Așa-numitele ecuații de formă, unde necunoscutul este atât în ​​exponent, cât și în baza gradului.

Puteți specifica un algoritm complet clar pentru rezolvarea unei ecuații de formă. Pentru aceasta, trebuie acordată atenție faptului că Oh) nu este egal cu zero, unu și minus unu, egalitatea de grade cu aceleași baze (fie pozitive sau negative) este posibilă numai dacă indicatorii sunt egali Adică, toate rădăcinile ecuației vor fi rădăcinile ecuației f(x) = g(x) Afirmația inversă nu este adevărată, dacă Oh)< 0 și valori fracționale f(x)Și g(x) expresii Oh) f(x) Și

Oh) g(x) își pierd sensul. Adică când mergi de la f(x) = g(x)(pot apărea pentru și rădăcini străine, care trebuie excluse prin verificare conform ecuației inițiale. Și cazurile a = 0, a = 1, a = -1 trebuie luate în considerare separat.

Prin urmare solutie completa ecuațiile iau în considerare cazurile:

a(x) = 0 f(x)Și g(x) sunt numere pozitive, atunci aceasta este soluția. Altfel, nu

a(x) = 1. Rădăcinile acestei ecuații sunt și rădăcinile ecuației originale.

a(x) = -1. Dacă, pentru o valoare a lui x care satisface această ecuație, f(x)Și g(x) sunt numere întregi de aceeași paritate (fie ambele sunt pare, fie ambele sunt impare), atunci aceasta este soluția. Altfel, nu

Căci și rezolvăm ecuația f(x)=g(x) iar prin substituirea rezultatelor obținute în ecuația originală, tăiem rădăcinile străine.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor de putere exponențială.

Exemplul #1.

1) x - 3 = 0, x = 3. deoarece 3 > 0 și 3 2 > 0, atunci x 1 = 3 este soluția.

2) x - 3 \u003d 1, x 2 \u003d 4.

3) x - 3 \u003d -1, x \u003d 2. Ambii indicatori sunt egali. Aceasta este soluția x 3 = 1.

4) x - 3? 0 și x? ± 1. x \u003d x 2, x \u003d 0 sau x \u003d 1. Pentru x \u003d 0, (-3) 0 \u003d (-3) 0, această soluție x 4 \u003d 0 este adevărată. Pentru x \u003d 1, \u003d 1, această soluție este adevărată (- 2) 0 1 (- 2) 0 - 0 d 03d 1.

Răspuns: 0, 1, 2, 3, 4.

Exemplul #2.

După definiția aritmeticii rădăcină pătrată: x - 1 ? 0,x? 1.

1) x - 1 = 0 sau x = 1, = 0, 0 0 nu este o soluție.

2) x - 1 = 1 x 1 = 2.

3) x - 1 \u003d -1 x 2 \u003d 0 nu se potrivește în ODZ.

D \u003d (-2) - 4 * 1 * 5 \u003d 4 - 20 \u003d -16 - nu există rădăcini.

Ecuațiile se numesc exponențiale dacă necunoscuta este conținută în exponent. Cea mai simplă ecuație exponențială are forma: a x \u003d a b, unde a> 0 și 1, x este o necunoscută.

Principalele proprietăți ale gradelor, cu ajutorul cărora se transformă ecuațiile exponențiale: a>0, b>0.

La hotărâre ecuații exponențiale ele folosesc, de asemenea, următoarele proprietăți ale funcției exponențiale: y = a x , a > 0, a1:

Pentru a reprezenta un număr ca putere, se utilizează identitatea logaritmică de bază: b = , a > 0, a1, b > 0.

Sarcini și teste pe tema „Ecuații exponențiale”

• ecuații exponențiale

  Lecții: 4 Teme: 21 Teste: 1

• ecuații exponențiale - Subiecte importante pentru repetarea examenului la matematică

  Sarcini: 14

• Sisteme de ecuații exponențiale și logaritmice - Funcții exponențiale și logaritmice Gradul 11

  Lecții: 1 Teme: 15 Teste: 1

• §2.1. Rezolvarea ecuațiilor exponențiale

  Lecții: 1 Teme: 27

• §7 Ecuații și inegalități exponențiale și logaritmice - Secțiunea 5. Funcții exponențiale și logaritmice Gradul 10

  Lecții: 1 Teme: 17

Pentru a rezolva cu succes ecuații exponențiale, trebuie să cunoașteți proprietățile de bază ale puterilor, proprietățile unei funcții exponențiale și identitatea logaritmică de bază.

La rezolvarea ecuațiilor exponențiale se folosesc două metode principale:

1. trecerea de la ecuația a f(x) = a g(x) la ecuația f(x) = g(x);
2. introducerea de noi linii.

Exemple.

1. Ecuații care se reduc la cel mai simplu. Ele se rezolvă prin aducerea ambelor părți ale ecuației la o putere cu aceeași bază.

3x \u003d 9x - 2.

Soluţie:

3 x \u003d (3 2) x - 2;
3x = 3 2x - 4;
x = 2x -4;
x=4.

Răspuns: 4.

2. Ecuații rezolvate prin bracketing factorul comun.

Soluţie:

3x - 3x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3 x - 2 x 8 = 24
3 x - 2 = 3
x - 2 = 1
x=3.

Răspuns: 3.

3. Ecuații rezolvate prin modificarea variabilei.

Soluţie:

2 2x + 2 x - 12 = 0
Notăm 2 x \u003d y.
y 2 + y - 12 = 0
y 1 = - 4; y 2 = 3.
a) 2 x = - 4. Ecuația nu are soluții, deoarece 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

Răspuns: log 2 3.

4. Ecuații care conțin puteri cu două baze diferite (nereductibile una la alta).

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 \u003d 5 x + 2 x - 2.

3 x 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 x 5 x - 2
2 x - 2 × 23 = 5 x - 2
×23
2 x - 2 = 5 x - 2
(5/2) x– 2 = 1
x - 2 = 0
x = 2.

Răspuns: 2.

5. Ecuații care sunt omogene față de a x și b x .

Forma generală: .

9 x + 4 x = 2,5 x 6 x .

Soluţie:

3 2x – 2,5 × 2x × 3x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Notați (3/2) x = y.
y 2 - 2,5y + 1 \u003d 0,
y 1 = 2; y2 = ½.

Răspuns: log 3/2 2; - jurnal 3/2 2.

Pe canalul de youtube al site-ului nostru pentru a fi la curent cu toate noile lecții video.

Mai întâi, să ne amintim formulele de bază ale gradelor și proprietățile lor.

Produsul unui număr A se întâmplă de n ori, putem scrie această expresie ca a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Putere sau ecuații exponențiale- acestea sunt ecuații în care variabilele sunt în puteri (sau exponenți), iar baza este un număr.

Exemple de ecuații exponențiale:

În acest exemplu, numărul 6 este baza, este întotdeauna în partea de jos și variabila X grad sau măsură.

Să dăm mai multe exemple de ecuații exponențiale.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Acum să vedem cum se rezolvă ecuațiile exponențiale?

Să luăm o ecuație simplă:

2 x = 2 3

Un astfel de exemplu poate fi rezolvat chiar și în minte. Se poate observa că x=3. La urma urmei, pentru ca părțile din stânga și din dreapta să fie egale, trebuie să puneți numărul 3 în loc de x.
Acum să vedem cum ar trebui luată această decizie:

2 x = 2 3
x = 3

Pentru a rezolva această ecuație, am eliminat aceleași temeiuri(adică doi) și a notat ce a mai rămas, acestea sunt grade. Am primit răspunsul pe care îl căutam.

Acum să rezumam soluția noastră.

Algoritm pentru rezolvarea ecuației exponențiale:
1. Trebuie verificat aceeași fie că bazele ecuației din dreapta și din stânga. Dacă temeiurile nu sunt aceleași, căutăm variante de rezolvare acest exemplu.
2. După ce bazele sunt aceleași, echivala grad și rezolvați noua ecuație rezultată.

Acum să rezolvăm câteva exemple:

Să începem simplu.

Bazele din stânga și din dreapta sunt egale cu numărul 2, ceea ce înseamnă că putem arunca baza și echivalăm gradele lor.

x+2=4 Cea mai simplă ecuație a rezultat.
x=4 - 2
x=2
Răspuns: x=2

În exemplul următor, puteți vedea că bazele sunt diferite, acestea sunt 3 și 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Pentru început, le transferăm pe cele nouă în partea dreaptă, obținem:

Acum trebuie să faci aceleași baze. Știm că 9=3 2 . Să folosim formula puterii (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Obținem 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 acum puteți vedea că în stânga și partea dreapta bazele sunt aceleași și egale cu trei, ceea ce înseamnă că le putem elimina și echivala gradele.

3x=2x+16 are cea mai simplă ecuație
3x-2x=16
x=16
Răspuns: x=16.

Să ne uităm la următorul exemplu:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

În primul rând, ne uităm la baze, bazele sunt diferite două și patru. Și trebuie să fim la fel. Transformăm cvadruplul după formula (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

Și folosim, de asemenea, o formulă a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Adăugați la ecuație:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Am dat un exemplu din aceleași motive. Dar alte numere 10 și 24 interferează cu noi. Ce să facem cu ele? Dacă te uiți cu atenție, poți vedea că în partea stângă repetăm ​​2 2x, iată răspunsul - putem pune 2 2x din paranteze:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Să calculăm expresia dintre paranteze:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Împărțim întreaga ecuație la 6:

Imaginează-ți 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 baze sunt aceleași, aruncați-le și egalați gradele.
2x \u003d 2 s-a dovedit a fi cea mai simplă ecuație. Împărțim la 2, obținem
x = 1
Răspuns: x = 1.

Să rezolvăm ecuația:

9 x - 12*3 x +27= 0

Să transformăm:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Obtinem ecuatia:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Bazele noastre sunt aceleași, egale cu trei. În acest exemplu, este clar că prima triplă are un grad de două ori (2x) decât a doua (doar x). În acest caz, puteți decide metoda de substitutie. Numărul cu gradul cel mai mic se înlocuiește cu:

Atunci 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Inlocuim toate gradele cu x din ecuatie cu t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Primim ecuație pătratică. Rezolvăm prin discriminant, obținem:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Înapoi la Variabilă X.

Luăm t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Acesta este,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

S-a găsit o rădăcină. Îl căutăm pe al doilea, din t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Răspuns: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Pe site puteti in sectiunea AJUTA LA DECIDE sa puneti intrebari de interes, cu siguranta iti vom raspunde.

Alăturați-vă unui grup

Universitatea de Stat din Belgorod

SCAUN algebră, teoria numerelor și geometrie

Tema de lucru: Ecuații și inegalități exponențiale-putere.

Munca de absolvent student al Facultății de Fizică și Matematică

Consilier stiintific:

______________________________

Revizor: ________________________________

________________________

Belgorod. 2006

Introducere			3
Subiect eu.	Analiza literaturii de specialitate pe tema de cercetare.
Subiect II.	Funcțiile și proprietățile lor utilizate în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților de putere exponențială.
	I.1.	Funcția de putereși proprietățile sale.
	I.2.	Functie exponentialași proprietățile sale.
Subiect III.	Rezolvarea ecuațiilor de putere exponențială, algoritm și exemple.
Subiect IV.	Rezolvarea inegalităților exponențiale-putere, plan de soluții și exemple.
Subiect v.	Experiență în conducerea cursurilor cu școlari pe tema: „Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților exponențiale-putere”.
v. 1.	Material didactic.
v. 2.	Sarcini pentru soluție independentă.
Concluzie.	Concluzii si oferte.
Bibliografie.
Aplicații

Introducere.

„... bucuria de a vedea și înțelege...”

A. Einstein.

În această lucrare, am încercat să transmit experiența mea de profesor de matematică, să transmit, cel puțin într-o oarecare măsură, atitudinea mea față de predarea matematicii - o chestiune umană în care știința matematică, pedagogia, didactica, psihologia și chiar filozofia se împletesc în mod surprinzător.

S-a întâmplat să lucrez cu copii și absolvenți, cu copii în picioare pe stâlpi dezvoltare intelectuala: cei care erau înregistrați la un psihiatru și care erau cu adevărat interesați de matematică

A trebuit să rezolv multe probleme metodologice. Voi încerca să vorbesc despre cele pe care am reușit să le rezolv. Dar și mai mult - nu a fost posibil, iar în cele care par a fi rezolvate apar noi întrebări.

Dar și mai importante decât experiența în sine sunt reflecțiile și îndoielile profesorului: de ce este exact așa, această experiență?

Iar vara este diferită acum, iar rândul educației a devenit mai interesant. „Sub Jupiteri” astăzi nu este căutarea unui sistem optim mitic de predare „toată lumea și totul”, ci copilul însuși. Dar apoi – cu necesitate – și profesorul.

La cursul școlar de algebră și a început analiza, clasele 10 - 11, la promovarea examenului pentru curs liceu iar la examenele de admitere la universități există ecuații și inegalități care conțin necunoscutul la bază și exponenți - acestea sunt ecuații și inegalități exponențiale-putere.

Li se acordă puțină atenție la școală, practic nu există sarcini pe această temă în manuale. Totuși, stăpânirea tehnicii de rezolvare a acestora, mi se pare, este foarte utilă: crește mentalul și Abilități creative studenților, în fața noastră se deschid orizonturi complet noi. La rezolvarea problemelor, elevii dobândesc primele deprinderi muncă de cercetare, cultura lor matematică este îmbogățită, abilitățile lor de gândire logică sunt dezvoltate. Elevii dezvoltă astfel de trăsături de personalitate, cum ar fi intenția, stabilirea de obiective, independența, care le vor fi utile în viața ulterioară. Și, de asemenea, există o repetare, extindere și asimilare profundă a materialului educațional.

Am început să lucrez la acest subiect al cercetării mele cu scrierea unui referat. În cursul căreia am studiat și analizat mai în profunzime literatura matematică pe această temă, am identificat cea mai potrivită metodă de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților exponențiale-putere.

Constă în faptul că, pe lângă abordarea general acceptată la rezolvarea ecuațiilor de putere exponențială (baza este luată mai mare decât 0) și la rezolvarea acelorași inegalități (baza este luată mai mare decât 1 sau mai mare decât 0, dar mai mică de 1), sunt luate în considerare și cazurile în care bazele sunt negative, egale cu 0 și 1.

O analiză a lucrărilor de examen scrise ale studenților arată că necunoașterea întrebării despre valoare negativă argumentul unei funcții de putere exponențială în manualele școlare, le provoacă o serie de dificultăți și duce la erori. Și au probleme și în stadiul de sistematizare a rezultatelor obținute, unde, din cauza trecerii la o ecuație - o consecință sau o inegalitate - o consecință, pot apărea rădăcini străine. Pentru a elimina erorile, folosim o verificare prin ecuația sau inegalitatea inițială și un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor de putere exponențială sau un plan pentru rezolvarea inegalităților de putere exponențială.

Pentru ca elevii să poată promova cu succes examenele finale și de admitere, cred că este necesar să se acorde mai multă atenție rezolvării ecuațiilor și inegalităților exponențiale-putere în clasă, sau suplimentar la opțiuni și cercuri.

Prin urmare subiect , teza mea este definită în felul următor: „Ecuații și inegalități exponențiale-putere”.

Goluri lucrarea prezentă sunt:

1. Analizați literatura pe această temă.

2. Dă analiză completă soluții ale ecuațiilor și inegalităților exponențiale-putere.

3. Dați un număr suficient de exemple pe această temă de diferite tipuri.

4. Verifică la clase, opțional și cerc modul în care vor fi percepute metodele propuse pentru rezolvarea ecuațiilor și inegalităților exponențiale-putere. Oferiți recomandări adecvate pentru studiul acestui subiect.

Subiect cercetarea noastră este de a dezvolta o tehnică de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților exponențiale de putere.

Scopul și subiectul studiului au necesitat rezolvarea următoarelor sarcini:

1. Studiați literatura de specialitate pe tema: „Ecuații și inegalități exponențiale-putere”.

2. Stăpânește metodele de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților exponențiale-putere.

3. Selectați materialul de antrenament și dezvoltați un sistem de exerciții diferite niveluri pe tema: „Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților exponențiale-putere”.

Pe parcursul cercetării tezei, mai mult de 20 de lucrări dedicate aplicării diverse metode soluții ale ecuațiilor și inegalităților exponențiale-putere. De aici ajungem.

Planul tezei:

Introducere.

Capitolul I. Analiza literaturii de specialitate pe tema de cercetare.

Capitolul II. Funcțiile și proprietățile lor utilizate în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților de putere exponențială.

II.1. Funcția de putere și proprietățile acesteia.

II.2. Funcția exponențială și proprietățile ei.

Capitolul III. Rezolvarea ecuațiilor de putere exponențială, algoritm și exemple.

Capitolul IV. Rezolvarea inegalităților exponențiale-putere, plan de soluții și exemple.

Capitolul V. Experiență în conducerea cursurilor cu școlari pe această temă.

1. Material educativ.

2. Sarcini pentru soluție independentă.

Concluzie. Concluzii si oferte.

Lista literaturii folosite.

Literatura analizată în capitolul I

Primul nivel

ecuații exponențiale. Ghid cuprinzător (2019)

Buna ziua! Astăzi vom discuta cu tine cum să rezolvi ecuații care pot fi atât elementare (și sper că, după ce am citit acest articol, aproape toate vor fi așa pentru tine), cât și cele cărora li se acordă de obicei „rămbleu”. Aparent, să adorm complet. Dar voi încerca să fac tot posibilul ca acum să nu ai probleme când te confrunți cu acest tip de ecuație. Nu voi mai bate în jurul tufișului, dar voi dezvălui imediat un mic secret: astăzi vom studia ecuații exponențiale.

Înainte de a trece la o analiză a modalităților de rezolvare a acestora, vă voi schița imediat un cerc de întrebări (destul de mic) pe care ar trebui să le repetați înainte de a vă grăbi să asaltați acest subiect. Deci, pentru cele mai bune rezultate, vă rog repeta:

1. proprietăţi şi
2. Soluție și ecuații

Repetat? Uimitor! Atunci nu vă va fi greu să observați că rădăcina ecuației este un număr. Ești sigur că înțelegi cum am făcut-o? Este adevarat? Apoi continuăm. Acum răspunde-mi la întrebarea, ce este egal cu a treia putere? Ai dreptate: . Opt este ce putere a doi? Așa este - al treilea! Deoarece. Ei bine, acum să încercăm să rezolvăm următoarea problemă: Lasă-mă să înmulțesc numărul cu el însuși o dată și să obțin rezultatul. Întrebarea este de câte ori m-am înmulțit singur? Desigur, puteți verifica acest lucru direct:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end(align)

Atunci poți trage concluzia că am înmulțit ori singur. Cum altfel poate fi verificat acest lucru? Și iată cum: direct după definiția gradului: . Dar, trebuie să recunoașteți, dacă aș întreba de câte ori doi trebuie înmulțiți singuri pentru a obține, să zicem, mi-ați spune: nu mă voi păcăli și mă voi înmulți singur până nu voi fi albastru la față. Și ar avea perfectă dreptate. Pentru că cum poți notează pe scurt toate acțiunile(iar concizia este sora talentului)

unde - acesta este chiar "ori" când te înmulți singuri.

Cred că știți (și dacă nu știți, urgent, foarte urgent repetați diplomele!) că atunci problema mea va fi scrisă sub forma:

Cum puteți concluziona în mod rezonabil că:

Așa că, în liniște, am notat cel mai simplu ecuație exponențială:

Și chiar l-a găsit rădăcină. Nu crezi că totul este destul de banal? Exact asta cred si eu. Iată un alt exemplu pentru tine:

Dar ce să faci? La urma urmei, nu poate fi scris ca un grad al unui număr (rezonabil). Să nu disperăm și să observăm că ambele numere sunt perfect exprimate în termeni de putere a aceluiași număr. Ce? Dreapta: . Apoi ecuația inițială este transformată în forma:

De unde, după cum ați înțeles deja, . Să nu mai tragem și să scriem definiție:

În cazul nostru cu dumneavoastră: .

Aceste ecuații se rezolvă prin reducerea lor la forma:

cu rezolvarea ulterioară a ecuației

Noi, de fapt, am făcut asta în exemplul anterior: am primit asta. Și am rezolvat cea mai simplă ecuație cu tine.

Pare să nu fie nimic complicat, nu? Să exersăm mai întâi pe cel mai simplu. exemple:

Vedem din nou că părțile dreaptă și stângă ale ecuației trebuie reprezentate ca o putere a unui număr. Adevărat, acest lucru s-a făcut deja în stânga, dar în dreapta există un număr. Dar, la urma urmei, este în regulă, iar ecuația mea se transformă în mod miraculos în asta:

Ce a trebuit să fac aici? Ce regulă? Regulă putere la putere care scrie:

Și dacă:

Înainte de a răspunde la această întrebare, să completăm următorul tabel cu tine:

Nu ne este greu să observăm că cu cât mai puțin, cu atât valoare mai mică, dar cu toate acestea, toate aceste valori Peste zero. SI VA FI Intotdeauna ASA!!! Aceeași proprietate este valabilă PENTRU ORICE BAZĂ CU ORICE INDEX!! (pentru orice și). Atunci ce putem concluziona despre ecuație? Și iată unul: acesta nu are rădăcini! La fel ca orice ecuație nu are rădăcini. Acum să exersăm și Să rezolvăm câteva exemple simple:

Sa verificam:

1. Aici nu ți se cere nimic, decât să cunoști proprietățile puterilor (pe care, de altfel, ți-am cerut să le repeți!) De regulă, totul duce la cea mai mică bază: , . Atunci ecuația originală va fi echivalentă cu următoarea: Tot ce am nevoie este să folosesc proprietățile puterilor: la înmulțirea numerelor cu aceeași bază, se adună exponenții, iar la împărțire se scad. Apoi voi obține: Ei bine, acum cu conștiința curată voi trece de la ecuația exponențială la cea liniară: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(align)

2. În al doilea exemplu, trebuie să fii mai atent: problema este că în partea stângă nu vom putea reprezenta același număr ca o putere. În acest caz, uneori este util reprezintă numere ca produs de puteri cu baze diferite, dar aceiași exponenți:

Partea stângă a ecuației va lua forma: Ce ne-a dat asta? Și iată ce: Se pot înmulți numere cu baze diferite, dar cu același exponent.În acest caz, bazele sunt înmulțite, dar exponentul nu se schimbă:

Aplicat situației mele, aceasta va da:

\begin(align)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400, \\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(align)

Nu-i rău, nu?

3. Nu-mi place când am doi termeni pe o parte a ecuației și niciunul pe cealaltă (uneori, desigur, acest lucru este justificat, dar nu este cazul acum). Mutați termenul minus la dreapta:

Acum, ca și înainte, voi scrie totul prin puterile triplei:

Adun puterile din stânga și obțin o ecuație echivalentă

Îi puteți găsi cu ușurință rădăcina:

4. Ca și în exemplul trei, termenul cu minus - un loc în partea dreaptă!

În stânga, aproape totul este în regulă cu mine, cu excepția ce? Da, „gradul greșit” al zeului mă deranjează. Dar pot rezolva cu ușurință acest lucru scriind: . Eureka - în stânga, toate bazele sunt diferite, dar toate gradele sunt la fel! Ne inmultim repede!

Aici, din nou, totul este clar: (dacă nu ați înțeles cât de magic am obținut ultima egalitate, luați o pauză de un minut, luați o pauză și citiți din nou cu atenție proprietățile gradului. Cine a spus că puteți sări peste un grad cu un exponent negativ? Ei bine, aici sunt cam același lucru, că nimeni). Acum voi primi:

\begin(align)
& ((2)^(4\left((x) -9 \right)))=((2)^(-1)) \\
&4((x) -9)=-1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\end(align)

Iată sarcinile pe care să le exersați, la care voi da doar răspunsurile (dar într-o formă „mixtă”). Rezolvă-le, verifică și ne vom continua cercetările!

Gata? Răspunsuri ca acestea:

1. orice număr

Bine, bine, glumeam! Iată schița soluțiilor (unele sunt destul de scurte!)

Nu crezi că nu este o coincidență că o fracție din stânga este o alta „inversată”? Ar fi un păcat să nu folosești asta:

Această regulă este foarte des folosită la rezolvarea ecuațiilor exponențiale, rețineți-o bine!

Atunci ecuația inițială devine:

Rezolvând această ecuație pătratică, veți obține următoarele rădăcini:

2. O altă soluție: împărțirea ambelor părți ale ecuației la expresia din stânga (sau dreapta). Voi împărți la ceea ce este în dreapta, apoi voi obține:

Unde (de ce?!)

3. Nici nu vreau să mă repet, totul a fost deja „mestecat” atât de mult.

4. echivalent cu o ecuație pătratică, rădăcinile

5. Trebuie să utilizați formula dată în prima sarcină, apoi veți obține:

Ecuația s-a transformat într-o identitate banală, ceea ce este adevărat pentru orice. Atunci răspunsul este orice număr real.

Ei bine, aici sunteți și exersați să decideți cele mai simple ecuații exponențiale. Acum vreau să vă dau câteva exemple de viață care vă vor ajuta să înțelegeți de ce sunt necesare în principiu. Aici voi da două exemple. Unul dintre ele este destul de cotidian, dar celălalt are un interes mai mult științific decât practic.

Exemplul 1 (comercial) Lasă-ți ruble, dar vrei să le transformi în ruble. Banca vă oferă să luați acești bani de la dvs. la o dobândă anuală cu o capitalizare lunară a dobânzii (cumulare lunară). Întrebarea este, pentru câte luni trebuie să deschideți un depozit pentru a încasa suma finală dorită? O sarcină destul de banală, nu-i așa? Cu toate acestea, soluția sa este legată de construcția ecuației exponențiale corespunzătoare: Fie - suma inițială, - suma finală, - rata dobânzii pentru perioada, - numărul de perioade. Apoi:

În cazul nostru (dacă rata este pe an, atunci se calculează pe lună). De ce este împărțit în? Dacă nu știți răspunsul la această întrebare, amintiți-vă de subiectul „”! Apoi obținem următoarea ecuație:

Această ecuație exponențială poate fi deja rezolvată doar cu un calculator (s aspect sugerează acest lucru, iar asta necesită cunoștințe de logaritmi, cu care ne vom familiariza puțin mai târziu), ceea ce voi face: ... Astfel, pentru a primi un milion, va trebui să facem o depunere pentru o lună (nu foarte repede, nu?).

Exemplul 2 (mai degrabă științific).În ciuda lui, oarecare „izolare”, vă recomand să-i acordați atenție: în mod regulat „se strecoară la examen!! (sarcina este preluată din versiunea „reală”) În timpul dezintegrarii unui izotop radioactiv, masa acestuia scade conform legii, unde (mg) este masa inițială a izotopului, (min.) este timpul scurs din momentul inițial, (min.) este timpul de înjumătățire. În momentul inițial de timp, masa izotopului este mg. Timpul său de înjumătățire este de min. În câte minute va fi masa izotopului egală cu mg? E în regulă: luăm și înlocuim toate datele din formula propusă:

Să împărțim ambele părți la, „în speranța” că în stânga obținem ceva digerabil:

Ei bine, suntem foarte norocoși! Se află în stânga, apoi să trecem la ecuația echivalentă:

Unde min.

După cum puteți vedea, ecuațiile exponențiale au o aplicație foarte reală în practică. Acum vreau să discut cu tine un alt mod (simplu) de a rezolva ecuațiile exponențiale, care se bazează pe scoaterea factorului comun din paranteze și apoi gruparea termenilor. Nu vă fie teamă de cuvintele mele, această metodă ați întâlnit deja în clasa a VII-a când ați studiat polinoamele. De exemplu, dacă trebuie să factorizați expresia:

Să grupăm: primul și al treilea termen, precum și al doilea și al patrulea. Este clar că primul și al treilea sunt diferența dintre pătrate:

iar al doilea și al patrulea au un factor comun de trei:

Atunci expresia originală este echivalentă cu aceasta:

Unde să eliminați factorul comun nu mai este dificil:

Prin urmare,

Cam așa vom acționa atunci când rezolvăm ecuații exponențiale: căutați „comunalitate” între termeni și scoateți-o din paranteze, apoi - orice ar fi, cred că vom avea noroc =)) De exemplu:

În dreapta este departe de puterea lui șapte (am verificat!) Și în stânga - puțin mai bine, puteți, desigur, „să tăiați” factorul a din primul termen și din al doilea, apoi să vă ocupați de ceea ce ați primit, dar să facem mai prudent cu tine. Nu vreau să mă ocup de fracțiile care sunt produse inevitabil de „selecție”, așa că nu ar trebui să suport mai bine? Atunci nu voi avea fracții: după cum se spune, lupii sunt plini și oile sunt în siguranță:

Numărați expresia dintre paranteze. Magic, magic, se dovedește că (în mod surprinzător, deși la ce să ne mai așteptăm?).

Apoi reducem ambele părți ale ecuației cu acest factor. Obținem: unde.

Iată un exemplu mai complicat (destul de puțin, într-adevăr):

Iată necazul! Nu avem un punct comun aici! Nu este complet clar ce să faci acum. Și să facem ce putem: în primul rând, vom muta „patru” într-o direcție, iar „cinci” în cealaltă:

Acum să scoatem „comunul” din stânga și din dreapta:

Deci ce acum? Care este beneficiul unei astfel de grupări stupide? La prima vedere, nu este deloc vizibil, dar haideți să privim mai profund:

Ei bine, acum să facem astfel încât în ​​stânga să avem doar expresia c, iar în dreapta - orice altceva. Cum putem face acest lucru? Și iată cum: Împărțim mai întâi ambele părți ale ecuației cu (deci scăpăm de exponentul din dreapta), apoi împărțim ambele părți cu (deci scăpăm de factorul numeric din stânga). În sfârșit obținem:

Incredibil! În stânga avem o expresie, iar în dreapta - doar. Atunci tragem imediat concluzia că

Iată un alt exemplu de consolidat:

Îl voi aduce soluție scurtă(nu vă deranjez cu adevărat să explic), încercați să vă dați seama singur toate „subtilitățile” soluției.

Acum consolidarea finală a materialului acoperit. Încercați să rezolvați singur următoarele probleme. Voi oferi doar scurte recomandări și sfaturi pentru a le rezolva:

1. Să scoatem factorul comun din paranteze:
2. Reprezentăm prima expresie sub forma: , împărțim ambele părți la și obținem asta
3. , apoi ecuația originală este convertită în forma: Ei bine, acum un indiciu - căutați unde am rezolvat deja această ecuație!
4. Imaginați-vă cum, cum, ah, bine, apoi împărțiți ambele părți la, astfel încât să obțineți cea mai simplă ecuație exponențială.
5. Scoate-l din paranteze.
6. Scoate-l din paranteze.

ECUATII EXPOZIONALE. NIVEL MEDIU

Presupun că după ce am citit primul articol, care spunea ce sunt ecuațiile exponențiale și cum să le rezolvi ai stăpânit minim necesar cunoștințe necesare pentru a rezolva exemple simple.

Acum voi analiza o altă metodă de rezolvare a ecuațiilor exponențiale, aceasta este

„metoda de introducere a unei noi variabile” (sau substituție). Rezolvă majoritatea problemelor „dificile”, pe tema ecuațiilor exponențiale (și nu numai a ecuațiilor). Această metodă este una dintre cele mai frecvent utilizate în practică. În primul rând, vă recomand să vă familiarizați cu subiectul.

După cum ați înțeles deja din nume, esența acestei metode este să introduceți o astfel de schimbare a variabilei, încât ecuația dvs. exponențială să se transforme în mod miraculos într-una pe care o puteți rezolva deja cu ușurință. Tot ce vă rămâne după rezolvarea acestei „ecuații simplificate” este să faceți o „înlocuire inversă”: adică să reveniți de la înlocuit la înlocuit. Să ilustrăm ceea ce tocmai am spus cu un exemplu foarte simplu:

Exemplul 1:

Această ecuație este rezolvată printr-o „înlocuire simplă”, așa cum o numesc în mod disprețuitor matematicienii. Într-adevăr, înlocuirea de aici este cea mai evidentă. Trebuie doar văzut că

Atunci ecuația inițială devine:

Dacă ne imaginăm în plus cum, atunci este destul de clar ce trebuie înlocuit: desigur, . Ce devine atunci ecuația originală? Și iată ce:

Îi poți găsi cu ușurință rădăcinile pe cont propriu:. Ce ar trebui să facem acum? Este timpul să revenim la variabila inițială. Ce am uitat să includ? Și anume: la înlocuirea unui anumit grad cu o variabilă nouă (adică la înlocuirea unui tip), voi fi interesat de doar rădăcini pozitive! Puteți răspunde cu ușurință de ce. Astfel, nu suntem interesați de tine, dar a doua rădăcină este destul de potrivită pentru noi:

Atunci unde.

Răspuns:

După cum puteți vedea, în exemplul anterior, înlocuitorul a cerut doar mâinile noastre. Din păcate, acest lucru nu este întotdeauna cazul. Cu toate acestea, să nu trecem direct la trist, ci să exersăm pe încă un exemplu cu o înlocuire destul de simplă

Exemplul 2

Este clar că cel mai probabil va fi necesară înlocuirea (aceasta este cea mai mică dintre puterile incluse în ecuația noastră), totuși, înainte de a introduce o înlocuire, ecuația noastră trebuie să fie „pregătită” pentru aceasta, și anume: , . Apoi puteți înlocui, ca urmare voi obține următoarea expresie:

Oh groază: o ecuație cubică cu formule absolut groaznice pentru rezolvarea ei (ei bine, vorbind în vedere generala). Dar să nu disperăm imediat, ci să ne gândim la ce ar trebui să facem. Îți voi sugera să înșeli: știm că pentru a obține un răspuns „frumos”, trebuie să obținem o putere de trei (de ce ar fi asta, nu?). Și să încercăm să ghicim cel puțin o rădăcină a ecuației noastre (voi începe să ghicesc din puterile lui trei).

Prima presupunere. Nu este o rădăcină. vai și ah...

.
Partea stângă este egală.
Partea dreapta:!
Mânca! Am ghicit prima rădăcină. Acum lucrurile vor deveni mai ușoare!

Știți despre schema de împărțire „colț”? Bineînțeles că știi, îl folosești când împărți un număr la altul. Dar puțini oameni știu că același lucru se poate face cu polinoamele. Există o teoremă minunată:

Aplicabil situației mele, îmi spune ce este divizibil fără rest prin. Cum se realizează împărțirea? Așa:

Mă uit la ce monom ar trebui să înmulțesc pentru a obține Clear, apoi:

Scăd expresia rezultată din, obțin:

Acum, ce trebuie să înmulțesc pentru a obține? Este clar că pe, atunci voi obține:

și din nou scădeți expresia rezultată din cea rămasă:

Ei bine, ultimul pas, înmulțesc cu și scad din expresia rămasă:

Ura, diviziunea s-a terminat! Ce am acumulat în privat? De la sine: .

Apoi am obținut următoarea extindere a polinomului original:

Să rezolvăm a doua ecuație:

Are rădăcini:

Apoi ecuația inițială:

are trei rădăcini:

Desigur, aruncăm ultima rădăcină, deoarece este mai mică decât zero. Și primele două după înlocuirea inversă ne vor da două rădăcini:

Răspuns: ..

Prin acest exemplu, nu am vrut deloc să te sperii, ci mi-am propus să arăt că, deși am avut o înlocuire destul de simplă, totuși, a dus la un ecuație complexă, a cărui soluție a necesitat niște aptitudini speciale de la noi. Ei bine, nimeni nu este imun la asta. Dar schimbarea în acest caz a fost destul de evidentă.

Iată un exemplu cu o înlocuire puțin mai puțin evidentă:

Nu este deloc clar ce ar trebui să facem: problema este că în ecuația noastră există două baze diferite și o bază nu poate fi obținută din cealaltă ridicând-o la vreo putere (rezonabilă, în mod natural). Totuși, ce vedem? Ambele baze diferă doar prin semn, iar produsul lor este diferența de pătrate egală cu unu:

Definiție:

Astfel, numerele care sunt baze în exemplul nostru sunt conjugate.

În acest caz, mișcarea inteligentă ar fi înmulțiți ambele părți ale ecuației cu numărul conjugat.

De exemplu, pe, atunci partea stângă a ecuației va deveni egală, iar partea dreaptă. Dacă facem o înlocuire, atunci ecuația noastră originală cu tine va deveni astfel:

rădăcinile sale, atunci, dar amintindu-ne asta, obținem asta.

Răspuns: , .

De regulă, metoda înlocuirii este suficientă pentru a rezolva majoritatea ecuațiilor exponențiale „școlare”. Următoarele sarcini sunt preluate din USE C1 ( nivel ridicat dificultăți). Sunteți deja suficient de alfabetizat pentru a rezolva singur aceste exemple. Voi oferi doar înlocuirea necesară.

1. Rezolvați ecuația:
2. Găsiți rădăcinile ecuației:
3. Rezolvați ecuația: . Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului:

Acum pentru câteva explicații și răspunsuri rapide:

1. Aici este suficient să observăm că și. Atunci ecuația inițială va fi echivalentă cu aceasta: Această ecuație rezolvat prin înlocuire Faceți singur calcule suplimentare. În final, sarcina ta se va reduce la rezolvarea celei mai simple trigonometrice (în funcție de sinus sau cosinus). Vom discuta soluția unor astfel de exemple în alte secțiuni.
2. Aici puteți face chiar și fără o înlocuire: mutați doar subtraendul la dreapta și reprezentați ambele baze prin puteri de doi: și apoi treceți imediat la ecuația pătratică.
3. A treia ecuație este de asemenea rezolvată într-un mod destul de standard: imaginați-vă cum. Apoi, înlocuind obținem o ecuație pătratică: atunci,

   Știți deja ce este un logaritm? Nu? Atunci citeste urgent subiectul!

   Prima rădăcină, evident, nu aparține segmentului, iar a doua este de neînțeles! Dar vom afla foarte curând! Din moment ce, atunci (aceasta este o proprietate a logaritmului!) Să comparăm:

   Scădem din ambele părți, atunci obținem:

   Partea stângă poate fi reprezentată ca:

   înmulțiți ambele părți cu:

   poate fi înmulțit cu, atunci

   Atunci să comparăm:

   de atunci:

   Apoi a doua rădăcină aparține intervalului dorit

   Răspuns:

Cum vedeți, selectarea rădăcinilor ecuațiilor exponențiale necesită o cunoaștere destul de profundă a proprietăților logaritmilor, așa că vă sfătuiesc să fiți cât mai atenți când rezolvați ecuații exponențiale. După cum știți, în matematică totul este interconectat! După cum obișnuia să spună profesorul meu de matematică: „Nu poți citi matematică ca istoria peste noapte”.

De regulă, toate dificultatea de a rezolva problemele C1 este tocmai alegerea rădăcinilor ecuației. Să exersăm cu un alt exemplu:

Este clar că ecuația în sine este rezolvată destul de simplu. După ce am făcut înlocuirea, reducem ecuația noastră inițială la următoarea:

Să ne uităm mai întâi la prima rădăcină. Compara si: de atunci. (proprietatea funcției logaritmice, la). Atunci este clar că nici prima rădăcină nu aparține intervalului nostru. Acum a doua rădăcină: . Este clar că (din moment ce funcția este în creștere). Rămâne de comparat și

de atunci, în acelaşi timp. Astfel, pot „conduce un cuier” între și. Acest cui este un număr. Prima expresie este mai mică decât și a doua este mai mare decât. Atunci a doua expresie este mai mare decât prima și rădăcina aparține intervalului.

Răspuns: .

În concluzie, să ne uităm la un alt exemplu de ecuație în care înlocuirea este mai degrabă nestandard:

Să începem imediat cu ce poți face și ce - în principiu, poți, dar e mai bine să nu faci asta. Este posibil - să reprezinte totul prin puterile lui trei, doi și șase. Unde duce? Da, și nu va duce la nimic: un amestec de grade, dintre care unele vor fi destul de greu de scăpat. Atunci de ce este nevoie? Să observăm că a Și ce ne va oferi? Și faptul că putem reduce soluția acestui exemplu la soluția unei ecuații exponențiale destul de simple! Mai întâi, să ne rescriem ecuația ca:

Acum împărțim ambele părți ale ecuației rezultate în:

Eureka! Acum putem înlocui, obținem:

Ei bine, acum este rândul tău să rezolvi problemele pentru demonstrație și le voi face doar comentarii scurte, ca să nu te rătăciți calea cea buna! Noroc!

1. Cel mai dificil! Să vezi un înlocuitor aici este oh, ce urât! Cu toate acestea, acest exemplu poate fi rezolvat complet folosind selectarea unui pătrat complet. Pentru a o rezolva, este suficient să rețineți că:

Deci, iată înlocuitorul tău:

(Rețineți că aici, cu înlocuirea noastră, nu putem elimina rădăcina negativă!!! Și de ce, ce credeți?)

Acum, pentru a rezolva exemplul, trebuie să rezolvați două ecuații:

Ambele sunt rezolvate prin „înlocuirea standard” (dar al doilea într-un exemplu!)

2. Observați asta și faceți o înlocuire.

3. Extindeți numărul în factori coprimi și simplificați expresia rezultată.

4. Împărțiți numărătorul și numitorul fracției la (sau dacă preferați) și faceți înlocuirea sau.

5. Rețineți că numerele și sunt conjugate.

ECUATII EXPOZIONALE. NIVEL AVANSAT

În plus, să ne uităm la un alt mod - rezolvarea ecuațiilor exponențiale prin metoda logaritmului. Nu pot spune că soluția ecuațiilor exponențiale prin această metodă este foarte populară, dar în unele cazuri doar aceasta ne poate conduce la decizia corectă ecuația noastră. Mai ales adesea este folosit pentru a rezolva așa-numitul " ecuații mixte': adică cele unde există funcții de diferite tipuri.

De exemplu, o ecuație ca:

în cazul general, poate fi rezolvată doar luând logaritmul ambelor părți (de exemplu, după bază), în care ecuația inițială se transformă în următoarea:

Să luăm în considerare următorul exemplu:

Este clar că ne interesează doar ODZ-ul funcției logaritmice. Cu toate acestea, acest lucru rezultă nu numai din ODZ al logaritmului, ci și din alt motiv. Cred că nu vă va fi greu să ghiciți care dintre ele.

Să luăm logaritmul ambelor părți ale ecuației noastre la bază:

După cum puteți vedea, luarea logaritmului ecuației noastre originale ne-a condus rapid la răspunsul corect (și frumos!). Să exersăm cu un alt exemplu:

Nici aici nu trebuie să vă faceți griji: luăm logaritmul ambelor părți ale ecuației în termeni de bază, apoi obținem:

Să facem un înlocuitor:

Totuși, am omis ceva! Ai observat unde am greșit? La urma urmei, atunci:

care nu satisface cerința (gândiți-vă de unde a venit!)

Răspuns:

Încercați să scrieți soluția ecuațiilor exponențiale de mai jos:

Acum verificați soluția cu aceasta:

1. Logaritmăm ambele părți la bază, având în vedere că:

(a doua rădăcină nu ne convine din cauza înlocuirii)

2. Logaritmul la bază:

Să transformăm expresia rezultată în următoarea formă:

ECUATII EXPOZIONALE. SCURTĂ DESCRIERE ȘI FORMULĂ DE BAZĂ

ecuație exponențială

Tip ecuație:

numit cea mai simplă ecuație exponențială.

Proprietăți de grad

Abordări ale soluției

• Reducere la aceeași bază
• Reducere la același exponent
• Substituție variabilă
• Simplificați expresia și aplicați una dintre cele de mai sus.