Funcția y=x^2 se numește funcție pătratică. Graficul unei funcții pătratice este o parabolă. Vederea generală a parabolei este prezentată în figura de mai jos.

funcţie pătratică

Fig 1. Vedere generală a parabolei

După cum se poate observa din grafic, este simetric față de axa Oy. Axa Oy se numește axa de simetrie a parabolei. Aceasta înseamnă că dacă desenați o linie dreaptă paralelă cu axa Ox deasupra acestei axe pe diagramă. Apoi intersectează parabola în două puncte. Distanța de la aceste puncte la axa y va fi aceeași.

Axa de simetrie împarte graficul parabolei, parcă, în două părți. Aceste părți sunt numite ramuri ale parabolei. Iar punctul parabolei care se află pe axa de simetrie se numește vârful parabolei. Adică, axa de simetrie trece prin vârful parabolei. Coordonatele acestui punct sunt (0;0).

Proprietățile de bază ale unei funcții pătratice

1. Pentru x=0, y=0 și y>0 pentru x0

2. Valoare minimă funcţie pătratică atinge apogeul. Ymin la x=0; De asemenea, trebuie remarcat faptul că valoarea maximă a funcției nu există.

3. Funcția scade pe intervalul (-∞; 0] și crește pe intervalul ;

Chiar ciudat:

la b = 0 funcția este pară

la b ≠ 0 funcția nu este nici pară, nici impară

la D> 0 două zerouri: ,

la D= 0 unu zero:

la D < 0 нулей нет

Intervale de constanță:

dacă, a > 0, D> 0, atunci

dacă, a > 0, D= 0, atunci

e dacă a > 0, D < 0, то

în cazul în care o< 0, D> 0, atunci

în cazul în care o< 0, D= 0, atunci

în cazul în care o< 0, D < 0, то

- Intervale de monotonitate

pentru a > 0

la o< 0

Graficul funcției pătratice esteparabolă - o curbă simetrică față de o dreaptă trecând prin vârful parabolei (vârful parabolei este punctul de intersecție al parabolei cu axa de simetrie).

Pentru a reprezenta o funcție pătratică, aveți nevoie de:

1) găsiți coordonatele vârfului parabolei și marcați-l în planul de coordonate;

2) mai construiește câteva puncte aparținând parabolei;

3) conectați punctele marcate cu o linie netedă.

Coordonatele vârfului parabolei sunt determinate de formulele:

; .

Conversia graficelor de funcții

1. întinderea Arte graficey = x 2 de-a lungul axeila V|a| ori (când|a| < 1 este compresia in 1/|a| o singura data).

În cazul în care o< 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика отно­сительно оси X (ramurile parabolei vor fi îndreptate în jos).

Rezultat: graficul funcțieiy=ah 2 .

2. Transfer paralel graficul funcțieiy=ah 2 de-a lungul axeiX pe| m | (la dreapta la

m > 0 și la stânga laT< 0).

Rezultat: graficul funcțieiy \u003d a (x - t) 2 .

3. Transfer paralel graficul funcției de-a lungul axeila pe| n | (sus lan> 0 și în jos laP< 0).

Rezultat: graficul funcțieiy \u003d a (x - t) 2 + p.

Inegalități cuadratice

Inegalitățile de formăOh 2 + b x + c > 0 șiOh 2 + bx + c< 0, undeX - variabil,A , b ȘiCu - unele numere și,a≠ 0 se numesc inegalități de gradul doi cu o variabilă.

Rezolvarea unei inegalități de gradul doi cu o variabilă poate fi văzută ca găsirea intervalelor în care funcția pătratică corespunzătoare ia valori pozitive sau negative.

Pentru a rezolva inegalitățile de formăOh 2 + bx + c > 0 șiOh 2 + bx + c< 0 sosesc în felul următor:

1) găsiți discriminantul unui trinom pătrat și aflați dacă trinomul are rădăcini;

2) dacă trinomul are rădăcini, atunci marcați-le pe axăX iar prin punctele marcate se desenează schematic o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus spreA > 0 sau mai jos laA< 0; dacă trinomul nu are rădăcini, atunci descrieți schematic o parabolă situată în semiplanul superior laA > 0 sau în partea de jos cândA < 0;

3) găsiți pe axăX intervale pentru care punctele parabolei sunt situate deasupra axeiX (dacă rezolvă inegalitateaOh 2 + bx + c > 0) sau sub axaX (dacă rezolvă inegalitateaOh 2 + bx + c < 0).

Exemplu:

Să rezolvăm inegalitatea .

Luați în considerare funcția

Graficul său este o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în jos (deoarece ).

Aflați cum se află graficul în raport cu axaX. Să rezolvăm ecuația pentru asta . Înțelegem astax = 4. Ecuația are o singură rădăcină. Deci parabola atinge axaX.

După ce am descris schematic o parabolă, aflăm că funcția ia valori negative pentru oricareX, cu exceptia 4.

Răspunsul poate fi scris astfel:X - orice număr care nu este egal cu 4.

Rezolvarea inegalităților prin metoda intervalului

schema de solutie

1. Găsiți zerouri funcția din partea stângă a inegalității.

2. Marcați poziția zerourilor pe axa numerelor și determinați multiplicitatea acestora (Dacăk i chiar, atunci zero de multiplicitate pare, dacăk i impar - apoi impar).

3. Găsiți semnele unei funcții în intervalele dintre zerourile sale, începând din intervalul din dreapta: în acest interval, funcția din partea stângă a inegalității este întotdeauna pozitivă pentru forma redusă a inegalităţilor. Când treceți de la dreapta la stânga prin zeroul unei funcții de la un interval la unul învecinat, trebuie să luați în considerare:

dacă zero este impar multiplicitate, semnul funcției se schimbă,

dacă zero este par multiplicitate, se păstrează semnul funcției.

4. Scrieți răspunsul.

Exemplu:

(x + 6) (x + 1) (X - 4) < 0.

S-au găsit zerouri de funcție. Sunt egali:X 1 = -6; X 2 = -1; X 3 = 4.

Marcam zerourile funcției pe linia de coordonatef ( X ) = (x + 6) (x + 1) (X - 4).

Aflați semnele acestei funcții în fiecare dintre intervalele (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) și

Din figură se poate observa că mulțimea soluțiilor inegalității este uniunea intervalelor (-∞; -6) și (-1; 4).

Răspuns: (-∞ ; -6) și (-1; 4).

Metoda considerată de rezolvare a inegalităților se numeștemetoda intervalului.