Condiții de aplicare a formulei probabilității totale. Rezolvarea problemelor folosind Formula Probabilității Totale și Formula Bayes

Formularul evenimentelor grup complet, dacă cel puțin unul dintre ele va apărea în mod necesar ca rezultat al experimentului și sunt inconsecvenți în perechi.

Să presupunem că evenimentul A poate apărea numai împreună cu unul dintre mai multe evenimente incompatibile perechi care formează un grup complet. Să numim evenimentele i= 1, 2,…, n) ipoteze experiență suplimentară (a priori). Probabilitatea de apariție a evenimentului A este determinată de formula probabilitate deplină :

Exemplul 16 Sunt trei urne. Prima urnă conține 5 bile albe și 3 negre, a doua urnă conține 4 bile albe și 4 negre, iar a treia urnă conține 8 bile albe. Una dintre urne este aleasă la întâmplare (aceasta poate însemna, de exemplu, că se face o selecție dintr-o urna auxiliară care conține trei bile numerotate 1, 2 și 3). Din această urnă se extrage la întâmplare o minge. Care este probabilitatea ca acesta să fie negru?

Soluţie. Eveniment A– se extrage mingea neagră. Dacă s-ar ști din ce urnă este extrasă mingea, atunci probabilitatea necesară ar putea fi calculată conform definiției clasice a probabilității. Să introducem ipoteze (ipoteze) cu privire la ce urnă este aleasă pentru extragerea mingii.

Mingea poate fi extrasa fie din prima urna (ipoteza), fie din a doua (ipoteza), fie din a treia (ipoteza). Din moment ce există șanse egale să alegeți oricare dintre urne, atunci .

De aici rezultă că

Exemplul 17. Lămpile electrice sunt fabricate în trei fabrici. Prima fabrică produce 30% din numărul total de lămpi electrice, a doua - 25%,
iar al treilea pentru restul. Produsele primei fabrici conțin 1% lămpi electrice defecte, a doua - 1,5%, a treia - 2%. Magazinul primește produse de la toate cele trei fabrici. Care este probabilitatea ca o lampă cumpărată din magazin să fie defectă?

Soluţie. Trebuie introduse ipoteze cu privire la fabrica în care a fost fabricat becul. Știind acest lucru, putem găsi probabilitatea ca acesta să fie defect. Să introducem notația pentru evenimente: A– lampa electrică achiziționată s-a dovedit a fi defectă, – lampa a fost fabricată de prima fabrică, – lampa a fost fabricată de a doua fabrică,
– lampa este fabricată de a treia fabrică.

Probabilitatea dorită se găsește prin formula probabilității totale:

Formula Bayes. Fie un grup complet de evenimente incompatibile în perechi (ipoteze). A– eveniment aleatoriu. Apoi,

Ultima formulă care vă permite să supraestimați probabilitățile ipotezelor după ce rezultatul testului devine cunoscut, în urma căreia a apărut evenimentul A, se numește Formula Bayes .

Exemplul 18.În medie, 50% dintre pacienții cu boală sunt internați într-un spital de specialitate LA, 30% cu boală L, 20 % –
cu boala M. Probabilitatea unei vindecări complete a bolii K este egal cu 0,7 pentru boli LȘi M aceste probabilități sunt, respectiv, 0,8 și respectiv 0,9. Pacientul internat la spital a fost externat sănătos. Găsiți probabilitatea ca acest pacient să aibă boala K.

Soluţie. Introducem ipoteze: - pacientul suferea de o boala LA L, pacientul suferea de boala M.

Apoi, după condiția problemei, avem . Să introducem un eveniment A Pacientul internat la spital a fost externat sănătos. După condiție

Conform formulei probabilității totale, obținem:

Formula Bayes.

Exemplul 19. Să fie cinci bile în urnă și toate ipotezele despre numărul de bile albe sunt la fel de probabile. O minge este luată la întâmplare din urnă și se dovedește a fi albă. Care este cea mai probabilă presupunere despre compoziția inițială a urnei?

Soluţie. Să fie ipoteza că în urna de bile albe , adică este posibil să se facă șase ipoteze. Apoi, după condiția problemei, avem .

Să introducem un eveniment A O minge albă extrasă aleatoriu. Să calculăm. Deoarece , atunci conform formulei Bayes avem:

Astfel, ipoteza este cea mai probabilă, întrucât .

Exemplul 20. Două din trei elemente care funcționează independent ale dispozitivului de calcul au eșuat. Găsiți probabilitatea ca primul și al doilea element să eșueze dacă probabilitățile de eșec ale primului, celui de-al doilea și, respectiv, al treilea element sunt egale cu 0,2; 0,4 și 0,3.

Soluţie. Notează prin A eveniment - două elemente au eșuat. Se pot formula urmatoarele ipoteze:

- primul și al doilea element au eșuat, iar al treilea element este funcțional. Deoarece elementele funcționează independent, se aplică teorema înmulțirii:

În practică, este adesea necesar să se determine probabilitatea unui eveniment de interes care poate apărea cu unul dintre evenimentele care formează un grup complet. Următoarea teoremă, care este o consecință a teoremelor probabilității de adunare și înmulțire, conduce la derivarea unei formule importante pentru calcularea probabilității unor astfel de evenimente. Această formulă se numește formula probabilității totale.

Lăsa H 1 , H 2 , … , H n este nperechi incompatibil evenimente care formează un grup complet:

1) toate evenimentele sunt incompatibile perechi: Bună ∩ Hj= ; i, j= 1,2, … , n; ij;

2) unirea lor formează spațiul rezultatelor elementare W:

Astfel de evenimente sunt uneori numite ipoteze. Lasă evenimentul să se întâmple A, care poate apărea numai dacă are loc unul dintre evenimente H eu ( i = 1, 2, … , n). Atunci teorema este adevărată.

Dovada. Într-adevăr, după condiție, evenimentul A poate apărea dacă are loc unul dintre evenimentele incompatibile H 1 , H 2 … H n, adică producerea unui eveniment Aînseamnă implementarea unuia dintre evenimente H 1 ∙ A, H 2 ∙ A, … , H n ∙ A. Ultimele evenimente sunt și ele incompatibile, pentru că din H eu ∙ H j = ( eu j) rezultă că și ( A ∙ H i) ∙ ( A ∙ H j) = ( eu j). Acum să observăm asta Această egalitate este bine ilustrată în fig. 1.19. Din teorema adunării rezultă . Dar, după teorema înmulțirii, egalitatea este adevărată pentru oricare eu, 1 ≤ i ≤ n. Prin urmare, formula probabilității totale (1.14) este valabilă. Teorema a fost demonstrată. Cometariu. Probabilități de evenimente (ipoteze) H 1 , H 2 , … , H n , care introduc formula (1.14) la rezolvarea unor probleme specifice, fie sunt date, fie trebuie calculate în procesul de rezolvare. În acest din urmă caz, corectitudinea calculului R(H i)( i = 1, 2, … , n) se verifică prin relația = 1 și prin calcul R(H i) se realizează la prima etapă de rezolvare a problemei. În a doua etapă, se calculează R(A). Când rezolvați probleme folosind formula probabilității totale, este convenabil să respectați următoarea metodologie. Metodologia de aplicare a formulei probabilității totale A). Introduceți un eveniment în considerare (indicați-l A), a cărui probabilitate trebuie determinată de starea problemei. b). Introduceți evenimente (ipoteze) în considerare H 1 , H 2 , … , H n , care formează un grup complet. V). Scrieți sau calculați probabilitățile ipotezelor R(H 1), R(H 2), … , R(H n). Verificarea corectitudinii calculului R(H i) verificat de stare Cu mai multe probabilități R(H i) sunt specificate direct în enunţul problemei. Uneori, aceste probabilități și, de asemenea, probabilitățile p(A/H 1), p(A/H 2), …, p(A/H n) înmulțit cu 100 (procente date). În acest caz, numerele date trebuie împărțite la 100. G). Calculați probabilitatea necesară R(A) prin formula (1.14). Exemplu. Un economist a calculat că probabilitatea unei creșteri a valorii acțiunilor companiei sale în anul urmator va fi 0,75 dacă economia țării este în creștere și 0,30 dacă există o criză financiară. Potrivit experților, probabilitatea redresării economice este de 0,6. Evaluați probabilitatea ca acțiunile companiei să crească în preț anul viitor. Soluţie. La început, condiția problemei este formalizată în termeni de probabilitate. Lăsa A– evenimentul „acțiunile vor crește în preț” (pe problema sarcinii). În funcție de starea problemei, se disting ipotezele: H 1 - „economia va fi în creștere”, H 2 - „economia va intra într-o perioadă de criză”. H 1 , H 2 - formați un grup complet, adică H 1 ∙ H 2 = , H 1 + H 2 = . Probabilitate p(H 1) = 0,6, prin urmare, p(H 2) \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4. Probabilități condiționate p(A/H 1) = 0,75, p(A/H 2) = 0,3. Folosind formula (1.14), obținem: p(A) = p(H 1) ∙ p(A/H 1) + p(H 2) ∙ p(A/H 2) = 0,75 ∙ 0,6 + 0,3 ∙ 0,4 = 0,57.

Corolarul ambelor teoreme principale - teorema de adunare a probabilității și teorema de înmulțire a probabilității - este așa-numita formulă a probabilității totale.

Să fie necesar să se determine probabilitatea unui eveniment care poate apărea împreună cu unul dintre evenimentele:

formând un grup complet de evenimente incompatibile. Vom numi aceste evenimente ipoteze.

Să demonstrăm că în acest caz

, (3.4.1)

acestea. probabilitatea unui eveniment se calculează ca suma produselor dintre probabilitatea fiecărei ipoteze și probabilitatea evenimentului conform acestei ipoteze.

Formula (3.4.1) se numește formula probabilității totale.

Dovada. Deoarece ipotezele formează un grup complet, evenimentul poate apărea numai în combinație cu oricare dintre aceste ipoteze:

Deoarece ipotezele sunt inconsistente, combinațiile de asemenea incompatibil; aplicându-le teorema adunării, obținem:

Aplicând teorema înmulțirii evenimentului, obținem:

,

Q.E.D.

Exemplul 1. Există trei urne cu aspect identic; prima urnă conține două bile albe și una neagră; în al doilea - trei albi și unul negru; în al treilea - două bile albe și două negre. Cineva alege una dintre urne la întâmplare și trage o minge din ea. Găsiți probabilitatea ca această minge să fie albă.

Soluţie. Să luăm în considerare trei ipoteze:

Alegerea primei urne,

Alegerea celei de-a doua urne,

Alegerea celei de-a treia urne

iar evenimentul este apariția unei mingi albe.

Întrucât ipotezele, după starea problemei, sunt la fel de probabile, atunci

.

Probabilitățile condiționate ale evenimentului conform acestor ipoteze sunt, respectiv, egale:

Conform formulei probabilității totale

.

Exemplul 2. Trei focuri simple sunt trase într-o aeronavă. Probabilitatea de a lovi cu prima lovitură este de 0,4, cu a doua - 0,5, cu a treia 0,7. Trei lovituri sunt, evident, suficiente pentru a dezactiva o aeronavă; cu o lovitură, aeronava eșuează cu o probabilitate de 0,2, cu două lovituri, cu o probabilitate de 0,6. Găsiți probabilitatea ca, în urma a trei lovituri, aeronava să fie scoasă din funcțiune.

Soluţie. Să luăm în considerare patru ipoteze:

Niciun obuz nu a lovit avionul,

Un obuz a lovit avionul

Avionul a fost lovit de două obuze.

Trei obuze au lovit avionul.

Folosind teoremele de adunare și înmulțire, găsim probabilitățile acestor ipoteze:

Probabilitățile condiționate ale evenimentului (defecțiunea aeronavei) conform acestor ipoteze sunt:

Aplicând formula probabilității totale, obținem:

Rețineți că prima ipoteză nu ar fi putut fi introdusă în considerare, deoarece termenul corespunzător din formula probabilității totale dispare. Acest lucru se face de obicei atunci când se aplică formula probabilității totale, luând în considerare nu grupul complet de ipoteze inconsecvente, ci doar pe acelea dintre ele sub care un anumit eveniment este posibil.

Exemplul 3. Funcționarea motorului este controlată de două regulatoare. Se are în vedere o anumită perioadă de timp, în care este de dorit să se asigure funcționarea fără probleme a motorului. Dacă ambele regulatoare sunt prezente, motorul se defectează cu probabilitate, dacă doar primul dintre ele funcționează, cu probabilitate, dacă funcționează doar al doilea, dacă ambele regulatoare se defectează, cu probabilitate. Primul dintre reglementatori are fiabilitate, al doilea -. Toate elementele eșuează independent unele de altele. Găsiți fiabilitatea totală (probabilitatea de funcționare fără defecțiuni) a motorului.

Compilat de profesorul Departamentului de Matematică Superioară Ishchanov T.R. Lecția numărul 4. Formula probabilității totale. Probabilitatea ipotezelor. Formule Bayes.

Material teoretic
Formula probabilității totale
Teorema. Probabilitatea unui eveniment A, care poate apărea numai dacă unul dintre evenimentele incompatibile care formează un grup complet, este egală cu suma produselor probabilităților fiecăruia dintre aceste evenimente cu probabilitatea condiționată corespunzătoare a evenimentului A:

.
Această formulă se numește „formula probabilității totale”.

Dovada. Conform condiției, evenimentul A poate apărea dacă are loc unul dintre evenimentele incompatibile. Cu alte cuvinte, apariția evenimentului A înseamnă implementarea unuia dintre evenimentele incompatibile, indiferent care. Folosind teorema adunării pentru a calcula probabilitatea evenimentului A, obținem
. (*)
Rămâne de calculat fiecare dintre termeni. Prin teorema înmulțirii pentru probabilitățile evenimentelor dependente, avem
.
Înlocuind părțile corecte ale acestor egalități în relația (*), obținem formula pentru probabilitatea totală

Exemplul 1 Există două seturi de piese. Probabilitatea ca partea primului set să fie standard este 0,8, iar a doua este 0,9. Găsiți probabilitatea ca un element selectat aleatoriu (dintr-un set selectat aleatoriu) să fie standard.
Soluţie. Notați cu A evenimentul „partea extrasă este standard”.
Piesa poate fi preluată fie din primul set (eveniment) fie din al doilea (eveniment).
Probabilitatea ca o parte să fie luată din primul set este .
Probabilitatea ca piesa să fie scoasă din al doilea set, .
Probabilitatea condiționată ca o parte standard să fie extrasă din primul set, .
Probabilitate condiționată ca o parte standard să fie extrasă din al doilea set .
Probabilitatea dorită ca partea extrasă la întâmplare să fie standard, conform formulei probabilității totale, este egală cu

Exemplul 2 Prima cutie conține 20 de tuburi, dintre care 18 sunt standard; în a doua casetă - 10 lămpi, 9 dintre ele sunt standard. O lampă a fost luată la întâmplare din a doua cutie și transferată în prima. Găsiți probabilitatea ca lampa extrasă aleatoriu din prima casetă să fie standard.
Soluţie. Notați cu A evenimentul „o lampă standard este scoasă din prima cutie”.
Din a doua casetă ar putea fi luată fie o lampă standard (eveniment ) fie una nestandard (eveniment ).
Probabilitatea ca o lampă standard să fie extrasă din a doua casetă este .
Probabilitatea ca o lampă non-standard să fi fost luată din a doua cutie este
Probabilitatea condiționată ca o lampă standard să fi fost luată din prima cutie, cu condiția ca o lampă standard să fi fost transferată din a doua cutie în prima, este egală cu .
Probabilitatea condiționată ca o lampă standard să fi fost luată din prima cutie, cu condiția ca o lampă nestandard să fi fost transferată din a doua cutie în prima, este egală cu .
Probabilitatea dorită ca o lampă standard să fie scoasă din prima casetă, conform formulei probabilității totale, este egală cu

Probabilitatea ipotezelor. Formule Bayes

Fie ca evenimentul A să se producă cu condiția să apară unul dintre evenimentele incompatibile, formând un grup complet. Deoarece nu se știe dinainte care dintre aceste evenimente se va întâmpla, ele se numesc ipoteze. Probabilitatea de apariție a evenimentului A este determinată de formula probabilității totale:

Să presupunem că a fost efectuat un test, în urma căruia a apărut evenimentul A. Să ne punem sarcina de a determina modul în care s-au schimbat probabilitățile ipotezelor (datorită faptului că evenimentul A a avut deja loc). Cu alte cuvinte, vom căuta probabilități condiționate

Să găsim mai întâi probabilitatea condiționată. Prin teorema înmulțirii, avem

.

Înlocuind aici P(A) cu formula (*), obținem

În mod similar, sunt derivate formule care determină probabilitățile condiționate ale ipotezelor rămase, adică probabilitatea condiționată a oricărei ipoteze poate fi calculată prin formula

Formulele rezultate sunt numite Formule Bayes(numit după matematicianul englez care le-a derivat; publicat în 1764). Formulele Bayes vă permit să supraestimați probabilitățile ipotezelor după ce rezultatul testului devine cunoscut, în urma căruia a apărut evenimentul A.

Exemplu. Piesele fabricate de magazinul fabricii sunt trimise unuia dintre cei doi inspectori pentru a le verifica standardizarea. Probabilitatea ca piesa să ajungă la primul controler este de 0,6, iar la al doilea - 0,4. Probabilitatea ca o parte bună să fie recunoscută ca standard de către primul inspector este de 0,94, iar de al doilea - 0,98. O parte bună în timpul testului a fost recunoscută ca standard. Găsiți probabilitatea ca această parte să fi fost verificată de primul inspector.
Soluţie. Notați cu A evenimentul că o parte bună este recunoscută ca standard. Se pot face două ipoteze:
1) articolul a fost verificat de primul controlor (ipoteză);
2) articolul a fost verificat de al doilea controlor (ipoteză). Probabilitatea dorită ca piesa să fie verificată de primul controler poate fi găsită folosind formula Bayes:

După starea problemei, avem:
(probabilitatea ca piesa să ajungă la primul controler);
(probabilitatea ca piesa să ajungă la al doilea controler);
(probabilitatea ca o parte bună să fie recunoscută de primul inspector ca standard);
(probabilitatea ca o parte bună să fie recunoscută ca standard de către al doilea inspector).
Probabilitatea dorită

După cum puteți vedea, înainte de testare, probabilitatea ipotezei era de 0,6, după ce rezultatul testului a devenit cunoscut, probabilitatea acestei ipoteze (mai precis, probabilitatea condiționată) s-a schimbat și a devenit egală cu 0,59. Astfel, utilizarea formulei Bayes a făcut posibilă supraestimarea probabilității ipotezei luate în considerare.

material practic.
1. (4) Asamblatorul a primit 3 cutii cu piese din fabrica # 1 și 2 cutii cu piese din fabrica # 2. Probabilitatea ca fabrica # 1 să fie o piesă standard este de 0,8 și fabrica # 2 este 0,9, asamblatorul aleatoriu a scos piesa dintr-un mod aleatoriu cutie luată. Găsiți probabilitatea ca o parte standard să fie extrasă.
Reprezentant. 0,84.
2. (5) Prima cutie conține 20 de părți, dintre care 15 sunt standard; în a doua - 30 de părți, dintre care 24 sunt standard; în a treia - 10 părți, dintre care 6 sunt standard. Găsiți probabilitatea ca un element selectat aleatoriu dintr-o casetă selectată aleatoriu să fie standard.
Reprezentant. 43/60.
3. (6) În studioul de televiziune sunt 4 kinescoape. Probabilitățile ca kinescopul să reziste în perioada de garanție sunt, respectiv, de 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Găsiți probabilitatea ca un kinescop luat la întâmplare să dureze perioada de garanție.
Reprezentant. 0,875.
4. (3) Într-un grup de sportivi sunt 20 de schiori, 6 bicicliști și 4 alergători. Probabilitatea de a îndeplini standardul de calificare este următoarea: pentru un schior - 0,9, pentru un biciclist - 0,8. iar pentru alergător-0,75. Găsiți probabilitatea ca un sportiv, ales la întâmplare, să îndeplinească norma.
Reprezentant. 0,86.
5. (C) Într-o cutie albă sunt 12 bile roșii și 6 albastre. În negru - 15 bile roșii și 10 albastre. Aruncă un zar. Dacă numărul de puncte este un multiplu de 3, atunci o minge este luată aleatoriu din caseta albă. Dacă orice alt număr de puncte cade, atunci o minge este luată aleatoriu din caseta neagră. Care este probabilitatea ca o minge roșie să apară?
Soluţie:
Sunt posibile două ipoteze:
- la aruncarea unui zar va scădea un număr de puncte, un multiplu de 3, adică. sau 3 sau 6;
- la aruncarea unui zar, un număr diferit de puncte va cădea, de exemplu. sau 1 sau 2 sau 4 sau 5.
Conform definiției clasice, probabilitățile ipotezelor sunt:

Deoarece ipotezele constituie un grup complet de evenimente, egalitatea trebuie să se mențină

Fie evenimentul A aspectul unei mingi roșii. Probabilitățile condiționate ale acestui eveniment depind de ipoteza care a fost realizată și sunt, respectiv:

Apoi, conform formulei probabilității totale, probabilitatea evenimentului A va fi egală cu:

6. (7) Există tuburi radio în două cutii. Prima cutie conține 12 lămpi, dintre care 1 nu este standard; în a doua există 10 lămpi, dintre care 1 nu este standard. O lampă a fost luată la întâmplare din prima cutie și transferată în a doua. Găsiți probabilitatea ca o lampă extrasă la întâmplare din a doua casetă să nu fie standard.
Reprezentant. 13/132.

7. (89 D) O bilă albă este aruncată într-o urnă care conține două bile, după care o bilă este extrasă la întâmplare din ea. Găsiți probabilitatea ca bila extrasă să fie albă dacă toate ipotezele posibile despre compoziția inițială a bilelor (după culoare) sunt la fel de posibile.
Soluţie. Notați cu A evenimentul - este extrasă o minge albă. Sunt posibile următoarele ipoteze (ipoteze) despre compoziția inițială a bilelor: - nu există bile albe, - o bilă albă, - două bile albe.
Deoarece sunt trei ipoteze în total, iar după condiție sunt la fel de probabile, iar suma probabilităților ipotezelor este egală cu unu (deoarece formează un grup complet de evenimente), probabilitatea fiecăreia dintre ipoteze este egală. la 1/3, adică .
Probabilitatea condiționată ca o bilă albă să fie extrasă, având în vedere că inițial nu au existat bile albe în urnă, .
Probabilitatea condiționată ca o bilă albă să fie extrasă, având în vedere că urna conținea inițial o bilă albă, .
Probabilitatea condiționată ca o bilă albă să fie extrasă, având în vedere că inițial urna conținea două bile albe.
Probabilitatea dorită ca o bilă albă să fie extrasă se găsește prin formula probabilității totale:

8. (10) O parte standard este aruncată într-o cutie care conține 3 părți identice, apoi o parte este extrasă la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca o piesă standard să fie desenată dacă toate presupunerile posibile despre numărul de piese standard din casetă sunt la fel de probabile.
Reprezentant. 0,625.

9. (6.5.2L) Două receptoare radio sunt utilizate pentru a îmbunătăți calitatea comunicațiilor radio. Probabilitatea de a primi un semnal de către fiecare receptor este de 0,8, iar aceste evenimente (recepția semnalului de către receptor) sunt independente. Determinați probabilitatea de a primi un semnal dacă probabilitatea de funcționare fără defecțiuni în timpul unei sesiuni de comunicații radio pentru fiecare receptor este de 0,9.
Soluţie.
Fie evenimentul A=(semnalul va fi primit). Să luăm în considerare patru ipoteze:

=(primul receptor funcționează, al doilea nu);

=(al doilea funcționează, primul nu);

=(ambele receptoare funcționează);

=(ambele receptoare nu funcționează).

Evenimentul A poate apărea numai cu una dintre aceste ipoteze. Să găsim probabilitatea acestor ipoteze luând în considerare următoarele evenimente:

=(primul receptor funcționează),

=(al doilea receptor funcționează).

Control:

.

Probabilitățile condiționate sunt, respectiv:

;

;

Acum, folosind formula probabilității totale, găsim probabilitatea dorită

10. (11) În cazul abaterii de la modul normal de funcționare al mașinii, dispozitivul de semnalizare C-1 este declanșat cu o probabilitate de 0,8, iar dispozitivul de semnalizare C-11 este declanșat cu o probabilitate de 1. Probabilitățile ca mașina este echipată cu un dispozitiv de semnalizare C-1 sau C-11 sunt egale cu 0, respectiv 6 și 0,4. A fost primit un semnal despre tăierea mașinii. Ce este mai probabil: aparatul este echipat cu un dispozitiv de semnalizare C-1 sau C-11?
Reprezentant. Probabilitatea ca mașina să fie echipată cu un dispozitiv de semnalizare C-1 este 6/11, iar C-11 este 5/11

11. (12) 4 studenți din prima grupă a cursului, 6 studenți din a doua grupă și 5 studenți din a treia grupă au fost selectați pentru a participa la competițiile sportive de calificare pentru elevi. Probabilitățile ca un student din prima, a doua și a treia grupă să intre în echipa institutului sunt egale cu 0,9, respectiv; 0,7 și 0,8. Un elev ales aleatoriu a ajuns în echipa națională în urma competiției. Cărui grup a aparținut acest elev cel mai probabil?
Reprezentant. Probabilitățile ca un elev din prima, a doua, a treia grupă să fie selectat sunt, respectiv: 18/59, 21/59, 20/59.

12. (1.34K) O companie comercială a primit televizoare de la trei furnizori în raport de 1:4:5. Practica a arătat că televizoarele care provin de la primul, al doilea și al treilea furnizor nu vor necesita reparații în termen de perioada de garantie respectiv în 98, 88 și 92% din cazuri.
1) Găsiți probabilitatea ca televizorul primit de societatea comercială să nu necesite reparații în perioada de garanție.
2) Televizorul vândut a necesitat reparații în perioada de garanție. De la ce furnizor a venit cel mai probabil acest televizor?
Soluţie.
Să desemnăm evenimente: - televizorul a ajuns în firmă comercială de la al-lea furnizor (i=1,2,3);
A - televizorul nu va necesita reparații în perioada de garanție.
După condiție

Conform formulei probabilității totale

Event TV va necesita reparații în perioada de garanție; .
După condiție

Prin formula Bayes

;

Astfel, după producerea evenimentului, probabilitatea ipotezei a crescut de la la maxim , iar ipotezele - scazute de la maxim la ; dacă mai devreme (înainte de apariția evenimentului A) ipoteza era cel mai probabil, acum, în lumina unor noi informații (declanșarea evenimentului A), ipoteza cea mai probabilă este că acest televizor ar fi venit de la al 2-lea furnizor.

13. (1.35K) Se știe că, în medie, 95% dintre produsele fabricate îndeplinesc standardul. O schemă de control simplificată recunoaște un produs ca fiind adecvat cu o probabilitate de 0,98 dacă este standard și cu o probabilitate de 0,06 dacă nu este standard. Determinați probabilitatea ca:
1) un produs luat la întâmplare va trece un control simplificat;
2) produsul este standard dacă: a) a trecut controlul simplificat; b) a trecut de două ori controlul simplificat.
Soluţie.
1). Să notăm evenimentele:
- luat la întâmplare, produsul este respectiv standard sau nestandard;
- produsul a trecut controlul simplificat.

După condiție

Probabilitatea ca un produs luat la întâmplare să treacă de controlul simplificat, conform formulei probabilității totale:

2a). Probabilitatea ca un produs care a trecut inspecția simplificată să fie standard, conform formulei Bayes:

2b). Lasă evenimentul - produsul a trecut de două ori controlul simplificat. Apoi, după teorema înmulțirii probabilităților:

Prin formula Bayes

este foarte mic, atunci ipoteza că un produs care a trecut de două ori controlul simplificat este nestandard ar trebui aruncată ca un eveniment aproape imposibil.

14. (1.36K) Doi trăgători trag în mod independent într-o țintă, fiecare trăgând o lovitură. Probabilitatea de a lovi ținta pentru primul trăgător este de 0,8; pentru al doilea - 0,4. După împușcare, a fost găsită o gaură în țintă. Care este probabilitatea ca acesta să aparțină:
a) primul trăgător;
b) al 2-lea trăgător?
Soluţie.
Să notăm evenimentele:

Ambele săgeți au ratat ținta;

Ambele săgeți lovesc ținta;

Primul trăgător a lovit ținta, al 2-lea nu;

Primul trăgător a ratat ținta, a doua lovitură;

Există o gaură în țintă (o lovitură).

Exemplul #1. O companie producătoare de calculatoare obține aceleași piese de la trei furnizori. Primul furnizează 50% din toate componentele, al doilea - 20%, al treilea - 30% din piese.
Se știe că calitatea pieselor furnizate este diferită, iar la produsele primului furnizor, procentul de defecte este de 4%, al doilea - 5%, al treilea - 2%. Determinați probabilitatea ca o piesă selectată la întâmplare dintre toate primite să fie defectă.

Soluţie. Să notăm evenimentele: A - „articolul selectat este defect”, H i - „articolul selectat primit de la al-lea furnizor”, i =1, 2, 3 Ipotezele H 1 , H 2 , H 3 formează un grup complet de evenimente incompatibile. După condiție
P(H1) = 0,5; P(H2) = 0,2; P(H3) = 0,3
P(A|H1) = 0,04; P(A|H2) = 0,05; P(A|H3) = 0,02

Conform formulei probabilității totale (1.11), probabilitatea evenimentului A este egală cu
P(A) = P(H1) P(A|H1) + P(H2) P(A|H2) + P(H3) P(A|H3) = 0,5 0,04 + 0,2 0,05 + 0,3 0,02=0,036
Probabilitatea ca o piesă aleasă la întâmplare să fie defectă este de 0,036.

Fie ca evenimentul A să fi avut deja loc în condițiile exemplului anterior: piesa selectată s-a dovedit a fi defectă. Care este probabilitatea ca acesta să fi fost primit de la primul furnizor? Răspunsul la această întrebare este dat de formula Bayes.
Am început analiza probabilităților doar cu valori preliminare, a priori, ale probabilităților de evenimente. Apoi a fost făcut un experiment (a fost selectată o parte) și am primit informații suplimentare despre evenimentul care ne interesează. Cu aceste noi informații, putem rafina valorile probabilităților anterioare. Noile valori ale probabilităților acelorași evenimente vor fi deja probabilități a posteriori (post-experimentale) ale ipotezelor (Fig. 1.5).

Schema de reevaluare a ipotezelor
Fie ca evenimentul A să se realizeze numai împreună cu una dintre ipotezele H 1 , H 2 , …, H n (grup complet de evenimente incompatibile). Am notat a priori probabilități ale ipotezelor P(H i) probabilități condiționate ale evenimentului A - P(A|H i), i = 1, 2,…, n. Dacă experimentul a fost deja efectuat și ca urmare a acestuia a avut loc evenimentul A, atunci probabilitățile a posteriori ale ipotezelor vor fi probabilitățile condiționate P(H i |A), i = 1, 2,…, n. În notarea exemplului anterior, P(H 1 |A) este probabilitatea ca piesa selectată, care s-a dovedit a fi defectă, să fi fost primită de la primul furnizor.
Suntem interesați de probabilitatea evenimentului H k |A Considerăm apariția în comun a evenimentelor H k și A, adică evenimentul AH k . Probabilitatea sa poate fi găsită în două moduri, folosind formulele de înmulțire (1.5) și (1.6):
P(AHk) = P(Hk)P(A|Hk);
P(AH k) = P(A)P(H k |A).

Echivalează părțile corecte ale acestor formule
P(H k) P(A|H k) = P(A) P(H k |A),

deci probabilitatea posterioară a ipotezei H k este

Numitorul este probabilitatea totală a evenimentului A. Înlocuind în loc de P(A) valoarea acestuia conform formulei probabilității totale (1.11), obținem:
(1.12)
Formula (1.12) se numește Formula Bayes și este folosit pentru a reevalua probabilitățile ipotezelor.
În condițiile exemplului anterior, găsim probabilitatea ca piesa defectă să fi fost primită de la primul furnizor. Să rezumam într-un tabel probabilitățile a priori ale ipotezelor P(H i) cunoscute nouă prin condiția, probabilitățile condiționate P(A|H i) probabilitățile comune calculate în procesul de rezolvare a P(AH i) = P(H i) P(A|H i) și calculată prin formula (1.12) probabilități a posteriori P(H k |A), i, k = 1, 2,…, n (Tabelul 1.3).

Tabelul 1.3 - Reevaluarea ipotezelor

Ipoteze Bună	Probabilități
	P(H i) anterior	Condițional P(A|H i)	Articulație P(AH i)	A posteriori P(H i |A)
1	2	3	4	5
H 1 - piesa primita de la primul furnizor	0.5	0.04	0.02
H 2 - piesa primita de la un al doilea furnizor	0.2	0.05	0.01
H 3 - parte primită de la un terț furnizor	0.3	0.02	0.006
Sumă	1.0	-	0.036	1

Luați în considerare ultimul rând al acestui tabel. A doua coloană conține suma probabilităților de evenimente incompatibile H 1 , H 2 , H 3 care formează un grup complet:
P(Ω) = P(H1 + H2 + H3) = P(H1) + P(H2) + P(H3) = 0,5 + 0,2 + 0,3 = 1
În a patra coloană, valoarea din fiecare rând (probabilități comune) se obține prin regula înmulțirii probabilităților prin înmulțirea valorilor corespunzătoare din coloana a doua și a treia, iar în ultimul rând 0,036 este probabilitatea totală a evenimentului A (prin formula probabilității totale).
În coloana 5, probabilitățile posterioare ale ipotezelor sunt calculate folosind formula Bayes (1.12):

Probabilitățile posterioare P(H 2 |A) și P(H 3 |A) se calculează în mod similar, numărătorul fracției fiind probabilitățile comune înregistrate în rândurile corespunzătoare ale coloanei 4, iar numitorul fiind probabilitatea totală a evenimentul A înregistrat în ultimul rând al coloanei 4.
Suma probabilităților ipotezelor după experiment este egală cu 1 și este scrisă în ultima linie a coloanei a cincea.
Deci, probabilitatea ca piesa defectă să fie primită de la primul furnizor este de 0,555. Probabilitatea post-experimentală este mai mare decât cea a priori (datorită volumului mare de ofertă). Probabilitatea post-experimentală ca piesa defectă să fie primită de la al doilea furnizor este de 0,278 și este, de asemenea, mai mare decât cea pre-experimentală (datorită un numar mare căsătorie). Probabilitatea post-experimental ca o piesă defectă să fi fost obținută de la un al treilea furnizor este de 0,167.

Exemplul #3. Există trei urne identice; prima urnă conține două bile albe și una neagră; în al doilea, trei albi și unul negru; în al treilea - două bile albe și două negre. Pentru experiment, o urna este aleasa la intamplare si se scoate o bila din ea. Găsiți probabilitatea ca această minge să fie albă.
Soluţie. Să luăm în considerare trei ipoteze: H 1 - se alege prima urna, H 2 - se alege a doua urna, H 3 - se alege a treia urna și evenimentul A - se scoate mingea albă.
Întrucât ipotezele sunt la fel de probabile după condiția problemei, atunci

Probabilitățile condiționate ale evenimentului A în aceste ipoteze sunt, respectiv, egale:
Conform formulei probabilității totale

Exemplul #4. Există 19 puști în piramidă, 3 dintre ele cu vizor optic. Trăgătorul, trăgând dintr-o pușcă cu vizor optic, poate lovi ținta cu o probabilitate de 0,81, iar trăgând dintr-o pușcă fără vizor optic, cu o probabilitate de 0,46. Găsiți probabilitatea ca trăgătorul să lovească ținta trăgând dintr-o pușcă aleasă aleatoriu.
Soluţie. Aici primul test este o alegere aleatorie a puștii, al doilea este tragerea la țintă. Luați în considerare următoarele evenimente: A - trăgătorul va lovi ținta; H 1 - trăgătorul va lua o pușcă cu vizor optic; H 2 - trăgătorul va lua o pușcă fără vizor optic. Folosim formula probabilității totale. Avem

Având în vedere că puștile sunt selectate pe rând și folosind formula clasică de probabilitate, obținem: P(H 1) = 3/19, P(H 2) = 16/19.
Probabilitățile condiționate sunt date în enunțul problemei: P(A|H 1) = 0;81 și P(A|H 2) = 0;46. Prin urmare,

Exemplul numărul 5. Dintr-o urna care contine 2 bile albe si 3 negre, se extrag doua bile la intamplare si se adauga 1 bile alba in urna. Găsiți probabilitatea ca o minge extrasă aleatoriu să fie albă.
Soluţie. Evenimentul „se extrage o bilă albă” va fi notat cu A. Evenimentul H 1 - două bile albe sunt extrase la întâmplare; H 2 - două bile negre au fost extrase la întâmplare; H 3 - au fost extrase o bilă albă și una neagră. Apoi probabilitățile ipotezelor propuse

Probabilitățile condiționate din aceste ipoteze sunt, respectiv, egale: P(A|H 1) = 1/4 - probabilitatea de a extrage o minge albă dacă urna conține acest moment o bile albă și trei bile negre, P(A|H 2) = 3/4 - probabilitatea de a extrage o bilă albă dacă în prezent există trei bile albe și una neagră în urnă, P(A|H 3) = 2/ 4 = 1/2 - probabilitatea de a extrage o bilă albă dacă în urna sunt două bile albe și două negre în acest moment. Conform formulei probabilității totale

Exemplul numărul 6. Două focuri sunt trase în țintă. Probabilitatea de a lovi cu prima lovitură este de 0,2, cu a doua - 0,6. Probabilitatea de a distruge ținta cu o lovitură este de 0,3, cu două - 0,9. Găsiți probabilitatea ca ținta să fie distrusă.
Soluţie. Fie evenimentul A scopul este distrus. Pentru a face acest lucru, este suficient să loviți cu o lovitură din două sau să loviți ținta la rând cu două lovituri fără ratare. Să propunem ipoteze: H 1 - ambele lovituri lovesc ținta. Atunci P(H1) = 0,2 0,6 = 0;12. H 2 - fie prima dată, fie a doua oară s-a greșit. Apoi P (H 2) \u003d 0,2 0,4 + 0,8 0,6 \u003d 0,56. Ipoteza H 3 - ambele lovituri au fost ratate - nu este luată în considerare, deoarece probabilitatea distrugerii țintei este zero. Atunci probabilitățile condiționate sunt, respectiv, egale: probabilitatea de distrugere a țintei în condițiile ambelor lovituri reușite este P(A|H 1) = 0,9, iar probabilitatea de distrugere a țintei în condițiile unei singure lovituri reușite este P( A|H2) = 0,3. Atunci probabilitatea de a distruge ținta conform formulei probabilității totale este egală cu.