Pregătirea pentru studiul fracțiilor: divizibilitatea și descompunerea în factori primi. Frica de intimitate este ca un bumerang care se întoarce

Compilat de profesorul Departamentului de Matematică Superioară Ishchanov T.R.

Lecția numărul 1. Elemente de combinatorie

Teorie.
Regula înmulțirii: dacă dintr-o mulțime finită primul obiect (element) poate fi ales în moduri, iar al doilea obiect (element) în moduri, atunci ambele obiecte (și ) în ordinea specificată pot fi alese în moduri.
Regula de adunare: dacă un obiect poate fi ales în moduri, iar obiectul poate fi ales în moduri, iar primul și al doilea mod nu se intersectează, atunci oricare dintre obiecte (sau ) poate fi ales în moduri.

material practic.
1. (6.1.44. L) Câte numere diferite din trei cifre pot fi făcute din numerele 0, 1, 2, 3, 4 dacă:
a) numerele nu pot fi repetate;
b) numerele pot fi repetate;
c) numerele trebuie să fie pare (numerele pot fi repetate);
d) numărul trebuie să fie divizibil cu 5 (numerele nu pot fi repetate)
(Răspuns: a) 48 b) 100 c) 60 d) 12)

2. (6.1.2.) Câte numere care conțin cel puțin trei cifre diferite pot fi făcute din cifrele 3, 4, 5, 6, 7? (Răspuns: 300.)

3. (6.1.39) Câte numere din patru cifre pot fi formate astfel încât oricare două cifre adiacente să fie diferite? (Răspuns: 6561)

Teorie. Să fie dată o mulțime formată din n elemente distincte.
Un aranjament de n elemente prin k elemente (0?k?n) este orice submulțime ordonată a unei mulțimi date care conține k elemente. Două aranjamente sunt diferite dacă diferă una de alta fie prin compoziția elementelor, fie în ordinea în care apar.
Numărul de plasări a n elemente prin k este notat cu un simbol și se calculează prin formula:

unde n!=1·2·3·…·n și 1!=1,0!=1.

material practic.
4. (6.1.9 L.) Compuneți diverse aranjamente a două elemente din elementele mulțimii A=(3,4,5) și numărați numărul acestora. (Răspuns: 6)

5. (6.1.3 K) În câte moduri pot fi distribuite trei premii între 16 concurenți? (Răspuns: 3360)

6. (6.1.11. K) Câte numere din cinci cifre sunt, ale căror cifre sunt diferite? Sugestie: luați în considerare faptul că numere precum 02345, 09782 etc. nu contați ca 5 cifre. (Răspuns: 27216)

7. (6.1.12.L.) În câte moduri se poate realiza un steag tricolor cu dungi (trei dungi orizontale) dacă există materie de 5 culori diferite? (Răspuns: 60.)

Teorie. O combinație de n elemente cu k elemente (0?k?n) este orice submulțime a mulțimii date care conține k elemente.
Orice două combinații diferă una de cealaltă doar în compoziția elementelor. Numărul de combinații de n elemente prin k este notat cu un simbol și se calculează prin formula:

material practic.
8.(6.1.20.) Faceți diverse combinații a două elemente din elementele mulțimii A=(3,4,5) și numărați numărul acestora. (Răspuns: 3.)

9. (6.1.25.) Un grup de turiști din 12 băieți și 7 fete alege prin tragere la sorți 5 persoane pentru a găti cina. Câte moduri există în care acest „cinci” va obține:
a) numai fete b) 3 băieți și 2 fete;
c) 1 băiat și 4 fete; d) 5 băieți; e) turişti de acelaşi sex.
(Răspuns: a) 21; b) 4620; c) 420; d) 792; e) 813.)

Teorie. O permutare a n elemente este o aranjare a n elemente cu n elemente. Astfel, a indica una sau alta permutare a unui set dat de n elemente înseamnă a alege o anumită ordine a acestor elemente. Prin urmare, oricare două permutări diferă una de alta numai în ordinea elementelor.
Numărul de permutări a n elemente este notat cu un simbol și se calculează prin formula:

material practic.

10.(6.1.14.L) Compuneți diferite permutări din elementele mulțimii A=(5;8;9). (Răspuns: 6)

11.(6.1.15.L) În câte moduri poate fi aranjat pe un raft cu cărți un set în zece volume de lucrări de D. London, aranjandu-le:
a) la întâmplare
b) astfel încât 1, 5, 9 volume să stea una lângă alta (în orice ordine);
c) astfel încât 1, 2, 3 volume să stea unul lângă altul (în orice ordine).
(Răspuns: a) 10! b) 8!?3! V))

12. (1.6.16.L.) În cameră sunt 7 scaune. În câte moduri pot fi așezați pe ele 7 oaspeți? 3 invitati? (Răspuns: 5040; 210)

Schema de selectie cu retur.
Teorie. Dacă, într-o selecție ordonată de k elemente din n, elementele sunt returnate înapoi, atunci mostrele rezultate sunt aranjamente cu repetări. Numărul tuturor plasărilor cu repetări de n elemente prin k este notat cu simbolul și se calculează prin formula:

Dacă, la selectarea k elemente din n, elementele sunt returnate înapoi fără o ordonare ulterioară (astfel, aceleași elemente pot fi scoase de mai multe ori, adică repetate), atunci eșantioanele rezultate sunt combinații cu repetări. Numărul tuturor combinațiilor cu repetări de n elemente prin k este notat cu un simbol și se calculează prin formula:

material practic.

13.(6.1.29.) Din elementele (numerele) 2, 4, 5, alcătuiți toate plasările și combinațiile cu repetări a două elemente. (Răspuns: 9; 6)

14. (6.1.31.L.) Cinci persoane au intrat în liftul de la etajul 1 al unei clădiri cu nouă etaje. În câte moduri pot ieși pasagerii din lift la etajele dorite? (Răspuns: )

15. (6.1.59.L.) În cofetărie sunt 7 tipuri de prăjituri. În câte moduri puteți cumpăra în el: a) 3 prăjituri de același tip; b) 5 prăjituri? (Răspuns: a) 7; b) 462)

Teorie. Fie ca o mulțime de n elemente să aibă k tipuri diferite de elemente, în timp ce primul tip de elemente se repetă o dată, al doilea - ori, . . . , kth - ori și . Atunci permutările elementelor acestui set sunt permutări cu repetări.
Numărul de permutări cu repetări (uneori se referă la numărul de partiții ale unui set) de n elemente este notat cu un simbol și se calculează prin formula:

material practic.
16.(6.1.32.) Câte „cuvinte” diferite (un „cuvânt” înseamnă orice combinație de litere) pot fi formate prin rearanjarea literelor din cuvântul AHA? MISSISSIPPI?
Soluţie.
În general, trei litere pot fi folosite pentru a face diverse „cuvinte” de trei litere. În cuvântul AGA, litera A se repetă, iar rearanjarea acelorași litere nu schimbă „cuvântul”. Prin urmare, numărul de permutări cu repetări este mai mic decât numărul de permutări fără repetări de câte ori este posibil să se permute literele care se repetă. În acest cuvânt se repetă două litere (1-a și a 3-a); prin urmare, există tot atâtea permutări diferite ale „cuvintelor” de trei litere din literele cuvântului AGA: . Cu toate acestea, răspunsul poate fi obținut mai simplu:. Folosind aceeași formulă, vom găsi numărul de „cuvinte” de unsprezece litere la permutarea literelor din cuvântul MISSISSIPPI. Aici (4 litere S), (4 litere I), deci

17.(6.1.38.L.) Câte permutări diferite de litere există în cuvântul TRATAMENT? Și în „cuvânt” AAAAAAAAAA? (Răspuns: 420;210)

Secțiuni: Matematică

Clasă: 5

Subiect:Împărțire cu rest.

Obiectivele lecției:

Repetați împărțirea cu un rest, obțineți o regulă despre cum să găsiți dividendul atunci când împărțiți cu un rest și scrieți-o ca expresie literală;
- dezvolta atentia, gandirea logica, vorbirea matematica;
- promovarea unei culturi a vorbirii, a perseverenței.

În timpul orelor

Lecția este însoțită de o prezentare pe calculator. (Aplicație)

eu. Organizarea timpului

II. Numărarea verbală. Mesaj cu subiectul lecției

După rezolvarea exemplelor și completarea tabelului, veți putea citi subiectul lecției.

Pe birou:

Citiți subiectul lecției.

Au deschis caiete, au notat data, tema lecției. (Diapozitivul 1)

III. Lucrați pe tema lecției

Decide verbal. (Diapozitivul 2)

1. Citiți expresiile:

30: 5
103: 10
34: 5
60: 7
47: 6
131: 11
42: 6

În ce două grupuri pot fi împărțiți? Notează și rezolvă acelea în care împărțirea este cu rest.

2. Sa verificam. (Diapozitivul 3)

Fara rest:		Cu restul:
30: 5 42: 6		103: 10 = 10 (restul 3) 34: 5 = 6 (ost 4) 60: 7 = 8 (în rest 4) 47: 6 = 7 (în rest 5) 131: 11 = 11 (în rest 10)

Îmi poți spune cum ai făcut împărțirea cu un rest?

Nu întotdeauna un număr natural este divizibil cu un alt număr. Dar puteți efectua oricând împărțirea cu un rest.

Ce înseamnă a împărți cu restul? Pentru a răspunde la această întrebare, să rezolvăm problema. ( slide 4)

4 nepoți au venit să-și viziteze bunica. Bunica a decis să-și trateze nepoții cu dulciuri. În vază erau 23 de bomboane. Câte dulciuri va primi fiecare nepot dacă bunica se oferă să împartă bomboanele în mod egal?

Să raționăm.

Câte bomboane are bunica? (23)

Câți nepoți au venit să-și viziteze bunica? (4)

Ce trebuie făcut în funcție de starea sarcinii? (Bomboanele trebuie împărțite în mod egal, 23 trebuie împărțite la 4; 23 este împărțit la 4 cu un rest; în coeficient va fi 5, iar restul va fi 3.)

Câte dulciuri va primi fiecare nepot? (Fiecare nepot va primi 5 bomboane, iar 3 bomboane vor rămâne în vază.)

Să scriem soluția. (Diapozitivul 5)

23: 4=5 (restul 3)

Care este numele numărului care se împarte? (Divizibil.)

Ce este un divizor? (Număr cu care se împarte.)

Cum se numește rezultatul împărțirii cu un rest? (Ceficient incomplet.)

Numiți dividendul, divizorul, coeficientul parțial și restul în soluția noastră (23 este dividendul, 4 este divizorul, 5 este coeficientul parțial, 3 este restul.)

Băieți, gândiți-vă și scrieți cum să găsiți dividendul 23, cunoscând divizorul, coeficientul incomplet și restul?

Sa verificam.

Băieți, să formulăm o regulă despre cum să găsim dividendul dacă se cunosc divizorul, coeficientul incomplet și restul.

Regulă. (Diapozitivul 6)

Dividendele este egal cu produsul dintre divizor și coeficientul incomplet, adăugat cu restul.

a = soare + d , a - dividend, c - divizor, c - coeficient parțial, d - rest.

Când se face împărțirea cu un rest, ce ar trebui să ne amintim?

Așa este, restul este întotdeauna mai mic decât divizorul.

Și dacă restul este zero, dividendul este divizibil cu divizor fără rest, complet.

IV. Consolidarea materialului studiat

Slide 7

Aflați dividendul dacă:

A) câtul parțial este 7, restul este 3 și divizorul este 6.
B) câtul incomplet este 11, restul este 1, iar divizorul este 9.
C) câtul parțial este 20, restul este 13 și divizorul este 15.

V. Lucrul cu manualul

1. Lucrul la o sarcină.
2. Formularea unei soluții la o problemă.

№ 516 (Elevul rezolvă problema la tablă.)

20 x 10: 18 = 11 (restul 2)

Răspuns: 11 părți a câte 18 kg fiecare pot fi turnate din 10 lingouri, vor rămâne 2 kg fontă.

№ 519 (Caiet de lucru, p. 52 nr. 1.)

diapozitivele 8, 9

Prima sarcină o face elevul la tablă. Al doilea și al treilea - studenții efectuează independent cu autoexaminare.

Rezolvăm problemele verbal. (Diapozitivul 10)

VI. Rezumatul lecției

Sunt 17 elevi în clasa ta. Ai fost aliniat. Au rezultat mai multe rânduri de 5 studenți și un rând incomplet. Câte rânduri complete au rezultat și câți oameni sunt într-o linie incompletă?

Clasa ta de la lecția de educație fizică a fost din nou aliniată. De data aceasta s-au dovedit 4 rânduri complete identice și una incompletă? Câți oameni sunt în fiecare rând? Și în incomplet?

Raspundem la intrebari:

Restul poate fi mai mare decât divizorul? Restul poate fi egal cu divizorul?

Cum să găsiți dividendul după câtul incomplet, divizorul și restul?

Care sunt resturile când se împarte la 5? Dă exemple.

Cum se verifică dacă împărțirea cu rest este corectă?

Oksana s-a gândit la un număr. Dacă acest număr este mărit de 7 ori și se adaugă 17 la produs, atunci va fi 108. La ce număr s-a gândit Oksana?

VII. Teme pentru acasă

Punctul 13, nr. 537, 538, caiet de lucru, p. 42, nr 4.

Bibliografie

1. Matematică: Proc. pentru 5 celule. educatie generala instituții / N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhohov, A.S. Cesnokov, S.I. Schwarzburd. - Ed. a 9-a, stereotip. – M.: Mnemozina, 2001. – 384 p.: ill.
2. Matematică. Clasa 5 Caietul de lucru numărul 1. numere naturale / V.N. Rudnitskaia. – Ed. a VII-a. – M.: Mnemozina, 2008. – 87 p.: ill.
3. Cesnokov A.S., Neshkov K.I. Materiale didactice la matematică pentru clasa a 5-a. - M. : Stil clasic, 2007. - 144 p.: ill.

Trebuie remarcat faptul că combinatoria este o secțiune independentă a matematicii superioare (și nu face parte din terver) și că în această disciplină au fost scrise manuale grele, al căror conținut, uneori, nu este mai ușor decât algebra abstractă. Cu toate acestea, o mică parte de cunoștințe teoretice ne va fi suficientă, iar în acest articol voi încerca să analizez bazele subiectului cu probleme tipice combinatorii într-o formă accesibilă. Și mulți dintre voi mă veți ajuta ;-)

Ce vom face? Într-un sens restrâns, combinatoria este calculul diferitelor combinații care pot fi făcute dintr-o anumită mulțime discret obiecte. Prin obiecte se înțelege orice obiect izolat sau ființă vii - oameni, animale, ciuperci, plante, insecte etc. În același timp, combinatoriei nu îi pasă deloc că setul este format dintr-o farfurie de gris, un fier de lipit și o broască de mlaștină. Este esențial important ca aceste obiecte să fie enumerabile - sunt trei dintre ele. (discretență)și este esențial ca niciuna dintre ele să nu fie la fel.

Cu multe rezolvate, acum despre combinații. Cele mai comune tipuri de combinații sunt permutările de obiecte, selecția lor dintr-un set (combinație) și distribuția (plasarea). Să vedem cum se întâmplă asta chiar acum:

Permutări, combinații și plasări fără repetare

Nu vă fie teamă de termeni obscuri, mai ales că unii dintre ei chiar nu au prea mult succes. Să începem cu coada titlului - ce înseamnă " fără repetare"? Aceasta înseamnă că în această secțiune vom lua în considerare seturi care constau din variat obiecte. De exemplu, ... nu, nu voi oferi terci cu un fier de lipit și o broască, ceva mai gustos este mai bine =) Imaginează-ți că un măr, o peră și o banană s-au materializat pe masa din fața ta (dacă există, situația poate fi simulată în realitate). Așezăm fructele de la stânga la dreapta în următoarea ordine:

mar / para / banana

Întrebarea unu: În câte moduri pot fi rearanjate?

O combinație a fost deja scrisă mai sus și nu există probleme cu restul:

mar / banana / para
para / mar / banana
pară / banană / măr
banană / măr / peră
banană / peră / măr

Total: 6 combinații sau 6 permutări.

Ei bine, nu a fost dificil să enumerați toate cazurile posibile aici, dar dacă există mai multe articole? Deja cu patru fructe diferite, numărul de combinații va crește semnificativ!

Vă rugăm să deschideți materialul de referință (Manualul este ușor de imprimat) iar în paragraful numărul 2, găsiți formula pentru numărul de permutări.

Fără chin - 3 obiecte pot fi rearanjate în moduri.

Întrebarea doi: În câte moduri poți alege a) un fruct, b) două fructe, c) trei fructe, d) cel puțin un fruct?

De ce alege? Așa că și-au făcut pofta de mâncare în paragraful anterior - pentru a mânca! =)

a) Un fruct poate fi ales, evident, în trei moduri - luați fie un măr, fie o peră, fie o banană. Numărarea formală se bazează pe formula pentru numărul de combinații :

Intrarea în acest caz trebuie înțeleasă după cum urmează: „în câte moduri poți alege 1 fruct din trei?”

b) Enumerăm toate combinațiile posibile de două fructe:

măr și pere;
măr și banane;
pere și banane.

Numărul de combinații este ușor de verificat folosind aceeași formulă:

În mod similar se înțelege intrarea: „în câte moduri poți alege 2 fructe din trei?”.

c) Și în sfârșit, trei fructe pot fi alese într-un mod unic:

Apropo, formula pentru numărul de combinații are sens și pentru o probă goală:
În acest fel, nu puteți alege niciun fruct - de fapt, nu luați nimic și atât.

d) În câte moduri poți lua cel puțin unul fructe? Condiția „cel puțin unul” implică faptul că suntem mulțumiți cu 1 fruct (oricare) sau cu oricare 2 fructe sau cu toate cele 3 fructe:
moduri în care puteți alege cel puțin un fruct.

Cititorii care au studiat cu atenție lecția introductivă despre teoria probabilității deja am inteles ceva. Dar despre semnificația semnului plus mai târziu.

Pentru a răspunde la următoarea întrebare, am nevoie de doi voluntari ... ... Ei bine, din moment ce nimeni nu vrea, atunci voi suna la consiliu =)

Întrebarea trei: În câte moduri poate fi distribuit un fruct lui Dasha și Natasha?

Pentru a distribui două fructe, trebuie mai întâi să le selectați. Conform paragrafului „fi” din întrebarea anterioară, acest lucru se poate face în moduri, le voi rescrie din nou:

măr și pere;
măr și banane;
pere și banane.

Dar acum vor fi de două ori mai multe combinații. Luați în considerare, de exemplu, prima pereche de fructe:
o poți trata pe Dasha cu un măr și pe Natasha cu o peră;
sau invers - Dasha va primi para, iar Natasha va primi mărul.

Și o astfel de permutare este posibilă pentru fiecare pereche de fructe.

Luați în considerare același grup de studenți care a mers la dans. În câte moduri pot fi împerecheați un băiat și o fată?

Modalități în care poți alege 1 tânăr;
moduri în care poți alege o fată.

Deci un tânăr Și se poate alege o fată: moduri.

Când se selectează 1 obiect din fiecare set, atunci este valabil următorul principiu de numărare a combinațiilor: „ fiecare un obiect dintr-un set poate forma o pereche cu fiecare obiect al altui set.

Adică, Oleg poate invita oricare dintre cele 13 fete la dans, Evgeny - de asemenea, oricare dintre cele treisprezece, iar alți tineri au o alegere similară. Total: posibile perechi.

Trebuie remarcat faptul că, în acest exemplu, „istoria” formării perechilor nu contează; totuși, dacă se ține cont de inițiativă, atunci numărul de combinații trebuie dublat, deoarece fiecare dintre cele 13 fete poate invita și orice băiat la dans. Totul depinde de condițiile unei anumite sarcini!

Un principiu similar este valabil și pentru combinații mai complexe, de exemplu: în câte moduri pot fi aleși doi tineri Și două fete să participe la o scenetă KVN?

Uniune ȘI sugerează fără ambiguitate că combinațiile trebuie înmulțite:

Posibile grupuri de artiști.

Cu alte cuvinte, fiecare cu care pot concura o pereche de băieți (45 de perechi unice). orice un cuplu de fete (78 de cupluri unice). Și dacă luăm în considerare distribuția rolurilor între participanți, atunci vor exista și mai multe combinații. ... Îmi doresc foarte mult, dar totuși mă voi abține să continui, pentru a nu vă insufla o aversiune față de viața de student =).

Regula înmulțirii se aplică mai multor multiplicatori:

Sarcina 8

Câte numere din trei cifre sunt divizibile cu 5?

Soluţie: pentru claritate, notăm acest număr cu trei asteriscuri: ***

ÎN sute de loc puteți scrie oricare dintre numere (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sau 9). Zero nu este bun, deoarece în acest caz numărul încetează să fie format din trei cifre.

Dar în locul zecilor(„în mijloc”) puteți alege oricare dintre cele 10 cifre: .

Prin condiție, numărul trebuie să fie divizibil cu 5. Numărul este divizibil cu 5 dacă se termină cu 5 sau 0. Astfel, în cifra cea mai puțin semnificativă, ne mulțumim cu 2 cifre.

Total, există: numere din trei cifre care sunt divizibile cu 5.

În același timp, lucrarea este descifrată astfel: „9 moduri în care poți alege un număr sute de loc Și 10 moduri de a selecta un număr în locul zecilor Și 2 moduri de intrare cifra unitatii»

Sau chiar mai simplu: fiecare de la 9 cifre la sute de loc combinate cu fiecare de 10 cifre locul zecilor si cu fiecare din două cifre Unități digitale».

Răspuns: 180

Si acum…

Da, aproape că am uitat de comentariul promis la problema nr. 5, în care Borya, Dima și Volodya pot primi câte o carte în moduri diferite. Înmulțirea aici are același sens: în moduri puteți extrage 3 cărți din pachet ȘI în fiecare eșantion pentru a le rearanja moduri.

Și acum problema pentru o soluție independentă ... acum voi veni cu ceva mai interesant, ... să fie despre aceeași versiune rusă de blackjack:

Sarcina 9

Câte combinații câștigătoare de 2 cărți există într-un joc „punct”?

Pentru cei care nu știu: combinația câștigătoare 10 + ACE (11 puncte) = 21 de puncte și, să luăm în considerare combinația câștigătoare de doi ași.

(ordinea cărților din orice pereche nu contează)

Soluție scurtă și răspuns la sfârșitul lecției.

Apropo, nu este necesar să luăm în considerare un exemplu primitiv. Blackjack-ul este aproape singurul joc pentru care există un algoritm justificat matematic care îți permite să învingi cazinoul. Cei care doresc pot găsi cu ușurință multe informații despre strategia și tactica optime. Adevărat, astfel de maeștri intră rapid pe lista neagră a tuturor unităților =)

Este timpul să consolidăm materialul acoperit cu câteva sarcini solide:

Sarcina 10

Vasya are 4 pisici acasă.

a) În câte moduri pot fi așezate pisicile în colțurile camerei?
b) În câte moduri pot fi lăsate pisicile să hoinărească?
c) în câte moduri poate ridica Vasya două pisici (una în stânga, cealaltă în dreapta)?

Noi decidem: în primul rând, trebuie remarcat din nou că problema este despre diferit obiecte (chiar dacă pisicile sunt gemeni identici). Aceasta este o condiție foarte importantă!

a) Tăcerea pisicilor. Această execuție este supusă toate pisicile deodată
+ locația lor este importantă, așa că există permutări aici:
moduri în care puteți așeza pisicile în colțurile camerei.

Repet că la permutare contează doar numărul de obiecte diferite și poziția lor relativă. În funcție de starea sa, Vasya poate așeza animalele în semicerc pe canapea, la rând pe pervaz etc. - vor exista 24 de permutări în toate cazurile.Pentru comoditate, cei care doresc își pot imagina că pisicile sunt multicolore (de exemplu, alb, negru, roșu și dungi) și să enumere toate combinațiile posibile.

b) În câte moduri pot fi lăsate pisicile să hoinărească?

Se presupune că pisicile ies la plimbare doar pe ușă, în timp ce întrebarea implică indiferență cu privire la numărul de animale - 1, 2, 3 sau toate cele 4 pisici pot merge la plimbare.

Luăm în considerare toate combinațiile posibile:

Modalități în care puteți lăsa să plece la plimbare o pisică (oricare dintre cele patru);
modalități în care puteți lăsa două pisici să iasă la plimbare (enumerați singur opțiunile);
moduri prin care poți lăsa trei pisici să iasă la plimbare (una dintre cele patru stă acasă);
mod în care poți elibera toate pisicile.

Probabil ați ghicit că valorile obținute ar trebui rezumate:
modalități de a lăsa pisicile să meargă la plimbare.

Pentru entuziaști, ofer o versiune complicată a problemei - atunci când orice pisică din orice probă poate ieși aleatoriu afară, atât prin ușă, cât și prin fereastra de la etajul 10. Vor fi mai multe combinații!

c) În câte moduri poate ridica Vasya două pisici?

Situația implică nu numai alegerea a 2 animale, ci și plasarea lor pe mâini:
moduri în care poți ridica 2 pisici.

A doua soluție: în moduri puteți alege două pisici Și moduri de a planta fiecare un cuplu in mana:

Răspuns: a) 24, b) 15, c) 12

Ei bine, ca sa-mi lasam constiinta, ceva mai specific pe inmultirea combinatiilor.... Lasă Vasya să aibă 5 pisici în plus =) Câte moduri poți lăsa 2 pisici să iasă la plimbare Și 1 pisica?

Adică cu fiecare câteva pisici pot fi eliberate fiecare pisică.

Un alt acordeon cu butoane pentru o soluție independentă:

Sarcina 11

3 pasageri au urcat în liftul unei clădiri cu 12 etaje. Toată lumea, independent de ceilalți, poate ieși la orice (începând de la etajul 2) cu aceeași probabilitate. În câte moduri:

1) Pasagerii pot coborî la același etaj (Ordinea de ieșire nu contează);
2) două persoane pot coborî la un etaj și o a treia la altul;
3) oamenii pot coborî la etaje diferite;
4) Pot pasagerii să iasă din lift?

Și aici se întreabă des din nou, mă lamuresc: dacă la același etaj ies 2 sau 3 persoane, atunci nu contează ordinea de ieșire. Gândește, folosește formule și reguli pentru combinații de adunare/înmulțire. În caz de dificultate, este util ca pasagerii să dea nume și motive în ce combinații pot ieși din lift. Nu trebuie să fii supărat dacă ceva nu merge, de exemplu, punctul numărul 2 este destul de insidios, totuși, unul dintre cititori a găsit o soluție simplă și încă o dată îmi exprim recunoștința pentru scrisorile tale!

Soluție completă cu comentarii detaliate la sfârșitul tutorialului.

Ultimul paragraf este dedicat combinațiilor care apar și destul de des - conform evaluării mele subiective, în aproximativ 20-30% dintre problemele combinatorii:

Permutări, combinații și plasări cu repetări

Tipurile de combinații enumerate sunt prezentate în paragraful nr. 5 al materialului de referință Formule de bază ale combinatoriei , cu toate acestea, unele dintre ele pot să nu fie foarte clare la prima lectură. În acest caz, este recomandabil să vă familiarizați mai întâi cu exemple practice și abia apoi să înțelegeți formularea generală. Merge:

Permutări cu repetări

În permutările cu repetări, ca în permutările „obișnuite”, întregul set de obiecte deodată, dar există un lucru: în această mulțime se repetă unul sau mai multe elemente (obiecte). Îndeplinește următorul standard:

Sarcina 12

Câte combinații diferite de litere pot fi obținute prin rearanjarea cardurilor cu următoarele litere: K, O, L, O, K, O, L, L, H, I, K?

Soluţie: în cazul în care toate literele au fost diferite, atunci ar trebui aplicată o formulă banală, totuși, este destul de clar că pentru setul de cărți propus, unele manipulări vor funcționa „inactiv”, deci, de exemplu, dacă schimbați oricare două cărți cu literele „K” în orice cuvânt, obțineți același cuvânt. Mai mult, fizic cărțile pot fi foarte diferite: una poate fi rotundă cu litera „K” tipărită, cealaltă este pătrată cu litera „K” desenată. Dar, în funcție de sensul problemei, chiar și astfel de carduri considerat la fel, deoarece condiția întreabă despre combinațiile de litere.

Totul este extrem de simplu - în total: 11 cărți, inclusiv litera:

K - repetat de 3 ori;
O - repetat de 3 ori;
L - repetat de 2 ori;
b - repetat 1 dată;
H - repetat 1 dată;
Și - se repetă de 1 dată.

Verificați: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, ceea ce am vrut să verificăm.

Conform formulei numărul de permutări cu repetări :
pot fi obținute diverse combinații de litere. Mai mult de jumătate de milion!

Pentru un calcul rapid al unei valori factoriale mari, este convenabil să folosiți funcția standard Excel: punctăm în orice celulă =FACT (11)și faceți clic introduce.

În practică, este destul de acceptabil să nu scrieți formula generală și, în plus, să omiteți factorii unitari:

Dar sunt necesare comentarii preliminare despre scrisorile repetate!

Răspuns: 554400

Un alt exemplu tipic de permutări cu repetări se regăsește în problema aranjarii pieselor de șah, care poate fi găsită în depozit. soluții gata făcute în pdf-ul corespunzător. Și pentru o soluție independentă, am venit cu o sarcină mai puțin șablon:

Sarcina 13

Alexey face sport și 4 zile pe săptămână - atletism, 2 zile - exerciții de forță și 1 zi de odihnă. În câte moduri își poate programa cursurile săptămânale?

Formula nu funcționează aici, deoarece ia în considerare permutările suprapuse (de exemplu, când exercițiile de forță de miercuri sunt schimbate cu exerciții de forță de joi). Și din nou - de fapt, aceleași 2 sesiuni de antrenament de forță pot fi foarte diferite unele de altele, dar în contextul sarcinii (în ceea ce privește programul), sunt considerate aceleași elemente.

Soluție pe două rânduri și răspuns la sfârșitul lecției.

Combinații cu repetări

O trăsătură caracteristică a acestui tip de combinație este că eșantionul este extras din mai multe grupuri, fiecare dintre ele constând din aceleași obiecte.

Toată lumea a muncit din greu astăzi, așa că este timpul să vă împrospătați:

Sarcina 14

Cantina studențească vinde cârnați în aluat, prăjituri cu brânză și gogoși. În câte moduri pot fi cumpărate cinci prăjituri?

Soluţie: acordați imediat atenție criteriului tipic pentru combinații cu repetări - în funcție de condiție, nu un set de obiecte ca atare, ci tipuri diferite obiecte; se presupune că sunt la vânzare cel puțin cinci hot dog, 5 cheesecake și 5 gogoși. Plăcintele din fiecare grupă, desigur, sunt diferite - pentru că gogoșile absolut identice pot fi simulate doar pe computer =) Cu toate acestea, caracteristicile fizice ale plăcintelor nu sunt esențiale în sensul problemei, iar hot-dog-urile / cheesecake-urile / gogoșile din grupurile lor sunt considerate la fel.

Ce poate fi în eșantion? În primul rând, trebuie menționat că cu siguranță vor exista plăcinte identice în probă (pentru că alegem 5 bucăți și sunt oferite 3 tipuri din care să alegeți). Opțiuni aici pentru toate gusturile: 5 hot dog, 5 cheesecake, 5 gogoși, 3 hot dog + 2 cheesecake, 1 hot dog + 2 + cheesecake + 2 gogoși etc.

Ca și în cazul combinațiilor „obișnuite”, ordinea de selecție și plasare a plăcintelor în probă nu contează - au ales doar 5 bucăți și atât.

Folosim formula numărul de combinații cu repetări:
mod în care poți cumpăra 5 plăcinte.

Poftă bună!

Răspuns: 21

Ce concluzie se poate trage din multe probleme combinatorii?

Uneori, cel mai dificil lucru este să înțelegeți starea.

Un exemplu similar pentru o soluție de tip do-it-yourself:

Sarcina 15

Portofelul conține un număr destul de mare de monede de 1, 2, 5 și 10 ruble. În câte moduri pot fi scoase trei monede din portofel?

În scopuri de autocontrol, răspunde la câteva întrebări simple:

1) Toate monedele din eșantion pot fi diferite?
2) Numiți combinația de monede „cea mai ieftină” și cea mai „scumpe”.

Soluție și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Din experiența mea personală, pot spune că combinațiile cu repetiții sunt cel mai rar invitat în practică, ceea ce nu se poate spune despre următoarele tipuri de combinații:

Plasări cu repetări

Dintr-un set format din elemente, elementele sunt selectate, iar ordinea elementelor din fiecare probă este importantă. Și totul ar fi bine, dar o glumă destul de neașteptată este că putem alege orice obiect din setul original de câte ori vrem. Figurat vorbind, din „mulțimea nu va scădea”.

Când se întâmplă? Un exemplu tipic este un lacăt cu combinație cu mai multe discuri, dar datorită dezvoltării tehnologiei, este mai relevant să luăm în considerare descendentul său digital:

Sarcina 16

Câte coduri PIN din 4 cifre există?

Soluţie: de fapt, pentru a rezolva problema, este suficient să cunoașteți regulile combinatoriei: puteți alege prima cifră a codului pin în moduri Și moduri - a doua cifră a codului PIN Șiîn tot atâtea feluri – un al treilea Și tot atâtea – al patrulea. Astfel, conform regulii de înmulțire a combinațiilor, un cod PIN din patru cifre poate fi compus: în moduri.

Și acum cu formula. După condiție, ni se oferă un set de numere, din care numerele sunt selectate și plasate într-o anumită ordine, în timp ce numerele din eșantion pot fi repetate (adică orice cifră a setului original poate fi folosită de un număr arbitrar de ori). Conform formulei pentru numărul de plasări cu repetări:

Răspuns: 10000

Ce îmi vine în minte aici... ... dacă ATM-ul „mâncă” cardul după a treia încercare nereușită de a introduce codul pin, atunci șansele de a-l ridica la întâmplare sunt foarte iluzorii.

Și cine a spus că nu există sens practic în combinatorică? O sarcină cognitivă pentru toți cititorii site-ului:

Problema 17

Conform standardului de stat, o plăcuță de înmatriculare a mașinii este formată din 3 numere și 3 litere. În acest caz, nu este permis un număr cu trei zerouri, iar literele sunt selectate din setul A, B, E, K, M, H, O, R, C, T, U, X (se folosesc doar acele litere chirilice, a căror ortografie se potrivește cu literele latine).

Câte plăcuțe de înmatriculare diferite pot fi compuse pentru o regiune?

Apropo, nu așa și multe. În regiunile mari, acest număr nu este suficient și, prin urmare, pentru ei există mai multe coduri pentru inscripția RUS.

Soluție și răspuns la sfârșitul lecției. Nu uitați să folosiți regulile combinatoriei ;-) …Am vrut să mă laud că sunt exclusivist, dar s-a dovedit a nu fi exclusiv =) M-am uitat pe Wikipedia - sunt calcule, totuși, fără comentarii. Deși în scop educațional, probabil, puțini oameni au rezolvat-o.

Lecția noastră incitantă s-a încheiat și, în cele din urmă, vreau să spun că nu ți-ai pierdut timpul - pentru că formulele combinatorice își găsesc o altă aplicație practică vitală: se găsesc în diverse sarcini pe teoria probabilității ,
si in sarcini privind definiția clasică a probabilității - mai ales des

Vă mulțumim tuturor pentru participarea activă și ne vedem curând!

Soluții și răspunsuri:

Sarcina 2: Soluţie: găsiți numărul tuturor permutărilor posibile a 4 cărți:

Când un card cu zero este pe primul loc, numărul devine din trei cifre, așa că aceste combinații ar trebui excluse. Fie zero pe primul loc, apoi restul de 3 cifre din cifrele cele mai puțin semnificative pot fi rearanjate în moduri.

Notă : deoarece Există puține cărți, este ușor să enumerați toate astfel de opțiuni aici:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

Astfel, din setul propus, puteți realiza:
24 - 6 = 18 numere din patru cifre
Răspuns : 18

Z.Y. Nu m-am gândit niciodată , că aceste sarcini vor fi oferite elevilor de clasa I, dintre care unul a observat că cardul „9” poate fi folosit ca „6” și, prin urmare, numărul de combinații ar trebui dublat. Dar condiția indică totuși o cifră specifică și este mai bine să vă abțineți de la dublare.

Sarcina 4: Soluţie: 3 cărți pot fi selectate din 36 de moduri.
Răspuns : 7140

Sarcina 6: Soluţie: moduri.
O alta solutie : modalități de selectare a două persoane dintr-un grup și modalități de distribuire a pozițiilor în fiecare eșantion. Astfel, șeful și adjunctul acestuia pot fi aleși moduri. A treia soluție găsit de un alt cititor al site-ului. Prin produsul combinatoriu:

(11 moduri de a coborî dintr-un pasager si pentru fiecare din aceste opțiuni - 10 moduri poate obține un alt pasager si pentru fiecare posibilă combinație a ieșirii lor – 9 moduri poate ieși al treilea pasager)

4) Metoda unu: însumați combinațiile primelor trei puncte:
modul în care pasagerii pot ieși din lift.

Metoda a doua : în cazul general, este mai rațional; în plus, vă permite să faceți fără rezultatele paragrafelor anterioare. Raționamentul este următorul: moduri în care primul pasager poate ieși din lift Și moduri în care poate coborî al 2-lea pasager Și
2) Setul „cel mai ieftin” conține 3 monede de ruble, iar cel mai „scump” set conține 3 monede de zece ruble.

Sarcina 17: Soluţie: moduri în care puteți face o combinație digitală a unei plăcuțe de înmatriculare, în timp ce una dintre ele (000) ar trebui exclusă:.
moduri în care puteți face o combinație de litere a unui număr de mașină.
Conform regulii înmulțirii combinațiilor, totul poate fi compus:
numere de mașină
(fiecare combinație digitală combinată cu fiecare combinație de litere).
Răspuns : 1726272

Împărțirea numerelor naturale, în special a numerelor cu mai multe valori, se realizează în mod convenabil printr-o metodă specială, care se numește împărțire pe o coloană (într-o coloană). Puteți vedea și numele diviziune de colt. Imediat, observăm că coloana poate fi efectuată atât împărțirea numerelor naturale fără rest, cât și împărțirea numerelor naturale cu rest.

În acest articol, vom înțelege cum se realizează împărțirea pe o coloană. Aici vom vorbi despre regulile de scriere și despre toate calculele intermediare. În primul rând, să ne oprim asupra împărțirii unui număr natural cu mai multe valori la un număr cu o singură cifră de către o coloană. După aceea, ne vom concentra asupra cazurilor în care atât dividendul, cât și divizorul sunt numere naturale cu valori multiple. Întreaga teorie a acestui articol este furnizată cu exemple caracteristice de împărțire printr-o coloană de numere naturale cu explicații detaliate ale soluției și ilustrații.

Navigare în pagină.

Reguli pentru înregistrarea la împărțirea la o coloană

Să începem prin a studia regulile de scriere a dividendului, a divizorului, a tuturor calculelor intermediare și a rezultatelor la împărțirea numerelor naturale la o coloană. Să spunem imediat că este cel mai convenabil să împărțiți într-o coloană în scris pe hârtie cu o linie în carouri - astfel încât există mai puține șanse de a vă abate de la rândul și coloana dorite.

În primul rând, dividendul și divizorul sunt scrise pe un rând de la stânga la dreapta, după care este afișat un simbol al formei între numerele scrise. De exemplu, dacă dividendul este numărul 6 105, iar divizorul este 5 5, atunci notația lor corectă atunci când este împărțită într-o coloană va fi:

Uitați-vă la următoarea diagramă, care ilustrează locurile pentru scrierea dividendelor, divizorului, coeficientului, restului și calculelor intermediare la împărțirea pe o coloană.

Din diagrama de mai sus se poate observa că câtul dorit (sau câtul incomplet când se împarte cu un rest) va fi scris sub divizor sub linia orizontală. Și calculele intermediare vor fi efectuate sub dividend și trebuie să aveți grijă de disponibilitatea spațiului pe pagină în avans. În acest caz, ar trebui să ne ghidăm după regulă: cu cât diferența dintre numărul de caractere este mai mare în intrările dividendului și divizorului, cu atât este necesar mai mult spațiu. De exemplu, atunci când împărțiți un număr natural 614.808 la 51.234 la o coloană (614.808 este un număr de șase cifre, 51.234 este un număr de cinci cifre, diferența dintre numărul de caractere din înregistrări este de 6-5 = 1), calculele intermediare vor necesita mai puțin spațiu decât atunci când divizează numerele 8.058 și 4 (aici, diferența în număr de număr de caractere este 4-3). Pentru a ne confirma cuvintele, prezentăm înregistrările completate ale împărțirii pe o coloană a acestor numere naturale:

Acum puteți trece direct la procesul de împărțire a numerelor naturale la o coloană.

Împărțirea pe o coloană a unui număr natural cu un număr natural cu o singură cifră, algoritm de împărțire la o coloană

Este clar că împărțirea unui număr natural cu o singură cifră la altul este destul de simplă și nu există niciun motiv pentru a împărți aceste numere într-o coloană. Cu toate acestea, va fi util să exersați abilitățile inițiale de împărțire pe o coloană pe aceste exemple simple.

Exemplu.

Trebuie să împărțim la o coloană 8 la 2.

Soluţie.

Desigur, putem efectua împărțirea folosind tabelul înmulțirii și imediat notăm răspunsul 8:2=4.

Dar ne interesează cum să împărțim aceste numere la o coloană.

Mai întâi, scriem dividendul 8 și divizorul 2 așa cum este cerut de metoda:

Acum începem să ne dăm seama de câte ori este divizorul în dividend. Pentru a face acest lucru, înmulțim succesiv divizorul cu numerele 0, 1, 2, 3, ... până când rezultatul este un număr egal cu dividendul (sau un număr mai mare decât dividendul, dacă există o împărțire cu rest). Dacă obținem un număr egal cu dividendul, atunci îl scriem imediat sub dividend, iar în locul privatului scriem numărul cu care am înmulțit divizorul. Dacă obținem un număr mai mare decât divizibilul, atunci sub divizor scriem numărul calculat la penultimul pas, iar în locul coeficientului incomplet scriem numărul cu care a fost înmulțit divizorul la penultimul pas.

Să mergem: 2 0=0 ; 2 1=2; 2 2=4; 2 3=6; 2 4=8 . Am primit un număr egal cu dividendul, așa că îl scriem sub dividend, iar în locul privatului scriem numărul 4. Înregistrarea va arăta astfel:

Etapa finală a împărțirii numerelor naturale cu o singură cifră la o coloană rămâne. Sub numărul scris sub dividend, trebuie să desenați o linie orizontală și să scădeți numerele de deasupra acestei linii în același mod în care se face atunci când scădeți numerele naturale cu o coloană. Numărul obținut după scădere va fi restul împărțirii. Dacă este egal cu zero, atunci numerele originale sunt împărțite fără rest.

În exemplul nostru, obținem

Acum avem o înregistrare finală a împărțirii pe o coloană a numărului 8 cu 2. Vedem că câtul 8:2 este 4 (și restul este 0 ).

Răspuns:

8:2=4 .

Acum luați în considerare modul în care se realizează împărțirea pe o coloană de numere naturale cu o singură cifră cu un rest.

Exemplu.

Împărțiți la o coloană 7 la 3.

Soluţie.

În etapa inițială, intrarea arată astfel:

Începem să aflăm de câte ori dividendul conține un divizor. Vom înmulți 3 cu 0, 1, 2, 3 etc. până când obținem un număr egal sau mai mare decât dividendul 7. Obținem 3 0=0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (dacă este necesar, consultați articolul compararea numerelor naturale). Sub dividend scriem cifra 6 (a fost obținut la penultima treaptă), iar în locul coeficientului incomplet scriem numărul 2 (a fost înmulțit la penultima treaptă).

Rămâne de efectuat scăderea, iar împărțirea pe o coloană de numere naturale cu o singură cifră 7 și 3 va fi finalizată.

Deci, câtul parțial este 2, iar restul este 1.

Răspuns:

7:3=2 (resti 1).

Acum putem trece la împărțirea numerelor naturale cu valori multiple la numere naturale cu o singură cifră la o coloană.

Acum vom analiza algoritmul de împărțire a coloanelor. În fiecare etapă, vom prezenta rezultatele obținute prin împărțirea numărului natural cu mai multe valori 140 288 la numărul natural cu o singură valoare 4 . Acest exemplu nu a fost ales întâmplător, deoarece atunci când îl rezolvăm, vom întâlni toate nuanțele posibile, le vom putea analiza în detaliu.

În primul rând, ne uităm la prima cifră din stânga în înregistrarea dividendului. Dacă numărul definit de această cifră este mai mare decât divizorul, atunci în paragraful următor trebuie să lucrăm cu acest număr. Dacă acest număr este mai mic decât divizorul, atunci trebuie să adăugăm următoarea cifră la stânga în înregistrarea dividendelor și să lucrăm în continuare cu numărul determinat de cele două cifre în cauză. Pentru comoditate, selectăm în înregistrarea noastră numărul cu care vom lucra.

Prima cifră din stânga a dividendului 140288 este numărul 1. Numărul 1 este mai mic decât divizorul 4, așa că ne uităm și la următoarea cifră din stânga în înregistrarea dividendelor. În același timp, vedem și numărul 14, cu care trebuie să lucrăm în continuare. Selectăm acest număr în notarea dividendului.

Următoarele puncte de la al doilea la al patrulea se repetă ciclic până când se completează împărțirea numerelor naturale pe o coloană.

Acum trebuie să determinăm de câte ori este conținut divizorul în numărul cu care lucrăm (pentru comoditate, să notăm acest număr ca x ). Pentru a face acest lucru, înmulțim succesiv divizorul cu 0, 1, 2, 3, ... până când obținem numărul x sau un număr mai mare decât x. Când se obține un număr x, atunci îl scriem sub numărul selectat conform regulilor de notare utilizate la scăderea unei coloane de numere naturale. Numărul cu care a fost efectuată înmulțirea este scris în locul coeficientului în timpul primei treceri a algoritmului (în timpul trecerilor ulterioare de 2-4 puncte ale algoritmului, acest număr este scris în dreapta numerelor deja existente). Când se obține un număr care este mai mare decât numărul x, atunci sub numărul selectat scriem numărul obținut la penultimul pas, iar în locul coeficientului (sau în dreapta numerelor deja existente) scriem numărul cu care a fost efectuată înmulțirea la penultimul pas. (Am efectuat acțiuni similare în cele două exemple discutate mai sus).

Înmulțim divizorul lui 4 cu numerele 0 , 1 , 2 , ... până când obținem un număr care este egal cu 14 sau mai mare decât 14 . Avem 4 0=0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>14 . Deoarece la ultimul pas am obținut numărul 16, care este mai mare decât 14, apoi sub numărul selectat scriem numărul 12, care s-a dovedit la penultimul pas, iar în locul coeficientului scriem numărul 3, deoarece în penultimul paragraf înmulțirea a fost efectuată exact pe acesta.


În această etapă, din numărul selectat, scădeți numărul de sub acesta într-o coloană. Sub linia orizontală este rezultatul scăderii. Cu toate acestea, dacă rezultatul scăderii este zero, atunci nu trebuie să fie notat (cu excepția cazului în care scăderea în acest moment este ultima acțiune care completează complet împărțirea printr-o coloană). Aici, pentru controlul dvs., nu va fi de prisos să comparați rezultatul scăderii cu divizorul și să vă asigurați că acesta este mai mic decât divizorul. Altfel, undeva s-a făcut o greșeală.

Trebuie să scădem numărul 12 din numărul 14 dintr-o coloană (pentru notarea corectă, nu trebuie să uitați să puneți un semn minus în stânga numerelor scăzute). După finalizarea acestei acțiuni, numărul 2 a apărut sub linia orizontală. Acum ne verificăm calculele comparând numărul rezultat cu un divizor. Deoarece numărul 2 este mai mic decât divizorul 4, puteți trece în siguranță la următorul articol.


Acum, sub linia orizontală din dreapta numerelor aflate acolo (sau în dreapta locului unde nu am scris zero), notăm numărul aflat în aceeași coloană în evidența dividendului. Dacă nu există numere în înregistrarea dividendului din această coloană, atunci împărțirea pe o coloană se termină aici. După aceea, selectăm numărul format sub linia orizontală, îl luăm ca număr de lucru și repetăm ​​cu el de la 2 la 4 puncte ale algoritmului.

Sub linia orizontală din dreapta numărului 2 deja acolo, scriem numărul 0, deoarece este numărul 0 care se află în înregistrarea dividendului 140 288 în această coloană. Astfel, numărul 20 se formează sub linia orizontală.


Selectăm acest număr 20, îl luăm ca număr de lucru și repetăm ​​acțiunile celui de-al doilea, al treilea și al patrulea punct al algoritmului cu el.

Înmulțim divizorul lui 4 cu 0, 1, 2, ... până când obținem numărul 20 sau un număr mai mare decât 20. Avem 4 0=0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


Efectuăm scăderea printr-o coloană. Deoarece scădem numere naturale egale, atunci, datorită proprietății de a scădea numere naturale egale, obținem zero ca rezultat. Nu notăm zero (deoarece aceasta nu este încă etapa finală a împărțirii la o coloană), dar ne amintim locul unde l-am putea nota (pentru comoditate, vom marca acest loc cu un dreptunghi negru).


Sub linia orizontală din dreapta locului memorat, notăm numărul 2, deoarece ea este cea care se află în evidența dividendului 140 288 în această coloană. Astfel, sub linia orizontală avem numărul 2 .


Luăm numărul 2 ca număr de lucru, îl marchem și încă o dată va trebui să facem pașii din 2-4 puncte ale algoritmului.

Înmulțim divizorul cu 0 , 1 , 2 și așa mai departe și comparăm numerele rezultate cu numărul marcat 2 . Avem 4 0=0<2 , 4·1=4>2. Prin urmare, sub numărul marcat, scriem numărul 0 (a fost obținut la penultimul pas), iar în locul coeficientului din dreapta numărului deja acolo, scriem numărul 0 (am înmulțit cu 0 la penultimul pas).


Efectuăm scăderea printr-o coloană, obținem numărul 2 sub linia orizontală. Ne verificăm prin compararea numărului rezultat cu divizorul 4 . Din 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


Sub linia orizontală din dreapta numărului 2, adăugăm numărul 8 (deoarece se află în această coloană în evidența dividendului 140 288). Astfel, sub linia orizontală se află numărul 28.


Acceptăm acest număr ca lucrător, îl marchem și repetăm ​​pașii 2-4 din paragrafe.

Nu ar trebui să fie probleme aici dacă ai fost atent până acum. După ce au făcut toate acțiunile necesare, se obține următorul rezultat.

Rămâne pentru ultima dată să efectuați acțiunile de la punctele 2, 3, 4 (ți-l oferim), după care veți obține o imagine completă a împărțirii numerelor naturale 140 288 și 4 într-o coloană:

Vă rugăm să rețineți că numărul 0 este scris chiar în partea de jos a rândului. Dacă acesta nu ar fi ultimul pas al împărțirii la o coloană (adică dacă ar exista numere în coloanele din dreapta în înregistrarea dividendului), atunci nu am scrie acest zero.

Astfel, uitându-ne la înregistrarea completă a împărțirii numărului natural cu valori multiple 140 288 la numărul natural cu o singură valoare 4, vedem că numărul 35 072 este privat (iar restul diviziunii este zero, este pe linia de jos).

Desigur, atunci când împărțiți numerele naturale la o coloană, nu veți descrie toate acțiunile dvs. atât de detaliat. Soluțiile dvs. vor arăta ceva ca următoarele exemple.

Exemplu.

Efectuați împărțirea lungă dacă dividendul este 7136 și divizorul este un singur număr natural 9.

Soluţie.

La primul pas al algoritmului de împărțire a numerelor naturale la o coloană, obținem o înregistrare a formei

După efectuarea acțiunilor din punctul al doilea, al treilea și al patrulea al algoritmului, înregistrarea împărțirii pe o coloană va lua forma

Repetând ciclul, vom avea

Încă o trecere ne va oferi o imagine completă a împărțirii după o coloană de numere naturale 7 136 și 9

Astfel, câtul parțial este 792 , iar restul împărțirii este 8 .

Răspuns:

7 136:9=792 (restul 8).

Și acest exemplu demonstrează cât de lungă ar trebui să arate diviziunea.

Exemplu.

Împărțiți numărul natural 7 042 035 la numărul natural de o singură cifră 7 .

Soluţie.

Cel mai convenabil este să efectuați împărțirea pe o coloană.

Răspuns:

7 042 035:7=1 006 005 .

Împărțirea pe o coloană de numere naturale multivalorice

Ne grăbim să vă mulțumim: dacă ați stăpânit bine algoritmul de împărțire la o coloană din paragraful anterior al acestui articol, atunci aproape că știți deja cum să efectuați împărțirea pe o coloană de numere naturale multivalorice. Acest lucru este adevărat, deoarece pașii de la 2 la 4 ai algoritmului rămân neschimbați și doar modificări minore apar în primul pas.

La prima etapă a împărțirii într-o coloană de numere naturale cu mai multe valori, trebuie să vă uitați nu la prima cifră din stânga în înregistrarea dividendului, ci la atâtea dintre ele câte cifre există în intrarea divizorului. Dacă numărul definit de aceste numere este mai mare decât divizorul, atunci în paragraful următor trebuie să lucrăm cu acest număr. Dacă acest număr este mai mic decât divizorul, atunci trebuie să adăugăm la considerație următoarea cifră din stânga în înregistrarea dividendului. După aceea, acțiunile indicate în paragrafele 2, 3 și 4 ale algoritmului sunt efectuate până la obținerea rezultatului final.

Rămâne doar să vedem aplicarea algoritmului de împărțire la o coloană de numere naturale cu valori multiple în practică atunci când rezolvăm exemple.

Exemplu.

Să efectuăm împărțirea pe o coloană de numere naturale cu mai multe valori 5562 și 206.

Soluţie.

Deoarece 3 caractere sunt implicate în înregistrarea divizorului 206, ne uităm la primele 3 cifre din stânga în înregistrarea dividendului 5 562. Aceste numere corespund numărului 556. Deoarece 556 este mai mare decât divizorul 206, luăm numărul 556 drept unul de lucru, îl selectăm și trecem la următoarea etapă a algoritmului.

Acum înmulțim divizorul 206 cu numerele 0, 1, 2, 3, ... până când obținem un număr care este fie egal cu 556, fie mai mare decât 556. Avem (dacă înmulțirea este dificilă, atunci este mai bine să facem înmulțirea numerelor naturale într-o coloană): 206 0=0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556 . Deoarece am obținut un număr care este mai mare decât numărul 556, atunci sub numărul selectat scriem numărul 412 (a fost obținut la penultimul pas), iar în locul coeficientului scriem numărul 2 (deoarece a fost înmulțit la penultimul pas). Intrarea de împărțire a coloanei are următoarea formă:

Efectuați scăderea coloanei. Obținem diferența 144, acest număr este mai mic decât divizorul, astfel încât să puteți continua în siguranță să efectuați acțiunile necesare.

Sub linia orizontală din dreapta numărului disponibil acolo, scriem numărul 2, deoarece se află în înregistrarea dividendului 5 562 în această coloană:

Acum lucrăm cu numărul 1442, îl selectăm și trecem din nou prin pașii doi până la patru.

Înmulțim divizorul 206 cu 0 , 1 , 2 , 3 , ... până când obținem numărul 1442 sau un număr mai mare decât 1442 . Să mergem: 206 0=0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

Scădem cu o coloană, obținem zero, dar nu îl notăm imediat, ci doar ne amintim poziția sa, pentru că nu știm dacă împărțirea se termină aici sau va trebui să repetăm ​​pașii algoritmului:

Acum vedem că sub linia orizontală din dreapta poziției memorate nu putem nota niciun număr, deoarece nu există numere în înregistrarea dividendului din această coloană. Prin urmare, această împărțire pe o coloană s-a încheiat și completăm intrarea:

• Matematică. Orice manuale pentru clasele 1, 2, 3, 4 ale instituțiilor de învățământ.
• Matematică. Orice manuale pentru 5 clase de instituții de învățământ.