (A + 1) 2 + 1 = A 2 + 2A + 2;

f (2A ) = (2A ) 2 + 1 = 4A 2 + 1

Exerciții

1515. Se comprimă un gaz sub presiune de 2 atmosfere. Cum se modifică aceasta: a) greutatea gazului; b) volumul acestuia; c) presiunea lui?

1516. Un curent circulă printr-un circuit electric. Cu ajutorul unui reostat, schimbam rezistenta circuitului. Schimbă aceasta: a) curentul din circuit; b) tensiune?

1517. Vârful B al triunghiului ABC se deplasează de-a lungul unui cerc al cărui diametru coincide cu baza AC a acestui triunghi. Care cantități rămân constante în acest proces și care se schimbă?

1518.

Gaseste un) f (0); b) f (A 2); V) f ( 1 / A ); G) f (păcat A ).

1519. Express f (2A ) prin f (A ) pentru funcții:

A) f (X ) = păcat X ; b) f (X ) = tg X ;

Constante și variabile

Prin mărime înțelegem tot ceea ce exprimă proprietățile unui obiect, fenomen sau proces. Suprafața terenului, greutatea animalului, costul de producție, procentul de grăsime din lapte etc. sunt toate exemple de cantități. Fiecare dintre mărimi poate fi măsurată cu un instrument sau calculată, rezultând un număr numit valoarea numerică a cantității. Valorile sunt exprimate în anumite unități. Se numesc astfel de cantități dimensională. Fiecare cantitate are propria sa unitate. Unitățile de mărime formează un sistem. General acceptat este Sistemul internațional(SI). Unitățile sale principale sunt: ​​metru (m) - o unitate de lungime; kilogram (kg) - unitate de masă; secunda (s) – unitate de timp; kelvin (k) - unitate de temperatură; candela (cd) - o unitate de intensitate luminoasă; mol este o unitate de cantitate a unei substanțe. Cantitățile pot fi adimensionale. De exemplu, proporția de experimente în care a avut loc fenomenul observat.

Când observăm un proces sau fenomen din domeniul fizicii, economiei, agronomiei sau al unui alt domeniu de cunoaștere, vedem că unele cantități își păstrează valorile, în timp ce altele iau diverse sensuri. De exemplu, când un punct se mișcă uniform, timpul și distanța se schimbă, dar viteza este constantă. variabil Se numește o cantitate care ia diverse valori numerice. Se numește o cantitate ale cărei valori numerice nu se modifică constant.

Denumiri: x, y, z, t,...- variabile; a, b, c, d,... sunt valori constante.

Se numește setul tuturor valorilor numerice ale unei variabile zona de schimbare această variabilă.

Domenii de schimbare variabilă:

(a, b) ={X:A< x < b ) – interval sau interval;

[a, b] = {X: a ≤ x ≤ b) este un segment sau un interval închis;

(A, b] = {X:A< x ≤ b },

[A, b) = {X:a ≤ x< b ) sunt intervale semideschise;

(-∞, b] = (x: x ≤ b},

(-∞, b) = (x: x< b},

[A, +∞) = (x: x ≥ A},

(A, +∞) = (x: x > A},

(-∞, +∞) = (x: -∞< x < +∞} – бесконечные интервалы.

Interval arbitrar ( a, b) care conține un punct în interiorul său se numește vecinatatea punctului : A< < b.

Dacă punctul este punctul de mijloc al vecinătății, atunci se numește centru de cartier, cantitatea se numește raza de cartier.

Exemple de variabile sunt: ​​temperatura aerului, parametrul funcției și multe altele.

O variabilă este caracterizată doar de setul de valori pe care le poate lua. O variabilă este notă printr-un simbol comun pentru fiecare dintre valorile sale.

Variabile în matematică

În matematică variabil poate fi atât o cantitate fizică reală, cât și o cantitate abstractă care nu reflectă procesele lumii reale.

Descartes a considerat valorile variabilelor ca fiind întotdeauna nenegative și a exprimat valorile negative cu un semn, reflectat cu un semn minus în fața variabilei. Dacă semnul coeficientului era necunoscut, Descartes a pus o elipsă. Matematicianul olandez Johann Hudde deja în 1657 a permis variabilelor literale să ia valori de orice semn.

Variabile în programare

În programare variabil este un identificator care identifică datele. Acesta este de obicei un nume care ascunde o zonă de memorie în care pot fi plasate datele stocate într-o altă zonă de memorie. O variabilă poate avea un tip de valori pe care le poate lua. În programare, variabilele sunt de obicei notate cu unul sau mai multe cuvinte sau simboluri, cum ar fi „timp”, „x”, „