După ce au studiat subiectul triunghiurilor dreptunghiulare, elevii deseori aruncă din cap toate informațiile despre ele. Inclusiv cum să găsiți ipotenuza, ca să nu mai vorbim despre ce este.

Și degeaba. Pentru că în viitor, diagonala dreptunghiului se dovedește a fi chiar această ipotenuză și trebuie găsită. Sau diametrul cercului coincide cu cea mai mare latură a triunghiului, unul dintre unghiurile căruia este drept. Și este imposibil să-l găsești fără această cunoaștere.

Există mai multe moduri de a găsi ipotenuza unui triunghi. Alegerea metodei depinde de setul de date inițial din problema cantităților.

Metoda numărul 1: sunt date ambele picioare

Aceasta este cea mai memorabilă metodă deoarece folosește teorema lui Pitagora. Doar uneori elevii uită că această formulă este pătratul ipotenuzei. Deci, pentru a găsi latura în sine, va trebui să luați rădăcina pătrată. Prin urmare, formula ipotenuzei, care este de obicei notă cu litera „c”, va arăta astfel:

c = √ (a 2 + a 2), unde literele „a” și „b” sunt scrise ambele catete ale unui triunghi dreptunghic.

Metoda numărul 2: se cunosc piciorul și unghiul adiacent acestuia

Pentru a învăța cum să găsiți ipotenuza, trebuie să vă amintiți funcțiile trigonometrice. Și anume cosinus. Pentru comoditate, vom presupune că catetul „a” și unghiul α adiacent acestuia sunt date.

Acum trebuie să ne amintim că cosinusul unghiului unui triunghi dreptunghic este egal cu raportul celor două laturi. Numătorul va fi valoarea catetei, iar numitorul va fi ipotenuza. Din aceasta rezultă că acesta din urmă poate fi calculat prin formula:

c = a / cos α.

Metoda numărul 3: dat fiind piciorul și unghiul care se află opus

Pentru a nu ne confunda în formule, introducem denumirea pentru acest unghi - β și lăsăm latura „a”. În acest caz, este necesară o altă funcție trigonometrică - sinusul.

Ca și în exemplul anterior, sinusul este egal cu raportul catetei la ipotenuză. Formula pentru această metodă arată astfel:

c \u003d a / sin β.

Pentru a nu vă încurca în funcțiile trigonometrice, vă puteți aminti o regulă mnemonică simplă: dacă problema este de aproximativ O colțul opus, atunci trebuie să utilizați cu Și nous dacă - oh pr Și mincind, apoi să O sinusurilor. Acordați atenție primelor vocale din cuvintele cheie. Ei formează perechi Oh si sau și despre.

Metoda numărul 4: de-a lungul razei cercului circumscris

Acum, pentru a afla cum să găsiți ipotenuza, trebuie să vă amintiți proprietatea cercului, care este descrisă în jurul unui triunghi dreptunghic. Se citește după cum urmează. Centrul cercului coincide cu mijlocul ipotenuzei. Cu alte cuvinte, cea mai lungă latură a unui triunghi dreptunghic este egală cu diagonala cercului. Adică dublul razei. Formula pentru această sarcină ar arăta astfel:

c = 2 * r, unde r desemnează raza cunoscută.

Asta este tot moduri posibile Cum se află ipotenuza unui triunghi dreptunghic. În fiecare sarcină specifică, trebuie să utilizați metoda care este mai potrivită pentru setul de date.

Exemplu de sarcină #1

Stare: in triunghi dreptunghic au fost trase mediane pentru ambele picioare. Lungimea celui desenat pe latura mai mare este √52. Cealaltă mediană are lungimea de √73. Trebuie să calculați ipotenuza.

Deoarece medianele sunt desenate într-un triunghi, ele împart catetele în două segmente egale. Pentru comoditatea raționamentului și a găsirii modului de a găsi ipotenuza, trebuie să introduceți mai multe notații. Lăsați ambele jumătăți ale piciorului mai mare să fie marcate cu litera „x”, iar cealaltă cu „y”.

Acum trebuie să luăm în considerare două triunghiuri dreptunghiulare, ale căror ipotenuze sunt mediane cunoscute. Pentru ei, trebuie să scrieți de două ori formula teoremei lui Pitagora:

(2y) 2 + x 2 = (√52) 2

(y) 2 + (2x) 2 = (√73) 2 .

Aceste două ecuații formează un sistem cu două necunoscute. După ce le-am rezolvat, va fi ușor să găsiți catetele triunghiului original și ipotenuza acestuia din ele.

Mai întâi trebuie să ridici totul la al doilea grad. Se dovedește:

4y 2 + x 2 = 52

y 2 + 4x 2 = 73.

Din a doua ecuație se poate observa că y 2 \u003d 73 - 4x 2. Această expresie trebuie înlocuită în prima și calculați „x”:

4 (73 - 4x 2) + x 2 \u003d 52.

După conversie:

292 - 16 x 2 + x 2 \u003d 52 sau 15 x 2 \u003d 240.

Din ultima expresie x = √16 = 4.

Acum puteți calcula „y”:

y 2 \u003d 73 - 4 (4) 2 \u003d 73 - 64 \u003d 9.

Conform condiției, se dovedește că catetele triunghiului inițial sunt 6 și 8. Deci, puteți utiliza formula din prima metodă și puteți găsi ipotenuza:

√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Răspuns: ipotenuza este 10.

Exemplul de sarcină #2

Condiție: calculați diagonala desenată într-un dreptunghi cu latura mai mică egală cu 41. Dacă se știe că împarte unghiul în cele care sunt legate ca 2 la 1.

În această problemă, diagonala unui dreptunghi este cea mai lungă latură dintr-un triunghi de 90º. Deci totul se reduce la modul de a găsi ipotenuza.

Problema este legata de colturi. Aceasta înseamnă că va trebui să utilizați una dintre formulele în care există funcții trigonometrice. Și mai întâi trebuie să determinați valoarea unuia dintre unghiurile ascuțite.

Fie cel mai mic dintre unghiurile la care se face referire în condiție să fie notat cu α. Atunci unghiul drept, care este împărțit la diagonală, va fi egal cu 3α. Notația matematică pentru aceasta arată astfel:

Din această ecuație este ușor de determinat α. Va fi egal cu 30º. Mai mult, se va afla opus laturii mai mici a dreptunghiului. Prin urmare, va fi necesară formula descrisă în metoda nr. 3.

Ipotenuza este egală cu raportul catetei la sinusul unghiului opus, adică:

41 / sin 30º = 41 / (0,5) = 82.

Răspuns: ipotenuza este 82.

Instruire

Dacă trebuie să calculați conform teoremei lui Pitagora, utilizați următorul algoritm: - Determinați în triunghi care laturi sunt catetele și care sunt ipotenuza. Cele două laturi care formează un unghi de nouăzeci de grade sunt catetele, treimea rămasă este ipotenuza. (cm) - Ridicați la a doua putere fiecare picior triunghi dat adică înmulțiți-vă singur. Exemplul 1. Să fie necesar să se calculeze ipotenuza dacă un catet dintr-un triunghi are 12 cm și celălalt are 5 cm. În primul rând, pătratele catetelor sunt: ​​12 * 12 = 144 cm și 5 * 5 = 25 cm. - Apoi, determinați suma picioarelor pătratelor. Un anumit număr este ipotenuză, trebuie să scapi de a doua putere a numărului pentru a găsi lungime această parte a triunghiului. Pentru a face acest lucru, extrageți de sub rădăcina pătrată valoarea sumei pătratelor picioarelor. Exemplul 1. 144+25=169. Rădăcina pătrată a lui 169 va fi 13. Prin urmare, lungimea acestuia ipotenuză egal cu 13 cm.

Un alt mod de a calcula lungimea ipotenuză se află în terminologia sinusului și unghiurilor dintr-un triunghi. Prin definiție: sinusul unghiului alfa al catetului opus ipotenuzei. Adică, privind figură, păcat a \u003d CB / AB. Prin urmare, ipotenuza AB \u003d CB / sin a. Exemplul 2. Fie unghiul de 30 de grade, iar cateta opusă - 4 cm. Trebuie să găsiți ipotenuza. Soluție: AB \u003d 4 cm / sin 30 \u003d 4 cm / 0,5 \u003d 8 cm. Răspuns: lungime ipotenuză egal cu 8 cm.

O modalitate similară de a găsi ipotenuză din definiția cosinusului unui unghi. Cosinusul unui unghi este raportul catetei adiacente acestuia și ipotenuză. Adică cos a \u003d AC / AB, deci AB \u003d AC / cos a. Exemplul 3. În triunghiul ABC, AB este ipotenuza, unghiul BAC este de 60 de grade, cateta AC este de 2 cm. Aflați AB.
Rezolvare: AB \u003d AC / cos 60 \u003d 2 / 0,5 \u003d 4 cm. Răspuns: ipotenuza are 4 cm lungime.

Sfaturi utile

Când găsiți valoarea sinusului sau cosinusului unui unghi, utilizați fie tabelul sinusurilor și cosinusurilor, fie tabelul Bradis.

Sfat 2: Cum să găsiți lungimea ipotenuzei într-un triunghi dreptunghic

Ipotenuza se numește cea mai lungă dintre laturile unui triunghi dreptunghic, așa că nu este de mirare că cu greacă Acest cuvânt este tradus ca „întins”. Această latură se află întotdeauna opusă unghiului de 90°, iar laturile care formează acest unghi se numesc picioare. Cunoscând lungimile acestor laturi și mărimea unghiurilor ascuțite în diferite combinații ale acestor valori, se poate calcula și lungimea ipotenuzei.

Instruire

Dacă sunt cunoscute lungimile ambelor triunghiuri (A și B), atunci folosiți lungimile ipotenuzei (C), poate cel mai cunoscut postulat matematic - teorema lui Pitagora. Se spune că pătratul lungimii ipotenuzei este suma pătratelor lungimii catetelor, din care rezultă că ar trebui să calculați rădăcina sumei pătratelor lungimii celor două laturi: C \u003d √ (A² + B²). De exemplu, dacă lungimea unui picior este de 15 și - 10 centimetri, atunci lungimea ipotenuzei va fi de aproximativ 18,0277564 centimetri, deoarece √ (15² + 10²) \u003d √ (225 + 100) \u003d √ 2725 √ 2 725 √ .

Dacă se cunoaște lungimea doar a unuia dintre catetele (A) dintr-un triunghi dreptunghic, precum și valoarea unghiului opus acestuia (α), atunci lungimea ipotenuzei (C) se poate face folosind unul dintre trigonometricele. funcții – sinusul. Pentru a face acest lucru, împărțiți lungimea laturii cunoscute la sinusul unghiului cunoscut: C=A/sin(α). De exemplu, dacă lungimea unuia dintre catete este de 15 centimetri, iar unghiul la vârful opus al triunghiului este de 30 °, atunci lungimea ipotenuzei va fi de 30 de centimetri, deoarece 15 / sin (30 °) \u003d 15 / 0,5 \u003d 30.

Dacă într-un triunghi dreptunghic se cunosc valoarea unuia dintre unghiurile ascuțite (α) și lungimea catetei adiacente acestuia (B), atunci se poate folosi altul pentru a calcula lungimea ipotenuzei (C). functie trigonometrica- cosinus. Ar trebui să împărțiți lungimea picior celebru prin cosinusul unghiului cunoscut: С=В/ cos(α). De exemplu, dacă lungimea acestui picior este de 15 centimetri, iar valoarea unghi ascutit, adiacent acestuia, este de 30°, atunci lungimea ipotenuzei va fi de aproximativ 17,3205081 centimetri, deoarece 15/cos(30°)=15/(0,5*√3)=30/√3≈17,3205081.

Lungimea este distanța dintre două puncte de pe un segment de linie. Poate fi drept, rupt sau linie închisă. Puteți calcula lungimea calea usoara, dacă cunoașteți alți indicatori ai segmentului.

Instruire

Dacă trebuie să găsiți lungimea laturii unui pătrat, atunci aceasta nu va fi dacă îi cunoașteți aria S. Datorită faptului că toate laturile pătratului au

Geometria nu este o știință ușoară. Poate fi util atât pentru programa școlară cât și în viata reala. Cunoașterea multor formule și teoreme va simplifica calculele geometrice. Una dintre cele mai simple forme din geometrie este triunghiul. Una dintre varietățile de triunghiuri, echilaterale, are propriile sale caracteristici.

Caracteristicile unui triunghi echilateral

Prin definiție, un triunghi este un poliedru care are trei unghiuri și trei laturi. Aceasta este o figură bidimensională plată, în care sunt studiate proprietățile liceu. După tipul de unghi, se disting triunghiuri unghiulare ascuțite, unghiulare obtuz și dreptunghiulare. Un triunghi dreptunghic este figură geometrică unde unul dintre unghiuri este de 90º. Un astfel de triunghi are două catete (creează un unghi drept) și o ipotenuză (este opusa unghi drept). În funcție de ce cantități sunt cunoscute, sunt trei moduri simple Calculați ipotenuza unui triunghi dreptunghic.

Prima modalitate este de a găsi ipotenuza unui triunghi dreptunghic. teorema lui Pitagora

Teorema lui Pitagora - mod antic calculați oricare dintre laturile unui triunghi dreptunghic. Sună așa: „Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.” Astfel, pentru a calcula ipotenuza, ar trebui să derivăm Rădăcină pătrată din suma a două picioare dintr-un pătrat. Pentru claritate, sunt date formule și o diagramă.

A doua cale. Calculul ipotenuzei folosind 2 valori cunoscute: catetul și unghiul adiacent

Una dintre proprietățile unui triunghi dreptunghic spune că raportul dintre lungimea catetei și lungimea ipotenuzei este echivalent cu cosinusul unghiului dintre acest catet și ipotenuză. Să numim unghiului cunoscut nouă α. Acum, datorită definiției binecunoscute, putem formula cu ușurință o formulă de calcul a ipotenuzei: Hipotenuză = catet/cos(α)

A treia cale. Calcularea ipotenuzei folosind 2 valori cunoscute: catetul și unghiul opus

Dacă se cunoaște unghiul opus, este posibil să se utilizeze din nou proprietățile unui triunghi dreptunghic. Raportul dintre lungimea catetei și ipotenuza este echivalent cu sinusul unghiului opus. Să numim din nou unghiul cunoscut α. Acum, pentru calcule, aplicăm o formulă ușor diferită:
Hipotenuză = catenă/sin (α)

Exemple care să vă ajute să înțelegeți formulele

Pentru o înțelegere mai profundă a fiecăreia dintre formule, ar trebui să luați în considerare exemple ilustrative. Deci, să presupunem că este dat un triunghi dreptunghic, unde există astfel de date:

• Picior - 8 cm.
• Unghiul alăturat cosα1 este 0,8.
• Unghiul opus sinα2 este 0,8.

Conform teoremei lui Pitagora: ipotenuză \u003d rădăcină pătrată de (36 + 64) \u003d 10 cm.
După dimensiunea piciorului și unghiul inclus: 8 / 0,8 \u003d 10 cm.
După dimensiunea piciorului și unghiul opus: 8 / 0,8 \u003d 10 cm.

După ce ați înțeles formula, puteți calcula cu ușurință ipotenuza cu orice date.

Video: Teorema lui Pitagora

Tradusă din greacă, ipotenuza înseamnă „strâns”. Pentru o înțelegere corectă, imaginați-vă o sfoară de arc care leagă cele două capete ale unui baston flexibil. La fel, într-un triunghi dreptunghic, cea mai lungă latură este ipotenuza, care se află opus unghiului drept. Acționează ca un conector al celorlalte două părți, numite picioare. Pentru a afla cât de lung este acest „șir”, trebuie să aveți lungimile picioarelor, sau valoarea a două unghiuri ascuțite. Combinând aceste date, puteți calcula valoarea dorită folosind formule.

Cum se află ipotenuza după catete

Cel mai simplu mod de a calcula dacă cunoașteți valoarea a două catete (să notăm unul A, al doilea B). Însuși Pitagora și teorema sa celebră în întreaga lume vin în ajutor. Ea ne spune că dacă punem la pătrat lungimea catetelor și adunăm valorile calculate, atunci ca rezultat vom afla valoarea pătratului lungimii ipotenuzei. Din cele de mai sus, concluzionăm: pentru a găsi valoarea ipotenuzei, este necesar să extragem rădăcina pătrată a sumei totale a pătratelor catetelor C \u003d √ (A² + B²). Exemplu: cateta A \u003d 10 cm, cateta B \u003d 20 cm. Ipotenuza este de 22,36 cm. Calculul este următorul: √ (10² + 20²) \u003d √ (100 + 400) \u003d √203√203.

Cum se află ipotenuza printr-un unghi

Este puțin mai dificil să calculezi lungimea ipotenuzei în termeni de unghi prestabilit. Dacă cunoașteți dimensiunea unuia dintre cele două catete (să notăm A) și dimensiunea unghiului (să notăm α) care se află în fața lui, atunci dimensiunea ipotenuzei se găsește folosind trigonometrie și în special sinusul. Tot ce trebuie să faceți este să împărțiți valoarea piciorului cunoscut la sinusul unghiului. C=A/sin(α). Exemplu: lungimea piciorului este A = 30 cm, unghiul opus este de 45 °, ipotenuza va fi de 42,25 cm.Calculul este următorul: 30 / sin (45 °) = 30 / 0,71 = 42,25.

O altă modalitate este de a găsi dimensiunea ipotenuzei folosind cosinusul. Se folosește dacă cunoașteți dimensiunea piciorului (să notăm B) și unghiul ascuțit (să notăm α) care îi este adiacent. Tot ce trebuie să faceți este să împărțiți valoarea piciorului la sinusul unghiului. С=В/cos(α). Exemplu: lungimea catetei este B = 30 cm, unghiul opus este de 45 °, ipotenuza va fi de 42,25 cm.Calculul este urmatorul: 30 / cos (45 °) = 30 / 0,71 = 42,25.

Cum se află ipotenuza unui triunghi dreptunghic isoscel

Orice student care se respectă știe că un triunghi este isoscel, cu condiția ca două din cele trei laturi să fie egale între ele. Aceste laturi se numesc laterale, iar cea care ramane este baza. Dacă unul dintre unghiuri este de 90 °, atunci aveți un triunghi dreptunghic isoscel.

Găsirea ipotenuzei într-un astfel de triunghi este simplă, deoarece are câteva proprietăți care vă vor ajuta. Unghiurile adiacente bazei au aceeași valoare, suma totală a unghiurilor este de 180°. Aceasta înseamnă că unghiul drept se află opus bazei, ceea ce înseamnă că baza este ipotenuza, catetele sunt laturile.

Geometria nu este o știință simplă. Ea cere atentie specialași cunoașterea formulelor exacte. Acest gen de matematică a venit la noi din Grecia anticăși nici după câteva mii de ani, nu își pierde relevanța. Nu vă gândiți degeaba că acesta este un subiect inutil care umple capul elevilor și școlarilor. De fapt, geometria este aplicabilă în multe domenii ale vieții. Fără cunoștințele ei de geometrie, nu se construiește nici una. structura arhitecturala, mașinile nu sunt create, nave spațiale si avioane. Schimbări complexe și nu foarte de drumuri și piste - toate acestea necesită calcule geometrice. Da, chiar și uneori nu poți face reparații în camera ta fără să cunoști formule elementare. Așa că nu subestimați importanța acestui subiect. Studiem cele mai frecvente formule pe care trebuie să le folosim în multe decizii la școală. Una dintre ele este găsirea ipotenuzei într-un triunghi dreptunghic. Pentru a înțelege acest lucru, citiți mai jos.

Înainte de a începe, să începem cu elementele de bază și să definim ce este ipotenuza într-un triunghi dreptunghic.

Ipotenuza este una dintre laturile unui triunghi dreptunghic care este opus unghiului de 90 de grade (unghi drept) și este întotdeauna cea mai lungă.

Există mai multe moduri de a găsi lungimea ipotenuzei dorite într-un triunghi dreptunghic dat.

În cazul în care catetele ne sunt deja cunoscute, folosim teorema lui Pitagora, unde adunăm suma pătratelor celor două catete, care va fi egală cu pătratul ipotenuzei.

a și b sunt catete, c este ipotenuza.

În cazul nostru, pentru un triunghi dreptunghic, respectiv, formula va fi următoarea:

Dacă înlocuim numerele cunoscute de catete a și b, fie a=3 și b=4, atunci c=√32+42, atunci obținem c=√25, c=5

Când știm lungimea unui singur picior, atunci formula poate fi transformată pentru a găsi lungimea celui de-al doilea. Arata cam asa:

În cazul în care, conform condițiilor problemei, cunoaștem catetul A și ipotenuza C, atunci putem calcula unghiul drept al triunghiului, să-l numim α.

Pentru a face acest lucru, folosim formula:

Fie al doilea unghi pe care trebuie să-l calculăm β. Având în vedere că știm suma unghiurilor unui triunghi, care este de 180°, atunci: β= 180°-90°-α

În cazul în care cunoaștem valorile catetelor, putem folosi formula pentru a găsi valoarea unghiului ascuțit al triunghiului:

În funcție de valorile convenționale cunoscute, laturile unui dreptunghi pot fi găsite folosind multe formule diferite. Aici sunt câțiva dintre ei:

Când rezolvați probleme cu găsirea necunoscutelor într-un triunghi dreptunghic, este foarte important să vă concentrați pe valorile pe care le cunoașteți deja și, pe baza acesteia, să le înlocuiți în formula dorită. Va fi dificil să le amintiți imediat, așa că vă sfătuim să faceți un mic indiciu scris de mână și să îl inserați în caiet.

După cum puteți vedea, dacă vă aprofundați în toate subtilitățile acestei formule, vă puteți da seama cu ușurință. Vă recomandăm să încercați să rezolvați mai multe probleme pe baza acestei formule. După ce veți vedea rezultatul, vă va deveni clar dacă ați înțeles acest subiect sau nu. Încercați să nu memorați, ci să vă adânciți în material, va fi mult mai util. Materialul zimțat este uitat după primul control și veți întâlni destul de des această formulă, așa că mai întâi înțelegeți-o, apoi memorați-o. Dacă aceste recomandări nu sunt date efect pozitiv, adică sensul unor lecții suplimentare pe această temă. Și amintiți-vă: învățarea este lumină, nu învățarea este întuneric!