Geometrie descriptivă.

Suprafețe de revoluție - suprafețe formate prin rotirea unei generatrice arbitrare în jurul unei axe fixe (Fig. 51, a). Suprafața de ghidare a revoluției este un cerc cu rază constantă (cilindru) sau variabilă (con, sferă). Normal - perpendicular pe secțiunea axei de rotație a oricărei suprafețe de revoluție, este un cerc centrat pe axa sa.

Orez. 51. Suprafaţa de revoluţie: a - linii principale pe suprafaţa de revoluţie; b - reprezentarea suprafeţei de revoluţie sub forma unei reţele

Ghidajele sunt numite și suprafețe paralele de revoluție. Planurile paralelelor sunt perpendiculare pe axa suprafeței. Cea mai mare dintre paralele se numește ecuatorul suprafeței, cea mai mică se numește gât. Planurile care trec prin axa suprafeței de revoluție se numesc meridionale, iar liniile de-a lungul cărora intersectează suprafața se numesc meridiane. Suprafața de revoluție poate fi reprezentată prin paralele sau meridiane ale suprafeței, precum și o rețea formată din paralele și meridiane (Fig. 51, b).

O suprafață de revoluție se numește închisă dacă secțiunea meridională a suprafeței este o linie curbă închisă care intersectează axa suprafeței în două puncte.

Când o curbă algebrică plană sau spațială de ordinul n-lea se rotește în jurul axei, se formează o suprafață algebrică de revoluție, în cazul general, de ordinul al 2-lea. Dacă o curbă de ordinul doi se rotește în jurul axei sale, atunci formează o suprafață de ordinul doi.

În funcție de tipul de generator, există:

Suprafețele Torusului – suprafețe formate prin rotirea unui cerc sau a unui arc de cerc:

Orez. 52. Suprafeţele torilor: a - sferă; b este un tor deschis (inel); c este un tor închis; d - globoid

• Sferă format prin rotirea unui cerc în jurul unei axe care trece prin centrul acesteia (Fig. 52, a).
• Thor se formează prin rotirea unui cerc în jurul unei axe care se află în planul acestui cerc și nu trece prin centrul acestuia (un tor este o suprafață de ordinul al patrulea). Distinge tor deschis, format prin rotirea unui cerc în jurul unei axe care nu intersectează generatoarea (Fig. 52, b) și tor închis, format prin rotirea unui cerc în jurul unei axe care intersectează cercul generator sau îl atinge (Fig. 52, c).
• Globoid se formează prin rotirea unui cerc de rază suficient de mare în jurul unei axe care nu intersectează generatoarea (Fig. 52, d).

Elipsoid rotația se formează prin rotirea unei elipse în jurul axei sale. Dacă se ia axa de rotaţie axa majoră elipsă, elipsoidul de revoluție se numește prolat (Fig. 53. a), dacă este mic - comprimat sau sferoid (Fig. 53, b). Globul, de exemplu, are o formă apropiată de un sferoid

Orez. 53. Suprafeţe de revoluţie: a - elipsoid prolat; b – sferoid

Paraboloid al revoluției format prin rotirea unei parabole în jurul axei acesteia (Fig. 54). Paraboloizii revoluției sunt folosiți ca suprafață reflectorizantă în proiectoarele și farurile mașinilor pentru a produce un fascicul de lumină paralel.

Orez. 54. Paraboloid al revoluției

Hiperboloid al revoluției format prin rotirea unei hiperbole. Distinge hiperboloid cu o singură foaie(Fig. 55, a), format prin rotirea unei hiperbole în jurul axei sale imaginare și hiperboloid cu două foi(Fig. 55, b), format prin rotirea unei hiperbole în jurul axei sale reale.

- (greacă, de la hyperbole, hyperbole și similaritate eidos). Suprafață curbă neînchisă de ordinul 2, rezultată din rotația unei hiperbole. Dicționar de cuvinte străine incluse în limba rusă. Chudinov A.N., 1910. HIPERBOLOID greacă, de la hiperbolă, ... ... Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse

hiperboloid- a, m. hiperboloid m. mat. O suprafață deschisă formată prin rotirea unei hiperbole în jurul uneia dintre axele sale. BAS 2. Inginer hiperboloid Garin. Lex. ian. 1803: hiperboloid; SAN 1847: hiperbolic/d: BAS 1954: hiperbolic/id... Dicționar istoric al galicismelor limbii ruse

HIPERBOLOID, hiperboloid, masculin. (mat.). Suprafața formată prin rotația unei hiperbole (în valoare 1). Dicționar explicativ al lui Ushakov. D.N. Uşakov. 1935 1940... Dicționar explicativ al lui Ushakov

Exist., număr de sinonime: 2 conoid (4) suprafață (32) Dicționar de sinonime ASIS. V.N. Trishin. 2013... Dicţionar de sinonime

Hiperboloid- Hiperboloid cu o singură foaie. HIPERBOLOID (din hiperbolă și vedere greacă eidos), o suprafață care se obține prin rotirea unei hiperbole în jurul uneia dintre axele de simetrie. Într-un caz, se formează un hiperboloid cu două foi, în celălalt, un hiperboloid cu o singură foaie ...... Dicţionar Enciclopedic Ilustrat

hiperboloid- hiperboloidas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. hiperboloid vok. Hiperboloid, m rus. hiperboloid, m pranc. hyperboloide, m … Fizikos terminų žodynas

- (mat.) Sub acest nume se cunosc două tipuri de suprafețe de ordinul doi. 1) G de un singur sex. Această suprafață, legată de axele de simetrie, are ecuația x2 / a2 + y2 / b2 z2 / c2 \u003d 1. Un G de un singur sex este o suprafață reglată și două sisteme se află pe ea ... ... Dicţionar enciclopedic F. Brockhaus și I.A. Efron

M. O suprafață deschisă formată prin rotirea unei hiperbole [hiperbola II] în jurul uneia dintre axele sale (în geometrie). Dicţionar explicativ al lui Efraim. T. F. Efremova. 2000... Modern Dicţionar Limba rusă Efremova

Hiperboloizi, hiperboloizi, hiperboloizi, hiperboloizi, hiperboloizi, hiperboloizi, hiperboloizi, hiperboloizi, hiperboloizi, hiperboloizi, hiperboloizi, hiperboloizi (Sursa: „Paradigma complet accentuată conform A. A. Zaliznyak”) ... Forme de cuvinte

Suprafață centrală neînchisă de ordinul doi. Există două tipuri de G.: cu o singură foaie G. și cu două foi G. În sistemul de coordonate adecvat (vezi figura), ecuația cu o singură foaie G. are forma: și forma cu două foi: Numerele a, b și c (și segmente astfel ... ... Enciclopedie matematică

Cărți

• , Alexei Tolstoi. Cartea include romane science fiction de A. N. Tolstoi, create în anii 20 ai secolului trecut...
• Inginerul hiperboloid Garin. Aelita, Alexei Tolstoi. Romanul „Hiperboloidul inginerului Garin” și povestea „Aelita” au marcat începutul literaturii științifico-fantastice sovietice. Ele diferă prin faptul că temele fantastice sunt date în combinație cu...

Capitolul VI. Cele mai simple suprafețe curbate și corpuri de revoluție.

§ 75*. Suprafețe de revoluție

1. Lăsați în avion R curba L și o linie dreaptă l. Suprafața obținută prin rotirea curbei L în jurul unei drepte l, se numește suprafata de revolutie.

Fie curba L să se afle în plan hoy(Fig. 216) și are ecuația

y=f(X), X [A; b]. (1)

Găsim ecuația suprafeței, care se obține prin rotirea curbei L în jurul axei Oh(Fig. 217).

Evident, punctul M cu coordonatele (x; y; z), unde X [A; b], aparține suprafeței de revoluție dorită dacă și numai dacă

√y 2 +z 2 =|f(X)|.

Într-adevăr, punctele ( X; y; z) Și ( X; f(X); 0) se află pe același cerc centrat în punctul ( X; 0; 0).

Astfel, ecuația suprafeței obținută prin rotirea curbei (1) în jurul axei Oh, are forma

y 2 +z 2 = (f(X)) 2 , X [A; b]. (2)

Rețineți că ecuația (2) se obține din ecuația (1) după cum urmează:
ambele părți ale ecuației (1) sunt pătrate și y 2 se înlocuiește cu y 2 +z 2 ,

În special, dacă curba L este dată de ecuație

y 2 = F( X), (3)

apoi ecuaţia suprafeţei obţinută prin rotirea acestei curbe în jurul axei Oh, are forma

y 2 +z 2 = F( X) (4)

adică doar y 2 se înlocuiește cu y 2 +z 2 .

2. Se numește suprafața care se obține prin rotirea unei elipse în jurul uneia dintre axele acesteia elipsoid al revoluției.

Lasă în avion hoy elipsa este dată de ecuație

(5)

Să compunem ecuația suprafeței obținute prin rotirea ei în jurul axei Oh. Ecuația elipsei (5) se reduce la forma (3), prin urmare, pentru a obține ecuația elipsoidului de rotație, este suficientă în ecuația (5) y 2 înlocuiți cu y 2 +z 2. După înlocuire, primim

(6)

Această ecuație este de obicei scrisă astfel:

La a > b ecuația (6) definește un elipsoid de revoluție extins de-a lungul axei Oh(Fig. 218), cu A< b ecuația (6) definește un elipsoid de revoluție comprimat de-a lungul axei Oh(Fig. 219), iar când a = b definește domeniul de aplicare.

Sarcina 1. Elipsa cu semiaxele b= 6 și A= 4 și centrat la origine se rotește în jurul axei sale minore, coincizând cu axa Oh. Scrieți o ecuație pentru suprafața descrisă de elipsă în timp ce aceasta se rotește.

Să scriem o ecuație pentru această elipsă:

Înlocuind în această ecuație y 2 pe y 2 +z 2, obținem ecuația dorită a elipsoidului de revoluție:

3. Se numește suprafața care se obține prin rotirea unei hiperbole în jurul uneia dintre axele acesteia hiperboloid al revoluției. Când o hiperbolă este rotită în jurul axei sale reale, se obține un hiperboloid de revoluție cu două foi (Fig. 220), iar când o hiperbolă este rotită în jurul axei sale imaginare, se obține un hiperboloid de revoluție cu o singură folie (Fig. 221).

Lasă în avion hoy hiperbola este dată de ecuație

Să compunem ecuația suprafeței obținute prin rotirea hiperbolei în jurul axei sale reale Oh. Ecuația hiperbolică (7) se reduce la forma (3); prin urmare, pentru a obține ecuația pentru suprafața unui hiperboloid de rotație cu două foi, este suficient în ecuația hiperbolei (7) y 2 înlocuiți cu y 2 +z 2. După înlocuire, primim

(8)

Când hiperbola (7) se rotește în jurul axei sale imaginare, în ecuația (7) X 2 înlocuiți cu X 2 +z 2; după înlocuire primim

(9)

Sarcina 2. Hiperbola cu semiaxele A= 3 și b= 4 se rotește în jurul axei sale imaginare, care este aceeași cu axa OU. Centrul hiperbolei coincide cu originea. Scrieți o ecuație pentru suprafața obținută prin rotirea acestei hiperbole.

Să scriem ecuația hiperbolei:

Pentru a obține ecuația hiperboloidului de revoluție, în ecuația hiperbolei X 2 va fi înlocuit cu X 2 +z 2. După înlocuire, primim

4. Suprafața care se obține prin rotirea unei parabole în jurul axei sale de simetrie se numește paraboloid al revoluției(Fig. 222).

Lasă în avion hoy parabola este dată de ecuație

X 2 = 2RU. (10)

Pentru a obține ecuația suprafeței de revoluție, este necesar în ecuația (10) X 2 va fi înlocuit cu X 2 +z 2; după înlocuire primim

X 2 +z 2 = 2py.

Observăm o proprietate remarcabilă a acestei suprafețe. Dacă suprafața interioară a paraboloidului de revoluție este făcută în oglindă și o sursă de lumină este plasată în focarul său (focalul paraboloidului de revoluție este focarul parabolei rotite), atunci toate razele de lumină, reflectate de pe suprafața paraboloidului, vor merge paralel cu axa paraboloidului.

Această proprietate este utilizată pe scară largă în fabricarea dispozitivelor reflectorizante (reflectoare, faruri auto, proiectoare de film și alte dispozitive).

Sarcina 3. Scrieți o ecuație pentru suprafața obținută prin rotirea unei parabole y 2 = 2Xîn jurul axei Oh.

Pentru a formula ecuația unui paraboloid de revoluție obținută prin rotirea unei parabole în jurul unei axe Oh, necesar în ecuație y 2 = 2X a inlocui y 2 pe y 2 +z 2, după înlocuire primim

y 2 +z 2 = 2X.

5. Dacă rotiți o linie dreaptă paralelă cu orice axă de coordonate în jurul acestei axe, obțineți suprafata circulara cilindrica.

Lasă o linie dreaptă să se afle în plan yOzși având ecuația y = a. Este ușor de observat că suprafața de revoluție a acestei linii în jurul axei Oz are ecuația

X 2 +y 2 = A 2

Această suprafață cilindrică este prezentată în Fig. 223.

Sarcina 4. Scrieți o ecuație pentru o suprafață cilindrică obținută prin rotirea unei linii drepte la= 3 culcat în avion hoyîn jurul axei Oh.

În ecuație y 2 = 3 2 înlocuiți y 2 pe y 2 + z 2, ca rezultat obținem

y 2 + z 2 = 9.

6. Lasă o linie dreaptă în plan yOzși trecând prin origine:
y=kz, k =/= 0.

Evident, ecuația suprafeței de revoluție a acestei linii în jurul axei Oz are forma

X 2 + y 2 = k 2 z 2 .

Ecuația rezultată este ecuația suprafeței de revoluție dorită, care se numește suprafata circulara conica(Fig. 224).

Sarcina 5. Scrieți o ecuație pentru suprafața de revoluție a unei drepte 2 X = 3la, z=0 în jurul axei Oh.

Din ecuația 3 la = 2X, folosind formula (2), găsim 9( y 2 + z 2) = 4X 2. Aceasta este ecuația necesară.

Printre suprafețele curbe - riglate și neliniare - se numără suprafețele de revoluție larg utilizate în practică. Suprafața revoluției ei numesc suprafața obținută din rotația oricărei linii generatoare în jurul unei drepte fixe - axele de suprafață 1).

Suprafața de revoluție poate fi specificată de generator și de poziția axei. Pe fig. 330 arată o astfel de suprafață. Aici generatria este curba ABC, axa este linia dreaptă OO 1 situată în același plan cu ABC. Fiecare punct al generatricei descrie un cerc. Astfel, un plan perpendicular pe axa unei suprafețe de revoluție intersectează această suprafață într-un cerc. Astfel de cercuri

1) În timpul formării suprafeței de revoluție, axa este staționară.

sti sunt numiti paralele. Cea mai mare dintre paralele se numește ecuator, cel mai mic - gât suprafete 1).

Planul care trece prin axa suprafeței de revoluție se numește plan meridional. Linia de intersecție a suprafeței de revoluție cu planul meridional se numește meridianul de suprafață.

Poate fi chemat vârful suprafeței revoluției punctul de intersecție a meridianului acestei suprafețe cu axa ei, dacă intersecția nu formează un unghi drept.

Dacă axa suprafeței de revoluție este paralelă cu pătratul. π 2, apoi meridianul situat într-un plan paralel cu pătratul. π 2 se numește primul Meridian. În această poziție, meridianul principal este proiectat pe pătrat. ts 2 fără distorsiuni. Dacă axa suprafeţei de revoluţie este perpendiculară pe pătrat. π 1 atunci proiecția orizontală a suprafeței are un contur sub formă de cerc. Cea mai potrivită din punct de vedere al imaginilor este perpendicularitatea axei suprafeței de revoluție la pătrat. π 1 sau la π 2 sau la π 3.

Unele suprafețe de revoluție sunt cazuri speciale ale suprafețelor considerate la § 50. Acestea sunt: ​​1) un cilindru de revoluție, 2) un con de revoluție, 3) un hiperboloid de revoluție cu o singură folie, 4) un elipsoid de revoluție, 5) un paraboloid de revoluție, 6) un hiperboloid de revoluție cu două foi.

Pentru cilindru și con de revoluție meridianele sunt linii drepte - în primul caz, paralele cu axa și echidistante de aceasta, în al doilea caz, traversând axa în același punct la același unghi față de axă. Deoarece cilindrul și conul de revoluție sunt suprafețe care se extind infinit în direcția generatoarelor lor, ele sunt de obicei limitate în imagini de niște linii, de exemplu, urme ale acestor suprafețe pe planurile de proiecție sau oricare dintre paralele. Cunoscut din stereometrie cilindru circular drept și drept con circular delimitat de o suprafață de revoluție și de planuri perpendiculare pe axa acesteia. Meridianele unui astfel de cilindru sunt dreptunghiuri, iar conurile sunt triunghiuri.

Pentru hiperboloid al revoluției meridianul este o hiperbolă, iar dacă axa reală a hiperbolei servește ca axă de rotație, atunci se formează un hiperboloid de revoluție cu două foi; dacă rotim hiperbola în jurul axei sale imaginare, atunci cu o singură cavitate.

Hiperboloid cu o singură foaie de revoluție poate fi format și prin rotirea unei linii drepte în carcasă dacă generatoarea și axa de rotație sunt linii oblice.

Pe fig. 331 prezintă un hiperboloid de revoluție cu o singură foaie format prin rotația dreptei AB în jurul axei specificate și delimitat de două paralele; cercul tras din centrul 0 1 este gâtul suprafeţei.

Pe un hiperboloid de revoluție cu o singură foaie, generatoarele rectilinii pot fi aplicate în două direcții, de exemplu, așa cum se arată în Fig. 331, și cu o pantă în reversul, la același unghi față de axă.

Pe lângă liniile drepte (perechi), această suprafață poate conține și hiperbole, parabole, elipse și cercuri.

1) Mai precis, ecuatorul se numește cel al paralelelor, care este mai mare decât paralelele adiacente acestuia de ambele părți ale acestuia, considerate la primul gât; gât - cea mai mică dintre paralelele învecinate cu primul ecuator. Prin urmare, suprafața de revoluție poate avea mai multe ecuatoare și gâturi.

Pe fig. 331 din dreapta arată construcția unei proiecții frontale a unui hiperboloid de revoluție cu o singură foaie de-a lungul axei și generatricei sale. În primul rând, se găsește raza gâtului suprafeței. Pentru aceasta, o perpendiculară O „1 1” este trasată pe proiecția orizontală a generatricei. Aceasta definește proiecția orizontală a perpendicularei comune pe axă și generatoare. Valoarea naturală a segmentului, exprimată prin proiecțiile O" 1 1" și O" 1 1", este egală cu raza gâtului suprafeței. În plus, prin rotirea punctelor cu proiecțiile 2",2";3",3";A",A" sunt afișate în planul α, paralel cu pătratul. π 2 că

face posibilă trasarea unei linii de schiță a proiecției frontale a hiperboloidului. Proiecția sa orizontală va fi trei cercuri concentrice.

Pentru meridianul paraboloid al revoluției este o parabolă, a cărui axă servește drept axă a suprafeței.

Pentru meridianul elipsoid de revoluție este o elipsă. O suprafață poate fi formată prin rotirea unei elipse în jurul axei sale majore ( elipsoid „prolat” al revoluției- orez. 332, stânga) sau în jurul axei sale minore ( elipsoid „comprimat” al revoluției- orez, 332, în dreapta). Elipsoid de revoluție - suprafață mărginită; poate fi arătat în întregime. O sferă poate fi, de asemenea, descrisă pe deplin. Pentru o sferă, ecuatorul și meridianele sunt cercuri egale.

Să acordăm încă o dată atenție faptului că suprafețele de revoluție precum un cilindru, un con și un hiperboloid cu o singură foaie sunt guvernate, adică pot fi

formează prin rotirea unei linii drepte 1). Dar un elipsoid, un paraboloid și un hiperboloid cu două foi se formează în timpul rotației nu a unei linii drepte, ci a unei elipse, parabole și hiperbole, iar axa de rotație este aleasă astfel încât curba generatoare să fie situată simetric față de această axă. Același lucru se poate spune despre un hiperboloid de revoluție cu o singură foaie dacă se formează ca urmare a rotației hiperbolei în jurul axei sale imaginare.

Deoarece axa de rotație este aleasă să coincidă cu axa de simetrie a elipsei, parabolei, hiperbolei, atunci elipsa și hiperbola formează câte două suprafețe, deoarece au două axe de simetrie, iar parabola - o suprafață, deoarece are o axă de simetrie. Prin urmare, fiecare dintre suprafețele formate se obține doar prin rotire într-un singur fel. Între timp, o sferă, care poate fi considerată un elipsoid cu axe majore și minore egale ale generatricei elipsei, care în acest caz se transformă într-un cerc, poate fi formată prin rotirea a mai mult de un

mod: generatoarea cercului este simetrică față de fiecare dintre diametrele sale.

Când un cerc (sau arcul său) se rotește în jurul unei axe care se află în planul acestui cerc, dar nu trece prin centrul său, se obține o suprafață cu numele torus 2). Acesta este și numele unui corp delimitat de un tor - o suprafață.

Există (Fig. 333):

1) un tor deschis, altfel un inel circular,

2) închis,

3) auto-intersectându-se.

Pe fig. 333 sunt prezentate în cea mai simplă poziţie: axa torului este perpendiculară pe planul de proiecţie, în acest caz pe pătrat. pi 1 .

Generatoarea pentru un tori deschis și închis este un cerc, pentru un tor cu auto-intersectare, un arc de cerc. Sferele pot fi înscrise în tori deschise și închise. Un tor poate fi privit ca o suprafață care învăluie sfere identice ale căror centre sunt pe un cerc.

Torul are două sisteme de secțiuni circulare:în planuri perpendiculare pe axa sa şi în planuri care trec prin axa torului 3).

1) Modelul în aranjarea generatoarelor rectilinii a unui hiperboloid de revoluție cu o singură foaie este aplicat în designul cunoscut sub numele de „turnul Shukhov”. V. G. Șuhov (1853 - 1939) - unul dintre cei mai importanți ingineri ruși. „Turnul Shukhov” este folosit în construcția de catarge radio, turnuri de apă etc.

2) pr. rupt (din torus (lat.) - umflătură, nod) - o margine inelară pe o coloană.

3) Există un al treilea sistem de secțiuni circulare ale unui tor deschis, care nu este luat în considerare în carte.

Suprafața, numită tor, este foarte comună în inginerie mecanică și arhitectură. Pe fig. 334 în stânga este o parte a cărei suprafață de revoluție conține un tor auto-intersectat și un tor deschis, iar în dreapta în aceeași figură este prezentată schematic

suprafata de trecere de la o bolta cilindrica la alta, avand forma unui tor inchis cu axa OO 1

Dintre suprafețele revoluției mai amintim catenoid 1). Această suprafață se formează în timpul unei rotații complete linie catenară 2) în jurul unei axe orizontale situate cu ea în același plan.

Poziția unui punct pe suprafața de revoluție este determinată de cercul care trece prin acest punct de pe suprafața de revoluție.

Dar acest lucru nu exclude posibilitatea utilizării generatoarelor rectilinii în cazul suprafețelor de revoluție reglate, așa cum se arată în Fig. 314 pentru cilindri și conuri generale.

Pe fig. 330 prezintă utilizarea unei paralele pentru a construi proiecția unui punct aparținând unei suprafețe date de revoluție. Dacă este dată proiecția M, atunci desenăm proiecția frontală F "F" 1 a paralelei, apoi cu raza R \u003d O "1 F" desenăm un cerc - proiecția orizontală a paralelei - și pe aceasta găsim proiecția M ". Dacă ar fi dată proiecția M", atunci ar fi necesar să se deseneze un cerc cu o rază R \u003d O" 1 F ", să se găsească F" în punctul F "și să se deseneze F" F "1 - proiecția frontală a paralelei pe care ar trebui să fie proiecția M". Figura 332 prezintă construcţia proiecţiilor punctului K, care aparţine elipsoidului de revoluţie, iar în fig. 335 - punctul M, aparținând suprafeței inelului circular.

Pe fig. 335 din dreapta arată găsirea proiecțiilor punctelor pe sferă. Conform proiecției date A" a punctului A, s-a construit proiecția frontală A"; pe proiecția dată B" se găsește proiecția orizontală B" a punctului B, care îndeplinește condiția suplimentară ca punctul B să fie invizibil la privirea pătratului. π 2 .

Punctul C este dat pe ecuator: proiecția sa C „este pe conturul proiecției orizontale a sferei, adică pe proiecția orizontală a ecuatorului. Punctele K și M se află pe meridianul principal; aparțin paralelelor pe care sunt situate punctele A și B. Punctul D este de asemenea situat pe meridianul principal și este invizibil atunci când se privește pătratul π1.

Luați în considerare un exemplu de construcție a proiecțiilor punctelor aparținând unei suprafețe de revoluție. Să fie necesar să se aducă punctul A, rotindu-l în jurul unei axe date MN, la o suprafață dată de revoluție (Fig. 336, a). Deoarece în acest caz axa suprafeței de revoluție și axa de rotație a punctului A sunt perpendiculare pe planul proiecțiilor π 1, atunci cercul de rotație al punctului A este proiectat pe π 1 fără distorsiuni, precum și paralela suprafeței de revoluție care se obține atunci când această suprafață este străbătută de planul de rotație al punctului A este situat și în acest punct de rotație - centrul de rotație al punctului A. cţiunea axei de rotaţie MN cu planul de rotaţie α). Restul este clar din desen. În poziția A 2 pe suprafață, punctul va fi invizibil pe pătrat. π 2 .

2) Catena (lat.) - un lanț.

2) Catenar - o curbă, a cărei formă este luată de un lanț suspendat în cele două puncte ale sale sau, în general, de un fir greu inextensibil suspendat de capete.

Să presupunem că problema alegerii axei de rotație va fi pusă astfel încât mai departe punctul A să poată fi pe o suprafață dată de rotație, la p. 100 s-a luat în considerare o întrebare asemănătoare, dar acolo s-a cerut să se aleagă o axă, astfel încât prin rotirea ei să se poată introduce un punct în plan.Apoi s-a constatat că există o zonă în care este imposibil să se ia axe, deoarece la întoarcerea în jurul unor astfel de axe, punctul nu va intra în contact cu planul. Această zonă a fost determinată de un cilindru parabolic, iar parabola a apărut când se ia în considerare poziția relativă a punctului rotit și a dreptei pe care acest punct ar fi trebuit să fie în contact cu planul.

Acum, evident, întrebarea va fi rezolvată când se consideră poziția relativă a punctului A și a cercului (paralel) pe suprafața corpului de revoluție,

Din fig. 336, și rezultă că proiecția O „a centrului de rotație trebuie să fie situată astfel încât R A să nu fie mai mică decât distanța punctului O” până la punctul cel mai apropiat de pe proiecția unui cerc de rază r, dar dacă luăm punctul O „la distanțe egale de A” și din proiecția acestui cerc.

sti (de exemplu, în O „1 sau O” 2; vezi Fig. 336.6), atunci este deja posibilă setarea axei de rotație în ea; cercul de rotație al punctului A va atinge cercul cu raza r, m, e, punctul A va atinge suprafața de revoluție.

Unde sunt toate punctele din desen care sunt la fel de îndepărtate de punctul A „și de cercul de rază r? Sunt situate pe hiperbolă (Fig. 336.6), pentru care punctul A” servește ca unul dintre focus, punctul O „1”, în care segmentul A „1” este împărțit la jumătate, - unul dintre vârfuri. al doilea focar va fi situat în punctul C”, adică în centrul cercului obținut prin încrucișarea suprafeței corpului de revoluție cu planul α (Fig. 336, a).

Din cele de mai sus rezultă că punctele situate pe ambele ramuri ale hiperbolei sau între ele pot fi alese fiecare ca proiecție orizontală a axei de rotație.

Poate exista un caz în care punctul se află în interiorul suprafeței de revoluție. Prin urmare, trasând un plan de revoluție printr-un punct, vom obține o proiecție A „în interiorul proiecției unui cerc de rază r, de-a lungul căreia planul de revoluție al punctului A intersectează suprafața de revoluție (Fig. 336, c). Și de această dată este evident că R A nu trebuie să fie mai mică decât distanța punctului O” (m, e) față de cel mai apropiat punct de proiectare a razei a cercului axial al razei axa. Pozițiile limită ale proiecțiilor axelor vor fi acum situate ca puncte ale unei elipse cu focare în punctele A „și C”, cu o axă majoră pe linia dreaptă 1 „Z”, cu vârfuri în punctele O” 3 și O” 3. În interiorul acestei elipse nu trebuie luate proiecții ale axelor; astfel de axe nu vor face posibilă introducerea punctului A pe suprafața de revoluție,

Deci, întrebarea cum să alegem o axă de rotație astfel încât, rotind un punct în jurul lui, să introducă acest punct într-un plan sau într-o suprafață de rotație, a cărei axă este paralelă cu axa de rotație, ne-a condus la o elipsă (Fig. 336, c), o parabolă (Fig. 244), o hiperbolă (Fig. 336 centre de rotație) sub formă de locuri geometrice de rotație.

La hotărâre diverse sarcini anumite suprafețe sunt folosite ca locuri geometrice puncte sau linii care îndeplinesc anumite condiţii. De exemplu, având în vedere mp. α și punctul K în afara acestui plan; stabiliți cum vor fi amplasate în piață. α puncte separate de punctul K printr-o anumită distanță r (distanța r este mai mare decât distanța punctului K de zona α). În acest caz, soluția este asociată cu utilizarea unei sfere ca loc de puncte distanțate de punctul K la o distanță r. Planul α va intersecta această sferă de-a lungul unui cerc, ceea ce va da soluția problemei.

Dacă s-ar cere să se construiască în mp. α sunt puncte care se află la o distanță r nu de un punct, ci de o dreaptă AB care nu se află în pătrat. α, atunci locul unor astfel de puncte din spațiu ar fi suprafața unui cilindru de revoluție cu axa AB și raza r, iar cele căutate în pl. α puncte s-ar obține pe linia de intersecție a acestui cilindru pl. A.

Mai târziu în Fig. 368 din dreapta și 401 puteți vedea exemple de utilizare a suprafețelor conice de revoluție ca loc al liniilor drepte care trec printr-un punct dat.

Dacă problema ridică problema punctelor echidistante de planul dat α și punctul M, atunci ca loc al unor astfel de puncte din spațiu ar trebui să folosiți un paraboloid de revoluție cu focarul parabolei în punctul M.

Utilizarea anumitor suprafețe ca locuri geometrice, desigur, nu se limitează la exemplele date.

Întrebări la § 51

1. Ce este o suprafață de revoluție?
2. Cum poți defini o suprafață de revoluție?
3. Cum se numesc paralelele și meridianele de pe suprafețele de revoluție, ecuatorul, gâtul, meridianul principal?

1) Invităm cititorul să întocmească un desen și să finalizeze rezolvarea acestei sarcini și a sarcinilor ulterioare.

4. Care dintre axele hiperbolei servește ca axă de rotație pentru formarea: a) hiperboloidului de revoluție cu o singură folie, b) hiperboloid de revoluție cu două foi?
5. Este posibil să se formeze un hiperboloid de revoluție cu o singură foaie folosind o linie dreaptă?
6. Ce suprafețe de revoluție (cu excepția unui hiperboloid cu o singură foaie) sunt reglementate?
7. Cum se formează o suprafață numită tor?
8. În ce caz este folosit termenul „inel circular” pentru un tor?
9. Câte sisteme de secțiuni circulare are un tor?
10. Cum se determină poziția unui punct pe o suprafață de revoluție?

în jurul axei care o intersectează (în jurul axei reale).

D Pentru a trece de la ecuația dreptei (43) la ecuația suprafeței de revoluție, înlocuim X pe
, obținem ecuația unui hiperboloid cu două foi de revoluție

.

Ca urmare a comprimării acestei suprafețe, se obține o suprafață dată de ecuație

. (44)

O suprafață care are o ecuație de forma (44) într-un sistem de coordonate carteziene se numește hiperboloid cu două foi. Cele două ramuri ale hiperbolei corespund aici la două părți neconectate („cavități”) ale suprafeței, în timp ce atunci când se construiește un hiperboloid de revoluție cu o singură foaie, fiecare ramură a hiperbolei descrie întreaga suprafață (Fig. 60).

Conul asimptotic pentru un hiperboloid cu două foi este definit în același mod ca și pentru unul cu o singură folie (Fig. 61).

Să considerăm acum intersecțiile hiperboloidului cu două foi (44) cu plane paralele cu planurile de coordonate.

Avion z = h la | h| < c intersectează suprafața (44) de-a lungul unor elipse imaginare, pentru | h| > c prin real. Dacă A = b, atunci aceste elipse sunt cercuri, iar hiperboloidul este un hiperboloid al revoluției. Când | h| = c primim

,

adică o pereche de linii conjugate cu un punct real (0; 0; Cu) (sau (0; 0; – Cu) respectiv).

avioane X= α și y= β intersectează hiperboloid (44) de-a lungul hiperbolelor

Și
.

8. paraboloid eliptic

Când parabola se rotește X 2 = 2pzîn jurul axei sale de simetrie, obținem o suprafață cu ecuația

X 2 + y 2 = 2pz,

n numit paraboloid al revoluției. Compresie la avion la= 0 ia paraboloidul de revoluție într-o suprafață cu ecuația

. (45)

O suprafață care are o astfel de ecuație într-un sistem de coordonate dreptunghiular carteziene se numește paraboloid eliptic.

Aspectul unui paraboloid eliptic este clar din modul în care a fost construit. Totul este situat pe o parte a avionului z= 0, în semi-spațiu z > 0 (Fig. 62). Secțiuni pe avioane z = h, h> 0 au ecuația:

și sunt elipse.

Secțiuni ale unui paraboloid eliptic (45) după plane la= 0 și X= 0 sunt parabole

X 2 = 2A 2 z, y = 0; (46)

y 2 = 2b 2 z, X = 0. (47)

Aceste parabole se numesc parabole principale paraboloid eliptic, în timp ce parabola (46) se numește convențional nemişcatși parabola (47) – mobil.

Putem oferi următoarea construcție foarte vizuală a unui paraboloid eliptic prin alunecarea unei parabole de-a lungul celeilalte (se presupune că sistemul de coordonate este dreptunghiular).

Să luăm secțiunea paraboloidului (45) după plan X= α, obținem în acest plan care conține sistemul de coordonate O 0 e 2 e 3, unde O 0 = (α, 0, 0), o curbă a cărei ecuație va fi

, X = α

y 2 = 2b 2 (z – γ), X= α, (48)

Unde
.

Să mergem la avion X= α din sistemul de coordonate Oe 2 e 3 la sistemul de coordonate O′ e 2 e 3, unde O′ = (α, 0, γ) este punctul de intersecție al planului X= α cu parabolă fixă X 2 = 2A 2 z, y = 0.

Mutarea originii sistemului O 0 e 2 e 3 la obiect O′, a făcut următoarea transformare de coordonate:

y = y′, z = z′ + γ.

Ca rezultat al acestei transformări, ecuația (48) ia forma:

y 2 = 2 pz′, X = α.

Curba (48) este aceeași parabolă „în mișcare”, dar transferată paralel cu ea însăși în plan X= α. Acest transfer se poate face în felul următor. Partea superioară a parabolei în mișcare alunecă de-a lungul parabolei fixe din punct DESPRE exact O′, în timp ce parabola în sine se mișcă ca un corp rigid, rămânând tot timpul într-un plan paralel cu planul yOz.

Acest rezultat poate fi formulat ca următoarea afirmație.

Un paraboloid eliptic este o suprafață descrisă prin mișcarea unei parabole (47) ("mobile") de-a lungul unei alte, fixe (46), astfel încât partea superioară a parabolei mobile alunecă de-a lungul parabolei fixe, iar planul și axa parabolei mobile rămân tot timpul paralele cu ele însele și se presupune că ambele parabole (mobile și fixe) sunt rotite în aceeași direcție (în aceeași direcție). Partea pozitivă topoare Oz).

Rețineți că paraboloidul eliptic nu are generatoare rectilinii. Într-adevăr, o linie dreaptă paralelă cu planul xOy, poate intersecta doar secțiunea paraboloidului cu un anumit plan z = h, iar această secțiune, după cum sa menționat deja, este o elipsă. Aceasta înseamnă că linia are cel mult două puncte în comun cu paraboloidul.

Dacă linia nu este paralelă cu planul xOy, atunci semilinia sa se află în semi-spațiu z < 0, где нет ни одной точки параболоида. Таким образом, нет прямой, которая всеми своими точками лежала бы на эллиптическом параболоиде.

9. paraboloid hiperbolic

Prin analogie cu ecuația (45), putem scrie ecuația

. (49)

O suprafață care are o ecuație de forma (49) într-un sistem de coordonate este numită paraboloid hiperbolic.

Investigăm aspectul unui paraboloid hiperbolic folosind secțiuni (Fig. 63). Secțiune de avion z = h este o hiperbolă, care în acest plan are ecuația:

sau
.

Pentru valori mari h semiaxele hiperbolei
Și
mare si scade cu scadere h. În acest caz, axa hiperbolei care o intersectează este paralelă cu vectorul e 1 .

La h= 0 hiperbola degenerează într-o pereche de drepte care se intersectează

=>

,
.

Dacă h < 0, то ось гиперболы, которая ее пересекает, параллельна вектору e 2. Jumătățile arborilor cresc odată cu creșterea | h|. Raportul semiaxelor pentru toate hiperbolele cu același semn h la fel. Prin urmare, dacă desenăm toate secțiunile unui paraboloid hiperbolic pe același plan, atunci obținem o familie de toate hiperbolele având ca asimptote o pereche de linii care se intersectează cu ecuațiile

,
.

Secțiuni ale unui paraboloid hiperbolic cu planuri la= 0 și X= 0 sunt două „parabole principale”:

X 2 = 2A 2 z, y = 0 (50)

este o parabolă fixă ​​și

y 2 = –2b 2 z, X = 0 (51)

- parabolă mobilă.

Aceste parabole sunt rotite prin concavitate în direcții opuse: fix - „sus” (adică în direcția pozitivă a axei Oz), iar mobilul - „jos” (adică în direcția negativă a axei Oz). Sectiune in plan X= α are în sistemul de coordonate O 0 e 2 e 3, unde O 0 = (α, 0, 0), ecuație

, X = α

y 2 = –2b 2 (z – z 0), X= α, (52)

Unde
.

După mutarea originii la punct O′ = (α, 0, z 0), ecuația (51) va lua forma:

y 2 = -2 b 2 z′, X = α,

Unde y = y′, z = z′ + z 0 . Ultima ecuație arată că curba (52) este aceeași parabolă în mișcare (51), deplasată doar paralel cu ea însăși atunci când vârful său alunecă de-a lungul parabolei fixe din punct DESPRE V O′.

Aceasta implică următoarea afirmație. Paraboloidul hiperbolic dat (într-un sistem de coordonate dreptunghiular) prin ecuația (49) este suprafața descrisă de parabolă y 2 = –2b 2 z, X= 0 atunci când se deplasează de-a lungul parabolei fixe (50), astfel încât vârful parabolei mobile alunecă de-a lungul parabolei fixe, iar planul și axa parabolei mobile rămân paralele cu ele însele tot timpul, în timp ce ambele parabole cu concavitate sunt întotdeauna îndreptate în direcții opuse: cea fixă ​​- cu concavitate „în sus”, adică în direcția pozitivă a axei. O z, și mobil - „jos”.

Din această construcție se poate observa că paraboloidul hiperbolic are forma unei șa.

Un paraboloid hiperbolic, ca un hiperboloid cu o singură folie, are două familii de generatoare rectilinii (Fig. 64). Prin fiecare punct al unui paraboloid hiperbolic există două drepte care se află pe acest plan cu toate punctele.

Să găsim ecuațiile generatoarelor rectilinii. Să rescriem ecuația (49) sub forma

.

Luați în considerare o dreaptă definită ca intersecția a două plane

(53)

Evident, orice punct care satisface ecuațiile (53) satisface și ecuația (49), care este produsul ecuațiilor (53)

.

Aceasta înseamnă că fiecare punct al dreptei (53) aparține paraboloidului hiperbolic (49).

Linia dreaptă este considerată în mod similar.

Linia dreaptă (54) se află, de asemenea, cu toate punctele sale pe paraboloidul hiperbolic.