În manualele „vechi”, se mai numește și regula „lanțului”. Astfel, dacă y \u003d f (u) și u \u003d φ (x), acesta este

y \u003d f (φ (x))

complex - funcţie compusă (compunerea funcţiilor) apoi

Unde , după ce calculul este considerat la u = φ (x).

Rețineți că aici am luat compoziții „diferite” din aceleași funcții, iar rezultatul diferențierii s-a dovedit a fi în mod natural dependent de ordinea „amestecării”.

Regula lanțului se extinde în mod natural la compoziția a trei sau mai multe funcții. În acest caz, vor exista trei sau mai multe „legături” în „lanțul” care alcătuiește, respectiv, derivatul. Iată o analogie cu înmulțirea: „avem” - un tabel de derivate; „acolo” - tabla înmulțirii; „cu noi” este o regulă în lanț și „există” o regulă de înmulțire cu o „coloană”. Când se calculează astfel de derivate „complexe”, desigur, nu sunt introduse argumente auxiliare (u¸v etc.), dar, notând pentru ei înșiși numărul și succesiunea de funcții care participă la compoziție, ele „înșiră” legăturile corespunzătoare în ordinea indicată.

. Aici se efectuează cinci operații cu „x” pentru a obține valoarea lui „y”, adică are loc o compunere de cinci funcții: „extern” (ultima dintre ele) - exponențială - e ; atunci în ordine inversă este o lege a puterii. (♦) 2 ; sin trigonometric (); putere. () 3 și în final ln. logaritmică (). De aceea

Următoarele exemple vor „ucide perechi de păsări dintr-o singură piatră”: vom exersa diferențierea funcțiilor complexe și vom completa tabelul de derivate functii elementare. Asa de:

4. Pentru functie de putere- y \u003d x α - rescriindu-l folosind binecunoscuta „identitate logaritmică de bază” - b \u003d e ln b - sub forma x α \u003d x α ln x obținem

5. Gratuit functie exponentiala aplicând aceeași metodă, vom avea

6. Pentru o funcție logaritmică arbitrară, folosind formula binecunoscută pentru trecerea la o nouă bază, obținem succesiv

.

7. Pentru a diferenția tangenta (cotangenta), folosim regula de diferențiere a coeficientului:

Pentru a obține derivate ale funcțiilor trigonometrice inverse, folosim relația care este satisfăcută de derivatele a două funcții reciproc inverse, adică funcțiile φ (x) și f (x) conectate prin relațiile:

Iată raportul

Este din această formulă pentru funcții reciproc inverse

Și
,

În final, le rezumăm pe acestea și pe altele, la fel de ușor de obținut, în tabelul următor.

Dacă g(X) Și f(u) sunt funcții diferențiabile ale argumentelor lor, respectiv, la puncte XȘi u= g(X), atunci funcția complexă este și ea diferențiabilă la punct X si se gaseste prin formula

O greșeală tipică în rezolvarea problemelor pe derivate este transferul automat al regulilor de diferențiere a funcțiilor simple de funcții complexe. Vom învăța să evităm această greșeală.

Exemplul 2 Aflați derivata unei funcții

Solutie gresita: calculați logaritmul natural al fiecărui termen dintre paranteze și găsiți suma derivatelor:

Solutia corecta: iarăși stabilim unde este „mărul” și unde este „carnea tocată”. Aici, logaritmul natural al expresiei dintre paranteze este „mărul”, adică funcția de pe argumentul intermediar u, iar expresia dintre paranteze este „carne tocată”, adică un argument intermediar u prin variabila independenta X.

Apoi (folosind formula 14 din tabelul derivatelor)

În multe probleme reale, expresia cu logaritmul este ceva mai complicată, motiv pentru care există o lecție

Exemplul 3 Aflați derivata unei funcții

Solutie gresita:

Soluție corectă.Încă o dată, stabilim unde este „mărul” și unde este „carnea tocată”. Aici, cosinusul expresiei dintre paranteze (formula 7 din tabelul derivatelor) este „măr”, este pregătit în modul 1, care îl afectează numai pe acesta, iar expresia dintre paranteze (derivata gradului - numărul 3 în tabelul derivatelor) este „carne tocată”, se gătește în modul 2, afectându-l doar pe acesta. Și, ca întotdeauna, conectăm două derivate cu un semn de produs. Rezultat:

Derivata unei funcții logaritmice complexe este o sarcină frecventă în teste, așa că vă recomandăm insistent să vizitați lecția „Derivată a unei funcții logaritmice”.

Primele exemple au fost pentru funcții complexe, în care argumentul intermediar asupra variabilei independente era o funcție simplă. Dar în sarcini practice adesea este necesar să se găsească derivata unei funcții complexe, în care argumentul intermediar este fie el însuși o funcție complexă, fie conține o astfel de funcție. Ce să faci în astfel de cazuri? Găsiți derivate ale unor astfel de funcții folosind tabele și reguli de diferențiere. Când se găsește derivata argumentului intermediar, aceasta este pur și simplu substituită în locul potrivit în formulă. Mai jos sunt două exemple despre cum se face acest lucru.

În plus, este util să știți următoarele. Dacă o funcţie complexă poate fi reprezentată ca un lanţ de trei funcţii

atunci derivata sa ar trebui găsită ca produsul derivatelor fiecăreia dintre aceste funcții:

Multe dintre temele dvs. ar putea necesita să deschideți tutoriale în ferestre noi. Acțiuni cu puteri și rădăciniȘi Acțiuni cu fracții .

Exemplul 4 Aflați derivata unei funcții

Aplicam regula de diferentiere a unei functii complexe, fara a uita ca in produsul rezultat al derivatelor, argumentul intermediar fata de variabila independenta X nu se schimba:

Pregătim al doilea factor al produsului și aplicăm regula de diferențiere a sumei:

Al doilea termen este rădăcina, deci

Astfel, s-a obținut că argumentul intermediar, care este suma, conține o funcție complexă ca unul dintre termeni: exponențiația este o funcție complexă, iar ceea ce este ridicat la o putere este un argument intermediar printr-o variabilă independentă. X.

Prin urmare, aplicăm din nou regula de diferențiere a unei funcții complexe:

Transformăm gradul primului factor într-o rădăcină și diferențiind al doilea factor, nu uităm că derivata constantei este egală cu zero:

Acum putem găsi derivata argumentului intermediar necesară pentru a calcula derivata funcției complexe cerute în starea problemei y:

Exemplul 5 Aflați derivata unei funcții

În primul rând, folosim regula diferențierii sumei:

Obțineți suma derivatelor a două funcții complexe. Găsiți primul:

Aici, ridicarea sinusului la o putere este o funcție complexă, iar sinusul însuși este un argument intermediar în variabila independentă X. Prin urmare, folosim regula de diferențiere a unei funcții complexe, pe parcurs scotând multiplicatorul din paranteze :

Acum găsim al doilea termen dintre cei care formează derivata funcției y:

Aici, ridicarea cosinusului la o putere este o funcție complexă f, iar cosinusul însuși este un argument intermediar față de variabila independentă X. Din nou, folosim regula de diferențiere a unei funcții complexe:

Rezultatul este derivata necesară:

Tabel de derivate ale unor funcții complexe

Pentru funcțiile complexe, bazate pe regula de diferențiere a unei funcții complexe, formula pentru derivata unei funcții simple ia o formă diferită.

1. Derivată a unei funcții de putere complexe, unde u X
2. Derivat al rădăcinii expresiei
3. Derivata functiei exponentiale
4. Caz special al funcției exponențiale
5. Derivată a unei funcții logaritmice cu o bază pozitivă arbitrară A
6. Derivata unei functii logaritmice complexe, unde u este o funcție diferențiabilă a argumentului X
7. Derivat sinus
8. Derivat de cosinus
9. Derivată tangentă
10. Derivat de cotangente
11. Derivată a arcsinusului
12. Derivată a arccosinusului
13. Derivată de arc tangente
14. Derivată a tangentei inverse

derivate complexe. Derivată logaritmică.
Derivată a funcției exponențiale

Continuăm să ne îmbunătățim tehnica de diferențiere. În această lecție, vom consolida materialul acoperit, vom lua în considerare derivate mai complexe și, de asemenea, ne vom familiariza cu noi trucuri și trucuri pentru găsirea derivatei, în special, cu derivata logaritmică.

Acei cititori care au un nivel scăzut de pregătire ar trebui să consulte articolul Cum să găsesc derivatul? Exemple de soluții ceea ce vă va permite să vă ridicați abilitățile aproape de la zero. În continuare, trebuie să studiați cu atenție pagina Derivată a unei funcții compuse, înțelegeți și rezolvați Toate exemplele pe care le-am dat. Această lecție este în mod logic a treia la rând și, după ce o stăpânești, vei diferenția cu încredere funcții destul de complexe. Nu este de dorit să rămâneți la poziția „Unde altundeva? Și este suficient!”, deoarece toate exemplele și soluțiile sunt preluate din real lucrări de controlși des întâlnite în practică.

Să începem cu repetarea. La lectie Derivată a unei funcții compuse am luat în considerare o serie de exemple cu comentarii detaliate. În timpul studiului calculului diferenţial şi a altor secţiuni analiză matematică- va trebui să diferențiezi foarte des și nu este întotdeauna convenabil (și nu întotdeauna necesar) să pictezi exemple în detaliu. Prin urmare, vom exersa în găsirea orală a derivaților. Cei mai potriviți „candidați” pentru aceasta sunt derivate ale celei mai simple funcții complexe, de exemplu:

Conform regulii de diferenţiere a unei funcţii complexe :

Când studiați alte subiecte matan în viitor, o înregistrare atât de detaliată nu este de cele mai multe ori necesară, se presupune că studentul este capabil să găsească derivate similare pe pilotul automat. Să ne imaginăm că la ora 3 dimineața era o apel telefonic, iar o voce plăcută a întrebat: „Care este derivata tangentei a doi x?”. Aceasta ar trebui să fie urmată de un răspuns aproape instantaneu și politicos: .

Primul exemplu va fi destinat imediat decizie independentă.

Exemplul 1

Găsiți pe cale orală următoarele derivate, într-un singur pas, de exemplu: . Pentru a finaliza sarcina, trebuie doar să utilizați tabel de derivate ale funcțiilor elementare(dacă nu și-a amintit deja). Dacă aveți dificultăți, vă recomand să recitiți lecția Derivată a unei funcții compuse.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Răspunsuri la sfârșitul lecției

Derivate complexe

După pregătirea preliminară a artileriei, exemplele cu 3-4-5 atașamente de funcții vor fi mai puțin înfricoșătoare. Poate că următoarele două exemple vor părea complicate unora, dar dacă sunt înțelese (cineva va suferi), atunci aproape orice altceva este calcul diferenţial va părea o glumă de copil.

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții

După cum sa menționat deja, atunci când găsiți derivata unei funcții complexe, în primul rând, este necesar DreaptaÎNȚELEGE INVESTIȚII. În cazurile în care există îndoieli, vă reamintesc un truc util: luăm valoarea experimentală „x”, de exemplu, și încercăm (mental sau pe un draft) să înlocuim valoare datăîntr-o expresie groaznică.

1) Mai întâi trebuie să calculăm expresia, astfel încât suma este cea mai adâncă cuibărit.

2) Apoi trebuie să calculați logaritmul:

4) Apoi cubează cosinusul:

5) La al cincilea pas, diferența:

6) Și în sfârșit, funcția cea mai exterioară este rădăcina pătrată:

Formula de diferențiere a funcției complexe sunt aplicate în ordine inversă, de la funcția cea mai exterioară la cea mai interioară. Noi decidem:

Se pare că nu este nicio eroare...

(1) Luăm derivata rădăcinii pătrate.

(2) Luăm derivata diferenței folosind regula

(3) Derivata tripluului este egală cu zero. În al doilea termen, luăm derivata gradului (cubul).

(4) Luăm derivata cosinusului.

(5) Luăm derivata logaritmului.

(6) În cele din urmă, luăm derivatul celui mai adânc cuibărit.

Poate părea prea dificil, dar acesta nu este cel mai brutal exemplu. Luați, de exemplu, colecția lui Kuznetsov și veți aprecia tot farmecul și simplitatea derivatului analizat. Am observat că le place să dea un lucru similar la examen pentru a verifica dacă studentul înțelege cum să găsească derivata unei funcții complexe sau nu înțelege.

Următorul exemplu este pentru o soluție independentă.

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții

Sugestie: Mai întâi aplicăm regulile de liniaritate și regula de diferențiere a produsului

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Este timpul să trecem la ceva mai compact și mai frumos.
Nu este neobișnuit pentru o situație în care produsul nu a două, ci a trei funcții este dat într-un exemplu. Cum să găsiți derivata produsului a trei factori?

Exemplul 4

Aflați derivata unei funcții

În primul rând, ne uităm, dar este posibil să transformăm produsul a trei funcții într-un produs a două funcții? De exemplu, dacă am avea două polinoame în produs, atunci am putea deschide parantezele. Dar în acest exemplu, toate funcțiile sunt diferite: grad, exponent și logaritm.

În astfel de cazuri, este necesar rand pe rand aplica regula de diferentiere a produselor de două ori

Trucul este că pentru „y” notăm produsul a două funcții: , iar pentru „ve” - logaritmul:. De ce se poate face asta? Este - acesta nu este produsul a doi factori și regula nu funcționează?! Nu este nimic complicat:

Acum rămâne să aplici regula a doua oară la paranteză:

Puteți încă perverti și să scoateți ceva din paranteze, dar în acest caz este mai bine să lăsați răspunsul în această formă - va fi mai ușor de verificat.

Exemplul de mai sus poate fi rezolvat în al doilea mod:

Ambele soluții sunt absolut echivalente.

Exemplul 5

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, în probă se rezolvă în primul mod.

Luați în considerare exemple similare cu fracții.

Exemplul 6

Aflați derivata unei funcții

Aici puteți merge în mai multe moduri:

Sau cam asa:

Dar soluția poate fi scrisă mai compact dacă, în primul rând, folosim regula de diferențiere a coeficientului , luând pentru întregul numărător:

În principiu, exemplul este rezolvat, iar dacă este lăsat în această formă, nu va fi o greșeală. Dar dacă aveți timp, este întotdeauna indicat să verificați o ciornă, dar este posibil să simplificați răspunsul? Aducem expresia numărătorului la un numitor comun și scăpați de fracția cu trei etaje:

Dezavantajul simplificărilor suplimentare este că există riscul de a greși nu la găsirea unui derivat, ci la banale transformări școlare. Pe de altă parte, profesorii resping adesea sarcina și cer să „aducă în minte” derivatul.

Un exemplu mai simplu pentru o soluție do-it-yourself:

Exemplul 7

Aflați derivata unei funcții

Continuăm să stăpânim tehnicile de găsire a derivatei, iar acum vom lua în considerare un caz tipic în care se propune un logaritm „teribil” pentru diferențiere

Exemplul 8

Aflați derivata unei funcții

Aici puteți parcurge un drum lung, folosind regula de diferențiere a unei funcții complexe:

Dar chiar primul pas te cufundă imediat în deznădejde - trebuie să iei o derivată neplăcută de grad fracționar și apoi și dintr-o fracție.

De aceea inainte de cum să luați derivatul logaritmului „fantezist”, acesta este anterior simplificat folosind proprietăți școlare binecunoscute:

! Dacă aveți la îndemână un caiet de practică, copiați aceste formule chiar acolo. Dacă nu aveți caiet, desenați-le pe o foaie de hârtie, deoarece restul exemplelor lecției se vor învârti în jurul acestor formule.

Soluția în sine poate fi formulată astfel:

Să transformăm funcția:

Găsim derivata:

Transformarea preliminară a funcției în sine a simplificat foarte mult soluția. Astfel, atunci când se propune un logaritm similar pentru diferențiere, este întotdeauna recomandabil să-l „defalci”.

Și acum câteva exemple simple pentru o soluție independentă:

Exemplul 9

Aflați derivata unei funcții

Exemplul 10

Aflați derivata unei funcții

Toate transformările și răspunsurile la sfârșitul lecției.

derivată logaritmică

Dacă derivatul logaritmilor este o muzică atât de dulce, atunci se pune întrebarea, este posibil în unele cazuri să se organizeze logaritmul în mod artificial? Poate sa! Și chiar necesar.

Exemplul 11

Aflați derivata unei funcții

Exemple similare pe care le-am luat în considerare recent. Ce să fac? Se poate aplica succesiv regula de diferențiere a coeficientului, iar apoi regula de diferențiere a produsului. Dezavantajul acestei metode este că obțineți o fracțiune uriașă de trei etaje, cu care nu doriți să vă ocupați deloc.

Dar în teorie și practică există un lucru atât de minunat ca derivata logaritmică. Logaritmii pot fi organizați artificial prin „atârnând” pe ambele părți:

Notă : deoarece funcția poate lua valori negative, atunci, în general, trebuie să utilizați module: , care dispar ca urmare a diferențierii. Cu toate acestea, designul actual este, de asemenea, acceptabil, unde implicit complex valorile. Dar dacă cu toată rigoarea, atunci în ambele cazuri este necesar să se facă o rezervă că.

Acum trebuie să „descompuneți” cât mai mult posibil logaritmul din partea dreaptă (formule în fața ochilor?). Voi descrie acest proces în detaliu:

Să începem cu diferențierea.
Încheiem ambele părți cu o lovitură:

Derivatul din partea dreaptă este destul de simplu, nu îl voi comenta, pentru că dacă citiți acest text, ar trebui să îl puteți gestiona cu încredere.

Dar partea stângă?

Pe partea stângă avem functie complexa. Prevăd întrebarea: „De ce, există o literă „y” sub logaritm?”.

Faptul este că această „o litera y” - ESTE O FUNCȚIE în sine(dacă nu este foarte clar, consultați articolul Derivată a unei funcții specificată implicit). Prin urmare, logaritmul este o funcție externă, iar „y” este funcție internă. Și folosim regula de diferențiere a funcției compuse :

Pe partea stângă, parcă de un val bagheta magica avem o derivată. În plus, conform regulii proporției, aruncăm „y” de la numitorul părții stângi în partea de sus a părții drepte:

Și acum ne amintim despre ce fel de „joc”-funcție am vorbit la diferențiere? Să ne uităm la starea:

Răspuns final:

Exemplul 12

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Exemplu de proiect al unui exemplu de acest tip la sfârșitul lecției.

Cu ajutorul derivatei logaritmice a fost posibil să se rezolve oricare dintre exemplele nr. 4-7, un alt lucru este că funcțiile de acolo sunt mai simple și, poate, utilizarea derivatei logaritmice nu este foarte justificată.

Derivată a funcției exponențiale

Nu am luat în considerare această funcție încă. O funcție exponențială este o funcție care are iar gradul și baza depind de "x". Un exemplu clasic care vă va fi dat în orice manual sau la orice prelegere:

Cum se află derivata unei funcții exponențiale?

Este necesar să se folosească tehnica tocmai considerată - derivata logaritmică. Agățăm logaritmi pe ambele părți:

De regulă, gradul este scos de sub logaritmul din partea dreaptă:

Ca urmare, în partea dreaptă avem un produs a două funcții, care va fi diferențiat conform formulei standard .

Găsim derivata, pentru aceasta închidem ambele părți sub linii:

Următorii pași sunt simpli:

In cele din urma:

Dacă o transformare nu este complet clară, vă rugăm să recitiți cu atenție explicațiile din Exemplul 11.

În sarcinile practice, funcția exponențială va fi întotdeauna mai complicată decât exemplul de prelegere considerat.

Exemplul 13

Aflați derivata unei funcții

Folosim derivata logaritmică.

În partea dreaptă avem o constantă și produsul a doi factori - „x” și „logaritmul logaritmului lui x” (un alt logaritm este imbricat sub logaritm). La diferențierea unei constante, așa cum ne amintim, este mai bine să o scoateți imediat din semnul derivatului, astfel încât să nu ia în cale; și, bineînțeles, aplicați regula familiară :

Această lecție este dedicată subiectului „Diferențierea funcțiilor complexe. O sarcină din practica pregătirii pentru examenul unificat de stat la matematică. În această lecție, studiem diferențierea funcțiilor complexe. Se întocmește un tabel cu derivatele unei funcții complexe. În plus, este luat în considerare un exemplu de rezolvare a unei probleme din practica pregătirii pentru USE în matematică.

Tema: Derivată

Lecție: Diferențierea unei funcții complexe. Sarcină din practica pregătirii pentru examenul de matematică

complexfuncţie am diferențiat deja, dar argumentul a fost o funcție liniară, și anume, știm să diferențiem funcția . De exemplu, . Acum, în același mod, vom găsi derivate ale unei funcții complexe, unde în loc de funcție liniară poate fi o altă funcție.

Să începem cu funcția

Deci, am găsit derivata sinusului unei funcții complexe, unde argumentul sinusului a fost o funcție pătratică.

Dacă este necesar să se găsească valoarea derivatei într-un anumit punct, atunci acest punct trebuie înlocuit cu derivata găsită.

Deci, în două exemple am văzut cum funcționează regula diferenţiere complex funcții.

2.

3. . Amintiți-vă că.

7.

8. .

Astfel, tabelul de diferențiere a funcțiilor complexe, în această etapă, va fi completat. Mai departe, desigur, se va generaliza și mai mult, iar acum să trecem la probleme specifice asupra derivatei.

În practica pregătirii pentru examen se propun următoarele sarcini.

Găsiți minimul unei funcții .

ODZ: .

Să găsim derivata. Amintiți-vă că, .

Să echivalăm derivata cu zero. Punct - este inclus în ODZ.

Să găsim intervalele de semn constant ale derivatei (intervale de monotonitate a funcției) (vezi Fig. 1).

Orez. 1. Intervale de monotonitate pentru o funcție .

Luați în considerare un punct și aflați dacă este un punct extremum. Un semn suficient al unui extremum este că derivata își schimbă semnul când trece printr-un punct. În acest caz, derivata își schimbă semnul, ceea ce înseamnă că este un punct extremum. Deoarece derivata își schimbă semnul de la „-” la „+”, atunci - punctul minim. Aflați valoarea funcției în punctul minim: . Să desenăm o diagramă (vezi Fig. 2).

Fig.2. Funcția extremum .

Pe interval - funcția scade, pe - funcția crește, punctul extremum este unic. Cea mai mică valoare funcţia acceptă numai la punctul .

În lecție, am luat în considerare diferențierea funcțiilor complexe, am întocmit un tabel și am examinat regulile de diferențiere a unei funcții complexe, am dat un exemplu de utilizare a unui derivat din practica pregătirii pentru examen.

1. Algebra și începutul analizei, nota 10 (în două părți). Manual pentru instituțiile de învățământ ( nivel de profil) ed. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra și începutul analizei, nota 10 (în două părți). Caiet de sarcini pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil), ed. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebră și analiză matematică pentru clasa a 10-a ( tutorial pentru elevii școlilor și claselor cu studiu aprofundat al matematicii).-M .: Educație, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Un studiu aprofundat al algebrei și al analizei matematice.-M .: Education, 1997.

5. O colecție de sarcini în matematică pentru candidații la universitățile tehnice (sub redacția M.I.Skanavi).-M.: Liceu, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Antrenor algebric.-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Algebra și începuturile analizei. 8-11 celule: Un manual pentru școli și clase cu studiu aprofundat al matematicii (materiale didactice) - M .: Drofa, 2002.

8. Saakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Tasks in Algebra and the Beginnings of Analysis (un manual pentru elevii din clasele 10-11 ale instituțiilor de învățământ general).-M .: Educație, 2003.

9. Karp A.P. Culegere de probleme de algebră și începuturile analizei: manual. alocație pentru 10-11 celule. cu o adâncime studiu matematică.-M.: Educaţie, 2006.

10. Glazer G.I. Istoria matematicii la scoala. Clasele 9-10 (un ghid pentru profesori).-M.: Enlightenment, 1983

Resurse web suplimentare

2. Portal Stiintele Naturii ().

face acasa

Nr. 42.2, 42.3 (Algebra și începuturile analizei, nota 10 (în două părți). Caiet de sarcini pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil) editat de A. G. Mordkovich. - M .: Mnemozina, 2007.)

Decide sarcini fizice sau exemple în matematică este complet imposibil fără cunoașterea derivatei și a metodelor de calcul al acesteia. Derivatul este unul dintre cele mai importante concepte analiză matematică. Am decis să dedicăm articolul de astăzi acestui subiect fundamental. Ce este o derivată, care este semnificația sa fizică și geometrică, cum se calculează derivata unei funcții? Toate aceste întrebări pot fi combinate într-una singură: cum să înțelegeți derivatul?

Sensul geometric și fizic al derivatului

Să existe o funcție f(x) , dat într-un anumit interval (a,b) . Punctele x și x0 aparțin acestui interval. Când x se schimbă, funcția în sine se schimbă. Schimbarea argumentului - diferența valorilor sale x-x0 . Această diferență este scrisă ca delta x și se numește increment de argument. Modificarea sau creșterea unei funcții este diferența dintre valorile funcției în două puncte. Definiție derivată:

Derivata unei funcții într-un punct este limita raportului dintre incrementul funcției la un punct dat și incrementul argumentului atunci când acesta din urmă tinde spre zero.

Altfel se poate scrie asa:

Ce rost are să găsești o astfel de limită? Dar care:

derivata unei funcții într-un punct este egală cu tangentei unghiului dintre axa OX și tangentei la graficul funcției într-un punct dat.

Semnificația fizică a derivatului: derivata în timp a traseului este egală cu viteza mișcării rectilinie.

Într-adevăr, încă din vremea școlii, toată lumea știe că viteza este o cale privată. x=f(t) si timpul t . viteza medie pentru o anumită perioadă de timp:

Pentru a afla viteza de mișcare la un moment dat t0 trebuie să calculați limita:

Regula unu: scoate constanta

Constanta poate fi scoasă din semnul derivatei. Mai mult, trebuie făcut. Când rezolvați exemple la matematică, luați ca regulă - dacă puteți simplifica expresia, asigurați-vă că simplificați .

Exemplu. Să calculăm derivata:

Regula a doua: derivata sumei functiilor

Derivata sumei a doua functii este egala cu suma derivatelor acestor functii. Același lucru este valabil și pentru derivata diferenței de funcții.

Nu vom da o demonstrație a acestei teoreme, ci mai degrabă vom lua în considerare un exemplu practic.

Aflați derivata unei funcții:

Regula trei: derivata produsului de funcții

Derivata produsului a doua functii diferentiabile se calculeaza prin formula:

Exemplu: găsiți derivata unei funcții:

Soluţie:

Aici este important de spus despre calculul derivatelor funcțiilor complexe. Derivata unei functii complexe este egala cu produsul derivatei acestei functii fata de argumentul intermediar cu derivata argumentului intermediar fata de variabila independenta.

În exemplul de mai sus, întâlnim expresia:

În acest caz, argumentul intermediar este de 8x față de a cincea putere. Pentru a calcula derivata unei astfel de expresii, luăm în considerare mai întâi derivata funcției externe în raport cu argumentul intermediar și apoi înmulțim cu derivata argumentului intermediar în sine față de variabila independentă.

Regula a patra: derivata coeficientului a două funcții

Formula pentru determinarea derivatei unui cât de două funcții:

Am încercat să vorbim despre derivate pentru manechine de la zero. Acest subiect nu este atât de simplu pe cât pare, așa că fiți atenți: există adesea capcane în exemple, așa că aveți grijă când calculați derivatele.

Cu orice întrebare pe acest subiect și alte subiecte, puteți contacta serviciul pentru studenți. In spate Pe termen scurt vă vom ajuta să rezolvați cel mai dificil test și să vă ocupați de sarcini, chiar dacă nu v-ați mai ocupat niciodată de calculul derivatelor.