Definiția matematică a derivatei. Ce este o derivată Definiția și semnificația unei funcții derivate

Problema B9 oferă un grafic al unei funcții sau derivate din care trebuie să determinați una dintre următoarele mărimi:

1. Valoarea derivatei la un punct x 0,
2. Puncte maxime sau minime (puncte extreme),
3. Intervale de funcții crescătoare și descrescătoare (intervale de monotonitate).

Funcțiile și derivatele prezentate în această problemă sunt întotdeauna continue, făcând soluția mult mai ușoară. În ciuda faptului că sarcina aparține secțiunii analiză matematică, este destul de în competențele chiar și ale celor mai slabi studenți, deoarece aici nu sunt necesare cunoștințe teoretice profunde.

Pentru a găsi valoarea derivatei, punctelor extreme și a intervalelor de monotonitate, există algoritmi simpli și universali - toți vor fi discutați mai jos.

Citiți cu atenție condițiile problemei B9 pentru a nu face greșeli stupide: uneori dați peste texte destul de lungi, dar conditii importante, care influențează cursul deciziei, sunt puține.

Calculul valorii derivate. Metoda în două puncte

Dacă problemei i se dă un grafic al unei funcții f(x), tangentă la acest grafic la un punct x 0 și este necesar să se găsească valoarea derivatei în acest punct, se aplică următorul algoritm:

1. Găsiți două puncte „adecvate” pe graficul tangentei: coordonatele lor trebuie să fie întregi. Să notăm aceste puncte ca A (x 1 ; y 1) și B (x 2 ; y 2). Notați corect coordonatele - acesta este un punct cheie în soluție și orice greșeală aici va duce la un răspuns incorect.
2. Cunoscând coordonatele, este ușor de calculat incrementul argumentului Δx = x 2 − x 1 și incrementul funcției Δy = y 2 − y 1 .
3. În final, găsim valoarea derivatei D = Δy/Δx. Cu alte cuvinte, trebuie să împărțiți incrementul funcției cu incrementul argumentului - și acesta va fi răspunsul.

Să remarcăm încă o dată: punctele A și B trebuie căutate exact pe tangentă, și nu pe graficul funcției f(x), așa cum se întâmplă adesea. Linia tangentă va conține în mod necesar cel puțin două astfel de puncte - altfel problema nu va fi formulată corect.

Luați în considerare punctele A (−3; 2) și B (−1; 6) și găsiți incrementele:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Să aflăm valoarea derivatei: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al funcției y = f(x) și o tangentă la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x 0 .

Luați în considerare punctele A (0; 3) și B (3; 0), găsiți incrementele:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Acum găsim valoarea derivatei: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al funcției y = f(x) și o tangentă la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x 0 .

Luați în considerare punctele A (0; 2) și B (5; 2) și găsiți incrementele:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Rămâne de găsit valoarea derivatei: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Din ultimul exemplu, putem formula o regulă: dacă tangenta este paralelă cu axa OX, derivata funcției în punctul de tangență este zero. În acest caz, nici măcar nu trebuie să numărați nimic - doar uitați-vă la grafic.

Calculul punctelor maxime și minime

Uneori, în loc de graficul unei funcții, problema B9 oferă un grafic al derivatei și necesită găsirea punctului maxim sau minim al funcției. În această situație, metoda în două puncte este inutilă, dar există un alt algoritm și mai simplu. Mai întâi, să definim terminologia:

1. Punctul x 0 se numește punctul maxim al funcției f(x) dacă în vreo vecinătate a acestui punct este valabilă următoarea inegalitate: f(x 0) ≥ f(x).
2. Punctul x 0 se numește punctul minim al funcției f(x) dacă într-o vecinătate a acestui punct este valabilă următoarea inegalitate: f(x 0) ≤ f(x).

Pentru a găsi punctele maxime și minime din graficul derivat, trebuie doar să urmați acești pași:

1. Redesenați graficul derivat, eliminând toate informațiile inutile. După cum arată practica, datele inutile doar interferează cu decizia. Prin urmare, marchem zerourile derivatei pe axa de coordonate - și asta este tot.
2. Aflați semnele derivatei pe intervalele dintre zerouri. Dacă pentru un punct x 0 se știe că f'(x 0) ≠ 0, atunci sunt posibile doar două opțiuni: f'(x 0) ≥ 0 sau f'(x 0) ≤ 0. Semnul derivatei este ușor de determinat din desenul original: dacă graficul derivat se află deasupra axei OX, atunci f'(x) ≥ 0. Și invers, dacă graficul derivat se află sub axa OX, atunci f'(x) ≤ 0.
3. Verificăm din nou zerourile și semnele derivatei. Acolo unde semnul se schimbă de la minus la plus este punctul minim. În schimb, dacă semnul derivatei se schimbă de la plus la minus, acesta este punctul maxim. Numărarea se face întotdeauna de la stânga la dreapta.

Această schemă funcționează numai pentru funcții continue - nu există altele în problema B9.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−5; 5]. Aflați punctul minim al funcției f(x) pe acest segment.

Să scăpăm de informațiile inutile și să lăsăm doar granițele [−5; 5] și zerourile derivatei x = −3 și x = 2,5. De asemenea, notăm semnele:

Evident, în punctul x = −3 semnul derivatei se schimbă din minus în plus. Acesta este punctul minim.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−3; 7]. Aflați punctul maxim al funcției f(x) pe acest segment.

Să redesenăm graficul, lăsând doar limitele [−3; 7] și zerourile derivatei x = −1,7 și x = 5. Să notăm semnele derivatei pe graficul rezultat. Avem:

Evident, în punctul x = 5 semnul derivatei se schimbă de la plus la minus - acesta este punctul maxim.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x), definită pe intervalul [−6; 4]. Aflați numărul de puncte maxime ale funcției f(x) aparținând segmentului [−4; 3].

Din condițiile problemei rezultă că este suficient să se considere doar partea din grafic limitată de segmentul [−4; 3]. Prin urmare, construim un nou grafic pe care marchem doar granițele [−4; 3] și zerourile derivatei din interiorul acesteia. Și anume, punctele x = −3,5 și x = 2. Se obține:

Pe acest grafic există un singur punct maxim x = 2. În acest punct semnul derivatei se schimbă de la plus la minus.

O mică notă despre punctele cu coordonate care nu sunt întregi. De exemplu, în ultima problemă a fost considerat punctul x = −3,5, dar cu același succes putem lua x = −3,4. Dacă problema este compilată corect, astfel de modificări nu ar trebui să afecteze răspunsul, deoarece punctele „fără un loc fix de reședință” nu participă direct la rezolvarea problemei. Desigur, acest truc nu va funcționa cu puncte întregi.

Găsirea intervalelor de funcții crescătoare și descrescătoare

Într-o astfel de problemă, precum punctele maxime și minime, se propune utilizarea graficului derivat pentru a găsi zone în care funcția în sine crește sau scade. Mai întâi, să definim ce sunt creșterea și descreșterea:

1. Se spune că o funcție f(x) este în creștere pe un segment dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 din acest segment este adevărată următoarea afirmație: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Cu alte cuvinte, cu cât valoarea argumentului este mai mare, cu atât valoarea funcției este mai mare.
2. Se spune că o funcție f(x) este descrescătoare pe un segment dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 din acest segment este adevărată următoarea afirmație: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . Acestea. valoare mai mare argumentul corespunde valorii mai mici a funcției.

Să formulăm condiții suficiente pentru creștere și scădere:

1. Pentru a functie continua f(x) crește pe segment , este suficient ca derivata sa în interiorul segmentului să fie pozitivă, adică. f’(x) ≥ 0.
2. Pentru ca o funcție continuă f(x) să scadă pe segment, este suficient ca derivata ei în interiorul segmentului să fie negativă, i.e. f’(x) ≤ 0.

Să acceptăm aceste afirmații fără dovezi. Astfel, obținem o schemă pentru găsirea intervalelor de creștere și descreștere, care este în multe privințe similară cu algoritmul de calcul al punctelor extreme:

1. Eliminați toate informațiile inutile. În graficul original al derivatei, ne interesează în primul rând zerourile funcției, așa că le vom lăsa doar pe acestea.
2. Marcați semnele derivatei la intervalele dintre zerouri. Unde f’(x) ≥ 0, funcția crește, iar unde f’(x) ≤ 0, ea scade. Dacă problema stabilește restricții asupra variabilei x, le marchem suplimentar pe un nou grafic.
3. Acum că știm comportamentul funcției și constrângerile, rămâne de calculat cantitatea necesară în problemă.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−3; 7,5]. Aflați intervalele de scădere ale funcției f(x). În răspunsul dvs., indicați suma numerelor întregi incluse în aceste intervale.

Ca de obicei, să redesenăm graficul și să marchem limitele [−3; 7.5], precum și zerourile derivatei x = −1.5 și x = 5.3. Apoi notăm semnele derivatei. Avem:

Deoarece derivata este negativă pe intervalul (− 1,5), acesta este intervalul funcției descrescătoare. Rămâne să însumăm toate numerele întregi care se află în acest interval:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x), definită pe intervalul [−10; 4]. Aflați intervalele de creștere ale funcției f(x). În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre ele.

Să scăpăm de informațiile inutile. Să lăsăm doar limitele [−10; 4] și zerourile derivatei, dintre care au fost patru de data aceasta: x = −8, x = −6, x = −3 și x = 2. Să marchem semnele derivatei și să obținem următoarea imagine:

Suntem interesați de intervalele funcției crescătoare, i.e. astfel unde f’(x) ≥ 0. Există două astfel de intervale pe grafic: (−8; −6) și (−3; 2). Să le calculăm lungimile:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Deoarece trebuie să găsim lungimea celui mai mare dintre intervale, notăm valoarea l 2 = 5 ca răspuns.

Conținutul articolului

DERIVAT– derivata functiei y = f(X), dat pe un anumit interval ( A, b) la un moment dat X a acestui interval se numește limita la care tinde raportul de creștere a funcției fîn acest moment la incrementul corespunzător al argumentului când incrementul argumentului tinde spre zero.

Derivatul este de obicei notat după cum urmează:

Alte denumiri sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă:

Viteza instantanee.

Lasă punctul M se mișcă în linie dreaptă. Distanţă s punct de mișcare, numărat dintr-o poziție inițială M 0 , depinde de timp t, adică s există o funcție a timpului t: s= f(t). Lasă la un moment dat t punct de mișcare M era la distanta s din pozitia de start M 0 și într-un moment următor t+D t s-a trezit într-o poziție M 1 - la distanta s+D s din pozitia initiala ( vezi poza.).

Astfel, pe o perioadă de timp D t distanţă s modificat cu suma D s. În acest caz, ei spun că în intervalul de timp D t magnitudinea s a primit sporul D s.

Viteza medie nu poate caracteriza în toate cazurile cu exactitate viteza de mișcare a unui punct M la un moment dat t. Dacă, de exemplu, corpul la începutul intervalului D t s-a mișcat foarte repede, iar la sfârșit foarte încet, apoi viteza medie nu va putea reflecta caracteristici specificate mișcarea unui punct și oferă o idee despre adevărata viteză a mișcării acestuia în acest moment t. Pentru a exprima mai precis viteza reală folosind viteza medie, trebuie să luați o perioadă mai scurtă de timp D t. Cel mai pe deplin caracterizează viteza de mișcare a unui punct în acest moment t limita la care tinde viteza medie la D t® 0. Această limită se numește viteza de deplasare în acest moment:

Astfel, viteza de mișcare la un moment dat se numește limita raportului de creștere a traseului D s la incrementul de timp D t, când incrementul de timp tinde spre zero. Deoarece

Sensul geometric al derivatului. Tangenta la graficul unei functii.

Construcția liniilor tangente este una dintre acele probleme care au dus la nașterea calculului diferențial. Prima lucrare publicată legată de calculul diferenţial, scrisă de Leibniz, a fost intitulată Metodă nouă maximele și minimele, precum și tangentele, pentru care nici mărimile fracționale, nici iraționale și un tip special de calcul pentru aceasta nu servesc drept obstacol.

Fie curba graficul funcției y =f(X) într-un sistem de coordonate dreptunghiular ( cm. orez.).

La o oarecare valoare X funcția contează y =f(X). Aceste valori XȘi y punctul de pe curbă corespunde M 0(X, y). Dacă argumentul X da increment D X, apoi noua valoare a argumentului X+D X corespunde noii valori ale funcției y+ D y = f(X + D X). Punctul corespunzător al curbei va fi punctul M 1(X+D X,y+D y). Dacă desenezi o secantă M 0M 1 și notat cu j unghiul format de o transversală cu direcția pozitivă a axei Bou, reiese imediat din figură că .

Daca acum D X tinde spre zero, apoi punctul M 1 se deplasează de-a lungul curbei, apropiindu-se de punct M 0 și unghi j schimbari cu D X. La Dx® 0 unghiul j tinde spre o anumită limită a şi dreapta care trece prin punct M 0 și componenta cu direcția pozitivă a axei x, unghiul a, va fi tangenta dorită. Panta sa este:

Prin urmare, f´( X) = tga

acestea. valoare derivată f´( X) la valoare dată argument X este egal cu tangenta unghiului format de tangenta la graficul functiei f(X) în punctul corespunzător M 0(X,y) cu direcția pozitivă a axei Bou.

Diferențiabilitatea funcțiilor.

Definiție. Dacă funcţia y = f(X) are o derivată la punct X = X 0, atunci funcția este diferențiabilă în acest moment.

Continuitatea unei funcții având o derivată. Teorema.

Dacă funcţia y = f(X) este diferențiabilă la un moment dat X = X 0, atunci este continuă în acest moment.

Astfel, funcția nu poate avea o derivată la punctele de discontinuitate. Concluzia opusă este incorectă, adică. din faptul că la un moment dat X = X 0 functie y = f(X) este continuă nu înseamnă că este diferențiabilă în acest moment. De exemplu, funcția y = |X| continuă pentru toată lumea X(–Ґ x x = 0 nu are derivată. În acest moment nu există tangentă la grafic. Există o tangentă dreaptă și una stângă, dar nu coincid.

Câteva teoreme asupra funcţiilor diferenţiabile. Teoremă asupra rădăcinilor derivatei (teorema lui Rolle). Dacă funcţia f(X) este continuă pe segment [A,b], este diferențiabilă în toate punctele interioare ale acestui segment și la capete X = AȘi X = b merge la zero ( f(A) = f(b) = 0), apoi în interiorul segmentului [ A,b] există cel puțin un punct X= Cu, A c b, în ​​care derivata fў( X) merge la zero, adică fў( c) = 0.

Teorema incrementului finit (teorema lui Lagrange). Dacă funcţia f(X) este continuă pe intervalul [ A, b] și este diferențiabilă în toate punctele interioare ale acestui segment, apoi în interiorul segmentului [ A, b] există cel puțin un punct Cu, A c b că

f(b) – f(A) = fў( c)(b– A).

Teoremă privind raportul incrementelor a două funcții (teorema lui Cauchy). Dacă f(X) Și g(X) – două funcții continue pe segment [A, b] și diferențiabilă în toate punctele interioare ale acestui segment și gў( X) nu dispare nicăieri în interiorul acestui segment, apoi în interiorul segmentului [ A, b] există un astfel de punct X = Cu, A c b că

Derivate de diverse ordine.

Lasă funcția y =f(X) este diferențiabilă pe un anumit interval [ A, b]. Valori derivate f ў( X), în general, depind de X, adică derivat f ў( X) este, de asemenea, o funcție a X. La diferențierea acestei funcție, obținem așa-numita derivată a doua a funcției f(X), care este notat f ўў ( X).

Derivat n- al-lea ordin al funcției f(X) se numește derivată (de ordinul întâi) a derivatei n- 1- th și este notat cu simbolul y(n) = (y(n– 1))ў.

Diferențiale de diverse ordine.

Diferenţial de funcţie y = f(X), Unde X– variabilă independentă, da dy = f ў( X)dx, unele functii de la X, dar din X numai primul factor poate depinde f ў( X), al doilea factor ( dx) este incrementul variabilei independente Xși nu depinde de valoarea acestei variabile. Deoarece dy există o funcție de la X, atunci putem determina diferența acestei funcții. Diferenţialul diferenţialului unei funcţii se numeşte a doua diferenţială sau diferenţială de ordinul doi a acestei funcţii şi se notează d 2y:

d(dx) = d 2y = f ўў( X)(dx) 2 .

Diferenţial n- de ordinul întâi se numeşte prima diferenţială a diferenţialului n- 1- comanda:

d n y = d(d n–1y) = f(n)(X)dx(n).

Derivată parțială.

Dacă o funcție depinde nu de unul, ci de mai multe argumente x i(i variază de la 1 la n,i= 1, 2,… n),f(X 1,X 2,… x n), apoi în calculul diferenţial este introdus conceptul de derivată parţială, care caracterizează rata de modificare a unei funcţii a mai multor variabile atunci când se modifică un singur argument, de exemplu, x i. Derivată parțială de ordinul I cu privire la x i este definită ca o derivată obișnuită și se presupune că toate argumentele cu excepția x i, păstrați valori constante. Pentru derivatele parțiale se introduce notația

Derivatele parțiale de ordinul 1 definite în acest fel (ca funcții ale acelorași argumente) pot avea, la rândul lor, și derivate parțiale, acestea sunt derivate parțiale de ordinul doi etc. Astfel de derivate luate din argumente diferite se numesc mixte. Derivatele mixte continue de același ordin nu depind de ordinea diferențierii și sunt egale între ele.

Anna Chugainova

Derivatul unei funcții este unul dintre subiectele dificile din programa școlară. Nu fiecare absolvent va răspunde la întrebarea ce este un derivat.

Acest articol explică într-un mod simplu și clar ce este un derivat și de ce este necesar.. Nu ne vom strădui acum pentru rigoare matematică în prezentare. Cel mai important lucru este să înțelegeți sensul.

Să ne amintim definiția:

Derivata este rata de schimbare a unei functii.

Figura prezintă grafice a trei funcții. Care crezi că crește mai repede?

Răspunsul este evident - al treilea. Are cea mai mare rată de schimbare, adică cea mai mare derivată.

Iată un alt exemplu.

Kostya, Grisha și Matvey au primit locuri de muncă în același timp. Să vedem cum s-au schimbat veniturile lor în cursul anului:

Graficul arată totul deodată, nu-i așa? Venitul lui Kostya s-a dublat în șase luni. Și venitul lui Grisha a crescut, dar doar puțin. Și venitul lui Matvey a scăzut la zero. Condițiile de pornire sunt aceleași, dar rata de schimbare a funcției, adică derivat, - diferit. În ceea ce privește Matvey, derivatul său de venit este în general negativ.

Intuitiv, estimăm cu ușurință rata de schimbare a unei funcții. Dar cum facem asta?

Ceea ce ne uităm cu adevărat este cât de abrupt urcă (sau jos) graficul unei funcții. Cu alte cuvinte, cât de repede se schimbă y pe măsură ce x se schimbă? Evident, aceeași funcție în puncte diferite poate avea o valoare derivată diferită - adică se poate schimba mai repede sau mai lent.

Derivata unei functii se noteaza .

Vă vom arăta cum să-l găsiți folosind un grafic.

A fost desenat un grafic al unei anumite funcții. Să luăm un punct cu o abscisă pe el. Să desenăm o tangentă la graficul funcției în acest punct. Vrem să estimăm cât de abrupt crește graficul funcției. O valoare convenabilă pentru aceasta este tangenta unghiului tangentei.

Derivata unei functii intr-un punct este egala cu tangentei unghiului tangentei desenat la graficul functiei in acest punct.

Vă rugăm să rețineți că ca unghi de înclinare al tangentei luăm unghiul dintre tangentă și direcția pozitivă a axei.

Uneori, elevii întreabă ce este o tangentă la graficul unei funcții. Aceasta este o linie dreaptă care are un singur punct comun cu graficul din această secțiune și așa cum se arată în figura noastră. Arată ca o tangentă la un cerc.

Să-l găsim. Ne amintim că tangenta unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este egală cu raportul dintre latura opusă și latura adiacentă. Din triunghi:

Am găsit derivata folosind un grafic fără să știm măcar formula funcției. Astfel de probleme se găsesc adesea în examenul de stat unificat la matematică sub numărul.

Există o altă relație importantă. Amintiți-vă că linia dreaptă este dată de ecuație

Mărimea din această ecuație se numește panta unei drepte. Este egală cu tangenta unghiului de înclinare a dreptei la axă.

.

Înțelegem asta

Să ne amintim această formulă. Exprimă semnificația geometrică a derivatei.

Derivata functiei intr-un punct este egala cu pantă tangenta trasata la graficul functiei in acest punct.

Cu alte cuvinte, derivata este egală cu tangentei unghiului tangentei.

Am spus deja că aceeași funcție poate avea derivate diferite în puncte diferite. Să vedem cum este legată derivata de comportamentul funcției.

Să desenăm un grafic al unei funcții. Lăsați această funcție să crească în unele zone și să scadă în altele și în ritmuri diferite. Și lasă această funcție să aibă puncte maxime și minime.

La un moment dat funcția crește. O tangentă la graficul desenat într-un punct formează un unghi ascuțit; cu direcția pozitivă a axei. Aceasta înseamnă că derivata din punct este pozitivă.

În momentul în care funcția noastră scade. Tangenta în acest punct formează un unghi obtuz; cu direcția pozitivă a axei. Din moment ce tangentă unghi obtuz este negativă, în punctul în care derivata este negativă.

Iată ce se întâmplă:

Dacă o funcție este în creștere, derivata ei este pozitivă.

Dacă scade, derivata sa este negativă.

Ce se va întâmpla la punctele maxime și minime? Vedem ca in punctele (punctul maxim) si (punctul minim) tangenta este orizontala. Prin urmare, tangentei tangentei în aceste puncte este zero, iar derivata este, de asemenea, zero.

Punct - punct maxim. În acest moment, creșterea funcției este înlocuită cu o scădere. În consecință, semnul derivatei se schimbă în punctul „plus” în „minus”.

În punctul - punctul minim - derivata este, de asemenea, zero, dar semnul său se schimbă de la „minus” la „plus”.

Concluzie: folosind derivata putem afla tot ce ne intereseaza despre comportamentul unei functii.

Dacă derivata este pozitivă, atunci funcția crește.

Dacă derivata este negativă, atunci funcția scade.

În punctul maxim, derivata este zero și își schimbă semnul din „plus” în „minus”.

La punctul minim, derivata este, de asemenea, zero și își schimbă semnul din „minus” în „plus”.

Să scriem aceste concluzii sub forma unui tabel:

Să facem două mici precizări. Veți avea nevoie de unul dintre ele când rezolvați problema. Un altul - în primul an, cu un studiu mai serios al funcțiilor și derivatelor.

Este posibil ca derivata unei funcții la un moment dat să fie egală cu zero, dar funcția nu are nici un maxim, nici un minim în acest punct. Acesta este așa-numitul :

Într-un punct, tangenta la grafic este orizontală, iar derivata este zero. Cu toate acestea, înainte de punct funcția a crescut - și după punct continuă să crească. Semnul derivatului nu se schimbă - rămâne pozitiv așa cum a fost.

De asemenea, se întâmplă ca în punctul de maxim sau minim derivata să nu existe. Pe grafic, aceasta corespunde unei ruperi ascuțite, când este imposibil să desenați o tangentă într-un punct dat.

Cum să găsiți derivata dacă funcția este dată nu de un grafic, ci de o formulă? În acest caz se aplică

În planul de coordonate xOy luați în considerare graficul funcției y=f(x). Să rezolvăm problema M(x 0 ; f (x 0)). Să adăugăm o abscisă x 0 creştere Δx. Vom obține o nouă abscisă x 0 +Δx. Aceasta este abscisa punctului N, iar ordonata va fi egală f (x 0 +Δx). Modificarea abscisei a presupus o modificare a ordonatei. Această modificare se numește increment de funcție și se notează Δy.

Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Prin puncte MȘi N să desenăm o secanta MN, care formează un unghi φ cu direcția pozitivă a axei Oh. Să determinăm tangenta unghiului φ din triunghi dreptunghic MPN.

Lăsa Δx tinde spre zero. Apoi secanta MN va tinde să ia o poziție tangentă MT, și unghiul φ va deveni un unghi α . Deci, tangenta unghiului α Există valoare limită tangenta unghiului φ :

Limita raportului dintre incrementul unei funcții și incrementul argumentului, atunci când acesta din urmă tinde spre zero, se numește derivată a funcției la un punct dat:

Sensul geometric al derivatului constă în faptul că derivata numerică a funcției într-un punct dat este egală cu tangentei unghiului format de tangentei trase prin acest punct la curba dată și direcția pozitivă a axei. Oh:

Exemple.

1. Găsiți incrementul argumentului și incrementul funcției y= x 2, dacă valoarea inițială a argumentului a fost egală cu 4 , și nou - 4,01 .

Soluţie.

Noua valoare a argumentului x=x 0 +Δx. Să substituim datele: 4.01=4+Δх, de unde și incrementul argumentului Δx=4,01-4=0,01. Creșterea unei funcții, prin definiție, este egală cu diferența dintre valorile noi și anterioare ale funcției, adică. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Din moment ce avem o funcție y=x2, Acea Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx)2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Răspuns: increment de argument Δx=0,01; creșterea funcției Δу=0,0801.

Incrementul funcției poate fi găsit diferit: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Aflați unghiul de înclinare al tangentei la graficul funcției y=f(x) la punct x 0, Dacă f „(x 0) = 1.

Soluţie.

Valoarea derivatei în punctul de tangență x 0și este valoarea tangentei unghiului tangentei (sensul geometric al derivatei). Avem: f „(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, deoarece tg45°=1.

Răspuns: tangenta la graficul acestei functii formeaza un unghi cu directia pozitiva a axei Ox egala cu 45°.

3. Deduceți formula derivatei funcției y=xn.

Diferenţiere este acțiunea de a găsi derivata unei funcții.

Când găsiți derivate, utilizați formule care au fost derivate pe baza definiției unei derivate, în același mod în care am derivat formula pentru gradul derivat: (x n)" = nx n-1.

Acestea sunt formulele.

Tabelul derivatelor Va fi mai ușor de memorat pronunțând formulări verbale:

1. Derivat valoare constantă egal cu zero.

2. X prim este egal cu unu.

3. Factorul constant poate fi scos din semnul derivatei.

4. Derivata unui grad este egală cu produsul exponentului acestui grad cu un grad cu aceeași bază, dar exponentul este cu unul mai puțin.

5. Derivata unei rădăcini este egală cu una împărțită la două rădăcini egale.

6. Derivata lui unu împărțit la x este egală cu minus unu împărțit la x pătrat.

7. Derivata sinusului este egala cu cosinusul.

8. Derivata cosinusului este egală cu minus sinus.

9. Derivata tangentei este egală cu unu împărțit la pătratul cosinusului.

10. Derivata cotangentei este egală cu minus unu împărțit la pătratul sinusului.

Noi predam reguli de diferențiere.

1. Derivata unei sume algebrice este egală cu suma algebrică a derivatelor termenilor.

2. Derivata unui produs este egala cu produsul derivatei primului factor si al doilea plus produsul primului factor si derivata celui de-al doilea.

3. Derivata lui „y” împărțită la „ve” este egală cu o fracție în care numărătorul este „y prim înmulțit cu „ve” minus „y înmulțit cu veți prim”, iar numitorul este „ve pătrat”.

4. Un caz special al formulei 3.

Când o persoană a făcut primii pași independenți în studiul analizei matematice și începe să pună întrebări incomode, nu mai este atât de ușor să scapi cu expresia că „ calcul diferenţial găsit în varză”. Prin urmare, a venit momentul să fie determinat și să dezvăluie secretul nașterii tabele de derivate și reguli de diferențiere. A început în articol despre sensul derivatului, pe care vă recomand cu căldură să-l studiați, pentru că acolo tocmai ne-am uitat la conceptul de derivat și am început să facem clic pe probleme de pe subiect. Aceeași lecție are o orientare practică pronunțată, în plus,

exemplele discutate mai jos pot fi, în principiu, stăpânite pur formal (de exemplu, când nu există timp/dorință de a pătrunde în esența derivatului). De asemenea, este foarte de dorit (dar din nou nu este necesar) să puteți găsi derivate folosind metoda „obișnuită” - cel puțin la nivelul a două lecții de bază: Cum se găsește derivata? și Derivată a unei funcții complexe.

Dar există un lucru de care cu siguranță nu ne putem lipsi acum, acesta este limitele funcției. Trebuie să ÎNȚELEGI ce este o limită și să le poți rezolva cel puțin la un nivel intermediar. Și totul pentru că derivatul

funcția într-un punct este determinată de formula:

Permiteți-mi să vă reamintesc denumirile și termenii: ei apelează increment de argument;

– creșterea funcției;

– acestea sunt simboluri SINGURE („delta” nu poate fi „smuls” din „X” sau „Y”).

Evident, ceea ce este o variabilă „dinamică” este o constantă și rezultatul calculării limitei - număr (uneori - „plus” sau „minus” infinit).

Ca punct, puteți lua în considerare ORICE valoare care îi aparține domeniul definirii funcţie în care există o derivată.

Notă: clauza „în care există derivatul” este în general este semnificativ! Deci, de exemplu, deși un punct este inclus în domeniul de definire al unei funcții, derivata acesteia

nu exista acolo. Prin urmare formula

nu se aplică la moment

iar o formulare scurtată fără rezervă ar fi incorectă. Fapte similare sunt valabile pentru alte funcții cu „rupturi” în grafic, în special pentru arcsinus și arccosinus.

Astfel, după înlocuirea , obținem a doua formulă de lucru:

Acordați atenție unei circumstanțe insidioase care poate deruta ceainic: în această limită, „x”, fiind el însuși o variabilă independentă, joacă rolul unei statistici, iar „dinamica” este din nou stabilită de increment. Rezultatul calculării limitei

este funcția derivată.

Pe baza celor de mai sus, formulăm condițiile a două probleme tipice:

- Găsi derivată la un punct, folosind definiția derivatei.

- Găsi funcţie derivată, folosind definiția derivatei. Această versiune, conform observațiilor mele, este mult mai comună și i se va acorda atenția principală.

Diferența fundamentală dintre sarcini este că, în primul caz, trebuie să găsiți numărul (opțional, infinit), iar în al doilea -

funcţie În plus, derivatul poate să nu existe deloc.

Cum ?

Creați un raport și calculați limita.

De unde a venit? tabel de derivate și reguli de diferențiere ? Datorită singurei limite

Pare magie, dar

în realitate - delectare și fără fraudă. La lectie Ce este un derivat? Am început să mă uit exemple concrete, unde, folosind definiția, am găsit derivatele lui liniar și funcţie pătratică. În scopul încălzirii cognitive, vom continua să deranjăm tabelul derivatelor, perfecționând algoritmul și soluțiile tehnice:

În esență, trebuie să demonstrăm cazul special al derivatei functie de putere, care apare de obicei în tabel: .

Soluția este formalizată tehnic în două moduri. Să începem cu prima abordare, deja familiară: scara începe cu o scândură, iar funcția derivată începe cu derivata într-un punct.

Luați în considerare un punct (specific) care îi aparține domeniul definirii funcţie în care există o derivată. Să setăm incrementul în acest moment (desigur, în sfera de aplicare o/o -ya) și compuneți incrementul corespunzător al funcției:

Să calculăm limita:

Incertitudinea 0:0 este eliminată printr-o tehnică standard, considerată încă din secolul I î.Hr. Să ne înmulțim

numărător și numitor pentru expresia conjugată :

Tehnica de rezolvare a unei astfel de limite este discutată în detaliu în lecția introductivă. despre limitele funcţiilor.

Deoarece puteți alege ORICE punct al intervalului ca

Apoi, după ce am făcut înlocuirea, obținem:

Încă o dată să ne bucurăm de logaritmi:

Găsiți derivata unei funcții folosind definiția derivatei

Soluție: Să luăm în considerare o abordare diferită pentru promovarea aceleiași sarcini. Este exact la fel, dar mai rațional din punct de vedere al designului. Ideea este să scapi de

indice și folosiți o literă în loc de o literă.

Luați în considerare un punct arbitrar care îi aparține domeniul definirii funcția (interval) și setați incrementul în ea. Dar aici, apropo, ca în majoritatea cazurilor, puteți face fără rezerve, deoarece funcția logaritmică este diferențiabilă în orice punct din domeniul definiției.

Apoi, incrementul corespunzător al funcției este:

Să găsim derivata:

Simplitatea designului este echilibrată de confuzia care poate

apar printre începători (și nu numai). La urma urmei, suntem obișnuiți cu faptul că litera „X” se schimbă în limită! Dar aici totul este diferit: - o statuie antică și - un vizitator viu, care se plimbă vioi de-a lungul coridorului muzeului. Adică, „x” este „ca o constantă”.

Voi comenta eliminarea incertitudinii pas cu pas:

(1) Folosind proprietatea logaritmului.

(2) În paranteze, împărțiți numărătorul la numitor termen cu termen.

(3) La numitor, înmulțim artificial și împărțim cu „x”, astfel încât

profita de limita minunata , în timp ce ca infinitezimal acte.

Răspuns: prin definiția unei derivate:

Sau pe scurt:

Vă propun să construiți singur încă două formule de tabel:

Găsiți derivată prin definiție

În acest caz, este convenabil să reduceți imediat incrementul compilat la un numitor comun. Un eșantion aproximativ al temei la sfârșitul lecției (prima metodă).

Găsiți derivată prin definiție

Și aici totul trebuie redus la o limită remarcabilă. Soluția se formalizează în a doua modalitate.

O serie de altele derivate tabulare. Lista plina poate fi găsit într-un manual școlar sau, de exemplu, volumul I din Fichtenholtz. Nu văd prea mult rost în copierea dovezilor regulilor de diferențiere din cărți - sunt, de asemenea, generate

formulă

Să trecem la sarcinile întâlnite efectiv: Exemplul 5

Aflați derivata unei funcții , folosind definiția derivatei

Soluție: utilizați primul stil de design. Să luăm în considerare un punct care aparține și să setăm incrementul argumentului la el. Apoi, incrementul corespunzător al funcției este:

Poate că unii cititori nu au înțeles încă pe deplin principiul după care trebuie făcute creșteri. Luați un punct (număr) și găsiți valoarea funcției din el: , adică în funcție

în loc de „X” ar trebui să înlocuiți. Acum hai să o luăm

Increment de funcție compilat Poate fi benefic să simplificați imediat. Pentru ce? Facilitați și scurtați soluția la o limită suplimentară.

Folosim formule, deschidem parantezele și reducem tot ce poate fi redus:

Curcanul este eviscerat, nicio problemă cu friptura:

În cele din urmă:

Deoarece putem alege orice număr real ca valoare, facem înlocuirea și obținem .

Răspuns : a-prioriu.

În scopuri de verificare, să găsim derivatul folosind regulile

diferențiere și tabele:

Este întotdeauna util și plăcut să cunoști în prealabil răspunsul corect, așa că este mai bine să diferențiezi funcția propusă într-un mod „rapid”, fie mental, fie în schiță, chiar de la începutul soluției.

Găsiți derivata unei funcții prin definiția derivatei

Acesta este un exemplu pentru decizie independentă. Rezultatul este evident:

Să revenim la stilul #2: Exemplul 7

Să aflăm imediat ce ar trebui să se întâmple. De regula de diferentiere a functiilor complexe:

Soluție: luați în considerare un punct arbitrar care îi aparține, setați incrementul argumentului la acesta și completați incrementul

Să găsim derivata:

(1) Folosim formula trigonometrică

(2) Sub sinus deschidem parantezele, sub cosinus prezentăm termeni similari.

(3) Sub sinus anulăm termenii, sub cosinus împărțim numărătorul la numitor termen cu termen.

(4) Din cauza ciudățeniei sinusului, scoatem „minus”. Sub cosinus

indicăm că termenul .

(5) Efectuăm înmulțirea artificială la numitor pentru a folosi prima limită minunată. Astfel, incertitudinea este eliminată, haideți să curățăm rezultatul.

Răspuns: prin definiție După cum puteți vedea, principala dificultate a problemei luate în considerare se bazează pe

complexitatea limitei + ușoară originalitate a ambalajului. În practică, apar ambele metode de proiectare, așa că descriu ambele abordări cât mai detaliat posibil. Ele sunt echivalente, dar totuși, în impresia mea subiectivă, este mai recomandabil ca manechinilor să rămână la opțiunea 1 cu „X-zero”.

Folosind definiția, găsiți derivata funcției

Aceasta este o sarcină pe care o puteți rezolva singur. Eșantionul este conceput în același spirit ca exemplul anterior.

Să ne uităm la o versiune mai rară a problemei:

Găsiți derivata unei funcții într-un punct folosind definiția derivatei.

În primul rând, care ar trebui să fie rezultatul final? Număr Să calculăm răspunsul în modul standard:

Soluție: din punct de vedere al clarității, această sarcină este mult mai simplă, deoarece în formulă, în loc de

se consideră o anumită valoare.

Să setăm incrementul la punctul și să compunem incrementul corespunzător al funcției:

Să calculăm derivata într-un punct:

Folosim o formulă de diferență tangentă foarte rară si inca o data reducem solutia la prima

limita remarcabila:

Răspuns: prin definiția derivatei la un punct.

Problema nu este atât de greu de rezolvat și „în vedere generala„- este suficient să înlocuiți unghia sau pur și simplu în funcție de metoda de proiectare. În acest caz, este clar că rezultatul nu va fi un număr, ci o funcție derivată.

Exemplul 10 Folosind definiția, găsiți derivata funcției la punct

Acesta este un exemplu de rezolvat singur.

Sarcina finală bonus este destinată în primul rând studenților cu un studiu aprofundat al analizei matematice, dar nici nu va răni pe nimeni altcineva:

Funcția va fi diferențiabilă? la punctul?

Soluție: Este evident că o funcție dată pe bucăți este continuă într-un punct, dar va fi diferențiabilă acolo?

Algoritmul de soluție, și nu numai pentru funcțiile pe bucăți, este următorul:

1) Aflați derivata din stânga într-un punct dat: .

2) Aflați derivata din dreapta într-un punct dat: .

3) Dacă derivatele unilaterale sunt finite și coincid:

, atunci funcția este diferențiabilă în punct

geometric, există o tangentă comună aici (vezi partea teoretică a lecției Definiţia şi sensul derivate).

Dacă se primesc două sensuri diferite: (dintre care unul se poate dovedi infinit), atunci funcția nu este diferențiabilă la punct.

Dacă ambele derivate unilaterale sunt egale cu infinitul

(chiar dacă au semne diferite), atunci funcția nu este

este diferențiabilă în punct, dar există o derivată infinită și o tangentă verticală comună la grafic (vezi exemplu lecția 5Ecuație normală) .