Conceptele de sinus (), cosinus (), tangentă (), cotangentă () sunt indisolubil legate de conceptul de unghi. Pentru a înțelege bine aceste concepte, la prima vedere, complexe (care provoacă o stare de groază la mulți școlari) și pentru a ne asigura că „diavolul nu este atât de înfricoșător precum este pictat”, să începem de la bun început. și înțelegeți conceptul de unghi.

Conceptul de unghi: radian, grad

Să ne uităm la poză. Vectorul s-a „întors” față de punct cu o anumită cantitate. Deci măsura acestei rotații în raport cu poziția inițială va fi colţ.

Ce altceva trebuie să știți despre conceptul de unghi? Ei bine, unități de unghi, desigur!

Unghiul, atât în ​​geometrie, cât și în trigonometrie, poate fi măsurat în grade și radiani.

Unghiul de (un grad) este unghiul central al cercului, bazat pe un arc de cerc egal cu partea cercului. Astfel, întregul cerc este format din „bucăți” de arce circulare, sau unghiul descris de cerc este egal.

Adică, figura de mai sus arată un unghi care este egal, adică acest unghi se bazează pe un arc circular de mărimea circumferinței.

Un unghi în radiani se numește unghi central într-un cerc, pe baza unui arc de cerc, a cărui lungime este egală cu raza cercului. Ei bine, ai inteles? Dacă nu, atunci să ne uităm la imagine.

Deci, figura arată un unghi egal cu un radian, adică acest unghi se bazează pe un arc de cerc, a cărui lungime este egală cu raza cercului (lungimea este egală cu lungimea sau raza este egală cu lungimea arcului). Astfel, lungimea arcului se calculează cu formula:

Unde este unghiul central în radiani.

Ei bine, știind asta, poți să răspunzi câți radiani conține un unghi descris de un cerc? Da, pentru aceasta trebuie să vă amintiți formula pentru circumferința unui cerc. Iat-o:

Ei bine, acum să corelăm aceste două formule și să obținem că unghiul descris de cerc este egal. Adică, corelând valoarea în grade și radiani, obținem asta. Respectiv, . După cum puteți vedea, spre deosebire de „grade”, cuvântul „radian” este omis, deoarece unitatea de măsură este de obicei clară din context.

Câți radiani sunt? Asta e corect!

Am înţeles? Apoi fixați înainte:

Orice dificultăți? Atunci uite răspunsuri:

Triunghi dreptunghic: sinus, cosinus, tangenta, cotangenta unui unghi

Deci, cu conceptul de unghi deslușit. Dar care este sinusul, cosinusul, tangenta, cotangenta unui unghi? Să ne dăm seama. Pentru aceasta, ne va ajuta un triunghi dreptunghic.

Cum se numesc laturile? triunghi dreptunghic? Așa este, ipotenuza și catetele: ipotenuza este latura care se află opusă unghiului drept (în exemplul nostru, aceasta este latura); picioarele sunt cele două laturi rămase și (cele adiacente unghi drept), în plus, dacă luăm în considerare picioarele relativ la unghi, atunci piciorul este piciorul adiacent, iar piciorul este cel opus. Deci, acum să răspundem la întrebarea: care sunt sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi?

Sinusul unui unghi este raportul dintre catetul opus (departe) și ipotenuză.

în triunghiul nostru.

Cosinusul unui unghi- acesta este raportul dintre catetul adiacent (aproape) și ipotenuză.

în triunghiul nostru.

Tangenta unghiului- acesta este raportul dintre piciorul opus (departe) și cel adiacent (închis).

în triunghiul nostru.

Cotangenta unui unghi- acesta este raportul dintre piciorul adiacent (aproape) și cel opus (departe).

în triunghiul nostru.

Aceste definiții sunt necesare tine minte! Pentru a vă ușura să vă amintiți ce picior să împărțiți la ce, trebuie să înțelegeți clar acest lucru tangentăȘi cotangentă doar picioarele stau, iar ipotenuza apare doar in sinusurilorȘi cosinus. Și apoi poți veni cu un lanț de asociații. De exemplu, acesta:

cosinus→ating→ating→adiacent;

Cotangent → atinge → atinge → adiacent.

În primul rând, este necesar să ne amintim că sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta ca rapoarte ale laturilor unui triunghi nu depind de lungimile acestor laturi (la un unghi). Nu crede? Apoi asigurați-vă că uitându-vă la imagine:

Luați în considerare, de exemplu, cosinusul unui unghi. Prin definiție, dintr-un triunghi: , dar putem calcula cosinusul unui unghi dintr-un triunghi: . Vedeți, lungimile laturilor sunt diferite, dar valoarea cosinusului unui unghi este aceeași. Astfel, valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei depind numai de mărimea unghiului.

Dacă înțelegeți definițiile, atunci mergeți mai departe și remediați-le!

Pentru triunghiul prezentat în figura de mai jos, găsim.

Ei bine, ai primit-o? Atunci încearcă și tu: calculează același lucru pentru colț.

Cercul unitar (trigonometric).

Înțelegând conceptele de grade și radiani, am considerat un cerc cu o rază egală cu. Un astfel de cerc se numește singur. Este foarte util în studiul trigonometriei. Prin urmare, ne oprim asupra ei mai detaliat.

După cum puteți vedea, acest cerc este construit în sistemul de coordonate carteziene. Raza cercului este egală cu unu, în timp ce centrul cercului se află la origine, poziția inițială a vectorului rază este fixată de-a lungul direcției pozitive a axei (în exemplul nostru, aceasta este raza).

Fiecare punct al cercului corespunde a două numere: coordonatele de-a lungul axei și coordonatele de-a lungul axei. Care sunt aceste numere de coordonate? Și, în general, ce legătură au ei cu subiectul la îndemână? Pentru a face acest lucru, amintiți-vă despre triunghiul dreptunghic considerat. În figura de mai sus, puteți vedea două triunghiuri dreptunghiulare întregi. Luați în considerare un triunghi. Este dreptunghiulară deoarece este perpendiculară pe axă.

Ce este egal cu dintr-un triunghi? Asta e corect. În plus, știm că este raza cercului unitar și, prin urmare, . Înlocuiți această valoare în formula cosinusului. Iată ce se întâmplă:

Și ce este egal cu dintr-un triunghi? Ei bine, desigur,! Înlocuiți valoarea razei în această formulă și obțineți:

Deci, poți să-mi spui care sunt coordonatele unui punct care aparține cercului? Ei bine, în niciun caz? Și dacă realizezi asta și sunt doar numere? Cu ce ​​coordonata corespunde? Ei bine, desigur, coordonatele! Cu ce ​​coordonata corespunde? Așa e, coordonează! Astfel, punctul.

Și atunci ce sunt egale și? Așa este, să folosim definițiile adecvate ale tangentei și cotangentei și să obținem asta, a.

Ce se întâmplă dacă unghiul este mai mare? Iată, de exemplu, ca în această imagine:

Ce s-a schimbat în acest exemplu? Să ne dăm seama. Pentru a face acest lucru, ne întoarcem din nou la un triunghi dreptunghic. Luați în considerare un triunghi dreptunghic: un unghi (ca adiacent unui unghi). Care este valoarea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi? Așa este, aderăm la definițiile corespunzătoare ale funcțiilor trigonometrice:

Ei bine, după cum puteți vedea, valoarea sinusului unghiului corespunde în continuare coordonatei; valoarea cosinusului unghiului - coordonata; și valorile tangentei și cotangentei la rapoartele corespunzătoare. Astfel, aceste relații sunt aplicabile oricăror rotații ale vectorului rază.

S-a menționat deja că poziția inițială a vectorului rază este de-a lungul direcției pozitive a axei. Până acum am rotit acest vector în sens invers acelor de ceasornic, dar ce se întâmplă dacă îl rotim în sensul acelor de ceasornic? Nimic extraordinar, vei obține și un unghi de o anumită dimensiune, dar numai că va fi negativ. Astfel, la rotirea vectorului rază în sens invers acelor de ceasornic, obținem unghiuri pozitive, iar când se rotește în sensul acelor de ceasornic - negativ.

Deci, știm că o întreagă revoluție a vectorului rază în jurul cercului este sau. Este posibil să rotiți vectorul rază cu sau cu? Ei bine, bineînțeles că poți! Prin urmare, în primul caz, vectorul rază va face o revoluție completă și se va opri în poziția sau.

În al doilea caz, adică vectorul rază va face trei rotații complete și se va opri în poziția sau.

Astfel, din exemplele de mai sus, putem concluziona că unghiurile care diferă prin sau (unde este orice număr întreg) corespund aceleiași poziții a vectorului rază.

Figura de mai jos arată un unghi. Aceeași imagine corespunde colțului și așa mai departe. Această listă poate fi continuată pe termen nelimitat. Toate aceste unghiuri pot fi scrise cu formula generală sau (unde este orice număr întreg)

Acum, cunoscând definițiile funcțiilor trigonometrice de bază și folosind cercul unitar, încercați să răspundeți cu ce sunt egale valorile:

Iată un cerc de unitate care vă va ajuta:

Orice dificultăți? Atunci hai să ne dăm seama. Deci știm că:

De aici, determinăm coordonatele punctelor corespunzătoare anumitor măsuri ale unghiului. Ei bine, să începem în ordine: colțul la corespunde unui punct cu coordonate, prin urmare:

Nu exista;

Mai departe, aderând la aceeași logică, aflăm că colțurile din corespund punctelor cu coordonate, respectiv. Știind acest lucru, este ușor să determinați valorile funcțiilor trigonometrice în punctele corespunzătoare. Încercați mai întâi singur, apoi verificați răspunsurile.

Raspunsuri:

Nu exista

Nu exista

Nu exista

Nu exista

Astfel, putem realiza următorul tabel:

Nu este nevoie să ne amintim toate aceste valori. Este suficient să ne amintim corespondența dintre coordonatele punctelor de pe cercul unității și valorile funcțiilor trigonometrice:

Dar valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor din și, prezentate în tabelul de mai jos, trebuie amintit:

Nu vă fie teamă, acum vă vom arăta unul dintre exemple memorarea destul de simplă a valorilor corespunzătoare:

Pentru a utiliza această metodă, este vital să vă amintiți valorile sinusului pentru toate cele trei măsuri ale unghiului (), precum și valoarea tangentei unghiului în. Cunoscând aceste valori, este destul de ușor să restabiliți întregul tabel - valorile cosinusului sunt transferate în conformitate cu săgețile, adică:

Știind acest lucru, puteți restabili valorile pentru. Numătorul „ ” se va potrivi și numitorul „ ” se va potrivi. Valorile cotangentelor sunt transferate în conformitate cu săgețile prezentate în figură. Dacă înțelegeți acest lucru și vă amintiți diagrama cu săgeți, atunci va fi suficient să vă amintiți întreaga valoare din tabel.

Coordonatele unui punct pe un cerc

Este posibil să găsiți un punct (coordonatele sale) pe un cerc, cunoscând coordonatele centrului cercului, raza acestuia și unghiul de rotație?

Ei bine, bineînțeles că poți! Să scoatem afară formula generala pentru a afla coordonatele unui punct.

Aici, de exemplu, avem un astfel de cerc:

Ni se spune că punctul este centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să găsiți coordonatele punctului obținute prin rotirea punctului cu grade.

După cum se poate observa din figură, coordonatele punctului corespund lungimii segmentului. Lungimea segmentului corespunde coordonatei centrului cercului, adică este egală cu. Lungimea unui segment poate fi exprimată folosind definiția cosinusului:

Apoi avem asta pentru punctul coordonata.

După aceeași logică, găsim valoarea coordonatei y pentru punct. Prin urmare,

Deci in vedere generala coordonatele punctului sunt determinate de formulele:

Coordonatele centrului cercului,

raza cercului,

Unghiul de rotație al vectorului rază.

După cum puteți vedea, pentru cercul unitar pe care îl luăm în considerare, aceste formule sunt reduse semnificativ, deoarece coordonatele centrului sunt zero, iar raza este egală cu unu:

Ei bine, hai să încercăm aceste formule pentru un gust, exersând găsirea punctelor pe un cerc?

1. Găsiți coordonatele unui punct pe un cerc unitar obținute prin pornirea unui punct.

2. Aflați coordonatele unui punct pe un cerc unitar obținute prin rotirea unui punct pe.

3. Găsiți coordonatele unui punct pe un cerc unitar obținute prin pornirea unui punct.

4. Punct - centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să se găsească coordonatele punctului obținute prin rotirea vectorului rază inițială cu.

5. Punct - centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să se găsească coordonatele punctului obținute prin rotirea vectorului rază inițială cu.

Întâmpinați probleme în a găsi coordonatele unui punct dintr-un cerc?

Rezolvați aceste cinci exemple (sau înțelegeți bine soluția) și veți învăța cum să le găsiți!

1.

Se vede că. Și știm ce corespunde cu o întoarcere completă a punctului de plecare. Astfel, punctul dorit va fi în aceeași poziție ca atunci când se întoarce spre. Știind acest lucru, găsim coordonatele dorite ale punctului:

2. Cercul este o unitate cu un centru într-un punct, ceea ce înseamnă că putem folosi formule simplificate:

Se vede că. Știm ce corespunde la două rotații complete ale punctului de plecare. Astfel, punctul dorit va fi în aceeași poziție ca atunci când se întoarce spre. Știind acest lucru, găsim coordonatele dorite ale punctului:

Sinus și cosinus sunt valori tabelare. Ne amintim valorile lor și obținem:

Astfel, punctul dorit are coordonate.

3. Cercul este o unitate cu un centru într-un punct, ceea ce înseamnă că putem folosi formule simplificate:

Se vede că. Să descriem exemplul considerat în figură:

Raza formează unghiuri cu axa egale cu și. Știind că valorile de tabel ale cosinusului și sinusului sunt egale și s-a stabilit că cosinusul aici ia sens negativ, iar sinusul este pozitiv, avem:

Exemple similare sunt analizate mai detaliat atunci când se studiază formulele de reducere a funcțiilor trigonometrice din subiect.

Astfel, punctul dorit are coordonate.

4.

Unghiul de rotație al vectorului rază (în funcție de condiție)

Pentru a determina semnele corespunzătoare de sinus și cosinus, construim un cerc unitar și un unghi:

După cum puteți vedea, valoarea, adică este pozitivă, iar valoarea, adică este negativă. Cunoscând valorile tabulare ale funcțiilor trigonometrice corespunzătoare, obținem că:

Să substituim valorile obținute în formula noastră și să găsim coordonatele:

Astfel, punctul dorit are coordonate.

5. Pentru a rezolva această problemă, folosim formule în formă generală, unde

Coordonatele centrului cercului (în exemplul nostru,

Raza cercului (după condiție)

Unghiul de rotație al vectorului rază (după condiție).

Înlocuiți toate valorile în formulă și obțineți:

și - valorile tabelului. Le amintim și le înlocuim în formula:

Astfel, punctul dorit are coordonate.

REZUMAT ȘI FORMULA DE BAZĂ

Sinusul unui unghi este raportul dintre catetul opus (depărtat) și ipotenuză.

Cosinusul unui unghi este raportul dintre catetul adiacent (aproape) și ipotenuză.

Tangenta unui unghi este raportul dintre catelul opus (depărtat) și cel adiacent (închis).

Cotangenta unui unghi este raportul dintre piciorul adiacent (aproape) și cel opus (departe).

Nu te voi convinge să nu scrii cheat sheets. Scrie! Inclusiv cheat sheets despre trigonometrie. Mai târziu intenționez să explic de ce sunt necesare foile de înșelăciune și cum sunt utile foile de înșelăciune. Și aici - informații despre cum să nu învățați, ci să vă amintiți câteva formule trigonometrice. Deci - trigonometrie fără o foaie de cheat! Folosim asocieri pentru memorare.

1. Formule de adunare:

cosinus întotdeauna „merg în perechi”: cosinus-cosinus, sinus-sinus. Și încă ceva: cosinusurile sunt „inadecvate”. Ei „totul este greșit”, așa că schimbă semnele: „-” în „+” și invers.

Sinusuri - "mix": sinus-cosinus, cosinus-sinus.

2. Formule de sumă și diferență:

cosinus întotdeauna „merg în perechi”. După ce adăugați două cosinus - „chile”, obținem o pereche de cosinus - „koloboks”. Și scăzând, cu siguranță nu vom primi koloboks. Primim câteva sinusuri. Tot cu un minus înainte.

Sinusuri - "mix" :

3. Formule pentru transformarea unui produs într-o sumă și o diferență.

Când primim o pereche de cosinus? La adăugarea cosinusurilor. De aceea

Când primim o pereche de sinusuri? La scăderea cosinusurilor. De aici:

„Amestecarea” se obține atât prin adăugarea, cât și prin scăderea sinusurilor. Ce este mai distractiv: adunarea sau scăderea? Așa este, pliază. Și pentru formulă luați adunarea:

În prima și a treia formulă între paranteze - suma. Din rearanjarea locurilor termenilor, suma nu se modifică. Ordinea este importantă doar pentru a doua formulă. Dar, pentru a nu ne confunda, pentru ușurință de reținut, în toate cele trei formule din primele paranteze luăm diferența

iar în al doilea rând, suma

Cearșafurile pentru pătuț în buzunar oferă liniște sufletească: dacă uiți formula, o poți șterge. Și dau încredere: dacă nu reușești să folosești foaia de cheat sheet, formulele pot fi reținute cu ușurință.

Exemple:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0,416…\)

Argument și valoare

Cosinusul unghiului ascuțit

Cosinusul unghiului ascuțit poate fi determinat folosind un triunghi dreptunghic - este egal cu raportul catetei adiacente la ipotenuza.

Exemplu :

1) Să fie dat un unghi și trebuie să determinați cosinusul acestui unghi.

2) Să completăm orice triunghi dreptunghic din acest colț.

3) După ce am măsurat laturile necesare, putem calcula cosinusul.

Cosinusul unui număr

Cercul numeric vă permite să determinați cosinusul oricărui număr, dar de obicei găsiți cosinusul numerelor legate cumva de : \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

De exemplu, pentru numărul \(\frac(π)(6)\) - cosinusul va fi egal cu \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . Și pentru numărul \(-\)\(\frac(3π)(4)\) va fi egal cu \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (aproximativ \ (-0 ,71\)).

Cosinus pentru alte numere des întâlnite în practică, vezi.

Valoarea cosinusului se află întotdeauna între \(-1\) și \(1\). În acest caz, cosinusul poate fi calculat pentru absolut orice unghi și număr.

Cosinusul oricărui unghi

Datorită cercului numeric, puteți determina cosinusul nu numai unghi ascutit, dar și obtuz, negativ și chiar mai mare decât \(360°\) (întoarcerea completă). Cum se face - este mai ușor să vezi o dată decât să auzi \(100\) ori, așa că uită-te la imagine.

Acum o explicație: să fie necesar să se determine cosinusul unghiului KOA cu măsura gradului în \(150°\). Combinăm punctul DESPRE cu centrul cercului și latura Bine- cu axa \(x\). După aceea, puneți deoparte \ (150 ° \) în sens invers acelor de ceasornic. Apoi ordonata punctului A ne va arăta cosinusul acestui unghi.

Dacă suntem interesați de un unghi cu o măsură de grad, de exemplu, în \ (-60 ° \) (unghi KOV), facem același lucru, dar \(60°\) pus deoparte în sensul acelor de ceasornic.

Și, în cele din urmă, unghiul este mai mare decât \(360°\) (unghiul KOS) - totul este asemănător cu tocitura, numai după ce trecem o tură completă în sensul acelor de ceasornic, trecem în a doua rundă și „primim lipsa de grade”. Mai exact, în cazul nostru, unghiul \(405°\) este reprezentat ca \(360° + 45°\).

Este ușor de ghicit că pentru a lăsa deoparte un unghi, de exemplu, în \ (960 ° \), trebuie să faceți două ture (\ (360 ° + 360 ° + 240 ° \)) și pentru un unghi în \ (2640 ° \) - șapte întregi.

După cum ați putea înlocui, atât cosinusul unui număr, cât și cosinusul unui unghi arbitrar sunt definite aproape în același mod. Se schimbă doar metoda de a găsi un punct pe un cerc.

Semne cosinus în sferturi

Folosind axa cosinusului (adică axa absciselor, evidențiată cu roșu în figură), este ușor să determinați semnele cosinusurilor de-a lungul unui cerc numeric (trigonometric):

În cazul în care valorile de pe axă sunt de la \(0\) la \(1\), cosinusul va avea un semn plus (sferturile I și IV sunt zona verde),
- unde valorile de pe axă sunt de la \(0\) la \(-1\), cosinusul va avea semnul minus (sferturi II și III - zonă violet).

Relația cu alte funcții trigonometrice:

- același unghi (sau număr): identitatea trigonometrică de bază \(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
- același unghi (sau număr): prin formula \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac(1)(\cos^2⁡x)\)
- și sinusul aceluiași unghi (sau număr): \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sin⁡x)\)
Vezi alte formule cele mai frecvent utilizate.

Rezolvarea ecuației \(\cos⁡x=a\)

Rezolvarea ecuației \(\cos⁡x=a\), unde \(a\) este un număr nu mai mare decât \(1\) și nu mai mic decât \(-1\) adică. \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)

Dacă \(a>1\) sau \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

Exemplu . Rezolvați ecuația trigonometrică \(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\).
Soluţie:

Rezolvați ecuația folosind un cerc numeric. Pentru aceasta:
1) Să construim axele.
2) Să construim un cerc.
3) Pe axa cosinusului (axa \(y\)) marcați punctul \(\frac(1)(2)\) .
4) Desenați o perpendiculară pe axa cosinusului prin acest punct.
5) Marcați punctele de intersecție ale perpendicularei și cercului.
6) Să semnăm valorile acestor puncte: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) Notați toate valorile corespunzătoare acestor puncte folosind formula \(x=t+2πk\), \(k∈Z\):
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);

Răspuns: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\)\(k∈Z\)

Funcția \(y=\cos(x)\)

Dacă trasăm unghiurile în radiani de-a lungul axei \(x\), iar valorile cosinusului \u200b\u200bcorespunzătoare acestor unghiuri de-a lungul axei \(y\), obținem următorul grafic:

Acest grafic se numește și are următoarele proprietăți:

Domeniul de definiție este orice valoare a lui x: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- interval de valori - de la \(-1\) la \(1\) inclusiv: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- par: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- periodic cu perioada \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- puncte de intersecție cu axele de coordonate:
abscisă: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), unde \(n ϵ Z\)
axa y: \((0;1)\)
- intervale de caractere:
funcția este pozitivă pe intervalele: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), unde \(n ϵ Z\)
funcția este negativă pe intervalele: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), unde \(n ϵ Z\)
- intervale de crestere si scadere:
funcția crește pe intervalele: \((π+2πn;2π+2πn)\), unde \(n ϵ Z\)
funcția scade pe intervalele: \((2πn;π+2πn)\), unde \(n ϵ Z\)
- maximele și minimele funcției:
funcția are o valoare maximă \(y=1\) în punctele \(x=2πn\), unde \(n ϵ Z\)
funcția are o valoare minimă \(y=-1\) în punctele \(x=π+2πn\), unde \(n ϵ Z\).

În acest articol, vom arunca o privire cuprinzătoare asupra . Identitățile trigonometrice de bază sunt egalități care stabilesc o relație între sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi și vă permit să găsiți oricare dintre aceste funcții trigonometrice printr-un altul cunoscut.

Enumerăm imediat principalele identități trigonometrice, pe care le vom analiza în acest articol. Le notăm într-un tabel, iar mai jos dăm derivarea acestor formule și dăm explicațiile necesare.

Navigare în pagină.

Relația dintre sinus și cosinus unui unghi

Uneori vorbesc nu despre principalele identități trigonometrice enumerate în tabelul de mai sus, ci despre una singură identitate trigonometrică de bază drăguț . Explicația pentru acest fapt este destul de simplă: egalitățile sunt obținute din identitatea trigonometrică de bază după împărțirea ambelor părți la și, respectiv, și egalitățile Și rezultă din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. Vom discuta acest lucru mai detaliat în paragrafele următoare.

Adică, egalitatea este de interes deosebit, căreia i s-a dat numele identității trigonometrice principale.

Înainte de a demonstra identitatea trigonometrică de bază, dăm formularea acesteia: suma pătratelor sinusului și cosinusului unui unghi este identic egală cu unu. Acum să demonstrăm.

Identitatea trigonometrică de bază este foarte des folosită în transformarea expresiilor trigonometrice. Acesta permite ca suma pătratelor sinusului și cosinusului unui unghi să fie înlocuită cu unul. Nu mai rar, identitatea trigonometrică de bază este folosită în ordine inversă: unitatea este înlocuită cu suma pătratelor sinusului și cosinusului oricărui unghi.

Tangenta si cotangenta prin sinus si cosinus

Identități care leagă tangenta și cotangenta cu sinusul și cosinusul unui unghi al formei și urmează imediat din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. Într-adevăr, prin definiție, sinusul este ordonata lui y, cosinusul este abscisa lui x, tangenta este raportul dintre ordonată și abscisa, adică , iar cotangenta este raportul dintre abscisă și ordonată, adică .

Datorită acestei evidenţe a identităţilor şi adesea definițiile tangentei și cotangentei sunt date nu prin raportul dintre abscisă și ordonată, ci prin raportul dintre sinus și cosinus. Deci tangenta unui unghi este raportul dintre sinus și cosinusul acestui unghi, iar cotangenta este raportul dintre cosinus și sinus.

Pentru a încheia această secțiune, trebuie remarcat faptul că identitățile și este valabil pentru toate astfel de unghiuri pentru care funcțiile trigonometrice conținute în ele au sens. Deci formula este valabilă pentru orice altceva decât (altfel numitorul va fi zero și nu am definit împărțirea cu zero), iar formula - for all , diferit de , unde z este oricare .

Relația dintre tangentă și cotangentă

O identitate trigonometrică și mai evidentă decât cele două anterioare este identitatea care leagă tangentei și cotangentei unui unghi al formei . Este clar că are loc pentru orice alte unghiuri decât , altfel nici tangenta, fie cotangenta nu sunt definite.

Dovada formulei foarte simplu. Prin definiție și de unde . Dovada ar fi putut fi realizată într-un mod ușor diferit. Din moment ce şi , Acea .

Deci, tangenta și cotangenta unui unghi, la care au sens, este.

Tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice

Notă. Acest tabel de valori ale funcțiilor trigonometrice folosește semnul √ pentru a desemna rădăcina pătrată. Pentru a desemna o fracție - simbolul „/”.

Vezi si materiale utile:

Pentru determinarea valorii unei funcţii trigonometrice, găsiți-l la intersecția dreptei care indică funcția trigonometrică. De exemplu, un sinus de 30 de grade - căutăm o coloană cu titlul sin (sinus) și găsim intersecția acestei coloane a tabelului cu linia „30 de grade”, la intersecția lor citim rezultatul - unul al doilea. În mod similar, găsim cosinus 60 grade, sinus 60 grade (din nou, la intersecția coloanei sin (sinus) și rândul de 60 de grade, găsim valoarea sin 60 = √3/2), etc. În același mod, se găsesc valorile sinusurilor, cosinusurilor și tangentelor altor unghiuri „populare”.

Sinusul lui pi, cosinusul lui pi, tangenta lui pi și alte unghiuri în radiani

Tabelul de cosinus, sinusuri și tangente de mai jos este, de asemenea, potrivit pentru a afla valoarea funcțiilor trigonometrice al căror argument este dat în radiani. Pentru a face acest lucru, utilizați a doua coloană de valori unghiulare. Datorită acestui fapt, puteți converti valoarea unghiurilor populare de la grade la radiani. De exemplu, să găsim unghiul de 60 de grade pe prima linie și să citim valoarea lui în radiani sub el. 60 de grade este egal cu π/3 radiani.

Numărul pi exprimă în mod unic dependența circumferinței unui cerc de măsura gradului unghiului. Deci pi radiani este egal cu 180 de grade.

Orice număr exprimat în termeni de pi (radian) poate fi ușor convertit în grade prin înlocuirea numărului pi (π) cu 180.

Exemple:
1. sine pi.
sin π = sin 180 = 0
astfel, sinusul lui pi este același cu sinusul de 180 de grade și este egal cu zero.

2. cosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
astfel, cosinusul lui pi este același cu cosinusul de 180 de grade și este egal cu minus unu.

3. Tangenta pi
tg π = tg 180 = 0
astfel, tangenta lui pi este aceeași cu tangenta de 180 de grade și este egală cu zero.

Tabelul valorilor sinus, cosinus, tangente pentru unghiuri 0 - 360 de grade (valori frecvente)

unghiul α (grade)	unghiul α în radiani (prin pi)	păcat (sinus)	cos (cosinus)	tg (tangentă)	ctg (cotangentă)	sec (secantă)	cauză (cosecant)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Dacă în tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice, în loc de valoarea funcției, este indicată o liniuță (tangentă (tg) 90 de grade, cotangentă (ctg) 180 de grade), atunci pentru o anumită valoare a gradului de măsură a unghiul, funcția nu are o valoare definită. Dacă nu există liniuță, celula este goală, deci nu am introdus încă valoarea dorită. Suntem interesați de ce solicitări vin utilizatorii la noi și completăm tabelul cu noi valori, în ciuda faptului că datele actuale privind valorile cosinusurilor, sinusurilor și tangentelor celor mai comune valori unghiulare sunt suficiente pentru a rezolva cele mai multe Probleme.

Tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice sin, cos, tg pentru cele mai populare unghiuri
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 de grade
(valori numerice „conform tabelelor Bradis”)

valoarea unghiului α (grade)	valoarea unghiului α în radiani	păcat (sinus)	cos (cosinus)	tg (tangent)	ctg (cotangent)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18