Găsiți cea mai mare rădăcină a jurnalului ecuației. Ecuații logaritmice

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, ordin judiciar, în proceduri judiciare și/sau pe baza unor solicitări publice sau solicitări din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - de a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Ecuații logaritmice. Continuăm să luăm în considerare sarcinile din partea B a examenului unificat de stat la matematică. Am luat în considerare deja soluțiile unor ecuații din articolele „”, „”. În acest articol, vom lua în considerare ecuațiile logaritmice. Trebuie să spun imediat că nu vor exista transformări complexe la rezolvarea unor astfel de ecuații la USE. Sunt simple.

Este suficient să cunoaștem și să înțelegem identitatea logaritmică de bază, să cunoaștem proprietățile logaritmului. Acordați atenție faptului că, după decizie, este OBLIGATORIU să faceți o verificare - înlocuiți valoarea rezultată în ecuația inițială și calculați, ca urmare, ar trebui să se obține egalitatea corectă.

Definiție:

Logaritmul numărului a la baza b este exponentul,la care b trebuie ridicat pentru a obține a.

De exemplu:

Log 3 9 = 2 deoarece 3 2 = 9

Proprietățile logaritmilor:

Cazuri speciale de logaritmi:

Rezolvăm probleme. În primul exemplu, vom face o verificare. Verificați singuri următoarele.

Aflați rădăcina ecuației: log 3 (4–x) = 4

Deoarece log b a = x b x = a, atunci

3 4 \u003d 4 - x

x = 4 - 81

x = -77

Examinare:

log 3 (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Corect.

Răspuns: - 77

Decide pentru tine:

Aflați rădăcina ecuației: log 2 (4 - x) = 7

Găsiți rădăcina ecuației log 5(4 + x) = 2

Folosim identitatea logaritmică de bază.

Deoarece log a b = x b x = a, atunci

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x=21

Examinare:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 Corect.

Raspuns: 21

Aflați rădăcina ecuației log 3 (14 - x) = log 3 5.

Are loc următoarea proprietate, sensul ei este următorul: dacă în stânga și dreapta ecuației avem logaritmi cu aceeași bază, atunci putem echivala expresiile sub semnele logaritmilor.

14 - x = 5

x=9

Faceți o verificare.

Raspuns: 9

Decide pentru tine:

Aflați rădăcina ecuației log 5 (5 - x) = log 5 3.

Aflați rădăcina ecuației: log 4 (x + 3) = log 4 (4x - 15).

Dacă log c a = log c b, atunci a = b

x + 3 = 4x - 15

3x = 18

x=6

Faceți o verificare.

Raspuns: 6

Aflați rădăcina ecuației log 1/8 (13 - x) = - 2.

(1/8) -2 = 13 - x

8 2 \u003d 13 - x

x = 13 - 64

x = -51

Faceți o verificare.

Un mic plus - aici este folosită proprietatea

grad().

Răspuns: - 51

Decide pentru tine:

Aflați rădăcina ecuației: log 1/7 (7 - x) = - 2

Aflați rădăcina ecuației log 2 (4 - x) = 2 log 2 5.

Să transformăm partea dreaptă. utilizați proprietatea:

log a b m = m∙ log a b

log 2 (4 - x) = log 2 5 2

Dacă log c a = log c b, atunci a = b

4 – x = 5 2

4 - x = 25

x = -21

Faceți o verificare.

Răspuns: - 21

Decide pentru tine:

Aflați rădăcina ecuației: log 5 (5 - x) = 2 log 5 3

Rezolvați ecuația log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Dacă log c a = log c b, atunci a = b

x2 + 4x = x2 + 11

4x = 11

x=2,75

Faceți o verificare.

Răspuns: 2,75

Decide pentru tine:

Aflați rădăcina ecuației log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Rezolvați ecuația log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) +1.

Necesar cu partea dreapta ecuații pentru a obține o expresie de forma:

jurnalul 2 (......)

Reprezentând 1 ca logaritm de bază 2:

1 = log 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) + log 2 2

Primim:

log 2 (2 - x) = log 2 2 (2 - 3x)

Dacă log c a = log c b, atunci a = b, atunci

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x=0,4

Faceți o verificare.

Răspuns: 0,4

Decide pentru tine: În continuare, trebuie să decideți ecuație pătratică. Apropo,

rădăcinile sunt 6 și -4.

Rădăcină "-4" nu este o soluție, deoarece baza logaritmului trebuie să fie Peste zero, și atunci când "– 4" este egal cu " – 5". Soluția este rădăcina 6.Faceți o verificare.

Raspuns: 6.

R mananca pe cont propriu:

Rezolvați ecuația log x –5 49 = 2. Dacă ecuația are mai multe rădăcini, răspundeți la cea mai mică.

După cum puteți vedea, nu există transformări complexe cu ecuații logaritmiceNu. Este suficient să cunoști proprietățile logaritmului și să le poți aplica. În sarcinile USE legate de transformarea expresiilor logaritmice se realizează transformări mai serioase și sunt necesare abilități mai profunde de rezolvare. Vom lua în considerare astfel de exemple, nu le ratați!Vă doresc succes!!!

Cu stimă, Alexander Krutitskikh.

P.S: Aș fi recunoscător dacă ai spune despre site în rețelele de socializare.

Algebră clasa a 11-a

Subiect: „Metode pentru rezolvarea ecuațiilor logaritmice”

Obiectivele lecției:

educațional: formarea cunoștințelor despre căi diferite rezolvarea ecuațiilor logaritmice, capacitatea de a le aplica în fiecare situație specificăși alegeți orice metodă de rezolvat;

dezvoltarea: dezvoltarea abilităților de observare, comparare, aplicarea cunoștințelor într-o situație nouă, identificarea tiparelor, generalizarea; formarea deprinderilor de control reciproc și autocontrol;

educațional: educarea unei atitudini responsabile față de munca educațională, percepția atentă a materialului din lecție, acuratețea evidenței.

Tipul de lecție: o lecție de familiarizare cu material nou.

„Invenția logaritmilor, prin scurtarea muncii astronomului, i-a prelungit viața.”
Matematicianul și astronomul francez P.S. Laplace

În timpul orelor

I. Stabilirea scopului lecției

Definiția studiată a logaritmului, proprietățile logaritmilor și a funcției logaritmice ne vor permite să rezolvăm ecuații logaritmice. Toate ecuațiile logaritmice, indiferent cât de complexe sunt, sunt rezolvate folosind aceiași algoritmi. Vom lua în considerare acești algoritmi astăzi în lecție. Sunt puțini dintre ei. Dacă le stăpânești, atunci orice ecuație cu logaritmi va fi fezabilă pentru fiecare dintre voi.

Scrieți în caiet tema lecției: „Metode de rezolvare a ecuațiilor logaritmice”. Îi invit pe toți la cooperare.

II. Actualizarea cunoștințelor de bază

Să ne pregătim să studiem subiectul lecției. Rezolvi fiecare sarcină și notează răspunsul, nu poți scrie condiția. Lucrați în perechi.

1) Pentru ce valori ale lui x are sens funcția:

(Răspunsurile sunt verificate pentru fiecare diapozitiv și erorile sunt sortate)

2) Se potrivesc graficele funcțiilor?

3) Rescrieți egalitățile ca egalități logaritmice:

4) Scrieți numerele ca logaritmi cu baza 2:

5) Calculați:

6) Încercați să restaurați sau să completați elementele lipsă din aceste egalități.

III. Introducere în material nou

Declarația este afișată pe ecran:

„Ecuația este cheia de aur care deblochează tot susanul matematic.”
Matematicianul polonez modern S. Koval

Încercați să formulați definiția unei ecuații logaritmice. (O ecuație care conține necunoscutul sub semnul logaritmului).

Considera cea mai simplă ecuație logaritmică:ButurugaAx = b(unde a>0, a ≠ 1). Deoarece funcția logaritmică crește (sau descrește) pe mulțimea numerelor pozitive și ia toate valorile reale, din teorema rădăcinii rezultă că pentru orice b ecuația dată are, și în plus, o singură soluție, și pozitivă.

Amintiți-vă definiția unui logaritm. (Logaritmul numărului x față de baza a este exponentul la care trebuie ridicată baza a pentru a obține numărul x). Din definiţia logaritmului rezultă imediat că AV este o astfel de solutie.

Notează titlul: Metode de rezolvare a ecuațiilor logaritmice

1. Prin definiția logaritmului.

Așa se rezolvă ecuații simple de formă.

Considera nr. 514(a): Rezolvați ecuația

Cum iti propui sa o rezolvi? (După definiția logaritmului)

Soluţie. , Prin urmare 2x - 4 = 4; x = 4.

În această sarcină, 2x - 4 > 0, deoarece > 0, prin urmare, rădăcinile străine nu pot apărea și nu este nevoie să se verifice. Condiția 2x - 4 > 0 nu este necesară pentru a scrie în această sarcină.

2. Potenționare(tranziție de la logaritmul expresiei date la această expresie în sine).

Considera Nr. 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Ce caracteristică ai observat? (Bazele sunt aceleași și logaritmii celor două expresii sunt egali). Ce se poate face? (potenția).

În acest caz, trebuie luat în considerare faptul că orice soluție este conținută printre toate x pentru care expresiile logaritmice sunt pozitive.

Soluție: ODZ:

X2+8>0 inegalitate suplimentară

log5(x2+8) = log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)=log5(8x+8)

Potențiază ecuația inițială

obținem ecuația x2+8= 8x+8

Rezolvăm: x2-8x=0

Răspuns: 0; 8

ÎN vedere generala trecerea la un sistem echivalent:

Ecuația

(Sistemul conține o condiție redundantă - una dintre inegalități poate fi ignorată).

Întrebare pentru clasă: Care dintre aceste trei soluții ți-a plăcut cel mai mult? (Discuție despre metode).

Ai dreptul de a decide în orice fel.

3. Introducerea unei noi variabile.

Considera nr. 520(g). .

Ce ai observat? (Aceasta este o ecuație pătratică pentru log3x) Orice sugestii? (Introduceți o nouă variabilă)

Soluţie. ODZ: x > 0.

Fie , atunci ecuația va lua forma:. Discriminant D > 0. Rădăcini după teorema lui Vieta:.

Să revenim la înlocuitor: sau .

Rezolvând cele mai simple ecuații logaritmice, obținem:

Raspuns: 27;

4. Logaritmul ambelor părți ale ecuației.

Rezolvați ecuația:.

Rezolvare: ODZ: x>0, luați logaritmul ambelor părți ale ecuației din baza 10:

Aplicați proprietatea logaritmului gradului:

(lgx + 3) lgx = 4

Fie lgx = y, atunci (y + 3)y = 4

, (D > 0) rădăcinile conform teoremei Vieta: y1 = -4 și y2 = 1.

Să revenim la înlocuire, obținem: lgx = -4,; logx = 1, .

Răspuns: 0,0001; 10.

5. Reducere la o bază.

Nr. 523(c). Rezolvați ecuația:

Rezolvare: ODZ: x>0. Să trecem la baza 3.

6. Metoda functional-grafica.

№ 509(d). Rezolvați grafic ecuația: = 3 - x.

Cum iti propui sa rezolvi? (Construiți grafice a două funcții y \u003d log2x și y \u003d 3 - x prin puncte și căutați abscisa punctelor de intersecție ale graficelor).

Vezi soluția ta pe diapozitiv.

Există vreo modalitate de a evita complotul . Este după cum urmează : dacă una dintre funcţii y = f(x) crește și celălalt y = g(x) scade pe intervalul X, apoi ecuația f(x)=g(x) are cel mult o rădăcină în intervalul X.

Dacă există o rădăcină, atunci poate fi ghicită.

În cazul nostru, funcția crește pentru x>0, iar funcția y \u003d 3 - x scade pentru toate valorile lui x, inclusiv x>0, ceea ce înseamnă că ecuația nu are mai mult de o rădăcină. Rețineți că pentru x = 2, ecuația se transformă într-o egalitate adevărată, deoarece .

« Utilizare corectă metodele pot fi învățate
doar aplicandu-le la diverse exemple».
Istoricul danez al matematicii G. G. Zeiten

euv. Teme pentru acasă

P. 39 luați în considerare exemplul 3, rezolvați nr. 514 (b), nr. 529 (b), nr. 520 (b), nr. 523 (b)

V. Rezumând lecția

Ce metode de rezolvare a ecuațiilor logaritmice am luat în considerare în lecție?

În lecțiile următoare, ne vom uita la ecuații mai complexe. Pentru rezolvarea acestora sunt utile metodele studiate.

Afișarea ultimului diapozitiv:

„Ce este mai mult decât orice în lume?
Spaţiu.
Care este cel mai înțelept?
Timp.
Care este cel mai plăcut?
Obține ceea ce îți dorești.”
Thales

Vreau ca fiecare să realizeze ceea ce își dorește. Vă mulțumim pentru cooperare și înțelegere.

Exemple:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

Cum se rezolvă ecuații logaritmice:

Când rezolvați o ecuație logaritmică, trebuie să vă străduiți să o convertiți la forma \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), și apoi să faceți tranziția la \(f( x)=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Exemplu:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Foarte important! Această tranziție poate fi făcută numai dacă:

Ai scris pentru ecuația originală, iar la sfârșit verificați dacă cele găsite sunt incluse în DPV. Dacă nu se face acest lucru, pot apărea rădăcini suplimentare, ceea ce înseamnă o decizie greșită.

Numărul (sau expresia) este același în stânga și în dreapta;

Logaritmii din stânga și din dreapta sunt „puri”, adică nu ar trebui să existe înmulțiri, împărțiri etc. - numai logaritmi singuri de ambele părți ale semnului egal.

De exemplu:

Rețineți că ecuațiile 3 și 4 pot fi rezolvate cu ușurință prin aplicarea proprietăților dorite ale logaritmilor.

Exemplu . Rezolvați ecuația \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

Soluţie :

Răspuns : \(5\)

Exemplu : Rezolvați ecuația \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

Soluţie :

Răspuns : \(4\); \(2\).

Rezolvarea ecuațiilor logaritmice. Partea 1.

Ecuație logaritmică numită ecuație în care necunoscutul este conținut sub semnul logaritmului (în special, în baza logaritmului).

Protozoare ecuație logaritmică se pare ca:

Rezolvarea oricărei ecuații logaritmice presupune trecerea de la logaritmi la expresii sub semnul logaritmilor. Cu toate acestea, această acțiune extinde gama de valori valide ale ecuației și poate duce la apariția rădăcinilor străine. Pentru a evita apariția rădăcinilor străine o poți face într-unul din trei moduri:

1. Faceți o tranziție echivalentă de la ecuația originală la un sistem inclusiv

în funcţie de care inegalitate sau mai uşor.

Dacă ecuația conține o necunoscută la baza logaritmului:

apoi mergem la sistem:

2. Găsiți separat intervalul de valori admisibile ale ecuației, apoi rezolvați ecuația și verificați dacă soluțiile găsite satisfac ecuația.

3. Rezolvați ecuația și apoi face o verificare:înlocuiți soluțiile găsite în ecuația originală și verificați dacă obținem egalitatea corectă.

O ecuație logaritmică de orice nivel de complexitate se reduce întotdeauna la cea mai simplă ecuație logaritmică.

Toate ecuațiile logaritmice pot fi împărțite în patru tipuri:

1 . Ecuații care conțin logaritmi numai pentru prima putere. Cu ajutorul transformărilor și utilizării, ele sunt reduse la formă

Exemplu. Să rezolvăm ecuația:

Echivalează expresiile sub semnul logaritmului:

Să verificăm dacă rădăcina noastră a ecuației satisface:

Da, satisface.

Răspuns: x=5

2 . Ecuații care conțin logaritmi la o altă putere decât 1 (în special, la numitorul unei fracții). Aceste ecuații se rezolvă folosind introducerea unei schimbări de variabilă.

Exemplu. Să rezolvăm ecuația:

Să găsim ecuația ODZ:

Ecuația conține logaritmi la pătrat, deci se rezolvă folosind o schimbare de variabilă.

Important! Înainte de a introduce o înlocuire, trebuie să „trageți” logaritmii care fac parte din ecuație în „cărămizi” folosind proprietățile logaritmilor.

Când „trageți” logaritmi, este important să aplicați proprietățile logaritmilor cu mare atenție:

În plus, mai există un loc subtil aici și, pentru a evita o greșeală comună, vom folosi o egalitate intermediară: scriem gradul logaritmului în această formă:

De asemenea,

Inlocuim expresiile obtinute in ecuatia originala. Primim:

Acum vedem că necunoscuta este conținută în ecuație ca parte a . Vă prezentăm înlocuitorul: . Deoarece poate lua orice valoare reală, nu impunem nicio restricție asupra variabilei.