Schema generală a studiului funcției și a trasării online. Investigarea unei funcţii prin metode de calcul diferenţial

Studiul funcției se desfășoară după o schemă clară și solicită elevului să aibă cunoștințe solide ale conceptelor matematice de bază precum domeniul definiției și valorilor, continuitatea funcției, asimptota, punctele extreme, paritatea, periodicitatea, etc. Elevul trebuie să diferențieze liber funcții și să rezolve ecuații, care uneori sunt foarte complicate.

Adică, această sarcină verifică un strat semnificativ de cunoștințe, orice decalaj în care va deveni un obstacol în calea obținerii decizia corectă. Mai ales adesea apar dificultăți în construirea graficelor de funcții. Această greșeală atrage imediat atenția profesorului și îți poate strica foarte mult nota, chiar dacă totul a fost făcut corect. Aici puteți găsi sarcini pentru studiul funcției online: exemple de studiu, soluții de descărcare, sarcini de comandă.

Investigați o funcție și diagramați: exemple și soluții online

Am pregătit pentru dvs. o mulțime de studii de caracteristici gata făcute, atât plătite în cartea de soluții, cât și gratuite în secțiunea Exemple de cercetare a caracteristicilor. Pe baza acestor sarcini rezolvate, veți putea să vă familiarizați în detaliu cu metodologia de realizare a unor astfel de sarcini, prin analogie, efectuați propria cercetare.

Noi oferim exemple gata făcute cercetare completă și reprezentare grafică a funcțiilor din cele mai comune tipuri: polinoame, fracțional-rațional, irațional, exponențial, logaritmic, funcții trigonometrice. Fiecare problemă rezolvată este însoțită de un grafic gata făcut cu puncte cheie selectate, asimptote, maxime și minime, soluția este efectuată conform algoritmului de studiere a funcției.

Exemplele rezolvate, în orice caz, vă vor fi de mare ajutor, deoarece acoperă cele mai populare tipuri de funcții. Vă oferim sute de probleme deja rezolvate, dar, după cum știți, există un număr infinit de funcții matematice în lume, iar profesorii sunt mari experți în a inventa sarcini din ce în ce mai complicate pentru elevii săraci. Așadar, dragi studenți, asistența calificată nu vă va răni.

Rezolvarea problemelor pentru studiul unei funcții la comandă

În acest caz, partenerii noștri vă vor oferi un alt serviciu - cercetare completă online a comanda. Sarcina va fi finalizată pentru dvs. în conformitate cu toate cerințele pentru algoritmul pentru rezolvarea unor astfel de probleme, ceea ce vă va mulțumi foarte mult profesorului dvs.

Vom face un studiu complet al funcției pentru dvs.: vom găsi domeniul de definiție și gama de valori, vom examina continuitatea și discontinuitatea, vom stabili paritatea, vom verifica funcția dvs. pentru periodicitate, vom găsi punctele de intersecție cu axele de coordonate . Și, desigur, mai departe cu ajutorul calcul diferenţial: vom găsi asimptote, vom calcula extreme, puncte de inflexiune, vom construi graficul în sine.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, ordin judiciar, în proceduri judiciare și/sau pe baza unor solicitări publice sau solicitări din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - de a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Pentru un studiu complet al funcției și trasarea graficului acesteia, se recomandă utilizarea următoarei scheme:

1) găsiți domeniul de aplicare al funcției;

2) găsiți punctele de discontinuitate ale funcției și asimptotele verticale (dacă există);

3) investigați comportamentul funcției la infinit, găsiți asimptotele orizontale și oblice;

4) investigați funcția pentru uniformitate (ciudățenie) și pentru periodicitate (pentru funcții trigonometrice);

5) găsiți extremele și intervalele de monotonitate ale funcției;

6) determinați intervalele de convexitate și puncte de inflexiune;

7) găsiți puncte de intersecție cu axele de coordonate, dacă este posibil, și câteva puncte suplimentare care rafinați graficul.

Studiul funcției se realizează concomitent cu construcția graficului acesteia.

Exemplul 9 Explorează funcția și construiește un grafic.

1. Domeniu de definire: ;

2. Funcția se întrerupe în puncte
,
;

Investigăm funcția pentru prezența asimptotelor verticale.

;
,
─ asimptotă verticală.

;
,
─ asimptotă verticală.

3. Investigăm funcția pentru prezența asimptotelor oblice și orizontale.

Drept
─ asimptotă oblică, dacă
,
.

,
.

Drept
─ asimptotă orizontală.

4. Funcția este chiar pentru că
. Paritatea funcției indică simetria graficului față de axa y.

5. Aflați intervalele de monotonitate și extremele funcției.

Să găsim punctele critice, adică. puncte în care derivata este 0 sau nu există:
;
. Avem trei puncte
;

. Aceste puncte împart întreaga axă reală în patru intervale. Să definim semnele pe fiecare dintre ele.

La intervalele (-∞; -1) și (-1; 0) funcția crește, la intervalele (0; 1) și (1; +∞) scade. La trecerea printr-un punct
derivata își schimbă semnul de la plus la minus, prin urmare, în acest moment, funcția are un maxim
.

6. Să găsim intervale de convexitate, puncte de inflexiune.

Să găsim punctele în care este 0 sau nu există.

nu are rădăcini reale.
,
,

puncte
Și
împărțiți axa reală în trei intervale. Să definim semnul la fiecare interval.

Astfel, curba pe intervale
Și
convex în jos, pe intervalul (-1;1) convex în sus; nu există puncte de inflexiune, deoarece funcția la puncte
Și
nedeterminat.

7. Aflați punctele de intersecție cu axele.

cu ax
graficul funcției se intersectează în punctul (0; -1), și cu axa
graficul nu se intersectează, deoarece numărătorul acestei funcții nu are rădăcini reale.

Graficul funcției date este prezentat în figura 1.

Figura 1 ─ Graficul funcției

Aplicarea conceptului de derivată în economie. Elasticitatea funcției

Pentru a studia procesele economice și a rezolva alte probleme aplicate, este adesea folosit conceptul de elasticitate a funcției.

Definiție. Elasticitatea funcției
se numește limita raportului incrementului relativ al funcției la incrementul relativ al variabilei la
, . (VII)

Elasticitatea unei funcții arată aproximativ câte procente se va modifica funcția
la modificarea variabilei independente cu 1%.

Elasticitatea unei funcții este utilizată în analiza cererii și a consumului. Dacă elasticitatea cererii (în valoare absolută)
, atunci cererea este considerată elastică dacă
─ neutru dacă
─ inelastic în raport cu prețul (sau venitul).

Exemplul 10 Calculați elasticitatea unei funcții
și găsiți valoarea indicelui de elasticitate pentru = 3.

Rezolvare: conform formulei (VII) elasticitatea functiei:

Fie x=3 atunci
Aceasta înseamnă că dacă variabila independentă crește cu 1%, atunci valoarea variabilei dependente va crește cu 1,42%.

Exemplul 11 Lăsați cererea să funcționeze in ceea ce priveste pretul are forma
, Unde ─ coeficient constant. Aflați valoarea indicelui de elasticitate al funcției cererii la prețul x = 3 den. unitati

Rezolvare: calculați elasticitatea funcției cererii folosind formula (VII)

Presupunând
unități monetare, obținem
. Asta înseamnă că la preț
unitate monetara o crestere a pretului cu 1% va determina o scadere a cererii cu 6%, i.e. cererea este elastică.

Efectuați un studiu complet și trasați un grafic al funcției

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Domeniul de aplicare a funcției. Deoarece funcția este o fracție, trebuie să găsiți zerourile numitorului.

1−x=0,⇒x=1,1−x=0,⇒x=1.

Excludem singurul punct x=1x=1 din zona de definire a funcției și obținem:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Să studiem comportamentul funcției în vecinătatea punctului de discontinuitate. Găsiți limite unilaterale:

Deoarece limitele sunt egale cu infinit, punctul x=1x=1 este o discontinuitate de al doilea fel, linia x=1x=1 este o asimptotă verticală.

3) Să determinăm punctele de intersecție ale graficului funcției cu axele de coordonate.

Să găsim punctele de intersecție cu axa ordonatelor OyOy, pentru care echivalăm x=0x=0:

Astfel, punctul de intersecție cu axa OyOy are coordonatele (0;8)(0;8).

Să găsim punctele de intersecție cu axa absciselor OxOx, pentru care setăm y=0y=0:

Ecuația nu are rădăcini, deci nu există puncte de intersecție cu axa OxOx.

Rețineți că x2+8>0x2+8>0 pentru orice xx. Prin urmare, pentru x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) funcția y>0y>0(ia valori pozitive, graficul este deasupra axei x), pentru x∈(1;+∞)x∈(1;+∞) funcția y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Funcția nu este nici pară, nici impară deoarece:

5) Investigăm funcția pentru periodicitate. Funcția nu este periodică, deoarece este o funcție rațională fracțională.

6) Investigăm funcția pentru extreme și monotonitate. Pentru a face acest lucru, găsim derivata întâi a funcției:

Să echivalăm prima derivată cu zero și să găsim punctele staționare (la care y′=0y′=0):

Avem trei puncte critice: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Împărțim întregul domeniu al funcției în intervale de puncte date și determinăm semnele derivatei în fiecare interval:

Pentru x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) derivata y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Pentru x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) derivata y′>0y′>0, funcția crește pe aceste intervale.

În acest caz, x=−2x=−2 este un punct minim local (funcția scade și apoi crește), x=4x=4 este un punct maxim local (funcția crește și apoi scade).

Să găsim valorile funcției în aceste puncte:

Astfel, punctul minim este (−2;4)(−2;4), punctul maxim este (4;−8)(4;−8).

7) Examinăm funcția de îndoire și convexitate. Să găsim derivata a doua a funcției:

Echivalează derivata a doua cu zero:

Ecuația rezultată nu are rădăcini, deci nu există puncte de inflexiune. Mai mult, când x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 este satisfăcută, adică funcția este concavă când x∈(1;+∞)x∈(1) ;+ ∞) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Investigam comportamentul functiei la infinit, adica la .

Deoarece limitele sunt infinite, nu există asimptote orizontale.

Să încercăm să determinăm asimptote oblice de forma y=kx+by=kx+b. Calculăm valorile lui k,bk,b conform formulelor cunoscute:

Am descoperit că funcția are o asimptotă oblică y=−x−1y=−x−1.

9) Puncte suplimentare. Să calculăm valoarea funcției în alte puncte pentru a construi un grafic mai precis.

y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.

10) Pe baza datelor obținute, vom construi un grafic, îl vom completa cu asimptotele x=1x=1 (albastru), y=−x−1y=−x−1 (verde) și vom marca punctele caracteristice (intersecția cu axa ordonatelor este violet, extremele sunt portocalii, punctele suplimentare sunt negre):

Sarcina 4: Probleme geometrice, economice (habar nu am ce, iată o selecție aproximativă de probleme cu o soluție și formule)

Exemplul 3.23. A

Soluţie. XȘi y y
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Deoarece x = a/4 este singurul punct critic, să verificăm dacă semnul derivatei se modifică la trecerea prin acest punct. Pentru xa/4 S "> 0 și pentru x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Exemplul 3.24.

Soluţie.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Exemplul 3.22. Aflați extremele funcției f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Soluţie. Deoarece f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), atunci punctele critice ale funcției x 1 \u003d 2 și x 2 \u003d 3. Punctele extreme pot fie numai în aceste puncte. Deci, la fel ca atunci când trece prin punctul x 1 \u003d 2, derivata își schimbă semnul plus în minus, atunci în acest punct funcția are un maxim. Când trece prin punctul x 2 \u003d 3, derivata schimbă semnul minus în plus, prin urmare, în punctul x 2 \u003d 3, funcția are un minim. Calcularea valorilor funcției în puncte
x 1 = 2 și x 2 = 3, găsim extremele funcției: maxim f(2) = 14 și minim f(3) = 13.

Exemplul 3.23. Este necesar să construiți o zonă dreptunghiulară lângă zidul de piatră, astfel încât să fie împrejmuită cu plasă de sârmă pe trei laturi și să se învețe cu peretele pe a patra latură. Pentru asta există A metri liniari ai grilei. La ce raport de aspect va avea site-ul cea mai mare suprafață?

Soluţie. Indicați părțile laterale ale site-ului prin XȘi y. Aria sitului este S = xy. Lăsa y este lungimea laturii adiacente peretelui. Atunci, prin condiție, egalitatea 2x + y = a trebuie să fie valabilă. Prin urmare y = a - 2x și S = x(a - 2x), unde
0 ≤ x ≤ a/2 (lungimea și lățimea zonei nu pot fi negative). S "= a - 4x, a - 4x = 0 pentru x = a/4, de unde
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Deoarece x = a/4 este singurul punct critic, să verificăm dacă semnul derivatei se modifică la trecerea prin acest punct. Pentru xa/4 S "> 0 și pentru x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Exemplul 3.24. Se cere realizarea unui rezervor cilindric închis cu o capacitate de V=16p ≈ 50 m 3 . Care ar trebui să fie dimensiunile rezervorului (raza R și înălțimea H) pentru a utiliza cea mai mică cantitate de material pentru fabricarea lui?

Soluţie. Suprafața totală a cilindrului este S = 2pR(R+H). Cunoaștem volumul cilindrului V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Prin urmare, S(R) = 2p(R2+16/R). Găsim derivata acestei funcții:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S " (R) \u003d 0 pentru R 3 \u003d 8, prin urmare,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Informații similare.

Astăzi vă invităm să explorați și să trasați un grafic al funcției cu noi. După un studiu atent al acestui articol, nu va trebui să transpirați mult timp pentru a finaliza acest tip de sarcină. Nu este ușor să explorezi și să construiești un grafic al unei funcții, munca este voluminoasă, necesitând atenție maximă și acuratețe a calculelor. Pentru a facilita percepția materialului, vom studia treptat aceeași funcție, vom explica toate acțiunile și calculele noastre. Bine ați venit în lumea uimitoare și fascinantă a matematicii! Merge!

Domeniu

Pentru a explora și a reprezenta o funcție, trebuie să cunoașteți câteva definiții. O funcție este unul dintre conceptele de bază (de bază) în matematică. Ea reflectă dependența dintre mai multe variabile (două, trei sau mai multe) cu modificări. Funcția arată, de asemenea, dependența mulțimilor.

Imaginați-vă că avem două variabile care au un anumit interval de schimbare. Deci, y este o funcție a lui x, cu condiția ca fiecare valoare a celei de-a doua variabile să corespundă unei valori a celei de-a doua. În acest caz, variabila y este dependentă și se numește funcție. Este obișnuit să spunem că variabilele x și y sunt în Pentru o mai mare claritate a acestei dependențe, se construiește un grafic al funcției. Ce este un grafic al funcției? Acesta este un set de puncte pe planul de coordonate, unde fiecare valoare a lui x corespunde unei valori a lui y. Graficele pot fi diferite - o linie dreaptă, hiperbolă, parabolă, sinusoidă și așa mai departe.

Un grafic al funcției nu poate fi trasat fără explorare. Astăzi vom învăța cum să efectuăm cercetări și să trasăm un grafic al funcției. Este foarte important să luați notițe în timpul studiului. Deci va fi mult mai ușor să faceți față sarcinii. Cel mai convenabil plan de studiu:

1. Domeniu.
2. Continuitate.
3. Par sau impar.
4. Periodicitate.
5. Asimptote.
6. Zerouri.
7. Constanţă.
8. Urcând și coborând.
9. Extreme.
10. Convexitatea și concavitatea.

Să începem cu primul punct. Să găsim domeniul definiției, adică la ce intervale există funcția noastră: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). În cazul nostru, funcția există pentru orice valoare a lui x, adică domeniul de definiție este R. Aceasta poate fi scrisă ca xОR.

Continuitate

Acum vom explora funcția de discontinuitate. În matematică, termenul de „continuitate” a apărut ca rezultat al studiului legilor mișcării. Ce este infinitul? Spațiul, timpul, unele dependențe (un exemplu este dependența variabilelor S și t în problemele de mișcare), temperatura obiectului încălzit (apă, tigaie, termometru și așa mai departe), o linie continuă (adică una care poate fi desenat fără a-l scoate de pe foaie de creion).

Un grafic este considerat continuu dacă nu se rupe la un moment dat. Unul dintre cele mai evidente exemple ale unui astfel de grafic este o undă sinusoidală, pe care o puteți vedea în imaginea din această secțiune. Funcția este continuă la un punct x0 dacă sunt îndeplinite un număr de condiții:

• o funcție este definită la un punct dat;
• limitele din dreapta și din stânga la un punct sunt egale;
• limita este egală cu valoarea funcției în punctul x0.

Dacă cel puțin o condiție nu este îndeplinită, se spune că funcția se întrerupe. Iar punctele în care funcția se întrerupe se numesc puncte de întrerupere. Un exemplu de funcție care se va „rupe” atunci când este afișată grafic este: y=(x+4)/(x-3). Mai mult, y nu există în punctul x = 3 (deoarece este imposibil de împărțit la zero).

În funcția pe care o studiem (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) totul s-a dovedit a fi simplu, deoarece graficul va fi continuu.

Chiar ciudat

Acum examinați funcția pentru paritate. Să începem cu o mică teorie. O funcție pară este o funcție care îndeplinește condiția f (-x) = f (x) pentru orice valoare a variabilei x (din intervalul de valori). Exemple sunt:

• modulul x (graficul arată ca un coroi, bisectoarea primului și al doilea sferturi ale graficului);
• x pătrat (parabolă);
• cosinus x (undă cosinus).

Rețineți că toate aceste grafice sunt simetrice atunci când sunt privite în raport cu axa y.

Atunci ce se numește o funcție impară? Acestea sunt acele funcții care îndeplinesc condiția: f (-x) \u003d - f (x) pentru orice valoare a variabilei x. Exemple:

• hiperbolă;
• parabolă cubică;
• sinusoid;
• tangentă și așa mai departe.

Vă rugăm să rețineți că aceste funcții sunt simetrice față de punctul (0:0), adică originea. Pe baza celor spuse în această secțiune a articolului, o funcție pară și impară trebuie să aibă proprietatea: x aparține mulțimii de definiții și -x de asemenea.

Să examinăm funcția pentru paritate. Putem vedea că ea nu se potrivește cu niciuna dintre descrieri. Prin urmare, funcția noastră nu este nici pară, nici impară.

Asimptote

Să începem cu o definiție. O asimptotă este o curbă care este cât mai aproape de grafic, adică distanța de la un punct tinde spre zero. Există trei tipuri de asimptote:

• verticală, adică paralelă cu axa y;
• orizontală, adică paralelă cu axa x;
• oblic.

În ceea ce privește primul tip, aceste linii ar trebui căutate în unele puncte:

• decalaj;
• capete ale domeniului.

În cazul nostru, funcția este continuă, iar domeniul de definiție este R. Prin urmare, nu există asimptote verticale.

Graficul unei funcții are o asimptotă orizontală, care îndeplinește următoarea cerință: dacă x tinde spre infinit sau minus infinit, iar limita este egală cu un anumit număr (de exemplu, a). În acest caz, y=a este asimptota orizontală. Nu există asimptote orizontale în funcția pe care o studiem.

O asimptotă oblică există numai dacă sunt îndeplinite două condiții:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Apoi poate fi găsită prin formula: y=kx+b. Din nou, în cazul nostru nu există asimptote oblice.

Zerourile funcției

Următorul pas este să examinăm graficul funcției pentru zerouri. De asemenea, este foarte important de remarcat faptul că sarcina asociată cu găsirea zerourilor unei funcții apare nu numai în studiul și construcția unui grafic al funcției, ci și ca sarcină independentă și ca modalitate de a rezolva inegalitățile. Vi se poate cere să găsiți zerourile unei funcții pe un grafic sau să utilizați notația matematică.

Găsirea acestor valori vă va ajuta să reprezentați mai precis funcția. În termeni simpli, zero al funcției este valoarea variabilei x, la care y \u003d 0. Dacă căutați zerourile unei funcții pe un grafic, atunci ar trebui să acordați atenție punctelor în care graficul se intersectează cu axa x.

Pentru a găsi zerourile funcției, trebuie să rezolvați următoarea ecuație: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. După efectuarea calculelor necesare, obținem următorul răspuns:

constanța semnului

Următoarea etapă în studiul și construcția unei funcții (grafică) este găsirea intervalelor de constanță a semnelor. Aceasta înseamnă că trebuie să stabilim la ce intervale funcția ia o valoare pozitivă și la ce intervale ia o valoare negativă. Zerourile funcțiilor găsite în secțiunea anterioară ne vor ajuta să facem acest lucru. Deci, trebuie să construim o linie dreaptă (separat de grafic) și să distribuim zerourile funcției de-a lungul ei în ordinea corectă de la cel mai mic la cel mai mare. Acum trebuie să determinați care dintre intervalele rezultate are semnul „+” și care dintre intervale are semnul „-”.

În cazul nostru, funcția ia o valoare pozitivă pe intervalele:

• de la 1 la 4;
• de la 9 la infinit.

Sens negativ:

• de la minus infinit la 1;
• de la 4 la 9.

Acest lucru este destul de ușor de determinat. Înlocuiți orice număr din interval în funcție și vedeți ce semn este răspunsul (minus sau plus).

Funcția Crescător și Descrescător

Pentru a explora și a construi o funcție, trebuie să știm unde va crește graficul (urge în sus pe Oy) și unde va cădea (trebuie în jos de-a lungul axei y).

Funcția crește numai dacă valoarea mai mare a variabilei x corespunde valorii mai mari a lui y. Adică, x2 este mai mare decât x1 și f(x2) este mai mare decât f(x1). Și observăm un fenomen complet opus într-o funcție descrescătoare (cu cât mai mult x, cu atât mai puțin y). Pentru a determina intervalele de creștere și scădere, trebuie să găsiți următoarele:

• domeniul de aplicare (o avem deja);
• derivată (în cazul nostru: 1/3(3x^2-28x+49);
• rezolvați ecuația 1/3(3x^2-28x+49)=0.

După calcule, obținem rezultatul:

Obținem: funcția crește pe intervalele de la minus infinit la 7/3 și de la 7 la infinit și scade pe intervalul de la 7/3 la 7.

Extreme

Funcția investigată y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) este continuă și există pentru orice valoare a variabilei x. Punctul extremum arată maximul și minimul acestei funcții. În cazul nostru, nu există, ceea ce simplifică foarte mult sarcina de construcție. În caz contrar, se găsesc și folosind funcția derivată. După ce ați găsit, nu uitați să le marcați pe diagramă.

Convexitatea și concavitatea

Continuăm să studiem funcția y(x). Acum trebuie să-l verificăm pentru convexitate și concavitate. Definițiile acestor concepte sunt destul de greu de perceput, este mai bine să analizăm totul cu exemple. Pentru test: o funcție este convexă dacă este o funcție nedescrescătoare. De acord, acest lucru este de neînțeles!

Trebuie să găsim derivata funcției de ordinul doi. Se obține: y=1/3(6x-28). Acum echivalăm partea dreaptă cu zero și rezolvăm ecuația. Raspuns: x=14/3. Am găsit punctul de inflexiune, adică locul în care graficul se schimbă de la convex la concav sau invers. Pe intervalul de la minus infinit la 14/3, funcția este convexă, iar de la 14/3 la plus infinit, este concavă. De asemenea, este foarte important să rețineți că punctul de inflexiune de pe grafic ar trebui să fie neted și moale, nu ar trebui să existe colțuri ascuțite.

Definiția punctelor suplimentare

Sarcina noastră este să explorăm și să trasăm graficul funcției. Am finalizat studiul, nu va fi dificil să trasăm funcția acum. Pentru o reproducere mai precisă și detaliată a unei curbe sau a unei linii drepte pe planul de coordonate, puteți găsi mai multe puncte auxiliare. Este destul de ușor să le calculezi. De exemplu, luăm x=3, rezolvăm ecuația rezultată și găsim y=4. Sau x=5 și y=-5 și așa mai departe. Puteți lua câte puncte suplimentare aveți nevoie pentru a construi. Se găsesc cel puțin 3-5 dintre ele.

Complot

Am avut nevoie să investigăm funcția (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Toate marcajele necesare în cursul calculelor au fost făcute pe planul de coordonate. Tot ce rămâne de făcut este să construiești un grafic, adică să conectezi toate punctele între ele. Conectarea punctelor este lină și precisă, aceasta este o chestiune de îndemânare - puțină practică și programul tău va fi perfect.