Ce expresii identice cunoașteți. Lecție de algebră pe tema „Identități

Conversiile de identitate sunt munca pe care o facem cu expresii numerice și alfabetice, precum și cu expresii care conțin variabile. Efectuăm toate aceste transformări pentru a aduce expresia originală într-o formă care să fie convenabilă pentru rezolvarea problemei. Vom lua în considerare principalele tipuri de transformări identice în acest subiect.

Transformarea identității unei expresii. Ce este?

Pentru prima dată ne întâlnim cu conceptul de noi transformați identici în lecțiile de algebră din clasa a VII-a. Apoi ne familiarizăm mai întâi cu conceptul de expresii identice egale. Să ne ocupăm de conceptele și definițiile pentru a facilita asimilarea subiectului.

Definiția 1

Transformarea identității unei expresii sunt acțiuni efectuate pentru a înlocui expresia originală cu o expresie care va fi identic egală cu cea originală.

Adesea, această definiție este folosită într-o formă prescurtată, în care cuvântul „identic” este omis. Se presupune că în orice caz realizăm transformarea expresiei în așa fel încât să obținem o expresie identică cu cea originală, iar aceasta nu trebuie subliniată separat.

Ilustra această definiție exemple.

Exemplul 1

Dacă înlocuim expresia x + 3 - 2 la expresia identic egală x+1, apoi efectuăm transformarea identică a expresiei x + 3 - 2.

Exemplul 2

Înlocuirea expresiei 2 a 6 cu expresia a 3 este transformarea identităţii, în timp ce înlocuirea expresiei X la expresie x2 nu este o transformare identică, deoarece expresiile XȘi x2 nu sunt identic egali.

Vă atragem atenția asupra formei de scriere a expresiilor atunci când efectuați transformări identice. De obicei scriem expresia originală și expresia rezultată ca o egalitate. Deci, scrierea x + 1 + 2 = x + 3 înseamnă că expresia x + 1 + 2 a fost redusă la forma x + 3 .

Executarea secvențială a acțiunilor ne conduce la un lanț de egalități, care este mai multe transformări identice consecutive. Deci, înțelegem notația x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x ca o implementare secvențială a două transformări: în primul rând, expresia x + 1 + 2 a fost redusă la forma x + 3 și a fost redusă la forma 3 + x.

Transformări identitare și ODZ

O serie de expresii pe care începem să le studiem în clasa a 8-a nu au sens pentru nicio valoare a variabilelor. Efectuarea transformărilor identice în aceste cazuri necesită să acordăm atenție regiunii valorilor admisibile ale variabilelor (ODV). Efectuarea de transformări identice poate lăsa ODZ neschimbat sau îl poate restrânge.

Exemplul 3

La efectuarea unei tranziții de la expresie a + (−b) la expresie a-b intervalul de valori permise ale variabilelor AȘi b ramâne acelasi.

Exemplul 4

Trecerea de la expresia x la expresia x 2 x conduce la o restrângere a intervalului de valori acceptabile ale variabilei x din mulțimea tuturor numerelor reale la mulțimea tuturor numerelor reale, din care a fost exclus zero.

Exemplul 5

Transformarea identității unei expresii x 2 x expresia x duce la extinderea intervalului de valori valide ale variabilei x din mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția zero, la mulțimea tuturor numerelor reale.

Îngustarea sau extinderea gamei de valori admisibile ale variabilelor atunci când se efectuează transformări identice este importantă în rezolvarea problemelor, deoarece poate afecta acuratețea calculelor și poate duce la erori.

Transformări identitare de bază

Să vedem acum ce sunt transformări identice și cum sunt efectuate. Să evidențiem acele tipuri de transformări identice cu care trebuie să ne confruntăm cel mai adesea în grupul principal.

Pe lângă transformările de bază ale identităţii, există o serie de transformări care se referă la expresii de un anumit tip. Pentru fracții, acestea sunt metode de reducere și reducere la un nou numitor. Pentru expresiile cu rădăcini și puteri, toate acțiunile care sunt efectuate pe baza proprietăților rădăcinilor și puterilor. Pentru expresiile logaritmice, acțiunile care sunt efectuate pe baza proprietăților logaritmilor. Pentru expresii trigonometrice toate acțiunile folosind formule trigonometrice. Toate aceste transformări particulare sunt discutate în detaliu în subiecte separate care pot fi găsite pe resursa noastră. Din acest motiv, nu ne vom opri asupra lor în acest articol.

Să trecem la luarea în considerare a principalelor transformări identice.

Rearanjarea termenilor, factorilor

Să începem prin a rearanja termenii. Ne confruntăm cel mai adesea cu această transformare identică. Și următoarea afirmație poate fi considerată regula principală aici: în orice sumă, rearanjarea termenilor pe alocuri nu afectează rezultatul.

Această regulă se bazează pe proprietățile comutative și asociative ale adunării. Aceste proprietăți ne permit să rearanjam termenii pe locuri și, în același timp, să obținem expresii care sunt identice cu cele originale. De aceea rearanjarea termenilor în locuri din sumă este o transformare identică.

Exemplul 6

Avem suma a trei termeni 3 + 5 + 7 . Dacă schimbăm termenii 3 și 5, atunci expresia va lua forma 5 + 3 + 7. Există mai multe opțiuni pentru rearanjarea termenilor în acest caz. Toate duc la obținerea unor expresii identice cu cea inițială.

Nu numai numerele, ci și expresiile pot acționa ca termeni în sumă. Ele, la fel ca și numerele, pot fi rearanjate fără a afecta rezultatul final al calculelor.

Exemplul 7

În suma a trei termeni 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 și - 12 a de forma 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12) termenii a pot fi rearanjați, de exemplu, astfel (- 12) a + 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 . La rândul său, puteți rearanja termenii în numitorul fracției 1 a + b, în ​​timp ce fracția va lua forma 1 b + a. Și expresia de sub semnul rădăcinii a 2 + 2 a + 5 este, de asemenea, o sumă în care termenii pot fi interschimbați.

La fel ca și termenii, în expresiile originale se pot schimba factorii și se pot obține ecuații identic corecte. Această acțiune este guvernată de următoarea regulă:

Definiția 2

În produs, rearanjarea factorilor pe alocuri nu afectează rezultatul calculului.

Această regulă se bazează pe proprietățile comutative și asociative ale înmulțirii, care confirmă corectitudinea transformării identice.

Exemplul 8

Muncă 3 5 7 permutarea factorilor poate fi reprezentată în una dintre următoarele forme: 5 3 7 , 5 7 3 , 7 3 5 , 7 5 3 sau 3 7 5.

Exemplul 9

Permutarea factorilor din produsul x + 1 x 2 - x + 1 x va da x 2 - x + 1 x x + 1

Extindere bracket

Parantezele pot conține intrări de expresii numerice și expresii cu variabile. Aceste expresii pot fi transformate în expresii identice egale, în care nu vor fi deloc paranteze sau vor fi mai puține decât în ​​expresiile originale. Acest mod de conversie a expresiilor se numește extindere a parantezei.

Exemplul 10

Să efectuăm acțiuni cu paranteze într-o expresie a formei 3 + x − 1 x pentru a obține expresia identic adevărată 3 + x − 1 x.

Expresia 3 · x - 1 + - 1 + x 1 - x poate fi convertită în expresia identic egală fără paranteze 3 · x - 3 - 1 + x 1 - x .

Am discutat în detaliu regulile de conversie a expresiilor cu paranteze în subiectul „Extindere bracket”, care este postat pe resursa noastră.

Gruparea termenilor, factorilor

În cazurile în care avem de-a face cu trei sau mai mulți termeni, putem recurge la un astfel de tip de transformări identice ca o grupare de termeni. Prin această metodă de transformare se înțelege unirea mai multor termeni într-un grup prin rearanjarea lor și plasarea lor între paranteze.

La grupare, termenii sunt interschimbați în așa fel încât termenii grupați să fie în înregistrarea expresiei unul lângă celălalt. După aceea, ele pot fi incluse între paranteze.

Exemplul 11

Luați expresia 5 + 7 + 1 . Dacă grupăm primul termen cu al treilea, obținem (5 + 1) + 7 .

Gruparea factorilor se realizează în mod similar cu gruparea termenilor.

Exemplul 12

În lucru 2 3 4 5 este posibil să grupăm primul factor cu al treilea, iar al doilea factor cu al patrulea, în acest caz ajungem la expresia (2 4) (3 5). Și dacă am grupa primul, al doilea și al patrulea factor, am obține expresia (2 3 5) 4.

Termenii și factorii care sunt grupați pot fi reprezentați ca numere prime, precum și expresii. Regulile de grupare au fost discutate în detaliu în subiectul „Termeni și factori de grupare”.

Înlocuirea diferențelor cu sume, produse parțiale și invers

Înlocuirea diferențelor cu sume a devenit posibilă datorită cunoașterii noastre cu numere opuse. Acum scăderea dintr-un număr A numere b poate fi văzută ca o adăugare la număr A numere −b. Egalitatea a − b = a + (− b) poate fi considerat echitabil și, pe baza ei, efectuează înlocuirea diferențelor cu sume.

Exemplul 13

Luați expresia 4 + 3 − 2 , în care diferența de numere 3 − 2 putem scrie ca sumă 3 + (− 2) . obține 4 + 3 + (− 2) .

Exemplul 14

Toate diferențele de exprimare 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2 pot fi înlocuite cu sume ca 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0 , 2).

Putem trece la sume din orice diferențe. În mod similar, putem face o substituție inversă.

Înlocuirea împărțirii prin înmulțire cu reciproca divizorului este posibilă prin conceptul de numere reciproce. Această transformare poate fi scrisă ca a: b = a (b − 1).

Această regulă a stat la baza regulii de împărțire a fracțiilor obișnuite.

Exemplul 15

Privat 1 2: 3 5 poate fi înlocuit cu un produs de formă 1 2 5 3.

În mod similar, prin analogie, împărțirea poate fi înlocuită cu înmulțire.

Exemplul 16

În cazul expresiei 1+5:x:(x+3)înlocuiți diviziunea cu X poate fi înmulțit cu 1 x. Împărțirea după x + 3 putem înlocui prin înmulțirea cu 1 x + 3. Transformarea ne permite să obținem o expresie identică cu cea inițială: 1 + 5 1 x 1 x + 3 .

Înlocuirea înmulțirii prin împărțire se efectuează conform schemei a b = a: (b − 1).

Exemplul 17

În expresia 5 x x 2 + 1 - 3, înmulțirea poate fi înlocuită cu împărțirea ca 5: x 2 + 1 x - 3.

Efectuarea de acțiuni cu numere

Efectuarea operațiunilor cu numere este supusă regulii de ordine a operațiilor. În primul rând, operațiile sunt efectuate cu puteri ale numerelor și rădăcini ale numerelor. După aceea, înlocuim logaritmii, funcțiile trigonometrice și alte funcții cu valorile lor. Apoi se execută acțiunile din paranteze. Și apoi puteți deja să efectuați toate celelalte acțiuni de la stânga la dreapta. Este important să rețineți că înmulțirea și împărțirea se efectuează înainte de adunare și scădere.

Operațiile cu numere vă permit să transformați expresia originală într-una identică egală cu aceasta.

Exemplul 18

Să transformăm expresia 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x efectuând toate operațiile posibile cu numere.

Soluţie

În primul rând, să ne uităm la grad 2 3 și rădăcina 4 și calculați valorile lor: 2 3 = 8 și 4 = 2 2 = 2 .

Înlocuiți valorile obținute în expresia originală și obțineți: 3 (8 - 1) a + 2 (x 2 + 5 x) .

Acum să facem parantezele: 8 − 1 = 7 . Și să trecem la expresia 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Trebuie doar să facem înmulțirea 3 Și 7 . Se obține: 21 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Răspuns: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

Operațiile cu numere pot fi precedate de alte tipuri de transformări de identitate, cum ar fi gruparea numerelor sau extinderea parantezelor.

Exemplul 19

Luați expresia 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11.

Soluţie

În primul rând, vom schimba coeficientul dintre paranteze 6: 3 asupra sensului ei 2 . Se obține: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 .

Să extindem parantezele: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 − 2 + 11.

Să grupăm factorii numerici din produs, precum și termenii care sunt numere: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Să facem parantezele: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Răspuns:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Dacă lucrăm cu expresii numerice, atunci scopul muncii noastre va fi găsirea valorii expresiei. Dacă transformăm expresii cu variabile, atunci scopul acțiunilor noastre va fi simplificarea expresiei.

Bracketing factorul comun

În cazurile în care termenii din expresie au același factor, atunci putem scoate acest factor comun din paranteze. Pentru a face acest lucru, trebuie mai întâi să reprezentăm expresia originală ca produsul unui factor comun și o expresie între paranteze, care constă din termenii originali fără un factor comun.

Exemplul 20

Numeric 2 7 + 2 3 putem elimina factorul comun 2 în afara parantezelor și obțineți o expresie identică corectă a formei 2 (7 + 3).

Puteți reîmprospăta memoria regulilor pentru scoaterea factorului comun dintre paranteze în secțiunea corespunzătoare a resursei noastre. Materialul discută în detaliu regulile de eliminare a factorului comun din paranteze și oferă numeroase exemple.

Reducerea termenilor similari

Acum să trecem la sume care conțin termeni similari. Două opțiuni sunt posibile aici: sume care conțin aceiași termeni și sume ai căror termeni diferă printr-un coeficient numeric. Operațiile cu sume care conțin termeni similari se numesc reducerea termenilor similari. Se ține în felul următor: scoatem litera comună din paranteze și calculăm suma coeficienților numerici dintre paranteze.

Exemplul 21

Luați în considerare expresia 1 + 4 x − 2 x. Putem scoate partea literală a lui x din paranteze și obținem expresia 1 + x (4 − 2). Să calculăm valoarea expresiei dintre paranteze și să obținem suma formei 1 + x · 2 .

Înlocuirea numerelor și expresiilor cu expresii identice egale

Numerele și expresiile care alcătuiesc expresia originală pot fi înlocuite cu expresii care sunt identic egale cu acestea. O astfel de transformare a expresiei originale duce la o expresie care este identic egală cu aceasta.

Exemplul 22 Exemplul 23

Luați în considerare expresia 1 + a5, în care putem înlocui gradul a 5 cu un produs identic egal cu acesta, de exemplu, de forma a 4. Aceasta ne va da expresia 1 + a 4.

Transformarea efectuată este artificială. Are sens doar în pregătirea pentru alte transformări.

Exemplul 24

Luați în considerare transformarea sumei 4 x 3 + 2 x 2. Aici termenul 4x3 putem reprezenta ca produs 2 x 2 x 2 x. Ca rezultat, expresia originală ia forma 2 x 2 2 x + 2 x 2. Acum putem izola factorul comun 2x2 si scoate-l din paranteze: 2 x 2 (2 x + 1).

Adunarea și scăderea aceluiași număr

Adunarea și scăderea aceluiași număr sau expresie în același timp este o tehnică artificială de transformare a expresiei.

Exemplul 25

Luați în considerare expresia x 2 + 2 x. Putem adăuga sau scădea una din el, ceea ce ne va permite să efectuăm ulterior o altă transformare identică - să selectăm pătratul binomului: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați un cont Google (cont) și conectați-vă: https://accounts.google.com

Subtitrări slide-uri:

Identități. Transformări identitare ale expresiilor. clasa a 7-a.

Aflați valoarea expresiilor la x=5 și y=4 3(x+y)= 3(5+4)=3*9=27 3x+3y= 3*5+3*4=27 Aflați valoarea lui expresiile la x=6 și y=5 3(x+y)= 3(6+5)=3*11=33 3x+3y= 3*6+3*5=33

CONCLUZIE: Avem același rezultat. Din proprietatea distributivă rezultă că, în general, pentru orice valoare a variabilelor, valorile expresiilor 3(x + y) și 3x + 3y sunt egale. 3(x+y) = 3x+3y

Luați în considerare acum expresiile 2x + y și 2xy. pentru x=1 și y=2 au valori egale: 2x+y=2*1+2=4 2x=2*1*2=4 pentru x=3, y=4 valorile expresiei sunt diferite 2x+y =2* 3+4=10 2xy=2*3*4=24

CONCLUZIE: Expresiile 3(x+y) și 3x+3y sunt identic egale, dar expresiile 2x+y și 2xy nu sunt identic egale. Definiție: Se spune că două expresii ale căror valori sunt egale pentru orice valoare ale variabilelor sunt identice.

IDENTITATE Egalitatea 3(x+y) și 3x+3y este adevărată pentru orice valoare a lui x și y. Astfel de egalități se numesc identități. Definiție: O egalitate care este adevărată pentru orice valoare a variabilelor se numește identitate. Egalitățile numerice adevărate sunt, de asemenea, considerate identități. Ne-am întâlnit deja cu identități.

Identitățile sunt egalități care exprimă proprietățile de bază ale acțiunilor asupra numerelor. a + b = b + a ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a (b + c) = ab + ac

Se pot da și alte exemple de identități: a + 0 = a a * 1 = a a + (-a) = 0 a * (- b) = - ab a- b = a + (- b) (-a) * ( - b) = ab Înlocuirea unei expresii cu o altă expresie identică cu aceasta se numește transformare de identitate sau pur și simplu transformare de expresie.

Pentru a aduce termeni asemănători, trebuie să adăugați coeficienții acestora și să înmulțiți rezultatul cu partea comună a literei. Exemplul 1. Oferim termeni similari 5x + 2x-3x \u003d x (5 + 2-3) \u003d 4x

Dacă există un semn plus în fața parantezelor, atunci parantezele pot fi omise, păstrând semnul fiecărui termen cuprins între paranteze. Exemplul 2. Extindeți parantezele din expresia 2a + (b -3 c) = 2 a + b - 3 c

Dacă există un semn minus înainte de paranteze, atunci parantezele pot fi omise prin schimbarea semnului fiecărui termen cuprins între paranteze. Exemplul 3. Să deschidem parantezele din expresia a - (4 b - c) \u003d a - 4 b + c

Tema pentru acasă: p. 5, Nr. 91, 97, 99 Vă mulțumim pentru lecție!

Pe tema: dezvoltări metodologice, prezentări și note

Metode de pregătire a elevilor pentru examen la secțiunea „Expresii și transformarea expresiilor”

Acest proiect a fost dezvoltat cu scopul de a pregăti elevii pentru examenele de stat din clasa a 9-a și ulterior pentru un examen de stat unificat în clasa a 11-a....

Așadar, prieteni, în ultima lecție ne-am întâlnit cu Înțelegeți ce înseamnă cuvintele „exprimarea nu are sens”. Și acum este timpul să-ți dai seama Ce este transformarea expresiei?Și cel mai important lucru - de ce este nevoie.

Ce este transformarea expresiei?

Răspunsul este simplu, obscen.) Aceasta orice acțiune cu o expresie. Si asta e. Toate aceste transformări le faci încă de la prima clasă. Oricare nu la propriu, desigur... Acest lucru va fi discutat mai jos.)

De exemplu, să luăm o expresie numerică super-cool Să spunem 3+2. Cum poate fi convertit? Da, foarte usor! Măcar luați și numărați:

3+2 = 5

Acest calcul al grădiniței va fi conversia expresiei. Puteți scrie aceeași expresie într-un mod diferit:

3+2 = 2+3

Și aici nu am numărat absolut nimic. Doar a luat și a rescris expresia noastră într-o formă diferită. Acest va fi și o transformare a expresiei. De asemenea, poate fi scris diferit. De exemplu, așa:

3+2 = 10-5

Și această intrare este de asemenea o transformare a unei expresii.

Sau cam asa:

3+2 = 10:2

De asemenea, transformarea expresiei!

Dacă tu și cu mine suntem mai în vârstă, suntem prieteni cu algebra, atunci vom scrie:

Cine este pe „tu” cu algebră, chiar și fără a se încorda în mod deosebit și fără a număra nimic, își va da seama în mintea lui că există un cinci obișnuit în stânga și în dreapta. Strângeți și încercați.)

Și dacă suntem cu adevărat mai în vârstă, atunci putem scrie astfel de filme de groază:

Buturuga 2 8+ Buturuga 2 4 = Buturuga 2 32

Sau chiar asa:

5 păcat 2 X+5 cos 2 X=5 tgx ctgx

Inspiră? Și astfel de transformări, evident, se pot face cât vrei! În măsura în care fantezia permite. Și un set de cunoștințe de matematică.)

Ai înțeles ideea?

Orice acţiune asupra unei expresii orice scrierea lui sub altă formă se numește conversia expresiei.Și toate lucrurile. Totul este foarte simplu.

Simplitatea, desigur, este întotdeauna un lucru bun și plăcut, dar trebuie să plătești undeva pentru orice simplitate, da.... Există un „dar” major aici. Toate aceste transformări misterioase se supun întotdeauna la fel regula importanta. Această regulă este atât de importantă încât poate fi apelată în siguranță regula principala toată matematica. Și rupând-o regula simpla inevitabil va duce la erori. înțelegem?)

Să presupunem că ne-am transformat expresia la întâmplare, dintr-o prostie, cumva așa:

3+2 = 6+1

Transformare? Cu siguranță. Am scris expresia într-o formă diferită! Dar... ce e în neregulă aici?

Răspuns: totul nu este așa.) Chestia este că transformările „oricum șide la buldozer" Matematica nu este deloc interesată.) De ce? Pentru că toată matematica este construită pe transformări în care aspect, dar esența expresiei nu se schimbă. Aceasta este cerința ei strictă. Și încălcarea acestei cerințe va duce la erori. Trei plus doi pot fi scrise sub orice formă. În ce exemplu necesită, îl vom scrie în acea formă. Dar în mod inerent Acest ar trebui să fie întotdeauna cinci.În orice formă, notăm aceleași 3 + 2. Dar, dacă, brusc, după ce ați scris expresia 3 + 2 într-o formă diferită, în loc de cinci, veți avea douăzeci și cinci, undeva ai făcut o greșeală pe parcurs. Întoarceți-vă și reparați.)

Și acum este timpul pentru gânduri verzi înțelepte.)

Tine minte:

1. Orice acțiune asupra unei expresii, scriind-o într-o formă diferită, se numește transformare a expresiei.

2. Transformări,expresii care nu schimbă esența, se numesc identice.

3. Toată matematica este construită pe transformări identice ale expresiilor.

Exact transformări identiceși permiteți-ne, pas cu pas, încetul cu încetul, să ne transformăm exemplu complexîntr-o expresie simplă, albă și pufoasă, păstrând esența exemplului. Dacă, deodată, în lanțul transformărilor noastre greșim undeva, iar la un pas facem o transformare NU IDENTICĂ, atunci vom decide mai departe complet diferit exemplu. Cu alte răspunsuri, da... Care nu vor mai avea nicio legătură cu cele corecte.) Să spargem identitatea și să ne încurcăm în altă parte - să începem deja să rezolvăm. al treilea exemplu. Și așa mai departe, în funcție de numărul de stocuri, de la problema despre tren și mașină, puteți ajunge la problema despre un excavator și jumătate.)

Alt exemplu. Pentru studenții care studiază deja algebra cu putere și principal. Să presupunem că trebuie să găsim valoarea expresiei (40+7) 2 . Cum poți să ieși afară, de ex. ne transformăm expresia rea? Puteți calcula pur și simplu expresia dintre paranteze (obținem 47), înmulțiți cu o coloană singură și obțineți (dacă numărați) 2209. Sau puteți folosi formula

(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 .

Se obține: (40+7) 2 = 40 2 +2∙40∙7+7 2 = 1600+560+49 = 2209.

Dar! Există o tentație (să zicem, din cauza necunoașterii formulei) atunci când puneți la pătrat să scrieți simplu:

(40+7) 2 = 40 2 +7 2 .

Din păcate, pe această tranziție simplă și aparent evidentă, identitatea transformărilor noastre încălcat. În stânga, totul este așa cum ar trebui, 2209, dar în dreapta - deja alt număr. 1649. Calculați – și totul va deveni clar. Iată un exemplu tipic de transformare NU identică. Și în consecință a ieșit erori.)

Iată-o și regula principală pentru rezolvarea oricăror sarcini: conformitatea cu identitatea transformărilor.

Am dat un exemplu cu expresii numerice 3 + 2 și (40 + 7) 2 doar pentru claritate.

Ce ziceti expresii algebrice? Tot la fel! Numai în expresiile algebrice se dau transformări identice formule si reguli. Să presupunem că există o formulă în algebră:

a(b-c) = ab - ac

Deci, în orice exemplu, avem tot dreptul să înlocuim expresia a(b-c) simțiți-vă liber să scrieți o expresie alternativă ab-ac. Si invers. Această matematică ne oferă o alegere dintre aceste două expresii. Și din care să scrieți studiu de caz depinde.

Sau popular:

A 2 - b 2 = (A- b)(A+ b)

Din nou, doi opțiuni posibile. Ambele sunt corecte.) Și aceasta transformare identică. Ce este mai profitabil să scrieți - diferența de pătrate sau produsul parantezelor - vă va spune un exemplu.)

Alt exemplu. Una dintre cele mai importante și necesare transformări în matematică este proprietatea de baza a fractiei. Puteți (veți) citi și urmări linkul pentru mai multe detalii (când se termină lecția), dar aici voi reaminte doar regula:

Dacă numărătorul și numitorul unei fracții se înmulțesc (se împart) cu la felnumăr sau o expresie care nu este egală cu zero, fracția nu se va modifica.

Iată un exemplu de transformări identice pentru această proprietate:

După cum probabil ați ghicit, acest lanț glorios poate fi continuat la infinit...) Atâta timp cât impulsul creativ este suficient. Tot felul de minusuri, rădăcini, nu le lăsa să te încurce. Asta este tot la fel fracțiune. De esența sa. Două treimi. 2/3. Doar scrise sub diferite forme.:) Proprietate foarte importantă. Acesta este cel care de multe ori vă permite să transformați tot felul de monștri exemplu în albi și pufosi.)

Desigur, există multe formule și reguli care definesc transformări identice. Aș spune chiar multe. Dar cele mai importante, fără de care la matematică se poate dispensa cel puțin de triplul nivel este interzis, este o sumă perfect rezonabilă.

Iată câteva dintre transformările de bază:

1. Lucrul cu monomii și polinoame. Reducerea termenilor similari (sau în scurt timp - similar);

2. Deschiderea parantezelor și închiderea parantezelor ;

3. Factorizarea ;

4. și descompunerea unui trinom pătrat.

5. Lucrul cu fracții și expresii fracționale.

Aceste cinci transformări de bază sunt utilizate pe scară largă în toată matematica. De la elementar la avansat. Și, dacă nu deții cel puțin unul dintre aceste cinci lucruri simple, atunci te vei confrunta inevitabil cu probleme mari, ca în toată matematica. liceu, și în clasele superioare, și cu atât mai mult în universitate. Prin urmare, vom începe cu ei. în lecțiile ulterioare din această secțiune.)

Există transformări și mai cool. Pentru școlari și elevi avansați.) Fie:

6. și tot ce este legat de ele;

7. Selecție completă de pătrat dintr-un trinom pătrat;

8. Împărțirea polinoamelor colţ sau conform schemei lui Horner ;

9. Descompunerea unei fracții raționale într-o sumă de fracții elementare (simple). Cea mai utilă caracteristică pentru studenții la locul de muncă

Deci, totul este clar despre identitatea transformărilor și importanța observării acesteia? Grozav! Apoi este timpul să treci la următorul nivel și să treci de la aritmetica primitivă la o algebră mai serioasă. Și cu o sclipire în ochi.)

Împreună cu studiul operațiilor și proprietăților lor în algebră, ei studiază concepte precum expresie, ecuație, inegalitate . Cunoașterea inițială cu ele are loc în cursul inițial de matematică. Ele sunt introduse, de regulă, fără definiții stricte, cel mai adesea în mod ostensiv, ceea ce impune profesorului nu numai să fie foarte atent în utilizarea termenilor care denotă aceste concepte, ci și să cunoască o serie de proprietăți ale acestora. Prin urmare, sarcina principală pe care ne-o punem atunci când începem studiul materialului acestui paragraf este de a clarifica și aprofunda cunoștințele despre expresii (numerice și cu variabile), egalități numerice și inegalități numerice, ecuații și inegalități.

Studiul acestor concepte este asociat cu utilizarea limbajului matematic, se referă la limbaje artificiale care sunt create şi dezvoltate împreună cu cutare sau cutare ştiinţă. Ca orice alt limbaj matematic, are propriul alfabet. În cursul nostru, acesta va fi prezentat parțial, din cauza necesității de a acorda mai multă atenție relației dintre algebră și aritmetică. Acest alfabet include:

1) numerele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; cu ajutorul lor, numerele sunt scrise după reguli speciale;

2) semne de operații +, -, , :;

3) semne de relație<, >, =, M;

4) litere mici ale alfabetului latin, sunt folosite pentru a desemna numere;

5) paranteze (rotunde, crete etc.), se numesc semne tehnice.

Folosind acest alfabet, cuvintele se formează în algebră, numindu-le expresii, iar propozițiile se obțin din cuvinte - egalități numerice, inegalități numerice, ecuații, inegalități cu variabile.

După cum știți, înregistrările 3 + 7, 24: 8, 3 × 2 - 4, (25 + 3)× 2-17 sunt numite expresii numerice. Sunt formate din numere, semne de acțiune, paranteze. Dacă executăm toate acțiunile indicate în expresie, obținem un număr numit valoarea unei expresii numerice . Deci, valoarea expresiei numerice este 3 × 2 - 4 este egal cu 2.

Există expresii numerice ale căror valori nu pot fi găsite. Se spune că astfel de expresii sunt nu au sens .

De exemplu, expresia 8: (4 - 4) nu are sens, deoarece valoarea lui nu poate fi găsită: 4 - 4 = 0, iar împărțirea la zero este imposibilă. Nici expresia 7-9 nu are sens dacă o luăm în considerare pe platou numere naturale, deoarece valorile expresiei 7-9 nu pot fi găsite pe acest set.

Luați în considerare notația 2a + 3. Este format din numere, semne de acțiune și litera a. Dacă în loc de a înlocui numere, atunci se vor obține expresii numerice diferite:

dacă a = 7, atunci 2 × 7 + 3;

dacă a = 0, atunci 2 × 0 + 3;

dacă a = - 4, atunci 2 × (- 4) + 3.

În notația 2a + 3 se numește o astfel de literă a variabil , iar intrarea în sine 2a + 3 - expresie variabilă.

O variabilă în matematică, de regulă, este desemnată prin orice literă mică a alfabetului latin. ÎN școală primară pentru a desemna o variabilă, pe lângă litere, se folosesc și alte semne, de exemplu . Atunci expresia cu o variabilă are forma: 2× + 3.

Fiecare expresie cu o variabilă corespunde unui set de numere, înlocuind care rezultă o expresie numerică care are sens. Acest set se numește sfera de expresie .

De exemplu, domeniul expresiei 5: (x - 7) este format din toate numerele reale, cu excepția numărului 7, deoarece pentru x = 7 expresia 5: (7 - 7) nu are sens.

În matematică se consideră expresii care conţin una, două sau mai multe variabile.

De exemplu, 2a + 3 este o expresie cu o singură variabilă și (3x + 8y) × 2 este o expresie cu trei variabile. Pentru a obține o expresie numerică dintr-o expresie cu trei variabile, în locul fiecărei variabile, înlocuiți numerele care aparțin domeniului expresiei.

Așadar, am aflat cum se formează expresiile numerice și expresiile cu variabile din alfabetul limbajului matematic. Dacă facem o analogie cu limba rusă, atunci expresiile sunt cuvintele limbajului matematic.

Dar, folosind alfabetul limbajului matematic, este posibil să se formeze astfel de înregistrări, de exemplu: (3 + 2)) - × 12 sau 3x - y: +) 8, care nu poate fi numit nici expresie numerică, nici expresie cu o variabilă. Aceste exemple indică faptul că descrierea - din care se formează caracterele alfabetului expresiilor limbajului matematic, numerice și cu variabile, nu este o definiție a acestor concepte. Să dăm o definiție a unei expresii numerice (o expresie cu variabile este definită în mod similar).

Definiție.Dacă f și q sunt expresii numerice, atunci (f) + (q), (f) - (q), (f) × (q), (f) (q) sunt expresii numerice. Fiecare număr este considerat a fi o expresie numerică.

Dacă această definiție ar fi urmată întocmai, atunci ar trebui să scrieți prea multe paranteze, de exemplu, (7) + (5) sau (6): (2). Pentru a scurta notația, am convenit să nu scriem paranteze dacă se adaugă sau se scad mai multe expresii, iar aceste operații sunt efectuate de la stânga la dreapta. În același mod, parantezele nu se scriu atunci când se înmulțesc sau se împart mai multe numere, iar aceste operații se fac în ordine de la stânga la dreapta.

De exemplu, ei scriu astfel: 37 - 12 + 62 - 17 + 13 sau 120:15-7:12.

În plus, am convenit să executăm mai întâi acțiunile din a doua etapă (înmulțire și împărțire), iar apoi acțiunile din prima etapă (adunare și scădere). Prin urmare, expresia (12-4:3) + (5-8:2-7) se scrie astfel: 12 - 4: 3 + 5 - 8: 2 - 7.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei 3x (x - 2) + 4(x - 2) pentru x = 6.

Soluţie

1 cale. Înlocuiți numărul 6 în locul unei variabile în această expresie: 3 × 6-(6 - 2) + 4 × (6 - 2). Pentru a afla valoarea expresiei numerice rezultate, efectuam toate actiunile indicate: 3 × 6 × (6 - 2) + 4 × (6-2) = 18 × 4 + 4 × 4 = 72 + 16 = 88. Prin urmare , când X= 6 valoarea expresiei 3x(x-2) + 4(x-2) este 88.

2 sensuri. Înainte de a înlocui numărul 6 în această expresie, să o simplificăm: Zx (x - 2) + 4 (x - 2) = (X - 2)(3x + 4). Și apoi, înlocuind în expresia rezultată în loc de X numărul 6, procedați după cum urmează: (6 - 2) × (3 × 6 + 4) = 4x (18 + 4) = 4x22 = 88.

Să fim atenți la următoarele: atât în ​​prima metodă de rezolvare a problemei, cât și în a doua, am înlocuit o expresie cu alta.

De exemplu, expresia 18 × 4 + 4 × 4 a fost înlocuită cu expresia 72 + 16, iar expresia 3x (x - 2) + 4(x - 2) - cu expresia (X - 2)(3x + 4), iar aceste substituții conduc la același rezultat. La matematică, descriind soluția acestei probleme, ei spun că am făcut transformări identice expresii.

Definiție.Se spune că două expresii sunt identice dacă, pentru orice valoare a variabilelor din domeniul expresiilor, valorile lor corespunzătoare sunt egale.

Exemple de expresii identice egale sunt expresiile 5(x + 2) și 5x+ 10, deoarece pentru orice valori reale X valorile lor sunt egale.

Dacă două expresii care sunt identic egale într-o anumită mulțime sunt unite printr-un semn egal, atunci obținem o propoziție numită identitate pe acest platou.

De exemplu, 5(x + 2) = 5x + 10 este o identitate pe mulțimea numerelor reale, deoarece pentru toate numerele reale valorile expresiei 5(x + 2) și 5x + 10 sunt aceleași. Folosind notația cuantificatorului general, această identitate poate fi scrisă astfel: (" x н R) 5(x + 2) = 5x + 10. Egalitățile numerice adevărate sunt de asemenea considerate identități.

Se numește înlocuirea unei expresii cu alta care este identic egală cu ea pe o anumită mulțime transformarea identică a expresiei date pe această mulţime.

Deci, înlocuind expresia 5(x + 2) cu expresia 5x + 10, care este identic egală cu aceasta, am efectuat transformarea identică a primei expresii. Dar cum, având în vedere două expresii, să aflăm dacă sunt identic egale sau nu? Găsiți valorile corespunzătoare ale expresiilor înlocuind anumite numere cu variabile? Lung și nu întotdeauna posibil. Dar atunci care sunt regulile care trebuie urmate atunci când se efectuează transformări identice ale expresiilor? Există multe dintre aceste reguli, printre care se numără proprietățile operațiilor algebrice.

Sarcină. Factorizați expresia ax - bx + ab - b 2 .

Soluţie. Să grupăm membrii acestei expresii în două (primul cu al doilea, al treilea cu al patrulea): ax - bx + ab - b 2 \u003d (ax-bx) + (ab-b 2). Această transformare este posibilă pe baza proprietății de asociativitate a adunării numerelor reale.

Scoatem factorul comun din expresia rezultată din fiecare paranteză: (ax - bx) + (ab - b 2) \u003d x (a - b) + b (a - b) - această transformare este posibilă pe baza distribuției proprietatea înmulțirii față de scăderea numerelor reale.

În expresia rezultată, termenii au un factor comun, îl scoatem din paranteze: x (a - b) + b (a - b) \u003d (a - b) (x - b). Baza transformării efectuate este proprietatea distributivă a înmulțirii în raport cu adunarea.

Deci, ax - bx + ab - b 2 \u003d (a - b) (x - b).

În cursul inițial de matematică, de regulă, se efectuează numai transformări identice ale expresiilor numerice. Baza teoretica astfel de transformări sunt proprietățile adunării și înmulțirii, diverse reguli: adăugarea unei sume la un număr, a unui număr la o sumă, scăderea unui număr dintr-o sumă etc.

De exemplu, pentru a găsi produsul lui 35 × 4, trebuie să efectuați transformări: 35 × 4 = (30 + 5) × 4 = 30 × 4 + 5 × 4 = 120 + 20 = 140. Transformările efectuate se bazează pe: proprietatea distributivă a înmulțirii față de adunare; principiul scrierii numerelor în sistem zecimal socoteala (35 = 30 + 5); reguli de înmulțire și adunare a numerelor naturale.

Transformări de identitate

1. Conceptul de identitate. Principalele tipuri de transformări identice și etapele studiului lor.

Studiul diferitelor transformări ale expresiilor și formulelor ocupă cea mai mică parte a timpului de studiu în cursul matematicii școlare. Cele mai simple formațiuni ^ "", bazate pe proprietățile operațiilor aritmetice, sunt deja în școala elementară. Dar sarcina principală a formării deprinderilor și abilităților de a efectua transformări este suportată de cursul algebrei școlare 1> aceasta este legată:

cu o creștere bruscă a numărului de transformări efectuate, diversitatea acestora;

cu complicarea activităților pentru fundamentarea acestora și clarificarea condițiilor de aplicabilitate;

i) cu alocarea și studiul conceptelor generalizate de identitate, transformare identică, transformare echivalentă, consecință logică.

Linia transformărilor identice primește următoarea dezvoltare în cursul de algebră al școlii de bază:

,4 clase b - deschiderea parantezelor, aducerea termenilor similari, scoateți - M (factor Chsho din paranteze;

7 Clasă - transformări identice ale expresiilor întregi și fracționale;

clasa H - transformări identice ale expresiilor care conțin rădăcini quad;

( > clasa- transformări identice ale expresiilor trigonometrice și mmrizhsny care conțin un grad cu un exponent rațional.

Linia transformărilor identice este una dintre liniile ideologice importante ale cursului de algebră. Prin urmare, predarea matematicii în clasele 5-6 este construită de niKiiM în așa fel încât elevii deja din aceste clase să dobândească abilitățile celor mai simple transformări identice (fără a folosi termenul „transformări identic diferite”). Aceste abilități se formează atunci când se efectuează un exercițiu pentru a reduce termeni similari, a deschide paranteze și a le pune între paranteze, a scoate un factor din paranteze etc. Cele mai simple transformări ale numerice și expresii literale. La acest nivel de învățare sunt stăpânite transformări care se realizează direct pe baza legilor și proprietăților operațiilor aritmetice.

Principalele tipuri de sarcini din clasele 5-6, în soluția cărora sunt utilizate în mod activ proprietățile și legile operațiilor aritmetice și prin care se formează abilitățile de transformări identice, includ:

fundamentarea algoritmilor pentru efectuarea de actiuni asupra numerelor multimilor numerice studiate;

calcularea valorilor unei expresii numerice în cel mai rațional mod;

compararea valorilor expresiilor numerice fără a efectua acțiunile specificate;

simplificarea expresiilor literale;

dovada egalității valorilor a două expresii literale etc.

Exprimați numărul 153 ca o sumă de termeni de biți; ca diferență a două numere, ca produs a două numere.

Exprimați numărul 27 ca produs a trei factori identici.

Aceste exerciții privind reprezentarea aceluiași număr în diferite forme de notație contribuie la asimilarea conceptului de transformări identice. Inițial, aceste reprezentări pot fi arbitrare, în viitor - cu scop. De exemplu, reprezentarea ca sumă de termeni de biți este folosită pentru a explica regulile de adăugare a numerelor naturale într-o „coloană”, reprezentarea ca sumă sau diferență a numerelor „conveniente” este folosită pentru a efectua calcule rapide ale diferitelor produse și reprezentarea ca produs al factorilor este folosită pentru a simplifica diverse expresii fracţionale.

Aflați valoarea expresiei 928 36 + 72 36.

Modul rațional de a calcula valoarea acestei expresii se bazează pe utilizarea legii distributive a înmulțirii în raport cu adunarea: 928 36 + 72 36 = (928 + 72) 36 = 1000 36 = 36000.

La cursul şcolar de matematică se pot distinge următoarele etape de însuşire a aplicării transformărilor expresiilor şi formulelor alfanumerice.

etapă. Începuturile algebrei.În această etapă, se folosește un sistem nedivizat de transformări; este reprezentată de regulile de efectuare a acțiunilor asupra uneia sau ambelor părți ale formulei.

Exemplu. Rezolvarea ecuațiilor:

a) 5x - bx = 2; b) 5x = 3x + 2; V) 6 (2 - 4y) + 5 ani = 3 (1 - Zu).

Ideea generală a soluției este de a simplifica aceste formule cu ajutorul mai multor reguli. În prima sarcină simplificarea se realizează prin aplicarea identităţii: 5x- bx= (5 - 3)x. Transformarea identităţii bazată pe această identitate transformă ecuaţia dată într-o urshshomie echivalentă 2x - 2.

A doua ecuație necesită pentru rezolvarea sa nu numai o transformare identică, ci și paranoică; ca atare, folosește dreptul ||n pentru a transfera termenii ecuației dintr-o parte a ecuației în alta cu un chic modificat. În rezolvarea unei sarcini atât de simple precum b), sunt folosite ambele transformări mon - atât identice, cât și echivalente. Această propunere este folosită și pentru sarcini mai greoaie, cum ar fi cea de-a treia.

Alunița primei etape este de a învăța cum să rezolvi rapid cele mai simple ecuații, să simplifice formulele care definesc funcțiile, să efectueze rațional calcule bazate pe proprietățile acțiunilor.

tit. Formarea deprinderilor pentru aplicarea unor tipuri specifice de transformareII înclinare Conceptele de identitate și transformare identică sunt introduse în mod explicit în cursul shn „clasa sbra 7. Deci, de exemplu, în manualul lui Yu. N. Makarychev „Algebra 7” np” este introdus conceptul de expresii identice egale: variabile, spion identic egal" apoi conceptul de identitate: „Se numește o egalitate care este împerecheată pentru orice valori ale variabilelor identitate."

Sunt date 11 exemple:

În manualul A.G. Mordkovich „Algebra 7” este dat imediat și un concept rafinat de identitate: "Identitate este egalitatea corectă pentru orice permis valorile variabilelor sale constitutive.

Când introducem conceptul de transformare identică, ar trebui în primul rând să respingem oportunitatea studierii transformărilor identice. Pentru a face acest lucru, puteți lua în considerare diverse exerciții pentru a găsi sensul expresiilor.

liiiipiiMep, găsiți valoarea expresiei 37.1x + 37, de exemplu, când X= 0,98, y = 0,02. Folosind proprietatea distributivă a înmulțirii, expresia 37.1l + 37.1 la poate fi calculată prin expresia 37.1(x + y), identic egal cu el. Și mai impresionant vierme 1 soluție a exercițiului următor: găsiți valoarea expresiei

() - (a-6) _ p r i. a) q = z > ^ = 2; b) A = 121, b - 38; c) a = 2,52, b= 1 -.

ab 9

După transformările efectuate, se dovedește că setul de valori al acestei expresii este format dintr-un singur număr 4.

În manualul lui Yu. N. Makarychev „Algebra 7”, introducerea conceptului de transformare a identității este motivată prin luarea în considerare a unui exemplu: „Pentru a găsi valoarea expresiei xy-da pentru x = 2,3; y = 0,8; z = 0,2, trebuie să efectuați 3 acțiuni: hu - xz = 2,3 0,8 - 2,3 0,2 = 1,84 - 0,46 = 1,38.

11 Este necesar să remarcăm un tip de transformări, specifice algebrei curoniane și începuturilor analizei. Acestea sunt transformări ale expresiilor care conțin pretranziții,Și transformări bazate pe regulile de diferenţiere şi integrare. Principala diferență dintre aceste transformări „analitice” și transformările „algebrice” constă în natura mulțimii prin care se desfășoară variabilele în identități. În identitățile algebrice, variabilele parcurg zone numerice iar în seturile analitice aceste mulţimi rătăcesc sigur multe funcții. De exemplu, regula diferențierii sumei: (Z „+g)” aici / și g sunt variabile care trec prin mulțimi

I I ci funcții diferențiabile cu un domeniu comun de definiție. În exterior, aceste transformări sunt similare transformărilor de tip algebric, prin urmare, uneori se spune „algebra limitelor”, „algebra diferențierii”.

Identitățile studiate la cursul școlar de algebră și mayrialul algebric al cursului de algebră și începuturile de analiză pot fi împărțite în doua clase.

Prima constă din identitățile înmulțirii reduse, echitabil în

av v.

inelul comutativ iioGom și identitățile - =-,a* 0, corect în orice

Câmpul Om.

A doua clasă este formată din identități care conectează expresii aritmetice și funcții elementare de bază, precum și compoziții de elemente elementare.Hhixfuncții. Majoritatea identităților acestei clase au și o bază matematică comună, constând în faptul că funcțiile de putere, exponențiale și logaritmice sunt izomorfisme ale diferitelor grupuri numerice. De exemplu, există o afirmație: există o mapare izomorfă continuă unică / a grupului aditiv de numere reale în grupul multiplicativ de numere reale pozitive, sub care unitatea o este mapată la un număr dat a> 0, a f 1; această mapare este dată de o funcție reciprocă cu bază A:/(X)= A. Există afirmații similare pentru putere și funcții logaritmice.

Metodologia de studiu a identităților ambelor clase are multe caracteristici comune. În general, transformările identitare studiate la cursul de matematică școlară includ:

transformări ale expresiilor care conțin radicali și grade cu exponenți fracționari;

transformări ale expresiilor care conțin pasaje până la limită și transformări bazate pe regulile de diferențiere și integrare.

Acest rezultat poate fi obținut efectuând doar două acțiuni, folosind expresia x (y-z), identic egal cu expresia xy-xz:x(y-z)= 2,3 (0,8 - 0,2) = 2,3 0,6 = 1,38.

Am simplificat calculele prin înlocuirea expresiei xy-xz expresie identică egală X y - z).

Se numește înlocuirea unei expresii cu alta, identic egală cu aceasta transformarea identităţii sau pur și simplu transformarea expresiei.

Dezvoltare diferite feluri transformările în această etapă începe cu introducerea formulelor de înmulțire prescurtate. Apoi luăm în considerare transformările asociate cu operația de ridicare la o putere, cu diverse clase de funcții elementare - exponențiale, putere, logaritmice, trigonometrice. Fiecare dintre aceste tipuri de transformări trece printr-o etapă de studiu, în care atenția este concentrată pe asimilarea trăsăturilor lor caracteristice.

Odată cu acumularea de material, devine posibilă evidențierea și, pe această bază, introducerea conceptelor de transformări identice și echivalente.

Trebuie remarcat faptul că conceptul unei transformări identice este dat în cursul școlar de algebră nu în generalitate deplină, ci doar în aplicare la expresii. Transformările sunt împărțite în două clase: transformări identice sunt transformări de expresie și echivalent - transformări de formule. În cazul în care este necesară simplificarea unei părți a formulei, în această formulă este evidențiată o expresie, care servește drept argument pentru transformarea identică aplicată. De exemplu, ecuațiile 5x - Zx - 2 și 2x = 2 sunt considerate nu numai echivalente, ci la fel.

În manualele de algebră Sh.A. Alimova și alții, conceptul de identitate nu este introdus în mod explicit în clasele 7-8 și doar în clasa a 9-a la tema „Identități trigonometrice” la rezolvarea problemei 1: „Demonstrați că pentru afkk, La < eZ , egalitatea 1 + ctg 2 a = -\-» este valabilă, se introduce acest concept. Aici li se explică elevilor că păcătuiesc A

egalitatea indicată este „validă pentru toate valorile admisibile ale lui a, i.e. astfel încât părțile din stânga și din dreapta să aibă sens. Astfel de egalități se numesc identități, iar problemele pentru demonstrarea unor astfel de egalităţi se numesc probleme pentru demonstrarea identităţilor.

etapa a III-a. Organizarea unui sistem integral de transformări (sinteză).

Scopul principal al acestei etape este de a forma un aparat flexibil și puternic adecvat pentru a fi utilizat în rezolvarea unei varietăți de sarcini educaționale.

Desfășurarea celei de-a doua etape a studiului transformărilor are loc pe parcursul întregului curs de algebră în școala de bază. Trecerea la a treia etapă se realizează în timpul repetarii finale a cursului în cursul înțelegerii materialului deja cunoscut, învățat pe părți, în funcție de anumite tipuri de transformări.

În cursul algebrei și începutul analizei, un sistem integral de transformări, practic deja format, continuă să fie îmbunătățit treptat. I se adaugă și unele noi tipuri de transformări (de exemplu, cele legate de funcțiile trigonometrice și logaritmice), dar nu fac decât să-l îmbogățească, să-i extindă capacitățile, dar nu îi schimbă structura.

Metodologia de studiu a acestor noi transformări practic nu diferă de cea folosită în cursul algebrei.

Este necesar de observat un tip de transformări specifice cursurilor de algebră și începuturilor de analiză. Acestea sunt transformări ale expresiilor care conțin tranziții limită, Și transformări bazate pe regulile de diferenţiere şi integrare. Principala diferență dintre aceste transformări „analitice” și transformări „algebrice” constă în caracterul mulțimii, prin care variabilele îl parcurg în identități. În identitățile algebrice, variabilele parcurg zone numerice în timp ce în seturile analitice anumite multe funcții. De exemplu, regula de diferențiere a sumei: ( f + g )" = f + g "; Aici miros greu - variabile care rulează prin funcții diferențiabile multiplicatoare cu un domeniu comun de definiție. În exterior, aceste transformări sunt similare transformărilor de tip algebric, prin urmare, uneori se spune „algebra limitelor”, „algebra diferențierii”.

Identitățile studiate la cursul școlar de algebră și materialul algebric al cursului de algebră și începuturile analizei pot fi împărțite în doua clase.

Prima constă din identitățile înmulțirii reduse, echitabil în

orice inel comutativ și identitatea - \u003d -, un * 0, valabil în orice

ac s

A doua clasă este formată din identități care conectează operații aritmetice și funcții elementare de bază, precum și compoziții de funcții elementare. Majoritatea identităților acestei clase au și o bază matematică comună, care constă în faptul că funcțiile putere, exponențiale și logaritmice sunt izomorfisme ale diferitelor grupuri numerice. De exemplu, există o afirmație: există o mapare izomorfă continuă unică / a grupului aditiv de numere reale în grupul multiplicativ de numere reale pozitive, sub care unul este mapat la un număr dat a> 0, a f 1; această mapare este dată de funcția exponențială cu baza i: / (x) = a*. Există afirmații similare pentru putere și funcții logaritmice.

Metoda de studiu a identităților ambelor clase are multe aspecte comune. În general, transformările identitare studiate la cursul de matematică școlară includ:

transformări ale expresiilor algebrice;

conversia expresiilor care conțin radicali și puteri cu exponenți fracționari;

transformări ale expresiilor trigonometrice;

conversia expresiilor care conțin puteri și logaritmi;

transformări ale expresiilor care conțin tranziții limită și transformări bazate pe reguli, diferențiere și integrare.

2. Caracteristici ale organizării sistemului de sarcini în studiul transformărilor identice

Principiul de bază al organizării oricărui sistem de sarcini este prezentarea acestora de la simplu la complex ţinând cont de necesitatea elevilor de a depăşi dificultăţile fezabile şi de a crea situaţii problematice. Acest principiu de bază necesită concretizare în raport cu trăsăturile acestui material educațional. Să dăm un exemplu de sistem de exerciții pe tema: „Pătratul sumei și

diferenta a doua numere.

I la acest sistem de bază de exerciții se termină. Un astfel de sistem ar trebui să asigure asimilarea materialului de bază.

Următoarele exerciții (17-19) permit elevilor să se concentreze asupra greșelilor tipice și să contribuie la dezvoltarea interesului și a abilităților lor creative.

În fiecare caz, numărul de exerciții din sistem poate fi mai mic sau mai mare, dar succesiunea implementării lor ar trebui să fie aceeași.

Pentru a descrie diferite sisteme de sarcini în metodologia matematicii, utilizați și conceptul ciclu de exerciții. Ciclul de exerciții se caracterizează prin faptul că mai multe aspecte ale studiului și metodele de aranjare a materialului sunt combinate într-o succesiune de exerciții. În legătură cu transformările identice, ideea unui ciclu poate fi dată după cum urmează.

Un ciclu de exerciții este legat de studiul unei identități, în jurul căreia sunt grupate alte identități, care se află într-o legătură firească cu aceasta. „Opriți bucla împreună cu executiv include sarcini care necesită recunoaşte-< ii în nici aplicabilitatea identităţii avute în vedere. Identitatea studiată este utilizată pentru a efectua calcule pe diverse domenii numerice.

Sarcinile din fiecare ciclu sunt împărțite în doua grupuri. LA primul include sarcini care sunt finalizate în timpul cunoașterii inițiale cu identitatea. Ele se desfășoară în mai multe lecții unite printr-o singură temă. A doua grupă exercițiul leagă identitatea studiată cu diverse aplicații. Exercițiile din acest grup sunt de obicei împrăștiate pe diferite subiecte.

Structura descrisă a ciclului se referă la etapa de formare a deprinderilor de aplicare a unor tipuri specifice de transformări. În etapa finală - (În momentul sintezei, ciclurile sunt modificate. In primul rand, ambele grupuri de shdapia sunt combinate, formând ciclu „desfăşurat”. , și notează cele mai simple din punct de vedere al formulării sau complexității execuției din prima grupă. Tipurile rămase de sarcini devin mai dificile. În al doilea rând, are loc o contopire a ciclurilor legate de diferite identități, din această cauză, rolul acțiunilor de recunoaștere a aplicabilității uneia sau alteia identități crește.

Să luăm un exemplu concret de buclă.

Exemplu. Ciclul postului pentru identitatea x -y 2 = (x-y)(x + y).

Execuția primului grup de sarcini din acest ciclu are loc după cum urmează:

conditii. Elevii tocmai s-au familiarizat cu formularea identității (sau mai bine zis, cu două formulări: „Diferența pătratelor a două expresii este egală cu produsul sumei și diferenței acestor expresii” și „Produsul sumei”. iar diferența a două expresii este egală cu diferența pătratelor acestor expresii”), scrierea ei sub formă de formulă, dovadă . În continuare, sunt date câteva exemple de utilizare a unei transformări bazate pe această identitate. În cele din urmă, elevii încep autoimplinire exerciții.

Primul grup de sarcini

Al doilea grup de sarcini

(Sarcinile fiecărui grup pot fi prezentate elevilor folosind un proiector multimedia)

Să facem o analiză metodică a acestui sistem de tipuri de sarcini.

Sarcina a0 urmărește să stabilească structura identității studiate. Acest lucru se realizează prin înlocuirea literelor (x și y)în notarea identității în alte litere. Sarcinile de acest tip vă permit să clarificați relația dintre expresia verbală și forma simbolică a identității.

Sarcina a 2) se concentrează pe stabilirea legăturii acestei identități cu sistemul numeric. Expresia care este convertită aici nu este pur literală, ci alfanumeric. Pentru a descrie acțiunile efectuate, este necesar să folosiți conceptul substituţie litere după număr în identitate. Dezvoltarea aptitudinilor

utilizarea operațiunii de înlocuire și aprofundarea ideii acesteia se realizează în îndeplinirea sarcinilor de tip r 2).

Următorul pas în stăpânirea identității este ilustrat de sarcina a). În noua sarcină, expresia propusă pentru transformare nu are forma unei scindări de pătrate; transformarea devine posibilă numai atunci când. h(n1k va observa că numărul 121 poate fi reprezentat ca un pătrat al unui număr. Astfel, această sarcină este efectuată nu într-un singur pas, ci în doi: pe bandaiiiu există o recunoaștere a posibilității de a reduce această expresie la mdf a diferenței de pătrate, pe a doua se realizează o transformare folosind identitatea.

În primele etape de stăpânire a identității, fiecare pas este înregistrat:

I "I / s 2 \u003d 11 2 - & 2 \u003d (11 - £) (11 + La),în viitor, unele operaţii de recunoaştere sunt efectuate de către elevi oral.

În exemplul dd) se cere stabilirea de legături între această identitate și altele legate de acțiuni cu monomii; e 3) se aplică de două ori identitatea pentru diferența de pătrate; c) elevii vor trebui să depășească o anumită barieră psihologică, exercitând accesul în zona numerelor iraționale.

Sarcinile de tip b) vizează dezvoltarea abilităților de înlocuire a produsului (, v - y)(x + y) la diferenta X 2 - la 2 . Sarcinile de tip c) joacă un rol similar. În exemplele de tip d) se cere alegerea uneia dintre direcţiile transformărilor.

În general, sarcinile primului grup sunt concentrate pe stăpânirea structurii identității, a operațiilor de substituție în cele mai simple cazuri importante și a ideilor despre reversibilitatea transformărilor efectuate de identitate,

Principalele caracteristici și obiective dezvăluite de noi atunci când luăm în considerare primul | ruinele sarcinilor ciclului, se referă la orice ciclu de exerciții care formează baionetele utilizării identității. Pentru orice identitate peri-im nou introdusă, grupul de sarcini din ciclu trebuie să păstreze caracteristicile descrise aici; singura diferență este în numărul de sarcini.

1 Al doilea grup de sarcini din ciclu, spre deosebire de primul, vizează utilizarea cât mai deplină posibilă și luarea în considerare a specificului acestei identități particulare t i pi. Sarcinile acestui grup presupun abilități deja formate de utilizare a identității pentru diferența de pătrate (în cele mai simple cazuri); cpi, sarcinile acestui grup sunt de a aprofunda înțelegerea identității prin luarea în considerare a diverselor aplicații ale acesteia în diverse situații, în combinație cu utilizarea materialelor legate de alte subiecte ale cursului de matematică.

Luați în considerare soluția sarcinii l):

x 3 - 4x \u003d 15 o x 3 - 9x \u003d 15 - 5x o x (x ~ 3) (x + 3) \u003d 5 (3 -x) ox \u003d 3 sau \{\ 1-3) = -5. Ecuația x(x + 3) = -5 nu are rădăcini reale, prin urmare \ 3 este singura rădăcină a ecuației.

Vedem că utilizarea identității pentru diferența de pătrate face parte din partea n și I în rezolvarea exemplului, fiind ideea principală pentru realizarea transformărilor.

Cicluri de sarcini legate de identităţi pt functii elementare, au propriile caracteristici, care se datorează faptului că, in primul rand. identitățile corespunzătoare sunt studiate în legătură cu studiul materialului funcțional și, /u>-“touykh, ele apar mai târziu decât identitățile primului grup și sunt studiate cu

folosindu-se deprinderi deja formate pentru efectuarea de transformări identice. O parte semnificativă a utilizării transformărilor identitare asociate cu funcțiile elementare revine soluției ecuațiilor iraționale și transcendentale. Ciclurile legate de asimilarea identităților cuprind doar cele mai multe ecuații simple, dar deja aici este recomandabil să se lucreze la stăpânirea metodei de rezolvare a unor astfel de ecuații: reducerea acesteia prin înlocuirea necunoscutului cu o ecuație algebrică.

Secvența de pași pentru această soluție este următoarea:

a) găsiți o funcție<р, для которой данное уравнение/(х) = 0 представимо в виде F (ср(лг)) = 0;

b) efectuarea unei înlocuiri la= cp(x) și se rezolvă ecuația F(y) = 0;

c) rezolvați fiecare dintre ecuații <р(х) = Unde (la k ) este mulțimea rădăcinilor ecuației F(y) = 0.

O problemă nouă care trebuie luată în considerare atunci când se studiază identitățile cu funcții elementare este luarea în considerare a domeniului definiției. Iată exemple de trei sarcini:

a) Trasează funcția y \u003d 4 log 2 x.

b) Rezolvați ecuația lg X + lg (x - 3) = 1.

c) Pe ce mulțime se află formula lg (x - 5) + lg (x + 5) = lg ( X 2 - 25) este o identitate?

O greșeală tipică pe care o fac elevii în rezolvarea sarcinii a) este utilizarea egalității A Prima condiție excluzând b > 0. În acest caz, ca rezultat, graficul dorit se dovedește a avea forma unei parabole în loc de răspunsul corect - ramura dreaptă a parabolei. În sarcina b) se arată una dintre sursele de obținere a sistemelor complexe de ecuații și inegalități, atunci când este necesar să se țină cont de domeniile de definire a funcțiilor, iar în sarcina c) - exercițiu care poate servi ca exercițiu pregătitor.

Ideea care unește aceste sarcini - necesitatea de a studia domeniul de definire a unei funcții, nu poate fi relevată decât prin compararea unor astfel de sarcini care sunt eterogene în formă externă. Semnificația acestei idei pentru matematică este foarte mare. Poate servi ca bază pentru mai multe cicluri de exerciții - pentru fiecare dintre clasele de funcții elementare.

În concluzie, observăm că studiul transformărilor identice în școală este de mare importanță. valoare educațională. Capacitatea de a face unele calcule, de a efectua calcule, pentru o lungă perioadă de timp cu o atenție neîntreruptă de a urmări un obiect este necesară persoanelor cu o mare varietate de profesii, indiferent dacă lucrează în domeniul muncii psihice sau fizice. Specificul secțiunii „Transformări identice ale expresiilor” este de așa natură încât deschide oportunități largi pentru dezvoltarea acestor abilități importante din punct de vedere profesional la elevi.