Cum se scrie trei unsprezecele în zecimale. Întocmirea unui sistem de ecuații
Citeste si
Se întâmplă că, pentru confortul calculelor, este necesar să se traducă fracție comună la zecimală și invers. Vom vorbi despre cum să facem acest lucru în acest articol. Vom analiza regulile de conversie a fracțiilor obișnuite în zecimale și invers și vom da, de asemenea, exemple.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Vom lua în considerare conversia fracțiilor obișnuite în zecimale, aderând la o anumită succesiune. Mai întâi, luați în considerare modul în care fracțiile obișnuite cu un numitor care este un multiplu de 10 sunt convertite în zecimale: 10, 100, 1000 etc. Fracțiile cu astfel de numitori, de fapt, sunt o notație mai greoaie a fracțiilor zecimale.
În continuare, ne vom uita la cum să convertim fracțiile obișnuite în fracții zecimale cu orice numitor, nu doar un multiplu de 10. Rețineți că atunci când convertiți fracții obișnuite în fracții zecimale, se obțin nu numai fracții zecimale finale, ci și fracții zecimale periodice infinite.
Să începem!
Translația fracțiilor ordinare cu numitorii 10, 100, 1000 etc. la zecimale
În primul rând, să spunem că unele fracții au nevoie de o anumită pregătire înainte de a fi convertite în formă zecimală. Ce este? Înainte de numărul din numărător, este necesar să se adauge atât de multe zerouri, astfel încât numărul de cifre din numărător să devină egal cu numărul de zerouri din numitor. De exemplu, pentru fracția 3100, numărul 0 trebuie adăugat o dată la stânga lui 3 în numărător. Fracția 610, conform regulii de mai sus, nu trebuie îmbunătățită.
Luați în considerare încă un exemplu, după care formulăm o regulă care este deosebit de convenabilă de utilizat la început, în timp ce nu există atât de multă experiență în manipularea fracțiilor. Deci, fracția 1610000 după adăugarea zerourilor în numărător va arăta ca 001510000.
Cum se traduce o fracție obișnuită cu numitorul 10, 100, 1000 etc. la zecimală?
Regula pentru conversia fracțiilor proprii obișnuite în zecimale
- Scrieți 0 și puneți o virgulă după el.
- Notăm numărul de la numărător, care s-a dovedit după adăugarea zerourilor.
Acum să trecem la exemple.
Exemplul 1. Conversia fracțiilor obișnuite în zecimale
Transformați fracția comună 39100 în zecimală.
În primul rând, ne uităm la fracție și vedem că nu sunt necesare acțiuni pregătitoare - numărul de cifre din numărător se potrivește cu numărul de zerouri din numitor.
Urmând regula, notează 0 , după el pune o zecimală și notează numărul de la numărător. Obținem fracția zecimală 0, 39.
Să analizăm soluția unui alt exemplu pe această temă.
Exemplul 2. Conversia fracțiilor obișnuite în zecimale
Să scriem fracția 105 10000000 ca fracție zecimală.
Numărul de zerouri la numitor este 7, iar numărătorul are doar trei cifre. Să mai adăugăm 4 zerouri în fața numărului din numărător:
0000105 10000000
Acum scriem 0, punem un punct zecimal după el și scriem numărul de la numărător. Obținem fracția zecimală 0, 0000105.
Fracțiile luate în considerare în toate exemplele sunt fracții proprii obișnuite. Dar cum se transformă o fracție comună improprie într-o zecimală? Să spunem imediat că nu este nevoie de pregătire cu adăugarea de zerouri pentru astfel de fracții. Să formulăm o regulă.
Regula pentru conversia fracțiilor improprie obișnuite în zecimale
- Notăm numărul care se află la numărător.
- Cu virgulă zecimală, separăm în dreapta atâtea cifre câte zerouri sunt în numitorul fracției ordinare inițiale.
Mai jos este un exemplu de utilizare a acestei reguli.
Exemplul 3. Conversia fracțiilor obișnuite în zecimale
Să transformăm fracția 56888038009 100000 dintr-o neregulată obișnuită la o zecimală.
Mai întâi, scrieți numărul de la numărător:
Acum, în dreapta, separăm cinci cifre cu un punct zecimal (numărul de zerouri din numitor este cinci). Primim:
Următoarea întrebare care apare în mod natural este cum să convertiți un număr mixt într-o fracție zecimală dacă numitorul părții sale fracționale este numărul 10, 100, 1000 etc. Pentru a converti într-o fracție zecimală a unui astfel de număr, puteți folosi următoarea regulă.
Regula pentru conversia numerelor mixte în zecimale
- Pregătim partea fracțională a numărului, dacă este necesar.
- Notăm partea întreagă a numărului inițial și punem o virgulă după ea.
- Scriem numărul de la numărătorul părții fracționale împreună cu zerourile anexate.
Să ne uităm la un exemplu.
Exemplul 4. Conversia numerelor mixte în zecimale
Convertiți numărul mixt 23 17 10000 în zecimal.
În partea fracționară, avem expresia 17 10000. Să o pregătim și să mai adăugăm două zerouri în stânga numărătorului. Primim: 0017 10000 .
Acum notăm partea întreagă a numărului și punem o virgulă după ea: 23,. .
După virgulă, scriem numărul de la numărător împreună cu zerouri. Obtinem rezultatul:
23 17 10000 = 23 , 0017
Conversia fracțiilor ordinare în fracții periodice finite și infinite
Desigur, puteți converti în fracții zecimale și fracții obișnuite cu un numitor diferit de 10, 100, 1000 etc.
Adesea, o fracție poate fi redusă cu ușurință la un nou numitor și apoi utilizați regula prezentată în primul paragraf al acestui articol. De exemplu, este suficient să înmulțim numărătorul și numitorul fracției 25 cu 2 și obținem fracția 410, care se reduce ușor la forma zecimală 0,4.
Cu toate acestea, această metodă de conversie a unei fracții obișnuite într-o zecimală nu poate fi întotdeauna utilizată. Mai jos vom lua în considerare ce să facem dacă este imposibil să aplicați metoda luată în considerare.
Fundamental Metoda noua conversia unei fracții obișnuite într-o zecimală se reduce la împărțirea numărătorului la numitor la o coloană. Această operație este foarte asemănătoare cu împărțirea numerelor naturale pe o coloană, dar are propriile sale caracteristici.
La împărțire, numărătorul este reprezentat ca o fracție zecimală - o virgulă este plasată în dreapta ultimei cifre a numărătorului și se adaugă zerouri. În câtul rezultat, punctul zecimal este plasat atunci când se termină împărțirea părții întregi a numărătorului. Cum funcționează exact această metodă va deveni clar după luarea în considerare a exemplelor.
Exemplul 5. Conversia fracțiilor obișnuite în zecimale
Să traducem fracția ordinară 621 4 în formă zecimală.
Să reprezentăm numărul 621 de la numărător ca o fracție zecimală, adăugând câteva zerouri după virgulă. 621 = 621 00
Acum vom împărți coloana 621, 00 la 4. Primii trei pași de împărțire vor fi la fel ca atunci când împărțim numerele naturale și obținem.
Când am ajuns la virgulă zecimală în dividend, iar restul este diferit de zero, punem punctul zecimal în coeficient și continuăm să împărțim, fără să mai acordăm atenție virgulei din dividend.
Ca rezultat, obținem fracția zecimală 155 , 25 , care este rezultatul inversării fracției ordinare 621 4
621 4 = 155 , 25
Luați în considerare rezolvarea unui alt exemplu pentru a repara materialul.
Exemplul 6. Conversia fracțiilor obișnuite în zecimale
Să inversăm fracția ordinară 21 800 .
Pentru a face acest lucru, împărțiți fracția 21.000 la 800 într-o coloană. Împărțirea părții întregi se va încheia la primul pas, așa că imediat după aceasta punem o virgulă zecimală în cât și continuăm împărțirea, ignorând virgula din dividend până când obținem restul egal cu zero.
Ca rezultat, am obținut: 21 800 = 0. 02625 .
Dar ce se întâmplă dacă, la împărțire, nu obținem niciodată un rest de 0. În astfel de cazuri, împărțirea poate fi continuată la nesfârșit. Cu toate acestea, începând de la un anumit pas, reziduurile se vor repeta periodic. În consecință, numerele din coeficient vor fi de asemenea repetate. Aceasta înseamnă că o fracție obișnuită este tradusă într-o fracție periodică infinită zecimală. Să ilustrăm ceea ce s-a spus cu un exemplu.
Exemplul 7. Conversia fracțiilor obișnuite în zecimale
Să transformăm fracția obișnuită 1944 într-o zecimală. Pentru a face acest lucru, efectuăm împărțirea pe o coloană.
Vedem că la împărțire, resturile 8 și 36 se repetă. În același timp, numerele 1 și 8 se repetă în coeficient. Aceasta este perioada în zecimală. Când scrieți, aceste numere sunt luate între paranteze.
Astfel, fracția ordinară originală este tradusă într-o fracție zecimală periodică infinită.
19 44 = 0 , 43 (18) .
Să avem o fracție ordinară ireductibilă. Ce formă va lua? Care fracții ordinare sunt convertite în zecimale finite și care în zecimale periodice infinite?
În primul rând, să presupunem că, dacă o fracție poate fi redusă la unul dintre numitorii 10, 100, 1000 .., atunci va arăta ca o fracție zecimală finală. Pentru ca o fracție să fie redusă la unul dintre acești numitori, numitorul ei trebuie să fie un divizor al cel puțin unuia dintre numerele 10, 100, 1000 etc. Din regulile de descompunere a numerelor în factori primi rezultă că divizorul numerelor 10, 100, 1000 etc. atunci când este descompus în factori primi, ar trebui să conțină numai numerele 2 și 5.
Să rezumăm ce s-a spus:
- O fracție obișnuită poate fi redusă la forma unei fracții zecimale finale dacă numitorul ei poate fi descompus în factori primi de 2 și 5.
- Dacă, pe lângă numerele 2 și 5, există și altele în extinderea numitorului numere prime, fracția se reduce la forma unei fracții zecimale periodice infinite.
Să luăm un exemplu.
Exemplul 8. Conversia fracțiilor obișnuite în zecimale
Care dintre fracțiile date 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 se transformă într-o fracție zecimală finală și care - doar într-una periodică. Vom da un răspuns la această întrebare fără a converti direct o fracție obișnuită într-o zecimală.
Fracția 47 20 , după cum puteți vedea cu ușurință, prin înmulțirea numărătorului și numitorului cu 5 se reduce la un nou numitor 100 .
4720 = 235100. De aici concluzionăm că această fracție este tradusă într-o fracție zecimală finală.
Factorizarea numitorului fracției 7 12 dă 12 = 2 2 3 . Deoarece factorul simplu 3 este diferit de 2 și de 5, această fracție nu poate fi reprezentată ca o fracție zecimală finită, ci va avea forma unei fracții periodice infinite.
Fracția 21 56, în primul rând, trebuie să reduceți. După reducerea cu 7, obținem o fracție ireductibilă 3 8 , a cărei extindere a numitorului în factori dă 8 = 2 · 2 · 2 . Prin urmare, este o zecimală finală.
În cazul fracției 31 17, descompunerea în factori a numitorului este însuși numărul prim 17. În consecință, această fracție poate fi convertită într-o fracție zecimală periodică infinită.
O fracție obișnuită nu poate fi convertită într-o fracție zecimală infinită și nerepetabilă
Mai sus, am vorbit doar despre fracții periodice finite și infinite. Dar poate orice fracție obișnuită să fie convertită într-o fracție neperiodică infinită?
Noi răspundem: nu!
Important!
Când convertiți o fracție infinită într-o zecimală, obțineți fie o fracție zecimală finită, fie o fracție zecimală periodică infinită.
Restul unei diviziuni este întotdeauna mai mic decât divizorul. Cu alte cuvinte, conform teoremei de divizibilitate, dacă împărțim unele numar natural cu numărul q, atunci restul diviziunii nu poate fi în niciun caz mai mare decât q-1. După încheierea împărțirii, este posibilă una dintre următoarele situații:
- Obținem un rest de 0 și aici se termină împărțirea.
- Obținem un rest, care se repetă în timpul împărțirii ulterioare, ca urmare avem o fracție periodică infinită.
Nu pot exista alte opțiuni atunci când convertiți o fracție obișnuită într-o zecimală. Să mai spunem că lungimea perioadei (numărul de cifre) într-o fracție periodică infinită este întotdeauna mai mică decât numărul de cifre din numitorul fracției ordinare corespunzătoare.
Convertiți zecimale în fracții comune
Acum este timpul să luăm în considerare procesul invers de conversie a unei fracții zecimale într-una obișnuită. Să formulăm o regulă de traducere care să includă trei etape. Cum se transformă o zecimală într-o fracție comună?
Regula pentru conversia fracțiilor zecimale în fracții comune
- În numărător scriem numărul din fracția zecimală inițială, eliminând virgula și toate zerourile din stânga, dacă există.
- În numitor scriem unul și după el atâtea zerouri câte cifre sunt în fracția zecimală originală după virgulă.
- Dacă este necesar, reduceți fracția obișnuită rezultată.
Luați în considerare aplicarea acestei reguli cu exemple.
Exemplul 8. Conversia zecimale în obișnuit
Să reprezentăm numărul 3, 025 ca o fracție obișnuită.
- La numărător scriem însăși fracția zecimală, eliminând virgula: 3025.
- În numitor scriem unul, iar după el trei zerouri - adică câte cifre sunt conținute în fracția inițială după virgulă: 3025 1000.
- Fracția rezultată 3025 1000 poate fi redusă cu 25 , ca rezultat obținem: 3025 1000 = 121 40 .
Exemplul 9. Conversia zecimale în obișnuit
Să convertim fracția 0, 0017 din zecimală în ordinară.
- La numărător scriem fracția 0, 0017, eliminând virgula și zerourile din stânga. Obțineți 17.
- Scriem unul la numitor, iar după el scriem patru zerouri: 17 10000. Această fracție este ireductibilă.
Dacă există o parte întreagă într-o fracție zecimală, atunci o astfel de fracție poate fi convertită imediat într-un număr mixt. Cum să o facă?
Să mai formulăm o regulă.
Regula pentru conversia fracțiilor zecimale în numere mixte.
- Numărul până la virgulă zecimală este scris ca parte întreagă a numărului mixt.
- În numărător, scriem numărul care se află în fracția după virgulă zecimală, eliminând zerourile din stânga, dacă există.
- La numitorul părții fracționale, adunăm unul și atâtea zerouri câte cifre sunt în partea fracțională după virgulă.
Să ne uităm la un exemplu
Exemplul 10: Convertirea unei zecimale într-un număr mixt
Să reprezentăm fracția 155, 06005 ca număr mixt.
- Scriem numărul 155 ca parte întreagă.
- La numărător scriem numerele după virgulă zecimală, aruncând zero.
- La numitor scriem unu și cinci zerouri
Predarea unui număr mixt: 155 6005 100000
Partea fracționată poate fi redusă cu 5 . Reducem și obținem rezultatul final:
155 , 06005 = 155 1201 20000
Conversia infinitelor zecimale recurente în fracții comune
Să ne uităm la exemple despre cum să traducem fracțiile zecimale periodice în fracții obișnuite. Înainte de a începe, să clarificăm: orice fracție zecimală periodică poate fi convertită într-una obișnuită.
Cel mai simplu caz este că perioada fracției este zero. O fracție periodică cu o perioadă de zero este înlocuită cu o fracție zecimală finită, iar procesul de inversare a unei astfel de fracții se reduce la inversarea unei fracții zecimale finale.
Exemplul 11. Conversia unei zecimale periodice într-o fracție comună
Să inversăm fracția periodică 3, 75 (0) .
Lăsând zerourile din dreapta, obținem fracția zecimală finală 3, 75.
Transformând această fracție într-una obișnuită conform algoritmului discutat în paragrafele precedente, obținem:
3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .
Ce se întâmplă dacă perioada unei fracții este diferită de zero? Partea periodică trebuie considerată ca suma membrilor unei progresii geometrice, care este în scădere. Să explicăm asta cu un exemplu:
0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .
Există o formulă pentru suma termenilor unei progresii geometrice descrescătoare infinite. Dacă primul termen al progresiei este b și numitorul lui q este astfel încât 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .
Să ne uităm la câteva exemple folosind această formulă.
Exemplul 12. Conversia unei zecimale periodice într-o fracție comună
Să presupunem că avem o fracție periodică 0, (8) și trebuie să o transformăm într-una obișnuită.
0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .
Aici avem o scădere infinită progresie geometrică cu primul membru 0 , 8 și numitorul 0 , 1 .
Să aplicăm formula:
0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9
Aceasta este fracția ordinară dorită.
Pentru a consolida materialul, luați în considerare un alt exemplu.
Exemplul 13. Transformarea unei zecimale periodice într-o zecimală obișnuită
Inversați fracția 0 , 43 (18) .
Mai întâi, scriem fracția ca o sumă infinită:
0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)
Luați în considerare termenii dintre paranteze. Această progresie geometrică poate fi reprezentată după cum urmează:
0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .
Adăugăm fracția rezultată la fracția finală 0, 43 \u003d 43 100 și obținem rezultatul:
0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900
După adăugarea acestor fracții și reducerea, obținem răspunsul final:
0 , 43 (18) = 19 44
La sfârșitul acestui articol, vom spune că fracțiile zecimale infinite neperiodice nu pot fi convertite în fracții obișnuite.
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Dintre multele fracții găsite în aritmetică, cele cu 10, 100, 1000 la numitor merită o atenție specială - în general, orice putere a lui zece. Aceste fracții au un nume și o notație specială.
O zecimală este orice număr al cărui numitor este o putere a zece.
Exemple cu zecimale:
De ce a fost necesar să se izoleze astfel de fracții? De ce au nevoie de propriul formular de înscriere? Există cel puțin trei motive pentru aceasta:
- zecimale mult mai usor de comparat. Amintiți-vă: pentru a compara fracțiile obișnuite, trebuie să le scădeți una de la alta și, în special, să aduceți fracțiile la un numitor comun. În fracțiile zecimale, nimic din toate acestea nu este necesar;
- Reducerea calculelor. Decimalele se adună și se înmulțesc după propriile reguli, iar cu puțină practică vei putea lucra cu ele mult mai repede decât cu cele obișnuite;
- Ușurință de înregistrare. Spre deosebire de fracțiile obișnuite, zecimalele sunt scrise pe o singură linie fără pierderea clarității.
Majoritatea calculatoarelor dau răspunsuri și în zecimale. În unele cazuri, un format de înregistrare diferit poate cauza probleme. De exemplu, ce se întâmplă dacă cereți o schimbare în cantitate de 2/3 de ruble într-un magazin :)
Reguli pentru scrierea fracțiilor zecimale
Principalul avantaj al fracțiilor zecimale este o notație convenabilă și vizuală. Și anume:
Notația zecimală este o formă de notație zecimală în care partea întreagă este separată de partea fracțională folosind un punct obișnuit sau o virgulă. În acest caz, separatorul în sine (punct sau virgulă) se numește punct zecimal.
De exemplu, 0,3 (a se citi: „număr întreg, 3 zecimi”); 7,25 (7 numere întregi, 25 sutimi); 3,049 (3 numere întregi, 49 miimi). Toate exemplele sunt preluate din definiția anterioară.
În scris, virgula este de obicei folosită ca punct zecimal. Aici și mai jos, virgula va fi folosită și pe tot site-ul.
Pentru a scrie o fracție zecimală arbitrară în forma specificată, trebuie să urmați trei pași simpli:
- Scrieți separat numărătorul;
- Deplasați punctul zecimal la stânga cu atâtea locuri câte zerouri există în numitor. Să presupunem că inițial punctul zecimal este la dreapta tuturor cifrelor;
- Dacă punctul zecimal s-a deplasat, iar după ea există zerouri la sfârșitul înregistrării, acestea trebuie tăiate.
Se întâmplă ca în pasul al doilea numărătorul să nu aibă suficiente cifre pentru a finaliza schimbarea. În acest caz, pozițiile lipsă sunt umplute cu zerouri. Și, în general, orice număr de zerouri poate fi atribuit la stânga oricărui număr fără a dăuna sănătății. Este urât, dar uneori util.
La prima vedere, acest algoritm poate părea destul de complicat. De fapt, totul este foarte, foarte simplu - trebuie doar să exersezi puțin. Aruncă o privire la exemple:
Sarcină. Pentru fiecare fracție, indicați notația sa zecimală:
Numătorul primei fracții: 73. Deplasăm punctul zecimal cu un semn (pentru că numitorul este 10) - obținem 7,3.
Numătorul celei de-a doua fracții: 9. Deplasăm punctul zecimal cu două cifre (pentru că numitorul este 100) - obținem 0,09. A trebuit să adaug un zero după virgulă zecimală și încă unul înaintea ei, pentru a nu lăsa o notație ciudată precum „.09”.
Numătorul celei de-a treia fracții: 10029. Deplasăm punctul zecimal cu trei cifre (pentru că numitorul este 1000) - obținem 10,029.
Numătorul ultimei fracții: 10500. Din nou deplasăm punctul cu trei cifre - obținem 10.500. Există zerouri suplimentare la sfârșitul numărului. Le tăiem - obținem 10,5.
Fiți atenți la ultimele două exemple: numerele 10.029 și 10.5. Conform regulilor, zerourile din dreapta trebuie tăiate, așa cum se face în ultimul exemplu. Cu toate acestea, în niciun caz nu trebuie să faceți acest lucru cu zerouri care sunt în interiorul numărului (care sunt înconjurate de alte cifre). De aceea am primit 10.029 și 10.5, și nu 1.29 și 1.5.
Deci, ne-am dat seama de definiția și forma de înregistrare a fracțiilor zecimale. Acum să aflăm cum să convertim fracțiile obișnuite în zecimale - și invers.
Trecerea de la fracții la zecimale
Se consideră o fracție numerică simplă de forma a/b. Puteți folosi proprietatea de bază a unei fracții și înmulțiți numărătorul și numitorul cu un astfel de număr încât să obțineți o putere de zece mai jos. Dar înainte de a face acest lucru, vă rugăm să citiți următoarele:
Există numitori care nu se reduc la puterea lui zece. Învățați să recunoașteți astfel de fracții, deoarece nu se poate lucra cu ele conform algoritmului descris mai jos.
Asta este. Ei bine, cum să înțelegeți dacă numitorul este redus la puterea lui zece sau nu?
Răspunsul este simplu: factorizați numitorul în factori primi. Dacă doar factorii 2 și 5 sunt prezenți în expansiune, acest număr poate fi redus la puterea lui zece. Dacă există alte numere (3, 7, 11 - orice), puteți uita de gradul de zece.
Sarcină. Verificați dacă fracțiile specificate pot fi reprezentate ca zecimale:
Scriem și factorizăm numitorii acestor fracții:
20 \u003d 4 5 \u003d 2 2 5 - sunt prezente doar numerele 2 și 5. Prin urmare, fracția poate fi reprezentată ca zecimală.
12 \u003d 4 3 \u003d 2 2 3 - există un factor „interzis” 3. Fracția nu poate fi reprezentată ca zecimală.
640 \u003d 8 8 10 \u003d 2 3 2 3 2 5 \u003d 2 7 5. Totul este în ordine: nu există nimic în afară de numerele 2 și 5. O fracție este reprezentată ca zecimală.
48 \u003d 6 8 \u003d 2 3 2 3 \u003d 2 4 3. Factorul 3 a „apărut” din nou. Nu poate fi reprezentat ca o fracție zecimală.
Deci, am descoperit numitorul - acum vom lua în considerare întregul algoritm pentru trecerea la fracții zecimale:
- Factorizați numitorul fracției originale și asigurați-vă că este reprezentabilă în general ca zecimală. Acestea. verificați ca în expansiune să fie prezenți doar factorii 2 și 5. În caz contrar, algoritmul nu funcționează;
- Numărați câte doi și cinci sunt prezenți în descompunere (nu vor mai fi alte numere acolo, vă amintiți?). Alegeți un astfel de multiplicator suplimentar, astfel încât numărul de doi și cinci să fie egal.
- De fapt, înmulțiți numărătorul și numitorul fracției originale cu acest factor - obținem reprezentarea dorită, adică. numitorul va fi o putere de zece.
Desigur, factorul suplimentar va fi, de asemenea, descompus doar în doi și cinci. În același timp, pentru a nu vă complica viața, ar trebui să alegeți cel mai mic astfel de factor dintre toți cei posibili.
Și încă ceva: dacă există o parte întreagă în fracția originală, asigurați-vă că convertiți această fracție într-una necorespunzătoare - și abia apoi aplicați algoritmul descris.
Sarcină. Convertiți aceste numere în zecimale:
Să factorizăm numitorul primei fracții: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Prin urmare, o fracție poate fi reprezentată ca zecimală. Există doi doi și nu cinci în expansiune, deci factorul suplimentar este 5 2 = 25. Numărul de doi și cinci va fi egal cu acesta. Avem:
Acum să ne ocupăm de a doua fracție. Pentru a face acest lucru, rețineți că 24 \u003d 3 8 \u003d 3 2 3 - există un triplu în expansiune, astfel încât fracția nu poate fi reprezentată ca zecimală.
Ultimele două fracții au numitori 5 (un număr prim) și respectiv 20 = 4 5 = 2 2 5 - doar doi și cinci sunt prezenți peste tot. În același timp, în primul caz, „pentru fericirea completă”, nu există suficient multiplicator 2, iar în al doilea - 5. Obținem:
Trecerea de la zecimale la obișnuit
Conversia inversă - de la notație zecimală la normală - este mult mai ușoară. Nu există restricții și verificări speciale, așa că puteți converti întotdeauna o fracție zecimală într-una clasică „cu două etaje”.
Algoritmul de traducere este următorul:
- Tăiați toate zerourile din partea stângă a zecimalei, precum și punctul zecimal. Acesta va fi numărătorul fracției dorite. Principalul lucru - nu exagerați și nu tăiați zerourile interne înconjurate de alte numere;
- Calculați câte cifre sunt în fracția zecimală inițială după virgulă. Luați numărul 1 și adăugați câte zerouri la dreapta ați numărat caracterele. Acesta va fi numitorul;
- De fapt, notează fracția al cărei numărător și numitor tocmai am găsit. Reduceți dacă este posibil. Dacă a existat o parte întreagă în fracția originală, acum vom obține o fracție necorespunzătoare, ceea ce este foarte convenabil pentru calcule ulterioare.
Sarcină. Convertiți zecimale în ordinare: 0,008; 3,107; 2,25; 7,2008.
Tăiem zerourile din stânga și virgulele - obținem următoarele numere (acestea vor fi numărători): 8; 3107; 225; 72008.
În prima și a doua fracție după virgulă există 3 zecimale, în a doua - 2, iar în a treia - până la 4 zecimale. Obținem numitorii: 1000; 1000; 100; 10000.
În cele din urmă, să combinăm numărătorii și numitorii în fracții obișnuite:
După cum se poate vedea din exemple, fracția rezultată poate fi foarte des redusă. Încă o dată, observ că orice fracție zecimală poate fi reprezentată ca una obișnuită. Transformarea inversă nu este întotdeauna posibilă.
Vom dedica acest material unui subiect atât de important ca fracțiile zecimale. În primul rând, să definim definițiile de bază, să dăm exemple și să ne oprim asupra regulilor de notație zecimală, precum și asupra cifrelor fracțiilor zecimale. În continuare, evidențiem principalele tipuri: fracții finite și infinite, periodice și neperiodice. În partea finală, vom arăta cum sunt situate punctele corespunzătoare numerelor fracționale pe axa de coordonate.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ce este notația zecimală pentru numerele fracționale
Așa-numita notație zecimală pentru numerele fracționale poate fi folosită atât pentru numerele naturale, cât și pentru numerele fracționale. Arată ca un set de două sau mai multe numere cu o virgulă între ele.
Punctul zecimal este folosit pentru a separa partea întreagă de partea fracțională. De regulă, ultima cifră a unei zecimale nu este niciodată zero, cu excepția cazului în care punctul zecimal este imediat după primul zero.
Care sunt câteva exemple de numere fracționale în notație zecimală? Poate fi 34 , 21 , 0 , 35035044 , 0 , 0001 , 11 231 552 , 9 etc.
În unele manuale, puteți găsi utilizarea unui punct în loc de virgulă (5. 67, 6789. 1011 etc.) Această opțiune este considerată echivalentă, dar este mai tipică pentru sursele în limba engleză.
Definiţia decimals
Pe baza conceptului de notație zecimal de mai sus, putem formula următoarea definiție fracții zecimale:
Definiția 1
Decimale sunt numere fracționale în notație zecimală.
De ce trebuie să scriem fracții în această formă? Ne oferă câteva avantaje față de cele obișnuite, de exemplu, o notație mai compactă, mai ales în cazurile în care numitorul este 1000, 100, 10 etc. sau un număr mixt. De exemplu, în loc de 6 10 putem specifica 0 , 6 , în loc de 25 10000 - 0 , 0023 , în loc de 512 3 100 - 512 , 03 .
Cum să reprezinte corect fracțiile obișnuite cu zeci, sute, mii la numitor sub formă zecimală va fi descris într-un material separat.
Cum să citești corect zecimale
Există câteva reguli pentru citirea înregistrărilor zecimale. Deci, acele fracții zecimale care corespund echivalentelor lor ordinare corecte se citesc aproape la fel, dar cu adăugarea cuvintelor „zero zecimi” la început. Deci, intrarea 0 , 14 , care corespunde cu 14 100 , este citită ca „zero virgulă paisprezece sutimi”.
Dacă o fracție zecimală poate fi asociată cu un număr mixt, atunci se citește în același mod ca acest număr. Deci, dacă avem o fracție 56, 002, care corespunde cu 56 2 1000, citim o astfel de intrare ca „cincizeci și șase virgulă două miimi”.
Valoarea unei cifre într-o notație zecimală depinde de locul în care se află (la fel ca în cazul numerelor naturale). Deci, în fracția zecimală 0, 7, șapte este zecimi, în 0, 0007 este zece miimi, iar în fracția 70.000, 345 înseamnă șapte zeci de mii de unități întregi. Astfel, în fracțiile zecimale, există și conceptul de cifră numerică.
Numele cifrelor situate înaintea virgulei sunt similare cu cele care există în numere naturale. Numele celor care se află după sunt prezentate clar în tabel:
Să luăm un exemplu.
Exemplul 1
Avem zecimala 43.098. Are un patru pe locul zecilor, un trei pe locul unităților, zero pe locul zece, 9 pe locul sute și 8 pe locul mie.
Se obișnuiește să se distingă cifrele fracțiilor zecimale după vechime. Dacă trecem prin numere de la stânga la dreapta, atunci vom trece de la cifrele mari la cele mai mici. Se dovedește că sutele sunt mai vechi decât zeci, iar milionimile sunt mai tinere decât sutimile. Dacă luăm acea fracție zecimală finală, pe care am citat-o ca exemplu mai sus, atunci în ea cea mai mare, sau cea mai mare, va fi cifra sutelor, iar cea mai mică, sau cea mai mică, va fi cifra de 10 miimi.
Orice fracție zecimală poate fi descompusă în cifre separate, adică reprezentată ca o sumă. Această operație se realizează în același mod ca și pentru numerele naturale.
Exemplul 2
Să încercăm să extindem fracția 56, 0455 în cifre.
Vom fi în stare să:
56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005
Dacă ne amintim proprietățile adunării, putem reprezenta această fracție sub alte forme, de exemplu, ca suma 56 + 0, 0455 sau 56, 0055 + 0, 4 etc.
Ce sunt zecimalele finale
Toate fracțiile despre care am vorbit mai sus sunt zecimale finale. Aceasta înseamnă că numărul de cifre după virgulă zecimală este finit. Să obținem definiția:
Definiția 1
zecimalele finale sunt un tip de zecimală care are un număr finit de cifre după virgulă.
Exemple de astfel de fracții pot fi 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231032, 49 etc.
Oricare dintre aceste fracții poate fi convertită fie într-un număr mixt (dacă valoarea părții lor fracționale este diferită de zero), fie într-o fracție obișnuită (dacă partea întreagă este zero). Am dedicat un material separat modului în care se face acest lucru. Să subliniem doar câteva exemple aici: de exemplu, putem aduce fracția zecimală finală 5 , 63 la forma 5 63 100 , iar 0 , 2 corespunde lui 2 10 (sau orice altă fracție egală cu aceasta, de exemplu, 4 20 sau 1 5 .)
Dar procesul invers, adică. scrierea unei fracții obișnuite în formă zecimală poate să nu fie întotdeauna efectuată. Deci, 5 13 nu poate fi înlocuit cu o fracție egală cu un numitor de 100, 10 etc., ceea ce înseamnă că fracția zecimală finală nu va funcționa din ea.
Principalele tipuri de fracții zecimale infinite: fracții periodice și neperiodice
Am subliniat mai sus că fracțiile finite sunt numite astfel deoarece au un număr finit de cifre după virgulă. Cu toate acestea, poate fi infinit, caz în care fracțiile în sine vor fi numite și infinite.
Definiția 2
Decimale infinite sunt cele care au un număr infinit de cifre după virgulă.
Evident, astfel de numere pur și simplu nu pot fi scrise complet, așa că indicăm doar o parte din ele și apoi punem puncte suspensive. Acest semn indică o continuare infinită a succesiunii de zecimale. Exemple de zecimale infinite ar fi 0 , 143346732 ... , 3 , 1415989032 ... , 153 , 0245005 ... , 2 , 66666666666 ... , 69 , 748768152 ... etc.
În „coada” unei astfel de fracțiuni, pot exista nu numai secvențe de numere aparent aleatorii, ci și o repetare constantă a aceluiași caracter sau grup de caractere. Fracțiile cu alternanță după virgulă zecimală se numesc periodice.
Definiția 3
Fracțiile zecimale periodice sunt astfel de fracții zecimale infinite în care o cifră sau un grup de mai multe cifre se repetă după virgulă. Partea care se repetă se numește perioada fracției.
De exemplu, pentru fracția 3, 444444 ... . perioada va fi numărul 4, iar pentru 76, 134134134134 ... - grupa 134.
Care este numărul minim de caractere permis într-o fracție periodică? Pentru fracțiile periodice, va fi suficient să scrieți întreaga perioadă o dată în paranteze. Deci, fracția este 3, 444444 ... . va fi corect să scrieți ca 3, (4) și 76, 134134134134 ... - ca 76, (134) .
În general, intrările cu mai multe puncte între paranteze vor avea exact aceeași semnificație: de exemplu, fracția periodică 0,677777 este aceeași cu 0,6 (7) și 0,6 (77) etc. Sunt permise și intrări precum 0 , 67777 (7) , 0 , 67 (7777) și altele.
Pentru a evita erorile, introducem uniformitatea notației. Să fim de acord să scriem o singură perioadă (cea mai scurtă secvență de cifre posibilă), care este cea mai apropiată de punctul zecimal și să o închidem în paranteze.
Adică, pentru fracția de mai sus, vom considera intrarea 0, 6 (7) drept principală și, de exemplu, în cazul fracției 8, 9134343434, vom scrie 8, 91 (34) .
Dacă numitorul unei fracții obișnuite conține factori primi care nu sunt egali cu 5 și 2, atunci când este convertit în notație zecimală, se vor obține fracții infinite din aceștia.
În principiu, putem scrie orice fracție finită ca una periodică. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să adăugăm un număr infinit de zerouri la dreapta. Cum arată pe înregistrare? Să presupunem că avem o fracție finală 45, 32. În formă periodică, va arăta ca 45 , 32 (0) . Această acțiune este posibilă deoarece adăugarea zerourilor la dreapta oricărei fracții zecimale ne oferă ca rezultat o fracție egală cu aceasta.
Separat, ar trebui să ne oprim asupra fracțiilor periodice cu o perioadă de 9, de exemplu, 4, 89 (9), 31, 6 (9) . Ele sunt o notație alternativă pentru fracții similare cu o perioadă de 0, așa că sunt adesea înlocuite atunci când se scriu cu fracții cu o perioadă zero. În același timp, se adaugă unul la valoarea cifrei următoare, iar (0) este indicat în paranteze. Egalitatea numerelor rezultate este ușor de verificat prezentându-le ca fracții obișnuite.
De exemplu, fracția 8, 31 (9) poate fi înlocuită cu fracția corespunzătoare 8, 32 (0). Sau 4 , (9) = 5 , (0) = 5 .
Fracțiile periodice zecimale infinite se referă la numere rationale. Cu alte cuvinte, orice fracție periodică poate fi reprezentată ca o fracție obișnuită și invers.
Există, de asemenea, fracții în care nu există o secvență care se repetă la infinit după virgulă. În acest caz, ele se numesc fracții neperiodice.
Definiția 4
Fracțiile zecimale neperiodice includ acele fracții zecimale infinite care nu conțin punct după virgulă, adică. grup repetat de numere.
Uneori, fracțiile neperiodice arată foarte asemănătoare cu cele periodice. De exemplu, 9 , 03003000300003 ... la prima vedere pare să aibă o perioadă, dar o analiză detaliată a zecimalei confirmă că aceasta este încă o fracție neperiodică. Trebuie să fii foarte atent cu astfel de numere.
Fracțiile neperiodice sunt numere iraționale. Ele nu sunt convertite în fracții obișnuite.
Operații de bază cu zecimale
Cu fracții zecimale pot fi efectuate următoarele operații: comparare, scădere, adunare, împărțire și înmulțire. Să analizăm fiecare dintre ele separat.
Compararea zecimalelor poate fi redusă la compararea fracțiilor obișnuite care corespund zecimalelor originale. Dar fracțiile neperiodice infinite nu pot fi reduse la această formă, iar conversia fracțiilor zecimale în cele obișnuite este adesea o sarcină laborioasă. Cum să efectuăm rapid o acțiune de comparație dacă trebuie să o facem în cursul rezolvării problemei? Este convenabil să comparăm fracțiile zecimale după cifre în același mod în care comparăm numerele naturale. Vom dedica un articol separat acestei metode.
Pentru a adăuga o fracție zecimală la alta, este convenabil să folosiți metoda adunării coloanelor, ca și în cazul numerelor naturale. Pentru a adăuga fracții zecimale periodice, trebuie mai întâi să le înlocuiți cu unele obișnuite și să numărați conform schemei standard. Dacă, conform condițiilor problemei, trebuie să adăugăm fracții neperiodice infinite, atunci trebuie mai întâi să le rotunjim la o anumită cifră, apoi să le adunăm. Cu cât cifra la care rotunjim este mai mică, cu atât va fi mai mare acuratețea calculului. Pentru scăderea, înmulțirea și împărțirea fracțiilor infinite este necesară și rotunjirea preliminară.
Găsirea diferenței fracțiilor zecimale este opusul adunării. De fapt, cu ajutorul scăderii, putem găsi un număr a cărui sumă cu fracția scăzută ne va da pe cea redusă. Vom vorbi despre asta mai detaliat într-un articol separat.
Înmulțirea fracțiilor zecimale se face în același mod ca și pentru numerele naturale. Metoda de calcul prin coloană este, de asemenea, potrivită pentru aceasta. Reducem din nou această acțiune cu fracții periodice la înmulțirea fracțiilor ordinare după regulile deja studiate. Fracțiile infinite, după cum ne amintim, trebuie să fie rotunjite înainte de numărare.
Procesul de împărțire a zecimalelor este inversul procesului de înmulțire. Când rezolvăm probleme, folosim și numărătoarea coloanelor.
Puteți seta o corespondență exactă între zecimala finală și un punct de pe axa de coordonate. Să ne dăm seama cum să marchem un punct pe axă care va corespunde exact cu fracția zecimală necesară.
Am studiat deja cum să construim puncte corespunzătoare fracțiilor obișnuite, iar fracțiile zecimale pot fi reduse la această formă. De exemplu, o fracție obișnuită 14 10 este aceeași cu 1 , 4 , astfel încât punctul corespunzător acesteia va fi îndepărtat de la origine în direcția pozitivă exact la aceeași distanță:
Puteți face fără a înlocui fracția zecimală cu una obișnuită și luați ca bază metoda de extindere a cifrelor. Deci, dacă trebuie să marchem un punct a cărui coordonată va fi egală cu 15 , 4008 , atunci vom reprezenta mai întâi acest număr ca o sumă 15 + 0 , 4 + , 0008 . Pentru început, lăsăm deoparte 15 segmente întregi de unitate în direcția pozitivă de la origine, apoi 4 zecimi dintr-un segment și apoi 8 zecimii dintr-un segment. Ca rezultat, vom obține un punct de coordonate, care corespunde fracției 15, 4008.
Pentru o fracție zecimală infinită, este mai bine să utilizați această metodă specială, deoarece vă permite să vă apropiați de punctul dorit cât de aproape doriți. În unele cazuri, este posibil să construiți o corespondență exactă a unei fracții infinite pe axa de coordonate: de exemplu, 2 = 1, 41421. . . , iar această fracție poate fi asociată cu un punct de pe raza de coordonate, îndepărtat de 0 prin lungimea diagonalei pătratului, a cărui latură va fi egală cu un segment unitar.
Dacă nu găsim un punct pe axă, ci o fracție zecimală corespunzătoare acestuia, atunci această acțiune se numește măsurarea zecimală a segmentului. Să vedem cum să o facem corect.
Să presupunem că trebuie să ajungem de la zero la un punct dat pe axa de coordonate (sau să ne apropiem cât mai mult posibil în cazul unei fracții infinite). Pentru a face acest lucru, lăsăm deoparte segmentele de unitate de la originea coordonatelor până ajungem la punctul dorit. După segmente întregi, dacă este necesar, măsurăm zecimi, sutimi și părți mai mici, astfel încât corespondența să fie cât mai precisă. Ca rezultat, am obținut o fracție zecimală, care îi corespunde punct dat pe axa de coordonate.
Mai sus am dat o poză cu un punct M. Privește-l din nou: pentru a ajunge în acest punct, trebuie să măsurați un segment de unitate de la zero și patru zecimi din acesta, deoarece acest punct corespunde fracțiunii zecimale 1, 4.
Dacă nu putem atinge un punct în procesul de măsurare zecimală, atunci înseamnă că îi corespunde o fracție zecimală infinită.
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
În acest articol, vom înțelege ce este o fracție zecimală, ce caracteristici și proprietăți are. Merge! 🙂
Fracția zecimală este un caz special al fracțiilor ordinare (în care numitorul este un multiplu al lui 10).
Definiție
Decimalele sunt fracții ai căror numitori sunt numere formate din unu și un anumit număr de zerouri care le urmează. Adică, acestea sunt fracții cu numitorul 10, 100, 1000 etc. În caz contrar, o fracție zecimală poate fi caracterizată ca o fracție cu numitorul lui 10 sau una dintre puterile lui zece.
Exemple de fracțiuni:
, ,
O fracție zecimală este scrisă diferit de o fracție comună. Operațiile cu aceste fracții sunt, de asemenea, diferite de operațiile cu cele obișnuite. Regulile pentru operațiunile pe ele sunt în mare măsură apropiate de regulile pentru operațiunile pe numere întregi. Acest lucru, în special, determină relevanța lor în rezolvarea problemelor practice.
Reprezentarea unei fracții în notație zecimală
Nu există un numitor în notația zecimală, acesta afișează numărul numărătorului. ÎN vedere generala Fracția zecimală se scrie astfel:
unde X este partea întreagă a fracției, Y este partea sa fracțională, "," este punctul zecimal.
Pentru reprezentarea corectă a unei fracții obișnuite ca zecimală, este necesar ca aceasta să fie corectă, adică cu o parte întreagă evidențiată (dacă este posibil) și un numărător mai mic decât numitorul. Apoi, în notație zecimală, partea întreagă este scrisă înainte de virgulă zecimală (X), iar numărătorul fracției ordinare este scris după virgulă zecimală (Y).
Dacă numărătorul reprezintă un număr cu un număr de cifre mai mic decât numărul de zerouri din numitor, atunci în partea Y numărul de cifre lipsă din notația zecimală este completat cu zerouri în fața cifrelor numărătorului.
Exemplu: 
Dacă fracția obișnuită este mai mică decât 1, adică nu are o parte întreagă, atunci 0 se scrie sub formă zecimală pentru X.
În partea fracționară (Y), după ultima cifră semnificativă (alta decât zero), poate fi introdus un număr arbitrar de zerouri. Nu afectează valoarea fracției. Și invers: toate zerourile de la sfârșitul părții fracționale a fracției zecimale pot fi omise.
Citirea zecimale
Partea X se citește în cazul general după cum urmează: „X numere întregi”.
Partea Y se citește în funcție de numărul din numitor. Pentru numitorul 10, ar trebui să citiți: „Y zecimi”, pentru numitorul 100: „Y sutimi”, pentru numitorul 1000: „Y zecimi” și așa mai departe... 😉
O altă abordare a citirii este considerată mai corectă, bazată pe numărarea numărului de cifre ale părții fracționale. Pentru a face acest lucru, trebuie să înțelegeți că cifrele fracționale sunt situate într-o imagine în oglindă în raport cu cifrele părții întregi a fracției.
Numele pentru citirea corectă sunt date în tabel:
Pe baza acestui fapt, citirea ar trebui să se bazeze pe corespondența cu numele categoriei ultimei cifre a părții fracționale.
- 3.5 spune „trei virgulă cinci”
- 0,016 arată ca „zero virgulă șaisprezece miimi”
Conversia unei fracții ordinare arbitrare într-o zecimală
Dacă numitorul unei fracții obișnuite este 10 sau o putere a lui zece, atunci fracția este convertită așa cum este descris mai sus. În alte situații, sunt necesare transformări suplimentare.
Există 2 moduri de a traduce.
Primul mod de traducere
Numătorul și numitorul trebuie înmulțite cu un astfel de număr întreg încât numitorul să fie 10 sau una dintre puterile lui zece. Și apoi fracția este reprezentată în notație zecimală.
Această metodă este aplicabilă fracțiilor, al căror numitor este descompus numai în 2 și 5. Deci, în exemplul anterior 
. Dacă există și alți factori primi în expansiune (de exemplu, ), atunci va trebui să recurgeți la metoda a 2-a.
Al doilea mod de traducere
A doua metodă este de a împărți numărătorul la numitor într-o coloană sau pe un calculator. Partea întreagă, dacă există, nu este implicată în transformare.
Regula împărțirii lungi care are ca rezultat o fracție zecimală este descrisă mai jos (vezi Împărțirea zecimalelor).
Convertiți zecimal în obișnuit
Pentru a face acest lucru, partea sa fracțională (în dreapta virgulei) ar trebui să fie scrisă ca numărător, iar rezultatul citirii părții fracționale ar trebui să fie scris ca număr corespunzător în numitor. În plus, dacă este posibil, trebuie să reduceți fracția rezultată.
Sfârșit și zecimal infinit
Fracția zecimală se numește finală, a cărei parte fracțională este formată dintr-un număr finit de cifre.
Toate exemplele de mai sus conțin exact fracțiile zecimale finale. Cu toate acestea, nu orice fracție obișnuită poate fi reprezentată ca o zecimală finală. Dacă prima metodă de translație pentru o anumită fracție nu este aplicabilă, iar metoda a 2-a demonstrează că împărțirea nu poate fi finalizată, atunci se poate obține doar o fracție zecimală infinită.
Este imposibil să scrieți o fracție infinită în forma sa completă. Într-o formă incompletă, astfel de fracții pot fi reprezentate:
- ca urmare a reducerii la numărul dorit de zecimale;
- sub forma unei fractii periodice.
O fracție se numește periodică, în care, după virgulă, se poate distinge o succesiune de cifre care se repetă la infinit.
Fracțiile rămase se numesc neperiodice. Pentru fracțiile neperiodice, este permisă doar prima metodă de reprezentare (rotunjire).
Un exemplu de fracție periodică: 0,8888888 ... Există o cifră 8 care se repetă aici, care, evident, se va repeta la infinit, deoarece nu există niciun motiv să presupunem altfel. Acest număr este numit perioada de fracție.
Fracțiile periodice sunt pure și amestecate. O fracție zecimală este pură, în care perioada începe imediat după virgulă. La fracție mixtă există 1 sau mai multe cifre înainte de punctul de după virgulă.
54,33333 ... - fracție zecimală pură periodică
2,5621212121 ... - fracție mixtă periodică
Exemple de scriere a zecimale infinite:
Al doilea exemplu arată cum se formează corect o perioadă într-o fracție periodică.
Conversia zecimale periodice în ordinare
Pentru a converti o fracție periodică pură într-o perioadă obișnuită, scrieți-o la numărător și scrieți la numitor un număr format din nouă într-o sumă egală cu numărul de cifre din perioadă.
O zecimală recurentă mixtă este tradusă după cum urmează:
- trebuie să formați un număr format din numărul după virgulă zecimală înainte de punct și prima perioadă;
- din numărul rezultat scădeți numărul după virgulă zecimală dinaintea punctului. Rezultatul va fi numărătorul unei fracții ordinare;
- la numitor, trebuie să introduceți un număr format din numărul de nouă egal cu numărul de cifre ale perioadei, urmat de zerouri, al căror număr este egal cu numărul de cifre ale numărului după virgulă zecimală înainte de prima perioadă.
Comparație zecimală
Fracțiile zecimale sunt comparate inițial după părțile lor întregi. Cu cât este mai mare fracția care are partea întreagă mai mare.
Dacă părțile întregi sunt aceleași, atunci cifrele cifrelor corespunzătoare ale părții fracționale sunt comparate, începând de la prima (de la zecimi). Același principiu se aplică și aici: cea mai mare dintre fracții, care are un rang mai mare de zecimi; dacă cifrele zecimiilor sunt egale, cifrele zecimii sunt comparate și așa mai departe.
Deoarece
, deoarece cu părți întregi egale și zecimi egale în partea fracțională, a 2-a fracție are mai multe sutimi.
Adunarea și scăderea zecimalelor
Decimalele se adună și se scad în același mod ca numerele întregi, scriind cifrele corespunzătoare una sub alta. Pentru a face acest lucru, trebuie să aveți puncte zecimale una sub alta. Apoi unitățile (zecile etc.) ale părții întregi, precum și zecimile (sutimele etc.) ale părții fracționale se vor potrivi. Cifrele lipsă ale părții fracționale sunt umplute cu zerouri. Direct Procesul de adunare și scădere se efectuează în același mod ca pentru numerele întregi.
Înmulțirea zecimală
Pentru a înmulți fracțiile zecimale, trebuie să le scrieți una sub alta, aliniate cu ultima cifră și fără să acordați atenție locației punctelor zecimale. Apoi, trebuie să înmulțiți numerele în același mod ca atunci când înmulțiți numerele întregi. După primirea rezultatului, ar trebui să recalculați numărul de cifre după virgulă în ambele fracții și să separați numărul total de cifre fracționale din numărul rezultat cu o virgulă. Dacă nu sunt suficiente cifre, acestea sunt înlocuite cu zerouri.
Înmulțirea și împărțirea zecimalelor cu 10 n
Aceste acțiuni sunt simple și se reduc la mutarea punctului zecimal. P în înmulțire, virgula este mutată la dreapta (fracția crește) cu numărul de cifre egal cu numărul de zerouri din 10 n, unde n este o putere întreagă arbitrară. Adică, un anumit număr de cifre sunt transferate din partea fracțională la întreg. La împărțire, respectiv, virgula este transferată la stânga (numărul scade), iar unele dintre cifre sunt transferate din partea întreagă în partea fracțională. Dacă nu sunt suficiente cifre de transferat, atunci cifrele lipsă sunt umplute cu zerouri.
Împărțirea unei zecimale și a unui întreg la un întreg și o zecimală
Împărțirea unei zecimale la un întreg este același cu împărțirea a două numere întregi. În plus, trebuie luată în considerare doar poziția punctului zecimal: la demolarea cifrei cifrei urmată de virgulă, este necesar să se pună o virgulă după cifra curentă a răspunsului generat. Apoi trebuie să continuați să împărțiți până când obțineți zero. Dacă nu există suficiente semne în dividend pentru împărțirea completă, zerouri ar trebui să fie folosite ca acestea.
În mod similar, 2 numere întregi sunt împărțite într-o coloană dacă toate cifrele dividendului au fost demolate și diviziunea completă nu a fost încă finalizată. În acest caz, după demolarea ultimei cifre a dividendului, în răspunsul rezultat este plasată o zecimală, iar zerouri sunt folosite ca cifre demolate. Acestea. dividendul aici, de fapt, este reprezentat ca o fracție zecimală cu o parte fracțională zero.
Pentru a împărți o fracție zecimală (sau un număr întreg) cu un număr zecimal, este necesar să înmulțiți dividendul și divizorul cu numărul 10 n, în care numărul de zerouri este egal cu numărul de cifre după virgulă zecimală din divizor. În acest fel, ei scapă de punctul zecimal din fracția cu care doriți să împărțiți. În plus, procesul de împărțire este același cu cel descris mai sus.
Reprezentarea grafică a zecimalelor
Grafic, fracțiile zecimale sunt reprezentate prin intermediul unei linii de coordonate. Pentru aceasta, segmentele individuale sunt împărțite suplimentar în 10 părți egale, la fel cum centimetrii și milimetrii sunt depuși pe o riglă în același timp. Acest lucru asigură că zecimale sunt afișate cu acuratețe și pot fi comparate în mod obiectiv.
Pentru ca diviziunile longitudinale pe segmente individuale să fie aceleași, ar trebui să luați în considerare cu atenție lungimea singurului segment în sine. Ar trebui să fie astfel încât să poată fi asigurată comoditatea divizării suplimentare.
Fracții scrise sub forma 0,8; 0,13; 2,856; 5,2; 0,04 se numește zecimală. De fapt, fracțiile zecimale sunt o reprezentare simplificată a fracțiilor obișnuite. Această notație este convenabilă de utilizat pentru toate fracțiile ai căror numitori sunt 10, 100, 1000 și așa mai departe.
Luați în considerare exemple (0,5 este citit ca zero virgulă cinci);
(0,15 se citește ca zero virgulă cincisprezece sutimi);
(5.3 se citește ca, cinci punctul trei).
Rețineți că în notația unei fracții zecimale, o virgulă separă partea întreagă a numărului de cea fracționară, partea întreagă a fracției corecte este 0. Notarea părții fracționale a fracției zecimale conține atâtea cifre câte zerouri sunt în numitorul fracției ordinare corespunzătoare.
Luați în considerare un exemplu, 
, 
, 
.
În unele cazuri, poate fi necesar să se considere un număr natural ca o fracție zecimală, în care partea fracțională este egală cu zero. Se obișnuiește să noteze că, 5 = 5,0; 245 = 245,0 și așa mai departe. Rețineți că în notația zecimală a unui număr natural, unitatea cifrei celei mai puțin semnificative este de 10 ori mai mică decât unitatea cifrei celei mai semnificative adiacente. Fracțiile zecimale au aceeași proprietate. Prin urmare, imediat după virgulă vine locul al zecelea, apoi al sutelea, apoi al miilea și așa mai departe. Mai jos sunt numele cifrelor numărului 31.85431, primele două coloane sunt partea întreagă, coloanele rămase sunt partea fracțională.
Această fracție se citește ca fiind treizeci și unu virgulă optzeci și cinci de mii patru sute treizeci și una sute-mii.
Adunarea și scăderea zecimalelor
Prima modalitate este de a converti zecimale în comune și de a le adăuga. 
După cum se poate vedea din exemplu, această metodă este foarte incomod și este mai bine să folosiți a doua metodă, care este mai corectă, fără a converti fracțiile zecimale în fracții obișnuite. Pentru a adăuga două zecimale:
- egalizați numărul de cifre după punctul zecimal în termeni;
- scrieți termenii unul sub celălalt, astfel încât fiecare cifră a celui de-al doilea termen să fie sub cifra corespunzătoare primului termen;
- adună numerele rezultate în același mod ca și adunarea numerelor naturale;
- puneți o virgulă sub virgule în termenii din suma rezultată.
Luați în considerare exemple:
- egalizați în reducerea și scăderea numărului de cifre după virgulă zecimală;
- scrieți subtraendul sub minuend astfel încât fiecare bit al subtraendului să fie sub bitul corespunzător al minuendului;
- scăderea în același mod în care se scad numerele naturale;
- pune o virgulă sub virgule în minuend și subtrahend în diferența rezultată.
Luați în considerare exemple:
În exemplele discutate mai sus, se poate observa că adunarea și scăderea fracțiilor zecimale s-a realizat bit cu bit, adică în același mod în care am efectuat operații similare cu numere naturale. Acesta este principalul avantaj al notației zecimale pentru fracții.
Înmulțirea zecimală
Pentru a înmulți o fracție zecimală cu 10, 100, 1000 și așa mai departe, este necesar să mutați virgula la dreapta în această fracție, respectiv, cu 1, 2, 3 și așa mai departe, numerele. Prin urmare, dacă virgula este mutată la dreapta cu 1, 2, 3 și așa mai departe numere, atunci fracția va crește cu 10, 100, 1000 și, respectiv, ori mai departe. Pentru a înmulți două zecimale:
- înmulțiți-le ca numere naturale, ignorând virgulele;
- în produsul rezultat, separați atâtea cifre cu virgulă în dreapta câte sunt după virgule în ambii factori împreună.
Există cazuri când lucrarea conține mai puține cifre decât este necesar pentru a fi separate prin virgulă, în stânga înainte de această lucrare se adaugă suma necesară zerouri, apoi mutați virgula la stânga cu suma corectă cifre.
Luați în considerare exemple: 2 * 4 = 8, apoi 0,2 * 0,4 = 0,08; 23 * 35 = 805, apoi 0,023 * 0,35 = 0,00805.
Există cazuri când unul dintre factori este egal cu 0,1; 0,01; 0.001 și așa mai departe, este mai convenabil să folosiți următoarea regulă.
- Pentru a înmulți o zecimală cu 0,1; 0,01; 0,001 și așa mai departe, este necesar să mutați virgula la stânga în această fracție zecimală, respectiv, cu 1, 2, 3 și așa mai departe.
Luați în considerare exemple: 2,65 * 0,1 = 0,265; 457,6 * 0,01 = 4,576.
Proprietățile de înmulțire ale numerelor naturale sunt valabile și pentru fracțiile zecimale.
- ab=ba- proprietatea comutativă a înmulțirii;
- (ab)c = a(bc)- proprietatea asociativă a înmulțirii;
- a (b + c) = ab + ac este proprietatea distributivă a înmulțirii față de adunare.
Împărțire zecimală
Se știe că dacă împărțim un număr natural A la un număr natural bînseamnă a găsi un astfel de număr natural c, care, atunci când este înmulțit cu b dă număr A. Această regulă rămâne valabilă dacă cel puțin unul dintre numere a, b, c este o zecimală.
Luați în considerare un exemplu, doriți să împărțiți 43,52 la 17 colțuri, ignorând virgula. În acest caz, virgula în privat ar trebui să fie plasată imediat înainte de prima cifră după ce se folosește punctul zecimal din dividend.
Există cazuri când dividendul este mai mic decât divizorul, atunci partea întreagă a coeficientului este egală cu zero. Luați în considerare un exemplu:
Să ne uităm la un alt exemplu interesant.
Procesul de împărțire este oprit deoarece numerele dividendului s-au încheiat, iar restul nu a primit zero. Se știe că o fracție zecimală nu se va schimba dacă i se atribuie un număr de zerouri în partea dreaptă. Apoi devine clar că numerele dividendului nu se pot termina.
Pentru a împărți o fracție zecimală la 10, 100, 1000 și așa mai departe, este necesar să mutați punctul zecimal la stânga în această fracție cu 1, 2, 3 și așa mai departe. Luați în considerare un exemplu: 5,14: 10 = 0,514; 2: 100 = 0,02; 37,51: 1000 = 0,03751.
Dacă dividendul și divizorul cresc simultan de 10, 100, 1000 și așa mai departe, atunci coeficientul nu se va modifica.
Să luăm în considerare un exemplu: 39,44: 1,6 = 24,65 să mărim dividendul și divizorul de 10 ori 394,4: 16 = 24,65 Este corect să remarcăm că este mai ușor să împărțim o fracție zecimală la un număr natural în al doilea exemplu.
Pentru a împărți o zecimală cu o zecimală, trebuie să:
- mutați virgulele în dividend și în divizor la dreapta cu atâtea cifre câte sunt conținute după virgulă în divizor;
- împărțiți la un număr natural.
Luați în considerare exemplul: 23,6: 0,02 rețineți că divizorul are două zecimale, prin urmare înmulțiți ambele numere cu 100 obținem 2360: 2 = 1180 împărțiți rezultatul la 100 și obțineți răspunsul 11,80 sau 23,6: 0,02 = 11,8.
Comparație zecimală
Există două moduri de a compara zecimale. Metoda unu, trebuie să comparați două fracții zecimale 4,321 și 4,32, să egalați numărul de zecimale și să începeți să comparați bit cu bit, zecimi cu zecimi, sutimi cu sutimi și așa mai departe, ca rezultat, obținem 4,321\u003e 4,320.
A doua modalitate de a compara fracțiile zecimale se face folosind înmulțirea, înmulțiți exemplul de mai sus cu 1000 și comparați 4321\u003e 4320. Care metodă este mai convenabilă, fiecare alege singur.