Valori aproximative. Marea enciclopedie a petrolului și gazelor

Dacă se știe că a< А, то а называют valoarea aproximativă a lui A cu un dezavantaj. Dacă a > A, atunci a este numit valoarea aproximativă a lui A în exces.

Se numește diferența dintre valorile exacte și cele aproximative ale unei cantități eroare de aproximare si este notat cu D, i.e.

D \u003d A - a (1)

Eroarea D a aproximării poate fi atât pozitivă, cât și negativă.

Pentru a caracteriza diferența dintre valoarea aproximativă a unei cantități și valoarea exactă, este adesea suficient să se indice valoarea absolută a diferenței dintre valorile exacte și cele aproximative.

Valoarea absolută a diferenței dintre aproximativ A si precise A valorile numerice se numesc eroare absolută (eroare) de aproximareși notat cu D A:

D A = ½ A – A½ (2)

Exemplul 1 Când se măsoară o linie l a folosit o riglă, a cărei valoare a diviziunii la scară este de 0,5 cm. Am obținut o valoare aproximativă pentru lungimea segmentului A= 204 cm.

Este clar că în timpul măsurării acestea ar putea fi greșite cu cel mult 0,5 cm, adică. eroarea de măsurare absolută nu depășește 0,5 cm.

De obicei, eroarea absolută este necunoscută deoarece nu este cunoscută valoare exacta numărul A. Prin urmare, ca o eroare, luați oricare evaluare eroare absolută:

D A <= DA inainte de. (3)

unde D inainte de. – eroare marginală (număr, Mai mult zero), care se stabilește ținând cont de certitudinea cu care este cunoscut numărul a.

Eroarea absolută limitativă este de asemenea numită marja de eroare. Deci, în exemplul dat,
D inainte de. = 0,5 cm.

Din (3) obținem:

D A = ½ A – A½<= DA inainte de. .

A-D A inainte de. ≤ A≤ A+ D A inainte de. . (4)

anunț A inainte de. va fi o aproximare A cu un dezavantaj

a + D A inainte de – valoare aproximativă Aîn exces. De asemenea, folosesc stenografie:

A= A±D A inainte de (5)

Din definiția erorii absolute limitative rezultă că numerele D A inainte de, satisfacand inegalitatea (3), va exista o multime infinita. În practică, încercăm să alegem eventual mai putin din numerele D inainte de, satisfacerea inegalității D A <= DA inainte de.

Exemplul 2 Să determinăm eroarea absolută limită a numărului a=3,14, luată ca valoare aproximativă a numărului π.

Se știe că 3,14<π<3,15. De aici rezultă că

|A – π |< 0,01.

Numărul D poate fi luat drept eroare absolută limitativă A = 0,01.

Totuși, dacă ținem cont de faptul că 3,14<π<3,142 , atunci obținem o estimare mai bună :D A= 0,002, atunci π ≈3,14 ±0,002.

4. Eroare relativă(eroare). Cunoașterea numai a erorii absolute nu este suficientă pentru a caracteriza calitatea măsurării.

Să fie, de exemplu, când cântărim două corpuri, se obțin următoarele rezultate:

P 1 \u003d 240,3 ± 0,1 g.

P 2 \u003d 3,8 ± 0,1 g.

Deși erorile absolute de măsurare ale ambelor rezultate sunt aceleași, calitatea măsurării în primul caz va fi mai bună decât în ​​al doilea. Se caracterizează printr-o eroare relativă.

Eroare relativă (eroare) aproximarea numărului A se numește raportul de eroare absolută D a aproximarea la valoarea absolută a numărului A:

Deoarece valoarea exactă a unei cantități este de obicei necunoscută, aceasta este înlocuită cu o valoare aproximativă și apoi:

(7)

Limitarea erorii relative sau limita erorii relative de aproximare, numit numărul d si inainte.>0, astfel încât:

d A<= d si inainte.(8)

Pentru eroarea relativă limită, se poate lua în mod evident raportul dintre eroarea absolută limită și valoarea absolută a valorii aproximative:

(9)

Din (9) se obține cu ușurință următoarea relație importantă:

∆si inainte. = |A| d si inainte.(10)

Eroarea relativă limită este de obicei exprimată ca procent:

Exemplu. Baza logaritmilor naturali pentru calcul este considerată egală cu e=2,72. Am luat drept valoare exactă e m = 2,7183. Aflați erorile absolute și relative ale unui număr aproximativ.

D e = ½ e – e t ½=0,0017;

.

Valoarea erorii relative rămâne neschimbată cu o modificare proporțională a numărului cel mai aproximativ și a erorii sale absolute. Deci, pentru numărul 634,7, calculat cu o eroare absolută D = 1,3, și pentru numărul 6347 cu o eroare D = 13, erorile relative sunt aceleași: d= 0,2.

Mărimea erorii relative poate fi estimată aproximativ după număr adevărat semnificativ cifrele unui număr.

1. Numerele sunt exacte și aproximative. Numerele pe care le întâlnim în practică sunt de două feluri. Unele dau adevărata valoare a cantității, altele doar aproximative. Primul se numește exact, al doilea - aproximativ. Cel mai adesea este convenabil să folosiți un număr aproximativ în loc de un număr exact, mai ales că în multe cazuri numărul exact nu poate fi găsit deloc.

Rezultatele operaţiilor cu numere dau: cu numere aproximative numere aproximative. De exemplu. În timpul epidemiei, 60% dintre locuitorii Sankt Petersburgului fac gripă. Este vorba despre aproximativ 3 milioane de oameni. cu numere exacte numere exacte Ex. Sunt 65 de persoane în public la o prelegere despre matematică. numere aproximative De ex. Temperatura medie corporală a pacientului în timpul zilei 37,3: dimineața: 37,2; ziua: 36,8; seara38.

Teoria calculelor aproximative permite: 1) cunoașterea gradului de acuratețe al datelor, aprecierea gradului de acuratețe a rezultatelor; 2) prelevarea datelor cu un grad adecvat de acuratețe, suficient pentru a asigura acuratețea necesară a rezultatului; 3) raționalizați procesul de calcul, eliberându-l de acele calcule care nu vor afecta acuratețea rezultatului.

1) dacă prima (stânga) dintre cifrele aruncate este mai mică de 5, atunci ultima cifră rămasă nu este modificată (rotunjirea în jos); 2) dacă prima cifră aruncată este mai mare de 5 sau egală cu 5, atunci ultima cifră rămasă este mărită cu unu (rotunjire în sus). Rotunjire: a) la zecimi 12,34 12,3; b) până la sutimi 3,2465 3,25; 1038,79. c) până la miimi 3,4335 3,434. d) până la mii; Acest lucru ia în considerare următoarele:

Mărimile cel mai frecvent măsurate în medicină: masa m, lungimea l, viteza procesului v, timpul t, temperatura t, volumul V etc. A măsura o mărime fizică înseamnă a o compara cu o mărime omogenă luată ca unitate. 9 Unităţi de măsură ale mărimilor fizice: Lungime de bază - 1 m - (metru) Timp - 1 s - (secundă) Masă - 1 kg - (kilogram) Produse Volumul - 1 m³ - (metru cub) Viteză - 1 m/s - (metru pe secundă)

Prefixe la numele unităților: Prefixe multiple - crește cu 10, 100, 1000 etc. ori g - hecto (×100) k - kilo (× 1000) M - mega (×) 1 km (kilometru) 1 kg (kilogram) 1 km = 1000 m = 10³ m 1 kg = 1000 g = 10³ g scădere cu 10 , 100, 1000 etc. ori d - deci (×0,1) s - centi (× 0,01) m - mili (× 0,001) 1 dm (decimetru) 1dm = 0,1 m 1 cm (centimetru) 1cm = 0,01 m 1 mm (milimetru) 1mm = 0,001 m

Pentru diagnosticarea, tratamentul, prevenirea bolilor în medicină se folosesc diverse echipamente medicale de măsurare.

Termometru. În primul rând, trebuie să țineți cont de limitele superioare și inferioare de măsurare. Limita inferioară este valoarea minimă, iar limita superioară este valoarea maximă măsurabilă. Dacă valoarea așteptată a valorii măsurate este necunoscută, este mai bine să luați dispozitivul cu o „marjă”. De exemplu, măsurarea temperaturii apei calde nu trebuie efectuată cu un termometru de stradă sau de cameră. Este mai bine să găsiți un dispozitiv cu o limită superioară de 100 ° C. În al doilea rând, trebuie să înțelegeți cât de precis trebuie măsurată cantitatea. Deoarece eroarea de măsurare depinde de valoarea diviziunii, pentru măsurători mai precise, este selectat un instrument cu o valoare de divizare mai mică.

Erori de măsurare. Pentru a măsura diferiți parametri de diagnosticare, aveți nevoie de propriul dispozitiv. De exemplu, lungimea se măsoară cu o riglă, iar temperatura cu un termometru. Dar riglele, termometrele, tonometrele și alte dispozitive sunt diferite, așa că pentru a măsura orice mărime fizică, trebuie să alegeți un dispozitiv potrivit pentru această măsurătoare.

Prețul de împărțire a dispozitivului. Temperatura corpului uman trebuie determinată cu precizie, medicamentele trebuie administrate într-o cantitate strict definită, prin urmare prețul diviziunilor scalei dispozitivului de măsurare este o caracteristică importantă a fiecărui dispozitiv. Regula pentru calcularea diviziunii de preț a dispozitivului Pentru a calcula prețul diviziunilor scalei, trebuie să: a) selectați cele mai apropiate două linii digitalizate de pe scară; b) numără numărul de diviziuni dintre ele; c) Împărțiți diferența de valori în jurul liniilor selectate la numărul de diviziuni.

Prețul de împărțire a dispozitivului. Valoarea diviziunii (50-30)/4=5 (ml) Valoarea diviziunii: (40-20)/10=2 km/h, (20-10)/10= 1gm, (39-19)/10=2 LITR , (8-4)/10=0,4 psi, (90-50)/10= 4 temperatură, (4-2)/10=0,2 s

Determinați prețul de împărțire a dispozitivelor: 16

Eroare absolută de măsurare. Erorile sunt obligate să apară în orice măsurătoare. Aceste erori se datorează diferiților factori. Toți factorii pot fi împărțiți în trei părți: erori cauzate de imperfecțiunea instrumentelor; erori cauzate de imperfecțiunea metodelor de măsurare; erori datorate influenței unor factori aleatori care nu pot fi eliminați. Când se măsoară orice valoare, se dorește să știe nu numai valoarea acesteia, ci și cât de mult se poate avea încredere în această valoare, cât de exactă este. Pentru a face acest lucru, este necesar să știți cât de mult poate diferi adevărata valoare a unei cantități de cea măsurată. În aceste scopuri se introduce conceptul de erori absolute și relative.

Erori absolute și relative. Eroarea absolută arată cât de mult diferă valoarea reală a unei mărimi fizice de cea măsurată. Depinde de dispozitiv în sine (eroare instrumentală) și de procesul de măsurare (eroare de citire pe scară). Eroarea instrumentală trebuie să fie indicată în pașaportul instrumentului (de regulă, este egală cu diviziunea la scară a instrumentului). Eroarea de citire este de obicei considerată egală cu jumătate din valoarea diviziunii. Eroarea absolută a unei valori aproximative este diferența Δ x \u003d | x - x 0 |, unde x 0 este o valoare aproximativă și x este valoarea exactă a valorii măsurate sau, uneori, în loc de x, folosesc A ΔA \ u003d | A - A 0 |.

Erori absolute și relative. Exemplu. Se știe că -0,333 este o valoare aproximativă pentru -1/3. Atunci prin definiția erorii absolute Δ x= |x – x 0 |= | -1/3+0,333 | = | -1/3+33/1000 | = | -1/300 | = 1/300. În multe cazuri practic importante, este imposibil de găsit eroarea absolută a aproximării datorită faptului că valoarea exactă a mărimii este necunoscută. Cu toate acestea, puteți specifica un număr pozitiv, mai mult decât această eroare absolută nu poate fi. Acesta este orice număr h care satisface inegalitatea | ∆x | h Se numește limită de eroare absolută.

În acest caz, ei spun că valoarea lui x este aproximativ până la h egală cu x 0. x \u003d x 0 ± h sau x 0 - h x x 0 + h

Erorile instrumentale absolute ale instrumentelor de măsură

Estimarea erorilor instrumentale ale valorilor măsurate. Pentru majoritatea instrumentelor de măsurare, eroarea instrumentului este egală cu diviziunea la scară. Excepție fac instrumentele digitale și cadranele. Pentru dispozitivele digitale, eroarea este indicată în pașaportul lor și este de obicei de câteva ori mai mare decât diviziunea la scară a dispozitivului. Pentru instrumentele de măsurare pointer, eroarea este determinată de clasa lor de precizie, care este indicată pe scara instrumentului, și de limita de măsurare. Clasa de precizie este indicată pe scara dispozitivului ca un număr care nu este înconjurat de niciun cadru. De exemplu, în figura prezentată, clasa de precizie a manometrului este 1,5. Clasa de precizie arată câte procente este eroarea dispozitivului din limita măsurătorilor acestuia. Pentru un manometru cu indicator, limita de măsurare este de 3 atm, respectiv, eroarea de măsurare a presiunii este de 1,5% din 3 atm, adică 0,045 atm. Trebuie remarcat faptul că pentru majoritatea dispozitivelor pointer, eroarea lor se dovedește a fi egală cu valoarea diviziunii dispozitivului. Ca și în exemplul nostru, unde prețul de divizare al barometrului este de 0,05 atm.

Erori absolute și relative. Eroarea absolută este necesară pentru a determina intervalul în care valoarea adevărată poate cădea, dar pentru evaluarea acurateței rezultatului în ansamblu, nu este foarte indicativă. La urma urmei, măsurarea unei lungimi de 10 m cu o eroare de 1 mm este cu siguranță foarte precisă, în același timp, măsurarea unei lungimi de 2 mm cu o eroare de 1 mm este evident extrem de inexactă. Eroarea de măsurare absolută este de obicei rotunjită la o cifră semnificativă ΔA 0,17 0,2. Valoarea numerică a rezultatului măsurării este rotunjită astfel încât ultima sa cifră să fie în aceeași cifră cu cifra de eroare A=10,332 10,3

Erori absolute și relative. Alături de eroarea absolută, se obișnuiește să se ia în considerare eroarea relativă, care este egală cu raportul dintre eroarea absolută și valoarea cantității în sine. Eroarea relativă a unui număr aproximativ este raportul dintre eroarea absolută a unui număr aproximativ și acest număr în sine: E = Δx. 100% x 0 Eroarea relativă arată câte procente din valoarea în sine ar putea apărea o eroare și este orientativă atunci când se evaluează calitatea rezultatelor experimentale.

Exemplu. La măsurarea lungimii și diametrului capilarului, s-au obținut l = (10,0 ± 0,1) cm, d = (2,5 ± 0,1) mm. Care dintre aceste măsurători este mai precisă? La măsurarea lungimii capilarului este permisă o eroare absolută de 10 mm la 100 mm, prin urmare eroarea absolută este 10/100=0,1=10%. La măsurarea diametrului capilar, eroarea absolută admisă este 0,1/2,5=0,04=4% Prin urmare, măsurarea diametrului capilar este mai precisă.

În multe cazuri, nu poate fi găsită nicio eroare absolută. De aici eroarea relativă. Dar puteți găsi limita erorii relative. Orice număr δ care satisface inegalitatea | ∆x | / | x o | δ, este limita erorii relative. În special, dacă h este limita de eroare absolută, atunci numărul δ= h/| x o |, este limita erorii relative a aproximării x o. De aici. Cunoscând hotarul rel.p-i. δ, se poate găsi limita erorii absolute h. h=δ | x o |

Exemplu. Se știe că 2=1,41… Aflați precizia relativă a egalității aproximative sau limita erorii relative a egalității aproximative 2 1.41. Aici x \u003d 2, x o \u003d 1,41, Δ x \u003d 2-1,41. Evident 0 Δ x 1,42-1,41=0,01 Δ x/ x o 0,01/1,41=1/141, limita de eroare absolută este 0,01, limita de eroare relativă este 1/141

Exemplu. Când citiți citirea de pe scară, este important ca privirea să cadă perpendicular pe scara instrumentului, în timp ce eroarea va fi mai mică. Pentru a determina citirea termometrului: 1. determinați numărul de diviziuni, 2. înmulțiți-le cu prețul diviziunii 3. luați în considerare eroarea 4. notați rezultatul final. t = 20 °C ± 1,5 °C Aceasta înseamnă că temperatura este între 18,5° și 21,5°. Adică, poate fi, de exemplu, 19, și 20 și 21 de grade Celsius. Pentru a crește acuratețea măsurătorilor, se obișnuiește să le repetați de cel puțin trei ori și să calculați valoarea medie a valorii măsurate

N A C O R D E N I A A N E D E N G O N I N I O N I Rezultatele măsurătorilor C 1 \u003d 34.5 C 2 \u003d 33.8 C 3 \u003d 33.9 C 4 \u003d 33 .5 C 5 \u003d 33 .5 C 5 \u003d a cantităților medii Fie c 3 \u003d 0 = 5 \u003d = u003d = u003d0 2 + c 3 + c 4): 4 c cf \u003d (34,5 + 33,8 + 33,9 + 33 ,5):4 = 33,925 33,9 b) Aflați abaterea valorii de la valoarea medie Δс = | c-cp | ∆c 1 = | c 1 – c cp | = | 34,5 – 33,9 | = 0,6 ∆c 2 = | c 2 – c cp | = | 33,8 – 33,9 | = 0,1 ∆c 3 = | c 3 – c cp | = | 33,9 – 33,9 | = 0 ∆c 4 = | c 4 – c cp | = | 33,5 – 33,9 | = 0,4

C) Aflați eroarea absolută Δc \u003d (c 1 + c 2 + c 3 + c 4): 4 Δc \u003d (0,6 + 0,4): 4 \u003d 0,275 0,3 g) Aflați eroarea relativă δ \u003d Δc: s SR δ = (0,3: 33,9) 100% = 0,9% e) Notează răspunsul final c = 33,9 ± 0,3 δ = 0,9%

TEMA Pregătiți-vă pentru o lecție practică bazată pe materiale de curs. Efectuați o sarcină. Aflați valoarea medie și eroarea: a 1 = 3,685 a 2 = 3,247 a 3 = 3,410 a 4 = 3,309 a 5 = 3,392. Creați prezentări pe teme: „Rotunjirea valorilor în medicină”, „Erori de măsurare”, „Echipamente medicale de măsurare”

Valori exacte și aproximative ale cantităților

În cele mai multe cazuri, datele numerice din probleme sunt aproximative. În condițiile sarcinilor, valorile exacte au fost întâlnite și, de exemplu, rezultatele numărării unui număr mic de obiecte, a unor constante etc.

Pentru a indica valoarea aproximativă a unui număr, folosiți semnul egalității aproximative; citește astfel: „aproximativ egal” (nu trebuie citit: „aproximativ egal”).

Aflarea naturii datelor numerice este un pas important pregătitor în rezolvarea oricărei probleme.

Următoarele instrucțiuni vă pot ajuta să recunoașteți valorile exacte și aproximative ale numerelor:

Valori exacte	Valori aproximative
1. Valorile unui număr de factori de conversie pentru trecerea de la o unitate de măsură la alta (1m = 1000 mm; 1h = 3600 s) Mulți factori de conversie au fost măsurați și calculați cu o precizie (metrologică) atât de mare încât practic sunt considerate acum exacte.	1. Cele mai multe dintre valorile mărimilor matematice specificate în tabele (rădăcini, logaritmi, valori ale funcțiilor trigonometrice, precum și valoarea numărului și bazei logaritmilor naturali utilizate în practică (număr e))
2. Factori de scară. Dacă, de exemplu, se știe că scara este 1:10000, atunci numerele 1 și 10000 sunt considerate corecte. Dacă se indică faptul că sunt 4 m în 1 cm, atunci 1 și 4 sunt lungimile exacte	2. Rezultatele măsurătorilor. (Câteva constante de bază: viteza luminii în vid, constanta gravitațională, sarcina și masa unui electron etc.) Valori tabelare ale mărimilor fizice (densitatea unei substanțe, punctele de topire și de fierbere etc.)
3. Tarife și prețuri. (costul a 1 kWh de energie electrică este valoarea exactă a prețului)	3. Datele de proiectare sunt și ele aproximative, deoarece sunt setate cu unele abateri, care sunt normalizate de GOST. (De exemplu, conform standardului, dimensiunile cărămizii: lungime 250 6 mm, lățime 120 4 mm, grosime 65 3 mm) Același grup de numere aproximative include dimensiuni luate din desen
4. Valori condiționate ale cantităților (Exemple: temperatura zero absolut -273,15 C, presiune atmosferică normală 101325 Pa)
5. Coeficienți și exponenți găsiți în formulele fizice și matematice (;%; etc.).
6. Rezultatele numărării articolelor (număr de baterii din baterie; număr de cutii de lapte produse de fabrică și numărate de contorul fotoelectric)
7. Date valori ale cantităților (De exemplu, în sarcina „Găsiți perioadele de oscilație ale pendulilor de 1 și 4 m lungime”, numerele 1 și 4 pot fi considerate valorile exacte ale lungimii a pendulului)

Complet următoarele sarcini, scrieți răspunsul sub forma unui tabel:

1. Indicați care dintre valorile date sunt exacte, care sunt aproximative:

1) Densitatea apei (4 C)………..………………………..……………1000kg/m 3

2) Viteza sunetului (0 С)…………………………………………………….332 m/s

3) Capacitatea termică specifică a aerului………………………………1.0 kJ/(kg∙K)

4) Punctul de fierbere al apei…………………………………………….100 C

5) Constanta lui Avogadro……………………………………………..…..6.02∙10 23 mol -1

6) Masa atomică relativă a oxigenului……………………………………..16

2. Găsiți valori exacte și aproximative în condițiile următoarelor sarcini:

1) Într-o mașină cu abur, o bobină de bronz, a cărei lungime și lățime sunt de 200 și respectiv 120 mm, suferă o presiune de 12 MPa. Găsiți forța necesară pentru a deplasa bobina peste suprafața din fontă a cilindrului. Coeficientul de frecare este 0,10.

2) Determinați rezistența filamentului lămpii electrice conform următoarelor date de marcare: „220V, 60 W”.

3. Ce răspunsuri - exacte sau aproximative - vom primi la rezolvarea următoarelor probleme?

1) Care este viteza unui corp în cădere liberă la sfârșitul celei de-a 15-a secunde, având în vedere intervalul de timp specificat exact?

2) Care este viteza scripetei dacă diametrul său este de 300 mm, viteza de rotație este de 10 rpm? Datele sunt considerate exacte.

3) Determinați modulul de forță. Scara 1 cm - 50N.

4) Să se determine coeficientul de frecare statică pentru un corp situat pe un plan înclinat, dacă corpul începe să alunece uniform de-a lungul pantei la = 0,675, unde este unghiul de înclinare al planului.

Pentru problemele moderne, este necesar să se folosească un aparat matematic complex și să se dezvolte metode de rezolvare a acestora. În acest caz, se întâlnesc adesea probleme pentru care soluția analitică, adică, o soluție sub forma unei expresii analitice care leagă datele inițiale cu rezultatele cerute este fie imposibilă deloc, fie este exprimată în formule atât de greoaie încât nu este practic să le folosești în scopuri practice.

În acest caz, se folosesc metode de rezolvare numerică, care fac posibilă obținerea pur și simplu a unei soluții numerice a problemei. Metodele numerice sunt implementate folosind algoritmi de calcul.

Întreaga varietate de metode numerice este împărțită în două grupuri:

Exact - ei presupun că, dacă calculele sunt efectuate cu precizie, atunci cu ajutorul unui număr finit de operații aritmetice și logice, pot fi obținute valorile exacte ale cantităților dorite.

Aproximativ - care, chiar și în ipoteza că calculele sunt efectuate fără rotunjire, vă permit să obțineți o soluție a problemei doar cu o anumită precizie.

1. valoare şi număr. O cantitate este ceva care poate fi exprimat ca număr în anumite unități.

Când vorbesc despre valoarea unei mărimi, se referă la un anumit număr, numit valoarea numerică a mărimii, și unitatea de măsură a acesteia.

Astfel, o cantitate este o caracteristică a unei proprietăți a unui obiect sau fenomen, care este comună multor obiecte, dar are valori individuale pentru fiecare dintre ele.

Valorile pot fi constante sau variabile. Dacă, în anumite condiții, o mărime ia o singură valoare și nu o poate schimba, atunci se numește constantă, dar dacă poate lua diferite valori, atunci se numește variabilă. Deci, accelerația căderii libere a unui corp într-un loc dat de pe suprafața pământului este o valoare constantă, luând o singură valoare numerică g = 9,81 ... m/s2, în timp ce calea este parcursă de un punct material în timpul său. mișcarea este o valoare variabilă.

2. valorile aproximative ale numerelor. Valoarea cantității, despre care nu ne îndoim de adevăr, se numește exactă. Adesea însă, când se caută valoarea unei cantități, se obține doar valoarea ei aproximativă. În practica calculelor, de multe ori trebuie să se ocupe de valorile aproximative ale numerelor. Deci, p este un număr exact, dar datorită iraționalității sale, poate fi folosită doar valoarea sa aproximativă.

În multe probleme, din cauza complexității, și adesea a imposibilității de a obține soluții exacte, se folosesc metode aproximative de rezolvare, acestea includ: rezolvarea aproximativă a ecuațiilor, interpolarea funcțiilor, calculul aproximativ al integralelor etc.

Principala cerință pentru calculele aproximative este respectarea preciziei specificate a calculelor intermediare și a rezultatului final. În același timp, atât o creștere a erorilor (erori) prin amplificarea nejustificată a calculelor, cât și reținerea unor cifre redundante care nu corespund exactității efective sunt la fel de inacceptabile.

Există două clase de erori rezultate din calcule și numere de rotunjire - absolute și relative.

1. Eroare absolută (eroare).

Să introducem notația:

Fie A valoarea exactă a unei cantități, Record a » A Vom citi „a este aproximativ egal cu A”. Uneori vom scrie A = a, ținând cont că vorbim de egalitate aproximativă.

Dacă se știe că a< А, то а называют valoarea aproximativă a lui A cu un dezavantaj. Dacă a > A, atunci a este numit valoarea aproximativă a lui A în exces.

Se numește diferența dintre valorile exacte și cele aproximative ale unei cantități eroare de aproximare si este notat cu D, i.e.

D \u003d A - a (1)

Eroarea D a aproximării poate fi atât pozitivă, cât și negativă.

Pentru a caracteriza diferența dintre valoarea aproximativă a unei cantități și valoarea exactă, este adesea suficient să se indice valoarea absolută a diferenței dintre valorile exacte și cele aproximative.

Valoarea absolută a diferenței dintre aproximativ A si precise A valorile numerice se numesc eroare absolută (eroare) de aproximareși notat cu D A:

D A = ½ A – A½ (2)

Exemplul 1 Când se măsoară o linie l a folosit o riglă, a cărei valoare a diviziunii la scară este de 0,5 cm. Am obținut o valoare aproximativă pentru lungimea segmentului A= 204 cm.

Este clar că în timpul măsurării acestea ar putea fi greșite cu cel mult 0,5 cm, adică. eroarea de măsurare absolută nu depășește 0,5 cm.

De obicei, eroarea absolută este necunoscută, deoarece este necunoscută valoarea exactă a numărului A. Prin urmare, unele evaluare eroare absolută:

D A <= DA inainte de. (3)

unde D inainte de. – eroare marginală (număr, Mai mult zero), care se stabilește ținând cont de certitudinea cu care este cunoscut numărul a.

Eroarea absolută limitativă este de asemenea numită marja de eroare. Deci, în exemplul dat,
D inainte de. = 0,5 cm.

Din (3) obținem: D A = ½ A – A½<= DA inainte de. . și apoi

A-D A inainte de. ≤ A≤ A+ D A inainte de. . (4)

Mijloace, anunț A inainte de. va fi o aproximare A cu un dezavantaj şi a + D A inainte de – valoare aproximativă Aîn exces. De asemenea, folosesc stenografie: A= A±D A inainte de (5)

Din definiția erorii absolute limitative rezultă că numerele D A inainte de, satisfacand inegalitatea (3), va exista o multime infinita. În practică, încercăm să alegem eventual mai putin din numerele D inainte de, satisfacerea inegalității D A <= DA inainte de.

Exemplul 2 Să determinăm eroarea absolută limită a numărului a=3,14, luată ca valoare aproximativă a numărului π.

Se știe că 3,14<π<3,15. De aici rezultă că

|A – π |< 0,01.

Numărul D poate fi luat drept eroare absolută limitativă A = 0,01.

Totuși, dacă ținem cont de faptul că 3,14<π<3,142 , atunci obținem o estimare mai bună :D A= 0,002, atunci π ≈3,14 ±0,002.

Eroare relativă (eroare). Cunoașterea numai a erorii absolute nu este suficientă pentru a caracteriza calitatea măsurării.

Să fie, de exemplu, când cântărim două corpuri, se obțin următoarele rezultate:

P 1 \u003d 240,3 ± 0,1 g.

P 2 \u003d 3,8 ± 0,1 g.

Deși erorile absolute de măsurare ale ambelor rezultate sunt aceleași, calitatea măsurării în primul caz va fi mai bună decât în ​​al doilea. Se caracterizează printr-o eroare relativă.

Eroare relativă (eroare) aproximarea numărului A se numește raportul de eroare absolută D a aproximarea la valoarea absolută a numărului A:

Deoarece valoarea exactă a unei cantități este de obicei necunoscută, aceasta este înlocuită cu o valoare aproximativă și apoi:

Limitarea erorii relative sau limita erorii relative de aproximare, numit numărul d si inainte.>0, astfel încât:

d A<= d si inainte.

Pentru eroarea relativă limită, se poate lua în mod evident raportul dintre eroarea absolută limită și valoarea absolută a valorii aproximative:

Din (9) se obține cu ușurință următoarea relație importantă:

∆si inainte. = |A| d si inainte.

Eroarea relativă limită este de obicei exprimată ca procent:

Exemplu. Baza logaritmilor naturali pentru calcul este considerată egală cu e=2,72. Am luat drept valoare exactă e m = 2,7183. Aflați erorile absolute și relative ale unui număr aproximativ.

D e = ½ e – e t ½=0,0017;

.

Valoarea erorii relative rămâne neschimbată cu o modificare proporțională a numărului cel mai aproximativ și a erorii sale absolute. Deci, pentru numărul 634,7, calculat cu o eroare absolută D = 1,3, și pentru numărul 6347 cu o eroare D = 13, erorile relative sunt aceleași: d= 0,2.

Regiunea Sakhalin

„Școala Profesională Nr. 13”

Instrucțiuni metodologice pentru munca independentă a elevilor

Aleksandrovsk-Sahalinski

Valori aproximative ale cantităților și erori de aproximare: spec. / Comp.

GBOU NPO "Școala profesională nr. 13", - Aleksandrovsk-Sakhalinsky, 2012

Instrucțiunile metodice sunt destinate studenților tuturor profesiilor care studiază cursul de matematică

Președintele MK

Valoarea aproximativă a cantității și erorile de aproximare.

În practică, aproape niciodată nu știm valorile exacte ale cantităților. Nici o cântar, oricât de precis, nu arată exact greutatea; orice termometru arata temperatura cu o eroare sau alta; nici un ampermetru nu poate da citiri precise ale curentului etc. În plus, ochiul nostru nu este capabil să citească în mod absolut corect citirile instrumentelor de măsură. Prin urmare, în loc să ne ocupăm de adevăratele valori ale cantităților, suntem forțați să operăm cu valorile lor aproximative.

Faptul că A" este valoarea aproximativă a numărului A , se scrie astfel:

a ≈ a" .

Dacă A" este o valoare aproximativă a cantității A , apoi diferența Δ = a-a" numit eroare de aproximare*.

* Δ - literă greacă; citeste: delta. Urmează o altă literă greacă ε (a se citi: epsilon).

De exemplu, dacă numărul 3,756 este înlocuit cu valoarea sa aproximativă de 3,7, atunci eroarea va fi egală cu: Δ = 3,756 - 3,7 = 0,056. Dacă luăm 3,8 ca valoare aproximativă, atunci eroarea va fi egală cu: Δ = 3,756 - 3,8 = -0,044.

În practică, eroarea de aproximare este folosită cel mai des Δ , iar valoarea absolută a acestei erori | Δ |. În cele ce urmează, ne vom referi pur și simplu la această valoare absolută a erorii ca eroare absolută. Se consideră că o aproximare este mai bună decât alta dacă eroarea absolută a primei aproximări este mai mică decât eroarea absolută a celei de-a doua aproximări. De exemplu, aproximarea 3.8 pentru numărul 3.756 este mai bună decât aproximarea 3.7, deoarece pentru prima aproximare
|Δ | = | - 0,044| =0,044, iar pentru al doilea | Δ | = |0,056| = 0,056.

Număr A" A pâna laε , dacă eroarea absolută a acestei aproximări este mai mică decâtε :

|a-a" | < ε .

De exemplu, 3,6 este o aproximare de 3,671 la 0,1, deoarece |3,671 - 3,6| = | 0,071| = 0,071< 0,1.

De asemenea, -3/2 poate fi considerată ca o aproximare a -8/5 până la 1/5, deoarece

< A , Acea A" se numește valoarea aproximativă a numărului A cu un dezavantaj.

Dacă A" > A , Acea A" se numește valoarea aproximativă a numărului A în exces.

De exemplu, 3,6 este o valoare aproximativă de 3,671 cu un dezavantaj, deoarece 3,6< 3,671, а - 3/2 есть приближенное значение числа - 8/5 c избытком, так как - 3/2 > - 8/5 .

Dacă noi în loc de numere A Și b adună valorile lor aproximative A" Și b" , apoi rezultatul a" + b" va fi o valoare aproximativă a sumei a + b . Se pune întrebarea: cum se estimează acuratețea acestui rezultat dacă se cunoaște acuratețea aproximării fiecărui termen? Rezolvarea acestei probleme și a unor probleme similare se bazează pe următoarea proprietate a valorii absolute:

|a + b | < |A | + |b |.

Valoarea absolută a sumei oricăror două numere nu depășește suma lor valori absolute.

Erori

Diferența dintre numărul exact x și valoarea sa aproximativă a se numește eroarea acestui număr aproximativ. Daca se stie ca | | x - a |< a, то величина a называется предельной абсолютной погрешностью приближенной величины a.

Raportul dintre eroarea absolută și modulul valorii aproximative se numește eroarea relativă a valorii aproximative. Eroarea relativă este de obicei exprimată ca procent.

Exemplu. | 1 - 20 | < | 1 | + | -20|.

Într-adevăr,

|1 - 20| = |-19| = 19,

|1| + | - 20| = 1 + 20 = 21,

Exerciții pentru munca independentă.

1. Cu ce ​​precizie pot fi măsurate lungimile folosind o riglă obișnuită?

2. Cât de precis este ceasul?

3. Știți cu ce precizie se poate măsura greutatea corporală pe cântare electrice moderne?

4. a) Care sunt limitele numărului A , dacă valoarea sa aproximativă la 0,01 este egală cu 0,99?

b) Care sunt limitele numărului A , dacă valoarea sa aproximativă deficitară la 0,01 este 0,99?

c) Care este intervalul numărului? A , dacă valoarea sa aproximativă cu un exces până la 0,01 este 0,99?

5 . Care este numărul aproximativ π ≈ 3,1415 este mai bun: 3,1 sau 3,2?

6. Valoarea aproximativă a unui anumit număr cu o precizie de 0,01 poate fi considerată o valoare aproximativă a aceluiași număr cu o precizie de 0,1? Si invers?

7. Pe linia numerică, poziția punctului corespunzător numărului A . Punct pe această linie:

a) poziția tuturor punctelor care corespund valorilor aproximative ale numărului A cu un dezavantaj cu o precizie de 0,1;

b) poziția tuturor punctelor care corespund valorilor aproximative ale numărului A în exces cu o precizie de 0,1;

c) poziția tuturor punctelor care corespund valorilor aproximative ale numărului A cu o precizie de 0,1.

8. În care caz este valoarea absolută a sumei a două numere:

a) mai mic decât suma valorilor absolute ale acestor numere;

b) este egală cu suma valorilor absolute ale acestor numere?

9. Demonstrați inegalitățile:

a) | a-b | < |A| + |b |; b)* | a - b | > ||A | - | b ||.

Când apare semnul egal în aceste formule?

Literatură:

1. Pantofi (nivel de bază) 10-11 celule. - M., 2012

2. Bashmakov, 10 celule. Colectarea sarcinilor. - M: Centrul de Editură „Academia”, 2008

3., Mordkovich: Materiale de referință: Carte pentru studenți.-ed. a II-a-M.: Enlightenment, 1990

4. Dicţionar enciclopedic tânăr matematician / Comp. .-M.: Pedagogie, 1989