Sensul fizic al tangentei. Semnificația fizică a derivatei unei funcții

Obiectivele lecției:

Educational:

• Pentru a crea condiții pentru asimilarea semnificativă de către studenți a sensului fizic al derivatului.
• Contribuie la formarea deprinderilor și abilităților uz practic derivat pentru rezolvarea diverselor probleme fizice.

În curs de dezvoltare:

• Să promoveze dezvoltarea orizonturilor matematice, interesul cognitiv în rândul studenților prin dezvăluirea necesității practice și a semnificației teoretice a temei.
• Oferiți condiții pentru îmbunătățirea abilităților mentale ale elevilor: comparați, analizați, generalizați.

Educational:

• Promovarea interesului pentru matematică.

Tip de lecție: O lecție de stăpânire a noilor cunoștințe.

Forme de lucru: frontal, individual, de grup.

Echipament: Computer, tablă interactivă, prezentare, manual.

Structura lecției:

1. Organizarea timpului stabilirea scopului lecției
2. Învățarea de materiale noi
3. Fixarea primară a materialului nou
4. Muncă independentă
5. Rezumatul lecției. Reflecţie.

În timpul orelor

eu. Moment organizatoric, stabilirea scopului lecției (2 min.)

II. Învățarea de materiale noi (10 min.)

Profesor:În lecțiile anterioare, ne-am familiarizat cu regulile de calcul a derivatelor, am învățat cum să găsim derivate ale unei puteri liniare, funcții trigonometrice. Am învățat care este semnificația geometrică a derivatei. Astăzi, în lecție, vom afla unde este aplicat acest concept în fizică.

Pentru aceasta, amintim definiția derivatei (Diapozitivul 2)

Acum să trecem la cursul de fizică (Diapozitivul 3)

Elevii raționează, își amintesc concepte și formule fizice.

Fie mișcarea corpului conform legii S(t)=f(t) Să considerăm calea parcursă de corp în timpul de la t 0 la t 0 + Δ t, unde Δt este incrementul argumentului. În momentul t 0 corpul a trecut pe calea S(t 0), în momentul t 0 +Δt - calea S(t 0 +Δt). Prin urmare, în timpul Δt, corpul a parcurs calea S(t 0 +Δt) –S(t 0), adică. avem un increment de funcție. viteza medie mișcările corpului în această perioadă de timp υ==

Cu cât intervalul de timp t este mai scurt, cu atât putem afla mai precis cu ce viteză se mișcă corpul în momentul t. Lăsând t → 0, obținem viteza instantanee - valoarea numerică a vitezei în momentul t al acestei mișcări.

υ= , la Δt→0 viteza este derivata distantei in raport cu timpul.

slide 4

Amintiți-vă definiția accelerației.

Aplicând materialul de mai sus, putem concluziona că la t a(t)= υ’(t) accelerația este derivata vitezei.

În plus, pe tabla interactivă apar formule pentru puterea curentului, viteza unghiulară, EMF etc. Elevii completează valorile instantanee ale datelor mărimi fizice prin conceptul de derivat. (Cu absență tablă interactivă utilizați prezentarea)

Slide-urile 5-8

Concluzia o fac elevii.

Concluzie:(Diapozitivul 9) Derivata este rata de schimbare a funcției. (Funcții de cale, coordonate, viteză, flux magnetic etc.)

υ (x) \u003d f '(x)

Profesor: Vedem că relația dintre caracteristicile cantitative ale celor mai diverse procese studiate de fizică, stiinte tehnice, chimia, este analogă cu relația dintre cale și viteză. Puteți da o mulțime de probleme, pentru a căror rezolvare este, de asemenea, necesar să găsiți viteza de schimbare a unei anumite funcții, de exemplu: găsirea concentrației unei soluții la un anumit moment, găsirea debitului unui lichid, viteza unghiulară a unui corp, densitatea liniară într-un punct etc. Acum vom rezolva unele dintre aceste probleme.

III. Consolidarea cunoștințelor dobândite (lucru în grup) (15 min.)

Cu analize ulterioare la tablă

Înainte de a rezolva probleme, clarificați unitățile de măsură ale mărimilor fizice.

Viteza - [m/s]
Accelerație - [m/s 2]
Puterea - [N]
Energie - [J]

Grupa de sarcină 1

Punctul se deplasează conform legii s(t)=2t³-3t (s este distanța în metri, t este timpul în secunde). Calculați viteza punctului, accelerația lui la timp 2s

Grupa de sarcină 2

Volanta se rotește în jurul axei conform legii φ(t)= t 4 -5t. Găsiți viteza unghiulară ω la momentul 2s (φ este unghiul de rotație în radiani, ω este viteza unghiulară rad/s)

Grupul de sarcină 3

Un corp cu o masă de 2 kg se mișcă în linie dreaptă conform legii x (t) \u003d 2-3t + 2t²

Găsiți viteza corpului și energia lui cinetică la 3 secunde după începerea mișcării. Ce forță acționează asupra corpului în acest moment? (t se măsoară în secunde, x este în metri)

Sarcina 4

Punctul face mișcări oscilatorii conform legii x(t)=2sin3t. Demonstrați că accelerația este proporțională cu coordonata x.

IV. Rezolvarea independentă a problemelor nr. 272, 274, 275, 277

[A.N.Kolmogorov, A.M.Abramov et al. „Algebra și începutul analizei clasele 10-11”] 12 min.

Sensul fizic al derivatului. USE în matematică include un grup de sarcini pentru rezolvarea cărora este necesară cunoașterea și înțelegerea semnificației fizice a derivatului. În special, există sarcini în care legea mișcării unui anumit punct (obiect) este dată, exprimată printr-o ecuație, și este necesar să se găsească viteza acestuia la un anumit moment al timpului de mișcare sau timpul după care obiectul capătă o anumită viteză dată.Sarcinile sunt foarte simple, se rezolvă într-un singur pas. Asa de:

Să fie dată legea de mișcare a unui punct material x (t) de-a lungul axei de coordonate, unde x este coordonata punctului în mișcare, t este timpul.

Viteza la un moment dat în timp este derivata coordonatei în raport cu timpul. Acesta este sensul mecanic al derivatului.

În mod similar, accelerația este derivata vitezei în raport cu timpul:

Astfel, sensul fizic al derivatei este viteza. Aceasta poate fi viteza de mișcare, viteza unei schimbări într-un proces (de exemplu, creșterea bacteriilor), viteza de lucru (și așa mai departe, există multe sarcini aplicate).

În plus, trebuie să cunoașteți tabelul derivatelor (trebuie să îl cunoașteți la fel de bine ca și cel al înmulțirii) și regulile de diferențiere. Mai exact, pentru a rezolva problemele specificate, este necesar să se cunoască primele șase derivate (vezi tabelul):

Luați în considerare sarcinile:

x (t) \u003d t 2 - 7t - 20

unde x t este timpul în secunde măsurat de la începutul mișcării. Aflați viteza acesteia (în metri pe secundă) la momentul t = 5 s.

Sensul fizic al derivatului este viteza (viteza de mișcare, viteza de schimbare a procesului, viteza de lucru etc.)

Să aflăm legea schimbării vitezei: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

Pentru t = 5 avem:

Raspuns: 3

Decideți singur:

Punctul material se deplasează rectiliniu conform legii x (t) = 6t 2 - 48t + 17, unde X- distanța de la punctul de referință în metri, t- timpul în secunde, măsurat de la începutul mișcării. Aflați viteza acesteia (în metri pe secundă) la momentul t = 9 s.

Punctul material se deplasează rectiliniu conform legii x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, unde Xt- timpul în secunde, măsurat de la începutul mișcării. Aflați viteza acesteia (în metri pe secundă) la momentul t = 6 s.

Punctul material se deplasează în linie dreaptă conform legii

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

Unde X- distanța de la punctul de referință în metri,t- timpul în secunde, măsurat de la începutul mișcării. Aflați viteza acesteia (în metri pe secundă) la momentul t = 3 s.

Punctul material se deplasează în linie dreaptă conform legii

x (t) = (1/6) t 2 + 5t + 28

unde x este distanța de la punctul de referință în metri, t este timpul în secunde măsurat de la începutul mișcării. În ce moment (în secunde) viteza ei a fost egală cu 6 m/s?

Să aflăm legea schimbării vitezei:

Pentru a afla în ce momenttviteza a fost egală cu 3 m / s, este necesar să se rezolve ecuația:

Raspuns: 3

Decide pentru tine:

Un punct material se deplasează în linie dreaptă conform legii x (t) \u003d t 2 - 13t + 23, unde X- distanța de la punctul de referință în metri, t- timpul în secunde, măsurat de la începutul mișcării. În ce moment (în secunde) viteza ei a fost egală cu 3 m/s?

Punctul material se deplasează în linie dreaptă conform legii

x (t) \u003d (1/3) t 3 - 3t 2 - 5t + 3

Unde X- distanța de la punctul de referință în metri, t- timpul în secunde, măsurat de la începutul mișcării. În ce moment (în secunde) viteza ei a fost egală cu 2 m/s?

Remarc că concentrarea doar pe acest tip de sarcini la examen nu merită. Ei pot introduce în mod destul de neașteptat sarcini inverse celor prezentate. Când este dată legea schimbării vitezei, se va pune problema găsirii legii mișcării.

Sugestie: în acest caz, trebuie să găsiți integrala funcției de viteză (acestea sunt, de asemenea, sarcini într-o singură acțiune). Dacă trebuie să găsiți distanța parcursă pentru un anumit moment în timp, atunci trebuie să înlocuiți timpul în ecuația rezultată și să calculați distanța. Totuși, vom analiza și astfel de sarcini, nu o ratați!Vă doresc succes!

Cu stimă, Alexander Krutitskikh.

P.S: Aș fi recunoscător dacă ai spune despre site în rețelele de socializare.

Se consideră graficul unei funcții y = f(x).

Marcam pe el un punct A cu coordonate (x, f (x)) si nu departe de el un punct B cu coordonate (x + h, f (x + h). Traseaza o linie (AB) prin aceste puncte. Consideram expresia . Diferența f(x+h)-f(x) este egală cu distanța BL, iar distanța AL este egală cu h. Raportul BL/AL este tangenta ε a unghiului - unghiul de înclinare al dreptei (AB). Acum imaginați-vă că h este foarte, foarte mic. Apoi linia (AB) va coincide aproape cu tangenta din punctul x la graficul funcției y = f(x).

Deci, să dăm definiții.

Derivata functiei y = f(x) in punctul x se numeste limita relatiei întrucât h tinde spre zero. Scrie:

Sensul geometric al derivatei este tangenta pantei tangentei.

Derivatul are și un sens fizic. ÎN școală primară viteza a fost definită ca distanță împărțită la timp. Cu toate acestea, în viata reala viteza, de exemplu, a unei mașini nu este constantă pe toată durata călătoriei. Fie calea să fie o funcție a timpului - S(t) Să fixăm momentul timpului t. Într-o perioadă scurtă de timp de la t la t + h, mașina va parcurge calea S(t+h)-S(t). Pentru o perioadă scurtă de timp, viteza nu se va schimba prea mult și, prin urmare, puteți utiliza definiția vitezei cunoscute din scoala elementara . Și deoarece h tinde spre zero, aceasta va fi derivata.

Problemele matematice își găsesc aplicarea în multe științe. Acestea includ nu numai fizica, chimia, inginerie și economie, ci și medicină, ecologie și alte discipline. Unul dintre concepte importante, care ar trebui stăpânit pentru a găsi soluții la dileme importante, este derivata unei funcții. Semnificația fizică a acesteia nu este deloc atât de greu de explicat pe cât ar putea părea celor neinițiați în esența problemei. Doar cât să găsești exemple potrivite că în viața reală și în situațiile obișnuite de zi cu zi. De fapt, orice șofer face față unei sarcini similare în fiecare zi când se uită la vitezometru, determinând viteza mașinii sale într-un anumit moment al unui timp fix. La urma urmei, în acest parametru se află esența semnificației fizice a derivatului.

Cum să găsești viteza

Orice elev de clasa a cincea poate determina cu ușurință viteza unei persoane pe drum, cunoscând distanța parcursă și timpul de călătorie. Pentru a face acest lucru, prima dintre valorile date este împărțită la a doua. Dar nu orice tânăr matematician știe asta în acest moment găsește raportul de creștere a unei funcții și a unui argument. Într-adevăr, dacă ne imaginăm mișcarea sub forma unui grafic, așezând traseul de-a lungul axei y și timpul de-a lungul abscisei, va fi doar așa.

Cu toate acestea, viteza unui pieton sau a oricărui alt obiect pe care îl determinăm pe o secțiune mare a căii, considerând că deplasarea este uniformă, se poate schimba foarte bine. Există multe forme de mișcare în fizică. Se poate face nu numai accelerație constantă, dar încetinește și crește în mod arbitrar. Trebuie menționat că în acest caz linia care descrie mișcarea nu va mai fi o linie dreaptă. Grafic, poate prelua cele mai complexe configurații. Dar pentru oricare dintre punctele din grafic, putem desena întotdeauna o tangentă reprezentată de o funcție liniară.

Pentru a rafina parametrul de schimbare a deplasării în funcție de timp, este necesar să se reducă segmentele măsurate. Când devin infinit de mici, viteza calculată va fi instantanee. Această experiență ne ajută să definim derivata. Semnificația sa fizică decurge și logic dintr-un astfel de raționament.

În ceea ce privește geometria

Se știe că cu cât viteza corpului este mai mare, cu atât graficul dependenței deplasării în timp este mai abrupt și, prin urmare, unghiul de înclinare al tangentei la grafic într-un anumit punct. Un indicator al unor astfel de modificări poate fi tangenta unghiului dintre axa x și linia tangentă. El este cel care determină valoarea derivatei și este calculată prin raportul dintre lungimile opusului față de piciorul adiacent în triunghi dreptunghic, format dintr-o perpendiculară coborâtă dintr-un punct pe axa x.

Acesta este sensul geometric al primei derivate. Cel fizic se relevă în faptul că valoarea piciorului opus în cazul nostru este distanța parcursă, iar cea adiacentă este timpul. Raportul lor este viteza. Și din nou ajungem la concluzia că viteza instantanee, determinată atunci când ambele goluri tind să fie infinit de mici, este esența, indicând sensul său fizic. A doua derivată în acest exemplu va avea loc o accelerare a corpului, demonstrând, la rândul său, gradul de modificare a vitezei.

Exemple de găsire a derivatelor în fizică

Derivatul este un indicator al ratei de schimbare a oricărei funcții, chiar și atunci când nu vorbim despre mișcare în sensul literal al cuvântului. Pentru a demonstra clar acest lucru, iată câteva exemple concrete. Să presupunem că puterea curentului, în funcție de timp, se modifică conform următoarei legi: eu= 0,4t2. Este necesar să se găsească valoarea ratei cu care se modifică acest parametru la sfârșitul celei de-a 8-a secunde a procesului. Rețineți că valoarea dorită în sine, după cum se poate aprecia din ecuație, crește constant.

Pentru soluție, este necesară găsirea primei derivate, al cărei sens fizic a fost luat în considerare mai devreme. Aici dI/ dt = 0,8 t. În continuare, îl găsim la t=8 , obținem că rata la care are loc modificarea puterii curentului este egală cu 6,4 A/ c. Aici se consideră că puterea curentului se măsoară în amperi, iar timpul, respectiv, în secunde.

Totul este schimbător

Vizibil lumea, format din materie, sufera constant modificari, fiind in miscare de diverse procese care au loc in ea. O varietate de parametri pot fi utilizați pentru a le descrie. Dacă sunt uniți prin dependență, atunci ele sunt scrise matematic ca o funcție care arată clar modificările lor. Și acolo unde există mișcare (sub orice formă ea ar fi exprimată), există și un derivat, al cărui sens fizic îl luăm în considerare în momentul de față.

În acest sens, următorul exemplu. Să presupunem că temperatura corpului se modifică conform legii T=0,2 t 2 . Ar trebui să găsiți viteza de încălzire la sfârșitul celei de-a zecea secunde. Problema este rezolvată într-un mod similar cu cel descris în cazul precedent. Adică găsim derivata și înlocuim în ea valoarea pt t= 10 , primim T= 0,4 t= 4. Aceasta înseamnă că răspunsul final este de 4 grade pe secundă, adică procesul de încălzire și modificarea temperaturii, măsurate în grade, au loc exact în acest ritm.

Rezolvarea problemelor practice

Desigur, în viața reală, totul este mult mai complicat decât în ​​problemele teoretice. În practică, valoarea cantităților este de obicei determinată în timpul experimentului. În acest caz, se folosesc instrumente care dau citiri în timpul măsurătorilor cu o anumită eroare. Prin urmare, în calcule, trebuie să se ocupe de valorile aproximative ale parametrilor și să recurgă la rotunjirea numerelor incomode, precum și la alte simplificări. Luând în considerare acest lucru, vom trece din nou la probleme privind semnificația fizică a derivatei, având în vedere că acestea sunt doar un fel de model matematic al celor mai complexe procese care au loc în natură.

Erupţie

Imaginează-ți că un vulcan erupe. Cât de periculos poate fi? Pentru a răspunde la această întrebare, trebuie luați în considerare mulți factori. Vom încerca să ținem cont de unul dintre ele.

Din gura „monstrului de foc” se aruncă vertical în sus pietre, având o viteză inițială din momentul în care ies afară. Este necesar să se calculeze cât de sus pot atinge înălțimea maximă.

Pentru a găsi valoarea dorită, compunem o ecuație pentru dependența înălțimii H, măsurată în metri, de alte mărimi. Acestea includ viteza și timpul inițial. Valoarea accelerației este considerată cunoscută și aproximativ egală cu 10 m/s 2 .

Derivată parțială

Să luăm acum în considerare semnificația fizică a derivatei unei funcții dintr-un unghi ușor diferit, deoarece ecuația în sine poate conține nu una, ci mai multe variabile. De exemplu, în problema anterioară, dependența înălțimii pietrelor ejectate din orificiul de ventilație al vulcanului a fost determinată nu numai de modificarea caracteristicilor de timp, ci și de valoarea vitezei inițiale. Aceasta din urmă a fost considerată o valoare constantă, fixă. Dar în alte sarcini cu condiții complet diferite, totul ar putea fi diferit. Dacă cantitățile pe care functie complexa, mai multe, calculele se fac dupa formulele de mai jos.

Semnificația fizică a derivatului frecvent ar trebui determinată ca în cazul obișnuit. Aceasta este rata la care funcția se schimbă la un anumit punct pe măsură ce parametrul variabilei crește. Se calculează în așa fel încât toate celelalte componente să fie luate ca constante, doar una este considerată variabilă. Apoi totul se întâmplă conform regulilor obișnuite.

Înțelegând sensul fizic al derivatului, nu este dificil să dai exemple de rezolvare a unor probleme complicate și complexe, al căror răspuns poate fi găsit cu astfel de cunoștințe. Dacă avem o funcție care descrie consumul de combustibil în funcție de viteza mașinii, putem calcula la ce parametri ai acesteia din urmă va fi cel mai mic consumul de benzină.

În medicină, puteți prezice cum va reacționa corpul uman la un medicament prescris de un medic. Luarea medicamentului afectează o varietate de parametri fiziologici. Acestea includ modificări ale tensiunii arteriale, ale ritmului cardiac, ale temperaturii corpului și multe altele. Toate depind de doza luată. medicament. Aceste calcule ajută la prezicerea cursului tratamentului, atât în ​​manifestări favorabile, cât și în accidente nedorite, care pot afecta fatal modificările corpului pacientului.

Fără îndoială, este important să înțelegem semnificația fizică a derivatului în chestiuni tehnice, în special în inginerie electrică, electronică, proiectare și construcție.

Distanțe de frânare

Să luăm în considerare următoarea problemă. Deplasându-se cu viteză constantă, mașina, apropiindu-se de pod, a fost nevoită să încetinească cu 10 secunde înainte de intrare, după cum a observat șoferul indicator, interzicând circulația la o viteză mai mare de 36 km/h. A încălcat șoferul regulile dacă distanța de frânare poate fi descrisă prin formula S = 26t - t 2?

După ce am calculat prima derivată, găsim formula vitezei, obținem v = 28 - 2t. În continuare, înlocuim valoarea t=10 în expresia specificată.

Deoarece această valoare a fost exprimată în secunde, viteza se dovedește a fi de 8 m/s, ceea ce înseamnă 28,8 km/h. Acest lucru face posibil să înțelegem că șoferul a început să încetinească la timp și nu a încălcat regulile de circulație și, prin urmare, limita indicată pe indicatorul de viteză.

Aceasta dovedește importanța semnificației fizice a derivatului. Un exemplu de rezolvare a acestei probleme demonstrează cel mai mult amploarea utilizării acestui concept zone diferite viaţă. Inclusiv în situațiile de zi cu zi.

Derivat în economie

Înainte de secolul al XIX-lea, economiștii se ocupau mai ales de medii, fie că era vorba de productivitatea muncii sau de prețul producției. Dar de la un moment dat, valorile limită au devenit mai necesare pentru a face previziuni eficiente în acest domeniu. Acestea pot include utilității marginale, venituri sau costuri. Înțelegerea acestui lucru a dat impuls creării unui instrument complet nou în cercetarea economică, care există și s-a dezvoltat de mai bine de o sută de ani.

Pentru a face astfel de calcule, unde predomină concepte precum minim și maxim, este pur și simplu necesar să înțelegem semnificația geometrică și fizică a derivatei. Printre creatori baza teoretica Aceste discipline pot fi numite economiști englezi și austrieci proeminenți precum W. S. Jevons, K. Menger și alții. Desigur, valorile limită în calculele economice nu sunt întotdeauna convenabile de utilizat. Și, de exemplu, rapoartele trimestriale nu se încadrează neapărat în schema existentă, dar totuși, aplicarea unei astfel de teorii în multe cazuri este utilă și eficientă.

Derivata functiei f (x) in punctul x0 este limita (daca exista) a raportului dintre incrementul functiei in punctul x0 si incrementul argumentului Δx, daca incrementul argumentului tinde sa zero și se notează cu f '(x0). Acțiunea de a găsi derivata unei funcții se numește diferențiere.
Derivata unei functii are urmatoarea semnificatie fizica: derivata unei functii in punct dat- rata de schimbare a funcției la un punct dat.

Sensul geometric al derivatului. Derivata in punctul x0 este coeficient unghiular tangentă la graficul funcției y=f(x) în acest punct.

Sensul fizic al derivatului. Dacă un punct se mișcă de-a lungul axei x și coordonatele lui se modifică conform legii x(t), atunci viteza instantanee a punctului:

Conceptul de diferenţial, proprietăţile sale. Reguli de diferențiere. Exemple.

Definiție. Diferenţialul unei funcţii la un anumit punct x este partea principală, liniară a incrementului funcţiei. Diferenţiala funcţiei y = f(x) este egală cu produsul derivatei sale şi incrementul variabilei independente x ( argument).

Este scris astfel:

sau

Sau


Proprietăți diferențiale
Diferenţialul are proprietăţi similare cu cele ale derivatei:





LA regulile de bază de diferențiere include:
1) scoaterea factorului constant din semnul derivatei
2) derivată a sumei, derivată a diferenței
3) derivată a produsului de funcții
4) derivată a unui coeficient de două funcții (derivată a unei fracții)

Exemple.
Să demonstrăm formula: Prin definiția derivatei, avem:

Un factor arbitrar poate fi scos din semnul trecerii la limită (acest lucru este cunoscut din proprietățile limitei), prin urmare

De exemplu: Aflați derivata unei funcții
Soluţie: Folosim regula de a scoate multiplicatorul din semnul derivatei :

Destul de des, mai întâi trebuie să simplificați forma unei funcții diferențiabile pentru a utiliza tabelul de derivate și regulile de găsire a derivatelor. Următoarele exemple confirmă clar acest lucru.

Formule de diferențiere. Aplicarea diferenţialului în calcule aproximative. Exemple.

Utilizarea diferenţialului în calcule aproximative permite utilizarea diferenţialului pentru calcule aproximative ale valorilor funcţiei.
Exemple.
Folosind diferența, calculați aproximativ
A calcula valoare dată aplicați formula din teorie
Să introducem o funcție și să reprezentăm valoarea dată în formă
apoi Calculați

Înlocuind totul în formulă, obținem în sfârșit
Răspuns:

16. Regula lui L'Hopital pentru dezvăluirea incertitudinilor de forma 0/0 sau ∞/∞. Exemple.
Limita raportului dintre două infinitezimale sau două infinitezimale cantitati mari este egală cu limita raportului dintre derivatele lor.

1)

17. Funcții crescătoare și descrescătoare. extremul funcției. Algoritm pentru studierea unei funcții pentru monotonitate și extremum. Exemple.

Funcţie crește pe un interval dacă pentru oricare două puncte din acest interval legate de relația , inegalitatea este adevărată. Acesta este, valoare mai mare argumentul corespunde unei valori mai mari a funcției, iar graficul acesteia merge „de jos în sus”. Funcția demo crește pe interval

La fel, funcția in scadere pe un interval dacă pentru oricare două puncte ale intervalului dat, astfel încât , inegalitatea este adevărată. Adică, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a funcției, iar graficul acesteia merge „de sus în jos”. Al nostru scade pe intervale scade pe intervale .

Extreme Punctul se numește punctul maxim al funcției y=f(x) dacă inegalitatea este adevărată pentru tot x din vecinătatea lui. Se numește valoarea funcției în punctul maxim functia maxima si noteaza .
Punctul se numește punctul minim al funcției y=f(x) dacă inegalitatea este adevărată pentru tot x din vecinătatea lui. Se numește valoarea funcției în punctul minim funcția minimă si noteaza .
Vecinătatea unui punct este înțeleasă ca interval , unde este un număr pozitiv suficient de mic.
Punctele minime și maxime sunt numite puncte extreme, iar valorile funcției corespunzătoare punctelor extreme sunt numite funcția extremă.

Pentru a explora o funcție pentru monotonie utilizați următoarea diagramă:
- Găsiți domeniul de aplicare al funcției;
- Aflați derivata funcției și domeniul derivatei;
- Aflați zerourile derivatei, i.e. valoarea argumentului la care derivata este egală cu zero;
- Marcați pe linia numerică partea generala domeniul funcției și domeniul derivatei sale, iar pe acesta - zerourile derivatei;
- Determinati semnele derivatei pe fiecare dintre intervalele obtinute;
- Prin semnele derivatei, determinați la ce intervale funcția crește și la care scade;
- Înregistrați golurile corespunzătoare separate prin punct și virgulă.

Algoritm de cercetare functie continua y = f(x) pentru monotonitate și extreme:
1) Aflați derivata f ′(x).
2) Găsiți punctele staționare (f ′(x) = 0) și critice (f ′(x) nu există) ale funcției y = f(x).
3) Marcați punctele staționare și critice pe dreapta reală și determinați semnele derivatei pe intervalele rezultate.
4) Trageți concluzii despre monotonitatea funcției și punctele sale extreme.

18. Convexitatea unei funcții. Puncte de inflexiune. Algoritm pentru examinarea unei funcții pentru convexitate (Concavitate) Exemple.

convex în jos pe intervalul X, dacă graficul său este situat nu mai jos decât tangenta la acesta în orice punct al intervalului X.

Funcția diferențiabilă se numește convex în sus pe intervalul X, dacă graficul său nu este situat mai sus decât tangenta la acesta în orice punct al intervalului X.

Se numește formula punctului punctul de inflexiune al graficului funcția y \u003d f (x), dacă la un punct dat există o tangentă la graficul funcției (poate fi paralelă cu axa Oy) și există o astfel de vecinătate a formulei punctului, în care graficul funcția are diferite direcții de convexitate la stânga și la dreapta punctului M.

Găsirea intervalelor pentru convexitate:

Dacă funcţia y=f(x) are o derivată secundă finită pe intervalul X şi dacă inegalitatea (), atunci graficul funcției are o convexitate îndreptată în jos (în sus) pe X.
Această teoremă vă permite să găsiți intervale de concavitate și convexitate ale unei funcții, trebuie doar să rezolvați inegalitățile și, respectiv, pe domeniul de definiție al funcției originale.

Exemplu: Aflați intervalele la care graficul funcțieiAflați intervalele la care graficul funcției are o convexitate îndreptată în sus și o convexitate îndreptată în jos. are o convexitate îndreptată în sus și o convexitate îndreptată în jos.
Soluţie: Domeniul acestei funcții este întregul set de numere reale.
Să găsim derivata a doua.

Domeniul de definiție al derivatei a doua coincide cu domeniul de definire al funcției inițiale, prin urmare, pentru a afla intervalele de concavitate și convexitate, este suficient să rezolvi și respectiv. Prin urmare, funcția este convexă în jos pe formula intervalului și convexă în sus pe formula intervalului.

19) Asimptotele unei funcții. Exemple.

Apelat direct asimptotă verticală graficul funcției dacă cel puțin unul dintre valori limită sau egal cu sau .

Cometariu. Linia nu poate fi o asimptotă verticală dacă funcția este continuă la . Prin urmare, asimptotele verticale trebuie căutate în punctele de discontinuitate ale funcției.

Apelat direct asimptotă orizontală graficul funcției dacă cel puțin una dintre valorile limită sau este egală cu .

Cometariu. Un grafic al funcției poate avea doar o asimptotă orizontală dreaptă sau doar una stângă.

Apelat direct asimptotă oblică graficul funcției dacă

EXEMPLU:

Exercițiu. Găsiți asimptotele graficului unei funcții

Soluţie. Domeniul de aplicare:

a) asimptote verticale: o linie dreaptă este o asimptotă verticală, deoarece

b) asimptote orizontale: găsim limita funcției la infinit:

adică nu există asimptote orizontale.

c) asimptote oblice:

Astfel, asimptota oblică este: .

Răspuns. Asimptota verticală este o linie dreaptă.

Asimptota oblică este o linie dreaptă.

20) Schema generala studii de funcții și trasare. Exemplu.

A.
Găsiți ODZ și punctele de întrerupere ale funcției.

b. Aflați punctele de intersecție ale graficului funcției cu axele de coordonate.

2. Efectuați un studiu al funcției folosind derivata întâi, adică găsiți punctele extreme ale funcției și intervalele de creștere și scădere.

3. Investigați funcția folosind derivata de ordinul doi, adică găsiți punctele de inflexiune ale graficului funcției și intervalele convexității și concavității acestuia.

4. Aflați asimptotele graficului funcției: a) verticală, b) oblică.

5. Pe baza studiului, construiți un grafic al funcției.

Rețineți că înainte de a trasa, este util să stabiliți dacă o anumită funcție este pară sau impară.

Reamintim că o funcție este apelată chiar dacă valoarea funcției nu se schimbă atunci când semnul argumentului se schimbă: f(-x) = f(x) iar o funcție se numește impar dacă f(-x) = -f(x).

În acest caz, este suficient să studiezi funcția și să-i trasezi graficul pentru valori pozitive argument aparținând ODZ. Cu valori negative ale argumentului, graficul este completat pe baza faptului că pentru o funcție pară este simetric față de axă Oi, și pentru impar față de origine.

Exemple. Explorează funcțiile și construiește graficele lor.

Domeniul de aplicare a funcției D(y)= (–∞; +∞). Nu există puncte de pauză.

Intersecția axelor Bou: X = 0,y= 0.

Funcția este impară, prin urmare, poate fi investigată numai pe intervalul )