Determinarea așteptării matematice a unei variabile aleatoare. Fundamentele teoriei probabilităților
Citeste si
Următoarea caracteristică cea mai importantă variabilă aleatorie după așteptarea matematică este varianța acesteia, definită ca pătratul mediu al abaterii de la medie:
Dacă este indicată până atunci, varianța VX va fi valoarea așteptată. Aceasta este o caracteristică a „împrăștierii” distribuției X.
La fel de un exemplu simplu calculând variația, să presupunem că tocmai ni s-a făcut o ofertă pe care nu o putem refuza: cineva ne-a dat două certificate pentru a participa la aceeași loterie. Organizatorii loteriei vând 100 de bilete în fiecare săptămână, participând la o extragere separată. Tragerea la sorți selectează unul dintre aceste bilete printr-un proces uniform aleatoriu - fiecare bilet are șanse egale de a fi selectat - iar proprietarul acelui bilet norocos primește o sută de milioane de dolari. Alți 99 de proprietari bilete la loterie nu castiga nimic.
Putem folosi cadoul în două moduri: fie cumpărăm două bilete la aceeași loterie, fie cumpărăm câte un bilet pentru a participa la două loterie diferite. Care este cea mai bună strategie? Să încercăm să analizăm. Pentru a face acest lucru, notăm prin variabile aleatorii reprezentând mărimea câștigurilor noastre la primul și al doilea bilet. Valoarea așteptată în milioane este
și același lucru este valabil pentru valorile așteptate sunt aditive, astfel încât câștigul nostru total mediu va fi
indiferent de strategia adoptată.
Cu toate acestea, cele două strategii par a fi diferite. Să depășim valorile așteptate și să studiem întreaga distribuție a probabilității
Dacă cumpărăm două bilete la aceeași loterie, avem șanse de 98% să nu câștigăm nimic și șanse de 2% să câștigăm 100 de milioane. Dacă cumpărăm bilete pentru diferite extrageri, atunci cifrele vor fi următoarele: 98,01% - șansa de a nu câștiga nimic, care este ceva mai mare decât înainte; 0,01% - o șansă de a câștiga 200 de milioane, de asemenea puțin mai mult decât era înainte; iar șansa de a câștiga 100 de milioane este acum de 1,98%. Astfel, în al doilea caz, distribuția mărimii este oarecum mai împrăștiată; media, 100 de milioane de dolari, este oarecum mai puțin probabilă, în timp ce extremele sunt mai probabile.
Acest concept de împrăștiere a unei variabile aleatoare este destinat să reflecte varianța. Măsurăm răspândirea prin pătrat a abaterii unei variabile aleatoare de la așteptările ei matematice. Astfel, în cazul 1, varianța va fi
în cazul 2, varianța este
După cum ne așteptam, această din urmă valoare este oarecum mai mare, deoarece distribuția în cazul 2 este oarecum mai împrăștiată.
Când lucrăm cu varianțe, totul este pătrat, astfel încât rezultatul poate fi numere destul de mari. (Multiplicatorul este de un trilion, asta ar trebui să fie impresionant
chiar și jucători obișnuiți cu mize mari.) Rădăcină pătrată din dispersie. Numărul rezultat se numește abatere standard și este de obicei notat cu litera greacă a:
Abaterile standard pentru cele două strategii de loterie ale noastre sunt . În anumite privințe, a doua opțiune este cu aproximativ 71.247 USD mai riscantă.
Cum ajută varianța la alegerea unei strategii? Nu este clar. O strategie cu o varianță mai mare este mai riscantă; dar ce este mai bine pentru portofelul nostru – risc sau joc sigur? Să avem ocazia să cumpărăm nu două bilete, ci toate o sută. Atunci am putea garanta un câștig la o loterie (și variația ar fi zero); sau ai putea juca într-o sută de extrageri diferite, fără a obține nimic cu probabilitate, dar având o șansă diferită de zero de a câștiga până la dolari. Alegerea uneia dintre aceste alternative depășește scopul acestei cărți; tot ce putem face aici este să explicăm cum să facem calculele.
De fapt, există o modalitate mai ușoară de a calcula varianța decât utilizare directă definiții (8.13). (Există toate motivele pentru a suspecta o matematică ascunsă aici; altfel, de ce s-ar dovedi variația din exemplele de loterie a fi un multiplu întreg. Avem
deoarece este o constantă; prin urmare,
„Dispersia este media pătratului minus pătratul mediei”
De exemplu, în problema loteriei, media este sau Scăderea (a pătratului mediei) dă rezultate pe care le-am obținut deja mai devreme într-un mod mai dificil.
Există, totuși, o formulă și mai simplă care se aplică atunci când calculăm pentru independenți X și Y. Avem
deoarece, după cum știm, pentru variabile aleatoare independente. Prin urmare,
„Varianța sumei variabilelor aleatoare independente este egală cu suma variațiilor lor” Deci, de exemplu, variația sumei care poate fi câștigată pe un bilet de loterie este egală cu
Prin urmare, variația câștigurilor totale pentru două bilete de loterie la două loterie diferite (independente) va fi. Valoarea corespunzătoare a variației pentru biletele de loterie independente va fi
Varianța sumei punctelor aruncate pe două zaruri poate fi obținută folosind aceeași formulă, deoarece există o sumă a două variabile aleatoare independente. Avem
pentru cubul corect; prin urmare, în cazul unui centru de masă deplasat
prin urmare, dacă centrul de masă al ambelor cuburi este deplasat. Rețineți că în acest din urmă caz, varianța este mai mare, deși este nevoie în medie de 7 mai des decât în cazul zarurilor obișnuite. Dacă scopul nostru este să aruncăm mai mulți șapte norocoși, atunci variația nu este cel mai bun indicator succes.
Bine, am stabilit cum să calculăm varianța. Dar nu am dat încă un răspuns la întrebarea de ce este necesar să se calculeze varianța. Toată lumea o face, dar de ce? Motivul principal este inegalitatea Chebyshev care stabilește o proprietate importantă a varianței:
(Această inegalitate diferă de inegalitățile lui Chebyshev pentru sume, pe care le-am întâlnit în capitolul 2.) Calitativ, (8.17) afirmă că o variabilă aleatoare X ia rareori valori departe de medie dacă varianța sa VX este mică. Dovada
acțiunea este extraordinar de simplă. Într-adevăr,
împărțirea cu completează demonstrația.
Dacă notăm așteptarea matematică prin a și abaterea standard - prin a și înlocuim în (8.17) cu atunci condiția se transformă în așadar, obținem din (8.17)
Astfel, X se va situa în - ori deviația standard a mediei sale, cu excepția cazurilor în care probabilitatea nu depășește Valoarea aleatorie se va situa în intervalul 2a de cel puțin 75% din încercări; variind de la până la - cel puțin pentru 99%. Acestea sunt cazuri de inegalitate a lui Cebyshev.
Dacă aruncați de câteva ori, atunci scorul total la toate aruncările este aproape întotdeauna, pentru cele mari va fi aproape de Motivul pentru aceasta este următorul: varianța aruncărilor independente este
Prin urmare, din inegalitatea Chebyshev, obținem că suma punctelor se află între
pentru cel puțin 99% din toate aruncările de zaruri corecte. De exemplu, totalul unui milion de aruncări cu o probabilitate de peste 99% va fi între 6,976 milioane și 7,024 milioane.
În cazul general, fie X orice variabilă aleatoare din spațiul de probabilitate P care are o așteptare matematică finită și o abatere standard finită a. Apoi putem introduce în considerare spațiul de probabilitate Пп, ale cărui evenimente elementare sunt -secvențe în care fiecare , iar probabilitatea este definită ca
Dacă definim acum variabile aleatoare prin formula
apoi valoarea
va fi suma variabilelor aleatoare independente, care corespunde procesului de însumare a realizărilor independente ale mărimii X pe P. Aşteptarea matematică va fi egală cu şi abaterea standard - ; prin urmare, valoarea medie a realizărilor,
se va situa în intervalul de la cel puțin 99% perioada de timp. Cu alte cuvinte, dacă se alege un număr suficient de mare, atunci media aritmetică a încercărilor independente va fi aproape întotdeauna foarte aproape de valoarea așteptată.
Uneori nu cunoaștem caracteristicile spațiului de probabilitate, dar trebuie să estimăm așteptarea matematică a unei variabile aleatoare X prin observații repetate ale valorii acesteia. (De exemplu, am putea dori temperatura medie la amiază din ianuarie în San Francisco; sau am putea dori să știm speranța de viață pe care agenții de asigurări ar trebui să-și bazeze calculele.) Dacă avem la dispoziție observații empirice independente, putem presupune că adevărata așteptare matematică este aproximativ egală cu
De asemenea, puteți estima varianța folosind formula
Privind această formulă, s-ar putea crede că există o eroare de tipar în ea; s-ar părea că ar trebui să existe ca în (8.19), deoarece valoarea adevărată a varianței este determinată în (8.15) prin valorile așteptate. Totuși, înlocuirea aici pentru ne permite să obținem cea mai bună estimare, deoarece definiția (8.20) implică faptul că
Iată dovada:
(În acest calcul, ne bazăm pe independența observațiilor atunci când înlocuim cu )
În practică, pentru a evalua rezultatele unui experiment cu o variabilă aleatoare X, se calculează de obicei media empirică și deviația standard empirică și apoi se scrie răspunsul sub forma Iată, de exemplu, rezultatele aruncării unei perechi de zaruri, presupuse corecte.
Pot fi descrise și variabile aleatoare, pe lângă legile de distribuție caracteristici numerice .
așteptări matematice M (x) a unei variabile aleatoare se numește valoarea medie.
Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete se calculează prin formula
Unde – valorile unei variabile aleatoare, p eu- probabilitățile lor.
Luați în considerare proprietățile așteptărilor matematice:
1. Aşteptarea matematică a unei constante este egală cu constanta însăşi
2. Dacă o variabilă aleatoare este înmulțită cu un anumit număr k, atunci așteptarea matematică va fi înmulțită cu același număr
M (kx) = kM (x)
3. Așteptările matematice ale sumei variabilelor aleatoare este egală cu suma așteptărilor lor matematice
M (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d M (x 1) + M (x 2) + ... + M (x n)
4. M (x 1 - x 2) \u003d M (x 1) - M (x 2)
5. Pentru variabile aleatoare independente x 1 , x 2 , … x n așteptările matematice ale produsului sunt egale cu produsul așteptărilor lor matematice
M (x 1, x 2, ... x n) \u003d M (x 1) M (x 2) ... M (x n)
6. M (x - M (x)) \u003d M (x) - M (M (x)) \u003d M (x) - M (x) \u003d 0
Să calculăm așteptările matematice pentru variabila aleatoare din Exemplul 11.
M(x) == 
.
Exemplul 12. Fie variabilele aleatoare x 1 , x 2 date de legile distribuției, respectiv:
x 1 Tabelul 2
x 2 Tabelul 3
Calculați M (x 1) și M (x 2)
M (x 1) \u003d (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 \u003d 0
M (x 2) \u003d (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 \u003d 0
Așteptările matematice ale ambelor variabile aleatoare sunt aceleași - sunt egale cu zero. Cu toate acestea, distribuția lor este diferită. Dacă valorile lui x 1 diferă puțin de așteptările lor matematice, atunci valorile lui x 2 diferă într-o mare măsură de așteptările lor matematice, iar probabilitățile unor astfel de abateri nu sunt mici. Aceste exemple arată că este imposibil să se determine din valoarea medie ce abateri de la aceasta au loc atât în sus, cât și în jos. Deci cu acelasi lucru in medie Precipitațiile anuale din două localități nu se pot spune că sunt la fel de favorabile muncii agricole. La fel, din punct de vedere al mediei salariile nu se poate judeca gravitație specifică muncitori cu salarii mari si slabi. Prin urmare, se introduce o caracteristică numerică - dispersie D(x) , care caracterizează gradul de abatere a unei variabile aleatoare de la valoarea medie a acesteia:
D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)
Dispersia este așteptarea matematică a abaterii pătrate a unei variabile aleatoare de la așteptarea matematică. Pentru o variabilă aleatorie discretă, varianța este calculată prin formula:
D(x)= 
= 
(3)
Din definiția varianței rezultă că D (x) 0.
Proprietăți de dispersie:
1. Dispersia constantei este zero
2. Dacă o variabilă aleatoare este înmulțită cu un număr k, atunci varianța este înmulțită cu pătratul acestui număr
D (kx) = k 2 D (x)
3. D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x)
4. Pentru variabile aleatoare independente pe perechi x 1 , x 2 , … x n varianța sumei este egală cu suma varianțelor.
D (x 1 + x 2 + ... + x n) = D (x 1) + D (x 2) + ... + D (x n)
Să calculăm varianța pentru variabila aleatoare din Exemplul 11.
Așteptarea matematică M (x) = 1. Prin urmare, conform formulei (3) avem:
D (x) \u003d (0 - 1) 2 1/4 + (1 - 1) 2 1/2 + (2 - 1) 2 1/4 \u003d 1 1/4 + 1 1/4 \u003d 1/2
Rețineți că este mai ușor să calculați varianța dacă folosim proprietatea 3:
D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x).
Să calculăm varianțele pentru variabile aleatoare x 1 , x 2 din Exemplul 12 folosind această formulă. Așteptările matematice ale ambelor variabile aleatoare sunt egale cu zero.
D (x 1) \u003d 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 \u003d 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 \u00304
D (x 2) \u003d (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 \u003d 240 +20 \u003d 260
Cu cât valoarea dispersiei este mai aproape de zero, cu atât este mai mică răspândirea variabilei aleatoare în raport cu valoarea medie.
Valoarea este numită deviație standard. Moda aleatoare X tip discret Md este valoarea variabilei aleatoare, care corespunde cu cea mai mare probabilitate.
Moda aleatoare X tip continuu Md, este un număr real definit ca punctul maxim al densității distribuției de probabilitate f(x).
Mediana unei variabile aleatoare X tip continuu Mn este un număr real care satisface ecuația
Așteptarea matematică (valoarea medie) a unei variabile aleatoare X , dată pe un spațiu de probabilitate discret, este numărul m =M[X]=∑x i p i , dacă seria converge absolut.
Atribuirea serviciului. Cu un serviciu online se calculează așteptările matematice, varianța și abaterea standard(vezi exemplu). În plus, este reprezentat grafic un grafic al funcției de distribuție F(X).
Proprietăți ale așteptării matematice a unei variabile aleatoare
- Valorea estimata valoare constantă egal cu sine: M[C]=C , C este o constantă;
- M=C M[X]
- Așteptările matematice ale sumei variabilelor aleatoare este egală cu suma așteptărilor lor matematice: M=M[X]+M[Y]
- Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice: M=M[X] M[Y] dacă X și Y sunt independenți.
Proprietăți de dispersie
- Dispersia unei valori constante este egală cu zero: D(c)=0.
- Factorul constant poate fi scos de sub semnul de dispersie prin pătratul: D(k*X)= k 2 D(X).
- Dacă variabilele aleatoare X și Y sunt independente, atunci varianța sumei este egală cu suma varianțelor: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Dacă variabilele aleatoare X și Y sunt dependente: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Pentru varianță, formula de calcul este valabilă:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Exemplu. Sunt cunoscute așteptările și variațiile matematice ale a două variabile aleatoare independente X și Y: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Aflați așteptarea și varianța matematică a variabilei aleatoare Z=9X-8Y+7 .
Soluţie. Pe baza proprietăților așteptărilor matematice: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Pe baza proprietăților de dispersie: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Algoritm pentru calcularea așteptării matematice
Proprietăți ale variabilelor aleatoare discrete: toate valorile lor pot fi renumerotate numere naturale; Atribuiți fiecărei valori o probabilitate diferită de zero.- Înmulțiți perechile unul câte unul: x i cu p i .
- Adunăm produsul fiecărei perechi x i p i .
De exemplu, pentru n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Exemplul #1.
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| pi | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Așteptările matematice se găsesc prin formula m = ∑x i p i .
Așteptări matematice M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Dispersia se găsește prin formula d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Dispersia D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Abaterea standard σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78
Exemplul #2. O variabilă aleatorie discretă are următoarea serie de distribuție:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | A | 0,32 | 2A | 0,41 | 0,03 |
Soluţie. Valoarea a se găsește din relația: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 sau 0,24=3 a , de unde a = 0,08
Exemplul #3. Determinați legea distribuției unei variabile aleatoare discrete dacă varianța ei este cunoscută și x 1
p1 = 0,3; p2=0,3; p3=0,1; p 4 \u003d 0,3
d(x)=12,96
Soluţie.
Aici trebuie să faceți o formulă pentru a găsi varianța d (x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
unde așteptarea m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Pentru datele noastre
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
sau -9/100 (x 2 -20x+96)=0
În consecință, este necesar să găsiți rădăcinile ecuației și vor fi două dintre ele.
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
O alegem pe cea care îndeplinește condiția x 1
Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete
x 1 =6; x2=9; x 3 \u003d 12; x4=15
p1 = 0,3; p2=0,3; p3=0,1; p 4 \u003d 0,3
Așteptările și varianța matematică sunt caracteristicile numerice cele mai frecvent utilizate ale unei variabile aleatorii. Ele caracterizează cele mai importante trăsături ale distribuției: poziția sa și gradul de dispersie. În multe probleme de practică, o descriere completă, exhaustivă a unei variabile aleatoare - legea distribuției - fie nu poate fi obținută deloc, fie nu este deloc necesară. În aceste cazuri, ele sunt limitate la o descriere aproximativă a unei variabile aleatoare folosind caracteristici numerice.
Așteptările matematice sunt adesea denumite pur și simplu valoarea medie a unei variabile aleatorii. Dispersia unei variabile aleatoare este o caracteristică a dispersiei, dispersia unei variabile aleatoare în jurul așteptărilor sale matematice.
Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete
Să abordăm conceptul de așteptare matematică, pornind mai întâi de la interpretarea mecanică a distribuției unei variabile aleatoare discrete. Fie ca unitatea de masă să fie distribuită între punctele axei x X1 , X 2 , ..., X n, iar fiecare punct material are o masă corespunzătoare din p1 , p 2 , ..., p n. Este necesar să alegeți un punct pe axa x, care caracterizează poziția întregului sistem de puncte materiale, ținând cont de masele acestora. Este firesc să luăm ca un astfel de punct centrul de masă al sistemului de puncte materiale. Aceasta este media ponderată a variabilei aleatoare X, în care abscisa fiecărui punct Xi intră cu o „pondere” egală cu probabilitatea corespunzătoare. Valoarea medie a variabilei aleatoare astfel obţinută X se numește așteptarea sa matematică.
Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete este suma produselor tuturor valorilor sale posibile și probabilitățile acestor valori:
Exemplul 1 A fost organizată o loterie win-win. Există 1000 de câștiguri, dintre care 400 sunt de 10 ruble fiecare. 300 - 20 de ruble fiecare 200 - 100 de ruble fiecare. și 100 - 200 de ruble fiecare. Care este câștigul mediu pentru o persoană care cumpără un bilet?
Soluţie. Vom găsi câștigul mediu dacă suma totală de câștiguri, care este egală cu 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 de ruble, este împărțită la 1000 (suma totală a câștigurilor). Apoi obținem 50000/1000 = 50 de ruble. Dar expresia pentru calcularea câștigului mediu poate fi reprezentată și în următoarea formă:
Pe de altă parte, în aceste condiții, valoarea câștigurilor este o variabilă aleatorie care poate lua valori de 10, 20, 100 și 200 de ruble. cu probabilități egale cu 0,4, respectiv; 0,3; 0,2; 0,1. Prin urmare, câștigul mediu așteptat este egal cu suma produselor mărimii plăților și probabilitatea de a le primi.
Exemplul 2 Editura a decis să publice o nouă carte. El va vinde cartea cu 280 de ruble, din care 200 îi vor fi date lui, 50 librăriei și 30 autorului. Tabelul oferă informații despre costul publicării unei cărți și probabilitatea de a vinde un anumit număr de exemplare ale cărții.
Găsiți profitul așteptat al editorului.
Soluţie. Variabila aleatoare „profit” este egală cu diferența dintre venitul din vânzare și costul costurilor. De exemplu, dacă se vând 500 de exemplare ale unei cărți, atunci venitul din vânzare este de 200 * 500 = 100.000, iar costul publicării este de 225.000 de ruble. Astfel, editorul se confruntă cu o pierdere de 125.000 de ruble. Următorul tabel rezumă valorile așteptate ale variabilei aleatoare - profit:
| Număr | Profit Xi | Probabilitate pi | Xi p i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Total: | 1,00 | 25000 |
Astfel, obținem așteptarea matematică a profitului editorului:
.
Exemplul 3Șansa de a lovi cu o lovitură p= 0,2. Determinați consumul de cochilii care oferă așteptarea matematică a numărului de lovituri egal cu 5.
Soluţie. Din aceeași formulă de așteptare pe care am folosit-o până acum, ne exprimăm X- consumul de scoici:
.
Exemplul 4 Determinați așteptările matematice ale unei variabile aleatorii X numărul de lovituri cu trei lovituri, dacă probabilitatea de a lovi cu fiecare lovitură p = 0,4 .
Sugestie: găsiți probabilitatea valorilor unei variabile aleatoare prin formula Bernoulli .
Proprietăți de așteptare
Luați în considerare proprietățile așteptărilor matematice.
Proprietatea 1. Așteptarea matematică a unei constante este egală cu această constantă:
Proprietatea 2. Factorul constant poate fi scos din semnul așteptării:
Proprietatea 3. Așteptările matematice ale sumei (diferenței) variabilelor aleatoare sunt egale cu suma (diferenței) așteptărilor lor matematice:
Proprietatea 4. Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare sunt egale cu produsul așteptărilor lor matematice:
Proprietatea 5. Dacă toate valorile variabilei aleatoare X scade (creste) cu acelasi numar CU, atunci așteptarea sa matematică va scădea (crește) cu același număr:
Când nu poți fi limitat doar la așteptări matematice
În cele mai multe cazuri, doar așteptarea matematică nu poate caracteriza în mod adecvat o variabilă aleatoare.
Să fie variabile aleatoare XȘi Y sunt date de următoarele legi de distribuție:
| Sens X | Probabilitate |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Sens Y | Probabilitate |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Așteptările matematice ale acestor mărimi sunt aceleași - egale cu zero:
Cu toate acestea, distribuția lor este diferită. Valoare aleatoare X poate lua doar valori care sunt puțin diferite de așteptările matematice și de variabila aleatoare Y poate lua valori care se abat semnificativ de la așteptările matematice. Un exemplu asemănător: salariul mediu nu permite judecarea proporției lucrătorilor cu plăți mari și slabi. Cu alte cuvinte, prin așteptarea matematică nu se poate judeca ce abateri de la ea, cel puțin în medie, sunt posibile. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți varianța unei variabile aleatoare.
Dispersia unei variabile aleatoare discrete
dispersie variabilă aleatoare discretă X se numește așteptarea matematică a pătratului abaterii sale de la așteptarea matematică:
Abaterea standard a unei variabile aleatoare X este valoarea aritmetică a rădăcinii pătrate a varianței sale:
.
Exemplul 5 Calculați variațiile și abaterile standard ale variabilelor aleatoare XȘi Y, ale căror legi de distribuție sunt date în tabelele de mai sus.
Soluţie. Așteptări matematice ale variabilelor aleatoare XȘi Y, așa cum a fost găsit mai sus, sunt egale cu zero. Conform formulei de dispersie pentru E(X)=E(y)=0 obținem:
Apoi abaterile standard ale variabilelor aleatoare XȘi Y constitui
.
Astfel, cu aceleași așteptări matematice, varianța variabilei aleatoare X foarte mici și aleatorii Y- semnificativă. Aceasta este o consecință a diferenței de distribuție a acestora.
Exemplul 6 Investitorul are 4 proiecte alternative de investiții. Tabelul rezumă datele privind profitul așteptat în aceste proiecte cu probabilitatea corespunzătoare.
| Proiectul 1 | Proiectul 2 | Proiectul 3 | Proiectul 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Găsiți pentru fiecare alternativă așteptările matematice, varianța și abaterea standard.
Soluţie. Să arătăm cum se calculează aceste cantități pentru a treia alternativă:
Tabelul rezumă valorile găsite pentru toate alternativele.
Toate alternativele au aceleași așteptări matematice. Asta înseamnă că, pe termen lung, toată lumea are același venit. Abaterea standard poate fi interpretată ca o măsură a riscului - cu cât este mai mare, cu atât este mai mare riscul investiției. Un investitor care nu dorește riscuri mari va alege proiectul 1 deoarece are cea mai mică abatere standard (0). Dacă investitorul preferă riscul și randamentele mari într-o perioadă scurtă, atunci va alege proiectul cu cea mai mare abatere standard - proiectul 4.
Proprietăți de dispersie
Să prezentăm proprietățile dispersiei.
Proprietatea 1. Dispersia unei valori constante este zero:
Proprietatea 2. Factorul constant poate fi scos din semnul de dispersie prin pătratul:
.
Proprietatea 3. Varianta unei variabile aleatoare este egală cu așteptarea matematică a pătratului acestei valori, din care se scade pătratul așteptării matematice a valorii în sine:
,
Unde 
.
Proprietatea 4. Varianta sumei (diferenței) variabilelor aleatoare este egală cu suma (diferenței) varianțelor acestora:
Exemplul 7 Se știe că o variabilă aleatoare discretă X ia doar două valori: −3 și 7. În plus, așteptarea matematică este cunoscută: E(X) = 4 . Aflați varianța unei variabile aleatoare discrete.
Soluţie. Notează prin p probabilitatea cu care o variabilă aleatorie ia o valoare X1 = −3 . Apoi probabilitatea valorii X2 = 7 va fi 1 − p. Să derivăm ecuația pentru așteptările matematice:
E(X) = X 1 p + X 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,
de unde obținem probabilitățile: p= 0,3 și 1 − p = 0,7 .
Legea distribuției unei variabile aleatoare:
| X | −3 | 7 |
| p | 0,3 | 0,7 |
Calculăm varianța acestei variabile aleatoare folosind formula de la proprietatea 3 a varianței:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Găsiți singur așteptările matematice ale unei variabile aleatoare și apoi vedeți soluția
Exemplul 8 Variabilă aleatorie discretă X ia doar două valori. Se ia valoarea mai mare de 3 cu o probabilitate de 0,4. În plus, este cunoscută varianța variabilei aleatoare D(X) = 6 . Aflați așteptările matematice ale unei variabile aleatoare.
Exemplul 9 O urna contine 6 bile albe si 4 negre. Din urnă se iau 3 bile. Numărul de bile albe dintre bilele extrase este o variabilă aleatorie discretă X. Găsiți așteptările matematice și varianța acestei variabile aleatoare.
Soluţie. Valoare aleatoare X poate lua valorile 0, 1, 2, 3. Probabilitățile corespunzătoare pot fi calculate din regula înmulțirii probabilităților. Legea distribuției unei variabile aleatoare:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
De aici așteptările matematice ale acestei variabile aleatoare:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Varianta unei variabile aleatoare date este:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Așteptările matematice și dispersia unei variabile aleatoare continue
Pentru o variabilă aleatoare continuă, interpretarea mecanică a așteptării matematice va păstra același sens: centrul de masă pentru o unitate de masă distribuită continuu pe axa x cu densitate. f(X). Spre deosebire de o variabilă aleatoare discretă, pentru care argumentul funcției Xi se modifică brusc, pentru o variabilă aleatoare continuă, argumentul se schimbă continuu. Dar așteptarea matematică a unei variabile aleatoare continue este, de asemenea, legată de valoarea medie a acesteia.
Pentru a găsi așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare continue, trebuie să găsiți integrale definite . Dacă este dată o funcție de densitate a unei variabile aleatoare continue, atunci aceasta intră direct în integrand. Dacă este dată o funcție de distribuție a probabilității, atunci prin diferențierea acesteia, trebuie să găsiți funcția de densitate.
Media aritmetică a tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare continue se numește ea așteptări matematice, notat cu sau .
După cum se știe deja, legea distribuției caracterizează complet o variabilă aleatoare. Totuși, legea distribuției este adesea necunoscută și trebuie să te limitezi la informații mai puține. Uneori este și mai profitabil să folosești numere care descriu o variabilă aleatoare în total; se numesc astfel de numere caracteristicile numerice ale unei variabile aleatorii. Așteptările matematice sunt una dintre caracteristicile numerice importante.
Așteptările matematice, așa cum se va arăta mai jos, este aproximativ egală cu valoarea medie a variabilei aleatoare. Pentru a rezolva multe probleme, este suficient să cunoașteți așteptările matematice. De exemplu, dacă se știe că așteptarea matematică a numărului de puncte marcate de primul trăgător este mai mare decât cea a celui de-al doilea, atunci primul trăgător, în medie, elimină mai multe puncte decât al doilea și, prin urmare, trage mai bine decât al doilea. Deși așteptarea matematică oferă mult mai puține informații despre o variabilă aleatoare decât legea distribuției acesteia, dar pentru rezolvarea unor probleme precum cea dată și multe altele, cunoașterea așteptării matematice este suficientă.
§ 2. Aşteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete
așteptări matematice O variabilă aleatorie discretă se numește suma produselor tuturor valorilor sale posibile și probabilitățile acestora.
Fie variabila aleatoare X poate lua doar valori X 1 , X 2 , ..., X P , ale căror probabilităţi sunt respectiv egale R 1 , R 2 , . . ., R P . Apoi așteptarea matematică M(X) variabilă aleatorie X este definit de egalitate
M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + X n p n .
Dacă o variabilă aleatoare discretă X atunci ia un set numărabil de valori posibile
M(X)=
în plus, așteptarea matematică există dacă seria de pe partea dreaptă a egalității converge absolut.
Cometariu. Din definiție rezultă că așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete este o variabilă non-aleatoare (constantă). Vă recomandăm să vă amintiți această afirmație, deoarece este folosită în mod repetat mai târziu. Mai târziu se va arăta că așteptarea matematică a unei variabile aleatoare continue este, de asemenea, o valoare constantă.
Exemplul 1 Aflați așteptările matematice ale unei variabile aleatoare X, cunoscând legea distribuției sale:
Soluţie. Așteptările matematice dorite sunt egale cu suma produselor tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatorii și probabilitățile acestora:
M(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.
Exemplul 2 Găsiți așteptarea matematică a numărului de apariții ale unui eveniment Aîntr-o singură încercare, dacă probabilitatea unui eveniment A este egal cu R.
Soluţie. Valoare aleatoare X - numărul de apariții ale evenimentului Aîntr-un singur test - poate lua doar două valori: X 1 = 1 (eveniment Aîntâmplat) cu o probabilitate RȘi X 2 = 0 (eveniment A nu a avut loc) cu o probabilitate q= 1 -R. Așteptările matematice dorite
M(X)= 1* p+ 0* q= p
Asa de, așteptarea matematică a numărului de apariții ale unui eveniment într-o încercare este egală cu probabilitatea acestui eveniment. Acest rezultat va fi folosit mai jos.
§ 3. Sensul probabilistic al așteptării matematice
Lăsați produs P teste în care variabila aleatoare X admis T 1 ori valoarea X 1 , T 2 ori valoarea X 2 ,...,m k ori valoarea X k , și T 1 + T 2 + …+t La = p. Apoi suma tuturor valorilor luate X, este egal cu
X 1 T 1 + X 2 T 2 + ... + X La T La .
Aflați media aritmetică 
dintre toate valorile acceptate ca variabilă aleatoare, pentru care împărțim suma găsită la numărul total de încercări:
=
(X 1 T 1
+
X 2 T 2 +
... +
X La T La)/P,
=
X 1
(m 1 /
n)
+
X 2
(m 2 /
n)
+ ... +
X La
(T La /P).
(*)
Observând că relația m 1 / n- frecventa relativa W 1 valorile X 1 , m 2 / n - frecventa relativa W 2 valorile X 2 etc., scriem relația (*) după cum urmează:
=X 1
W 1
+
X 2 W 2
+ ..
. + X La W k .
(**)
Să presupunem că numărul de încercări este suficient de mare. Atunci frecvența relativă este aproximativ egală cu probabilitatea de apariție a evenimentului (acest lucru va fi demonstrat în capitolul IX, § 6):
W 1
p 1 ,
W 2
p 2 ,
…,
W k
p k .
Înlocuind frecvențele relative în relația (**) cu probabilitățile corespunzătoare, obținem
X 1 p 1
+
X 2 R 2
+ … +
X La R La .
Partea dreaptă a acestei egalități aproximative este M(X). Asa de,
M(X).
Sensul probabilistic al rezultatului obținut este următorul: așteptarea matematică este aproximativ egală cu(cu cât este mai precis, cu atât este mai mare numărul de încercări) media aritmetică a valorilor observate ale variabilei aleatoare.
Observația 1. Este ușor de observat că așteptarea matematică este mai mare decât cea mai mică și mai mică decât cele mai mari valori posibile. Cu alte cuvinte, pe axa numerelor, valorile posibile sunt situate la stânga și la dreapta valorii așteptate. În acest sens, așteptarea caracterizează locația distribuției și, prin urmare, este adesea denumită centru de distributie.
Acest termen este împrumutat de la mecanică: dacă masele R 1 , R 2 , ..., R P situate în puncte cu abscise X 1 ,
X 2 ,
...,
X n, și 
apoi abscisa centrului de greutate
X c =
.
Dat fiind
=
M
(X)
Și 
primim M(X)= x Cu .
Deci, așteptarea matematică este abscisa centrului de greutate al unui sistem de puncte materiale, ale căror abscise sunt egale cu valorile posibile ale unei variabile aleatoare, iar masele sunt egale cu probabilitățile lor.
Observația 2. Originea termenului de „așteptare” este asociată cu perioada inițială a apariției teoriei probabilităților (secolele XVI-XVII), când sfera sa de aplicare se limita la jocurile de noroc. Jucătorul era interesat de valoarea medie a câștigului așteptat sau, cu alte cuvinte, așteptarea matematică a câștigului.