Exemple de distanță de la punct la linie. Determinarea distanței de la un punct la o linie dreaptă

Universitatea Tehnică Marină de Stat din Sankt Petersburg

departament grafica pe computerși suport informațional

ACTIVITATEA 3

SARCINA PRACTICĂ №3

Determinarea distanței de la un punct la o linie dreaptă.

Puteți determina distanța dintre un punct și o linie dreaptă efectuând următoarele construcții (vezi Fig. 1):

dintr-un punct CU aruncă o perpendiculară pe o dreaptă A;

marca un punct LA intersecția unei perpendiculare cu o dreaptă;

măsurați lungimea tăieturii KS, al cărui început este punctul dat și al cărui sfârșit este punctul de intersecție marcat.

Fig.1. Distanța de la un punct la o linie.

Baza pentru rezolvarea problemelor de acest tip este regula proiecției unghi drept: un unghi drept este proiectat fără distorsiuni dacă cel puțin una dintre laturile sale este paralelă cu planul de proiecție(adică ocupă o poziție privată). Să începem doar cu un astfel de caz și să luăm în considerare construcțiile pentru determinarea distanței de la punct CU la o linie dreaptă AB.

Nu există cazuri de testare în această sarcină și sunt oferite opțiuni pentru efectuarea sarcinilor individuale tabelul 1 și tabelul 2. Soluția problemei este descrisă mai jos, iar construcțiile corespunzătoare sunt prezentate în Fig.2.

1. Determinarea distanței de la un punct la o linie cu o anumită poziție.

În primul rând, sunt construite proiecțiile unui punct și ale unui segment. Proiecție A1B1 paralel cu axa X. Aceasta înseamnă că tăierea AB paralel cu planul P2. Dacă dintr-un punct CU trage o perpendiculară pe AB, atunci unghiul drept este proiectat fără distorsiuni exact pe plan P2. Acest lucru vă permite să desenați o perpendiculară din punct C2 asupra proiecției A2B2.

Meniu derulant Desen linie (A desena- linia) . Setați cursorul la punct C2și fixați-l ca prim punct al segmentului. Mutați cursorul în direcția normală la segment A2B2și fixați al doilea punct pe el în momentul în care apare promptul normal (Perpendicular) . Desemnați punctul construit K2. Activați modul ORTHO(ORTHO) , iar din punct de vedere K2 trageți o linie verticală de legătură până la intersecția cu proiecția A1 B1. Punctul de intersecție este notat cu K1. Punct LA culcat pe segment AB, este punctul de intersecție al perpendicularei trase din punct CU, cu segment AB. Astfel, tăierea KS este distanța dorită de la punct la linie.

Se vede din construcţii că segmentul KS ocupă o poziţie generală şi, prin urmare, proiecţiile sale sunt distorsionate. A vorbi despre distanță înseamnă întotdeauna adevărata valoare a segmentului exprimând distanța. Prin urmare, trebuie să găsim adevărata valoare a segmentului KS, transformându-l într-o poziție privată, de exemplu, KS|| P1. Rezultatul construcțiilor este prezentat în Fig.2.

Din construcțiile prezentate în Fig. 2, putem concluziona: poziția particulară a dreptei (segmentul este paralel cu P1 sau P2) vă permite să construiți rapid proiecții ale distanței de la un punct la o linie, dar acestea sunt distorsionate.

Fig.2. Determinarea distanței de la un punct la o linie cu o anumită poziție.

2. Determinarea distanței de la un punct la o dreaptă pozitia generala.

Segmentul nu ocupă întotdeauna o anumită poziție în starea inițială. Cu o poziție inițială comună, se realizează următoarele construcții pentru a determina distanța de la un punct la o dreaptă:

a) folosind metoda de transformare a desenului, convertiți segmentul din poziție generală în poziție privată - acest lucru vă va permite să construiți proiecții la distanță (distorsionate);

b) folosind metoda a doua oară, traducem segmentul corespunzător distanței necesare într-o anumită poziție - vom obține proiecția distanței în termeni de o valoare egală cu cea reală.

Luați în considerare o succesiune de construcții pentru a determina distanța de la un punct A până la un segment în poziţie generală Soare(Fig. 3).

La prima rotație este necesar să se obţină o anumită poziţie a segmentului ÎNC. Pentru a face acest lucru, în strat TMR trebuie să conectați punctele LA 2, C2Și A2. Folosind comanda Editare-Rotire (Modifica – Roti) triunghi B2C2A2 rotiți în jurul unui punct C2 până în punctul în care noua proiecție B2*C2 vor fi amplasate strict orizontal (punctul CU este nemișcat și, prin urmare, noua sa proiecție coincide cu cea inițială și cu notația C2*Și C1* este posibil să nu fie afișat pe desen). Ca urmare, se vor obține noi proiecții ale segmentului B2*C2 si puncte: A2*. Venind de la puncte A2*Și LA 2* sunt desenate vertical și din puncte ÎN 1Și A1 linii de comunicare orizontale. Intersecția liniilor corespunzătoare va determina poziția punctelor noii proiecții orizontale: segmentul B1*C1și puncte A1*.

În poziția specială rezultată, puteți construi proiecții de distanță pentru aceasta: din punct A1* construirea unui normal la B1*C1. Punctul de intersecție reciprocă - K1*. O linie de legătură verticală este trasată din acest punct până la intersecția cu proiecția B2*C2. Punct marcat K2*. Ca urmare, proiecțiile segmentului AK, care este distanța dorită de la punct A la o linie dreaptă Soare.

Apoi, trebuie să construiți proiecții ale distanței în starea inițială. Pentru asta, din punct de vedere K1* este convenabil să trasezi o linie orizontală până la intersecția cu proiecția B1C1și marcați punctul de intersecție K1. Apoi se construiește un punct K2 pe proiecția frontală a segmentului și se realizează proiecții A1K1Și A2K2.În urma construcțiilor s-au obținut proiecții de distanță, dar atât în ​​poziția inițială cât și în noua poziție particulară a segmentului. soare, segment de linie AK ocupă o poziție generală, iar acest lucru duce la faptul că toate proiecțiile sale sunt distorsionate.

La a doua rotație segmentul trebuie rotit AK la o anumită poziție, care vă va permite să determinați valoarea adevărată a distanței - proiecția A2*K2**. Rezultatul tuturor construcțiilor este prezentat în Fig.3.

SARCINA №3-1. CU la o linie dreaptă de poziție privată, dată de un segment AB. Dati raspunsul in mm (Tabelul 1).Eliminați liniile de proiecție

tabelul 1

SARCINA №3-2. Găsiți distanța reală de la un punct M la o linie dreaptă în poziţie generală dată de un segment ED. Dati raspunsul in mm (masa 2).

masa 2

Verificarea și creditarea SARCINA Nr. 3 finalizată.

Oh-oh-oh-oh-oh ... ei bine, e minuscul, de parcă ți-ai citi propoziția pentru tine =) Cu toate acestea, atunci relaxarea va ajuta, mai ales că mi-am cumpărat azi accesorii potrivite. Prin urmare, să trecem la prima secțiune, sper că până la sfârșitul articolului voi păstra o dispoziție veselă.

Dispunerea reciprocă a două linii drepte

Cazul când sala cântă în cor. Două linii pot:

1) potrivire;

2) fi paralel: ;

3) sau se intersectează într-un singur punct: .

Ajutor pentru manechini : te rog tine minte semn matematic intersecție, va apărea foarte des. Intrarea înseamnă că linia se intersectează cu linia în punct.

Cum se determină poziția relativă a două linii?

Să începem cu primul caz:

Două drepte coincid dacă și numai dacă coeficienții lor respectivi sunt proporționali, adică există un astfel de număr „lambda” încât egalitățile

Să considerăm drepte și să compunem trei ecuații din coeficienții corespunzători: . Din fiecare ecuație rezultă că, prin urmare, aceste drepte coincid.

Într-adevăr, dacă toți coeficienții ecuației înmulțiți cu -1 (schimbați semnele) și reduceți toți coeficienții ecuației cu 2, obțineți aceeași ecuație: .

Al doilea caz când liniile sunt paralele:

Două drepte sunt paralele dacă și numai dacă coeficienții lor la variabile sunt proporționali: , Dar.

Ca exemplu, luați în considerare două linii drepte. Verificăm proporționalitatea coeficienților corespunzători pentru variabilele:

Cu toate acestea, este clar că.

Și al treilea caz, când liniile se intersectează:

Două drepte se intersectează dacă și numai dacă coeficienții lor ai variabilelor NU sunt proporționali, adică NU există o asemenea valoare a „lambda” încât egalitățile să fie îndeplinite

Deci, pentru linii drepte vom compune un sistem:

Din prima ecuație rezultă că , iar din a doua ecuație: , prin urmare, sistemul este inconsecvent(fara solutii). Astfel, coeficienții la variabile nu sunt proporționali.

Concluzie: liniile se intersectează

În problemele practice, se poate folosi schema de soluție tocmai considerată. Apropo, este foarte asemănător cu algoritmul de verificare a coliniarității vectorilor, pe care l-am luat în considerare în lecție. Conceptul de (non)dependență liniară a vectorilor. Baza vectorială. Dar există un pachet mai civilizat:

Exemplul 1

A-si da seama aranjament reciproc direct:

Soluţie pe baza studiului vectorilor de direcție ai liniilor drepte:

a) Din ecuații găsim vectorii de direcție ai dreptelor: .

, deci vectorii nu sunt coliniari și liniile se intersectează.

Pentru orice eventualitate, voi pune o piatră cu indicatori la răscruce:

Restul sar peste piatra si merg mai departe, direct catre Kashchei cel fara de moarte =)

b) Aflați vectorii de direcție ai dreptelor:

Liniile au același vector de direcție, ceea ce înseamnă că sunt fie paralele, fie aceleași. Aici determinantul nu este necesar.

Evident, coeficienții necunoscutelor sunt proporționale, în timp ce .

Să aflăm dacă egalitatea este adevărată:

Prin urmare,

c) Aflați vectorii de direcție ai dreptelor:

Să calculăm determinantul, compus din coordonatele acestor vectori:
, prin urmare, vectorii de direcție sunt coliniari. Liniile sunt fie paralele, fie coincid.

Factorul de proporționalitate „lambda” este ușor de văzut direct din raportul vectorilor de direcție coliniară. Cu toate acestea, poate fi găsit și prin coeficienții ecuațiilor înșiși: .

Acum să aflăm dacă egalitatea este adevărată. Ambii termeni liberi sunt zero, deci:

Valoarea rezultată satisface această ecuație(se potrivește oricărui număr în general).

Astfel, liniile coincid.

Răspuns:

Foarte curând vei învăța (sau chiar ai învățat deja) să rezolvi problema luată în considerare verbal, literal, în câteva secunde. În acest sens, nu văd niciun motiv pentru care să ofer ceva solutie independenta, este mai bine să puneți o altă cărămidă importantă în fundația geometrică:

Cum se desenează o linie paralelă cu una dată?

Pentru ignorarea acestui lucru cea mai simplă sarcină pedepsește aspru pe privighetoarea tâlharul.

Exemplul 2

Linia dreaptă este dată de ecuația . Scrieți o ecuație pentru o dreaptă paralelă care trece prin punct.

Soluţie: Notează linia necunoscută cu litera . Ce spune condiția despre ea? Linia trece prin punct. Și dacă liniile sunt paralele, atunci este evident că vectorul de direcție al dreptei „ce” este potrivit și pentru construirea dreptei „de”.

Scoatem vectorul direcție din ecuație:

Răspuns:

Geometria exemplului pare simplă:

Verificarea analitică constă în următorii pași:

1) Verificăm ca liniile să aibă același vector de direcție (dacă ecuația dreptei nu este simplificată corespunzător, atunci vectorii vor fi coliniari).

2) Verificați dacă punctul satisface ecuația rezultată.

Verificarea analitică în cele mai multe cazuri este ușor de efectuat oral. Priviți cele două ecuații și mulți dintre voi vă vor da seama rapid cum liniile sunt paralele fără nici un desen.

Exemplele de auto-rezolvare astăzi vor fi creative. Pentru că mai trebuie să concurezi cu Baba Yaga, iar ea, știi, este o iubitoare de tot felul de ghicitori.

Exemplul 3

Scrieți o ecuație pentru o dreaptă care trece printr-un punct paralel cu dreapta dacă

Există o modalitate rațională și nu foarte rațională de a rezolva. Cel mai scurtătură- la sfarsitul lectiei.

Am lucrat puțin cu linii paralele și vom reveni la ele mai târziu. Cazul liniilor coincidente este de puțin interes, așa că să luăm în considerare o problemă care vă este bine cunoscută din programa școlară:

Cum se află punctul de intersecție a două drepte?

Dacă drept se intersectează în punctul , atunci coordonatele sale sunt soluția sisteme de ecuații liniare

Cum să găsiți punctul de intersecție al liniilor? Rezolvați sistemul.

În sănătatea ta semnificația geometrică a sistemului celor doi ecuatii lineare cu două necunoscute sunt două drepte care se intersectează (cel mai adesea) pe un plan.

Exemplul 4

Aflați punctul de intersecție al dreptelor

Soluţie: Există două moduri de rezolvare - grafic și analitic.

Calea grafică este să trageți pur și simplu liniile date și să aflați punctul de intersecție direct din desen:

Iată punctul nostru de vedere: . Pentru a verifica, ar trebui să înlocuiți coordonatele sale în fiecare ecuație a unei linii drepte, acestea ar trebui să se potrivească atât acolo, cât și acolo. Cu alte cuvinte, coordonatele unui punct sunt soluția sistemului. De fapt, am considerat o modalitate grafică de a rezolva sisteme de ecuații liniare cu două ecuații, două necunoscute.

Metoda grafică, desigur, nu este rea, dar există dezavantaje vizibile. Nu, ideea nu este că elevii de clasa a VII-a decid astfel, ideea este că va dura timp să faci un desen corect și EXACT. În plus, unele linii nu sunt atât de ușor de construit, iar punctul de intersecție în sine poate fi undeva în al treizecilea regat în afara foii de caiet.

Prin urmare, este mai oportun să căutați punctul de intersecție prin metoda analitică. Să rezolvăm sistemul:

Pentru rezolvarea sistemului s-a folosit metoda adunării în termeni a ecuațiilor. Pentru a dezvolta abilitățile relevante, vizitați lecția Cum se rezolvă un sistem de ecuații?

Răspuns:

Verificarea este banala - coordonatele punctului de intersectie trebuie sa satisfaca fiecare ecuatie a sistemului.

Exemplul 5

Aflați punctul de intersecție al dreptelor dacă acestea se intersectează.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Sarcina poate fi împărțită convenabil în mai multe etape. Analiza stării sugerează că este necesar:
1) Scrieți ecuația unei drepte.
2) Scrieți ecuația unei drepte.
3) Aflați poziția relativă a liniilor.
4) Dacă liniile se intersectează, atunci găsiți punctul de intersecție.

Dezvoltarea unui algoritm de acțiune este tipică pentru multe probleme geometrice și mă voi concentra în mod repetat asupra acestui lucru.

Soluție completăși răspunsul la sfârșitul lecției:

O pereche de pantofi nu a fost încă uzată, deoarece am ajuns la a doua secțiune a lecției:

Linii perpendiculare. Distanța de la un punct la o linie.
Unghiul dintre linii

Să începem cu un tipic și foarte sarcină importantă. În prima parte, am învățat cum să construim o linie dreaptă paralelă cu cea dată, iar acum coliba pe pulpele de pui se va întoarce la 90 de grade:

Cum se desenează o linie perpendiculară pe una dată?

Exemplul 6

Linia dreaptă este dată de ecuația . Scrieți o ecuație pentru o dreaptă perpendiculară care trece printr-un punct.

Soluţie: Se ştie prin presupunere că . Ar fi bine să găsim vectorul direcție al dreptei. Deoarece liniile sunt perpendiculare, trucul este simplu:

Din ecuație „eliminăm” vectorul normal: , care va fi vectorul de direcție al dreptei.

Compunem ecuația unei drepte printr-un punct și un vector de direcție:

Răspuns:

Să desfășurăm schița geometrică:

Hmmm... Cer portocaliu, mare portocaliu, cămilă portocalie.

Verificarea analitică a soluției:

1) Extrageți vectorii de direcție din ecuații si cu ajutorul produs scalar al vectorilor concluzionăm că dreptele sunt într-adevăr perpendiculare: .

Apropo, puteți folosi vectori normali, este și mai ușor.

2) Verificați dacă punctul satisface ecuația rezultată .

Verificarea, din nou, este ușor de efectuat verbal.

Exemplul 7

Aflați punctul de intersecție al dreptelor perpendiculare, dacă ecuația este cunoscută și punct.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Există mai multe acțiuni în sarcină, deci este convenabil să aranjați soluția punct cu punct.

Călătoria noastră interesantă continuă:

Distanța de la punct la linie

În fața noastră este o fâșie dreaptă a râului și sarcina noastră este să ajungem la el în cel mai scurt drum. Nu există obstacole, iar traseul cel mai optim va fi deplasarea de-a lungul perpendicularei. Adică, distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea segmentului perpendicular.

Distanța în geometrie se notează în mod tradițional cu litera greacă „ro”, de exemplu: - distanța de la punctul „em” la linia dreaptă „de”.

Distanța de la punct la linie este exprimat prin formula

Exemplul 8

Aflați distanța de la un punct la o linie

Soluţie: tot ce aveți nevoie este să înlocuiți cu atenție numerele în formulă și să faceți calculele:

Răspuns:

Să executăm desenul:

Distanța găsită de la punct la linie este exact lungimea segmentului roșu. Dacă faci un desen pe hârtie în carouri la scară de 1 unitate. \u003d 1 cm (2 celule), apoi distanța poate fi măsurată cu o riglă obișnuită.

Luați în considerare o altă sarcină conform aceluiași desen:

Sarcina este de a găsi coordonatele punctului , care este simetric față de punctul în raport cu dreapta . Vă propun să efectuați acțiunile pe cont propriu, totuși, voi schița algoritmul de soluție cu rezultate intermediare:

1) Găsiți o dreaptă care este perpendiculară pe o dreaptă.

2) Aflați punctul de intersecție al dreptelor: .

Ambele acțiuni sunt discutate în detaliu în această lecție.

3) Punctul este punctul de mijloc al segmentului. Cunoaștem coordonatele mijlocului și unuia dintre capete. De formule pentru coordonatele mijlocului segmentului găsi .

Nu va fi de prisos să verificați dacă distanța este și ea egală cu 2,2 unități.

Aici pot apărea dificultăți în calcule, dar în turn un microcalculator ajută foarte mult, permițându-vă să numărați fracții comune. Am sfătuit de multe ori și o să recomand din nou.

Cum se află distanța dintre două linii paralele?

Exemplul 9

Aflați distanța dintre două drepte paralele

Acesta este un alt exemplu pentru o soluție independentă. Un mic indiciu: există nenumărate moduri de a rezolva. Debriefing la sfârșitul lecției, dar mai bine încercați să ghiciți singuri, cred că ați reușit să vă împrăștiați bine ingeniozitatea.

Unghiul dintre două linii

Oricare ar fi colțul, apoi cantul:


În geometrie, unghiul dintre două drepte este luat ca unghi MAI MIC, din care rezultă automat că nu poate fi obtuz. În figură, unghiul indicat de arcul roșu nu este considerat a fi unghiul dintre liniile care se intersectează. Și vecinul său „verde” sau orientat opus colțul purpuriu.

Dacă liniile sunt perpendiculare, atunci oricare dintre cele 4 unghiuri poate fi luat ca unghi între ele.

Cum diferă unghiurile? Orientare. În primul rând, direcția de „defilare” colțului este esențial importantă. În al doilea rând, un unghi orientat negativ este scris cu semnul minus, de exemplu, dacă .

De ce am spus asta? Se pare că te poți descurca cu conceptul obișnuit de unghi. Cert este că în formulele prin care vom găsi unghiurile se poate obține cu ușurință un rezultat negativ, iar acest lucru nu ar trebui să vă ia prin surprindere. Un unghi cu semnul minus nu este mai rău și are o semnificație geometrică foarte specifică. În desenul pentru un unghi negativ, este imperativ să indicați orientarea acestuia (în sensul acelor de ceasornic) cu o săgeată.

Cum să găsiți unghiul dintre două linii? Există două formule de lucru:

Exemplul 10

Găsiți unghiul dintre linii

SoluţieȘi Metoda unu

Luați în considerare două drepte date de ecuații în formă generală:

Dacă drept nu perpendicular, Acea orientat unghiul dintre ele poate fi calculat folosind formula:

Să acordăm o atenție deosebită numitorului - exact asta produs scalar vectori de direcție ai liniilor drepte:

Dacă , atunci numitorul formulei dispare, iar vectorii vor fi ortogonali, iar liniile vor fi perpendiculare. De aceea s-a făcut o rezervă cu privire la neperpendicularitatea liniilor în formulare.

Pe baza celor de mai sus, soluția este formalizată convenabil în doi pași:

1) Calculați produsul scalar al vectorilor de direcție ai liniilor drepte:
deci liniile nu sunt perpendiculare.

2) Găsim unghiul dintre drepte prin formula:

Prin utilizarea funcție inversă ușor de găsit colțul în sine. În acest caz, folosim ciudățenia arc-tangentei (vezi Fig. Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare):

Răspuns:

În răspuns, indicați valoare exacta, precum și o valoare aproximativă (de preferință atât în ​​grade, cât și în radiani) calculată cu ajutorul unui calculator.

Ei bine, minus, deci minus, e în regulă. Iată o ilustrație geometrică:

Nu este surprinzător că unghiul s-a dovedit a fi de orientare negativă, deoarece, în starea problemei, primul număr este o linie dreaptă și „răsucirea” unghiului a început tocmai de la aceasta.

Dacă doriți cu adevărat să obțineți un unghi pozitiv, trebuie să schimbați liniile drepte, adică să luați coeficienții din a doua ecuație , și luați coeficienții din prima ecuație . Pe scurt, trebuie să începeți cu un direct .

Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei de la punct la linie. ÎN geometrie descriptivă se determină grafic conform algoritmului de mai jos.

Algoritm

1. Linia dreaptă este transferată într-o poziție în care va fi paralelă cu orice plan de proiecție. Pentru a face acest lucru, aplicați metodele de transformare a proiecțiilor ortogonale.
2. Desenați o perpendiculară de la un punct la o dreaptă. Această construcție se bazează pe teorema proiecției în unghi drept.
3. Lungimea unei perpendiculare este determinată prin conversia proiecțiilor acesteia sau folosind metoda triunghiului dreptunghic.

Următoarea figură prezintă un desen complex al punctului M și al dreptei b definite de segmentul de dreaptă CD. Trebuie să găsiți distanța dintre ele.

Conform algoritmului nostru, primul lucru de făcut este să mutați linia într-o poziție paralelă cu planul de proiecție. Este important să înțelegeți că, după transformări, distanța reală dintre punct și linie nu ar trebui să se schimbe. De aceea, este convenabil să folosiți metoda de înlocuire a avionului aici, care nu implică mutarea figurilor în spațiu.

Rezultatele primei etape de construcții sunt prezentate mai jos. Figura arată cum este introdus un plan frontal suplimentar P4 paralel cu b. ÎN sistem nou(P 1 , P 4) punctele C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 sunt la aceeași distanță de axa X 1 ca C"", D"", M"" de axa X.

Efectuând a doua parte a algoritmului, de la M"" 1 coborâm perpendiculara M"" 1 N"" 1 la dreapta b"" 1, deoarece unghiul drept MND între b și MN este proiectat pe planul P 4 în dimensiune completă. Determinăm poziția punctului N" de-a lungul liniei de comunicație și desenăm proiecția M"N" a segmentului MN.

În etapa finală, este necesar să se determine valoarea segmentului MN prin proiecțiile sale M"N" și M"" 1 N"" 1 . Pentru asta construim triunghi dreptunghic M"" 1 N"" 1 N 0 , al cărui picior N"" 1 N 0 este egal cu diferența (Y M 1 – Y N 1) de îndepărtare a punctelor M" și N" de pe axa X 1. Lungimea ipotenuzei M"" 1 N 0 a triunghiului M"" 1 N"" 1 N 0 corespunde distanței dorite de la M la b.

A doua modalitate de a rezolva

• Paralel cu CD introducem un nou plan frontal П 4 . El intersectează P 1 de-a lungul axei X 1 și X 1 ∥C"D". În conformitate cu metoda de înlocuire a planurilor, determinăm proiecțiile punctelor C "" 1, D"" 1 și M"" 1, așa cum se arată în figură.
• Perpendicular pe C "" 1 D "" 1 construim un plan orizontal suplimentar P 5 pe care linia dreaptă b este proiectată în punctul C" 2 \u003d b" 2.
• Distanța dintre punctul M și linia dreaptă b este determinată de lungimea segmentului M „2 C” 2 marcat cu roșu.

Sarcini conexe:

Acest articol vorbește despre subiect « distanta de la punct la linie », definițiile distanței de la un punct la o linie sunt luate în considerare cu exemple ilustrate prin metoda coordonatelor. Fiecare bloc de teorie de la sfârșit a arătat exemple de rezolvare a unor probleme similare.

Distanța de la un punct la o linie se află determinând distanța de la un punct la un punct. Să luăm în considerare mai detaliat.

Să fie o dreaptă a și un punct M 1 care nu aparțin dreptei date. Desenați o linie prin ea blocată perpendicular pe dreapta a. Luați punctul de intersecție al dreptelor ca H 1. Obținem că M 1 H 1 este o perpendiculară, care a fost coborâtă din punctul M 1 la dreapta a.

Definiția 1

Distanța de la punctul M 1 la dreapta a numită distanţa dintre punctele M 1 şi H 1 .

Există înregistrări ale definiției cu cifra lungimii perpendicularei.

Definiția 2

Distanța de la punct la linie este lungimea perpendicularei trasate de la un punct dat la o dreaptă dată.

Definițiile sunt echivalente. Luați în considerare figura de mai jos.

Se știe că distanța de la un punct la o linie dreaptă este cea mai mică dintre toate posibile. Să ne uităm la asta cu un exemplu.

Dacă luăm punctul Q situat pe dreapta a, care nu coincide cu punctul M 1, atunci obținem că segmentul M 1 Q se numește oblic, coborât de la M 1 la dreapta a. Este necesar să se indice că perpendiculara de la punctul M 1 este mai mică decât orice altă oblică trasă de la punct la linia dreaptă.

Pentru a demonstra acest lucru, considerăm triunghiul M 1 Q 1 H 1 , unde M 1 Q 1 este ipotenuza. Se știe că lungimea sa este întotdeauna mai mare decât lungimea oricăruia dintre picioare. Prin urmare, avem că M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Datele inițiale pentru găsirea de la un punct la o dreaptă permit utilizarea mai multor metode de rezolvare: prin teorema lui Pitagora, definiții sinusului, cosinusului, tangentei unui unghi și altele. Majoritatea sarcinilor de acest tip sunt rezolvate la școală în lecțiile de geometrie.

Când, atunci când găsiți distanța de la un punct la o linie, puteți introduce un sistem de coordonate dreptunghiular, atunci se folosește metoda coordonatelor. În acest paragraf, luăm în considerare principalele două metode pentru a găsi distanța dorită de la un punct dat.

Prima metodă presupune găsirea distanței ca o perpendiculară trasată de la M 1 la dreapta a. A doua metodă folosește ecuația normală a dreptei a pentru a găsi distanța necesară.

Dacă există un punct pe plan cu coordonatele M 1 (x 1, y 1) situat într-un sistem de coordonate dreptunghiular, o linie dreaptă a și trebuie să găsiți distanța M 1 H 1, puteți calcula în două moduri. Să le luăm în considerare.

Prima cale

Dacă există coordonatele punctului H 1 egale cu x 2, y 2, atunci distanța de la punct la linie se calculează din coordonatele din formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Acum să trecem la găsirea coordonatele punctului H 1.

Se știe că o dreaptă în O x y corespunde ecuației unei drepte într-un plan. Să luăm o modalitate de a defini o dreaptă a prin scrierea unei ecuații generale a unei drepte sau a unei ecuații cu o pantă. Compunem ecuația unei drepte care trece prin punctul M 1 perpendicular pe o dreaptă dată a. Să notăm linia cu fag b . H 1 este punctul de intersecție al dreptelor a și b, așa că pentru a determina coordonatele, trebuie să folosiți articolul, care se ocupă de coordonatele punctelor de intersecție a două drepte.

Se poate observa că algoritmul de găsire a distanței de la un punct dat M 1 (x 1, y 1) la dreapta a se realizează conform punctelor:

Definiția 3

• găsirea ecuației generale a dreptei a , având forma A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, sau o ecuație cu un coeficient de pantă, având forma y \u003d k 1 x + b 1;
• obținând ecuația generală a dreptei b, care are forma A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 sau o ecuație cu o pantă y \u003d k 2 x + b 2 dacă linia b intersectează punctul M 1 și este perpendiculară pe dreapta dată a;
• determinarea coordonatelor x 2, y 2 ale punctului H 1, care este punctul de intersecție al lui a și b, pentru aceasta se rezolvă sistemul de ecuații liniare A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 sau y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• calculul distanței necesare de la un punct la o dreaptă, folosind formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

A doua cale

Teorema poate ajuta să răspundă la întrebarea de a găsi distanța de la un punct dat la o dreaptă dată pe un plan.

Teorema

Un sistem de coordonate dreptunghiular are O x y are un punct M 1 (x 1, y 1), din care se trasează o dreaptă a către plan, dată de ecuația normală a planului, având forma cos α x + cos β y - p \u003d 0, egal cu modulo valoarea obținută în partea stângă a ecuației drepte normale, calculată la x = x 1, y = y 1, înseamnă că M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

Dovada

Linia a corespunde ecuației normale a planului, care are forma cos α x + cos β y - p = 0, atunci n → = (cos α , cos β) este considerat un vector normal al dreptei a la a distanta de la origine la dreapta a cu p unitati . Este necesar să reprezentați toate datele din figură, adăugați un punct cu coordonatele M 1 (x 1, y 1) , unde vectorul rază a punctului M 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) . Este necesar să trasăm o dreaptă dintr-un punct la o dreaptă, pe care o vom nota cu M 1 H 1 . Este necesar să se arate proiecțiile M 2 și H 2 ale punctelor M 1 și H 2 pe o dreaptă care trece prin punctul O cu un vector de direcție de forma n → = (cos α , cos β) și proiecția numerică. a vectorului va fi notat ca O M 1 → = (x 1 , y 1) pe direcția n → = (cos α , cos β) ca n p n → O M 1 → .

Variațiile depind de locația punctului M 1 însuși. Luați în considerare figura de mai jos.

Fixăm rezultatele folosind formula M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p . Apoi aducem egalitatea la această formă M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p pentru a obține n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Produs scalar vectori ca rezultat dă o formulă transformată de forma n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , care este un produs sub formă de coordonate de forma n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Prin urmare, obținem că n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Rezultă că M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . Teorema a fost demonstrată.

Obținem că pentru a găsi distanța de la punctul M 1 (x 1, y 1) până la dreapta a pe plan, trebuie efectuate câteva acțiuni:

Definiția 4

• obţinerea ecuaţiei normale a dreptei a cos α · x + cos β · y - p = 0, cu condiţia ca aceasta să nu fie în sarcină;
• calculul expresiei cos α · x 1 + cos β · y 1 - p , unde valoarea rezultată ia M 1 H 1 .

Să aplicăm aceste metode pentru a rezolva problemele legate de găsirea distanței de la un punct la un plan.

Exemplul 1

Aflați distanța de la punctul cu coordonatele M 1 (- 1 , 2) la dreapta 4 x - 3 y + 35 = 0 .

Soluţie

Să folosim prima metodă pentru a rezolva.

Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți ecuație generală dreapta b , care trece prin punctul dat M 1 (- 1 , 2) , perpendicular pe dreapta 4 x - 3 y + 35 = 0 . Se poate observa din condiția ca dreapta b să fie perpendiculară pe dreapta a, atunci vectorul său de direcție are coordonatele egale cu (4, - 3) . Astfel, avem posibilitatea de a scrie ecuația canonică a dreptei b pe plan, deoarece există coordonatele punctului M 1, aparține dreptei b. Să determinăm coordonatele vectorului de direcție al dreptei b . Obținem că x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . Ecuația canonică rezultată trebuie convertită într-una generală. Atunci obținem asta

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Să găsim coordonatele punctelor de intersecție ale dreptelor, pe care le vom lua ca denumire H 1. Transformările arată astfel:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Din cele de mai sus, avem că coordonatele punctului H 1 sunt (- 5; 5) .

Este necesar să se calculeze distanța de la punctul M 1 la dreapta a. Avem că coordonatele punctelor M 1 (- 1, 2) și H 1 (- 5, 5), apoi înlocuim în formula pentru găsirea distanței și obținem că

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

A doua soluție.

Pentru a rezolva în alt mod, este necesar să se obțină ecuația normală a unei drepte. Calculăm valoarea factorului de normalizare și înmulțim ambele părți ale ecuației 4 x - 3 y + 35 = 0 . De aici rezultă că factorul de normalizare este - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , iar ecuația normală va fi de forma - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Conform algoritmului de calcul, este necesar să obțineți ecuația normală a unei linii drepte și să o calculați cu valorile x = - 1 , y = 2 . Atunci obținem asta

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

De aici obținem că distanța de la punctul M 1 (- 1 , 2) la dreapta dată 4 x - 3 y + 35 = 0 are valoarea - 5 = 5 .

Răspuns: 5 .

Se vede ca in aceasta metoda este important să folosiți ecuația normală a unei linii drepte, deoarece această metodă este cea mai scurtă. Dar prima metodă este convenabilă prin faptul că este consecventă și logică, deși are mai multe puncte de calcul.

Exemplul 2

Pe plan există un sistem de coordonate dreptunghiular O x y cu un punct M 1 (8, 0) și o dreaptă y = 1 2 x + 1. Aflați distanța de la un punct dat la o linie dreaptă.

Soluţie

Soluția în primul mod presupune reducerea ecuația dată cu o pantă față de ecuație vedere generala. Pentru a simplifica, o puteți face diferit.

Dacă produsul pantelor dreptelor perpendiculare are valoarea - 1, atunci pantă dreapta perpendiculară pe y = 1 2 x + 1 dat are valoarea 2 . Acum obținem ecuația unei drepte care trece printr-un punct cu coordonatele M 1 (8, 0) . Avem că y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Continuăm să găsim coordonatele punctului H 1, adică punctele de intersecție y \u003d - 2 x + 16 și y \u003d 1 2 x + 1. Compunem un sistem de ecuații și obținem:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Rezultă că distanța de la punctul cu coordonatele M 1 (8 , 0) la linia y = 1 2 x + 1 este egală cu distanța de la punctul de început și punctul final cu coordonatele M 1 (8 , 0) și H. 1 (6, 4). Să calculăm și să obținem că M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

Soluția în a doua modalitate este să trecem de la ecuația cu coeficient la forma sa normală. Adică, obținem y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0, atunci valoarea factorului de normalizare va fi - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . Rezultă că ecuația normală a unei drepte ia forma - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Să calculăm din punctul M 1 8 , 0 la o dreaptă de forma - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Primim:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

Răspuns: 2 5 .

Exemplul 3

Este necesar să se calculeze distanța de la punctul cu coordonatele M 1 (- 2 , 4) la liniile drepte 2 x - 3 = 0 și y + 1 = 0 .

Soluţie

Obținem ecuația formei normale a dreptei 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Apoi procedăm la calcularea distanței de la punctul M 1 - 2, 4 la linia dreaptă x - 3 2 = 0. Primim:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Ecuația dreaptă y + 1 = 0 are un factor de normalizare cu valoarea -1. Aceasta înseamnă că ecuația va lua forma - y - 1 = 0 . Se procedează la calcularea distanței de la punctul M 1 (- 2 , 4) la dreapta - y - 1 = 0 . Obținem că este egal cu - 4 - 1 = 5.

Răspuns: 3 1 2 și 5 .

Să luăm în considerare în detaliu determinarea distanței de la un punct dat al planului la axele de coordonate O x și O y.

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular, axa O y are o ecuație a unei linii drepte, care este incompletă și are forma x \u003d 0 și O x - y \u003d 0. Ecuațiile sunt normale pentru axele de coordonate, atunci este necesar să se găsească distanța de la punctul cu coordonatele M 1 x 1 , y 1 la liniile drepte. Aceasta se realizează pe baza formulelor M 1 H 1 = x 1 și M 1 H 1 = y 1 . Luați în considerare figura de mai jos.

Exemplul 4

Aflați distanța de la punctul M 1 (6, - 7) la liniile de coordonate situate în planul O x y.

Soluţie

Deoarece ecuația y \u003d 0 se referă la linia O x, puteți găsi distanța de la M 1 cu coordonatele date la această linie folosind formula. Obținem că 6 = 6.

Deoarece ecuația x \u003d 0 se referă la linia O y, puteți găsi distanța de la M 1 la această linie folosind formula. Atunci obținem că - 7 = 7 .

Răspuns: distanța de la M 1 la O x are valoarea 6, iar de la M 1 la O y are valoarea 7.

Când în spațiul tridimensional avem un punct cu coordonatele M 1 (x 1, y 1, z 1), este necesar să se afle distanța de la punctul A la dreapta a.

Luați în considerare două moduri care vă permit să calculați distanța de la un punct la o linie dreaptă situată în spațiu. Primul caz are în vedere distanța de la punctul M 1 la linie, unde punctul de pe dreaptă se numește H 1 și este baza perpendicularei trase de la punctul M 1 la dreapta a. Al doilea caz sugerează că punctele acestui plan trebuie căutate ca înălțime a paralelogramului.

Prima cale

Din definiție, avem că distanța de la punctul M 1 situat pe dreapta a este lungimea perpendicularei M 1 H 1, atunci obținem că cu coordonatele găsite ale punctului H 1, atunci găsim distanța. între M 1 (x 1, y 1, z 1 ) și H 1 (x 1, y 1, z 1) pe baza formulei M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Obținem că întreaga soluție merge la găsirea coordonatelor bazei perpendicularei trase de la M 1 la dreapta a. Este produs în felul următor: H 1 este punctul în care dreapta a se intersectează cu planul care trece prin punctul dat.

Aceasta înseamnă că algoritmul de determinare a distanței de la punctul M 1 (x 1, y 1, z 1) la linia dreaptă a spațiului implică mai multe puncte:

Definiția 5

• întocmirea ecuației planului χ ca o ecuație a planului care trece printr-un punct dat perpendicular pe dreapta;
• determinarea coordonatelor (x 2 , y 2 , z 2) aparținând punctului H 1 care este punctul de intersecție al dreptei a și planului χ ;
• calculul distanței de la un punct la o dreaptă folosind formula M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

A doua cale

Din condiția avem o dreaptă a, atunci putem determina vectorul direcție a → = a x, a y, a z cu coordonatele x 3, y 3, z 3 și un anumit punct M 3 aparținând dreptei a. Având în vedere coordonatele punctelor M 1 (x 1 , y 1) și M 3 x 3 , y 3 , z 3 , M 3 M 1 → se pot calcula:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Este necesar să amânați vectorii a → \u003d a x, a y, a z și M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 din punctul M 3, conectați și obțineți o figură în paralelogram. M 1 H 1 este înălțimea paralelogramului.

Luați în considerare figura de mai jos.

Avem că înălțimea M 1 H 1 este distanța dorită, atunci trebuie să o găsiți folosind formula. Adică căutăm M 1 H 1 .

Notați aria paralelogramului cu litera S, se găsește prin formula folosind vectorul a → = (a x , a y , a z) și M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . Formula ariei are forma S = a → × M 3 M 1 → . De asemenea, aria figurii este egală cu produsul dintre lungimile laturilor sale și înălțimea, obținem că S \u003d a → M 1 H 1 cu a → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2, care este lungimea vectorului a → \u003d (a x, a y, a z) , care este egală cu latura paralelogramului. Prin urmare, M 1 H 1 este distanța de la punct la linie. Se găsește prin formula M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Pentru a găsi distanța de la un punct cu coordonatele M 1 (x 1, y 1, z 1) la o linie dreaptă a în spațiu, trebuie să efectuați mai multe puncte ale algoritmului:

Definiția 6

• determinarea vectorului de direcție al dreptei a - a → = (a x , a y , a z) ;
• calculul lungimii vectorului de direcție a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• obţinerea coordonatelor x 3 , y 3 , z 3 aparţinând punctului M 3 situat pe dreapta a;
• calculul coordonatelor vectorului M 3 M 1 → ;
• găsirea produsului încrucișat al vectorilor a → (a x, a y, a z) și M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 ca a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 pentru a obține lungimea după formula a → × M 3 M 1 → ;
• calculul distanței de la un punct la o dreaptă M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Rezolvarea problemelor privind găsirea distanței de la un punct dat la o dreaptă dată în spațiu

Exemplul 5

Aflați distanța de la punctul cu coordonatele M 1 2 , - 4 , - 1 până la dreapta x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 .

Soluţie

Prima metodă începe cu scrierea ecuației planului χ care trece prin M 1 și perpendicular pe un punct dat. Obținem o expresie ca:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Este necesar să găsim coordonatele punctului H 1, care este punctul de intersecție cu planul χ la dreapta dată de condiție. Este necesar să trecem de la forma canonică la cea care se intersectează. Apoi obținem un sistem de ecuații de forma:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Este necesar să se calculeze sistemul x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 prin metoda lui Cramer, atunci obținem că:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ = z - ∆ 60 = 0

Prin urmare avem că H 1 (1, - 1, 0) .

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

A doua metodă trebuie începută prin căutarea coordonatelor în ecuația canonică. Pentru a face acest lucru, acordați atenție numitorilor fracției. Atunci a → = 2 , - 1 , 5 este vectorul de direcție al dreptei x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 . Este necesar să se calculeze lungimea folosind formula a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Este clar că linia x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 intersectează punctul M 3 (- 1 , 0 , - 5), deci avem că vectorul cu originea M 3 (- 1 , 0 , - 5) iar capătul său în punctul M 1 2 , - 4 , - 1 este M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Aflați produsul vectorial a → = (2, - 1, 5) și M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) .

Obținem o expresie de forma a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

obținem că lungimea produsului încrucișat este a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .

Avem toate datele pentru a folosi formula pentru calcularea distanței de la un punct pentru o linie dreaptă, așa că o aplicăm și obținem:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Răspuns: 11 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Să fie fixat un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiul tridimensional Oxyz, punct dat, linie Ași este necesar să se găsească distanța de la punct A spre drept A.

Vom arăta două moduri de a calcula distanța de la un punct la o linie în spațiu. În primul caz, găsirea distanței de la un punct M 1 spre drept A se rezumă la găsirea distanței de la un punct M 1 până la punctul H 1 , Unde H 1 - baza perpendicularei coborâtă din punct M 1 direct A. În al doilea caz, distanța de la un punct la un plan va fi găsită ca înălțimea unui paralelogram.

Asadar, haideti sa începem.

Prima modalitate de a găsi distanța de la un punct la o dreaptă a în spațiu.

Deoarece, prin definiție, distanța de la un punct M 1 spre drept A este lungimea perpendicularei M 1 H 1 , apoi, după ce au determinat coordonatele punctului H 1 , putem calcula distanța dorită ca distanță dintre puncte Și conform formulei .

Astfel, problema se reduce la găsirea coordonatelor bazei perpendicularei construite din punct M 1 la o linie dreaptă A. Este destul de ușor de făcut: punct H 1 este punctul de intersecție al dreptei A cu un avion care trece printr-un punct M 1 perpendicular pe linie A.

Prin urmare, un algoritm care vă permite să determinați distanța de la un punct spre dreptA in spatiu, este:

A doua metodă, care vă permite să găsiți distanța de la un punct la o linie a în spațiu.

Deoarece în starea problemei ni se dă o linie dreaptă A, atunci putem determina vectorul său de direcție și coordonatele unui punct M 3 culcat pe o linie dreaptă A. Apoi, după coordonatele punctelor și putem calcula coordonatele unui vector:

Lăsați vectorii deoparte iar din punct de vedere M 3 și construiește un paralelogram pe ele. Desenați o înălțime în acest paralelogram M 1 H 1 .

Evident, înălțimea M 1 H 1 paralelogramul construit este egal cu distanța dorită de la punct M 1 spre drept A. Sa gasim .

Pe de o parte, aria paralelogramului (o notăm S) poate fi găsit prin produsul vectorial al vectorilor iar conform formulei . Pe de altă parte, aria unui paralelogram este egală cu produsul dintre lungimea laturii sale și înălțimea, adică , Unde - lungimea vectorului , egală cu lungimea laturii paralelogramului luat în considerare. Prin urmare, distanța de la punctul dat M 1 la o linie dată A poate fi găsită din egalitate Cum .

Asa de, pentru a afla distanța de la un punct spre dreptA necesare în spațiu

Rezolvarea problemelor privind găsirea distanței de la un punct dat la o dreaptă dată în spațiu.

Să luăm în considerare un exemplu de soluție.

Exemplu.

Găsiți distanța de la un punct spre drept .

Soluţie.

Prima cale.

Să scriem ecuația planului care trece prin punctul M 1 perpendiculara pe o dreapta data:

Aflați coordonatele unui punct H 1 - punctele de intersecție ale planului și dreptei date. Pentru a face acest lucru, efectuăm trecerea de la ecuațiile canonice ale dreptei la ecuațiile a două plane care se intersectează.

după care rezolvăm sistemul de ecuații liniare Metoda lui Cramer:

Prin urmare, .

Rămâne de calculat distanța necesară de la punct la linie ca distanță dintre puncte Și : .

A doua cale.

Numerele din numitorii fracțiilor din ecuațiile canonice ale dreptei sunt coordonatele corespunzătoare ale vectorului de direcție al acestei drepte, adică - vector directie drept . Să-i calculăm lungimea: .

Evident, linia dreaptă trece printr-un punct , apoi vectorul cu originea în punct și se termină într-un punct Există . Găsiți produsul încrucișat al vectorilor Și :
atunci lungimea acestui produs încrucișat este .

Acum avem toate datele pentru a folosi formula pentru a calcula distanța de la un punct dat la un plan dat: .

Răspuns:

Dispunerea reciprocă a liniilor în spațiu