Găsiți unghiul dintre trei drepte. Cele mai simple probleme cu o linie dreaptă pe un plan

Cu ajutorul acestuia calculator online găsiți unghiul dintre linii. dat solutie detaliata cu explicatii. Pentru a calcula unghiul dintre linii, setați dimensiunea (2-dacă o linie dreaptă este considerată pe un plan, 3- dacă o linie dreaptă este considerată în spațiu), introduceți elementele ecuației în celule și faceți clic pe " butonul Rezolvare”. Vezi mai jos partea teoretică.

×

Avertizare

Ștergeți toate celulele?

Închide Clear

Instrucțiuni de introducere a datelor. Numerele sunt introduse ca numere întregi (exemple: 487, 5, -7623 etc.), numere zecimale (de ex. 67, 102,54 etc.) sau fracții. Fracția trebuie introdusă sub forma a/b, unde a și b (b>0) sunt numere întregi sau zecimale. Exemplele 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 etc.

1. Unghiul dintre liniile unui plan

Liniile sunt date de ecuațiile canonice

1.1. Determinarea unghiului dintre linii

Lăsați liniile în spațiul bidimensional L 1 și L

Astfel, din formula (1.4) se poate găsi unghiul dintre drepte L 1 și L 2. După cum se poate observa din Fig.1, liniile care se intersectează formează unghiuri adiacente φ Și φ 1 . Dacă unghiul găsit este mai mare de 90°, atunci puteți găsi unghiul minim dintre linii L 1 și L 2: φ 1 =180-φ .

Din formula (1.4) se pot deduce condițiile de paralelism și perpendicularitate a două drepte.

Exemplul 1. Determinați unghiul dintre linii

Să simplificăm și să rezolvăm:

1.2. Starea liniilor paralele

Lăsa φ =0. Apoi cosφ=1. În acest caz, expresia (1.4) va lua următoarea formă:

Exemplul 2. Determinați dacă dreptele sunt paralele

Egalitatea (1.9) este satisfăcută, deci dreptele (1.10) și (1.11) sunt paralele.

Răspuns. Dreptele (1.10) și (1.11) sunt paralele.

1.3. Condiția de perpendicularitate a liniilor

Lăsa φ =90°. Apoi cosφ=0. În acest caz, expresia (1.4) va lua următoarea formă:

Exemplul 3. Determinați dacă dreptele sunt perpendiculare

Condiția (1.13) este îndeplinită, deci dreptele (1.14) și (1.15) sunt perpendiculare.

Răspuns. Dreptele (1.14) și (1.15) sunt perpendiculare.

Dreaptele sunt date de ecuațiile generale

1.4. Determinarea unghiului dintre linii

Lasă două rânduri L 1 și L 2 sunt date prin ecuații generale

Din definiția produsului scalar a doi vectori, avem:

Exemplul 4. Aflați unghiul dintre linii

Înlocuirea valorilor A 1 , B 1 , A 2 , B 2 în (1.23), obținem:

Acest unghi este mai mare de 90°. Găsiți unghiul minim dintre linii. Pentru a face acest lucru, scade acest unghi din 180:

Pe de altă parte, starea liniilor paralele L 1 și L 2 este echivalent cu condiția vectorilor coliniari n 1 și n 2 și poate fi reprezentat astfel:

Egalitatea (1.24) este satisfăcută, deci dreptele (1.26) și (1.27) sunt paralele.

Răspuns. Dreptele (1.26) și (1.27) sunt paralele.

1.6. Condiția de perpendicularitate a liniilor

Condiția de perpendicularitate a liniilor L 1 și L 2 poate fi extras din formula (1.20) prin substituire cos(φ )=0. Apoi produs scalar (n 1 ,n 2)=0. Unde

Egalitatea (1.28) este satisfăcută, deci dreptele (1.29) și (1.30) sunt perpendiculare.

Răspuns. Dreptele (1.29) și (1.30) sunt perpendiculare.

2. Unghiul dintre liniile din spațiu

2.1. Determinarea unghiului dintre linii

Lăsați liniile în spațiu L 1 și L 2 sunt date de ecuațiile canonice

unde | q 1 | și | q 2 | module de vector de direcție q 1 și q 2 respectiv, φ -unghiul dintre vectori q 1 și q 2 .

Din expresia (2.3) obținem:

.

Să simplificăm și să rezolvăm:

.

Să găsim colțul φ

unghiul dintre planuri

Să considerăm două plane α 1 și α 2 date, respectiv, de ecuațiile:

Sub colţîntre două planuri vom înțelege unul dintre unghiuri diedrice formate din aceste avioane. Este evident că unghiul dintre vectorii normali și planurile α 1 și α 2 este egal cu unul dintre unghiurile diedrice adiacente indicate sau . De aceea . Deoarece Și , Acea

.

Exemplu. Determinați unghiul dintre plane X+2y-3z+4=0 și 2 X+3y+z+8=0.

Condiția paralelismului a două plane.

Două plane α 1 și α 2 sunt paralele dacă și numai dacă vectorii lor normali și sunt paraleli și, prin urmare .

Deci, două plane sunt paralele unul cu celălalt dacă și numai dacă coeficienții la coordonatele corespunzătoare sunt proporționali:

sau

Condiția de perpendicularitate a planurilor.

Este clar că două plane sunt perpendiculare dacă și numai dacă vectorii lor normali sunt perpendiculari și, prin urmare, sau .

Prin urmare, .

Exemple.

DIRECT ÎN SPAȚIU.

ECUAȚIA VECTORALĂ DIRECT.

ECUATII PARAMETRICE DIRECT

Poziția unei linii drepte în spațiu este complet determinată prin specificarea oricăruia dintre punctele sale fixe M 1 și un vector paralel cu această dreaptă.

Un vector paralel cu o dreaptă se numește îndrumare vectorul acestei linii.

Deci, lasă dreapta l trece printr-un punct M 1 (X 1 , y 1 , z 1) situat pe o dreaptă paralelă cu vectorul .

Luați în considerare un punct arbitrar M(x,y,z) pe o linie dreaptă. Din figură se poate observa că .

Vectorii și sunt coliniari, deci există un astfel de număr t, ce , unde este multiplicatorul t poate lua orice valoare numerică în funcție de poziția punctului M pe o linie dreaptă. Factor t se numește parametru. Indicarea vectorilor de rază ai punctelor M 1 și M respectiv, prin și , obținem . Această ecuație se numește vector ecuație în linie dreaptă. Arată că fiecare parametru este valoarea t corespunde vectorului raza unui punct M culcat pe o linie dreaptă.

Scriem această ecuație sub formă de coordonate. Observa asta , si de aici

Ecuațiile rezultate se numesc parametrice ecuații în linie dreaptă.

La modificarea parametrului t se schimbă coordonatele X, yȘi zși punct M se mișcă în linie dreaptă.

ECUATII CANONICE DIRECT

Lăsa M 1 (X 1 , y 1 , z 1) - un punct situat pe o linie dreaptă l, Și este vectorul său de direcție. Din nou, luați un punct arbitrar pe o linie dreaptă M(x,y,z)și luați în considerare vectorul .

Este clar că vectorii și sunt coliniari, deci coordonatele lor respective trebuie să fie proporționale, prin urmare

– canonic ecuații în linie dreaptă.

Observație 1. Rețineți că ecuațiile canonice ale dreptei pot fi obținute din ecuațiile parametrice prin eliminarea parametrului t. Într-adevăr, din ecuațiile parametrice obținem sau .

Exemplu. Scrieți ecuația unei drepte într-un mod parametric.

Denota , prin urmare X = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Observația 2. Fie linia perpendiculară pe una dintre axele de coordonate, de exemplu, axa Bou. Atunci vectorul direcție al dreptei este perpendicular Bou, prin urmare, m=0. În consecință, ecuațiile parametrice ale dreptei iau forma

Eliminarea parametrului din ecuații t, obținem ecuațiile dreptei în forma

Totuși, și în acest caz, suntem de acord să scriem formal ecuațiile canonice ale dreptei în formă . Astfel, dacă numitorul uneia dintre fracții este zero, atunci aceasta înseamnă că linia este perpendiculară pe axa de coordonate corespunzătoare.

În mod similar, ecuațiile canonice corespunde unei drepte perpendiculare pe axele BouȘi Oi sau axa paralela Oz.

Exemple.

ECUAȚII GENERALE O LINIE DIRECTĂ CA O LINIE DE INTERCEPȚIE A DOUA PLANURI

Prin fiecare linie dreaptă din spațiu trece un număr infinit de plane. Oricare două dintre ele, intersectându-se, îl definesc în spațiu. Prin urmare, ecuațiile oricăror două astfel de planuri, considerate împreună, sunt ecuațiile acestei drepte.

În general, oricare două plane neparalele date de ecuațiile generale

determinați linia lor de intersecție. Aceste ecuații se numesc ecuații generale Drept.

Exemple.

Construiți o dreaptă dată de ecuații

Pentru a construi o dreaptă, este suficient să găsiți oricare dintre punctele sale. Cel mai simplu mod este să alegeți punctele de intersecție ale dreptei cu planurile de coordonate. De exemplu, punctul de intersecție cu planul xOy obţinem din ecuaţiile unei drepte, presupunând z= 0:

Rezolvând acest sistem, găsim ideea M 1 (1;2;0).

În mod similar, presupunând y= 0, obținem punctul de intersecție al dreptei cu planul xOz:

Din ecuațiile generale ale unei linii drepte, se poate trece la ecuațiile ei canonice sau parametrice. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți un punct M 1 pe linie și vectorul de direcție al dreptei.

Coordonatele punctului M 1 obținem din acest sistem de ecuații, dând uneia dintre coordonate o valoare arbitrară. Pentru a găsi vectorul direcție, rețineți că acest vector trebuie să fie perpendicular pe ambii vectori normali Și . Prin urmare, pentru vectorul direcție al dreptei l puteți lua produsul încrucișat al vectorilor normali:

.

Exemplu. Conduce ecuații generale Drept la forma canonică.

Găsiți un punct pe o dreaptă. Pentru a face acest lucru, alegem în mod arbitrar una dintre coordonate, de exemplu, y= 0 și rezolvați sistemul de ecuații:

Vectorii normali ai planurilor care definesc dreapta au coordonate Prin urmare, vectorul direcție va fi drept

. Prin urmare, l: .

unghiul dintre drepturi

colţîntre drepte în spațiu vom numi oricare dintre unghiurile adiacente formate din două drepte trasate printr-un punct arbitrar paralel cu datele.

Să fie date două drepte în spațiu:

Evident, unghiul φ dintre linii poate fi luat ca unghi între vectorii lor de direcție și . Deoarece , atunci conform formulei pentru cosinusul unghiului dintre vectori obținem

Va fi util pentru fiecare elev care se pregătește pentru examenul de matematică să repete subiectul „Găsirea unghiului dintre linii”. După cum arată statisticile, la trecerea unui test de certificare, sarcinile din această secțiune de stereometrie provoacă dificultăți pentru un numar mare elevi. În același timp, sarcinile care necesită găsirea unghiului dintre liniile drepte se regăsesc în USE atât de bază, cât și nivel de profil. Aceasta înseamnă că toată lumea ar trebui să le poată rezolva.

Momente de bază

Există 4 tipuri de aranjare reciprocă a liniilor în spațiu. Ele pot coincide, se intersectează, pot fi paralele sau se intersectează. Unghiul dintre ele poate fi acut sau drept.

Pentru a găsi unghiul dintre linii în examenul de stat unificat sau, de exemplu, în soluție, școlarii din Moscova și alte orașe pot folosi mai multe metode pentru rezolvarea problemelor din această secțiune a stereometriei. Puteți finaliza sarcina prin construcții clasice. Pentru a face acest lucru, merită să învățați axiomele și teoremele de bază ale stereometriei. Elevul trebuie să fie capabil să construiască logic raționament și să creeze desene pentru a aduce sarcina la o problemă planimetrică.

De asemenea, puteți utiliza metoda vector-coordonate, folosind formule, reguli și algoritmi simpli. Principalul lucru în acest caz este să efectuați corect toate calculele. Proiectul educațional Shkolkovo vă va ajuta să vă îmbunătățiți abilitățile în rezolvarea problemelor din stereometrie și alte secțiuni ale cursului școlar.

Acest material este dedicat unui astfel de concept precum unghiul dintre două linii drepte care se intersectează. În primul paragraf, vom explica ce este și o vom arăta în ilustrații. Apoi vom analiza cum puteți găsi sinusul, cosinusul acestui unghi și unghiul în sine (vom lua în considerare separat cazurile cu un plan și spațiu tridimensional), vom da formulele necesare și vom arăta cu exemple cum sunt aplicate exact. in practica.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pentru a înțelege ce este un unghi format la intersecția a două drepte, trebuie să ne amintim însăși definiția unghiului, a perpendicularității și a unui punct de intersecție.

Definiția 1

Numim două drepte care se intersectează dacă au un punct comun. Acest punct se numește punctul de intersecție a celor două drepte.

Fiecare linie este împărțită de punctul de intersecție în raze. În acest caz, ambele linii formează 4 unghiuri, dintre care două sunt verticale și două sunt adiacente. Dacă cunoaștem măsura unuia dintre ele, atunci le putem determina pe celelalte rămase.

Să presupunem că știm că unul dintre unghiuri este egal cu α. Într-un astfel de caz, unghiul care este vertical față de acesta va fi, de asemenea, egal cu α. Pentru a găsi unghiurile rămase, trebuie să calculăm diferența 180 ° - α . Dacă α este egal cu 90 de grade, atunci toate unghiurile vor fi drepte. Liniile care se intersectează în unghi drept sunt numite perpendiculare (un articol separat este dedicat conceptului de perpendicularitate).

Aruncă o privire la poză:

Să trecem la formularea definiției principale.

Definiția 2

Unghiul format din două drepte care se intersectează este măsura celui mai mic dintre cele 4 unghiuri care formează aceste două drepte.

Din definiție trebuie trasă o concluzie importantă: mărimea unghiului în acest caz va fi exprimată prin orice număr real din intervalul (0 , 90 ] . Dacă dreptele sunt perpendiculare, atunci unghiul dintre ele va fi în orice caz egal cu 90 de grade.

Capacitatea de a găsi măsura unghiului dintre două drepte care se intersectează este utilă pentru rezolvarea multor probleme practice. Metoda de rezolvare poate fi selectată din mai multe opțiuni.

Pentru început, putem lua metode geometrice. Dacă știm ceva despre unghiuri suplimentare, atunci le putem conecta la unghiul de care avem nevoie folosind proprietățile formelor egale sau similare. De exemplu, dacă cunoaștem laturile unui triunghi și trebuie să calculăm unghiul dintre liniile pe care sunt situate aceste laturi, atunci teorema cosinusului este potrivită pentru rezolvare. Daca avem in stare triunghi dreptunghic, atunci pentru calcule vom avea nevoie și de cunoștințe ale sinusului, cosinusului și tangentei unghiului.

Metoda coordonatelor este, de asemenea, foarte convenabilă pentru rezolvarea problemelor de acest tip. Să explicăm cum să-l folosim corect.

Avem un sistem de coordonate dreptunghiular (cartezian) O x y cu două drepte. Să le notăm cu literele a și b. În acest caz, liniile drepte pot fi descrise folosind orice ecuație. Liniile originale au un punct de intersecție M . Cum se determină unghiul dorit (să-l notăm α) între aceste linii?

Să începem cu formularea principiului de bază al găsirii unui unghi în condiții date.

Știm că concepte precum direcția și vectorul normal sunt strâns legate de conceptul de linie dreaptă. Dacă avem ecuația unei linii drepte, putem lua din ea coordonatele acestor vectori. Putem face acest lucru pentru două linii care se intersectează simultan.

Unghiul format din două drepte care se intersectează poate fi găsit folosind:

• unghiul dintre vectorii de direcție;
• unghiul dintre vectorii normali;
• unghiul dintre vectorul normal al unei linii și vectorul direcție al celeilalte.

Acum să ne uităm la fiecare metodă separat.

1. Să presupunem că avem o dreaptă a cu vector de direcție a → = (a x , a y) și o dreaptă b cu vector de direcție b → (b x , b y) . Acum să lăsăm deoparte doi vectori a → și b → din punctul de intersecție. După aceea, vom vedea că fiecare va fi amplasat pe propria linie. Apoi avem patru opțiuni pentru poziția lor relativă. Vezi ilustrația:

Dacă unghiul dintre doi vectori nu este obtuz, atunci va fi unghiul de care avem nevoie între liniile care se intersectează a și b. Dacă este obtuz, atunci unghiul dorit va fi egal cu unghiul adiacent unghiului a → , b → ^ . Astfel, α = a → , b → ^ dacă a → , b → ^ ≤ 90 ° , și α = 180 ° - a → , b → ^ dacă a → , b → ^ > 90 ° .

Din moment ce cosinus unghiuri egale sunt egale, putem rescrie egalitățile rezultate astfel: cos α = cos a → , b → ^ dacă a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ dacă a → , b → ^ > 90 ° .

În al doilea caz s-au folosit formule de reducere. Prin urmare,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Să scriem ultima formulă în cuvinte:

Definiția 3

Cosinusul unghiului format din două drepte care se intersectează va fi egal cu modulul cosinusului unghiului dintre vectorii săi de direcție.

Forma generală a formulei pentru cosinusul unghiului dintre doi vectori a → = (a x, a y) și b → = (b x, b y) arată astfel:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Din aceasta putem deriva formula pentru cosinusul unghiului dintre două drepte date:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Apoi unghiul în sine poate fi găsit folosind următoarea formulă:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Aici a → = (a x , a y) și b → = (b x , b y) sunt vectorii de direcție ai dreptelor date.

Să dăm un exemplu de rezolvare a problemei.

Exemplul 1

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular, pe plan sunt date două drepte care se intersectează a și b. Ele pot fi descrise prin ecuații parametrice x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R și x 5 = y - 6 - 3 . Calculați unghiul dintre aceste drepte.

Soluţie

Avem o ecuație parametrică în condiție, ceea ce înseamnă că pentru această linie dreaptă putem nota imediat coordonatele vectorului său de direcție. Pentru a face acest lucru, trebuie să luăm valorile coeficienților la parametru, adică. dreapta x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R va avea un vector de direcție a → = (4 , 1) .

A doua linie dreaptă este descrisă folosind ecuația canonică x 5 = y - 6 - 3 . Aici putem lua coordonatele de la numitori. Astfel, această dreaptă are un vector de direcție b → = (5 , - 3) .

În continuare, trecem direct la găsirea unghiului. Pentru a face acest lucru, pur și simplu înlocuiți coordonatele disponibile ale celor doi vectori în formula de mai sus α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Obținem următoarele:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

Răspuns: Aceste linii formează un unghi de 45 de grade.

Putem rezolva o problemă similară găsind unghiul dintre vectorii normali. Dacă avem o dreaptă a cu un vector normal n a → = (n a x , n a y) și o dreaptă b cu un vector normal n b → = (n b x , n b y) , atunci unghiul dintre ele va fi egal cu unghiul dintre n a → și n b → sau unghiul care va fi adiacent lui n a → , n b → ^ . Această metodă este prezentată în imagine:

Formulele pentru calcularea cosinusului unghiului dintre liniile care se intersectează și acest unghi în sine folosind coordonatele vectorilor normali arată astfel:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n de y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n by y 2

Aici n a → și n b → denotă vectorii normali ai două drepte date.

Exemplul 2

Două drepte sunt date într-un sistem de coordonate dreptunghiular folosind ecuațiile 3 x + 5 y - 30 = 0 și x + 4 y - 17 = 0 . Găsiți sinusul, cosinusul unghiului dintre ele și mărimea acelui unghi în sine.

Soluţie

Dreaptele inițiale sunt date folosind ecuații drepte normale de forma A x + B y + C = 0 . Se notează vectorul normal n → = (A , B) . Să găsim coordonatele primului vector normal pentru o dreaptă și să le scriem: n a → = (3 , 5) . Pentru a doua linie x + 4 y - 17 = 0 vectorul normal va avea coordonatele n b → = (1 , 4) . Acum adăugați valorile obținute la formulă și calculați totalul:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Dacă cunoaștem cosinusul unui unghi, atunci putem calcula sinusul acestuia folosind identitatea trigonometrică de bază. Deoarece unghiul α format din linii drepte nu este obtuz, atunci sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

În acest caz, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .

Răspuns: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Să analizăm ultimul caz - găsirea unghiului dintre drepte, dacă știm coordonatele vectorului de direcție al unei linii și vectorului normal al celeilalte.

Să presupunem că linia a are un vector de direcție a → = (a x , a y) , iar linia b are un vector normal n b → = (n b x , n b y) . Trebuie să amânăm acești vectori din punctul de intersecție și să luăm în considerare toate opțiunile pentru poziția lor relativă. Vezi poza:

Dacă unghiul dintre vectori dați nu mai mult de 90 de grade, se dovedește că va completa unghiul dintre a și b la un unghi drept.

a → , n b → ^ = 90 ° - α dacă a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Dacă este mai mică de 90 de grade, atunci obținem următoarele:

a → , n b → ^ > 90 ° , apoi a → , n b → ^ = 90 ° + α

Folosind regula egalității cosinusurilor de unghiuri egale, scriem:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α pentru a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α la a → , n b → ^ > 90 ° .

Prin urmare,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Să formulăm o concluzie.

Definiția 4

Pentru a găsi sinusul unghiului dintre două drepte care se intersectează într-un plan, trebuie să calculați modulul cosinusului unghiului dintre vectorul de direcție al primei linii și vectorul normal al celei de-a doua.

Să notăm formulele necesare. Aflarea sinusului unui unghi:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Găsirea colțului în sine:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Aici a → este vectorul de direcție al primei linii, iar n b → este vectorul normal al celei de-a doua.

Exemplul 3

Două drepte care se intersectează sunt date de ecuațiile x - 5 = y - 6 3 și x + 4 y - 17 = 0 . Aflați unghiul de intersecție.

Soluţie

Luăm coordonatele vectorului de direcție și normal din ecuațiile date. Rezultă a → = (- 5 , 3) ​​​​și n → b = (1 , 4) . Luăm formula α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n by y 2 și luăm în considerare:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Rețineți că am luat ecuațiile din problema anterioară și am obținut exact același rezultat, dar într-un mod diferit.

Răspuns:α = a r c sin 7 2 34

Iată o altă modalitate de a găsi unghiul dorit folosind coeficienții de pantă ai liniilor date.

Avem o linie a , care este definită într-un sistem de coordonate dreptunghiular folosind ecuația y = k 1 · x + b 1 , și o linie b , definită ca y = k 2 · x + b 2 . Acestea sunt ecuații ale dreptelor cu pantă. Pentru a găsi unghiul de intersecție, utilizați formula:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , unde k 1 și k 2 sunt factori de pantă linii date. Pentru a obține această înregistrare s-au folosit formule pentru determinarea unghiului prin coordonatele vectorilor normali.

Exemplul 4

Există două drepte care se intersectează într-un plan, dat de ecuaţii y = - 3 5 x + 6 și y = - 1 4 x + 17 4 . Calculați unghiul de intersecție.

Soluţie

Pantele dreptelor noastre sunt egale cu k 1 = - 3 5 și k 2 = - 1 4 . Să le adăugăm la formula α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 și să calculăm:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

Răspuns:α = a r c cos 23 2 34

În concluziile acestui paragraf, trebuie menționat că formulele pentru găsirea unghiului prezentate aici nu trebuie învățate pe de rost. Pentru a face acest lucru, este suficient să cunoașteți coordonatele ghidajelor și/sau ale vectorilor normali ai liniilor date și să le puteți determina din tipuri diferite ecuații. Dar formulele pentru calcularea cosinusului unui unghi sunt mai bine de reținut sau de notat.

Cum se calculează unghiul dintre liniile care se intersectează în spațiu

Calculul unui astfel de unghi poate fi redus la calculul coordonatelor vectorilor de direcție și la determinarea mărimii unghiului format de acești vectori. Pentru astfel de exemple, folosim același raționament pe care l-am dat înainte.

Să presupunem că avem un sistem de coordonate dreptunghiular situat în spațiul 3D. Conține două drepte a și b cu punctul de intersecție M . Pentru a calcula coordonatele vectorilor de direcție, trebuie să cunoaștem ecuațiile acestor drepte. Se notează vectorii de direcție a → = (a x , a y , a z) și b → = (b x , b y , b z) . Pentru a calcula cosinusul unghiului dintre ele, folosim formula:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Pentru a găsi unghiul în sine, avem nevoie de această formulă:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Exemplul 5

Avem o linie dreaptă definită în spațiul 3D folosind ecuația x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Se știe că se intersectează cu axa O z. Calculați unghiul de intersecție și cosinusul acelui unghi.

Soluţie

Să notăm unghiul care trebuie calculat cu litera α. Să notăm coordonatele vectorului direcție pentru prima dreaptă - a → = (1 , - 3 , - 2) . Pentru axa aplicată, putem lua ca ghid vectorul de coordonate k → = (0 , 0 , 1). Am primit datele necesare și le putem adăuga la formula dorită:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Ca rezultat, am obținut că unghiul de care avem nevoie va fi egal cu a r c cos 1 2 = 45 °.

Răspuns: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter