„Determină dacă o funcție este pară sau impară” - Funcția este impară. Nu este ciudat. nu este chiar. Graficul unei funcții pare. Graficul unei funcții impare. Funcţie. Simetrie în jurul axei. Chiar și funcții. Este o funcție ciudată. Coloană. Chiar și funcții ciudate. Exemplu. Funcția este egală. funcții ciudate.

""Funcția exponențială" Gradul 11" - Rezolvați ecuația. Definiție. Verifică-te. inegalități exponențiale. La x=0, valoarea funcției este 1. Test. ecuații exponențiale. Derivat și prototip. mod funcțional. Semnale de referință de bază. Funcția crește pe întregul domeniu de definiție. Functie exponentiala. Zona valoric. Proprietăți ale unui grad cu exponent rațional. Metode de rezolvare a ecuațiilor. Proprietățile funcției exponențiale.

„Exemple de inegalități logaritmice” - Găsiți decizia corectă. Care dintre funcții sunt în creștere și care sunt în scădere? Mult succes la examen! Grafice ale funcțiilor logaritmice. Rezumatul lecției. Cluster de completat în timpul lecției: Creștere. Sarcină: decide inegalități logaritmice, propus în sarcinile USE-2010. Între numerele m și n se pune semnul > sau<.(m, n >0). Descendentă. Pregătește-te pentru examen! Obiectivele lecției: Algebră Clasa a 11-a. Găsiți domeniul de aplicare al funcției.

„Reprezentarea grafică a unei funcții cu un modul” - Graficul unei funcții. Cunoștințe consolidate asupra funcțiilor studiate anterior. Întrebare pentru clasă. Cunoștințe dobândite. Y \u003d x2 - 2x - 3. Funcții de trasare. Generalizare. Funcție liniară. Activitatea proiectului. Y = f(x). Lecție de generalizare și sistematizare a cunoștințelor. Actualizarea cunoștințelor despre graficele funcțiilor. Y = lnx. Încercați să vă construiți propriile grafice. Y \u003d x - 2. Y \u003d sinx.

„Funcții de putere” Gradul 11 ​​„- Funcția y \u003d x0. funcţie cubică. Hiperbolă. Y = x. Funcția y=x-3. Graficul este o parabolă. Puterea functioneaza cu indicator natural. Funcția y \u003d x2n-1. Funcția y = x2n. Funcția de putere. Funcția y=x-2. Funcția y=x4.

„Semnificația geometrică a derivatei unei funcții” - am făcut-o. Rezultatele calculului. Poziția limită a secantei. Găsiți panta. Secantă. Sensul geometric al derivatului. Algoritm pentru compilarea ecuației tangentei. Definiție. Valoarea derivatei funcției. Idee matematică corectă. Ecuația tangentei la graficul funcției. Faceți un cuplu. Ecuația unei drepte cu factor de pantă. Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției.

Semnul modulului este poate unul dintre cele mai multe fenomene interesanteîn matematică. În acest sens, mulți școlari se pun întrebarea cum să construiască grafice ale funcțiilor care conțin un modul. Să examinăm această problemă în detaliu.

1. Trasarea funcțiilor care conțin un modul

Exemplul 1

Trasează funcția y = x 2 – 8|x| + 12.

Soluţie.

Să definim paritatea funcției. Valoarea pentru y(-x) este aceeași cu valoarea pentru y(x), deci această funcție este pară. Apoi graficul său este simetric față de axa Oy. Construim un grafic al funcției y \u003d x 2 - 8x + 12 pentru x ≥ 0 și afișăm simetric graficul relativ la Oy pentru x negativ (Fig. 1).

Exemplul 2

Următorul grafic este y = |x 2 – 8x + 12|.

– Care este intervalul funcției propuse? (y ≥ 0).

- Cum este graficul? (Deasupra sau atingând axa x).

Aceasta înseamnă că graficul funcției este în felul următor: construiți un grafic al funcției y \u003d x 2 - 8x + 12, lăsați neschimbată partea graficului care se află deasupra axei Ox, iar partea din grafic care se află sub axa absciselor este afișată simetric față de Ox axa (Fig. 2).

Exemplul 3

Pentru a reprezenta grafic funcția y = |x 2 – 8|x| + 12| efectuați o combinație de transformări:

y = x 2 - 8x + 12 → y = x 2 - 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.

Răspuns: figura 3.

Transformările considerate sunt valabile pentru toate tipurile de funcții. Să facem un tabel:

2. Trasarea funcțiilor care conțin „module imbricate” în formulă

Am văzut deja exemple funcţie pătratică, care conține modulul, precum și cu reguli generale trasarea funcțiilor de forma y = f(|x|), y = |f(x)| și y = |f(|x|)|. Aceste transformări ne vor ajuta atunci când luăm în considerare următorul exemplu.

Exemplul 4

Se consideră o funcție de forma y = |2 – |1 – |x|||. Expresia care definește funcția conține „module imbricate”.

Soluţie.

Folosim metoda transformărilor geometrice.

Să notăm un lanț de transformări succesive și să facem desenul corespunzător (Fig. 4):

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

Să luăm în considerare cazurile în care simetria și transformările de translație paralelă nu sunt tehnica principală de trasare.

Exemplul 5

Construiți un grafic al unei funcții de forma y \u003d (x 2 - 4) / √ (x + 2) 2.

Soluţie.

Înainte de a construi un grafic, transformăm formula care definește funcția și obținem o altă definiție analitică a funcției (Fig. 5).

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.

Să extindem modulul la numitor:

Pentru x > -2, y = x - 2 și pentru x< -2, y = -(x – 2).

Domeniul D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Domeniul E(y) = (-4; +∞).

Puncte în care graficul se intersectează cu axa de coordonate: (0; -2) și (2; 0).

Funcția scade pentru tot x din intervalul (-∞; -2), crește pentru x de la -2 la +∞.

Aici a trebuit să dezvăluim semnul modulului și să trasăm funcția pentru fiecare caz.

Exemplul 6

Se consideră funcția y = |x + 1| – |x – 2|.

Soluţie.

Extinderea semnului modulului, este necesar să se ia în considerare toate combinațiile posibile de semne ale expresiilor submodulului.

Există patru cazuri posibile:

(x + 1 - x + 2 = 3, cu x ≥ -1 și x ≥ 2;

(-x - 1 + x - 2 = -3, cu x< -1 и x < 2;

(x + 1 + x - 2 = 2x - 1, pentru x ≥ -1 și x< 2;

(-x - 1 - x + 2 = -2x + 1, cu x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Apoi funcția originală va arăta astfel:

(3, pentru x ≥ 2;

y = (-3, la x< -1;

(2x – 1, cu -1 ≤ x< 2.

Am obținut o funcție dată pe bucăți, al cărei grafic este prezentat în Figura 6.

3. Algoritm pentru construirea graficelor de funcții de forma

y = a 1 | x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + topor + b.

În exemplul anterior, a fost destul de ușor să extinzi semnele modulului. Dacă există mai multe sume de module, atunci este problematic să luăm în considerare toate combinațiile posibile de semne ale expresiilor submodulelor. Cum putem reprezenta grafic funcția în acest caz?

Rețineți că graficul este o polilinie, cu vârfuri în puncte având abscisele -1 și 2. Pentru x = -1 și x = 2, expresiile submodulului sunt egale cu zero. Într-un mod practic, am abordat regula pentru construirea unor astfel de grafice:

Graficul unei funcții de forma y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b este o linie întreruptă cu legături de capăt infinite. Pentru a construi o astfel de polilinie, este suficient să cunoașteți toate vârfurile acesteia (abscisele vârfurilor sunt zerouri ale expresiilor submodulelor) și câte un punct de control pe legăturile infinite stânga și dreapta.

Sarcină.

Trasează funcția y = |x| + |x – 1| + |x + 1| și găsiți-i cea mai mică valoare.

Soluţie:

Zerourile expresiilor submodulului: 0; -1; 1. Vârfurile poliliniei (0; 2); (-13); (13). Punct de control în dreapta (2; 6), în stânga (-2; 6). Construim un grafic (Fig. 7). min f(x) = 2.

Aveti vreo intrebare? Nu știți cum să reprezentați grafic o funcție cu un modul?
Pentru a obține ajutorul unui tutor - înregistrați-vă.

site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Lecția 5

Ţintă: stăpânească abilitățile de bază de conversie a graficelor cu module.

I. Comunicarea temei și scopul lecției

II . Repetarea și consolidarea materialului acoperit

1. Răspunsuri la întrebări despre teme pentru acasă(analiza problemelor nerezolvate).

2. Monitorizarea asimilării materialului (sondaj scris).

Opțiunea 1

f (x), reprezentați grafic funcția y = f(-x) + 2?

2. Trasează funcția:

Opțiunea 2

1. Cum, cunoscând graficul funcției y = f (x), reprezentați grafic funcția y = - f(x) - 1?

2. Trasează funcția:

III. Învățarea de materiale noi

Din materialul lecției anterioare se poate observa că metodele de transformare a graficelor sunt extrem de utile în construcția lor. Prin urmare, vom lua în considerare și principalele metode de conversie a graficelor care conțin module. Aceste metode sunt universale și potrivite pentru orice funcție. Pentru simplitatea construcției, vom lua în considerare o funcție liniară pe bucăți f (x) cu domeniul de aplicare D(f ), al cărui grafic este prezentat în figură. Să luăm în considerare trei transformări standard ale graficelor cu module.

1) Trasarea funcției y = | f(x)|

f /(x), dacă Dx)>0,

Prin definiția modulului, obținem:Aceasta înseamnă că pentru a reprezenta grafic funcția y = | f(x )| este necesar să salvați o parte din graficul funcției y \u003d f(x ), pentru care y ≥ 0. Acea parte a graficului funcției y = f (x) pentru care y< 0, надо симметрично отразить вверх относительно оси абсцисс.

2) Trasarea funcției y = f(|x|)

G / O), dacă Dx)> 0,

Extindeți modulul și obțineți:Prin urmare, pentru a reprezenta grafic funcția y = f(|x |) este necesar să se salveze o parte din graficul funcției y = f (x), pentru care x ≥ 0. În plus, această parte trebuie reflectată simetric la stânga față de axa y.

3) Trasarea ecuației |y| = f(x)

După definiția modulului, avem asta pentru f (x) ≥ 0 este necesar să se construiască grafice a două funcții: y = f(x) și y=-f (X). Aceasta înseamnă că pentru a reprezenta grafic ecuația |y| = f (x) este necesar să salvați o parte din graficul funcției y \u003d f (x), pentru care y ≥ 0. În plus, această parte trebuie reflectată simetric în jos față de axa x.

Rețineți că dependența |y| = f (x) nu definește o funcție, adică pentru x∈ (-2,6; 1,4) fiecare valoare x corespunde la două valori y. Prin urmare, figura arată exact graficul ecuației |у| = f(x).

Folosim metodele considerate de conversie a graficelor cu module pentru a reprezenta funcții și ecuații mai complexe.

Exemplul 1

Să diagramăm funcția

Selectăm partea întreagă în această funcțieUn astfel de grafic se obține prin deplasarea graficului funcției y \u003d -1 / X 2 unități la dreapta și 1 unitate în jos. Graficul acestei funcții este o hiperbolă.

Exemplul 2

Să diagramăm funcția

În conformitate cu metoda 1, salvăm partea de grafic din exemplul 1, pentru care y ≥ 0. Acea parte a graficului, pentru care y< 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

Exemplul 3

Să diagramăm funcția

Folosind metoda 2, vom salva partea din grafic din exemplul 1, pentru care x ≥ 0. În plus, vom oglindi această parte salvată în stânga față de axa y. Obținem un grafic al funcției care este simetric față de axa y.

Exemplul 4

Să construim un grafic al ecuației

În conformitate cu metoda 3, salvăm partea graficului din exemplul 1, pentru care y ≥ 0. În plus, reflectăm această parte salvată simetric în jos față de axa absciselor. Obținem graficul acestei ecuații.

Desigur, metodele considerate de conversie a graficelor pot fi utilizate și împreună.

Exemplul 5

Să diagramăm funcția

Folosim graficul funcțieiconstruit în exemplul 3. Pentru a construi acest grafic, salvăm acele părți ale graficului 3 pentru care y ≥ 0. Acele părți ale graficului 3 pentru care y< 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

În cazurile în care modulele sunt dependente într-un mod diferit (decât în ​​metodele 1-3), este necesar să deschideți aceste module.

Exemplul 6

Să diagramăm funcția

Expresiile x - 1 și x + 2 care intră sub semnele modulelor își schimbă semnele la punctele x = 1 și X = -2 respectiv. Să marchem aceste puncte pe linia de coordonate. Îl descompun în trei intervale. Folosind definițiile modulelor, să extindem modulele în fiecare gol.

Primim:

1. Când

2. Când

3. Când

Să construim grafice ale acestor funcții, ținând cont de intervalele pentru variabila x, în care au fost relevate semnele modulului. Primim o linie întreruptă.

Destul de des, atunci când se construiesc grafice de ecuații cu module, se folosește un plan de coordonate pentru a le deschide. Să explicăm acest lucru cu următorul exemplu.

Exemplul 7

Să construim un grafic al ecuației

Expresia y - x își schimbă semnul pe linia dreaptă y = x. Să construim această linie dreaptă - bisectoarea primului și al treilea unghi de coordonate. Această linie împarte punctele planului în două zone: 1 - puncte situate deasupra dreptei y - x; 2 - puncte situate sub această linie. Să deschidem modulul în astfel de zone. În zona 1, luați, de exemplu, punctul de control (0; 5). Vedem că pentru acest punct expresia y - x\u003e 0. Expandând modulul, obținem: y - x + y + x \u003d 4 sau y = 2. Construim o astfel de linie dreaptă în prima regiune. Evident, în regiunea 2, expresia y - x< 0. Раскрывая модуль, имеем: -(у - х) + у + х = 4 или х = 2. Строим эту прямую в пределах области 2. Получаем график данного уравнения.

3. Reprezentați grafic funcția fracțională liniară și ecuația:

4. Trasează graficul funcției, ecuațiilor, inegalităților:

VIII. Rezumând lecția

Subiect: "Funcția exponențială. Metode funcțional-grafice de rezolvare a ecuațiilor, inegalităților, sistemelor"

Ţintă : luați în considerare sarcinile ZNO cu utilizarea funcționale metode grafice pe exemplul funcției exponențiale y \u003d a x, a> 0, a1

Obiectivele lecției:

repetați proprietatea de monotonitate și mărginire a funcției exponențiale;

repetați algoritmul pentru trasarea graficelor de funcții folosind transformări;

găsiți un set de valori și un set de definiții de funcție conform formulei şi folosind o diagramă;

decide ecuații exponențiale, inegalități și sisteme folosind grafice și proprietăți ale funcției.

lucrul cu grafice ale funcțiilor care conțin un modul;

uită-te la diagrame functie complexași gama lor;

În timpul orelor:

1. Discurs introductiv al profesorului. Motivația pentru studierea acestui subiect

slide 1 Functie exponentiala. „Metode funcțional-grafice pentru rezolvarea ecuațiilor și inegalităților”

Metoda funcțional-grafică se bazează pe utilizarea ilustrațiilor grafice, aplicarea proprietăților funcției și permite rezolvarea multor probleme matematice.

Slide 2-3 Goluri și sarcinile de lecție.

Astăzi ne vom uita la sarcinile ZNO diferite niveluri dificultăți în utilizarea metodelor funcțional-grafice pe exemplul funcției exponențiale y \u003d a x, a> o, a1. Cu ajutorul unui program grafic, vom realiza ilustrații pentru sarcini.

slide 4 De ce este important să cunoaștem proprietățile unei funcții exponențiale?

Conform legii funcției exponențiale, toată viața de pe Pământ s-ar înmulți dacă ar exista condiții favorabile pentru aceasta, adică. nu existau dușmani naturali și mâncare din belșug. Dovadă în acest sens este răspândirea iepurilor în Australia, care înainte nu erau acolo. A fost suficient să eliberezi câțiva indivizi, deoarece după un timp, descendenții lor au devenit un dezastru național.

În natură, tehnologie și economie, există numeroase procese în cursul cărora valoarea unei cantități se modifică de același număr de ori, adică conform legii funcției exponențiale. Aceste procese se numesc procese crestere organica sau degradare organică.

De exemplu, creșterea bacteriilor V conditii ideale corespunde procesului de creștere organică; dezintegrare radioactivă– procesul de atenuare organică.

respectă legile creșterii organice creșterea contribuției la banca de economii recuperarea hemoglobineiîn sângele unui donator sau al unei persoane rănite care a pierdut mult sânge.

Dați exemplele dvs

Aplicație în viata reala(doza de medicament).

Notificarea dozei de medicamente:

Toată lumea știe că pastilele recomandate de medic pentru tratament trebuie luate de mai multe ori pe zi, altfel vor fi ineficiente. Necesitatea administrării repetate a medicamentului pentru a menține o concentrație constantă în sânge este cauzată de distrugerea medicamentului în organism. Figura arată cum se modifică concentrația în majoritatea cazurilor medicamenteîn sângele uman sau animal după o singură administrare. Slide 5.

Scăderea concentrației medicamentului poate fi aproximată de un exponent al cărui exponent conține timp. Evident, rata de distrugere a medicamentului în organism ar trebui să fie proporțională cu intensitatea proceselor metabolice.

Se cunoaște un caz tragic, care a avut loc din cauza necunoașterii acestei dependențe. CU punct științific viziunea foarte interesantă pentru psihiatri și neurofiziologi este medicamentul LSD, care provoacă oameni normali un fel de halucinații. Unii cercetători au decis să studieze reacția elefantului la acest medicament. Pentru a face acest lucru, au luat cantitatea de LSD care înfurie pisicile și au înmulțit-o cu numărul de ori de câte ori masa unui elefant este mai mare decât masa unei pisici, crezând că doza de medicament administrat ar trebui să fie direct proporțională cu masa. a animalului. Introducerea unei astfel de doze de LSD la un elefant a dus la moartea acestuia în 5 minute, din care autorii au concluzionat că elefanții au o sensibilitate crescută la acest medicament. O revizuire a acestei lucrări care a apărut mai târziu în presă a numit-o „o greșeală asemănătoare elefantului” de către autorii experimentului.

2. Actualizarea cunoștințelor elevilor.

Ce înseamnă să înveți o funcție? (formulați o definiție, descrieți proprietăți, construiți un grafic)

Care este funcția exponențială? Dă un exemplu.

Care sunt principalele proprietăți ale unei funcții exponențiale?

Domeniu de aplicare (Limitare)

domeniu

monotonitate (condiție ascendentă-descrescătoare)

slide 6 . Specificați setul de valori ale funcției (conform desenului finit)

Slide 7. Denumiți condiția de creștere și scădere a funcției și corelați formula funcției cu graficul acesteia

slide 8. Conform desenului finit, descrieți algoritmul pentru trasarea graficelor de funcții

Slide a) y \u003d 3 x + 2

b) y \u003d 3 x-2 - 2

3. Lucru independent de diagnosticare (folosind un PC).

Clasa este împărțită în două grupe. Partea principală a clasei este realizarea sarcinilor de testare. Elevii puternici îndeplinesc sarcini mai dificile.

Muncă independentăîntr-un programputere punct(pentru partea principală

Muncă independentă (pentru partea puternică a clasei)

Slide 9. Scrieți algoritmul pentru reprezentarea grafică a unei funcții, denumiți domeniul de definiție al acesteia, intervalul de valori, intervalele de creștere, scădere.

slide 10. Potriviți formula unei funcții cu graficul acesteia

Elevii își verifică răspunsurile fără a corecta greșelile, predă munca independentă profesorului

Slide-urile 11-21. Verificarea testului pentru partea principală

4. Studiu subiect nou. Aplicarea metodei funcțional-grafice de rezolvare a ecuațiilor, inegalităților, sistemelor, determinarea gamei de funcții complexe

Slide-urile 22-23. Mod funcțional grafic de rezolvare a ecuațiilor

Pentru a rezolva o ecuație de forma f (x) \u003d g (x) prin metoda grafică funcțională, aveți nevoie de:

Construiți grafice ale funcțiilor y=f(x) și y=g(x) într-un sistem de coordonate.

Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor acestor funcții.

Scrieți răspunsul.

SOLUȚIA ECUATIILOR

Slide 24-25.

Are ecuația o rădăcină și, dacă da, este pozitivă sau negativă?

Slide 26

5. Implementarea lucrărilor practice.

SOLUȚIA ECUATIILOR. DIAPOSITIVI 27-30

Această ecuație poate fi rezolvată grafic. Elevii sunt invitați să finalizeze sarcina și apoi să răspundă la întrebarea: „Este necesar să se construiască grafice ale funcțiilor pentru a rezolva această ecuație?”. Răspuns: „Funcția este în creștere pe întregul domeniu de definiție, iar funcția este în scădere. Prin urmare, graficele unor astfel de funcții au cel mult un punct de intersecție, ceea ce înseamnă că ecuația are cel mult o rădăcină. Prin selecție, constatăm că.

Rezolvați ecuația 3 x = (x-1) 2 + 3

Soluţie: aplicăm metoda funcțională de rezolvare a ecuațiilor:

deoarece acest sistem Are singura decizie, apoi prin metoda de selecție găsim x \u003d 1

SOLUȚIA INEGALITATILOR. Slide-urile 31-33

G Metodele grafice fac posibilă rezolvarea inegalităților care conțin diferite funcții. Pentru a face acest lucru, după trasarea graficelor funcțiilor de pe părțile stânga și dreaptă ale inegalității și după determinarea abscisei punctului de intersecție al graficelor, este necesar să se determine intervalul în care se află toate punctele unuia dintre grafice deasupra. (sub 0 puncte din secunda.

Rezolvați inegalitatea:

a) cos x 1 + 3 x

Soluţie:

Răspuns: ( ; )

Rezolvați grafic inegalitatea.

(Graficul funcției exponențiale se află deasupra funcției scrise în partea dreaptă a ecuației).

Răspuns: x>2. DESPRE

.
Raspuns: x>0.

Funcția exponențială conține semnul modulului în exponent.diapozitivul 34-35

Să repetăm ​​definiția modulului.

(scriind pe tablă)

Faceți notițe în caiet:

1).

2).

Pe diapozitiv este prezentată o ilustrație grafică. Explicați cum sunt construite graficele.

E(y)=(0;1]

Pentru a rezolva această ecuație, trebuie să vă amintiți proprietatea de mărginire a funcției exponențiale. Funcția ia valori > 1, a - 1 < > 1, deci egalitatea este posibilă numai dacă ambele părți ale ecuației sunt simultan egale cu 1. Prin urmare, rezolvând acest sistem, aflăm că X = 0.

.Găsirea intervalului de valori ale unei funcții complexe. Slide-urile 36-37.

Folosind capacitatea de a construi un grafic al unei funcții pătratice, determinați secvențial coordonatele vârfului parabolei, găsiți intervalul.

, este vârful parabolei.

Întrebare: determina natura monotonității funcției.

Funcția exponențială y \u003d 16 t crește, deoarece 16>1.

La cea mai mică valoare indicator de funcție

.

Graficul ilustrează concluzia noastră.

fereastră. google_render_ad(); Ţintă: luați în considerare sarcinile ZNO folosind metode funcționale-grafice folosind exemplul funcției exponențiale y \u003d ax, a> 0, a1

Obiectivele lecției:

l repetați proprietatea de monotonitate și mărginire a funcției exponențiale;

l repetați algoritmul pentru trasarea graficelor de funcții folosind transformări;

Găsesc un set de valori și un set de definiții ale unei funcții sub forma unei formule și folosind un grafic;

l rezolvă ecuații exponențiale, inegalități și sisteme folosind grafice și proprietăți ale funcției.

l lucrați cu grafice ale funcțiilor care conțin modulul;

l iau în considerare graficele unei funcții complexe și domeniul lor;

În timpul orelor:

1. Discurs introductiv al profesorului. Motivația pentru studierea acestui subiect

slide 1 Functie exponentiala. „Metode funcțional-grafice pentru rezolvarea ecuațiilor și inegalităților”

Metoda funcțional-grafică se bazează pe utilizarea ilustrațiilor grafice, aplicarea proprietăților funcției și permite rezolvarea multor probleme matematice.

slide 2 Sarcini pentru lecție

Astăzi vom lua în considerare sarcinile ZNO de diferite niveluri de complexitate folosind metode funcționale-grafice folosind exemplul funcției exponențiale y \u003d ax, a> o, a1. Cu ajutorul unui program grafic, vom realiza ilustrații pentru sarcini.

slide 3 De ce este important să cunoaștem proprietățile unei funcții exponențiale?

Conform legii funcției exponențiale, toată viața de pe Pământ s-ar înmulți dacă ar exista condiții favorabile pentru aceasta, adică nu ar exista dușmani naturali și ar exista hrană din belșug. Dovadă în acest sens este răspândirea iepurilor în Australia, care înainte nu erau acolo. A fost suficient să eliberezi câțiva indivizi, deoarece după un timp, descendenții lor au devenit un dezastru național. În natură, tehnologie și economie, există numeroase procese în cursul cărora valoarea unei cantități se modifică de același număr de ori, adică conform legii unei funcții exponențiale. Aceste procese se numesc procese crestere organica sau degradare organică. De exemplu, creșterea bacteriilorîn condiții ideale corespunde procesului de creștere organică; dezintegrare radioactivă– procesul de atenuare organică. respectă legile creșterii organice creșterea contribuției la banca de economii recuperarea hemoglobineiîn sângele unui donator sau al unei persoane rănite care a pierdut mult sânge. Dați propriile exemple Utilizare în viața reală (doză de medicament).

Notificarea dozei de medicamente:

Toată lumea știe că pastilele recomandate de medic pentru tratament trebuie luate de mai multe ori pe zi, altfel vor fi ineficiente. Necesitatea administrării repetate a medicamentului pentru a menține o concentrație constantă în sânge este cauzată de distrugerea medicamentului în organism. Figura arată cum, în majoritatea cazurilor, concentrația de medicamente în sângele unei persoane sau al unui animal se modifică după o singură injecție. Slide 4.

Scăderea concentrației medicamentului poate fi aproximată de un exponent al cărui exponent conține timp. Evident, rata de distrugere a medicamentului în organism ar trebui să fie proporțională cu intensitatea proceselor metabolice.

Se cunoaște un caz tragic, care a avut loc din cauza necunoașterii acestei dependențe. Din punct de vedere științific, medicamentul LSD, care provoacă halucinații deosebite la oamenii normali, este foarte interesant pentru psihiatri și neurofiziologi. Unii cercetători au decis să studieze reacția elefantului la acest medicament. Pentru a face acest lucru, au luat cantitatea de LSD care înfurie pisicile și au înmulțit-o cu numărul de ori de câte ori masa unui elefant este mai mare decât masa unei pisici, crezând că doza de medicament administrat ar trebui să fie direct proporțională cu masa. a animalului. Introducerea unei astfel de doze de LSD la un elefant a dus la moartea acestuia în 5 minute, din care autorii au concluzionat că elefanții au o sensibilitate crescută la acest medicament. O revizuire a acestei lucrări care a apărut mai târziu în presă a numit-o „o greșeală asemănătoare elefantului” de către autorii experimentului.

2. Actualizarea cunoștințelor elevilor.

Ce înseamnă să studiezi o funcție? (formulați o definiție, descrieți proprietăți, construiți un grafic)

Care este funcția exponențială? Dă un exemplu.

· Care sunt principalele proprietăți ale funcției exponențiale?

Domeniul valorii (limitare)

· domeniu

monotonitate (condiție de creștere și scădere)

· slide 5 . Specificați setul de valori ale funcției (conform desenului finit)

https://pandia.ru/text/80/043/images/image004_92.jpg" width="400" height="400 src=">

https://pandia.ru/text/80/043/images/image006_59.jpg" width="400" height="400 src=">

· Slide 7. Conform desenului finit, descrieți algoritmul pentru trasarea graficelor de funcții

Slide a) y=3x + 2

https://pandia.ru/text/80/043/images/image009_46.jpg" width="353" height="407 src=">

3. Lucru independent de diagnosticare (folosind un PC).

Clasa este împărțită în două grupe. Partea principală a clasei este realizarea sarcinilor de testare. Elevii puternici îndeplinesc sarcini mai dificile.

· Muncă independentă în programputerepunct(pentru partea principală a clasei în funcție de tipul articolelor de testare din ZNO cu formă închisă raspuns)

1. Care dintre funcțiile exponențiale este în creștere?

2. Găsiți domeniul funcției.

3. Găsiți intervalul funcției.

4. Graficul funcției se obține din graficul funcției exponențiale prin translație paralelă de-a lungul axei ... cu .. unități ...

5. În conformitate cu desenul finit, determinați domeniul și domeniul de aplicare al funcției

6. Determinați la ce valoare trece funcția exponențială prin punct.

7. Care figură prezintă un grafic al unei funcții exponențiale cu o bază mai mare decât unu.

8. Potriviți graficul funcției cu formula.

9. Soluția grafică a cărei inegalitate este prezentată în figură.

10. rezolvați grafic inegalitatea (conform desenului finit)

· Muncă independentă (pentru partea puternică a clasei)

· slide 8. Scrieți algoritmul pentru reprezentarea grafică a unei funcții, denumiți domeniul de definiție al acesteia, intervalul de valori, intervalele de creștere, scădere.

· slide 9. Potriviți formula unei funcții cu graficul acesteia

7) https://pandia.ru/text/80/043/images/image018_24.jpg" width="500" height="524 src=">

https://pandia.ru/text/80/043/images/image020_21.gif" width="16 height=13" height="13">)

· Slide 11 (verificați sarcina 8)

Figura prezintă grafice ale funcțiilor exponențiale. Potriviți graficul funcției cu formula.

https://pandia.ru/text/80/043/images/image022_20.gif" width="78" height="27 src=">

https://pandia.ru/text/80/043/images/image024_19.gif" width="104" height="33 src=">

https://pandia.ru/text/80/043/images/image026_16.gif" width="80" height="28 src=">

https://pandia.ru/text/80/043/images/image028_11.gif" width="66" height="27 src=">

4. Învățarea unui subiect nou. Aplicarea metodei funcțional-grafice de rezolvare a ecuațiilor, inegalităților, sistemelor, determinarea gamei de funcții complexe

Slide 12. Mod funcțional grafic de rezolvare a ecuațiilor

Pentru a rezolva o ecuație de forma f (x) \u003d g (x) prin metoda grafică funcțională, aveți nevoie de:

Construiți grafice ale funcțiilor y=f(x) și y=g(x) într-un sistem de coordonate.

Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor acestor funcții.

Scrieți răspunsul.

SARCINA №1 SOLUȚIA ECUATIILOR

Slide 13.

Are ecuația o rădăcină și, dacă da, este pozitivă sau negativă?

(4/3) x= 4

Slide 14

https://pandia.ru/text/80/043/images/image044_10.jpg" width="94" height="21">

https://pandia.ru/text/80/043/images/image046_3.gif" width="67" height="21">

slide 15.

Această ecuație poate fi rezolvată grafic. Elevii sunt invitați să finalizeze sarcina și apoi să răspundă la întrebarea: „Este necesar să se construiască grafice ale funcțiilor pentru a rezolva această ecuație?”. Răspuns: „Funcția este în creștere pe întregul domeniu de definiție, iar funcția este în scădere. Prin urmare, graficele unor astfel de funcții au cel mult un punct de intersecție, ceea ce înseamnă că ecuația are cel mult o rădăcină. Prin selecție, constatăm că.

Rezolvați ecuația:

3x = (x-1) 2 + 3

slide 16. .Rezolvare: aplicati metoda functionala de rezolvare a ecuatiilor:

https://pandia.ru/text/80/043/images/image051_3.gif" width="109" height="53">

întrucât acest sistem are o soluție unică, atunci prin metoda de selecție găsim x = 1

SARCINA № 2 SOLUȚIA INEGALITATILOR

Metodele grafice fac posibilă rezolvarea inegalităților care conțin diferite funcții. Pentru a face acest lucru, după trasarea graficelor funcțiilor de pe părțile stânga și dreaptă ale inegalității și după determinarea abscisei punctului de intersecție al graficelor, este necesar să se determine intervalul în care se află toate punctele unuia dintre grafice deasupra. (sub 0 puncte din secunda.

· Rezolvați inegalitatea:

diapozitivul 17.

a) cos x 1 + 3x

slide 18. Soluţie:

https://pandia.ru/text/80/043/images/image054_4.gif" width="300" height="50">

Răspuns: ( ; )

Rezolvați grafic inegalitatea.

Slide 19.

Ce se poate spune despre graficele funcțiilor https://pandia.ru/text/80/043/images/image058_2.gif" width="18" height="21 src=">>12 - 1,5x

https://pandia.ru/text/80/043/images/image060_2.gif" width="59" height="22 src=">

https://pandia.ru/text/80/043/images/image062_2.gif" width="144" height="53"> (scriere pe tablă)

slide 20.

Faceți notițe în caiet:

1).

2).

Ilustrația grafică este prezentată pe diapozitiv. Explicați cum sunt construite graficele.

https://pandia.ru/text/80/043/images/image066_1.gif" width="12" height="23 src=">

https://pandia.ru/text/80/043/images/image068_2.gif" width="21" height="21">

https://pandia.ru/text/80/043/images/image070_3.jpg" width="400" height="400 src=">

E(y)=(0;1]

Slide 21.

Pentru a rezolva această ecuație, trebuie să vă amintiți proprietatea de mărginire a funcției exponențiale.gif" width="36" height="14"> > 1, deci egalitatea este posibilă numai dacă ambele părți ale ecuației sunt simultan egale cu 1. Prin urmare, rezolvând acest sistem, aflăm că X = 0.

SARCINA 4. Găsirea gamei de funcții complexe.

slide 22.

Folosind capacitatea de a construi un grafic al unei funcții pătratice, determinați secvențial coordonatele vârfului parabolei, găsiți intervalul.

slide 23.

, este vârful parabolei.

https://pandia.ru/text/80/043/images/image080_4.jpg" width="103" height="44">

Întrebare: determina natura monotonității funcției.