Numere și măsurători raționale. Ce sunt numerele raționale? Care sunt celelalte

În acest articol, vom începe să studiem numere rationale. Aici oferim definiții numerelor raționale, dăm explicațiile necesare și dăm exemple de numere raționale. După aceea, ne vom concentra asupra modului de a determina dacă un anumit număr este rațional sau nu.

Navigare în pagină.

Definiție și exemple de numere raționale

În această subsecțiune dăm mai multe definiții ale numerelor raționale. În ciuda diferențelor de formulare, toate aceste definiții au același sens: numerele raționale unesc numere întregi și numere fracționale, la fel cum numerele întregi unesc numerele naturale, numerele lor opuse și numărul zero. Cu alte cuvinte, numerele raționale generalizează numerele întregi și fracționale.

Sa incepem cu definițiile numerelor raționale care este perceput ca fiind cel mai natural.

Din definiția sunetată rezultă că un număr rațional este:

• Orice număr natural n . Într-adevăr, orice număr natural poate fi reprezentat ca o fracție obișnuită, de exemplu, 3=3/1.
• Orice număr întreg, în special numărul zero. Într-adevăr, orice număr întreg poate fi scris fie ca o fracție comună pozitivă, fie ca o fracție comună negativă, fie ca zero. De exemplu, 26=26/1 , .
• Orice fracție obișnuită (pozitivă sau negativă). Acest lucru este afirmat direct de definiția dată a numerelor raționale.
• Orice număr mixt. Într-adevăr, este întotdeauna posibil să se reprezinte un număr mixt ca o fracție comună improprie. De exemplu, și .
• Orice fracție zecimală finită sau periodică infinită. Acest lucru se întâmplă deoarece fracțiile zecimale specificate sunt convertite în fracții obișnuite. De exemplu, și 0,(3)=1/3 .

De asemenea, este clar că orice zecimală infinită care nu se repetă NU este un număr rațional, deoarece nu poate fi reprezentat ca o fracție comună.

Acum putem aduce cu ușurință exemple de numere raționale. Numerele 4, 903, 100.321 sunt numere raționale, deoarece sunt numere naturale. Numerele întregi 58 , −72 , 0 , −833 333 333 sunt, de asemenea, exemple de numere raționale. Fracțiile ordinare 4/9, 99/3 sunt, de asemenea, exemple de numere raționale. Numerele raționale sunt și numere.

Exemplele de mai sus arată că există atât numere raționale pozitive, cât și negative, iar numărul rațional zero nu este nici pozitiv, nici negativ.

Definiția de mai sus a numerelor raționale poate fi formulată într-o formă mai scurtă.

Definiție.

Numere rationale numere de apel care pot fi scrise ca o fracție z/n, unde z este un număr întreg și n este un număr natural.

Să demonstrăm că această definiție a numerelor raționale este echivalentă cu definiția anterioară. Știm că putem considera bara unei fracții ca un semn al împărțirii, apoi din proprietățile împărțirii numerelor întregi și regulile de împărțire a numerelor întregi urmează următoarele egalități și . Astfel, care este dovada.

Să dăm exemple de numere raționale, bazate pe această definiție. Numerele −5 , 0 , 3 , și sunt numere raționale, deoarece pot fi scrise ca fracții cu un numărător întreg și un numitor natural de forma și respectiv.

Definiția numerelor raționale poate fi dată și în formularea următoare.

Definiție.

Numere rationale sunt numere care pot fi scrise ca periodice finite sau infinite fracție zecimală.

Această definiție este, de asemenea, echivalentă cu prima definiție, deoarece orice fracție obișnuită corespunde unei fracții zecimale finite sau periodice și invers, iar orice număr întreg poate fi asociat cu o fracție zecimală cu zerouri după virgulă.

De exemplu, numerele 5 , 0 , −13 , sunt exemple de numere raționale deoarece pot fi scrise ca următoarele zecimale 5,0 , 0,0 , −13,0 , 0,8 și −7,(18) .

Încheiem teoria acestei secțiuni cu următoarele afirmații:

• numerele întregi și fracționale (pozitive și negative) alcătuiesc mulțimea numerelor raționale;
• fiecare număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție cu un numărător întreg și un numitor natural, iar fiecare astfel de fracție este un număr rațional;
• fiecare număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție zecimală periodică finită sau infinită, iar fiecare astfel de fracție reprezintă un număr rațional.

Este acest număr rațional?

În paragraful anterior, am aflat că orice număr natural, orice număr întreg, orice fracție obișnuită, orice număr mixt, orice fracție zecimală finală și, de asemenea, orice fracție zecimală periodică este un număr rațional. Această cunoaștere ne permite să „recunoaștem” numerele raționale din mulțimea numerelor scrise.

Dar dacă numărul este dat ca unele , sau ca , etc., cum să răspunzi la întrebare, este numărul dat rațional? În multe cazuri, este foarte greu să răspunzi. Să indicăm câteva direcții pentru cursul gândirii.

Dacă numărul este dat ca expresie numerică, care conține doar numere și semne raționale operatii aritmetice(+, −, · și:), atunci valoarea acestei expresii este un număr rațional. Aceasta rezultă din modul în care sunt definite operațiile cu numerele raționale. De exemplu, după efectuarea tuturor operațiilor din expresie, obținem un număr rațional 18 .

Uneori, după simplificarea expresiilor și nu numai tip complex, devine posibil să se determine dacă un număr dat este rațional.

Să mergem mai departe. Numărul 2 este un număr rațional, deoarece orice număr natural este rațional. Dar numărul? Este rațional? Se dovedește că nu - nu este un număr rațional, este un număr irațional (dovada acestui fapt prin contradicție este dată în manualul de algebră pentru clasa a 8-a, indicat mai jos în lista de referințe). De asemenea, s-a dovedit că Rădăcină pătrată dintr-un număr natural este un număr rațional numai în acele cazuri când rădăcina este un număr care este pătratul perfect al unui număr natural. De exemplu, și sunt numere raționale, deoarece 81=9 2 și 1 024=32 2 , iar numerele și nu sunt raționale, deoarece numerele 7 și 199 nu sunt pătrate perfecte numere naturale.

Numărul este rațional sau nu? În acest caz, este ușor de observat că, prin urmare, acest număr este rațional. Este numărul rațional? Se dovedește că rădăcina k a unui număr întreg este un număr rațional numai dacă numărul de sub semnul rădăcinii este puterea k a unui număr întreg. Prin urmare, nu este un număr rațional, deoarece nu există un număr întreg a cărui putere a cincea este 121.

Metoda contradicției ne permite să demonstrăm că logaritmii unor numere, din anumite motive, nu sunt numere raționale. De exemplu, să demonstrăm că - nu este un număr rațional.

Să presupunem contrariul, adică să presupunem că este un număr rațional și poate fi scris ca o fracție obișnuită m/n. Apoi și dați următoarele egalități: . Ultima egalitate este imposibilă, deoarece pe partea stângă există numar impar 5 n , iar în partea dreaptă se află un număr par 2 m . Prin urmare, presupunerea noastră este greșită, deci nu este un număr rațional.

În concluzie, merită subliniat că atunci când clarificăm raționalitatea sau iraționalitatea numerelor, ar trebui să se abțină de la concluzii bruște.

De exemplu, nu ar trebui să afirmăm imediat că produsul numerelor iraționale π și e este un număr irațional, acesta este „ca evident”, dar nu este dovedit. Aceasta ridică întrebarea: „De ce ar fi produsul un număr rațional”? Și de ce nu, pentru că poți da un exemplu de numere iraționale, al căror produs dă un număr rațional:.

De asemenea, nu se știe dacă numerele și multe alte numere sunt raționale sau nu. De exemplu, există numere iraționale a căror putere irațională este un număr rațional. Pentru a ilustra, să dăm un grad de forma , baza acestui grad și exponentul nu sunt numere raționale, ci , iar 3 este un număr rațional.

Bibliografie.

• Matematică. Clasa a 6-a: manual. pentru învăţământul general instituții / [N. Ya. Vilenkin și alții]. - Ed. a 22-a, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educaţie, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

Numere rationale sunt numere de forma , unde
este un număr întreg și - naturală. Mulțimea numerelor raționale se notează prin literă . În acest caz, relația
, deoarece orice număr întreg
poate fi reprezentat ca . Astfel, putem spune că numerele raționale sunt toate numere întregi, precum și fracții ordinare pozitive și negative.

zecimale - acestea sunt fracții ordinare, în care numitorul este unul cu zerouri, adică 10; 100; 1000 etc. Decimale se scriu fără numitori. În primul rând, este scrisă partea întreagă a numărului, o virgulă este plasată în dreapta acestuia; prima cifră după virgulă înseamnă numărul de zecimi, a doua - sutimi, a treia - miimi etc. Numerele de după virgulă se numesc zecimale.

Fără sfârşit Se numește o fracție zecimală, care are un număr infinit de cifre după virgulă.

Fiecare număr rațional poate fi reprezentat ca o zecimală finită sau infinită. Acest lucru se realizează prin împărțirea numărătorului la numitor.

Se numește o zecimală infinită periodic , dacă are, începând dintr-un anumit loc, se repetă o cifră sau un grup de cifre, imediat următoare una după alta. O cifră sau un grup de cifre repetate se numește punct și este scrisă între paranteze. De exemplu, .

Este adevărat și invers: orice fracție periodică zecimală infinită poate fi reprezentată ca o fracție obișnuită.

Enumerăm câteva informații despre fracțiile periodice.

1. Dacă perioada unei fracții începe imediat după virgulă zecimală, atunci fracția este numită pur periodic , dacă nu imediat după virgulă zecimală - periodic mixt .

De exemplu, 1,(58) este o fracție pur periodică, iar 2,4(67) este o fracție periodică mixtă.

2. Dacă o fracție ireductibilă este astfel încât în ​​extinderea numitorului său în factori primi conține doar numerele 2 și 5, apoi înregistrarea numărului sub forma unei fracții zecimale reprezintă fracția zecimală finală; dacă există și alți factori primi în descompunerea indicată, atunci se va obține o fracție periodică zecimală infinită.

3. Dacă o fracție ireductibilă este astfel încât descompunerea numitorului său în factori primi nu conține numerele 2 și 5, apoi înregistrarea numărului sub forma unei fracții zecimale este o fracție zecimală pur periodică; dacă în expansiunea specificată, împreună cu alți factori primi, există 2 sau 5, atunci obțineți o fracție zecimală mixtă-periodică.

4. O fracție periodică poate avea o perioadă de orice lungime, adică poate conține orice număr de cifre.

1.3. Numere irationale

Număr irațional se numește fracție zecimală neperiodică infinită .

Exemple de numere iraționale sunt rădăcinile numerelor naturale care nu sunt pătrate ale numerelor naturale. De exemplu,
,
. Cifrele sunt iraționale
;
. Mulțimea numerelor iraționale se notează prin literă .

Exemplul 1.10. Demonstrează asta
este un număr irațional.

Soluţie. Să ne prefacem că
este un număr rațional. Evident, nu este un întreg și, prin urmare
, Unde
Și este o fracție ireductibilă; înseamnă numerele
Și reciproc simple. Deoarece
, Acea
, acesta este
.

Set de numere raționale

Mulțimea numerelor raționale se notează și poate fi scrisă astfel:

Se dovedește că intrări diferite pot reprezenta aceeași fracție, de exemplu, și , (toate fracțiile care pot fi obținute una de la alta prin înmulțirea sau împărțirea cu același număr natural reprezintă același număr rațional). Deoarece prin împărțirea numărătorului și numitorului unei fracții la cel mai mare divizor comun al lor, se poate obține singura reprezentare ireductibilă a unui număr rațional, se poate vorbi despre mulțimea lor ca pe o mulțime ireductibil fracții cu numărător întreg între prima și numitor natural:

Iată cel mai mare divizor comun al numerelor și .

Mulțimea numerelor raționale este o generalizare naturală a mulțimii numerelor întregi. Este ușor de observat că, dacă un număr rațional are un numitor, atunci este un număr întreg. Mulțimea numerelor raționale este situată peste tot dens pe axa numerelor: între oricare două numere raționale diferite există cel puțin un număr rațional (și, prin urmare, o mulțime infinită de numere raționale). Cu toate acestea, se dovedește că mulțimea numerelor raționale are o cardinalitate numărabilă (adică toate elementele sale pot fi renumerotate). Rețineți, apropo, că până și grecii antici erau convinși de existența unor numere care nu pot fi reprezentate ca fracție (de exemplu, au demonstrat că nu există un număr rațional al cărui pătrat este 2).

Terminologie

Definiție formală

În mod formal, numerele raționale sunt definite ca mulțime de clase de echivalență de perechi în raport cu relația de echivalență dacă . În acest caz, sunt definite operațiile de adunare și înmulțire în felul următor:

Definiții înrudite

Fracții proprii, improprii și mixte

corect O fracție se numește dacă modulul numărătorului este mai mic decât modulul numitorului. Fracțiile proprii reprezintă numere raționale, modulo mai mici decât unu. O fracție care nu este proprie se numește gresitși reprezintă un număr rațional mai mare sau egal cu un modulo.

O fracție improprie poate fi reprezentată ca suma unui număr întreg și a unei fracții proprii numite fracție mixtă . De exemplu, . O notație similară (cu un semn de adunare lipsă), deși folosită în aritmetica elementară, este evitată în literatura de matematică strictă din cauza asemănării notației fracție mixtă cu notarea produsului dintre un întreg și o fracție.

Înălțimea tragerii

Înălțimea unei fracții comune este suma modulului numărătorului și numitorului acestei fracții. Înălțimea unui număr rațional este suma modulului numărătorului și numitorului fracției ordinare ireductibile corespunzătoare acestui număr.

De exemplu, înălțimea unei fracții este . Înălțimea numărului rațional corespunzător este , deoarece fracția este redusă cu .

Un comentariu

Termen număr fracționar (fracție) Uneori [ specifica] este folosit ca sinonim pentru termen Numar rational, și uneori un sinonim pentru orice număr care nu este întreg. În acest din urmă caz, numerele fracționale și raționale sunt lucruri diferite, deoarece atunci numerele raționale non-întregi sunt doar un caz special de numere fracționale.

Proprietăți

Proprietăți de bază

Mulțimea numerelor raționale satisface șaisprezece proprietăți de bază care pot fi ușor obținute din proprietățile numerelor întregi.

1. Ordine. Pentru orice numere raționale, există o regulă care vă permite să identificați în mod unic între ele una și numai una dintre cele trei relații: "", "" sau "". Această regulă se numește regula de ordonareși se formulează astfel: două numere pozitive și sunt legate prin aceeași relație ca două numere întregi și ; două numere nepozitive și sunt legate prin aceeași relație ca două numere nenegative și ; dacă dintr-o dată non-negativ, dar - negativ, atunci .

   

   însumarea fracțiilor

2. operatie de adaugare. regula de însumare sumă numerele și și se notează cu , iar procesul de găsire a unui astfel de număr se numește însumare. Regula de însumare are următoarea formă: .
3. operația de înmulțire. Pentru orice numere raționale și există un așa-numit regula înmulțirii, ceea ce le pune în corespondență cu un număr rațional . Numărul în sine este numit muncă numere și și se notează , iar procesul de găsire a unui astfel de număr este numit și multiplicare. Regula înmulțirii are următoarea formă: .
4. Tranzitivitatea relației de ordine. Pentru orice triplu de numere raționale și dacă mai mic decât și mai mic decât , atunci mai mic decât , iar dacă egal și egal cu , atunci egal cu .
5. Comutativitatea adunării. De la o schimbare a locurilor termenilor raționali, suma nu se schimbă.
6. Asociativitatea adunării. Ordinea în care sunt adăugate trei numere raționale nu afectează rezultatul.
7. Prezența lui zero. Există un număr rațional 0 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este însumat.
8. Prezența numerelor opuse. Orice număr rațional are un număr rațional opus, care, însumat, dă 0.
9. Comutativitatea înmulțirii. Prin schimbarea locurilor factorilor raționali, produsul nu se schimbă.
10. Asociativitatea înmulțirii. Ordinea în care sunt înmulțite trei numere raționale nu afectează rezultatul.
11. Prezența unei unități. Există un număr rațional 1 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este înmulțit.
12. Prezența reciprocelor. Orice număr rațional diferit de zero are un număr rațional invers, înmulțirea cu care dă 1.
13. Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea. Operația de înmulțire este în concordanță cu operația de adunare prin legea distribuției:
14. Legătura relației de ordine cu operația de adunare. Același număr rațional poate fi adăugat la părțile din stânga și din dreapta unei inegalități raționale.
15. Legătura relației de ordine cu operația de înmulțire. Laturile stânga și dreapta ale unei inegalități raționale pot fi înmulțite cu același număr rațional pozitiv.
16. Axioma lui Arhimede. Oricare ar fi numărul rațional, puteți lua atât de multe unități încât suma lor va depăși.

Proprietăți suplimentare

Toate celelalte proprietăți inerente numerelor raționale nu sunt evidențiate ca fiind de bază, deoarece, în general, ele nu se mai bazează direct pe proprietățile numerelor întregi, ci pot fi demonstrate pe baza proprietăților de bază date sau direct prin definiția unui obiect matematic. Există o mulțime de astfel de proprietăți suplimentare. Este logic să cităm doar câteva dintre ele.

Setați numărătoarea

Pentru a estima numărul de numere raționale, trebuie să găsiți cardinalitatea mulțimii lor. Este ușor de demonstrat că mulțimea numerelor raționale este numărabilă. Pentru a face acest lucru, este suficient să oferim un algoritm care enumeră numerele raționale, adică stabilește o bijecție între mulțimile numerelor raționale și naturale. Următorul algoritm simplu poate servi ca exemplu pentru o astfel de construcție. Un tabel nesfârșit este în curs de compilare fracții obișnuite, pe fiecare --lea rând din fiecare --a coloană din care există o fracțiune . Pentru certitudine, se presupune că rândurile și coloanele acestui tabel sunt numerotate de la unu. Celulele tabelului sunt notate cu , unde este numărul rândului tabelului în care se află celula și este numărul coloanei.

Tabelul rezultat este gestionat de un „șarpe” conform următorului algoritm formal.

Aceste reguli sunt căutate de sus în jos și următoarea poziție este selectată de primul meci.

În procesul unei astfel de ocolire, fiecare număr rațional nou este atribuit următorului număr natural. Adică, fracțiilor li se atribuie numărul 1, fracțiilor - numărul 2 etc. Trebuie remarcat că numai fracțiile ireductibile sunt numerotate. Semnul formal al ireductibilității este egalitatea la unitate a celui mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului fracției.

Urmând acest algoritm, se pot enumera toate numerele raționale pozitive. Aceasta înseamnă că mulțimea numerelor raționale pozitive este numărabilă. Este ușor să stabiliți o bijecție între mulțimile numerelor raționale pozitive și negative, pur și simplu atribuind fiecărui număr rațional opusul său. Acea. mulţimea numerelor raţionale negative este de asemenea numărabilă. Unirea lor este de asemenea numărabilă prin proprietatea seturilor numărabile. Mulțimea numerelor raționale este, de asemenea, numărabilă ca unire a unei mulțimi numărabile cu una finită.

Desigur, există și alte moduri de a enumera numerele raționale. De exemplu, pentru aceasta puteți folosi structuri precum arborele Calkin - Wilf, arborele Stern - Brokaw sau seria Farey.

Afirmația despre numărabilitatea mulțimii numerelor raționale poate provoca o oarecare nedumerire, deoarece la prima vedere se are impresia că este mult mai mare decât mulțimea numerelor naturale. De fapt, acesta nu este cazul și există suficiente numere naturale pentru a le enumera pe toate raționale.

Insuficiența numerelor raționale

Vezi si

Note

Literatură

• I. Kushnir. Manual de matematică pentru școlari. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 p.
• P. S. Alexandrov. Introducere în teoria mulțimilor și topologia generală. - M.: cap. ed. Fiz.-Matematică. aprins. ed. „Știință”, 1977
• I. L. Hmelnițki. Introducere în teoria sistemelor algebrice

Definiția numerelor raționale:

Un număr rațional este un număr care poate fi reprezentat ca o fracție. Numătorul unei astfel de fracții aparține mulțimii numerelor întregi, iar numitorul aparține mulțimii numerelor naturale.

De ce numerele sunt numite rationale?

În latină „raport” (raport) înseamnă raport. Numerele raționale pot fi reprezentate ca un raport, adică cu alte cuvinte, ca o fracție.

Exemplu de număr rațional

Numărul 2/3 este un număr rațional. De ce? Acest număr este reprezentat ca o fracție, al cărei numărător aparține mulțimii numerelor întregi, iar numitorul aparține mulțimii numerelor naturale.

Pentru mai multe exemple de numere raționale, consultați articolul.

Numere raționale egale

Fracții diferite pot reprezenta același număr rațional.

Luați în considerare numărul rațional 3/5. Acest număr rațional este egal cu

Reduceți numărătorul și numitorul cu un factor comun de 2:

Am primit fracția 3/5, ceea ce înseamnă că

Numere rationale

sferturi

1. Ordine. AȘi b există o regulă care vă permite să identificați în mod unic între ele una și numai una dintre cele trei relații: „< », « >' sau ' = '. Această regulă se numește regula de ordonareși se formulează astfel: două numere nenegative și sunt legate prin aceeași relație ca două numere întregi și ; două numere nepozitive AȘi b sunt legate prin aceeași relație ca două numere nenegative și ; dacă deodată A nenegativ și b- negativ, atunci A > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   însumarea fracțiilor

2. operatie de adaugare. Pentru orice numere raționale AȘi b există un așa-zis regula de însumare c. Cu toate acestea, numărul în sine c numit sumă numere AȘi bși se notează , iar procesul de găsire a unui astfel de număr este numit însumare. Regula de însumare are următoarea formă: .
3. operația de înmulțire. Pentru orice numere raționale AȘi b există un așa-zis regula înmulțirii, care le pune în corespondență cu un număr rațional c. Cu toate acestea, numărul în sine c numit muncă numere AȘi bși se notează , iar procesul de găsire a unui astfel de număr este numit și multiplicare. Regula înmulțirii este următoarea: .
4. Tranzitivitatea relației de ordine. Pentru orice triplu de numere raționale A , bȘi c Dacă A Mai puțin bȘi b Mai puțin c, Acea A Mai puțin c, si daca A egală bȘi b egală c, Acea A egală c. 6435">Comutativitatea adunării. Suma nu se schimbă din schimbarea locurilor termenilor raționali.
5. Asociativitatea adunării. Ordinea în care sunt adăugate trei numere raționale nu afectează rezultatul.
6. Prezența lui zero. Există un număr rațional 0 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este însumat.
7. Prezența numerelor opuse. Orice număr rațional are un număr rațional opus, care, însumat, dă 0.
8. Comutativitatea înmulțirii. Prin schimbarea locurilor factorilor raționali, produsul nu se schimbă.
9. Asociativitatea înmulțirii. Ordinea în care sunt înmulțite trei numere raționale nu afectează rezultatul.
10. Prezența unei unități. Există un număr rațional 1 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este înmulțit.
11. Prezența reciprocelor. Orice număr rațional are un număr rațional invers, care, înmulțit, dă 1.
12. Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea. Operația de înmulțire este în concordanță cu operația de adunare prin legea distribuției:
13. Legătura relației de ordine cu operația de adunare. Același număr rațional poate fi adăugat la părțile din stânga și din dreapta unei inegalități raționale. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Axioma lui Arhimede. Oricare ar fi numărul rațional A, puteți lua atât de multe unități încât suma lor va depăși A. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Proprietăți suplimentare

Toate celelalte proprietăți inerente numerelor raționale nu sunt evidențiate ca fiind de bază, deoarece, în general, ele nu se mai bazează direct pe proprietățile numerelor întregi, ci pot fi demonstrate pe baza proprietăților de bază date sau direct prin definiția unui obiect matematic. Există o mulțime de astfel de proprietăți suplimentare. Este logic să cităm doar câteva dintre ele.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Setați numărătoarea

Numerotarea numerelor raționale

Pentru a estima numărul de numere raționale, trebuie să găsiți cardinalitatea mulțimii lor. Este ușor de demonstrat că mulțimea numerelor raționale este numărabilă. Pentru a face acest lucru, este suficient să oferim un algoritm care enumeră numerele raționale, adică stabilește o bijecție între mulțimile numerelor raționale și naturale.

Cel mai simplu dintre acești algoritmi este următorul. Se întocmește un tabel infinit de fracții obișnuite, pe fiecare i-a linie din fiecare j a cărei coloană este o fracțiune. Pentru certitudine, se presupune că rândurile și coloanele acestui tabel sunt numerotate de la unu. Celulele de tabel sunt notate , unde i- numărul rândului tabelului în care se află celula și j- numărul coloanei.

Tabelul rezultat este gestionat de un „șarpe” conform următorului algoritm formal.

Aceste reguli sunt căutate de sus în jos și următoarea poziție este selectată de primul meci.

În procesul unei astfel de ocolire, fiecare număr rațional nou este atribuit următorului număr natural. Adică, fracțiilor 1 / 1 li se atribuie numărul 1, fracțiilor 2 / 1 - numărul 2 etc. Trebuie remarcat că numai fracțiile ireductibile sunt numerotate. Semnul formal al ireductibilității este egalitatea la unitate a celui mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului fracției.

Urmând acest algoritm, se pot enumera toate numerele raționale pozitive. Aceasta înseamnă că mulțimea numerelor raționale pozitive este numărabilă. Este ușor să stabiliți o bijecție între mulțimile numerelor raționale pozitive și negative, pur și simplu atribuind fiecărui număr rațional opusul său. Acea. mulţimea numerelor raţionale negative este de asemenea numărabilă. Unirea lor este de asemenea numărabilă prin proprietatea seturilor numărabile. Mulțimea numerelor raționale este, de asemenea, numărabilă ca unire a unei mulțimi numărabile cu una finită.

Afirmația despre numărabilitatea mulțimii numerelor raționale poate provoca o oarecare nedumerire, deoarece la prima vedere se are impresia că este mult mai mare decât mulțimea numerelor naturale. De fapt, acesta nu este cazul și există suficiente numere naturale pentru a le enumera pe toate raționale.

Insuficiența numerelor raționale

Ipotenuza unui astfel de triunghi nu este exprimată prin niciun număr rațional

Numere raționale de forma 1 / nîn mare n pot fi măsurate cantități arbitrar mici. Acest fapt creează o impresie înșelătoare că numerele raționale pot măsura orice distanțe geometrice în general. Este ușor să arăți că acest lucru nu este adevărat.

Note

Literatură

• I. Kushnir. Manual de matematică pentru școlari. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 p.
• P. S. Alexandrov. Introducere în teoria mulțimilor și topologia generală. - M.: cap. ed. Fiz.-Matematică. aprins. ed. „Știință”, 1977
• I. L. Hmelnițki. Introducere în teoria sistemelor algebrice

Legături

Fundația Wikimedia. 2010 .