Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, ordin judiciar, în proceduri judiciare și/sau pe baza unor solicitări publice sau solicitări din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - de a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Rădăcina a n-a a unui număr real a este un număr b pentru care egalitatea b^n = a este adevărată. Rădăcinile impare există pentru numerele negative și pozitive, iar rădăcinile pare există doar pentru numerele pozitive. Valoarea rădăcinii este adesea infinită zecimal, ceea ce face dificilă calcularea cu precizie, așa că este important să poți compara rădăcinile.

Instruire

• Să fie necesar să se compare două numere iraționale. Primul lucru la care ar trebui să acordați atenție este exponenții rădăcinilor numerelor comparate. Dacă indicatorii sunt aceiași, atunci expresiile radicale sunt comparate. Evident, cu cât numărul rădăcinii este mai mare, cu atât mai multă valoare rădăcini cu exponenți egali. De exemplu, să comparăm rădăcină cubă de doi și rădăcina cubă de opt. Indicatorii sunt aceiași și egali cu 3, expresiile radicale sunt 2 și 8 și 2< 8. Следовательно, и кубический корень из двух меньше кубического корня из восьми.
• În alt caz, exponenții pot fi diferiți, dar expresiile radicale sunt aceleași. De asemenea, este destul de clar că la extragerea unei rădăcini mai mari, se va obține un număr mai mic. Luați de exemplu rădăcina cubă de opt și a șasea rădăcină de opt. Dacă notăm valoarea primei rădăcini ca a și a celei de-a doua rădăcini ca b, atunci a^3 = 8 și b^6 = 8. Este ușor de observat că a trebuie să fie mai mare decât b, deci rădăcina cubă de opt este mai mare decât a șasea rădăcină a lui opt.
• Mai complicată este situația cu diferiți exponenți ai gradului rădăcinii și diferite expresii ale rădăcinii. În acest caz, trebuie să găsiți cel mai mic multiplu comun pentru exponenții rădăcinii și să ridicați ambele expresii la o putere egală cu cel mai mic multiplu comun.Exemplu: trebuie să comparați 3 ^ 1/3 și 2 ^ 1/2 (celul matematic notația rădăcinilor este în figură). Cel mai mic multiplu comun al lui 2 și 3 este 6. Ridicați ambele rădăcini la a șasea putere. Se dovedește imediat că 3^2 = 9 și 2^3 = 8, 9 > 8. Prin urmare, 3^1/3 > 2^1/2.

Formule de rădăcină. proprietățile rădăcinilor pătrate.

Atenţie!
Există suplimentare
material din Secțiunea Specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

În lecția anterioară, ne-am dat seama ce este o rădăcină pătrată. Este timpul să ne dăm seama care sunt formule pentru rădăcini, ce sunt proprietățile rădăciniiși ce se poate face cu toate acestea.

Formule rădăcină, proprietăți rădăcină și reguli pentru acțiunile cu rădăcini- în esență este același lucru. Formule pentru rădăcini pătrate surprinzator de putin. Ceea ce, desigur, mulțumește! Mai degrabă, puteți scrie o mulțime de tot felul de formule, dar doar trei sunt suficiente pentru o muncă practică și sigură cu rădăcini. Orice altceva decurge din acești trei. Deși mulți se rătăcesc în cele trei formule ale rădăcinilor, da...

Să începem cu cel mai simplu. Iat-o:

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Primul nivel

Comparația numerelor. Ghid cuprinzător (2019)

La rezolvarea ecuațiilor și inegalităților, precum și a problemelor cu module, este necesară localizarea rădăcinilor găsite pe dreapta reală. După cum știți, rădăcinile găsite pot fi diferite. Ele pot fi așa:, sau pot fi așa:,.

În consecință, dacă numerele nu sunt raționale, ci iraționale (dacă ați uitat ce este, uitați-vă în subiect) sau sunt expresii matematice complexe, atunci plasarea lor pe linia numerică este foarte problematică. Mai mult, calculatoarele nu pot fi folosite la examen, iar un calcul aproximativ nu oferă garanții 100% că un număr este mai mic decât altul (ce se întâmplă dacă există o diferență între numerele comparate?).

Desigur, știți că numerele pozitive sunt întotdeauna mai mari decât cele negative și că, dacă reprezentăm o axă a numerelor, atunci când comparăm, cele mai mari numere va fi situat la dreapta decât cel mai mic: ; ; etc.

Dar este întotdeauna atât de ușor? Unde pe linia numerică marcam .

Cum să le comparăm, de exemplu, cu un număr? Acolo este problema...)

Mai întâi, să vorbim despre in termeni generali cum și ce să compari.

Important: este de dorit să se facă transformări în așa fel încât semnul inegalității să nu se schimbe! Adică, în cursul transformărilor, nu este de dorit să se înmulțească cu un număr negativ și este interzis pătrat dacă una dintre părți este negativă.

Comparația fracțiunilor

Deci, trebuie să comparăm două fracții: și.

Există mai multe opțiuni pentru a face acest lucru.

Opțiunea 1. Aduceți fracțiile la un numitor comun.

Să o scriem ca o fracție obișnuită:

- (după cum vedeți, am redus și cu numărător și numitor).

Acum trebuie să comparăm fracțiile:

Acum putem continua să comparăm și în două moduri. Putem:

1. reduceți totul la un numitor comun, prezentând ambele fracții ca improprii (numărătorul este mai mare decât numitorul):

   Care număr este mai mare? Așa e, cel al cărui numărător este mai mare, adică primul.

2. „Aruncă” (presupunem că am scăzut câte una din fiecare fracție și, respectiv, raportul dintre fracții nu s-a schimbat) și vom compara fracțiile:

   De asemenea, le aducem la un numitor comun:

   Am obținut exact același rezultat ca în cazul precedent - primul număr este mai mare decât al doilea:

   Să verificăm și dacă am scăzut corect unul? Să calculăm diferența numărătorului din primul calcul și al doilea:
   1)
   2)

Deci, ne-am uitat la cum să comparăm fracțiile, aducându-le la un numitor comun. Să trecem la o altă metodă - compararea fracțiilor aducându-le la un numărător... comun.

Opțiunea 2. Compararea fracțiilor prin reducerea la un numărător comun.

Da Da. Aceasta nu este o greșeală de tipar. La școală, această metodă este rareori predată cuiva, dar de foarte multe ori este foarte convenabilă. Pentru a înțelege rapid esența sa, vă voi pune o singură întrebare - „în ce cazuri este valoarea fracției cea mai mare?” Desigur, vei spune „când numărătorul este cât mai mare, iar numitorul este cât se poate de mic”.

De exemplu, cu siguranță vei spune că Adevărat? Și dacă trebuie să comparăm astfel de fracții: Cred că și dvs. veți pune imediat semnul corect, pentru că în primul caz sunt împărțite în părți, iar în al doilea în întregi, ceea ce înseamnă că în al doilea caz piesele sunt foarte mici și, în consecință:. După cum puteți vedea, numitorii sunt diferiți aici, dar numărătorii sunt aceiași. Cu toate acestea, pentru a compara aceste două fracții, nu trebuie să găsiți un numitor comun. Deși... găsește-l și vezi dacă semnul de comparație este încă greșit?

Dar semnul este același.

Să revenim la sarcina noastră inițială - să comparăm și. Vom compara și Aducem aceste fracții nu la un numitor comun, ci la un numărător comun. Pentru asta e simplu numărător și numitorînmulțiți prima fracție cu. Primim:

Și. Care fracție este mai mare? Așa este, primul.

Opțiunea 3. Compararea fracțiilor folosind scăderea.

Cum se compară fracțiile folosind scăderea? Da, foarte simplu. Scădem altul dintr-o fracție. Dacă rezultatul este pozitiv, atunci prima fracție (redusă) este mai mare decât a doua (scăzută), iar dacă este negativă, atunci invers.

În cazul nostru, să încercăm să scădem prima fracție din a doua: .

După cum ați înțeles deja, traducem și într-o fracție obișnuită și obținem același rezultat -. Expresia noastră devine:

Mai mult, mai trebuie să recurgem la reducerea la un numitor comun. Întrebarea este cum: în primul mod, conversia fracțiilor în unele improprii, sau în al doilea, ca și cum ar fi „eliminarea” unității? Apropo, această acțiune are o justificare complet matematică. Uite:

Îmi place mai mult a doua opțiune, deoarece înmulțirea la numărător la reducerea la un numitor comun devine de multe ori mai ușoară.

Aducem la un numitor comun:

Principalul lucru aici este să nu ne confuzi cu privire la ce număr și de unde am scăzut. Priviți cu atenție cursul soluției și nu confundați accidental semnele. Am scăzut primul din al doilea număr și am primit un răspuns negativ, deci? .. Așa e, primul număr este mai mare decât al doilea.

Am înţeles? Încercați să comparați fracții:

Opreste opreste. Nu vă grăbiți să aduceți la un numitor comun sau să scădeți. Uite: poate fi ușor convertit într-o fracție zecimală. Cât va fi? Dreapta. Ce ajunge să fie mai mult?

Aceasta este o altă opțiune - compararea fracțiilor prin reducerea la o zecimală.

Opțiunea 4. Compararea fracțiilor folosind diviziunea.

Da Da. Și așa este și posibil. Logica este simplă: când împărțim un număr mai mare la unul mai mic, obținem un număr mai mare decât unu în răspuns, iar dacă împărțim un număr mai mic la unul mai mare, atunci răspunsul cade pe intervalul de la până la.

Pentru a vă aminti această regulă, luați pentru comparație oricare două numere prime, de exemplu, i. Știi ce e mai mult? Acum să împărțim la. Răspunsul nostru este. Prin urmare, teoria este corectă. Dacă împărțim la, ceea ce obținem este mai puțin de unu, ceea ce, la rândul său, confirmă ceea ce este de fapt mai puțin.

Să încercăm să aplicăm această regulă fracții comune. Comparaţie:

Împărțiți prima fracție la a doua:

Să scurtăm din când în când.

Rezultatul este mai mic, deci dividendul este mai mic decât divizorul, adică:

Am demontat totul opțiuni posibile comparații de fracțiuni. După cum puteți vedea, sunt 5 dintre ele:

• reducerea la un numitor comun;
• reducerea la un numărător comun;
• reducerea la forma unei fracții zecimale;
• scădere;
• Divizia.

Gata de antrenament? Comparați fracțiile în cel mai bun mod:

Să comparăm răspunsurile:

1. (- converti la zecimală)
2. (împărțiți o fracție la alta și reduceți cu numărător și numitor)
3. (selectați întreaga parte și comparați fracțiile conform principiului aceluiași numărător)
4. (împărțiți o fracție la alta și reduceți cu numărător și numitor).

2. Compararea gradelor

Acum imaginați-vă că trebuie să comparăm nu doar numere, ci și expresii în care există un grad ().

Desigur, puteți pune cu ușurință un semn:

La urma urmei, dacă înlocuim gradul cu înmulțire, obținem:

Din acest exemplu mic și primitiv, regula urmează:

Acum încercați să comparați următoarele: . De asemenea, puteți pune cu ușurință un semn:

Pentru că dacă înlocuim exponențiația cu înmulțirea...

În general, înțelegi totul și nu este deloc dificil.

Dificultățile apar doar atunci când, în comparație, gradele au baze și indicatori diferiți. În acest caz, este necesar să încercați să aduceți la o bază comună. De exemplu:

Desigur, știți că aceasta, în consecință, expresia ia forma:

Să deschidem parantezele și să comparăm ce se întâmplă:

Un caz oarecum special este atunci când baza gradului () este mai mică de unu.

Dacă, atunci de două grade sau mai mult, cel al cărui indicator este mai mic.

Să încercăm să demonstrăm această regulă. Lasa.

Să vă prezentăm câteva numar natural ca diferenţa dintre şi.

Logic, nu-i așa?

Acum să fim atenți la condiția - .

Respectiv: . Prin urmare, .

De exemplu:

După cum înțelegeți, am luat în considerare cazul când bazele puterilor sunt egale. Acum să vedem când baza este în intervalul de la până la, dar exponenții sunt egali. Totul este foarte simplu aici.

Să ne amintim cum să comparăm asta cu un exemplu:

Desigur, ai calculat rapid:

Prin urmare, atunci când întâlniți probleme similare pentru comparație, țineți cont de un exemplu simplu similar pe care îl puteți calcula rapid și, pe baza acestui exemplu, puneți semne într-unul mai complex.

Când efectuați transformări, amintiți-vă că dacă înmulțiți, adunați, scădeți sau împărțiți, atunci toate acțiunile trebuie făcute atât pe partea stângă, cât și pe partea dreaptă (dacă înmulțiți cu, atunci trebuie să le înmulțiți pe ambele).

În plus, există momente când efectuarea oricăror manipulări este pur și simplu neprofitabilă. De exemplu, trebuie să comparați. În acest caz, nu este atât de dificil să ridici la o putere și să aranjezi semnul pe baza acestui lucru:

Sa exersam. Comparați grade:

Ești gata să compari răspunsurile? Iată ce am primit:

1. - la fel ca
2. - la fel ca
3. - la fel ca
4. - la fel ca

3. Compararea numerelor cu rădăcină

Să începem cu ce sunt rădăcinile? Îți amintești această intrare?

Rădăcina unui număr real este un număr pentru care este valabilă egalitatea.

Rădăcini grade impar există pentru numere negative și pozitive și chiar și rădăcini- Numai pentru pozitiv.

Valoarea rădăcinii este adesea o zecimală infinită, ceea ce face dificilă calcularea ei cu precizie, deci este important să poți compara rădăcinile.

Dacă ai uitat ce este și cu ce se mănâncă -. Dacă vă amintiți totul, să învățăm să comparăm rădăcinile pas cu pas.

Să presupunem că trebuie să comparăm:

Pentru a compara aceste două rădăcini, nu trebuie să faceți niciun calcul, doar să analizați conceptul de „rădăcină”. Ai despre ce vorbesc? Da, despre asta: altfel se poate scrie ca a treia putere a unui număr, egală cu expresia rădăcină.

Ce mai mult? sau? Acest lucru, desigur, puteți compara fără nicio dificultate. Cu cât este mai mare numărul pe care îl ridicăm la o putere, cu atât valoarea va fi mai mare.

Asa de. Să luăm regula.

Dacă exponenții rădăcinilor sunt aceiași (în cazul nostru, acesta este), atunci este necesar să comparăm expresiile rădăcinii (și) - cu cât numărul rădăcinii este mai mare, cu atât valoarea rădăcinii cu indicatori egali este mai mare.

Greu de reținut? Atunci ține doar un exemplu în minte și. Asta mai mult?

Exponenții rădăcinilor sunt aceiași, deoarece rădăcina este pătrată. Expresia rădăcină a unui număr () este mai mare decât a altuia (), ceea ce înseamnă că regula este cu adevărat adevărată.

Dar dacă expresiile radicale sunt aceleași, dar gradele rădăcinilor sunt diferite? De exemplu: .

De asemenea, este destul de clar că la extragerea unei rădăcini de grad mai mare se va obține un număr mai mic. Să luăm de exemplu:

Notați valoarea primei rădăcini ca și a doua - ca, apoi:

Puteți vedea cu ușurință că ar trebui să existe mai multe în aceste ecuații, prin urmare:

Dacă expresiile rădăcină sunt aceleași(în cazul nostru), iar exponenții rădăcinilor sunt diferiți(în cazul nostru, acesta este și), atunci este necesar să se compare exponenții(Și) - cu cât exponentul este mai mare, cu atât expresia dată este mai mică.

Încercați să comparați următoarele rădăcini:

Să comparăm rezultatele?

Ne-am ocupat cu succes de asta :). Apare o altă întrebare: ce se întâmplă dacă toți suntem diferiți? Și gradul și expresia radicală? Nu totul este atât de dificil, trebuie doar să... „scăpăm” de rădăcină. Da Da. Scapă de el.)

Dacă avem grade și expresii radicale diferite, este necesar să găsim cel mai mic multiplu comun (citiți secțiunea despre) pentru exponenții rădăcinii și să ridicăm ambele expresii la o putere egală cu cel mai mic multiplu comun.

Că suntem cu toții în cuvinte și în cuvinte. Iată un exemplu:

1. Ne uităm la indicatorii rădăcinilor - și. Cel mai mic multiplu comun al acestora este .
2. Să ridicăm ambele expresii la o putere:
3. Să transformăm expresia și să extindem parantezele (mai multe detalii în capitol):
4. Să luăm în considerare ce am făcut și să punem un semn:

4. Compararea logaritmilor

Așadar, încet, dar sigur, am abordat întrebarea cum să comparăm logaritmii. Dacă nu vă amintiți ce fel de animal este acesta, vă sfătuiesc să citiți mai întâi teoria din secțiune. Citit? Apoi răspunde la câteva întrebări importante:

1. Care este argumentul logaritmului și care este baza acestuia?
2. Ce determină dacă o funcție este în creștere sau descreștere?

Dacă vă amintiți totul și l-ați învățat bine - să începem!

Pentru a compara logaritmii între ei, trebuie să știți doar 3 trucuri:

• reducerea la aceeași bază;
• casting la același argument;
• comparație cu al treilea număr.

În primul rând, acordați atenție bazei logaritmului. Vă amintiți că dacă este mai mică, atunci funcția scade, iar dacă este mai mare, atunci crește. Pe asta se vor baza judecățile noastre.

Luați în considerare compararea logaritmilor care au fost deja reduse la aceeași bază sau argument.

Pentru început, să simplificăm problema: lăsați logaritmii comparați temeiuri egale. Apoi:

1. Funcția, când crește pe intervalul de la, înseamnă, prin definiție, atunci („comparație directă”).
2. Exemplu:- bazele sunt aceleași, respectiv, comparăm argumentele: , deci:
3. Funcția, la, scade pe intervalul de la, ceea ce înseamnă, prin definiție, apoi („comparație inversă”). - bazele sunt aceleași, respectiv, comparăm argumentele: , totuși, semnul logaritmilor va fi „invers”, întrucât funcția scade: .

Acum luați în considerare cazurile în care bazele sunt diferite, dar argumentele sunt aceleași.

1. Baza este mai mare.
   • . În acest caz, folosim „comparație inversă”. De exemplu: - argumentele sunt aceleași, și. Comparăm bazele: totuși, semnul logaritmilor va fi „invers”:
2. Baza a este între ele.
   • . În acest caz, folosim „comparație directă”. De exemplu:
   • . În acest caz, folosim „comparație inversă”. De exemplu:

Să scriem totul într-o formă tabelară generală:

În consecință, așa cum ați înțeles deja, atunci când comparăm logaritmi, trebuie să aducem la aceeași bază sau argument, Ajungem la aceeași bază folosind formula pentru a trece de la o bază la alta.

De asemenea, puteți compara logaritmii cu un al treilea număr și, pe baza acestuia, să deduceți ce este mai puțin și ce este mai mult. De exemplu, gândiți-vă cum să comparați acești doi logaritmi?

Un mic indiciu - pentru comparație, logaritmul vă va ajuta foarte mult, al cărui argument va fi egal.

Gând? Să decidem împreună.

Putem compara cu ușurință acești doi logaritmi cu tine:

Nu stii cum? Vezi deasupra. Tocmai l-am demontat. Ce semn va fi acolo? Dreapta:

De acord?

Să comparăm unul cu celălalt:

Ar trebui să obțineți următoarele:

Acum combină toate concluziile noastre într-una singură. S-a întâmplat?

5. Compararea expresiilor trigonometrice.

Ce este sinus, cosinus, tangentă, cotangentă? Pentru ce este cercul unității și cum să găsiți valoarea pe acesta funcții trigonometrice? Dacă nu cunoașteți răspunsurile la aceste întrebări, vă recomand cu căldură să citiți teoria pe această temă. Și dacă știi, atunci compararea expresiilor trigonometrice între ele nu este dificilă pentru tine!

Să ne împrospătăm puțin memoria. Să desenăm un cerc trigonometric unitar și un triunghi înscris în el. Ai reușit? Acum marcați pe ce parte avem cosinusul și pe care sinus, folosind laturile triunghiului. (Desigur, vă amintiți că sinusul este raportul dintre latura opusă ipotenuzei și cosinusul celei adiacente?). ai desenat? Grozav! Atingerea finală - pune jos unde o vom avea, unde și așa mai departe. Pune jos? Uf) Compară ce sa întâmplat cu mine și cu tine.

Pf! Acum să începem comparația!

Să presupunem că trebuie să comparăm și . Desenați aceste unghiuri folosind indicațiile din casete (unde am marcat unde), așezând punctele pe cercul unității. Ai reușit? Iată ce am primit.

Acum să coborâm perpendiculara de la punctele pe care le-am marcat pe cerc până la axă... Care? Care axă arată valoarea sinusurilor? Dreapta, . Iată ce ar trebui să obțineți:

Privind această cifră, care este mai mare: sau? Desigur, pentru că punctul este deasupra punctului.

În mod similar, comparăm valoarea cosinusurilor. Coborâm doar perpendiculara pe axă... Dreapta, . În consecință, ne uităm la ce punct este la dreapta (bine, sau mai sus, ca în cazul sinusurilor), atunci valoarea este mai mare.

Probabil că știi deja să compari tangente, nu? Tot ce trebuie să știi este ce este tangentă. Deci, ce este tangenta?) Așa este, raportul dintre sinus și cosinus.

Pentru a compara tangentele, desenăm și un unghi, ca în cazul precedent. Să presupunem că trebuie să comparăm:

ai desenat? Acum marchem și valorile sinusului pe axa de coordonate. Remarcat? Și acum indicați valorile cosinusului pe linia de coordonate. S-a întâmplat? Să comparăm:

Acum analizează ce ai scris. - Noi tăietură mareîmpărțiți la mic. Răspunsul va fi o valoare care este exact mai mare decât unu. Dreapta?

Și când îl împărțim pe cel mic cu cel mare. Răspunsul va fi un număr care este exact mai mic decât unu.

Deci care este sensul expresie trigonometrică Mai mult?

Dreapta:

După cum înțelegeți acum, comparația cotangenților este aceeași, doar invers: ne uităm la modul în care segmentele care definesc cosinusul și sinusul se relaționează între ele.

Încercați să comparați singur următoarele expresii trigonometrice:

Exemple.

Răspunsuri.

COMPARAȚIA NUMERELOR. NIVEL MEDIU.

Care dintre numere este mai mare: sau? Răspunsul este evident. Și acum: sau? Nu mai este atât de evident, nu? Și așa: sau?

De multe ori este necesar să știm care expresii numerice Mai mult. De exemplu, atunci când rezolvați o inegalitate, puneți punctele pe axă în ordinea corectă.

Acum te voi învăța să compari astfel de numere.

Dacă trebuie să comparați numere și, puneți un semn între ele (derivat din cuvântul latin Versus sau prescurtat vs. - împotriva):. Acest semn înlocuiește semnul de inegalitate necunoscut (). În continuare, vom executa transformări identice până când devine clar ce semn trebuie pus între numere.

Esența comparării numerelor este următoarea: tratăm semnul ca și cum ar fi un fel de semn de inegalitate. Și cu expresia, putem face tot ce facem de obicei cu inegalități:

• adăugați orice număr la ambele părți (și scădem, desigur, putem și)
• „mutați totul într-o singură direcție”, adică scădeți una dintre expresiile comparate din ambele părți. În locul expresiei scăzute va rămâne: .
• înmulțiți sau împărțiți cu același număr. Dacă acest număr este negativ, semnul inegalității este inversat: .
• Ridicați ambele părți la aceeași putere. Dacă această putere este egală, trebuie să vă asigurați că ambele părți au același semn; dacă ambele părți sunt pozitive, semnul nu se schimbă atunci când este ridicat la o putere, iar dacă sunt negative, atunci se schimbă la opus.
• ia rădăcina de același grad din ambele părți. Dacă extragem rădăcina unui grad par, trebuie mai întâi să vă asigurați că ambele expresii sunt nenegative.
• orice alte transformări echivalente.

Important: este de dorit să se facă transformări în așa fel încât semnul inegalității să nu se schimbe! Adică, în cursul transformărilor, nu este de dorit să se înmulțească cu un număr negativ și este imposibil să se pătrate dacă una dintre părți este negativă.

Să ne uităm la câteva situații tipice.

1. Exponentiatie.

Exemplu.

Care este mai mult: sau?

Soluţie.

Deoarece ambele părți ale inegalității sunt pozitive, putem pătra pentru a scăpa de rădăcină:

Exemplu.

Care este mai mult: sau?

Soluţie.

Și aici putem pătra, dar asta ne va ajuta doar să scăpăm de rădăcina pătrată. Aici este necesar să se ridice într-un asemenea grad încât ambele rădăcini să dispară. Aceasta înseamnă că exponentul acestui grad trebuie să fie divizibil atât cu (gradul primei rădăcini) cât și cu. Acest număr este, așa că îl ridicăm la a-a putere:

2. Înmulțirea prin conjugat.

Exemplu.

Care este mai mult: sau?

Soluţie.

Înmulțiți și împărțiți fiecare diferență la suma conjugată:

Evident, numitorul din partea dreaptă este mai mare decât numitorul din stânga. Prin urmare, fracția din dreapta este mai mică decât cea din stânga:

3. Scăderea

Să ne amintim asta.

Exemplu.

Care este mai mult: sau?

Soluţie.

Desigur, am putea pătra totul, ne regrupăm și din nou. Dar poți face ceva mai inteligent:

Se poate observa că fiecare termen din partea stângă este mai mic decât fiecare termen din partea dreaptă.

În consecință, suma tuturor termenilor din partea stângă este mai mică decât suma tuturor termenilor din partea dreaptă.

Dar fii atent! Am fost întrebați mai multe...

Partea dreaptă este mai mare.

Exemplu.

Comparați numerele și.

Soluţie.

Amintiți-vă formulele de trigonometrie:

Să verificăm în ce sferturi punctele și se află pe cercul trigonometric.

4. Diviziune.

Aici folosim și o regulă simplă: .

Cu sau, adică.

Când semnul se schimbă: .

Exemplu.

Faceți o comparație: .

Soluţie.

5. Compară numerele cu al treilea număr

Dacă și, atunci (legea tranzitivității).

Exemplu.

Comparaţie.

Soluţie.

Să comparăm numerele nu între ele, ci cu numărul.

Este evident că.

Pe de altă parte, .

Exemplu.

Care este mai mult: sau?

Soluţie.

Ambele numere sunt mai mari, dar mai mici. Alegeți un număr astfel încât să fie mai mare decât unul, dar mai mic decât celălalt. De exemplu, . Sa verificam:

6. Ce să faci cu logaritmii?

Nimic special. Cum să scapi de logaritmi este descris în detaliu în subiect. Regulile de bază sunt:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^) b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \wedge (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \wedge y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

De asemenea, putem adăuga o regulă despre logaritmi cu baze diferite și același argument:

Se poate explica astfel: cu cât baza este mai mare, cu atât va trebui mai puțin ridicată pentru a obține aceeași. Dacă baza este mai mică, atunci este adevărat opusul, deoarece funcția corespunzătoare este monoton în scădere.

Exemplu.

Comparați numerele: i.

Soluţie.

Conform regulilor de mai sus:

Și acum formula avansată.

Regula pentru compararea logaritmilor poate fi scrisă și mai scurt:

Exemplu.

Care este mai mult: sau?

Soluţie.

Exemplu.

Comparați care dintre numere este mai mare: .

Soluţie.

COMPARAȚIA NUMERELOR. SCURT DESPRE PRINCIPALA

1. Exponentiatie

Dacă ambele părți ale inegalității sunt pozitive, ele pot fi pătrate pentru a scăpa de rădăcină

2. Înmulțirea prin conjugat

Un conjugat este un multiplicator care completează expresia cu formula pentru diferența de pătrate: - conjugat pentru și invers, deoarece .

3. Scăderea

4. Diviziune

La sau asta este

Când semnul se schimbă:

5. Comparație cu al treilea număr

Dacă și atunci

6. Compararea logaritmilor

Reguli de baza.

Rădăcina a n-a a unui număr real a este un număr b pentru care egalitatea b^n = a este adevărată. Rădăcini Rădăcinile de grad impar există pentru numerele negative și pozitive, iar rădăcinile de gradul par există doar pentru cele pozitive. Valoarea rădăcinii este adesea o zecimală infinită, ceea ce face dificilă calcularea ei cu precizie, deci este important să poți compara rădăcinile.

Instruire

Să fie necesar să se compare două numere iraționale. Primul lucru la care ar trebui să acordați atenție este exponenții rădăcinilor numerelor comparate. Dacă indicatorii sunt aceiași, atunci expresiile radicale sunt comparate. Evident, cu cât numărul rădăcinii este mai mare, cu atât valoarea rădăcinii cu indicatori egali este mai mare. De exemplu, să comparăm doi și rădăcina cubă a lui opt. Indicatorii sunt aceiași și egali cu 3, expresiile radicale sunt 2 și 8 și 2

În alt caz, exponenții pot fi diferiți, dar expresiile radicale sunt aceleași. De asemenea, este destul de clar că la extragerea unei rădăcini mai mari, se va obține un număr mai mic. Luați de exemplu rădăcina cubă de opt și a șasea rădăcină de opt. Dacă notăm valoarea primei rădăcini ca a și a celei de-a doua rădăcini ca b, atunci a^3 = 8 și b^6 = 8. Este ușor de observat că a trebuie să fie mai mare decât b, deci rădăcina cubă de opt este mai mare decât a șasea rădăcină a lui opt.

Mai complicată este situația cu diferiți exponenți ai gradului rădăcinii și diferite expresii ale rădăcinii. În acest caz, trebuie să găsiți cel mai mic multiplu comun pentru exponenții rădăcinii și să ridicați ambele expresii la o putere egală cu cel mai mic multiplu comun.Exemplu: trebuie să comparați 3 ^ 1/3 și 2 ^ 1/2 (celul matematic notația rădăcinilor este în figură). Cel mai mic multiplu comun al lui 2 și 3 este 6. Ridicați ambele rădăcini la a șasea putere. Se dovedește imediat că 3^2 = 9 și 2^3 = 8, 9 > 8. Prin urmare, 3^1/3 > 2^1/2.