Formularul evenimentelor grup complet, dacă cel puțin unul dintre ele va apărea cu siguranță ca urmare a experimentului și este incompatibil în perechi.

Să presupunem că evenimentul A poate apărea numai împreună cu unul dintre mai multe evenimente incompatibile perechi care formează un grup complet. Vom chema evenimente ( i= 1, 2,…, n) ipoteze experiență suplimentară (a priori). Probabilitatea de apariție a evenimentului A este determinată de formula probabilitate deplină :

Exemplul 16. Sunt trei urne. Prima urnă conține 5 bile albe și 3 negre, a doua conține 4 bile albe și 4 negre, iar a treia conține 8 bile albe. Una dintre urne este selectată la întâmplare (aceasta ar putea însemna, de exemplu, că alegerea se face dintr-o urna auxiliară care conține trei bile numerotate 1, 2 și 3). Din această urnă se extrage la întâmplare o minge. Care este probabilitatea ca acesta să fie negru?

Soluţie. Eveniment A– bila neagră este îndepărtată. Dacă s-ar ști din ce urnă a fost extrasă mingea, atunci probabilitatea dorită ar putea fi calculată folosind definiția clasică a probabilității. Să introducem ipoteze (ipoteze) cu privire la ce urnă este aleasă pentru a recupera mingea.

Bila poate fi extrasa fie din prima urna (conjectura), fie din a doua (conjectura), fie din a treia (conjectura). Întrucât există șanse egale de a alege oricare dintre urne, atunci .

Rezultă că

Exemplul 17. Lămpile electrice sunt fabricate în trei fabrici. Prima fabrică produce 30% din numărul total de lămpi electrice, a doua - 25%,
iar al treilea - restul. Produsele primei fabrici conțin 1% lămpi electrice defecte, a doua - 1,5%, a treia - 2%. Magazinul primește produse de la toate cele trei fabrici. Care este probabilitatea ca o lampă cumpărată dintr-un magazin să se dovedească a fi defectă?

Soluţie. Trebuie făcute ipoteze cu privire la instalația în care a fost fabricat becul. Știind acest lucru, putem găsi probabilitatea ca acesta să fie defect. Să introducem notația pentru evenimente: A– lampa electrică achiziționată s-a dovedit a fi defectă, – lampa a fost fabricată de prima fabrică, – lampa a fost fabricată de a doua fabrică,
– lampa a fost fabricată de a treia fabrică.

Găsim probabilitatea dorită folosind formula probabilității totale:

Formula lui Bayes. Fie un grup complet de evenimente incompatibile în perechi (ipoteze). A– un eveniment aleatoriu. Apoi,

Ultima formulă care permite reestimarea probabilităților ipotezelor după ce se cunoaște rezultatul testului care a rezultat în evenimentul A se numește Formula Bayes .

Exemplul 18.În medie, 50% dintre pacienții cu boală sunt internați într-un spital de specialitate LA, 30% – cu boală L, 20 % –
cu boala M. Probabilitatea de vindecare completă a bolii K egal cu 0,7 pentru boli LȘi M aceste probabilități sunt 0,8 și, respectiv, 0,9. Pacientul internat la spital a fost externat sănătos. Găsiți probabilitatea ca acest pacient să fi suferit de boală K.

Soluţie. Să introducem ipotezele: – pacientul suferea de o boală LA L, – pacientul suferea de o boală M.

Apoi, conform condițiilor problemei, avem . Să introducem un eveniment A– pacientul internat în spital a fost externat sănătos. După condiție

Folosind formula probabilității totale obținem:

Conform formulei lui Bayes.

Exemplul 19. Să fie cinci bile în urnă și toate presupunerile despre numărul de bile albe sunt la fel de posibile. O minge este luată la întâmplare din urnă și se dovedește a fi albă. Ce presupunere despre compoziția inițială a urnei este cea mai probabilă?

Soluţie. Să fie ipoteza că în urnă sunt bile albe , adică se pot face șase ipoteze. Apoi, conform condițiilor problemei, avem .

Să introducem un eveniment A– o minge albă luată la întâmplare. Să calculăm. Deoarece , atunci conform formulei lui Bayes avem:

Astfel, cea mai probabilă ipoteză este pentru că .

Exemplul 20. Două dintre cele trei elemente care funcționează independent ale dispozitivului de calcul au eșuat. Găsiți probabilitatea ca primul și al doilea element să eșueze dacă probabilitățile de eșec ale primului, al doilea și respectiv al treilea element sunt 0,2; 0,4 și 0,3.

Soluţie. Să notăm prin A eveniment – ​​două elemente au eșuat. Se pot formula urmatoarele ipoteze:

– primul și al doilea element au eșuat, dar al treilea element este operațional. Deoarece elementele funcționează independent, se aplică teorema înmulțirii:

Formula probabilității totale. Formule Bayes. Exemple de rezolvare a problemelor

După cum se știe, probabilitatea evenimentului A numiți raportul dintre numărul m de rezultate ale testelor favorabile apariției evenimentului A și numărul total n al tuturor rezultatelor incompatibile la fel de posibile: P(A)=m/n.

In afara de asta, probabilitatea condiționată a evenimentului A (probabilitatea evenimentului A, cu condiția ca evenimentul B să fi avut loc) este numărul P B (A) = P (AB) / P (B), unde A și B sunt doi evenimente aleatorii acelasi test.

Deoarece evenimentele pot fi reprezentate ca o sumă și un produs, atunci există reguli de adunare a probabilităților evenimente și, în consecință, reguli de multiplicare a probabilității . Acum să dăm conceptul de probabilitate totală.

Să presupunem că evenimentul A poate apărea numai împreună cu unul dintre evenimentele incompatibile pe perechi H1, H2, H3, ..., Hn, numite ipoteze. Atunci următoarele sunt adevărate formula probabilității totale :

Р(А) = Р(Н1)*Р Н1 (А)+ Р(Н2)*Р Н2 (А)+…+ Р(Нn)*Р Нn (А) = ∑Р(Н i) *R N i(A),

acestea. probabilitatea evenimentului A este egală cu suma produselor probabilităților condiționate ale acestui eveniment pentru fiecare dintre ipoteze și probabilitatea ipotezelor în sine.

Dacă evenimentul A s-a produs deja, atunci probabilitățile ipotezelor (probabilități a priori) pot fi supraestimate (probabilități posterioare) prin Formule Bayes :

Exemple de rezolvare a problemelor pe tema „Formula probabilității totale. formule Bayes"

Problema 1 .

Ansamblul primește piese de la trei mașini. Se știe că prima mașină dă 3% din defecte, a doua - 2% și a treia - 4%. Găsiți probabilitatea ca o piesă defectă să intre în ansamblu dacă sosesc 100 de piese de la prima mașină, 200 de la a doua și 250 de piese de la a treia.

Soluţie.

• evenimentul A = (o piesă defectă intră în ansamblu);
• ipoteza H1 = (această parte este de la prima mașină), P(H1) = 100/(100+200+250) =100/550=2/11;
• ipoteza H2 = (această parte este de la a doua mașină), P(H2) = 200/(100+200+250) = 200/550=4/11;
• ipoteza H3 = (această parte este de la a treia mașină), P(H3) = 250/(100+200+250) = 250/550=5/11.

2. Probabilitățile condiționate ca piesa să fie defectă sunt P H1 (A) = 3% = 0,03, P H2 (A) = 2% = 0,02, P H3 (A) = 4% = 0,04.

3. Folosind formula probabilității totale, găsim
P(A)= P(H1)*P H1 (A)+ P(H2)*P H2 (A)+P(H3)*P H3 (A) = 0,03*2/11 + 0,02* 4/11 + 0,04*5/11 = 34/1100 ≈ 0,03

Problema 2 .

Sunt două urne identice. Prima conține 2 bile negre și 3 albe, a doua - 2 bile negre și 1 albă. Mai întâi, o urna este selectată aleatoriu, apoi o bilă este extrasă din ea la întâmplare. Care este probabilitatea ca bila albă să fie selectată?

Soluţie. 1. Luați în considerare următoarele evenimente și ipoteze:

• A = (dintr-o urna arbitrara se extrage o bila alba);
• H1 = (bila aparține primei urne), P(H1) = 1/2 = 0,5;
• H2 = (bila aparține celei de-a doua urne), P(H2) = 1/2 = 0,5;

2. Probabilitatea condiționată ca bila albă să aparțină primei urne R H1 (A) = 3/(2+3) = 3/5 și probabilitatea condiționată ca bila albă să aparțină celei de-a doua urne R H2 (A) = 1/(2+1)=1/3;

3. Folosind formula probabilității totale, obținem P(A) = P(H1)*P H1 (A)+P(H2)*P H2 (A) = 0,5*3/5 + 0,5*1/3 = 3 /10 + 1/6 = 7/15 ≈ 0,47

Problema 3 .

Turnarea în semifabricate provine din două ateliere de achiziții: din primul atelier - 70%, din al doilea atelier - 30%. Turnarea din primul atelier are 10% defecte, turnarea din al doilea - 20% defecte. Blankul luat la întâmplare s-a dovedit a fi fără defect. Care este probabilitatea producerii acestuia de către primul atelier?

Soluţie. 1. Luați în considerare următoarele evenimente și ipoteze:

• eveniment A = (blank fără defect);
• ipoteza H1 = (blankul a fost fabricat de primul atelier), P(H1) = 70% = 0,7;
• ipoteza H2 = (blankul a fost fabricat de al doilea atelier), P(H2) = 30% = 0,3.

2. Deoarece turnarea primului atelier are 10% defecte, atunci 90% din semifabricatele produse de primul atelier nu au defecte, i.e. RH1 (A) = 0,9.
Turnarea celui de-al doilea atelier are 20% defecte, apoi 80% din semifabricatele produse de al doilea atelier nu au defecte, i.e. RH2(A) = 0,8.

3. Folosind formula lui Bayes găsim R A (H1)

0,7*0,9/(0,7*0,9+0,3*0,8)= 0,63/0,87≈0,724.

În practică, este adesea necesar să se determine probabilitatea ca un eveniment de interes să se producă cu unul dintre evenimente care formează un grup complet. Următoarea teoremă, o consecință a teoremelor de adunare și înmulțire a probabilității, conduce la derivarea unei formule importante pentru calcularea probabilității unor astfel de evenimente. Această formulă se numește formula probabilității totale.

Lăsa H 1 , H 2 , … , H n este nperechi incompatibil evenimente care formează un grup complet:

1) toate evenimentele sunt incompatibile perechi: Bună ∩ Hj= ; i, j= 1,2, … , n; ij;

2) unirea lor formează spațiul rezultatelor elementare W:

Astfel de evenimente sunt uneori numite ipoteze. Lasă evenimentul să se întâmple A, care poate avea loc numai dacă are loc unul dintre evenimente H eu ( i = 1, 2, … , n). Atunci teorema este adevărată.

Dovada. Într-adevăr, prin condiție evenimentul A poate apărea dacă are loc unul dintre evenimentele incompatibile H 1 , H 2 … H n, adică producerea unui eveniment Aînseamnă producerea unuia dintre evenimente H 1 ∙ A, H 2 ∙ A, … , H n∙ A. Ultimele evenimente sunt și ele incompatibile, deoarece... din H eu∙ H j = ( eu j) rezultă că ( A ∙ H i) ∙ ( A ∙ H j) = ( eu j). Acum notăm că Această egalitate este bine ilustrată în fig. 1.19. Din teorema adunării rezultă . Dar conform teoremei înmulțirii, egalitatea este adevărată pentru orice eu, 1 ≤ i ≤ n. Prin urmare, formula probabilității totale (1.14) este valabilă. Teorema a fost demonstrată. Cometariu. Probabilități de evenimente (ipoteze) H 1 , H 2 , … , H n , care sunt incluse în formula (1.14) la rezolvarea unor probleme specifice, fie sunt specificate, fie trebuie calculate în timpul procesului de rezolvare. În acest din urmă caz, corectitudinea calculului R(H i) ( i = 1, 2, … , n) se verifică prin relația = 1 și prin calcul R(H i) se realizează la prima etapă de rezolvare a problemei. În a doua etapă se calculează R(A). Când rezolvați probleme folosind formula probabilității totale, este convenabil să respectați următoarea tehnică. Metodologia de aplicare a formulei probabilității totale A). Introduceți un eveniment în considerare (notăm A), a cărui probabilitate trebuie determinată pe baza condițiilor problemei. b). Introduceți evenimente (ipoteze) în considerare H 1 , H 2 , … , H n , care formează un grup complet. V). Notați sau calculați probabilitățile ipotezelor R(H 1), R(H 2), … , R(H n). Verificarea corectitudinii calculului R(H i) verificat de stare În mai multe probleme de probabilitate R(H i) sunt specificate direct în enunţul problemei. Uneori, aceste probabilități, precum și probabilități p(A/H 1), p(A/H 2), …, p(A/H n) înmulțit cu 100 (numerele sunt date sub formă de procente). În acest caz, numerele date trebuie împărțite la 100. G). Calculați probabilitatea necesară R(A) conform formulei (1.14). Exemplu. Economistul a calculat că probabilitatea unei creșteri a prețului acțiunilor companiei sale în anul urmator va fi 0,75 dacă economia țării este în creștere și 0,30 dacă există o criză financiară. Potrivit experților, probabilitatea redresării economice este de 0,6. Estimați probabilitatea ca acțiunile companiei să crească în preț în anul următor. Soluţie. La început, condiția problemei este formalizată în termeni de probabilitate. Lăsa A– evenimentul „acțiunile vor crește în preț” (relativ la problemă). În funcție de condițiile problemei, se disting ipotezele: H 1 – „economia va fi în creștere”, H 2 – „economia va intra într-o perioadă de criză”. H 1 , H 2 – formați un grup complet, i.e. H 1 ∙ H 2 = , H 1 + H 2 = . Probabilitate p(H 1) = 0,6, prin urmare, p(H 2) = 1 – 0,6 = 0,4. Probabilități condiționate p(A/H 1) = 0,75, p(A/H 2) = 0,3. Folosind formula (1.14), obținem: p(A) = p(H 1) ∙ p(A/H 1) + p(H 2) ∙ p(A/H 2) = 0,75 ∙ 0,6 + 0,3 ∙ 0,4 = 0,57.

Formula probabilității totale.

O consecință a ambelor principale teoreme - teoreme adunarea probabilităților și teorema înmulțirii probabilităților este așa-numita formulă a probabilității totale.

Să fie necesar să se determine probabilitatea unui eveniment A care poate apărea cu unul dintre evenimente
, formând un grup complet de evenimente incompatibile.Vom numi aceste evenimente ipoteze.

Să demonstrăm că în acest caz

Probabilitatea evenimentului A se calculează ca suma produselor dintre probabilitatea fiecărei ipoteze și probabilitatea condiționată a evenimentului atunci când această ipoteză este realizată.

Această formulă se numește formula probabilității totale.

Dovada

Deoarece ipotezele H1, H2..., Hn formează un grup complet, evenimentul A poate apărea în combinație cu oricare dintre aceste ipoteze.

A=AH1+AH2+…+Ahn.

Deoarece ipotezele H1, H2,…,Hn sunt incompatibile, atunci combinațiile H1A, H2A,…,HnA sunt și ele incompatibile; Aplicând teorema de adunare, obținem:

Aplicând teorema înmulțirii evenimentului HiA, obținem

Q.E.D.

Există trei urne cu aspect identic: prima urnă conține două bile albe și una neagră; în al doilea sunt trei bile albe și una neagră; în al treilea sunt două bile albe și două negre.

Cineva alege una dintre urne la întâmplare și ia o minge din ea.Aflați probabilitatea ca această minge să fie albă.

Să luăm în considerare trei ipoteze:

H1-selectarea primei urne,

H2-selectarea celei de-a doua urne,

H3-alegerea celei de-a treia urne

Iar evenimentul A este apariția unei mingi albe.

Întrucât ipotezele în funcție de condițiile problemei sunt la fel de posibile, atunci

Probabilitățile condiționate ale evenimentului A în aceste ipoteze sunt, respectiv, egale

Problema 3.5.

Planta produce produse, fiecare dintre ele având un defect cu probabilitate p.

În atelier sunt trei supraveghetori; este considerată de un singur inspector, cu probabilitate egală primul, al doilea sau al treilea.Probabilitatea detectării unui defect (dacă există) pentru al-lea inspector este egală cu Pi (i = 1,2,3). Dacă produsul nu a fost respins în atelier, atunci acesta merge la departamentul de control al calității al fabricii, unde defectul, dacă există, este detectat cu probabilitatea P0.

Determinați probabilitatea ca produsul să fie respins.

A - produsul va fi respins

B - produsul va fi respins în atelier

C- produsul va fi respins de departamentul de control al calității fabricii.

Întrucât evenimentele B și C sunt incompatibile și

P(A)=P(B)+P(C)

Găsim P(B).Pentru ca un produs să fie respins în atelier este necesar, în primul rând, să aibă un defect, iar în al doilea rând, să fie detectat defectul.

Probabilitatea ca un defect să fie descoperit în atelier este egală cu

Într-adevăr,

Formularea de ipoteze

Defect H1 detectat de primul inspector

Defect H2 detectat de al 2-lea inspector

Defect H3 detectat de al 3-lea inspector

De aici

De asemenea

Teorema ipotezei (formula Bayes)

O consecință a teoremei înmulțirii și a formulei probabilității totale este așa-numita teoremă de ipoteză sau formula Bayes.

Să punem următoarea problemă.

Există un grup complet de ipoteze incompatibile Н1, Н2,...Hn. Probabilitățile acestor ipoteze sunt cunoscute înainte de experiment și sunt egale, respectiv, Р(Н1), Р(Н2),..., P(Hn). a fost efectuată, în urma căreia a fost observată apariția unui eveniment A. Întrebarea este cum ar trebui modificate probabilitățile ipotezelor în legătură cu apariția acestui eveniment?

Aici, în esență, vorbim despre găsirea probabilității condiționate P (Hi/A) pentru fiecare ipoteză.

Din teorema înmulțirii avem:

P(AHi)=P(A)*P(Hi/A)=P(Hi)*H(A/Hi),

Sau aruncați partea stângă

P(A)*P(Hi/A)=P(Hi)*P(A/Hi), i=1,2,…,n de unde

Sau exprimând P(A) folosind formula probabilității totale, avem

Această formulă se numește formula Bayes sau teorema ipotezei.

Dispozitivul poate fi asamblat din piese de înaltă calitate și din piese de calitate obișnuită; în general, aproximativ 40% dintre dispozitive sunt asamblate din piese de înaltă calitate. Dacă dispozitivul este asamblat din piese de înaltă calitate, fiabilitatea acestuia (probabilitatea de funcționare fără defecțiuni) în timpul t este de 0,05; dacă piesele sunt de calitate obișnuită, fiabilitatea sa este de 0,7. Dispozitivul este testat pentru timpul t și a funcționat impecabil Găsiți probabilitatea ca acesta să fie asamblat din piese de înaltă calitate.

Sunt posibile două ipoteze:

Dispozitivul H1 este asamblat din piese de înaltă calitate,

Dispozitivul H2 este asamblat din piese de calitate obișnuită.

Probabilitatea acestor ipoteze înainte de experiment

P(H1)=0,4; P(H2)=0,6.

Ca rezultat al experimentului, a fost observat evenimentul A - dispozitivul este fără defecte

A lucrat timp t. Probabilitățile condiționate ale acestui eveniment la

Ipotezele H1 și H2 sunt egale:

P(A/H1) = 0,95; P(A/H2) = 0,7.

Folosind formula Weiss, găsim probabilitatea ipotezei H1 după

Probleme de combinatorie.

In multe cercetare statistică Există probleme combinatorii, a căror unicitate este util să se demonstreze cu exemple:

În câte moduri pot fi aranjate 10 cărți diferite pe un raft?

La turneu participă 8 echipe. Câte idei diferite pot fi făcute cu privire la primele trei locuri (pe baza rezultatelor competiției)?

Câte cuvinte diferite de trei litere pot fi formate din 32 de litere ale alfabetului, indiferent dacă cuvintele formate din litere au sens sau nu?

În câte moduri pot fi selectate r elemente dintr-un set de k (diferite) elemente?

Cât de mare este numărul de rezultate diferite ale aruncării a două zaruri?

Exemplele date arată că în problemele de combinatorie se interesează în general numărul de mostre diferite ale anumitor obiecte și, în funcție de tip cerințe suplimentare, este necesar să se distingă care probe sunt considerate la fel și care sunt diferite.

În teoria probabilității și statistici matematice Ei folosesc în principal trei concepte de combinatorie:

Plasări

Rearanjamente

Combinații

Aranjamentele de n elemente după m sunt acele conexiuni care diferă unele de altele prin elementele în sine sau ordinea lor. De exemplu: așezările a 3 elemente a, b, c cu 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb Numărul tuturor plasărilor a n elemente diferite prin m A

De exemplu: plasarea a 3 elemente a, b, c cu 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb Numărul tuturor plasărilor a n elemente diferite prin m A

Total m multiplicatori

Permutațiile n elemente sunt acele conexiuni care diferă între ele doar în ordinea elementelor incluse în ele. De exemplu: o permutare a trei elementele a,bși c: abc, bca, cab, cba, bac, acb. Numărul tuturor permutărilor a n elemente diferite Pn

Pn= 1*2*3* …*n=n!=An

În câte moduri pot fi aranjate 10 cărți pe un raft?

P10=10!=3628800.

Combinațiile de n elemente ale lui m se numesc compușii lor, diferind unele de altele doar prin elementele în sine. De exemplu: combinații de trei elemente a, b și c, câte două: ab, ac, bc. Numărul tuturor combinațiilor de n elemente diferite cu m este notat cu Cn

Putem scrie

Repetarea experimentelor

La aplicație practică Teoria probabilității întâmpină adesea probleme în care același experiment sau experimente similare sunt repetate în mod repetat. Ca rezultat al fiecărui experiment, un eveniment A poate apărea sau nu ca urmare a unei serii de experimente.

Astfel de probleme se rezolvă foarte ușor în cazul în care experimentele sunt independente.

Mai multe experimente sunt numite independente dacă probabilitatea unui rezultat sau altul al fiecărui experiment nu depinde de rezultatele pe care le-au avut celelalte experimente. Mai multe scoateri succesive ale unei cărți din pachet constituie experimente independente, cu condiția ca cartea scoasă să fie returnată în pachet de fiecare dată și cărțile să fie amestecate; altfel, experimente dependente.

Experimentele independente pot fi efectuate în aceleași condiții sau în condiții diferite.

Teorema generală privind repetarea experimentelor.

O anumită teoremă privind repetarea experimentelor se referă la cazul în care probabilitatea evenimentului A este aceeași în toate experimentele. În practică, întâlnim adesea un caz mai complex, când experimentele sunt efectuate în condiții diferite, iar probabilitatea unui eveniment se schimbă de la experiment la experiment. O metodă de calcul a probabilității unui număr dat de apariții ale evenimentelor în astfel de condiții este dată de teorema generală privind repetarea experimentelor.

Fie numărul de experimente u=2, apoi grupul complet de evenimente:

P1P2+P1q2+q1P2+q1q2

Fie numărul de experimente u=3, apoi grupul complet de evenimente:

P1P2P3+P1P2q3+P1q2P3+q1P2P3+P1q2q3+q1P2q3+q1q2P+q1q2q3

În mod similar, pentru numărul de experimente n, grupul complet de evenimente este:

P1P2*…*Pn+P1P2*…*qn+…+q1P2*…*Pn+…+q1*q2*…qn, iar în fiecare dintre produse, evenimentul A apare de m ori, iar evenimentul A apare de n-m ori. combinații este încă

sau mai scurt

unde z este un parametru arbitrar.

Funcția jn(z), a cărei expansiune în puteri ale parametrului z dă pm,n ca coeficienți de probabilitate, se numește funcția de probabilitate generatoare pm,n sau pur și simplu funcția generatoare.

Folosind conceptul de funcții generatoare, putem formula o teoremă generală privind repetarea experimentelor sub următoarea formă:

Probabilitatea ca evenimentul A să apară exact de m ori în n experimente independente este egală cu coeficientul lui zm în expresia funcției generatoare

jn(z)=(qi+piz) unde pi este probabilitatea de apariție a evenimentului A în al-lea experiment

Formularea de mai sus a teoremei generale privind repetarea experimentelor, spre deosebire de teorema particulară, nu oferă o expresie explicită pentru probabilitatea pm,n.

În principiu, o astfel de expresie poate fi scrisă, dar este prea complexă și nu o vom da.

Cu toate acestea, fără a recurge la o astfel de expresie explicită, este încă posibil să se scrie teorema generală privind repetarea experimentelor sub forma unei singure formule.

valoare aleatorie.

Unul dintre cele mai importante concepte de bază ale teoriei probabilităților este conceptul de variabilă aleatorie.

O variabilă aleatorie este o cantitate care, ca rezultat al experimentului, poate lua una sau alta valoare și nu se știe dinainte ce nume.

Exemple de variabile aleatoare:

Numărul de apeluri primite la centrala telefonică pe zi;

Numărul de băieți născuți în maternitate pe lună;

Numărul de fete născute în maternitate pe lună;

În toate cele trei exemple, variabilele aleatoare pot lua valori individuale, izolate, care pot fi enumerate în prealabil.

În exemplul 1;

Asemenea variabile aleatoare care iau doar valori individuale separate unele de altele sunt numite variabile discrete.

Există și alte tipuri de variabile aleatoare.

De exemplu, temperatura aerului, umiditatea aerului, tensiunea în rețeaua de curent electric.

Funcția de distribuție.

Seria de distribuție, poligonul de distribuție nu

sunt caracteristici universale variabilă aleatorie: ele există numai pentru variabile aleatoare discrete.Este ușor de observat că o astfel de caracteristică nu poate fi construită pentru o variabilă aleatoare continuă. Într-adevăr, o variabilă aleatoare continuă are un număr infinit de valori posibile, ???? ocupând un anumit interval (așa-numitul „mult nenumărabil”). Este imposibil să creați un tabel care să enumere toate valorile posibile ale unei astfel de variabile aleatorii. În consecință, pentru o variabilă aleatoare continuă nu există o serie de distribuție în sensul în care există pentru o variabilă discontinuă. Cu toate acestea, diferite regiuni ale valorilor posibile ale unei variabile aleatoare nu sunt încă la fel de probabile, iar pentru o variabilă continuă există o distribuție de probabilitate, deși nu în același sens ca pentru una discontinuă (sau discretă).

Pentru a caracteriza cantitativ această distribuție de probabilitate, este convenabil să folosiți nu probabilitatea evenimentului x=x, ci probabilitatea evenimentului x

Funcția de distribuție F(x) este uneori numită și funcție de distribuție cumulată sau legea distribuției cumulative.

Funcția de distribuție este o caracteristică universală a unei variabile aleatoare.Există pentru toate variabilele aleatoare: atât discrete, cât și continue.Funcția de distribuție

Caracterizează complet o variabilă aleatoare din punct de vedere probabil, adică. este una dintre formele de distribuţie.

Să formulăm câteva proprietăți generale ale funcției de distribuție:

Funcția de distribuție F(x) este o funcție nedescrescătoare a argumentului său, i.e. pentru x2>x1 F(x2)>F(x1).

La minus infinit funcția de distribuție este zero

3. La plus infinit, funcția de distribuție este egală cu 1.

O funcție de distribuție tipică a unei variabile aleatoare continue are forma

Probabilitatea citirii unei variabile aleatorii pentru o anumită zonă.

Când se rezolvă probleme practice care implică variabile aleatoare, este adesea necesar să se calculeze probabilitatea ca variabila aleatoare să ia o valoare cuprinsă în anumite limite, de exemplu de la a la b.

Pentru certitudine, să fim de acord să includem capătul din stânga al lui a în secțiunea (a,b) și să nu includem capătul din dreapta. Atunci apariția unei variabile aleatoare x în secțiunea (a,b) este echivalentă cu următoarea inegalitate :

Să exprimăm probabilitatea acelui eveniment prin funcția de distribuție a valorii x. Pentru a face acest lucru, luați în considerare trei evenimente:

evenimentul A, constând în faptul că C

evenimentul B, constând în faptul că C

evenimentul C, constând în faptul că a

Avand in vedere ca A=B+C, prin teorema de adunare a probabilitatilor avem

R(C

F(b)=F(a)+R(a£C

P(a £ C

Acestea. probabilitatea de a indica o variabilă aleatoare la o limită dată este egală cu incrementul funcției de distribuție în această zonă.

Densitatea de distribuție.

Să existe o variabilă aleatoare continuă x cu o funcție de distribuție F(x), pe care o vom propune a fi continuă și derivabilă.

Să calculăm probabilitatea ca această valoare să cadă pe aria de la x la x+DC:

R(C£C

adică creșterea funcției în această zonă. Să luăm în considerare raportul dintre această probabilitate și lungimea secțiunii, i.e. probabilitatea medie pe unitate de lungime în această secțiune și vom aduce DC mai aproape de 0. În culoar vom obține derivata funcției de distribuție.

Să introducem notația:

Funcția f (x) - derivata funcției de distribuție - caracterizează, parcă, densitatea cu care sunt distribuite valorile unei variabile aleatoare la un punct dat. Această funcție se numește densitate de distribuție

(cunoscută și sub denumirea de „densitatea de probabilitate”) a unei variabile aleatoare continue X. Uneori, funcția f (x) este numită „funcția de distribuție diferențială” sau „legea distribuției diferențiale” a variabilei X.

O curbă care descrie densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare se numește curbă de distribuție.

Densitatea de distribuție, ca și funcția de distribuție, este una dintre formele legii distribuției.Spre deosebire de funcția de distribuție, această formă este universală: există numai pentru variabile aleatoare continue.

Să considerăm o valoare continuă X cu densitatea distribuției f (x) și o secțiune elementară DX,

adiacent punctului X.

Probabilitatea de a găsi o variabilă aleatoare X pe această secțiune elementară (cu o precizie de până la infinitezimale de ordin superior) este egală cu f (x)dx. Mărimea f (x)dx se numește element de probabilitate. Geometric, aceasta este aria unui dreptunghi elementar care se sprijină pe segmentul dx.

Să exprimăm probabilitatea ca valoarea X să cadă pe segmentul de la a la b prin densitatea distribuției:

Evident, este egală cu suma elementelor de probabilitate din toată această secțiune, adică integrala:

Geometric, probabilitatea de a introduce valoarea X în secțiunea (a, b) este egală cu aria curbei de distribuție bazată pe această secțiune.

exprimă densitatea de distribuție prin funcția de distribuție. Să ne punem problema inversă: exprimăm funcția de distribuție în termeni de densitate.Prin definiție

F(x)=P(X

De unde, conform formulei (3), avem:

F(x)=

Geometric, F(x) nu este altceva decât aria curbei de distribuție situată la stânga punctului: X

Să indicăm principalele proprietăți ale densității de distribuție:

1. Densitatea de distribuție este o funcție nenegativă

Această proprietate decurge direct din faptul că funcția de distribuție F(x) este o funcție nedescrescătoare.

2. Integrala peste limite infinite ale densității distribuției este egală cu 1

Aceasta rezultă din faptul că F(+¥)=1

Geometric, proprietățile de bază ale densității distribuției înseamnă:

1. Întreaga curbă de distribuție nu se află sub axa x.

2. Aria totală delimitată de curba de distribuție și de axa x este egală cu 1.

CARACTERISTICI NUMERICE ALE VARIABILELE ALEATORII. ROLUL ȘI SCOPUL LOR.

Ne-am familiarizat cu o serie de caracteristici complete ale variabilelor aleatoare - așa-numitele legi de distribuție. Aceste caracteristici au fost:

Pentru o variabilă aleatoare discretă

a) funcţia de distribuţie;

b) serii de distribuţie (grafic – curba de distribuţie).

Fiecare lege de distribuție reprezintă o anumită funcție, iar indicarea acestei funcții este completă

Descrie o variabilă aleatoare din punct de vedere probabilistic.

Cu toate acestea, în multe întrebări practice nu este necesar să se caracterizeze o variabilă aleatoare după densitate într-o manieră exhaustivă.

Adesea este suficient să indicați numai parametri numerici individuali care caracterizează într-o oarecare măsură trăsăturile esențiale ale distribuției

valoarea ceaiului: de exemplu, o valoare medie, în jurul căreia sunt grupate valorile posibile ale unei variabile aleatorii; un număr care caracterizează gradul de împrăștiere a acestor valori în raport cu media etc.

Folosind astfel de caracteristici, putem exprima toate informațiile esențiale despre o variabilă aleatoare pe care o avem în cel mai compact mod folosind parametri numerici.Acești parametri, care exprimă cele mai semnificative trăsături ale distribuției într-o formă numerică comprimată, se numesc caracteristici numerice ale o variabilă aleatorie.

În teoria probabilității și a statisticii matematice, se utilizează un număr mare de caracteristici numerice diferite, care au scopuri diferite și domenii de aplicare diferite, dar toate sunt împărțite în două clase:

1. Caracteristicile poziţiei.

2. Caracteristici de împrăștiere.

Caracteristicile poziției.

Valorea estimata. Median. Modă. Moment de pornire.

Dintre caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare trebuie să le remarcăm în primul rând pe cele care caracterizează pozițiile variabilei aleatoare pe axa numerelor, adică. e. Ele indică o valoare medie, aproximativă, în jurul căreia sunt grupate toate valorile posibile ale variabilei aleatoare.

Dintre caracteristicile unei poziții în teoria probabilităților, cel mai important rol îl joacă așteptarea matematică a unei variabile aleatoare, care se numește uneori valoarea medie a unei variabile aleatoare.

Să considerăm o variabilă discretă aleatoare X având valori posibile X1,X2,...Xn cu probabilități P1, P2,...Pn.

Trebuie să caracterizăm cu un anumit număr poziția valorilor unei variabile aleatoare pe axa absciselor. În acest scop, este firesc să folosiți așa-numita „medie ponderată” a valorilor lui Xi, cu fiecare valoare a lui Xi la ?????????? trebuie luate în considerare cu o „greutate” proporțională cu probabilitatea acestei valori. Acea. Vom calcula valoarea medie a variabilei aleatoare x, pe care o vom nota cu M[x]

Sau având în vedere asta

Această medie ponderată se numește așteptarea matematică a variabilei aleatoare.

Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare este suma produselor tuturor valorilor posibile ale lui c. V. asupra probabilităţii acestor valori.

Rețineți că în formularea de mai sus, definiția așteptării matematice este valabilă numai pentru variabile aleatoare discrete.

Pentru o valoare continuă x, așteptarea matematică este în mod natural exprimată nu ca o sumă, ci ca o integrală:

Unde f(x) este densitatea de distribuție a variabilei aleatoare X.

F(x)dx-element de probabilitate.

Pe lângă cele mai importante caracteristici ale poziției - așteptarea matematică - în practică, uneori sunt folosite și alte caracteristici ale poziției, în special modul și mediana

Modul unei variabile aleatoare este valoarea sa cea mai probabilă; strict vorbind, aplicăm doar x variabilelor discrete

Pentru o variabilă aleatoare continuă, modul este valoarea la care densitatea de probabilitate este maximă

Median s. V. X se numește valoarea sa Me, adică este la fel de probabil dacă variabila aleatoare se dovedește a fi mai mică sau mai mare decât Me

Din punct de vedere geometric, mediana este abscisa punctului în care aria delimitată de curba de distribuție este împărțită în părți.

‘ PGraful funcției de distribuție arată ca

Problema 5.50

Există un semafor automat la intersecție, în care

Lumina verde este aprinsă timp de 1 minut și lumina roșie este aprinsă timp de 0,5 minute, apoi lumina verde este aprinsă timp de 1 minut, lumina roșie este aprinsă timp de 0,5 minute etc.

cineva se apropie de o intersecție într-o mașină într-un moment întâmplător care nu are legătură cu serviciul

semafor

a) aflați probabilitatea ca el să treacă de intersecție fără oprire

b) aflați timpul mediu de așteptare la intersecție

Momentul în care o mașină trece prin intersecție este distribuit uniform într-un interval egal cu

Perioada de schimbare a culorilor la semafoare

Această perioadă este 1+0,5=1,5 minute

Pentru ca o mașină să treacă printr-o intersecție fără oprire, este suficient ca

Momentul depășirii intersecției a avut loc în intervalul de timp (0,1)

Pentru o valoare aleatorie, supusă legii densității constante în intervalul (0,1,5)

Probabilitatea ca acesta să cadă pe intervalul (0,1) este egală cu Timpul de așteptare este o variabilă aleatoare mixtă, cu probabilitate este egală cu 0, iar cu Probabilitate ia cu aceeași densitate de probabilitate orice valoare între 0 și 0,5 minute

Timp mediu de așteptare la o intersecție

Legea distribuției Poisson

În multe probleme practice trebuie să se ocupe de variabile aleatoare distribuite conform unei legi specifice numită legea lui Poisson. Sa luam in considerare

O cantitate discretă care poate lua numai valori întregi nenegative

0,1,2,..., m,...,

iar succesiunea acestor valori este practic nelimitată.

Se spune că o variabilă aleatoare X este distribuită conform legii Poison dacă probabilitatea ca

Va lua anumite valori m exprimate prin formula

unde a este o valoare pozitivă numită parametrul Poisson Seria de distribuție a variabilei aleatoare X, distribuită conform legii lui Poisson, are forma;

Xm				...	m	...
P.m

Varianta valorii X este egala cu

Probabilitatea ca o variabilă aleatorie supusă legii normale să cadă într-o zonă dată.

În multe probleme asociate cu variabile aleatoare distribuite normal, este necesar să se determine probabilitatea de apariție a unei variabile aleatoare X, supusă unei legi normale cu parametri.

m, s, la zona de la a la b.

Pentru a calcula această probabilitate, folosim formula generală.

R(a< C< b) = F(b) – F(a) (1)

unde F(b) este funcția de distribuție a valorii X la punctul b

F(a)-funcția de distribuție a valorii X la punctul a

Să găsim funcția de distribuție F(x) a unei variabile aleatoare distribuite conform legii normale cu parametrii m, s. Densitate

distribuția valorii X este egală cu:

De aici găsim funcția de distribuție:

Să facem o schimbare de variabilă în integrală:

Și să o punem în această formă:

Această integrală nu este exprimată în termeni de funcții elementare, ci pentru ea

au fost întocmite tabele.

Funcția de distribuție tabelară (așa-numitul tabel integral de probabilitate) este notat cu:

Este ușor de observat că această funcție nu este altceva decât o funcție de distribuție pentru un aleatoriu distribuit normal

mărimi cu parametrii m=0; s=1

Funcția de distribuție Ф*(х) se mai numește și funcție de distribuție normală.

Să exprimăm funcția de distribuție a valorii X cu parametrii m, s prin funcția de distribuție normală:

Acum să găsim probabilitatea ca o variabilă aleatoare X să cadă pe secțiunea de la a la b.

Conform formulei (1):

Astfel, exprimăm probabilitatea de a lovi zona de la a la

B a unei variabile aleatoare distribuite conform legii distribuției normale cu orice parametri, prin funcția de distribuție standard Ф*(x), corespunzătoare legii distribuției normale cu parametrii m=0 și s=1. Rețineți că argumentele funcției Ф* din ultima formulă au o semnificație simplă:

Există o distanță de la capătul drept al secțiunii b până la centrul de împrăștiere, exprimată în abateri standard;

Există aceeași distanță pentru capătul din stânga al secțiunii, iar distanța este considerată pozitivă dacă capătul este situat la dreapta centrului de împrăștiere și negativă dacă este la stânga.

Ca orice funcție de distribuție, funcția Ф*(х) are următoarele proprietăți:

3.Ф*(х) - funcție nedescrescătoare.

În plus, din simetria distribuției normale cu parametrii m=0 și s=1 față de origine, rezultă că

4.Ф*(-х)=1-Ф*(х).

Luați în considerare următorul exemplu.

O variabilă aleatoare X, distribuită după o lege normală, reprezintă eroarea în măsurarea unei anumite distanțe.

La măsurare, este permisă o eroare sistematică în direcția supraestimării cu 1,2 (m); Abaterea standard a erorii de măsurare este de 0,8(m).

Găsiți probabilitatea ca abaterea valorii măsurate de la valoarea adevărată să nu depășească 1,6(m) în valoare absolută.

Eroarea de măsurare este o variabilă aleatoare X, supusă legii normale cu parametrii m=12, s=0,8.

Trebuie să găsim probabilitatea ca această cantitate să cadă pe zona din

a=--1, b la b= +1,6.

După formula avem:

Folosind tabelele de funcții Ф*(0,5)=0,6915 și Ф*(-3,5)=0,0002

P(-1,6<х<1,6)=0,6915-0,0002=0,6913

Problema 5.48.

Respingerea bilelor pentru rulmenți se efectuează după cum urmează:

dacă mingea nu trece printr-o gaură cu diametrul d2>d1, atunci dimensiunea ei este considerată acceptabilă. Dacă oricare dintre aceste condiții nu este îndeplinită, mingea este respinsă. Se știe că diametrul bilei D este o variabilă aleatoare distribuită normal cu caracteristicile

Determinați probabilitatea q ca mingea să fie respinsă.

q= 1- p(d1< d < d2);

Se știe că mărimea D a unei bile pentru un rulment este o variabilă aleatorie distribuită conform legii normale. Mingea este respinsă în același mod ca indicat în problema anterioară. Se știe că dimensiunea medie a mingii este egală cu

Iar defectele reprezintă 10% din producția totală.Determinați abaterea standard a diametrului bilei sd.

Similar cu problema anterioară, probabilitatea căsătoriei

Unde

Problema 5-54

Variabila aleatoare x este supusă legii normale cu matematica mx = 0. Probabilitatea de citire a acestei variabile aleatoare în secțiunile de la -1 la 1 este 0,5.

Găsiți abaterea standard și scrieți expresia legii normale

De unde vine paritatea de distribuție?

Să diagramăm funcția de paritate a distribuției

X	-5	-4	-3	-2	-1
	-5,68	-3,64	-2,05	-0,91	-0,22		-0,22	-0,91	-2,05	-3,64	-5,68
	0,003	0,026	0,129	0,403	0,803		0,803	0,403	0,129	0,026	0,003
	0,001	0,01	0,03	0,11	0,22	0,3	0,22	0,11	0,03	0,01	0,001

Ar trebui să existe un grafic aici

Problema 5-58.

Există o variabilă aleatoare x, supusă legii normale e prin așteptarea matematică mx și prin deviația standard sigma de la x. Necesar aproximativ

Înlocuiți legea normală cu legea densității constante în intervalul alfa, beta; limitele alfa și beta ar trebui selectate astfel încât să păstreze principalele caracteristici ale variabilei aleatoare x neschimbate: așteptarea și dispersia matematică.

-2 -1 -5,68 -3,64 -2,05 -0,91 -0,22 -0,22 -0,91 -2,05 -3,64 -5,68 0,0033 0,0262 0,1287 0,4025 0,8025 0,8025 0,4025 0,1287 0,0262 0,033 0,001 0,01 0,03 0,11 0,22 0,270 0,22 0,11 0,03 0,01 0,001

Opțiunea 2

Variabila aleatoare X este supusă legii normale cu așteptarea matematică Mx=6. Probabilitatea ca această variabilă aleatoare să cadă în zona de la 4 la 8 este 0,6. Găsiți abaterea standard și scrieți expresia pentru legea normală. Construiți un grafic al densității distribuției.

De unde provine densitatea distribuției?

Să reprezentăm grafic densitatea distribuției.

X	-1
	-4,36	-3,04	-2,20	-1,35	-0,76	-0,34	-0,08		-0,08	-0,34	-0,76	-1,35	-2,20	-3,04	-4,36

REGULA DIN TREI s

Fie ca valoarea normală X să fie distribuită conform legii normale cu parametrii M și s. Vom arăta că, cu o precizie de 03%, se întâmplă ca o cantitate supusă legii să ia valori posibile care nu se abat de la centrul de împrăștiere cu ± 3s.

Vrem să găsim ceva

Nu va depăși 0003

Regula 3s în statistică este foarte importantă.

Una dintre cele mai comune reguli ale 3s este experimentul de screening. Într-un experiment de screening, valorile aberante sunt eliminate.

Principalele probleme de statistică matematică

Compilat de profesorul departamentului de matematică superioară Ishchanov T.R. Lecția nr. 4. Formula probabilității totale. Probabilitatea ipotezelor. Formule Bayes.

Material teoretic
Formula probabilității totale
Teorema. Probabilitatea evenimentului A, care poate apărea numai dacă are loc unul dintre evenimentele incompatibile care formează un grup complet, este egală cu suma produselor probabilităților fiecăruia dintre aceste evenimente cu probabilitatea condiționată corespunzătoare a evenimentului A:

.
Această formulă se numește „formula probabilității totale”.

Dovada. Conform condiției, evenimentul A poate apărea dacă are loc unul dintre evenimentele incompatibile. Cu alte cuvinte, apariția evenimentului A înseamnă apariția unuia dintre evenimentele incompatibile, indiferent care. Folosind teorema adunării pentru a calcula probabilitatea evenimentului A, obținem
. (*)
Rămâne de calculat fiecare dintre termeni. Prin teorema înmulțirii probabilităților evenimentelor dependente avem
.
Înlocuind părțile din dreapta acestor egalități în relație (*), obținem formula pentru probabilitatea totală

Exemplul 1. Există două seturi de piese. Probabilitatea ca partea primului set să fie standard este 0,8, iar a doua este 0,9. Aflați probabilitatea ca o parte luată la întâmplare (dintr-o mulțime luată la întâmplare) să fie standard.
Soluţie. Să notăm cu A evenimentul „partea extrasă este standard”.
Piesa poate fi preluată fie din primul set (eveniment), fie din al doilea (eveniment).
Probabilitatea ca o parte să fie luată din primul set este .
Probabilitatea ca o parte să fie luată din al doilea set este .
Probabilitatea condiționată ca o parte standard să fie extrasă din primul set este .
Probabilitatea condiționată ca o parte standard să fie extrasă din al doilea set .
Probabilitatea necesară ca o parte extrasă la întâmplare să fie una standard, conform formulei probabilității totale, este egală cu

Exemplul 2. Prima cutie conține 20 de tuburi radio, dintre care 18 sunt standard; în a doua cutie sunt 10 lămpi, dintre care 9 sunt standard. O lampă este luată la întâmplare din a doua cutie și plasată în prima. Găsiți probabilitatea ca o lampă extrasă la întâmplare din prima casetă să fie standard.
Soluţie. Să notăm cu A evenimentul „o lampă standard este scoasă din prima cutie”.
Din a doua casetă, poate fi îndepărtată fie o lampă standard (eveniment), fie o lampă nestandard (eveniment).
Probabilitatea ca o lampă standard să fie scoasă din a doua cutie este .
Probabilitatea ca o lampă non-standard să fi fost scoasă din a doua cutie este
Probabilitatea condiționată ca o lampă standard să fie scoasă din prima cutie, cu condiția ca o lampă standard să fi fost transferată din a doua cutie în prima, este egală cu .
Probabilitatea condiționată ca o lampă standard să fie scoasă din prima cutie, cu condiția ca o lampă nestandard să fi fost transferată din a doua cutie în prima, este egală cu .
Probabilitatea necesară ca o lampă standard să fie scoasă din prima casetă, conform formulei probabilității totale, este egală cu

Probabilitatea ipotezelor. Formule Bayes

Să presupunem că evenimentul A poate avea loc sub rezerva apariției unuia dintre evenimentele incompatibile care formează un grup complet. Deoarece nu se știe dinainte care dintre aceste evenimente se va întâmpla, ele se numesc ipoteze. Probabilitatea de apariție a evenimentului A este determinată de formula probabilității totale:

Să presupunem că a fost efectuat un test, în urma căruia a apărut evenimentul A. Să ne stabilim sarcina de a determina cum s-au schimbat probabilitățile ipotezelor (datorită faptului că evenimentul A a avut deja loc). Cu alte cuvinte, vom căuta probabilități condiționate

Să găsim mai întâi probabilitatea condiționată. Prin teorema înmulțirii avem

.

Înlocuind P(A) aici folosind formula (*), obținem

În mod similar, sunt derivate formule care determină probabilitățile condiționate ale ipotezelor rămase, adică probabilitatea condiționată a oricărei ipoteze poate fi calculată folosind formula

Formulele rezultate sunt numite Formule Bayes(numit după matematicianul englez care le-a derivat; publicat în 1764). Formulele lui Bayes ne permit să reestimăm probabilitățile ipotezelor după ce rezultatul testului care a rezultat în evenimentul A devine cunoscut.

Exemplu. Piesele produse de atelierul fabricii sunt trimise unuia dintre cei doi inspectori pentru a le verifica standarditatea. Probabilitatea ca piesa să ajungă la primul inspector este de 0,6, iar la al doilea - 0,4. Probabilitatea ca o piesă adecvată să fie recunoscută ca standard de către primul inspector este de 0,94, iar de al doilea - 0,98. Piesa valabilă s-a dovedit a fi standard la inspecție. Găsiți probabilitatea ca primul inspector să fi verificat această parte.
Soluţie. Să notăm cu A evenimentul că o piesă adecvată este recunoscută ca standard. Se pot face două ipoteze:
1) piesa a fost verificată de primul inspector (ipoteză);
2) piesa a fost verificată de către al doilea inspector (ipoteză). Găsim probabilitatea dorită ca piesa să fi fost verificată de primul inspector folosind formula Bayes:

În funcție de condițiile problemei avem:
(probabilitatea ca piesa să ajungă la primul inspector);
(probabilitatea ca piesa să ajungă la al doilea inspector);
(probabilitatea ca o piesă adecvată să fie recunoscută ca standard de către primul inspector);
(probabilitatea ca o piesă adecvată să fie recunoscută ca standard de către al doilea inspector).
Probabilitate necesară

După cum puteți vedea, înainte de testare probabilitatea ipotezei era de 0,6; după ce rezultatul testului a devenit cunoscut, probabilitatea acestei ipoteze (mai precis, probabilitatea condiționată) s-a schimbat și a devenit egală cu 0,59. Astfel, utilizarea formulei lui Bayes a făcut posibilă supraestimarea probabilității ipotezei luate în considerare.

Material practic.
1. (4) Asamblatorul a primit 3 cutii de piese fabricate de Uzina nr. 1 și 2 cutii de piese fabricate de Uzina nr. 2. Probabilitatea ca o piesă din Uzina nr. 1 să fie standard este de 0,8, iar cea de la Uzina nr. 2 este 0,9, Asamblatorul a scos la întâmplare piesa dintr-o cutie aleasă aleatoriu. Găsiți probabilitatea ca o piesă standard să fie îndepărtată.
Reprezentant. 0,84.
2. (5) Prima cutie conține 20 de părți, dintre care 15 sunt standard; în al doilea sunt 30 de părți, dintre care 24 sunt standard; în a treia există 10 părți, dintre care 6 sunt standard. Aflați probabilitatea ca o parte luată la întâmplare dintr-o cutie luată la întâmplare să fie standard.
Reprezentant. 43/60.
3. (6) În studioul de televiziune sunt 4 kinescoape. Probabilitățile ca kinescopul să reziste la durata de viață în garanție sunt, respectiv, egale cu 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Găsiți probabilitatea ca un cinescop luat la întâmplare să reziste perioadei de garanție.
Reprezentant. 0,875.
4. (3) Lotul de sportivi este format din 20 de schiori, 6 biciclisti si 4 alergatori. Probabilitatea de a îndeplini standardul de calificare este următoarea: pentru un schior - 0,9, pentru un biciclist - 0,8. iar pentru alergător - 0,75. Găsiți probabilitatea ca un sportiv ales la întâmplare să îndeplinească norma.
Reprezentant. 0,86.
5. (C) Într-o cutie albă sunt 12 bile roșii și 6 albastre. În negru sunt 15 bile roșii și 10 albastre. Aruncarea unui zar. Dacă un număr de puncte este multiplu de 3, atunci o minge este luată la întâmplare din caseta albă. Dacă se aruncă orice alt număr de puncte, o minge este luată la întâmplare din caseta neagră. Care este probabilitatea ca o minge roșie să apară?
Soluţie:
Sunt posibile două ipoteze:
– la aruncarea unui zar va apărea numărul de puncte care este multiplu de 3, adică. sau 3 sau 6;
– la aruncarea zarurilor, va apărea un număr diferit de puncte, adică. sau 1 sau 2 sau 4 sau 5.
Conform definiției clasice, probabilitățile ipotezelor sunt egale cu:

Deoarece ipotezele constituie un grup complet de evenimente, egalitatea trebuie să fie satisfăcută

Fie evenimentul A alcătuit din apariția unei mingi roșii. Probabilitățile condiționate ale acestui eveniment depind de ipoteza care a fost realizată și sunt în consecință:

Apoi, conform formulei probabilității totale, probabilitatea evenimentului A va fi egală cu:

6. (7) Două cutii conțin tuburi radio. Prima cutie conține 12 lămpi, dintre care 1 nu este standard; în al doilea sunt 10 lămpi, dintre care 1 nu este standard. O lampă este luată la întâmplare din prima cutie și plasată în a doua. Găsiți probabilitatea ca o lampă luată la întâmplare din a doua casetă să fie nestandard.
Reprezentant. 13/132.

7. (89 D) O bilă albă este aruncată într-o urnă care conține două bile, după care o bilă este extrasă la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca bila extrasă să fie albă dacă toate ipotezele posibile despre compoziția inițială a bilelor (pe baza culorii) sunt la fel de posibile.
Soluţie. Să notăm cu A evenimentul - se trage o bilă albă. Sunt posibile următoarele ipoteze (ipoteze) despre compoziția inițială a bilelor: - fără bile albe, - o bilă albă, - două bile albe.
Deoarece sunt trei ipoteze în total și, în funcție de condiție, sunt la fel de probabile, iar suma probabilităților ipotezelor este egală cu unu (deoarece formează un grup complet de evenimente), atunci probabilitatea fiecărei ipoteze este egal cu 1/3, adică .
Probabilitatea condiționată ca o bilă albă să fie extrasă, având în vedere că inițial nu au existat bile albe în urnă, .
Probabilitatea condiționată ca o bilă albă să fie extrasă, având în vedere că inițial a existat o bilă albă în urnă, .
Probabilitatea condiționată ca o bilă albă să fie extrasă având în vedere că inițial erau două bile albe în urnă.
Găsim probabilitatea necesară ca o bilă albă să fie extrasă folosind formula probabilității totale:

8. (10) O parte standard este aruncată într-o cutie care conține 3 părți identice, apoi o parte este extrasă la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca o piesă standard să fie eliminată dacă toate presupunerile posibile despre numărul de piese standard din casetă sunt la fel de probabile.
Reprezentant. 0,625.

9. (6.5.2L) Pentru a îmbunătăți calitatea comunicațiilor radio, sunt utilizate două receptoare radio. Probabilitatea ca fiecare receptor să primească un semnal este de 0,8, iar aceste evenimente (recepția semnalului de către receptor) sunt independente. Determinați probabilitatea de recepție a semnalului dacă probabilitatea de funcționare fără defecțiuni în timpul unei sesiuni de comunicații radio pentru fiecare receptor este de 0,9.
Soluţie.
Fie evenimentul A = (semnalul va fi primit). Să luăm în considerare patru ipoteze:

=(primul receptor funcționează, al doilea nu);

=(al doilea funcționează, primul nu);

=(ambele receptoare funcționează);

=(ambele receptoare nu funcționează).

Evenimentul A se poate întâmpla numai sub una dintre aceste ipoteze. Să găsim probabilitatea acestor ipoteze luând în considerare următoarele evenimente:

=(primul receptor funcționează),

=(al doilea receptor funcționează).

Control:

.

Probabilitățile condiționate sunt, respectiv, egale cu:

;

;

Acum, folosind formula probabilității totale, găsim probabilitatea dorită

10. (11) Dacă mașina se abate de la modul normal de funcționare, alarma C-1 este declanșată cu o probabilitate de 0,8, iar alarma C-11 este declanșată cu o probabilitate de 1. Probabilitățile ca mașina să fie echipată cu un C Alarma -1 sau C-11 sunt egale cu 0, 6 și, respectiv, 0,4. A fost primit un semnal pentru a tăia mitraliera. Ce este mai probabil: aparatul este echipat cu un dispozitiv de semnalizare S-1 sau S-11?
Reprezentant. Probabilitatea ca mașina să fie echipată cu un dispozitiv de semnalizare S-1 este 6/11, iar S-11 este 5/11

11. (12) Pentru participarea la concursurile sportive de calificare a elevilor au fost alocați 4 elevi din prima grupă a cursului, 6 din a doua și 5 din a treia grupă. Probabilitățile ca un student din prima, a doua și a treia grupă să intre în echipa institutului sunt, respectiv, egale cu 0,9; 0,7 și 0,8. Un elev ales aleatoriu a ajuns în echipa națională în urma competiției. Cărui grup a aparținut cel mai probabil acest elev?
Reprezentant. Probabilitățile ca un elev din prima, a doua, a treia grupă să fie selectat sunt, respectiv: 18/59, 21/59, 20/59.

12. (1.34K) O companie comercială a primit televizoare de la trei furnizori într-un raport de 1:4:5. Practica a arătat că televizoarele care provin de la primul, al doilea și al treilea furnizor nu vor necesita reparații în perioada de garanție în 98, 88 și, respectiv, 92% din cazuri.
1) Găsiți probabilitatea ca un televizor primit de o companie comercială să nu necesite reparații în perioada de garanție.
2) Televizorul vândut a necesitat reparații în perioada de garanție. De la ce furnizor a venit cel mai probabil acest televizor?
Soluţie.
Să notăm evenimentele: - televizorul a ajuns la societatea comercială de la al-lea furnizor (i=1,2,3);
R – televizorul nu va necesita reparații în perioada de garanție.
După condiție

Conform formulei probabilității totale

Event TV va necesita reparații în perioada de garanție; .
După condiție

Conform formulei lui Bayes

;

Astfel, după producerea evenimentului, probabilitatea ipotezei a crescut cu la maxim, iar ipoteza a scăzut de la maxim la; Dacă mai devreme (înainte de apariția evenimentului A) cea mai probabilă ipoteză era , atunci acum, în lumina unor noi informații (apariția evenimentului A), cea mai probabilă ipoteză este că acest televizor va sosi de la al 2-lea furnizor.

13. (1.35K) Se știe că, în medie, 95% dintre produsele fabricate îndeplinesc standardul. O schemă de control simplificată recunoaște un produs ca fiind adecvat cu o probabilitate de 0,98 dacă este standard și cu o probabilitate de 0,06 dacă nu este standard. Determinați probabilitatea ca:
1) un produs luat la întâmplare va fi supus controlului simplificat;
2) un produs standard dacă: a) a trecut controlul simplificat; b) a trecut de două ori controlul simplificat.
Soluţie.
1). Să notăm evenimentele:
- un produs luat la întâmplare, standard sau, respectiv, non-standard;
- produsul a trecut controlul simplificat.

După condiție

Probabilitatea ca un produs luat la întâmplare să treacă de control simplificat, conform formulei probabilității totale:

2, a). Probabilitatea ca un produs care a trecut controlul simplificat este standard, conform formulei Bayes:

2, b). Lăsați evenimentul - produsul trece prin control simplificat de două ori. Apoi, după teorema înmulțirii probabilităților:

Conform formulei lui Bayes

este foarte mic, atunci ipoteza că un produs care a trecut de două ori controlul simplificat este nestandard ar trebui să fie aruncată ca un eveniment practic imposibil.

14. (1.36K) Doi trăgători trag într-o țintă independent unul de celălalt, fiecare trăgând câte o lovitură. Probabilitatea de a lovi ținta pentru primul trăgător este de 0,8; pentru al doilea – 0,4. După împușcare, a fost găsită o gaură în țintă. Care este probabilitatea ca acesta să aparțină:
a) primul trăgător;
b) al 2-lea trăgător?
Soluţie.
Să notăm evenimentele:

Ambii trăgători au ratat ținta;

Ambii trăgători au lovit ținta;

Primul trăgător a lovit ținta, al 2-lea nu;

Primul trăgător a ratat ținta, al 2-lea a făcut-o;

Există o gaură în țintă (o lovitură).