Să vorbim despre sarcini în care apare expresia „cel puțin una”. Cu siguranță ai îndeplinit astfel de sarcini la teme și la teste, iar acum vei învăța cum să le rezolvi. Mai întâi voi vorbi despre regula generala, apoi luați în considerare un caz special și , scrieți formule și exemple pentru fiecare.

Procedura generala si exemple

Metodologia generală pentru a rezolva probleme în care apare expresia „cel puțin unul”:

Scrieți evenimentul original $A$ = (Probabilitatea ca... cel puțin...).

Formula opus eveniment $\bar(A)$.

Aflați probabilitatea evenimentului $P(\bar(A))$.

Găsiți probabilitatea dorită folosind formula $P(A)=1-P(\bar(A))$.

Acum să ne uităm la asta cu exemple. Redirecţiona!

Exemplul 1 Cutia contine 25 standard si 6 piese defecte de acelasi tip. Care este probabilitatea ca dintre trei piese alese aleatoriu să existe cel puțin una defectă?

Acționăm direct asupra punctelor.
1. Notăm evenimentul, a cărui probabilitate trebuie găsită direct din starea problemei:
$A$ =(Din 3 părți selectate cel puțin unul defect).

2. Apoi evenimentul opus este formulat ca $\bar(A)$ = (Din 3 părți selectate nici unul defecte) = (Toate cele 3 piese selectate vor fi standard).

3. Acum trebuie să înțelegem cum să găsim probabilitatea evenimentului $\bar(A)$, pentru care ne uităm din nou la problema: vorbim despre obiecte de două tipuri (defecte și nu piese), din care un anumit număr de obiecte sunt scoase și studiate (defecte sau nu). Această problemă este rezolvată folosind definiția clasică a probabilității (mai precis, conform formulei de probabilitate hipergeometrică, citiți mai multe despre aceasta în articol).

Pentru primul exemplu, scriem soluția în detaliu, apoi o vom reduce (și instrucțiuni complete iar calculatoarele pot fi găsite la link-ul de mai sus).

Mai întâi găsim numărul total de rezultate - acesta este numărul de moduri de a alege oricare 3 părți dintr-un lot de 25+6=31 părți într-o cutie. Deoarece ordinea alegerii nu este semnificativă, aplicăm formula pentru numărul de combinații de 31 de obiecte cu 3: $n=C_(31)^3$.

Acum ne referim la numărul de rezultate favorabile pentru eveniment. Pentru a face acest lucru, toate cele 3 părți selectate trebuie să fie standard, ele pot fi alese în moduri $m = C_(25)^3$ (deoarece există exact 25 de părți standard în casetă).

Probabilitatea este:

$$ P(\bar(A))=\frac(m)(n)=\frac(C_(25)^3 )(C_(31)^3) = \frac(23 \cdot 24\cdot 25) (29\cdot 30\cdot 31) =\frac(2300)(4495)= 0,512. $$

4. Atunci probabilitatea dorită este:

$$ P(A)=1-P(\bar(A))=1- 0,512 = 0,488. $$

Răspuns: 0.488.

Exemplul 2 Dintr-un pachet de 36 de cărți, 6 cărți sunt luate la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca printre cărțile extrase să fie: cel puțin două pică.

1. Înregistrați evenimentul $A$ =(Din cele 6 cărți selectate vor exista cel putin doua vârfuri).

2. Apoi evenimentul opus este formulat astfel: $\bar(A)$ = (Din 6 cărți selectate vor fi mai puțin de 2 pică) = (Din cele 6 cărți selectate vor fi exact 0 sau 1 pică, restul un costum diferit).

Cometariu. Aici mă voi opri și voi face o mică observație. Deși în 90% din cazuri tehnica „du-te la evenimentul opus” funcționează perfect, există cazuri când este mai ușor să găsești probabilitatea evenimentului inițial. În acest caz, dacă căutați direct probabilitatea evenimentului $A$, va trebui să adăugați 5 probabilități, iar pentru evenimentul $\bar(A)$ - doar 2 probabilități. Dar dacă sarcina ar fi așa „din 6 cărți, cel puțin 5 sunt de vârf”, situația s-ar inversa și ar fi mai ușor să rezolvi problema inițială. Dacă încerc să dau din nou instrucțiuni, voi spune asta. În sarcinile în care vedeți „cel puțin unul”, nu ezitați să treceți la evenimentul opus. Dacă vorbim despre „cel puțin 2, cel puțin 4 etc.”, atunci trebuie să ne dăm seama care este mai ușor de numărat.

3. Ne întoarcem la sarcina noastră și găsim probabilitatea evenimentului $\bar(A)$ folosind definiția clasică a probabilității.

Numărul total de rezultate (modalități de a alege orice 6 cărți din 36) este egal cu $n=C_(36)^6$ (calculator).

Găsiți numărul de rezultate favorabile pentru eveniment. $m_0 = C_(27)^6$ - numărul de moduri de a alege toate cele 6 cărți ale costumului de vârf (sunt 36-9=27 în pachet), $m_1 = C_(9)^1\cdot C_( 27)^5$ - număr de moduri de a alege 1 costum de carte de pică (din 9) și alte 5 costume (din 27).

$$ P(\bar(A))=\frac(m_0+m_1)(n)=\frac(C_(27)^6+C_(9)^1\cdot C_(27)^5 )(C_( 36)^6) =\frac(85215)(162316)= 0,525. $$

4. Atunci probabilitatea dorită este:

$$ P(A)=1-P(\bar(A))=1- 0,525 = 0,475. $$

Răspuns: 0.475.

Exemplul 3 O urnă conține 2 bile albe, 3 negre și 5 roșii. Trei bile sunt extrase la întâmplare. Aflați probabilitatea ca printre bile extrase să fie cel puțin două culoare diferita.

1. Scrieți evenimentul $A$ =(Printre cele 3 bile extrase cel putin doua culoare diferita). Adică, de exemplu, „2 bile roșii și 1 albă”, sau „1 alb, 1 negru, 1 roșu”, sau „2 negre, 1 roșu” și așa mai departe, sunt prea multe opțiuni. Să încercăm regula de tranziție la evenimentul opus.

2. Apoi evenimentul opus se formulează după cum urmează $\bar(A)$ = (Toate cele trei bile de aceeași culoare) = (se aleg 3 bile negre sau 3 bile roșii) - există doar 2 opțiuni, deci această soluție simplifică calculele. Apropo, toate mingile culoare alba nu poate fi ales deoarece sunt doar 2 și sunt extrase 3 bile.

3. Numărul total de rezultate (modalități de a alege oricare 3 bile din 2+3+5=10 bile) este $n=C_(10)^3=120$.

Găsiți numărul de rezultate favorabile pentru eveniment. $m = C_(3)^3+C_(5)^3=1+10=11$ - numărul de moduri de a alege fie 3 bile negre (din 3) fie 3 bile roșii (din 5).

$$ P(\bar(A))=\frac(m)(n)=\frac(11)(120). $$

4. Probabilitate necesară:

$$ P(A)=1-P(\bar(A))=1- \frac(11)(120)=\frac(109)(120) = 0,908. $$

Răspuns: 0.908.

Caz special. Evenimente independente

Mergem mai departe și ajungem la clasa de probleme în care sunt luate în considerare mai multe evenimente independente (săgeți lovite, becurile se ard, mașinile pornesc, muncitorii se îmbolnăvesc cu probabilitate diferită fiecare etc.) și avem nevoie „găsește probabilitatea ca cel puțin un eveniment să se producă”. În variante, acest lucru poate suna astfel: „găsește probabilitatea ca cel puțin unul dintre cei trei trăgători să lovească ținta”, „găsește probabilitatea ca cel puțin un autobuz din doi să ajungă la timp la stație”, „găsește probabilitatea ca cel puțin un element dintr-un dispozitiv de patru elemente să eșueze într-un an” etc.

Dacă în exemplele de mai sus vorbeam despre aplicarea formulei clasice de probabilitate, aici ajungem la algebra evenimentelor, folosim formulele de adunare și înmulțire a probabilităților (puțină teorie).

Deci, sunt considerate mai multe evenimente independente $A_1, A_2,...,A_n$, probabilitățile de apariție ale fiecăruia sunt cunoscute și egale cu $P(A_i)=p_i$ ($q_i=1-p_i$). Apoi probabilitatea ca cel puțin unul dintre evenimente să se producă ca rezultat al experimentului este calculată prin formula

$$ P=1-q_1\cdot q_2 \cdot ...\cdot q_n. \quad(1) $$

Strict vorbind, această formulă se obține și prin aplicarea tehnicii de bază "du-te la evenimentul opus". Într-adevăr, fie $A$=(Va avea loc cel puțin un eveniment de la $A_1, A_2,...,A_n$), apoi $\bar(A)$ = (Niciunul dintre evenimente nu va avea loc), ceea ce înseamnă:

$$ P(\bar(A))=P(\bar(A_1) \cdot \bar(A_2) \cdot ... \bar(A_n))=P(\bar(A_1)) \cdot P(\ bar(A_2)) \cdot ... P(\bar(A_n))=\\ =(1-P(A_1)) \cdot (1-P(A_2)) \cdot ... (1-P( A_n))=\\ =(1-p_1) \cdot (1-p_2) \cdot ... (1-p_n)=q_1\cdot q_2 \cdot ...\cdot q_n,\\ $$ formula noastră $ $ P(A)=1-P(\bar(A))=1-q_1\cdot q_2 \cdot ...\cdot q_n. $$

Exemplul 4 Ansamblul conține două părți care funcționează independent. Probabilitățile de defectare a pieselor sunt de 0,05 și, respectiv, 0,08. Găsiți probabilitatea eșecului nodului dacă este suficient pentru ca cel puțin o parte să eșueze.

Evenimentul $A$ =(Nodul eșuat) = (Cel puțin una dintre cele două părți a eșuat). Să introducem evenimente independente: $A_1$ = (Prima parte a eșuat) și $A_2$ = (A doua parte a eșuat). După condiția $p_1=P(A_1)=0,05$, $p_2=P(A_2)=0,08$, apoi $q_1=1-p_1=0,95$, $q_2=1-p_2=0, $92. Aplicam formula (1) si obtinem:

$$ P(A)=1-q_1\cdot q_2 = 1-0,95\cdot 0,92=0,126. $$

Răspuns: 0,126.

Exemplul 5 Elevul caută formula de care are nevoie în trei cărți de referință. Probabilitatea ca formula să fie conținută în primul director este 0,8, în al doilea - 0,7, în al treilea - 0,6. Găsiți probabilitatea ca formula să fie conținută în cel puțin o carte de referință.

Acționăm la fel. Luați în considerare evenimentul principal
$A$ =(Formula este conținută în cel puțin un dicționar). Să introducem evenimente independente:
$A_1$ = (Formula este în primul director),
$A_2$ = (Formula se află în al doilea director),
$A_3$ = (Formula se află în al treilea director).

După condiție $p_1=P(A_1)=0,8$, $p_2=P(A_2)=0,7$, $p_3=P(A_3)=0,6$, apoi $q_1=1-p_1=0 ,2$, $q_2 =1-p_2=0,3$, $q_3=1-p_3=0,4$. Aplicam formula (1) si obtinem:

$$ P(A)=1-q_1\cdot q_2\cdot q_3 = 1-0,2\cdot 0,3\cdot 0,4=0,976. $$

Răspuns: 0,976.

Exemplul 6 Muncitorul deservește 4 mașini care funcționează independent unul de celălalt. Probabilitatea ca în timpul schimbului prima mașină să necesite atenția unui lucrător este de 0,3, a doua - 0,6, a treia - 0,4 și a patra - 0,25. Aflați probabilitatea ca în timpul schimbului cel puțin o mașină să nu necesite atenția maistrului.

Cred că ați prins deja principiul soluției, întrebarea este doar în numărul de evenimente, dar nu afectează complexitatea soluției (spre deosebire de sarcini comune asupra adunării și înmulțirii probabilităților). Ai grijă doar, probabilitățile sunt indicate pentru „necesită atenție”, dar întrebarea sarcinii este „cel puțin o mașină NU va necesita atenție”. Trebuie să introduceți evenimente la fel ca și cele principale (în acest caz, cu NOT) pentru a putea folosi formula generala (1).

Primim:
$A$ = (În timpul schimbului, cel puțin o mașină NU va necesita atenția maistrului),
$A_i$ = ($i$-a-a mașină NU va necesita atenția maestrului), $i=1,2,3,4$,
$p_1 = 0,7$, $p_2 = 0,4$, $p_3 = 0,6$, $p_4 = 0,75$.

Probabilitate necesară:

$$ P(A)=1-q_1\cdot q_2\cdot q_3 \cdot q_4= 1-(1-0.7)\cdot (1-0.4)\cdot (1-0.6)\cdot ( 1-0.75)=0.982 . $$

Răspuns: 0,982. Aproape sigur că maestrul va odihni toată tura;)

Caz special. Retestări

Deci, avem $n$ evenimente independente (sau repetări ale unor experiențe) și probabilitățile de apariție a acestor evenimente (sau apariția unui eveniment în fiecare dintre experimente) sunt acum la felși sunt egale cu $p$. Apoi formula (1) este simplificată la forma:

$$ P=1-q_1\cdot q_2 \cdot ...\cdot q_n = 1-q^n. $$

De fapt, ne restrângem la o clasă de probleme numite „încercări independente repetate” sau „schemă Bernoulli”, când se efectuează $n$ experimente, probabilitatea ca un eveniment să se producă în fiecare dintre ele este egală cu $p$. Trebuie să găsim probabilitatea ca evenimentul să se producă cel puțin o dată din $n$ repetări:

$$ P=1-q^n. \quad(2) $$

Puteți citi mai multe despre schema Bernoulli în tutorialul online, precum și puteți vedea articole de calculator despre rezolvarea diferitelor subtipuri de probleme (despre fotografii, bilete la loterieși așa mai departe.). Mai jos vor fi analizate doar sarcinile cu „cel puțin una”.

Exemplul 7 Lăsați probabilitatea ca televizorul să nu necesite reparații perioada de garantie, este egal cu 0,9. Găsiți probabilitatea ca în perioada de garanție cel puțin unul dintre cele 3 televizoare să nu necesite reparații.

Pe scurt, nu ați văzut încă soluția.
Scriem pur și simplu din condiția: $n=3$, $p=0.9$, $q=1-p=0.1$.
Apoi probabilitatea ca în perioada de garanție a 3 televizoare cel puțin unul să nu necesite reparații, conform formulei (2):

$$ P=1-0,1^3=1-0,001=0,999 $$

Răspuns: 0,999.

Exemplul 8 Trage 5 focuri independente la o țintă. Probabilitatea de a lovi cu o lovitură este de 0,8. Găsiți probabilitatea ca să fie cel puțin o lovitură.

Din nou, începem cu formalizarea problemei, notând valorile cunoscute. $n=5$ lovituri, $p=0,8$ - probabilitatea de a lovi cu o lovitură, $q=1-p=0,2$.
Și atunci probabilitatea ca să fie cel puțin o lovitură din cinci lovituri este: $$ P=1-0,2^5=1-0,00032=0,99968 $$

Răspuns: 0,99968.

Cred că cu utilizarea formulei (2) totul este mai mult decât clar (nu uitați să citiți despre alte probleme rezolvate în cadrul schemei Bernoulli, linkurile erau mai sus). Și mai jos voi mai da puțin sarcină dificilă. Astfel de probleme sunt mai puțin frecvente, dar metoda lor de rezolvare trebuie învățată. Merge!

Exemplul 9 Există n experimente independente, în fiecare dintre ele un eveniment A apare cu o probabilitate de 0,7. Câte experimente ar trebui făcute pentru a garanta cel puțin o apariție a evenimentului A cu o probabilitate de 0,95?

Avem o schemă Bernoulli, $n$ este numărul de experimente, $p=0,7$ este probabilitatea de apariție a evenimentului A.

Atunci probabilitatea ca cel puțin un eveniment A să apară în $n$ experimente este egală cu formula (2): $$ P=1-q^n=1-(1-0,7)^n=1-0 , 3^n $$ Prin condiție, această probabilitate trebuie să fie de cel puțin 0,95, prin urmare:

$$ 1-0,3^n \ge 0,95,\\ 0,3^n \le 0,05,\\ n \ge \log_(0,3) 0,05 = 2,49. $$

Rotunjind în sus, înțelegem că trebuie să efectuați cel puțin 3 experimente.

Răspuns: Trebuie să faci cel puțin 3 experimente.

Scurtă teorie

Pentru o comparație cantitativă a evenimentelor în funcție de gradul de posibilitate a producerii lor, se introduce o măsură numerică, care se numește probabilitatea unui eveniment. Probabilitatea unui eveniment aleatoriu se numește un număr, care este o expresie a unei măsuri a posibilității obiective de apariție a unui eveniment.

Valorile care determină cât de semnificative sunt temeiurile obiective pentru a conta pe apariția unui eveniment sunt caracterizate de probabilitatea evenimentului. Trebuie subliniat că probabilitatea este o mărime obiectivă care există independent de cunoscător și este condiționată de totalitatea condițiilor care contribuie la apariția unui eveniment.

Explicațiile pe care le-am dat conceptului de probabilitate nu sunt definiție matematică, deoarece nu definesc acest concept cantitativ. Există mai multe definiții ale probabilității unui eveniment aleatoriu, care sunt utilizate pe scară largă în rezolvarea unor probleme specifice (clasice, axiomatice, statistice etc.).

Definiția clasică a probabilității unui eveniment reduce acest concept la un concept mai elementar de evenimente la fel de probabile, care nu mai este supus definirii și se presupune că este intuitiv clar. De exemplu, dacă un zar este un cub omogen, atunci căderea oricăreia dintre fețele acestui cub va fi evenimente la fel de probabile.

Să fie împărțit un anumit eveniment în cazuri la fel de probabile, a căror sumă dă evenimentul. Adică cazurile din , în care se descompune, sunt numite favorabile evenimentului, întrucât apariția unuia dintre ele asigură ofensiva.

Probabilitatea unui eveniment va fi notată cu simbolul .

Probabilitatea unui eveniment este egală cu raportul dintre numărul de cazuri favorabile acestuia, din numărul total de cazuri unice, la fel de posibile și incompatibile, la numărul, i.e.

Aceasta este definiția clasică a probabilității. Astfel, pentru a afla probabilitatea unui eveniment, este necesar, după luarea în considerare a diferitelor rezultate ale testului, să găsim o mulțime de singurele cazuri posibile, la fel de posibile și incompatibile, să calculăm numărul lor total n, numărul de cazuri m care favorizați acest eveniment și apoi efectuați calculul conform formulei de mai sus.

Probabilitatea unui eveniment egală cu raportul dintre numărul de rezultate ale experienței favorabile evenimentului și numărul total de rezultate ale experienței se numește probabilitate clasică eveniment aleatoriu.

Următoarele proprietăți ale probabilității decurg din definiție:

Proprietatea 1. Probabilitatea unui anumit eveniment este egală cu unu.

Proprietatea 2. Probabilitatea unui eveniment imposibil este zero.

Proprietatea 3. Probabilitatea unui eveniment aleatoriu este un număr pozitiv între zero și unu.

Proprietatea 4. Probabilitatea de apariție a evenimentelor care formează un grup complet este egală cu unu.

Proprietatea 5. Probabilitatea apariției evenimentului opus este definită în același mod ca și probabilitatea apariției evenimentului A.

Numărul de apariții care favorizează apariția evenimentului opus. Prin urmare, probabilitatea ca evenimentul opus să se producă este egală cu diferența dintre unitate și probabilitatea ca evenimentul A să se producă:

Un avantaj important al definiției clasice a probabilității unui eveniment este că, cu ajutorul ei, probabilitatea unui eveniment poate fi determinată fără a recurge la experiență, ci pe baza unui raționament logic.

Când sunt îndeplinite un set de condiții, un anumit eveniment se va întâmpla cu siguranță, iar imposibilul cu siguranță nu se va întâmpla. Dintre evenimentele pe care, atunci când se creează un complex de condiții, pot să apară sau nu, se poate conta cu mai multă rațiune apariția unora, pe apariția altora cu mai puțină rațiune. Dacă, de exemplu, în urnă există mai multe bile albe decât cele negre, atunci există mai multe motive pentru a spera la apariția unei bile albe când sunt scoase la întâmplare din urnă decât la apariția unei bile negre.

Exemplu de rezolvare a problemei

Exemplul 1

O cutie conține 8 bile albe, 4 negre și 7 roșii. Se extrag la întâmplare 3 bile. Aflați probabilitățile următoarelor evenimente: - se extrage cel puțin 1 bile roșie, - există cel puțin 2 bile de aceeași culoare, - există cel puțin 1 bilă roșie și 1 albă.

Dacă termenele de livrare munca de control se epuizează, apoi pentru bani pe site vă puteți finaliza testul de teoria probabilității.

Rezolvarea problemei

Numărul total de rezultate ale testului:

Găsiți probabilitatea unui eveniment– a extras cel puțin 1 bile roșie (1, 2 sau 3 bile roșii)

Probabilitate necesară:

Lasă evenimentul- sunt cel putin 2 bile de aceeasi culoare (2 sau 3 bile albe, 2 sau 3 bile negre si 2 sau 3 bile rosii)

Numărul de rezultate care favorizează evenimentul:

Probabilitate necesară:

Lasă evenimentul– există cel puțin o minge roșie și una albă

(1 roșu, 1 alb, 1 negru sau 1 roșu, 2 alb sau 2 roșii, 1 alb)

Numărul de rezultate care favorizează evenimentul:

Probabilitate necesară:

Răspuns: P(A)=0,773;P(C)=0,7688; P(D)=0,6068

Exemplul 2

Se aruncă două zaruri. Aflați probabilitatea ca suma punctelor să fie de cel puțin 5.

Soluţie

Fie evenimentul să fie suma de puncte nu mai mică de 5

Să folosim definiția clasică a probabilității:

Numărul total de rezultate posibile ale studiului

Numărul de încercări care favorizează evenimentul care ne interesează

Pe fața căzută a primului zar pot apărea un punct, două puncte... șase puncte. în mod similar, șase rezultate sunt posibile la a doua aruncare a zarului. Fiecare dintre rezultatele primului zar poate fi combinat cu fiecare dintre rezultatele celui de-al doilea. Astfel, numărul total de rezultate elementare posibile ale testului este egal cu:

Găsiți probabilitatea evenimentului opus - suma punctelor este mai mică de 5

Răspuns: p=0,8611

Poate ați ajuns pe această pagină în timp ce încercați să rezolvați o problemă dintr-un test? Dacă nu sunteți încrezător în abilitățile dumneavoastră sau aveți nevoie de o soluție de înaltă calitate, ușor de înțeles, pe site sunt disponibile lucrări ale studenților la comandă în teoria probabilității.
Pe exemplul de rezolvare a problemei, se ia în considerare formula probabilitate deplinăși formula Bayes, precum și care sunt ipotezele și probabilitățile condiționate.

Definiția geometrică a probabilității
Este prezentată definiția geometrică a probabilității și este dată soluția binecunoscutei probleme de întâlnire.

Primul nivel

Teoria probabilității. Rezolvarea problemelor (2019)

Ce este o probabilitate?

În fața acestui termen pentru prima dată, nu aș înțelege ce este. Așa că voi încerca să explic într-un mod ușor de înțeles.

Probabilitatea este șansa ca evenimentul dorit să se producă.

De exemplu, ați decis să vizitați un prieten, să vă amintiți intrarea și chiar podeaua pe care locuiește. Dar am uitat numărul și locația apartamentului. Și acum stai pe casa scării, iar în fața ta sunt ușile din care poți alege.

Care este șansa (probabilitatea) ca, dacă suni la prima sonerie, prietenul tău să ți-o deschidă? Întregul apartament și un prieten locuiește doar în spatele unuia dintre ei. Cu șanse egale, putem alege orice ușă.

Dar care este această șansă?

Uși, ușa potrivită. Probabilitatea de a ghici prin sunetul primei uși: . Adică, o dată din trei vei ghici cu siguranță.

Vrem să știm, sunând o dată, cât de des vom ghici ușa? Să ne uităm la toate opțiunile:

1. ai sunat la 1 uşă
2. ai sunat la al 2-lea uşă
3. ai sunat la al 3-lea uşă

Și acum luați în considerare toate opțiunile în care poate fi un prieten:

A. In spate 1 uşă
b. In spate al 2-lea uşă
V. In spate al 3-lea uşă

Să comparăm toate opțiunile sub forma unui tabel. O bifă indică opțiunile atunci când alegerea dvs. se potrivește cu locația unui prieten, o cruce - când nu se potrivește.

Cum vezi totul Pot fi Opțiuni locația prietenului și alegerea ta asupra ușii să sune.

A rezultate favorabile tuturor . Adică veți ghici orele de la sunând o dată la ușă, adică. .

Aceasta este probabilitatea - raportul dintre un rezultat favorabil (când alegerea dvs. a coincis cu locația unui prieten) și numărul de evenimente posibile.

Definiția este formula. Probabilitatea se notează de obicei p, deci:

Nu este foarte convenabil să scrieți o astfel de formulă, așa că să luăm pentru - numărul de rezultate favorabile și pentru - numărul total de rezultate.

Probabilitatea poate fi scrisă ca procent, pentru aceasta trebuie să înmulțiți rezultatul rezultat cu:

Probabil, cuvântul „rezultate” ți-a atras atenția. Pentru că matematicienii sună diverse activitati(avem o astfel de acțiune - este o sonerie) experimente, atunci rezultatul unor astfel de experimente se numește de obicei rezultat.

Ei bine, rezultatele sunt favorabile și nefavorabile.

Să revenim la exemplul nostru. Să presupunem că am sunat la una dintre uși, dar ne-a fost deschisă străin. Nu am ghicit. Care este probabilitatea ca, dacă sună la una dintre ușile rămase, prietenul nostru să ne deschidă?

Dacă ai crezut asta, atunci aceasta este o greșeală. Să ne dăm seama.

Mai avem două uși. Deci avem pași posibili:

1) Sunați la 1 uşă
2) Sună al 2-lea uşă

Un prieten, cu toate acestea, este cu siguranță în spatele unuia dintre ei (la urma urmei, el nu era în spatele celui pe care l-am sunat):

a) un prieten 1 uşă
b) un prieten pentru al 2-lea uşă

Să desenăm din nou tabelul:

După cum puteți vedea, există toate opțiunile, dintre care - favorabile. Adică probabilitatea este egală.

De ce nu?

Situația pe care am luat-o în considerare este exemplu de evenimente dependente. Primul eveniment este prima sonerie, al doilea eveniment este a doua sonerie.

Și se numesc dependenți pentru că afectează următoarele acțiuni. La urma urmei, dacă un prieten ar deschide ușa după primul sunet, care ar fi probabilitatea ca el să fie în spatele unuia dintre ceilalți doi? Dreapta, .

Dar dacă există evenimente dependente, atunci trebuie să existe independent? Adevărat, există.

Un exemplu de manual este aruncarea unei monede.

1. Aruncăm o monedă. Care este probabilitatea ca, de exemplu, să apară capete? Așa este - pentru că opțiunile pentru orice (fie capete sau cozi, vom neglija probabilitatea ca o monedă să stea pe margine), dar ni se potrivește doar nouă.
2. Dar cozile au căzut. Bine, hai să o facem din nou. Care este probabilitatea să apară acum? Nimic nu s-a schimbat, totul este la fel. Câte opțiuni? Două. De cât de mult suntem mulțumiți? Unu.

Și lăsați cozile să cadă de cel puțin o mie de ori la rând. Probabilitatea de a cădea capete dintr-o dată va fi aceeași. Există întotdeauna opțiuni, dar favorabile.

Distingerea evenimentelor dependente de evenimentele independente este ușoară:

1. Dacă experimentul este efectuat o dată (odată ce o monedă este aruncată, soneria sună o dată etc.), atunci evenimentele sunt întotdeauna independente.
2. Dacă experimentul este efectuat de mai multe ori (o monedă este aruncată o dată, soneria este sună de mai multe ori), atunci primul eveniment este întotdeauna independent. Și apoi, dacă numărul de rezultate favorabile sau numărul tuturor rezultatelor se schimbă, atunci evenimentele sunt dependente, iar dacă nu, sunt independente.

Să exersăm puțin pentru a determina probabilitatea.

Exemplul 1

Moneda este aruncată de două ori. Care este probabilitatea de a primi heads-up de două ori la rând?

Soluţie:

Luați în considerare totul opțiuni posibile:

1. vultur vultur
2. vultur cozi
3. cozi-vultur
4. Cozi-cozi

După cum puteți vedea, toate opțiunile. Dintre acestea, suntem mulțumiți doar. Aceasta este probabilitatea:

Dacă condiția cere pur și simplu găsirea probabilității, atunci răspunsul trebuie dat în formular fracție zecimală. Dacă s-ar indica că răspunsul trebuie dat ca procent, atunci am înmulți cu.

Răspuns:

Exemplul 2

Într-o cutie de ciocolată, toate bomboanele sunt ambalate în același ambalaj. Totuși, din dulciuri - cu nuci, coniac, cireșe, caramel și nuga.

Care este probabilitatea de a lua o bomboană și de a obține o bomboană cu nuci. Dați răspunsul dvs. în procente.

Soluţie:

Câte rezultate posibile există? .

Adică, luând o bomboană, va fi una dintre cele din cutie.

Și câte rezultate favorabile?

Pentru că cutia conține doar ciocolată cu nuci.

Răspuns:

Exemplul 3

Într-o cutie de bile. dintre care sunt albe și negre.

1. Care este probabilitatea de a extrage o minge albă?
2. Am adăugat mai multe bile negre în cutie. Care este probabilitatea de a extrage o minge albă acum?

Soluţie:

a) În cutie sunt doar bile. dintre care sunt albe.

Probabilitatea este:

b) Acum sunt bile în cutie. Și au mai rămas la fel de mulți albi.

Răspuns:

Probabilitate deplină

Probabilitatea tuturor evenimentelor posibile este ().

De exemplu, într-o cutie de bile roșii și verzi. Care este probabilitatea de a extrage o minge roșie? Minge verde? Minge rosie sau verde?

Probabilitatea de a extrage o minge roșie

Minge verde:

Minge roșie sau verde:

După cum puteți vedea, suma tuturor evenimentelor posibile este egală cu (). Înțelegerea acestui punct vă va ajuta să rezolvați multe probleme.

Exemplul 4

În cutie sunt pixuri: verde, roșu, albastru, galben, negru.

Care este probabilitatea de a trage NU un marcator roșu?

Soluţie:

Să numărăm numărul rezultate favorabile.

NU un marker roșu, adică verde, albastru, galben sau negru.

Probabilitatea tuturor evenimentelor. Iar probabilitatea unor evenimente pe care le considerăm nefavorabile (când scoatem un pix roșu) este de .

Astfel, probabilitatea de a desena NU un pix roșu este -.

Răspuns:

Probabilitatea ca un eveniment să nu se producă este minus probabilitatea ca evenimentul să se producă.

Regula pentru înmulțirea probabilităților evenimentelor independente

Știți deja ce sunt evenimentele independente.

Și dacă trebuie să găsiți probabilitatea ca două (sau mai multe) evenimente independente să aibă loc la rând?

Să presupunem că vrem să știm care este probabilitatea ca, aruncând o monedă o dată, să vedem un vultur de două ori?

Am luat în considerare deja - .

Dacă aruncăm o monedă? Care este probabilitatea de a vedea un vultur de două ori la rând?

Total opțiuni posibile:

1. Vultur-vultur-vultur
2. Cozi-cap-vultur
3. Cap-cozi-vultur
4. Cap-cozi-cozi
5. cozi-vultur-vultur
6. Cozi-capete-cozi
7. Cozi-cozi-capete
8. Cozi-cozi-cozi

Nu știu despre tine, dar am greșit această listă o dată. Wow! Și singura variantă (prima) ni se potrivește.

Pentru 5 role, puteți face singur o listă cu posibilele rezultate. Dar matematicienii nu sunt la fel de harnici ca tine.

Prin urmare, ei au observat mai întâi și apoi au demonstrat că probabilitatea unei anumite secvențe de evenimente independente scade de fiecare dată cu probabilitatea unui eveniment.

Cu alte cuvinte,

Luați în considerare exemplul aceleiași, nefericite monede.

Probabilitatea de a veni cap într-un proces? . Acum aruncăm o monedă.

Care este probabilitatea de a obține cozi la rând?

Această regulă nu funcționează numai dacă ni se cere să găsim probabilitatea ca același eveniment să se producă de mai multe ori la rând.

Dacă am vrea să găsim secvența TAILS-EAGLE-TAILS pe ​​flipuri consecutive, am face același lucru.

Probabilitatea de a obține cozi - , capete - .

Probabilitatea de a obține secvența TAILS-EAGLE-TAILS-TAILS:

Puteți verifica singur făcând un tabel.

Regula de adunare a probabilităților de evenimente incompatibile.

Așa că oprește-te! Definiție nouă.

Să ne dăm seama. Să luăm moneda noastră uzată și să o întoarcem o dată.
Opțiuni posibile:

1. Vultur-vultur-vultur
2. Cozi-cap-vultur
3. Cap-cozi-vultur
4. Cap-cozi-cozi
5. cozi-vultur-vultur
6. Cozi-capete-cozi
7. Cozi-cozi-capete
8. Cozi-cozi-cozi

Deci aici sunt evenimente incompatibile, aceasta este o anumită secvență dată de evenimente. sunt evenimente incompatibile.

Dacă vrem să stabilim care este probabilitatea a două (sau mai multe) evenimente incompatibile, atunci adăugăm probabilitățile acestor evenimente.

Trebuie să înțelegeți că pierderea unui vultur sau a cozilor este două evenimente independente.

Dacă vrem să determinăm care este probabilitatea ca o secvență) (sau oricare alta) să cadă, atunci folosim regula înmulțirii probabilităților.
Care este probabilitatea de a obține cap la prima aruncare și cozi la a doua și a treia?

Dar dacă vrem să știm care este probabilitatea de a obține una dintre mai multe secvențe, de exemplu, când capetele apar exact o dată, i.e. opțiuni și, atunci trebuie să adăugăm probabilitățile acestor secvențe.

Opțiunile totale ni se potrivesc.

Putem obține același lucru prin adunarea probabilităților de apariție a fiecărei secvențe:

Astfel, adăugăm probabilități atunci când dorim să determinăm probabilitatea unor secvențe de evenimente incompatibile.

Există o regulă grozavă care vă ajută să nu vă încurcați când să înmulțiți și când să adăugați:

Să ne întoarcem la exemplul în care am aruncat o monedă de ori și vrem să știm probabilitatea de a vedea capete o dată.
Ce se va întâmpla?

Ar trebui să scadă:
(capete ŞI cozi ŞI cozi) SAU (cozi ŞI capete ŞI cozi) SAU (cozi ŞI cozi ŞI capete).
Și așa rezultă:

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 5

În cutie sunt creioane. roșu, verde, portocaliu și galben și negru. Care este probabilitatea de a desena creioane roșii sau verzi?

Soluţie:

Ce se va întâmpla? Trebuie să scoatem (roșu SAU verde).

Acum este clar, adunăm probabilitățile acestor evenimente:

Răspuns:

Exemplul 6

Un zar este aruncat de două ori, care este probabilitatea ca un total de 8 să apară?

Soluţie.

Cum putem obține puncte?

(și) sau (și) sau (și) sau (și) sau (și).

Probabilitatea de a cădea dintr-o (orice) față este de .

Calculăm probabilitatea:

Răspuns:

Instruire.

Cred că acum v-a devenit clar când trebuie să numărați probabilitățile, când să le adăugați și când să le înmulțiți. Nu-i așa? Hai să facem niște exerciții.

Sarcini:

Să luăm un pachet de cărți în care cărțile sunt pică, inimi, 13 bâte și 13 tamburine. De la Asul fiecarui costum.

1. Care este probabilitatea de a extrage crose la rând (punem prima carte extrasă înapoi în pachet și amestecăm)?
2. Care este probabilitatea de a extrage o carte neagră (piccă sau bâte)?
3. Care este probabilitatea de a face o imagine (joc, regină, rege sau as)?
4. Care este probabilitatea de a extrage două imagini la rând (înlăturăm prima carte extrasă din pachet)?
5. Care este probabilitatea, luând două cărți, de a colecta o combinație - (Jack, Queen sau King) și As. Secvența în care vor fi extrase cărțile nu contează.

Raspunsuri:

1. Într-un pachet de cărți de fiecare valoare, înseamnă:
2. Evenimentele sunt dependente, deoarece după prima carte extrasă, numărul de cărți din pachet a scăzut (la fel și numărul de „imagini”). Total de valeți, dame, regi și ași în pachet inițial, ceea ce înseamnă probabilitatea de a extrage „imaginea” cu prima carte:

   Deoarece scoatem prima carte din pachet, înseamnă că a mai rămas deja o carte în pachet, din care sunt imagini. Probabilitatea de a desena o imagine cu a doua carte:

   Deoarece suntem interesați de situația când ajungem de pe punte: „imagine” ȘI „imagine”, atunci trebuie să înmulțim probabilitățile:

   Răspuns:

3. După ce prima carte este extrasă, numărul de cărți din pachet va scădea, astfel avem două opțiuni:
   1) Cu prima carte scoatem As, a doua - vale, dama sau rege
   2) Cu prima carte scoatem un vale, dama sau rege, a doua - un as. (as și (jack sau regina sau rege)) sau ((jack sau regina sau rege) și as). Nu uita de reducerea numărului de cărți din pachet!

Dacă ai reușit să rezolvi singur toate problemele, atunci ești un om grozav! Acum, sarcinile pe teoria probabilității în examen veți face clic ca nuci!

TEORIA PROBABILITĂȚII. NIVEL MEDIU

Luați în considerare un exemplu. Să zicem că aruncăm un zar. Ce fel de os este acesta, știi? Acesta este numele unui cub cu numere pe fețe. Câte fețe, atâtea numere: de la la câte? Inainte de.

Așa că aruncăm un zar și vrem să vină cu un sau. Și cădem.

În teoria probabilității ei spun ce s-a întâmplat eveniment favorabil(a nu se confunda cu bine).

Dacă ar cădea, evenimentul ar fi, de asemenea, de bun augur. În total, pot apărea doar două evenimente favorabile.

Câte rele? Deoarece toate evenimentele posibile, atunci cele nefavorabile dintre ele sunt evenimente (acest lucru este dacă cade sau).

Definiție:

Probabilitatea este raportul dintre numărul de evenimente favorabile și numărul tuturor evenimentelor posibile.. Adică, probabilitatea arată ce proporție dintre toate evenimentele posibile sunt favorabile.

Probabilitatea este notată printr-o literă latină (aparent, din cuvânt englezesc probabilitate – probabilitate).

Se obișnuiește să se măsoare probabilitatea ca procent (vezi subiectul). Pentru a face acest lucru, valoarea probabilității trebuie înmulțită cu. În exemplul cu zaruri, probabilitatea.

Și în procente: .

Exemple (decideți singur):

1. Care este probabilitatea ca aruncarea unei monede să cadă pe capete? Și care este probabilitatea unei cozi?
2. Care este probabilitatea ca un număr par să apară atunci când este aruncat un zar? Și cu ce - ciudat?
3. Într-un sertar de creioane simple, albastre și roșii. Desenăm la întâmplare un creion. Care este probabilitatea de a scoate unul simplu?

Solutii:

1. Câte opțiuni există? Capete și cozi - doar două. Și câte dintre ele sunt favorabile? Doar unul este un vultur. Deci probabilitatea

   La fel cu cozile: .

2. Opțiuni totale: (câte laturi are un cub, atâtea diverse opțiuni). Cele favorabile: (acestea sunt toate numere pare :).
   Probabilitate. Cu ciudat, desigur, același lucru.
3. Total: . Favorabil: . Probabilitate: .

Probabilitate deplină

Toate creioanele din sertar sunt verzi. Care este probabilitatea de a desena un creion roșu? Nu există șanse: probabilitate (la urma urmei, evenimente favorabile -).

Un astfel de eveniment se numește imposibil.

Care este probabilitatea de a desena un creion verde? Există exact la fel de multe evenimente favorabile câte evenimente totale (toate evenimentele sunt favorabile). Deci probabilitatea este sau.

Un astfel de eveniment se numește cert.

Dacă în cutie sunt creioane verzi și roșii, care este probabilitatea de a desena unul verde sau unul roșu? Încă o dată. Rețineți următorul lucru: probabilitatea de a trage verde este egală, iar roșu este .

În concluzie, aceste probabilități sunt exact egale. Acesta este, suma probabilităților tuturor evenimentelor posibile este egală cu sau.

Exemplu:

Într-o cutie de creioane, printre ele sunt albastru, roșu, verde, simplu, galben, iar restul sunt portocalii. Care este probabilitatea de a nu trage verde?

Soluţie:

Amintiți-vă că toate probabilitățile se adună. Și probabilitatea de a trage verde este egală. Aceasta înseamnă că probabilitatea de a nu trage verde este egală.

Amintiți-vă acest truc: Probabilitatea ca un eveniment să nu se producă este minus probabilitatea ca evenimentul să se producă.

Evenimente independente și regula înmulțirii

Arunci o monedă de două ori și vrei să iasă capul de ambele ori. Care este probabilitatea asta?

Să trecem prin toate opțiunile posibile și să stabilim câte sunt:

Vultur-Vultur, Cozi-Vultur, Cozi-vultur, Cozi-Cozi. Ce altceva?

Toată varianta. Dintre acestea, doar unul ni se potrivește: Vulturul-Vultur. Deci, probabilitatea este egală.

Amenda. Acum hai să aruncăm o monedă. Numără-te. S-a întâmplat? (Răspuns).

Poate ați observat că, odată cu adăugarea fiecărei aruncări următoare, probabilitatea scade cu un factor. Regula generală se numește regula înmulțirii:

Probabilitățile de evenimente independente se modifică.

Ce sunt evenimentele independente? Totul este logic: acestea sunt cele care nu depind unul de celălalt. De exemplu, când aruncăm o monedă de mai multe ori, de fiecare dată când se face o nouă aruncare, rezultatul căruia nu depinde de toate aruncările anterioare. Cu același succes, putem arunca două monede diferite în același timp.

Mai multe exemple:

1. Un zar este aruncat de două ori. Care este probabilitatea ca acesta să apară de ambele ori?
2. O monedă este aruncată de ori. Care este probabilitatea de a primi cap mai întâi și apoi cozi de două ori?
3. Jucătorul aruncă două zaruri. Care este probabilitatea ca suma numerelor de pe ele să fie egală?

Raspunsuri:

1. Evenimentele sunt independente, ceea ce înseamnă că regula înmulțirii funcționează: .
2. Probabilitatea unui vultur este egală. Probabilitatea de cozi de asemenea. Înmulțim:
3. 12 poate fi obținut numai dacă cad două -ki: .

Evenimente incompatibile și regula adunării

Evenimentele incompatibile sunt evenimente care se completează unul pe altul la probabilitate deplină. După cum sugerează și numele, acestea nu pot avea loc în același timp. De exemplu, dacă aruncăm o monedă, fie capete, fie cozi pot cădea.

Exemplu.

Într-o cutie de creioane, printre ele sunt albastru, roșu, verde, simplu, galben, iar restul sunt portocalii. Care este probabilitatea de a trage verde sau roșu?

Soluție.

Probabilitatea de a desena un creion verde este egală. Roșu - .

Evenimente de bun augur pentru toate: verde + roșu. Deci probabilitatea de a desena verde sau roșu este egală.

Aceeași probabilitate poate fi reprezentată sub următoarea formă: .

Aceasta este regula de adunare: se adună probabilitățile de evenimente incompatibile.

Sarcini mixte

Exemplu.

Moneda este aruncată de două ori. Care este probabilitatea ca rezultatul aruncărilor să fie diferit?

Soluție.

Aceasta înseamnă că, dacă capetele apar pe primul loc, cozile ar trebui să fie pe locul doi și invers. Se pare că aici există două perechi de evenimente independente, iar aceste perechi sunt incompatibile între ele. Cum să nu fii confuz cu privire la unde să înmulți și unde să adaugi.

Există o regulă simplă pentru astfel de situații. Încercați să descrie ce ar trebui să se întâmple conectând evenimentele cu sindicatele „ȘI” sau „SAU”. De exemplu, în acest caz:

Trebuie să se rostogolească (capete și cozi) sau (cozi și capete).

Acolo unde există o uniune „și”, va exista înmulțire, iar unde „sau” este adunare:

Incearca-l tu insuti:

1. Care este probabilitatea ca două aruncări de monede să apară de două ori cu aceeași față?
2. Un zar este aruncat de două ori. Care este probabilitatea ca suma să scadă puncte?

Solutii:

1. (Capul sus și capul sus) sau (cozile sus și coada sus): .
2. Care sunt optiunile? Și. Apoi:
   Rulate (și) sau (și) sau (și): .

Alt exemplu:

Aruncăm o monedă o dată. Care este probabilitatea ca capetele să apară măcar o dată?

Soluţie:

Oh, cum nu vreau să triez opțiunile... Cap-cozi-cozi, vultur-capete-cozi, ... Dar nu trebuie! Să vorbim despre probabilitatea completă. Amintit? Care este probabilitatea ca vulturul nu va scădea niciodată? Este simplu: cozile zboară tot timpul, adică.

TEORIA PROBABILITĂȚII. SCURT DESPRE PRINCIPALA

Probabilitatea este raportul dintre numărul de evenimente favorabile și numărul tuturor evenimentelor posibile.

Evenimente independente

Două evenimente sunt independente dacă apariția unuia nu modifică probabilitatea ca celălalt să se producă.

Probabilitate deplină

Probabilitatea tuturor evenimentelor posibile este ().

Probabilitatea ca un eveniment să nu se producă este minus probabilitatea ca evenimentul să se producă.

Regula pentru înmulțirea probabilităților evenimentelor independente

Probabilitatea unei anumite secvențe de evenimente independente este egală cu produsul probabilităților fiecăruia dintre evenimente.

Evenimente incompatibile

Evenimentele incompatibile sunt acele evenimente care nu pot avea loc simultan ca urmare a unui experiment. O serie de evenimente incompatibile formează un grup complet de evenimente.

Probabilitățile de evenimente incompatibile se adună.

După ce am descris ce ar trebui să se întâmple, folosind uniunile „ȘI” sau „SAU”, în loc de „ȘI” punem semnul înmulțirii, iar în loc de „SAU” - adunarea.

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, atunci ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă ai citit până la capăt, atunci ești în 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ți-ai dat seama de teoria pe această temă. Și, repet, este... pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru promovarea cu succes a examenului, pentru admiterea la institut la buget și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună, câștigă mult mai mult decât cei care nu l-au primit. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că în fața lor se deschid mult mai multe oportunități și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examen și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

UMPLȚI-VĂ MÂNA, REzolVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

La examen, nu vi se va cere teorie.

Vei avea nevoie rezolva problemele la timp.

Și, dacă nu le-ai rezolvat (MULTE!), cu siguranță vei face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu vei reuși la timp.

Este ca în sport - trebuie să repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți o colecție oriunde doriți neapărat cu soluții analiză detaliată si decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (nu este necesar) și cu siguranță le recomandăm.

Pentru a obține o mână de lucru cu ajutorul sarcinilor noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din acest articol - 299 rub.
2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole din tutorial - 999 rub.

Da, avem 99 de astfel de articole în manual și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

În al doilea caz vă vom oferi simulator „6000 de sarcini cu soluții și răspunsuri, pentru fiecare subiect, pentru toate nivelurile de complexitate”. Este cu siguranță suficient să puneți mâna pe rezolvarea problemelor pe orice subiect.

De fapt, acesta este mult mai mult decât un simplu simulator - un întreg program de antrenament. Dacă este necesar, îl puteți folosi și GRATUIT.

Accesul la toate textele și programele este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

În concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri cu teorie.

„Înțeles” și „Știu să rezolv” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați!

Inițial, fiind doar o colecție de informații și observații empirice ale jocului de zaruri, teoria probabilității a devenit o știință solidă. Fermat și Pascal au fost primii care i-au oferit un cadru matematic.

De la reflecții asupra eternului la teoria probabilității

Doi indivizi cărora teoria probabilității le datorează multe formule fundamentale, Blaise Pascal și Thomas Bayes, sunt cunoscuți ca oameni profund religioși, acesta din urmă a fost un pastor presbiterian. Aparent, dorința acestor doi oameni de știință de a dovedi eroarea opiniei despre o anume Avere, dând noroc favoriților ei, a dat impuls cercetărilor în acest domeniu. La urma urmei, de fapt, orice joc de noroc, cu victoriile și pierderile sale, este doar o simfonie a principiilor matematice.

Datorită entuziasmului Chevalier de Mere, care era în egală măsură un jucător de noroc și o persoană care nu era indiferentă față de știință, Pascal a fost nevoit să găsească o modalitate de a calcula probabilitatea. De Mere a fost interesat de această întrebare: „De câte ori trebuie să arunci două zaruri în perechi, astfel încât probabilitatea de a obține 12 puncte să depășească 50%?”. A doua întrebare care l-a interesat extrem de pe domn: „Cum să împărțim pariul între participanții la jocul neterminat?” Desigur, Pascal a răspuns cu succes la ambele întrebări ale lui de Mere, care a devenit inițiatorul involuntar al dezvoltării teoriei probabilității. Interesant este că persoana lui de Mere a rămas cunoscută în acest domeniu, și nu în literatură.

Anterior, niciun matematician nu a încercat încă să calculeze probabilitățile evenimentelor, deoarece se credea că aceasta era doar o soluție de presupuneri. Blaise Pascal a dat prima definiție a probabilității unui eveniment și a arătat că aceasta este o cifră specifică care poate fi justificată matematic. Teoria probabilității a devenit baza pentru statistici și este utilizată pe scară largă în știința modernă.

Ce este aleatorietatea

Dacă luăm în considerare un test care poate fi repetat de un număr infinit de ori, atunci putem defini un eveniment aleatoriu. Acesta este unul dintre posibilele rezultate ale experienței.

Experienta este implementarea unor actiuni specifice in conditii constante.

Pentru a putea lucra cu rezultatele experienței, evenimentele sunt de obicei notate cu literele A, B, C, D, E...

Probabilitatea unui eveniment aleatoriu

Pentru a putea trece la partea matematică a probabilității, este necesar să definiți toate componentele acesteia.

Probabilitatea unui eveniment este o măsură numerică a posibilității de apariție a unui eveniment (A sau B) ca rezultat al unei experiențe. Probabilitatea este notată cu P(A) sau P(B).

Teoria probabilității este:

• de încredere evenimentul este garantat ca rezultat al experimentului Р(Ω) = 1;
• imposibil evenimentul nu se poate întâmpla niciodată Р(Ø) = 0;
• Aleatoriu evenimentul se află între cert și imposibil, adică probabilitatea apariției lui este posibilă, dar nu este garantată (probabilitatea unui eveniment aleatoriu este întotdeauna în intervalul 0≤P(A)≤1).

Relațiile dintre evenimente

Atât unul cât și suma evenimentelor A + B sunt luate în considerare atunci când evenimentul este numărat în implementarea a cel puțin uneia dintre componente, A sau B, sau ambele - A și B.

În relație între ele, evenimentele pot fi:

• La fel de posibil.
• compatibil.
• Incompatibil.
• Opus (se exclud reciproc).
• Dependent.

Dacă două evenimente se pot întâmpla cu probabilitate egală, atunci ele la fel de posibil.

Dacă apariția evenimentului A nu anulează probabilitatea de apariție a evenimentului B, atunci aceștia compatibil.

Dacă evenimentele A și B nu au loc niciodată în același timp în același experiment, atunci ele sunt numite incompatibil. aruncatul monedei - bun exemplu: aspectul cozilor este automat neapariția capetelor.

Probabilitatea pentru suma unor astfel de evenimente incompatibile constă din suma probabilităților fiecăruia dintre evenimente:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Dacă apariția unui eveniment face imposibilă apariția altuia, atunci ele sunt numite opuse. Apoi unul dintre ei este desemnat ca A, iar celălalt - Â (a se citi „nu A”). Apariția evenimentului A înseamnă că Â nu a avut loc. Aceste două evenimente formează un grup complet cu o sumă de probabilități egală cu 1.

Evenimentele dependente au influență reciprocă, scăzând sau crescând reciproc probabilitatea.

Relațiile dintre evenimente. Exemple

Este mult mai ușor de înțeles principiile teoriei probabilităților și combinarea evenimentelor folosind exemple.

Experimentul care va fi efectuat este de a scoate bilele din cutie, iar rezultatul fiecărui experiment este un rezultat elementar.

Un eveniment este unul dintre posibilele rezultate ale unei experiențe - o minge roșie, o minge albastră, o minge cu numărul șase etc.

Testul numărul 1. Sunt 6 bile, dintre care trei sunt albastre cu numere impare, iar celelalte trei sunt roșii cu numere pare.

Testul numărul 2. Participa 6 mingi de culoare albastră cu numere de la unu la șase.

Pe baza acestui exemplu, putem numi combinații:

• Eveniment de încredere. In spaniola Nr. 2, evenimentul „obține mingea albastră” este de încredere, deoarece probabilitatea apariției sale este 1, deoarece toate bilele sunt albastre și nu poate fi ratată. În timp ce evenimentul „primiți mingea cu numărul 1” este aleatoriu.
• Eveniment imposibil. In spaniola Nr. 1 cu bile albastre și roșii, evenimentul „obține mingea violet” este imposibil, deoarece probabilitatea apariției sale este 0.
• Evenimente echivalente. In spaniola Nr. 1, evenimentele „primiți mingea cu numărul 2” și „primiți mingea cu numărul 3” sunt la fel de probabile, iar evenimentele „primiți mingea cu numărul par” și „primiți mingea cu numărul 2”. ” au probabilități diferite.
• Evenimente compatibile. Obținerea unui șase în procesul de a arunca un zar de două ori la rând sunt evenimente compatibile.
• Evenimente incompatibile.În aceeași spaniolă Evenimentele nr. 1 „primiți mingea roșie” și „primiți mingea cu un număr impar” nu pot fi combinate în aceeași experiență.
• evenimente opuse. Cel mai un prim exemplu Acesta este aruncarea de monede, atunci când tragerea capetelor este la fel cu a nu trage cozi, iar suma probabilităților lor este întotdeauna 1 (grup complet).
• Evenimente dependente. Deci, în spaniolă Nr. 1, vă puteți stabili obiectivul de a extrage o minge roșie de două ori la rând. Extragerea sau neextragerea lui prima dată afectează probabilitatea de a-l extrage a doua oară.

Se poate observa că primul eveniment afectează semnificativ probabilitatea celui de-al doilea (40% și 60%).

Formula probabilității evenimentului

Trecerea de la ghicire la date exacte are loc prin transferarea subiectului în planul matematic. Adică, judecățile despre un eveniment aleatoriu precum „probabilitate mare” sau „probabilitate minimă” pot fi traduse în date numerice specifice. Este deja permisă evaluarea, compararea și introducerea unui astfel de material în calcule mai complexe.

Din punct de vedere al calculului, definiția probabilității unui eveniment este raportul dintre numărul de rezultate pozitive elementare și numărul tuturor rezultatelor posibile ale experienței cu privire la un anumit eveniment. Probabilitatea este notată cu P (A), unde P înseamnă cuvântul „probabilitate”, care este tradus din franceză ca „probabilitate”.

Deci, formula pentru probabilitatea unui eveniment este:

Unde m este numărul de rezultate favorabile pentru evenimentul A, n este suma tuturor rezultatelor posibile pentru această experiență. Probabilitatea unui eveniment este întotdeauna între 0 și 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Calculul probabilității unui eveniment. Exemplu

Să luăm spaniola. Nr. 1 cu bile, care este descris mai devreme: 3 bile albastre cu numerele 1/3/5 și 3 bile roșii cu numerele 2/4/6.

Pe baza acestui test, pot fi luate în considerare mai multe sarcini diferite:

• A - picătură de minge roșie. Sunt 3 bile roșii și există în total 6 opțiuni cel mai simplu exemplu, în care probabilitatea unui eveniment este P(A)=3/6=0,5.
• B - eliminarea unui număr par. Există 3 (2,4,6) numere pare în total, iar numărul total de opțiuni numerice posibile este 6. Probabilitatea acestui eveniment este P(B)=3/6=0,5.
• C - pierderea unui număr mai mare de 2. Există 4 astfel de opțiuni (3,4,5,6) din numărul total de rezultate posibile 6. Probabilitatea evenimentului C este P(C)=4/6= 0,67.

După cum se poate observa din calcule, evenimentul C are o probabilitate mai mare, deoarece numărul de rezultate pozitive posibile este mai mare decât în ​​A și B.

Evenimente incompatibile

Astfel de evenimente nu pot apărea simultan în aceeași experiență. Ca în spaniolă Nr. 1, este imposibil să obții o minge albastră și una roșie în același timp. Adică puteți obține fie o minge albastră, fie o minge roșie. În același mod, un număr par și un număr impar nu pot apărea într-un zar în același timp.

Probabilitatea a două evenimente este considerată probabilitatea sumei sau produsului lor. Suma unor astfel de evenimente A + B este considerată a fi un eveniment care constă în apariția unui eveniment A sau B, iar produsul AB lor - în apariția ambelor. De exemplu, apariția a două șase deodată pe fețele a două zaruri dintr-o aruncare.

Suma mai multor evenimente este un eveniment care presupune apariția a cel puțin unuia dintre ele. Produsul mai multor evenimente este apariția în comun a tuturor.

În teoria probabilității, de regulă, utilizarea uniunii „și” denotă suma, uniunea „sau” - înmulțire. Formulele cu exemple vă vor ajuta să înțelegeți logica adunării și înmulțirii în teoria probabilităților.

Probabilitatea sumei evenimentelor incompatibile

Dacă se consideră probabilitatea evenimentelor incompatibile, atunci probabilitatea sumei evenimentelor este egală cu suma probabilităților acestora:

P(A+B)=P(A)+P(B)

De exemplu: calculăm probabilitatea ca în spaniolă. Nr.1 cu bile albastre și roșii va scădea un număr între 1 și 4. Vom calcula nu într-o singură acțiune, ci prin suma probabilităților componentelor elementare. Deci, într-un astfel de experiment există doar 6 bile sau 6 dintre toate rezultatele posibile. Numerele care îndeplinesc condiția sunt 2 și 3. Probabilitatea de a obține numărul 2 este 1/6, probabilitatea numărului 3 este de asemenea 1/6. Probabilitatea de a obține un număr între 1 și 4 este:

Probabilitatea sumei evenimentelor incompatibile ale unui grup complet este 1.

Deci, dacă în experimentul cu un cub adunăm probabilitățile de a obține toate numerele, atunci ca rezultat obținem unul.

Acest lucru este valabil și pentru evenimente opuse, de exemplu, în experimentul cu o monedă, unde una dintre fețele sale este evenimentul A, iar cealaltă este evenimentul opus Ā, după cum este cunoscut,

Р(А) + Р(Ā) = 1

Probabilitatea producerii unor evenimente incompatibile

Înmulțirea probabilităților este utilizată atunci când se ia în considerare apariția a două sau mai multe evenimente incompatibile într-o observație. Probabilitatea ca evenimentele A și B să apară în el în același timp este egală cu produsul probabilităților lor sau:

P(A*B)=P(A)*P(B)

De exemplu, probabilitatea ca în Nr. 1 în urma a două încercări, o minge albastră va apărea de două ori, egală cu

Adică probabilitatea ca un eveniment să se producă atunci când, în urma a două încercări cu extragerea de bile, vor fi extrase doar bile albastre, este de 25%. Este foarte ușor să faci experimente practice pe această problemă și să vezi dacă acesta este de fapt cazul.

Evenimente comune

Evenimentele sunt considerate comune atunci când apariția unuia dintre ele poate coincide cu apariția celuilalt. În ciuda faptului că sunt comune, se ia în considerare probabilitatea unor evenimente independente. De exemplu, aruncarea a două zaruri poate da un rezultat când pe ambele cade numărul 6. Deși evenimentele au coincis și au apărut în același timp, ele sunt independente unul de celălalt - doar unul șase ar putea cădea, al doilea zar nu are. influență asupra acesteia.

Probabilitatea evenimentelor comune este considerată probabilitatea sumei lor.

Probabilitatea sumei evenimentelor comune. Exemplu

Probabilitatea sumei evenimentelor A și B, care sunt comune unul în raport cu celălalt, este egală cu suma probabilităților evenimentului minus probabilitatea produsului lor (adică implementarea lor comună):

Articulația R. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Să presupunem că probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură este de 0,4. Apoi evenimentul A - lovirea țintei în prima încercare, B - în a doua. Aceste evenimente sunt comune, deoarece este posibil ca ținta să fie lovită atât din prima cât și din a doua lovitură. Dar evenimentele nu sunt dependente. Care este probabilitatea ca evenimentul să lovească ținta cu două lovituri (cel puțin una)? Conform formulei:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Răspunsul la întrebare este: „Probabilitatea de a lovi ținta cu două lovituri este de 64%.

Această formulă pentru probabilitatea unui eveniment poate fi aplicată și evenimentelor incompatibile, unde probabilitatea producerii comune a unui eveniment P(AB) = 0. Aceasta înseamnă că probabilitatea sumei evenimentelor incompatibile poate fi considerată un caz special. a formulei propuse.

Geometria probabilității pentru claritate

Interesant este că probabilitatea sumei evenimentelor comune poate fi reprezentată ca două zone A și B care se intersectează una cu cealaltă. După cum puteți vedea din imagine, aria unirii lor este egală cu aria totală minus aria intersecției lor. Această explicație geometrică face formula aparent ilogică mai ușor de înțeles. Rețineți că soluțiile geometrice nu sunt neobișnuite în teoria probabilității.

Definiția probabilității sumei unui set (mai mult de două) de evenimente comune este destul de greoaie. Pentru a-l calcula, trebuie să utilizați formulele furnizate pentru aceste cazuri.

Evenimente dependente

Evenimentele dependente sunt numite dacă apariția unuia (A) dintre ele afectează probabilitatea apariției celuilalt (B). Mai mult, se ia în considerare atât influența apariției evenimentului A, cât și a neapariției acestuia. Deși evenimentele sunt numite dependente prin definiție, doar unul dintre ele este dependent (B). Probabilitatea obișnuită a fost notată ca P(B) sau probabilitatea unor evenimente independente. În cazul dependenților se introduce un nou concept - probabilitatea condiționată P A (B), care este probabilitatea evenimentului dependent B cu condiția ca evenimentul A (ipoteza) să fi avut loc, de care depinde.

Dar evenimentul A este, de asemenea, aleatoriu, deci are și o probabilitate care trebuie și poate fi luată în considerare în calcule. Următorul exemplu va arăta cum să lucrați cu evenimente dependente și o ipoteză.

Exemplu de calcul al probabilității evenimentelor dependente

Un bun exemplu pentru calcularea evenimentelor dependente este un pachet standard de cărți.

Pe exemplul unui pachet de 36 de cărți, luați în considerare evenimentele dependente. Este necesar să se determine probabilitatea ca a doua carte extrasă din pachet să fie un costum de diamant, dacă prima carte extrasă este:

1. Tamburină.
2. Un alt costum.

Evident, probabilitatea celui de-al doilea eveniment B depinde de primul A. Deci, dacă prima opțiune este adevărată, adică cu 1 carte (35) și 1 diamant (8) mai puțin în pachet, probabilitatea evenimentului B:

PA (B) \u003d 8 / 35 \u003d 0,23

Dacă a doua opțiune este adevărată, atunci există 35 de cărți în pachet și numărul total de tamburine (9) este încă păstrat, atunci probabilitatea următorului eveniment este B:

PA (B) \u003d 9/35 \u003d 0,26.

Se poate observa că dacă evenimentul A este condiționat de faptul că prima carte este un diamant, atunci probabilitatea evenimentului B scade și invers.

Înmulțirea evenimentelor dependente

Pe baza capitolului anterior, acceptăm primul eveniment (A) ca fapt, dar, în esență, are un caracter aleatoriu. Probabilitatea acestui eveniment, și anume extragerea unei tamburine dintr-un pachet de cărți, este egală cu:

P(A) = 9/36=1/4

Deoarece teoria nu există de la sine, ci este chemată să servească scopuri practice, este corect să remarcăm că cel mai adesea este nevoie de probabilitatea de a produce evenimente dependente.

Conform teoremei produsului probabilităților evenimentelor dependente, probabilitatea de apariție a evenimentelor dependente în comun A și B este egală cu probabilitatea unui eveniment A, înmulțită cu probabilitatea condiționată a evenimentului B (în funcție de A):

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

Apoi, în exemplul cu un pachet, probabilitatea de a extrage două cărți cu o suită de diamante este:

9/36*8/35=0,0571 sau 5,7%

Și probabilitatea de a nu extrage mai întâi diamante și apoi diamante este egală cu:

27/36*9/35=0,19 sau 19%

Se poate observa că probabilitatea de apariție a evenimentului B este mai mare, cu condiția ca mai întâi să fie extrasă o carte de culoare diferită de un diamant. Acest rezultat este destul de logic și de înțeles.

Probabilitatea totală a unui eveniment

Când o problemă cu probabilități condiționate devine multifațetă, nu poate fi calculată prin metode convenționale. Când există mai mult de două ipoteze, și anume A1, A2, ..., A n , .. formează un grup complet de evenimente cu condiția:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Deci, formula pentru probabilitatea totală pentru evenimentul B cu un grup complet de evenimente aleatoare A1, A2, ..., A n este:

O privire în viitor

Probabilitatea unui eveniment aleatoriu este esențială în multe domenii ale științei: econometrie, statistică, fizică etc. Deoarece unele procese nu pot fi descrise în mod determinist, deoarece ele însele sunt probabiliste, sunt necesare metode speciale de lucru. Teoria probabilității unui eveniment poate fi utilizată în orice domeniu tehnologic ca o modalitate de a determina posibilitatea unei erori sau defecțiuni.

Se poate spune că, recunoscând probabilitatea, facem cumva un pas teoretic în viitor, privindu-l prin prisma formulelor.

Probabilitate evenimentul este raportul dintre numărul de rezultate elementare care favorizează un anumit eveniment și numărul tuturor rezultatelor la fel de posibile ale experienței în care poate apărea acest eveniment. Probabilitatea unui eveniment A se notează cu P(A) (aici P este prima literă cuvânt francez probabilitate – probabilitate). Conform definiţiei
(1.2.1)
unde este numărul de rezultate elementare care favorizează evenimentul A; - numărul tuturor rezultatelor elementare la fel de posibile ale experienței, formând un grup complet de evenimente.
Această definiție a probabilității se numește clasică. A apărut pe stadiul inițial dezvoltarea teoriei probabilității.

Probabilitatea unui eveniment are următoarele proprietăți:
1. Probabilitatea unui anumit eveniment este egală cu unu. Să desemnăm un anumit eveniment prin litera . Pentru un anumit eveniment, deci
(1.2.2)
2. Probabilitatea unui eveniment imposibil este zero. Notăm evenimentul imposibil prin litera . Pentru un eveniment imposibil, deci
(1.2.3)
3. Probabilitatea unui eveniment aleatoriu este exprimată ca un număr pozitiv mai mic decât unu. Deoarece inegalitățile , sau sunt satisfăcute pentru un eveniment aleatoriu, atunci
(1.2.4)
4. Probabilitatea oricărui eveniment satisface inegalitățile
(1.2.5)
Aceasta rezultă din relațiile (1.2.2) -(1.2.4).

Exemplul 1 O urnă conține 10 bile de aceeași dimensiune și greutate, dintre care 4 roșii și 6 albastre. Din urnă se extrage o minge. Care este probabilitatea ca mingea extrasă să fie albastră?

Soluţie. Evenimentul „bila extrasă s-a dovedit a fi albastră” va fi notat cu litera A. Această încercare are 10 rezultate elementare la fel de posibile, dintre care 6 favorizează evenimentul A. În conformitate cu formula (1.2.1), obținem

Exemplul 2 Toate numerele naturale de la 1 la 30 sunt scrise pe carduri identice și plasate într-o urnă. După amestecarea temeinică a cărților, o carte este scoasă din urnă. Care este probabilitatea ca numărul de pe cardul extras să fie multiplu de 5?

Soluţie. Notați cu A evenimentul „numărul de pe cardul luat este un multiplu de 5”. În acest test, există 30 de rezultate elementare la fel de posibile, dintre care 6 rezultate favorizează evenimentul A (numerele 5, 10, 15, 20, 25, 30). Prin urmare,

Exemplul 3 Se aruncă două zaruri, se calculează suma punctelor de pe fețele superioare. Aflați probabilitatea evenimentului B, constând în faptul că fețele superioare ale cuburilor vor avea în total 9 puncte.

Soluţie. Există 6 2 = 36 de rezultate elementare la fel de posibile în acest studiu. Evenimentul B este favorizat de 4 rezultate: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), deci

Exemplul 4. Alese aleatoriu numar natural, care nu depășește 10. Care este probabilitatea ca acest număr să fie prim?

Soluţie. Notați cu litera C evenimentul „numărul ales este prim”. În acest caz, n = 10, m = 4 ( numere prime 2, 3, 5, 7). Prin urmare, probabilitatea dorită

Exemplul 5 Sunt aruncate două monede simetrice. Care este probabilitatea ca ambele monede să aibă cifre pe fețele de sus?

Soluţie. Să notăm cu litera D evenimentul „a fost un număr pe partea de sus a fiecărei monede”. Există 4 rezultate elementare la fel de posibile în acest test: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Notația (G, C) înseamnă că pe prima monedă există o stemă, pe a doua - un număr). Evenimentul D este favorizat de un rezultat elementar (C, C). Deoarece m = 1, n = 4, atunci

Exemplul 6 Care este probabilitatea ca cifrele dintr-un număr de două cifre alese aleatoriu să fie aceleași?

Soluţie. Numerele din două cifre sunt numere de la 10 la 99; Sunt 90 de astfel de numere în total. Aceleași cifre au 9 numere (acestea sunt numerele 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Deoarece în acest caz m = 9, n = 90, atunci
,
unde A este evenimentul „număr cu aceleași cifre”.

Exemplul 7 Din literele cuvântului diferenţial o literă este aleasă la întâmplare. Care este probabilitatea ca această literă să fie: a) o vocală b) o consoană c) o literă h?

Soluţie. Există 12 litere în cuvântul diferențial, dintre care 5 sunt vocale și 7 sunt consoane. Scrisori h acest cuvânt nu. Să notăm evenimentele: A - „vocală”, B - „consoană”, C - „litera h„. Numărul de rezultate elementare favorabile: - pentru evenimentul A, - pentru evenimentul B, - pentru evenimentul C. Deoarece n \u003d 12, atunci
, Și .

Exemplul 8 Se aruncă două zaruri, se notează numărul de puncte de pe fața de sus a fiecărui zar. Găsiți probabilitatea ca ambele zaruri să fie aruncate acelasi numar puncte.

Soluţie. Să notăm acest eveniment cu litera A. Evenimentul A este favorizat de 6 rezultate elementare: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6). În total, există rezultate elementare la fel de posibile care formează un grup complet de evenimente, în acest caz n=6 2 =36. Deci probabilitatea dorită

Exemplul 9 Cartea are 300 de pagini. Care este probabilitatea ca o pagină deschisă aleatoriu să aibă număr de serie, multiplu de 5?

Soluţie. Din condițiile problemei rezultă că vor exista n = 300 dintre toate rezultatele elementare la fel de posibile care formează un grup complet de evenimente, dintre care m = 60 favorizează apariția evenimentului specificat. Într-adevăr, un număr care este un multiplu al lui 5 are forma 5k, unde k este un număr natural și , de unde . Prin urmare,
, unde A - evenimentul „pagină” are un număr de secvență care este multiplu de 5”.

Exemplul 10. Se aruncă două zaruri, se calculează suma punctelor de pe fețele superioare. Ce este mai probabil să obțină un total de 7 sau 8?

Soluţie. Să desemnăm evenimentele: A – „7 puncte au căzut”, B – „8 puncte au căzut”. Evenimentul A este favorizat de 6 rezultate elementare: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) și evenimentul B - de 5 rezultate: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Există n = 6 2 = 36 dintre toate rezultatele elementare la fel de posibile. Prin urmare, Și .

Deci, P(A)>P(B), adică obținerea unui total de 7 puncte este un eveniment mai probabil decât obținerea unui total de 8 puncte.

Sarcini

1. Se alege la întâmplare un număr natural care nu depășește 30. Care este probabilitatea ca acest număr să fie multiplu de 3?
2. În urnă A roşu şi b bile albastre de aceeași dimensiune și greutate. Care este probabilitatea ca o minge extrasă aleatoriu din această urnă să fie albastră?
3. Se alege la întâmplare un număr care nu depășește 30. Care este probabilitatea ca acest număr să fie divizor al lui zo?
4. În urnă A albastru și b bile roșii de aceeași dimensiune și greutate. Din această urnă se extrage o minge și se pune deoparte. Această minge este roșie. Apoi se extrage o altă minge din urnă. Găsiți probabilitatea ca a doua bilă să fie și roșie.
5. Se alege la întâmplare un număr natural care nu depășește 50. Care este probabilitatea ca acest număr să fie prim?
6. Se aruncă trei zaruri, se calculează suma punctelor de pe fețele superioare. Ce este mai probabil să obțineți un total de 9 sau 10 puncte?
7. Se aruncă trei zaruri, se calculează suma punctelor aruncate. Ce este mai probabil să obțină un total de 11 (evenimentul A) sau 12 puncte (evenimentul B)?

Răspunsuri

1. 1/3. 2 . b/(A+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(A+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - probabilitatea de a obține 9 puncte în total; p 2 \u003d 27/216 - probabilitatea de a obține 10 puncte în total; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Întrebări

1. Ce se numește probabilitatea unui eveniment?
2. Care este probabilitatea unui anumit eveniment?
3. Care este probabilitatea unui eveniment imposibil?
4. Care sunt limitele probabilității unui eveniment aleatoriu?
5. Care sunt limitele probabilității oricărui eveniment?
6. Ce definiție a probabilității se numește clasică?