Definiții ale sistemelor definite și nedefinite de ecuații liniare. Matrix și soiurile sale
Citeste si
Secțiunea 5. ELEMENTE DE ALGEBRE LINEARĂ
Sisteme de ecuații liniare
Noțiuni de bază
Un sistem de ecuații algebrice liniare, conținând t ecuații și P necunoscute, se numește sistem de formă
unde sunt numerele A ij ,
i=
,
j=
numit coeficienți sisteme, numere b i - membri gratuiti. Numar de gasit X P .
Este convenabil să scrieți un astfel de sistem într-un format compact formă matriceală 
.
Aici A este matricea de coeficienți a sistemului, numită matricea principală:
,
-vector coloană de necunoscute X j ,
este un vector coloană de membri liberi b i .
Extins matricea sistemului este matricea 
sistem, completat de o coloană de termeni liberi
.
Decizie sistem este numit P valori necunoscute X 1
=c 1
, X 2
=c 2
, ..., X P =c P ,
la înlocuirea cărora toate ecuațiile sistemului se transformă în egalități adevărate. Orice soluție a sistemului poate fi scrisă ca o coloană-matrice 
.
Sistemul de ecuații se numește comun dacă are cel puțin o soluție și incompatibil daca nu are solutie.
Sistemul articular este numit anumit dacă ea are singura decizie, și incert daca are mai multe solutii. În acest din urmă caz, fiecare dintre soluțiile sale este numită decizie privată sisteme. Se numește setul tuturor soluțiilor particulare solutie generala.
Rezolvați sistemulînseamnă a afla dacă este compatibil sau nu. Dacă sistemul este compatibil, atunci găsiți-l decizie comună.
Cele două sisteme sunt numite echivalent(echivalent) dacă au aceeași soluție generală. Cu alte cuvinte, sistemele sunt echivalente dacă fiecare soluție pentru una dintre ele este o soluție pentru cealaltă și invers.
Se obţin sisteme echivalente, în special, când transformări elementare sistem, cu condiția ca transformările să fie efectuate numai pe rândurile matricei.
Sistemul de ecuații liniare se numește omogen dacă toți termenii liberi sunt egali cu zero:
Un sistem omogen este întotdeauna consistent, deoarece X 1 =x 2 =…=x P =0 este soluția pentru sistem. Această soluție se numește zero sau banal.
Soluție de sisteme ecuatii lineare
Să fie dat un sistem arbitrar t ecuații liniare cu P necunoscut
Teorema 1(Kronecker-Cappelli). Un sistem de ecuații algebrice liniare este consistent dacă și numai dacă rangul matricei extinse este egal cu rangul matricei principale.
Teorema 2. Dacă rangul unui sistem consistent este egal cu numărul de necunoscute, atunci sistemul are o soluție unică.
Teorema 3. Dacă rangul unui sistem consistent este mai mic decât numărul de necunoscute, atunci sistemul are un număr infinit de soluții.
EXEMPLU Examinați sistemul pentru compatibilitate 
Soluţie. 
,r(A)=1;
,
r(
)=2,
.
În acest fel, r(A) r(
), prin urmare sistemul este inconsecvent.
Rezolvarea sistemelor nedegenerate de ecuații liniare. formulele lui Cramer
Lasă sistemul P ecuații liniare cu P necunoscut
sau sub formă matriceală A∙X=B.
Matricea principală A a unui astfel de sistem este pătrată. Determinantul acestei matrice se numește determinant de sistem. Dacă determinantul sistemului este diferit de zero, atunci sistemul este numit nedegenerate.
Să găsim soluția acestui sistem de ecuații în cazul lui ∆0. înmulțind ambele părți ale ecuației А∙Х=В din stânga cu matricea А 1 , obținem А 1 ∙ A∙Х= A 1 ∙B. Deoarece A - 1 ∙ A \u003d E și E ∙ X \u003d X, atunci X \u003d A - 1 ∙ B. Această metodă de rezolvare a sistemului se numește matrice.
Din metoda matricei urmează formulele lui Cramer
, unde ∆ este determinantul matricei principale a sistemului, iar ∆ i este determinantul obţinut din determinantul ∆ prin înlocuire i a-a coloană de coeficienți printr-o coloană de termeni liberi.
EXEMPLU Rezolvați sistemul 
Soluţie. 
, 70, 
,
. Mijloace, X 1
=
, X 2
=
.
Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda Gauss
Metoda Gauss constă în eliminarea succesivă a necunoscutelor.
Fie sistemul de ecuații
Procesul de soluție Gaussian constă din două etape. În prima etapă (margere înainte), sistemul este redus la călcat(în special, triunghiular) minte.
Unde k≤ n, a ii
0, i=
.
Cote A ii numit principal elemente ale sistemului.
La a doua etapă (mișcare inversă), necunoscutele din acest sistem treptat sunt determinate secvenţial.
Note:
Dacă sistemul de trepte se dovedește a fi triunghiular, de ex. k= n, atunci sistemul original are o soluție unică. Din ultima ecuație găsim X P , din penultima ecuație pe care o găsim X P 1 , apoi, urcând sistemul, găsim toate celelalte necunoscute.
În practică, este mai convenabil să lucrați cu matricea extinsă a sistemului, efectuând toate transformările elementare pe rândurile sale. Este convenabil ca coeficientul A 11 a fost egal cu 1 (rearanjați ecuațiile sau împărțiți cu A 11 1).
EXEMPLU Rezolvați sistemul folosind metoda Gauss 
Soluţie. Ca rezultat al transformărilor elementare asupra matricei extinse a sistemului
~
~
~
~
sistemul original a fost redus la unul treptat: 
Prin urmare, soluția generală a sistemului este: X 2 =5 X 4 13 X 3 3; X 1 =5 X 4 8 X 3 1.
Dacă punem, de exemplu, X 3 =x 4 =0, atunci găsim una dintre soluțiile particulare ale acestui sistem X 1 = 1, x 2 = 3, x 3 =0, x 4 =0.
Sisteme de ecuații liniare omogene
Să fie dat sistemul de ecuații liniare omogene
Evident, un sistem omogen este întotdeauna compatibil, are o soluție zero (trivială).
Teorema 4. Pentru ca un sistem de ecuații omogene să aibă o soluție diferită de zero, este necesar și suficient ca rangul matricei sale principale să fie mai mic decât numărul de necunoscute, i.e. r< n.
Teorema 5. Pentru un sistem omogen P ecuații liniare cu P necunoscute are o soluție diferită de zero, este necesar și suficient ca determinantul matricei sale principale să fie egal cu zero, i.e. ∆=0.
Dacă sistemul are soluții diferite de zero, atunci ∆=0.
EXEMPLU Rezolvați sistemul 
Soluţie. 
,r(A)=2
,
n=3. pentru că r<
n,
atunci sistemul are un număr infinit de soluții.
,
. Acesta este, X 1
=
=2x 3
, X 2
=
=3x 3
- decizie comună.
Punând X 3 =0, obținem o soluție specială: X 1 =0, x 2 =0, x 3 =0. Punând X 3 =1, obținem a doua soluție particulară: X 1 =2, x 2 =3, x 3 =1 etc.
Întrebări de controlat
Ce este un sistem de ecuații algebrice liniare?
Explicați următoarele concepte: coeficient, interceptare, matrici principale și extinse.
Ce sunt sistemele de ecuații liniare? Formulați teorema Kronker-Capelli (cu privire la compatibilitatea unui sistem de ecuații liniare).
Enumerați și explicați metodele de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare.
Sistemele de ecuații sunt utilizate pe scară largă în industria economică în modelarea matematică a diferitelor procese. De exemplu, la rezolvarea problemelor de management și planificare a producției, rute logistice (problema de transport) sau amplasarea echipamentelor.
Sistemele de ecuații sunt utilizate nu numai în domeniul matematicii, ci și în fizică, chimie și biologie, atunci când se rezolvă probleme de găsire a mărimii populației.
Un sistem de ecuații liniare este un termen pentru două sau mai multe ecuații cu mai multe variabile pentru care este necesar să se găsească o soluție comună. O astfel de succesiune de numere pentru care toate ecuațiile devin egalități adevărate sau dovedesc că șirul nu există.
Ecuație liniară
Ecuațiile de forma ax+by=c se numesc liniare. Denumirile x, y sunt necunoscutele, a căror valoare trebuie găsită, b, a sunt coeficienții variabilelor, c este termenul liber al ecuației.
Rezolvarea ecuației prin reprezentarea graficului acesteia va arăta ca o dreaptă, toate punctele căreia sunt soluția polinomului.
Tipuri de sisteme de ecuații liniare
Cele mai simple sunt exemplele de sisteme de ecuații liniare cu două variabile X și Y.
F1(x, y) = 0 și F2(x, y) = 0, unde F1,2 sunt funcții și (x, y) sunt variabile de funcție.
Rezolvați un sistem de ecuații - înseamnă să găsești astfel de valori (x, y) pentru care sistemul devine o egalitate adevărată sau să stabilești că nu există valori adecvate ale lui x și y.
O pereche de valori (x, y), scrise ca coordonate punctuale, se numește soluție a unui sistem de ecuații liniare.
Dacă sistemele au o soluție comună sau nu există nicio soluție, se numesc echivalente.
Sistemele omogene de ecuații liniare sunt sisteme a căror latură dreaptă este egală cu zero. Dacă partea dreaptă după semnul „egal” are o valoare sau este exprimată printr-o funcție, un astfel de sistem nu este omogen.
Numărul de variabile poate fi mult mai mare de două, atunci ar trebui să vorbim despre un exemplu de sistem de ecuații liniare cu trei sau mai multe variabile.
În fața sistemelor, școlarii presupun că numărul de ecuații trebuie să coincidă neapărat cu numărul de necunoscute, dar nu este așa. Numărul de ecuații din sistem nu depinde de variabile, poate exista un număr arbitrar de mare al acestora.
Metode simple și complexe de rezolvare a sistemelor de ecuații
Nu există o modalitate analitică generală de a rezolva astfel de sisteme, toate metodele se bazează pe soluții numerice. Cursul școlar de matematică descrie în detaliu metode precum permutarea, adunarea algebrică, substituția, precum și metoda grafică și matriceală, soluția prin metoda Gauss.
Sarcina principală în predarea metodelor de rezolvare este de a învăța cum să analizăm corect sistemul și să găsim algoritmul optim de soluție pentru fiecare exemplu. Principalul lucru nu este să memorați un sistem de reguli și acțiuni pentru fiecare metodă, ci să înțelegeți principiile aplicării unei anumite metode.
Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare din clasa a VII-a a programului școală gimnazială destul de simplu și explicat în detaliu. În orice manual de matematică, acestei secțiuni i se acordă suficientă atenție. Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare prin metoda lui Gauss și Cramer este studiată mai detaliat în primele cursuri ale instituțiilor de învățământ superior.
Rezolvarea sistemelor prin metoda substituției
Acțiunile metodei substituției au ca scop exprimarea valorii unei variabile prin a doua. Expresia este substituită în ecuația rămasă, apoi este redusă la o singură formă variabilă. Acțiunea se repetă în funcție de numărul de necunoscute din sistem
Să dăm un exemplu de sistem de ecuații liniare din clasa a 7-a prin metoda substituției:
După cum se poate observa din exemplu, variabila x a fost exprimată prin F(X) = 7 + Y. Expresia rezultată, substituită în ecuația a 2-a a sistemului în locul lui X, a ajutat la obținerea unei variabile Y în a doua ecuație. . Soluţie acest exemplu nu provoacă dificultăți și vă permite să obțineți valoarea Y. Ultimul pas este verificarea valorilor primite.
Nu este întotdeauna posibil să se rezolve un exemplu de sistem de ecuații liniare prin substituție. Ecuațiile pot fi complexe și expresia variabilei în termenii celei de-a doua necunoscute va fi prea greoaie pentru calcule ulterioare. Când există mai mult de 3 necunoscute în sistem, soluția de substituție este, de asemenea, nepractică.
Rezolvarea unui exemplu de sistem de ecuații liniare neomogene:
Rezolvare folosind adunarea algebrică
La căutarea unei soluții la sisteme prin metoda adunării, se efectuează adunarea termen cu termen și înmulțirea ecuațiilor cu diverse numere. Scopul final al operațiilor matematice este o ecuație cu o variabilă.
Pentru aplicații aceasta metoda este nevoie de practică și observație. Nu este ușor să rezolvi un sistem de ecuații liniare folosind metoda adunării cu numărul de variabile 3 sau mai mult. Adunarea algebrică este utilă atunci când ecuațiile conțin fracții și numere zecimale.
Algoritm de acțiune a soluției:
- Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu un număr. Ca rezultat al operației aritmetice, unul dintre coeficienții variabilei trebuie să devină egal cu 1.
- Adăugați expresia rezultată termen cu termen și găsiți una dintre necunoscute.
- Înlocuiți valoarea rezultată în a doua ecuație a sistemului pentru a găsi variabila rămasă.
Metoda de rezolvare prin introducerea unei noi variabile
O nouă variabilă poate fi introdusă dacă sistemul trebuie să găsească o soluție pentru nu mai mult de două ecuații, numărul de necunoscute ar trebui, de asemenea, să nu fie mai mare de două.
Metoda este folosită pentru a simplifica una dintre ecuații prin introducerea unei noi variabile. Noua ecuație este rezolvată în raport cu necunoscuta introdusă, iar valoarea rezultată este folosită pentru a determina variabila inițială.
Din exemplu se poate observa că prin introducerea unei noi variabile t a fost posibilă reducerea primei ecuații a sistemului la un trinom pătrat standard. Puteți rezolva un polinom găsind discriminantul.
Este necesar să se afle valoarea discriminantului folosind formula binecunoscută: D = b2 - 4*a*c, unde D este discriminantul dorit, b, a, c sunt multiplicatorii polinomului. În exemplul dat, a=1, b=16, c=39, deci D=100. Dacă discriminantul Peste zero, atunci există două soluții: t = -b±√D / 2*a, dacă discriminantul este mai mic decât zero, atunci există o singură soluție: x= -b / 2*a.
Soluția pentru sistemele rezultate se găsește prin metoda adunării.
O metodă vizuală pentru rezolvarea sistemelor
Potrivit pentru sisteme cu 3 ecuații. Metoda constă în trasarea graficelor fiecărei ecuații incluse în sistem pe axa de coordonate. Coordonatele punctelor de intersecție ale curbelor vor fi soluția generală a sistemului.
Metoda grafică are o serie de nuanțe. Luați în considerare câteva exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare într-un mod vizual.
După cum se poate vedea din exemplu, s-au construit două puncte pentru fiecare linie, valorile variabilei x au fost alese în mod arbitrar: 0 și 3. Pe baza valorilor lui x, s-au găsit valorile pentru y: 3 și 0. Punctele cu coordonatele (0, 3) și (3, 0) au fost marcate pe grafic și legate printr-o linie.
Pașii trebuie repetați pentru a doua ecuație. Punctul de intersecție al dreptelor este soluția sistemului.
În exemplul următor, este necesară găsirea unei soluții grafice a sistemului de ecuații liniare: 0,5x-y+2=0 și 0,5x-y-1=0.
După cum se poate observa din exemplu, sistemul nu are soluție, deoarece graficele sunt paralele și nu se intersectează pe toată lungimea lor.
Sistemele din exemplele 2 și 3 sunt similare, dar atunci când sunt construite, devine evident că soluțiile lor sunt diferite. Trebuie reținut că nu este întotdeauna posibil să spunem dacă sistemul are o soluție sau nu, este întotdeauna necesar să construim un grafic.
Matrix și soiurile sale
Matricele sunt folosite pentru a scrie pe scurt un sistem de ecuații liniare. Un tabel se numește matrice. un fel deosebit plin cu numere. n*m are n - rânduri și m - coloane.
O matrice este pătrată atunci când numărul de coloane și rânduri este egal. Un vector-matrice este o matrice cu o singură coloană cu un număr infinit posibil de rânduri. O matrice cu unități de-a lungul uneia dintre diagonale și alte elemente zero se numește identitate.
O matrice inversă este o astfel de matrice, atunci când este înmulțită cu care cea originală se transformă într-una unitară, o astfel de matrice există doar pentru cea pătrată originală.
Reguli pentru transformarea unui sistem de ecuații într-o matrice
În ceea ce privește sistemele de ecuații, coeficienții și membrii liberi ai ecuațiilor sunt scrise ca numere ale matricei, o ecuație este un rând al matricei.
Un rând de matrice este numit diferit de zero dacă cel puțin un element al rândului nu este egal cu zero. Prin urmare, dacă în oricare dintre ecuații numărul de variabile diferă, atunci este necesar să introduceți zero în locul necunoscutului lipsă.
Coloanele matricei trebuie să corespundă strict variabilelor. Aceasta înseamnă că coeficienții variabilei x pot fi scriși doar într-o coloană, de exemplu prima, coeficientul necunoscutului y - doar în a doua.
La înmulțirea unei matrice, toate elementele matricei sunt înmulțite succesiv cu un număr.
Opțiuni pentru găsirea matricei inverse
Găsirea formulei matrice inversă destul de simplu: K -1 = 1 / |K|, unde K -1 este matricea inversă și |K| - determinant matriceal. |K| nu trebuie să fie egal cu zero, atunci sistemul are o soluție.
Determinantul se calculează cu ușurință pentru o matrice de două câte două, este necesar doar înmulțirea elementelor în diagonală între ele. Pentru opțiunea „trei cu trei”, există o formulă |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Puteți folosi formula sau vă puteți aminti că trebuie să luați câte un element din fiecare rând și fiecare coloană, astfel încât numerele coloanei și rândurilor elementelor să nu se repete în produs.
Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare prin metoda matricei
Metoda matriceală de găsire a unei soluții face posibilă reducerea intrărilor greoaie la rezolvarea sistemelor cu un număr mare de variabile și ecuații.
În exemplu, a nm sunt coeficienții ecuațiilor, matricea este un vector x n sunt variabilele, iar b n sunt termenii liberi.
Rezolvarea sistemelor prin metoda Gauss
În matematica superioară, metoda Gauss este studiată împreună cu metoda Cramer, iar procesul de găsire a unei soluții la sisteme se numește metoda Gauss-Cramer de rezolvare. Aceste metode sunt folosite pentru a găsi variabilele sistemelor cu un număr mare de ecuații liniare.
Metoda Gaussiană este foarte asemănătoare cu soluțiile de substituție și adiție algebrică, dar este mai sistematică. În cursul școlii, soluția Gauss este folosită pentru sistemele cu 3 și 4 ecuații. Scopul metodei este de a aduce sistemul la forma unui trapez inversat. Prin transformări și substituții algebrice, valoarea unei variabile se găsește într-una din ecuațiile sistemului. A doua ecuație este o expresie cu 2 necunoscute și 3 și 4 - cu 3 și, respectiv, 4 variabile.
După aducerea sistemului la forma descrisă, soluția ulterioară este redusă la înlocuirea secvențială a variabilelor cunoscute în ecuațiile sistemului.
În manualele școlare pentru clasa a 7-a, un exemplu de soluție gaussiană este descris după cum urmează:
După cum se poate observa din exemplu, la pasul (3) s-au obținut două ecuații 3x 3 -2x 4 =11 și 3x 3 +2x 4 =7. Rezolvarea oricăreia dintre ecuații vă va permite să aflați una dintre variabilele x n.
Teorema 5, care este menționată în text, afirmă că dacă una dintre ecuațiile sistemului este înlocuită cu una echivalentă, atunci și sistemul rezultat va fi echivalent cu cel original.
Metoda Gaussiană este greu de înțeles de către elevii de gimnaziu, dar este una dintre cele mai multe moduri interesante să dezvolte ingeniozitatea copiilor înscriși la programul de studii avansate la orele de matematică și fizică.
Pentru ușurința înregistrării calculelor, este obișnuit să faceți următoarele:
Coeficienții ecuației și termenii liberi se scriu sub forma unei matrice, unde fiecare rând al matricei corespunde uneia dintre ecuațiile sistemului. separă partea stângă a ecuației de partea dreaptă. Numerele romane denotă numerele de ecuații din sistem.
În primul rând, notează matricea cu care să lucreze, apoi toate acțiunile efectuate cu unul dintre rânduri. Matricea rezultată se scrie după semnul „săgeată” și se continuă operațiile algebrice necesare până la obținerea rezultatului.
Ca rezultat, ar trebui să se obțină o matrice în care una dintre diagonale este 1 și toți ceilalți coeficienți sunt egali cu zero, adică matricea este redusă la o singură formă. Nu trebuie să uităm să facem calcule cu numerele ambelor părți ale ecuației.
Această notație este mai puțin greoaie și vă permite să nu fiți distras prin enumerarea a numeroase necunoscute.
Aplicarea gratuită a oricărei metode de soluție va necesita îngrijire și o anumită experiență. Nu toate metodele sunt aplicate. Unele moduri de a găsi soluții sunt mai preferabile într-un anumit domeniu al activității umane, în timp ce altele există în scopul învățării.
Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare (SLAE) este, fără îndoială, cel mai important subiect al cursului de algebră liniară. Un număr mare de probleme din toate ramurile matematicii sunt reduse la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Acești factori explică motivul creării acestui articol. Materialul articolului este selectat și structurat astfel încât cu ajutorul lui să puteți
- alege metoda optimă pentru rezolvarea sistemului tău de ecuații algebrice liniare,
- studiază teoria metodei alese,
- rezolvați sistemul dvs. de ecuații liniare, luând în considerare în detaliu soluțiile exemplelor și problemelor tipice.
Scurtă descriere a materialului articolului.
În primul rând, dăm toate definițiile și conceptele necesare și introducem unele notații.
În continuare, avem în vedere metode de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare în care numărul de ecuații este egal cu numărul de variabile necunoscute și care au o soluție unică. În primul rând, să ne concentrăm pe metoda Cramer, în al doilea rând, vom prezenta metoda matriceală pentru rezolvarea unor astfel de sisteme de ecuații, iar în al treilea rând, vom analiza metoda Gauss (metoda eliminării succesive a variabilelor necunoscute). Pentru a consolida teoria, cu siguranță vom rezolva mai multe SLAE-uri în diferite moduri.
După aceea, ne întoarcem la rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare vedere generala, în care numărul de ecuații nu coincide cu numărul de variabile necunoscute sau matricea principală a sistemului este degenerată. Formulăm teorema Kronecker-Capelli, care ne permite să stabilim compatibilitatea SLAE-urilor. Să analizăm soluția sistemelor (în cazul compatibilității lor) folosind conceptul de bază minoră a unei matrice. Vom lua în considerare și metoda Gauss și vom descrie în detaliu soluțiile exemplelor.
Asigurați-vă că vă opriți asupra structurii soluției generale a sistemelor omogene și neomogene de ecuații algebrice liniare. Să dăm conceptul de sistem fundamental de soluții și să arătăm cum este scrisă soluția generală a SLAE folosind vectorii sistemului fundamental de soluții. Pentru o mai bună înțelegere, să ne uităm la câteva exemple.
În concluzie, luăm în considerare sistemele de ecuații care se reduc la cele liniare, precum și diverse sarcini, a cărui soluție dă naștere SLAE-urilor.
Navigare în pagină.
Definiții, concepte, denumiri.
Vom lua în considerare sisteme de p ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute (p poate fi egal cu n ) de forma
Variabile necunoscute, - coeficienți (unii reali sau numere complexe), - membri liberi (de asemenea, numere reale sau complexe).
Această formă de SLAE se numește coordona.
LA formă matriceală acest sistem de ecuații are forma ,
Unde 
- matricea principală a sistemului, - matricea-coloana de variabile necunoscute, - matricea-coloana de membri liberi.
Dacă adăugăm la matricea A ca (n + 1)-a coloană coloana matricei de termeni liberi, atunci obținem așa-numita matrice extinsă sisteme de ecuații liniare. De obicei, matricea mărită este desemnată cu litera T, iar coloana de membri liberi este separată printr-o linie verticală de restul coloanelor, adică 
Prin rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare numit un set de valori ale variabilelor necunoscute, care transformă toate ecuațiile sistemului în identități. Ecuația matriceală pentru valorile date ale variabilelor necunoscute se transformă și ea într-o identitate.
Dacă un sistem de ecuații are cel puțin o soluție, atunci se numește comun.
Dacă sistemul de ecuații nu are soluții, atunci se numește incompatibil.
Dacă un SLAE are o soluție unică, atunci se numește anumit; dacă există mai multe soluții, atunci - incert.
Dacă termenii liberi ai tuturor ecuațiilor sistemului sunt egali cu zero 
, atunci sistemul este apelat omogen, in caz contrar - eterogen.
Rezolvarea sistemelor elementare de ecuații algebrice liniare.
Dacă numărul de ecuații de sistem este egal cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei sale principale nu este egal cu zero, atunci vom numi astfel de SLAE-uri elementar. Astfel de sisteme de ecuații au o soluție unică, iar în cazul unui sistem omogen, toate variabilele necunoscute sunt egale cu zero.
Am început să studiem astfel de SLAE în liceu. Când le-am rezolvat, am luat o ecuație, am exprimat o variabilă necunoscută în termenii altora și am înlocuit-o în ecuațiile rămase, apoi am luat următoarea ecuație, am exprimat următoarea variabilă necunoscută și am înlocuit-o în alte ecuații și așa mai departe. Sau au folosit metoda adunării, adică au adăugat două sau mai multe ecuații pentru a elimina unele variabile necunoscute. Nu ne vom opri în detaliu asupra acestor metode, deoarece sunt în esență modificări ale metodei Gauss.
Principalele metode de rezolvare a sistemelor elementare de ecuații liniare sunt metoda Cramer, metoda matriceală și metoda Gauss. Să le rezolvăm.
Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda lui Cramer.
Să rezolvăm un sistem de ecuații algebrice liniare 
în care numărul de ecuații este egal cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero, adică .
Fie determinantul matricei principale a sistemului, și 
sunt determinanţi ai matricelor care se obţin din A prin înlocuire 1, 2, …, al n-lea coloana respectiv la coloana de membri liberi: 
Cu o astfel de notație, variabilele necunoscute sunt calculate prin formulele metodei lui Cramer ca 
. Așa se găsește soluția unui sistem de ecuații algebrice liniare prin metoda Cramer.
Exemplu.
Metoda Cramer 
.
Soluţie.
Matricea principală a sistemului are forma 
. Calculați determinantul acestuia (dacă este necesar, consultați articolul): 
Deoarece determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero, sistemul are o soluție unică care poate fi găsită prin metoda lui Cramer.
Compuneți și calculați determinanții necesari 
(determinantul se obține prin înlocuirea primei coloane din matricea A cu o coloană de membri liberi, determinantul - prin înlocuirea coloanei a doua cu o coloană de membri liberi, - prin înlocuirea celei de-a treia coloane a matricei A cu o coloană de membri liberi ): 
Găsirea variabilelor necunoscute folosind formule 
:
Răspuns:
Principalul dezavantaj al metodei lui Cramer (dacă poate fi numită un dezavantaj) este complexitatea calculării determinanților atunci când numărul de ecuații ale sistemului este mai mare de trei.
Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare prin metoda matricei (folosind matricea inversă).
Fie sistemul de ecuații algebrice liniare dat sub formă de matrice , unde matricea A are dimensiunea n cu n și determinantul său este diferit de zero.
Deoarece , atunci matricea A este inversabilă, adică există o matrice inversă . Dacă înmulțim ambele părți ale egalității cu în stânga, atunci obținem o formulă pentru găsirea matricei coloanei de variabile necunoscute. Deci am obținut soluția sistemului de ecuații algebrice liniare prin metoda matricei.
Exemplu.
Rezolvarea sistemului de ecuații liniare metoda matricei.
Soluţie.
Să rescriem sistemul de ecuații sub formă de matrice: 
pentru că
atunci SLAE poate fi rezolvat prin metoda matricei. Folosind matricea inversă, soluția acestui sistem poate fi găsită ca 
.
Să construim o matrice inversă folosind o matrice de complemente algebrice ale elementelor matricei A (dacă este necesar, vezi articolul): 
Rămâne de calculat - matricea variabilelor necunoscute prin înmulțirea matricei inverse 
pe coloana-matrice a membrilor liberi (dacă este necesar, vezi articolul): 
Răspuns:
sau într-o altă notație x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Problema principală în găsirea de soluții la sisteme de ecuații algebrice liniare prin metoda matricei este complexitatea găsirii matricei inverse, în special pentru matrice pătrată de ordin mai mare decât a treia.
Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda Gauss.
Să presupunem că trebuie să găsim o soluție la un sistem de n ecuații liniare cu n variabile necunoscute 
al cărei determinant al matricei principale este diferit de zero.
Esența metodei Gauss constă în excluderea succesivă a variabilelor necunoscute: mai întâi, x 1 este exclus din toate ecuațiile sistemului, începând de la a doua, apoi x 2 este exclus din toate ecuațiile, începând de la a treia, și așa mai departe, până la doar variabila necunoscută. x n rămâne în ultima ecuație. Se numește un astfel de proces de transformare a ecuațiilor sistemului pentru eliminarea succesivă a variabilelor necunoscute metoda Gauss directă. După finalizarea executării directe a metodei gaussiene, x n este găsit din ultima ecuație, x n-1 este calculat din penultima ecuație folosind această valoare și așa mai departe, x 1 este găsit din prima ecuație. Procesul de calcul al variabilelor necunoscute la trecerea de la ultima ecuație a sistemului la prima este numit metoda Gauss inversă.
Să descriem pe scurt algoritmul de eliminare a variabilelor necunoscute.
Vom presupune că , deoarece putem realiza întotdeauna acest lucru prin rearanjarea ecuațiilor sistemului. Excludem variabila necunoscută x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând de la a doua. Pentru a face acest lucru, adăugați prima ecuație înmulțită cu la a doua ecuație a sistemului, adăugați prima înmulțită cu la a treia ecuație și așa mai departe, adăugați prima înmulțită cu la a n-a ecuație. Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma 
unde un 
.
Am ajunge la același rezultat dacă am exprima x 1 în termeni de alte variabile necunoscute în prima ecuație a sistemului și am înlocui expresia rezultată în toate celelalte ecuații. Astfel, variabila x 1 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a doua.
În continuare, acționăm în mod similar, dar numai cu o parte a sistemului rezultat, care este marcată în figură 
Pentru a face acest lucru, adăugați al doilea înmulțit cu la a treia ecuație a sistemului, adăugați al doilea înmulțit cu la a patra ecuație și așa mai departe, adăugați al doilea înmulțit cu la a n-a ecuație. Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma 
unde un 
. Astfel, variabila x 2 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a treia.
În continuare, trecem la eliminarea necunoscutului x 3, acționând în același timp cu partea din sistem marcată în figură 
Deci continuăm cursul direct al metodei Gauss până când sistemul ia forma 
Din acest moment începem cursul invers al metodei Gauss: calculăm x n din ultima ecuație ca , folosind valoarea x n obținută găsim x n-1 din penultima ecuație, și așa mai departe, găsim x 1 din prima ecuaţie.
Exemplu.
Rezolvarea sistemului de ecuații liniare metoda gaussiana.
Soluţie.
Să excludem variabila necunoscută x 1 din a doua și a treia ecuație a sistemului. Pentru a face acest lucru, la ambele părți ale celei de-a doua și a treia ecuații, adăugăm părțile corespunzătoare ale primei ecuații, înmulțite cu și, respectiv, cu: 
Acum excludem x 2 din a treia ecuație prin adăugarea părților din stânga și din dreapta părților din stânga și din dreapta celei de-a doua ecuații, înmulțite cu: 
Pe aceasta, cursul înainte al metodei Gauss este finalizat, începem cursul invers.
Din ultima ecuație a sistemului de ecuații rezultat, găsim x 3: 
Din a doua ecuație obținem .
Din prima ecuație găsim variabila necunoscută rămasă și aceasta completează cursul invers al metodei Gauss.
Răspuns:
X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.
Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.
În cazul general, numărul de ecuații ale sistemului p nu coincide cu numărul de variabile necunoscute n:
Astfel de SLAE-uri pot să nu aibă soluții, să aibă o singură soluție sau să aibă infinite de soluții. Această afirmație se aplică și sistemelor de ecuații a căror matrice principală este pătrată și degenerată.
Teorema Kronecker-Capelli.
Înainte de a găsi o soluție la un sistem de ecuații liniare, este necesar să se stabilească compatibilitatea acestuia. Răspunsul la întrebarea când SLAE este compatibil și când este incompatibil dă Teorema Kronecker–Capelli:
pentru ca un sistem de p ecuații cu n necunoscute (p poate fi egal cu n ) să fie consistent este necesar și suficient ca rangul matricei principale a sistemului să fie egal cu rangul matricei extinse, adică Rank( A)=Rang(T).
Să considerăm ca exemplu aplicarea teoremei Kronecker-Cappelli pentru determinarea compatibilității unui sistem de ecuații liniare.
Exemplu.
Aflați dacă sistemul de ecuații liniare are 
solutii.
Soluţie.
. Să folosim metoda limitării minorilor. Minor de ordinul doi 
diferit de zero. Să trecem peste minorii de ordinul trei care îl înconjoară: 
Deoarece toți minorii de ordinul al treilea învecinați sunt egali cu zero, rangul matricei principale este de doi.
La rândul său, rangul matricei augmentate 
este egal cu trei, deoarece minorul de ordinul al treilea 
diferit de zero.
În acest fel, Rang(A) , prin urmare, conform teoremei Kronecker-Capelli, putem concluziona că sistemul original de ecuații liniare este inconsecvent.
Răspuns:
Nu există un sistem de soluții.
Deci, am învățat să stabilim inconsistența sistemului folosind teorema Kronecker-Capelli.
Dar cum să găsești soluția SLAE dacă compatibilitatea acestuia este stabilită?
Pentru a face acest lucru, avem nevoie de conceptul de bază minoră a unei matrice și de teorema privind rangul unei matrice.
Minorul de ordinul cel mai înalt al matricei A, altul decât zero, este numit de bază.
Din definirea bazei minore rezultă că ordinea acesteia este egală cu rangul matricei. Pentru o matrice A diferită de zero, pot exista mai multe minore de bază; există întotdeauna un minor de bază.
De exemplu, luați în considerare matricea 
.
Toate minorele de ordinul trei ale acestei matrice sunt egale cu zero, deoarece elementele celui de-al treilea rând al acestei matrice sunt suma elementelor corespunzătoare din primul și al doilea rând.
Următorii minori de ordinul doi sunt de bază, deoarece nu sunt zero 
Minorii 
nu sunt de bază, deoarece sunt egale cu zero.
Teorema rangului matricei.
Dacă rangul unei matrice de ordinul p cu n este r, atunci toate elementele rândurilor (și coloanelor) ale matricei care nu formează baza minoră aleasă sunt exprimate liniar în termenii elementelor corespunzătoare ale rândurilor (și coloanelor). ) care formează baza minoră.
Ce ne oferă teorema rangului matricei?
Dacă, prin teorema Kronecker-Capelli, am stabilit compatibilitatea sistemului, atunci alegem orice minor de bază al matricei principale a sistemului (ordinea sa este egală cu r) și excludem din sistem toate ecuațiile care nu formează minorul de bază ales. SLAE obținut în acest fel va fi echivalent cu cel inițial, deoarece ecuațiile aruncate sunt încă redundante (conform teoremei rangului matricei, ele sunt o combinație liniară a ecuațiilor rămase).
Ca urmare, după eliminarea ecuațiilor excesive ale sistemului, sunt posibile două cazuri.
Dacă numărul de ecuații r din sistemul rezultat este egal cu numărul de variabile necunoscute, atunci acesta va fi definit și singura soluție poate fi găsită prin metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.
Exemplu.
.
Soluţie.
Rangul matricei principale a sistemului 
este egal cu doi, deoarece minorul de ordinul doi 
diferit de zero. Rang matrice extins 
este, de asemenea, egal cu doi, deoarece singurul minor de ordinul al treilea este egal cu zero 
iar minorul de ordinul doi considerat mai sus este diferit de zero. Pe baza teoremei Kronecker-Capelli, se poate afirma compatibilitatea sistemului original de ecuații liniare, deoarece Rank(A)=Rank(T)=2 .
Ca bază minoră, luăm . Este format din coeficienții primei și celei de-a doua ecuații: 
A treia ecuație a sistemului nu participă la formarea minorului de bază, așa că o excludem din sistemul bazat pe teorema rangului matricei: 
Astfel am obținut un sistem elementar de ecuații algebrice liniare. Să o rezolvăm prin metoda lui Cramer: 
Răspuns:
x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.
Dacă numărul de ecuații r din SLAE rezultat este mai mic decât numărul de variabile necunoscute n , atunci lăsăm termenii care formează minorul de bază în părțile din stânga ecuațiilor și transferăm termenii rămași în părțile din dreapta ale ecuațiilor. a sistemului cu semnul opus.
Variabilele necunoscute (există r dintre ele) rămase în partea stângă a ecuațiilor se numesc principal.
Sunt numite variabile necunoscute (există n - r) care au ajuns în partea dreaptă gratuit.
Acum presupunem că variabilele necunoscute libere pot lua valori arbitrare, în timp ce principalele variabile necunoscute r vor fi exprimate în termeni de variabile necunoscute libere într-un mod unic. Expresia lor poate fi găsită prin rezolvarea SLAE rezultată prin metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.
Să luăm un exemplu.
Exemplu.
Rezolvarea sistemului de ecuații algebrice liniare 
.
Soluţie.
Aflați rangul matricei principale a sistemului 
prin metoda minorilor limitrofe. Să luăm un 1 1 = 1 ca un minor de ordinul întâi diferit de zero. Să începem să căutăm un minor de ordinul doi diferit de zero în jurul acestui minor: 
Așa că am găsit un minor diferit de zero de ordinul doi. Să începem să căutăm un minor de ordinul al treilea care nu se limitează la zero: 
Astfel, rangul matricei principale este de trei. Rangul matricei augmentate este, de asemenea, egal cu trei, adică sistemul este consecvent.
Minorul non-zero găsit de ordinul al treilea va fi luat drept cel de bază.
Pentru claritate, arătăm elementele care formează baza minoră: 
Lăsăm termenii care participă la minorul de bază în partea stângă a ecuațiilor sistemului și transferăm restul cu semne opuse în partea dreaptă: 
Oferim variabilelor necunoscute libere x 2 și x 5 valori arbitrare, adică luăm 
, unde sunt numere arbitrare. În acest caz, SLAE ia forma 
Rezolvăm sistemul elementar de ecuații algebrice liniare obținut prin metoda Cramer: 
Prin urmare, .
În răspuns, nu uitați să indicați variabile necunoscute gratuite.
Răspuns:
Unde sunt numerele arbitrare.
Rezuma.
Pentru a rezolva un sistem de ecuații algebrice liniare de formă generală, aflăm mai întâi compatibilitatea acestuia folosind teorema Kronecker-Capelli. Dacă rangul matricei principale nu este egal cu rangul matricei extinse, atunci ajungem la concluzia că sistemul este inconsecvent.
Dacă rangul matricei principale este egal cu rangul matricei extinse, atunci alegem minorul de bază și renunțăm la ecuațiile sistemului care nu participă la formarea minorului de bază ales.
Dacă ordinea de bază minoră este egal cu numărul variabile necunoscute, atunci SLAE are o soluție unică care poate fi găsită prin orice metodă cunoscută de noi.
Dacă ordinea bazei minore este mai mică decât numărul de variabile necunoscute, atunci lăsăm termenii cu principalele variabile necunoscute în partea stângă a ecuațiilor sistemului, transferăm termenii rămași în partea dreaptă și atribuim valori arbitrare. la variabilele necunoscute libere. Din sistemul de ecuații liniare rezultat, găsim principalele necunoscute variabilele metodei Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.
Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.
Folosind metoda Gauss, se pot rezolva sisteme de ecuații algebrice liniare de orice fel fără investigația lor preliminară pentru compatibilitate. Procesul de eliminare succesivă a variabilelor necunoscute face posibilă tragerea unei concluzii atât despre compatibilitatea, cât și despre inconsecvența SLAE, iar dacă există o soluție, face posibilă găsirea acesteia.
Din punct de vedere munca de calcul se preferă metoda Gauss.
Priveste descriere detaliatași a analizat exemple în articolul Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.
Înregistrarea soluției generale a sistemelor algebrice liniare omogene și neomogene folosind vectorii sistemului fundamental de soluții.
In aceasta sectiune vom vorbi despre sisteme comune omogene și neomogene de ecuații algebrice liniare cu un număr infinit de soluții.
Să ne ocupăm mai întâi de sisteme omogene.
Sistem de decizie fundamental Un sistem omogen de p ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute este o mulțime de (n – r) soluții liniar independente ale acestui sistem, unde r este ordinul bazei minore a matricei principale a sistemului.
Dacă desemnăm soluții liniar independente ale unui SLAE omogen ca X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) sunt coloane de matrice de dimensiunea n prin 1 ) , atunci soluția generală a acestui sistem omogen este reprezentată ca o combinație liniară de vectori ai sistemului fundamental de soluții cu coeficienți constanți arbitrari С 1 , С 2 , …, С (n-r), adică .
Ce înseamnă termenul de soluție generală a unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare (oroslau)?
Sensul este simplu: formula stabilește totul solutii posibile SLAE original, cu alte cuvinte, luând orice set de valori ale constantelor arbitrare С 1 , С 2 , …, С (n-r) , conform formulei obținem una dintre soluțiile SLAE omogen original.
Astfel, dacă găsim un sistem fundamental de soluții, atunci putem seta toate soluțiile acestui SLAE omogen ca .
Să arătăm procesul de construire a unui sistem fundamental de soluții pentru un SLAE omogen.
Alegem minorul de bază al sistemului original de ecuații liniare, excludem toate celelalte ecuații din sistem și transferăm în partea dreaptă a ecuațiilor sistemului cu semne opuse toți termenii care conțin variabile necunoscute libere. Să dăm variabilelor necunoscute libere valorile 1,0,0,…,0 și să calculăm principalele necunoscute prin rezolvarea sistemului elementar rezultat de ecuații liniare în orice mod, de exemplu, prin metoda Cramer. Astfel, se va obține X (1) - prima soluție a sistemului fundamental. Dacă este oferit gratuit valori necunoscute 0,1,0,0,…,0 și calculați principalele necunoscute, apoi obținem X (2) . Si asa mai departe. Dacă dăm variabilelor necunoscute libere valorile 0,0,…,0,1 și calculăm principalele necunoscute, atunci obținem X (n-r) . Așa se va construi sistemul fundamental de soluții al SLAE omogen și soluția sa generală poate fi scrisă sub forma .
Pentru sistemele neomogene de ecuații algebrice liniare, soluția generală este reprezentată ca
Să ne uităm la exemple.
Exemplu.
Aflați sistemul fundamental de soluții și soluția generală a unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare 
.
Soluţie.
Rangul matricei principale a sistemelor omogene de ecuații liniare este întotdeauna egal cu rangul matricei extinse. Să găsim rangul matricei principale prin metoda franjării minorilor. Ca un minor de ordinul întâi, diferit de zero, luăm elementul a 1 1 = 9 din matricea principală a sistemului. Găsiți minorul de ordinul doi care se limitează la zero: 
Se găsește un minor de ordinul doi, diferit de zero. Să trecem prin minorii de ordinul trei care se învecinează cu acesta în căutarea unuia diferit de zero: 
Toți minorii învecinați de ordinul al treilea sunt egali cu zero, prin urmare, rangul matricei principale și extinse este de doi. Să luăm minorul de bază. Pentru claritate, notăm elementele sistemului care îl formează: 
A treia ecuație a SLAE originală nu participă la formarea minorului de bază, prin urmare, poate fi exclusă: 
Lăsăm termenii care conțin principalele necunoscute în partea dreaptă a ecuațiilor și transferăm termenii cu necunoscute libere în partea dreaptă:
Să construim un sistem fundamental de soluții la sistemul omogen original de ecuații liniare. Sistemul fundamental de soluții al acestui SLAE constă din două soluții, deoarece SLAE original conține patru variabile necunoscute, iar ordinea minorului său de bază este două. Pentru a găsi X (1), dăm variabilelor necunoscute libere valorile x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, apoi găsim principalele necunoscute din sistemul de ecuații 
.
Soluţie fă-o cu un calculator. Scriem matricele extinse și principale: 
Matricea principală A este despărțită printr-o linie punctată De sus scriem sistemele necunoscute, ținând cont de posibila permutare a termenilor în ecuațiile sistemului. Determinând rangul matricei extinse, găsim simultan și rangul matricei principale. În matricea B, prima și a doua coloană sunt proporționale. Dintre cele două coloane proporționale, doar una poate cădea în minorul de bază, așa că să mutăm, de exemplu, prima coloană dincolo de linia întreruptă cu semnul opus. Pentru sistem, aceasta înseamnă transferul de termeni de la x 1 în partea dreaptă a ecuațiilor. 
Aducem matricea într-o formă triunghiulară. Vom lucra numai cu rânduri, deoarece înmulțirea unui rând de matrice cu un alt număr decât zero și adăugarea la un alt rând pentru sistem înseamnă înmulțirea ecuației cu același număr și adăugarea acesteia la o altă ecuație, ceea ce nu schimbă soluția sistemului . Lucrul cu primul rând: înmulțiți primul rând al matricei cu (-3) și adăugați la rândul al doilea și al treilea rând. Apoi înmulțim primul rând cu (-2) și îl adăugăm la al patrulea. 
A doua și a treia linie sunt proporționale, prin urmare, una dintre ele, de exemplu a doua, poate fi tăiată. Acest lucru este echivalent cu ștergerea celei de-a doua ecuații a sistemului, deoarece este o consecință a celei de-a treia. 
Acum lucrăm cu a doua linie: înmulțiți-o cu (-1) și adăugați-o la a treia. 
Minorul punctat are cel mai mare ordin (dintre toate minorele posibile) și este diferit de zero (este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principală), iar acest minor aparține atât matricei principale, cât și celei extinse, deci rangA = rangB = 3 .
Minor 
este de bază. Include coeficienți pentru necunoscut x 2, x 3, x 4, ceea ce înseamnă că necunoscutele x 2, x 3, x 4 sunt dependente și x 1, x 5 sunt libere.
Transformăm matricea, lăsând în stânga doar minorul de bază (care corespunde punctului 4 al algoritmului de soluție de mai sus). 
Sistemul cu coeficienți ai acestei matrice este echivalent cu sistemul original și are forma
Prin metoda eliminării necunoscutelor găsim: 
, ,
Am obținut relații care exprimă variabile dependente x 2, x 3, x 4 prin liber x 1 și x 5, adică am găsit o soluție generală: 
Oferind valori arbitrare necunoscutelor libere, obținem orice număr de soluții particulare. Să găsim două soluții speciale:
1) fie x 1 = x 5 = 0, apoi x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) pune x 1 = 1, x 5 = -1, apoi x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Astfel, am găsit două soluții: (0,1, -3,3,0) - o soluție, (1,4, -7,7, -1) - o altă soluție.
Exemplul 2. Investigați compatibilitatea, găsiți o soluție generală și una particulară a sistemului 
Soluţie. Să rearanjam prima și a doua ecuație pentru a avea o unitate în prima ecuație și să scriem matricea B. 
Obținem zerouri în a patra coloană, operând pe primul rând: 
Acum obțineți zerourile din a treia coloană folosind al doilea rând: 
Al treilea și al patrulea rând sunt proporționale, astfel încât unul dintre ele poate fi tăiat fără a schimba rangul:
Înmulțiți al treilea rând cu (-2) și adăugați la al patrulea: 
Vedem că rândurile matricelor principale și extinse sunt 4, iar rangul coincide cu numărul de necunoscute, prin urmare, sistemul are o soluție unică:
;
x 4 \u003d 10- 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 \u003d 11.
Exemplul 3. Examinați sistemul pentru compatibilitate și găsiți o soluție dacă există. 
Soluţie. Compunem matricea extinsă a sistemului. 
Rearanjați primele două ecuații astfel încât să existe un 1 în colțul din stânga sus:
Înmulțind primul rând cu (-1), îl adăugăm la al treilea: 
Înmulțiți a doua linie cu (-2) și adăugați la a treia: 
Sistemul este inconsecvent, deoarece matricea principală a primit un rând format din zerouri, care este tăiat când este găsit rangul, iar ultimul rând rămâne în matricea extinsă, adică r B > r A .
Exercițiu. Cercetare acest sistem ecuații de compatibilitate și rezolvați-l cu ajutorul calculului matriceal.
Soluţie
Exemplu. Demonstrați compatibilitatea unui sistem de ecuații liniare și rezolvați-l în două moduri: 1) prin metoda Gauss; 2) Metoda lui Cramer. (introduceți răspunsul sub forma: x1,x2,x3)
Soluție :doc :doc :xls
Răspuns: 2,-1,3.
Exemplu. Este dat un sistem de ecuații liniare. Demonstrați compatibilitatea acestuia. Găsiți o soluție generală a sistemului și o soluție particulară.
Soluţie
Răspuns: x 3 \u003d - 1 + x 4 + x 5; x 2 \u003d 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5
Exercițiu. Găsiți soluții generale și particulare pentru fiecare sistem.
Soluţie. Studiem acest sistem folosind teorema Kronecker-Capelli.
Scriem matricele extinse și principale:
| 1 | 1 | 14 | 0 | 2 | 0 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
Aici matricea A este cu caractere aldine.
Aducem matricea într-o formă triunghiulară. Vom lucra numai cu rânduri, deoarece înmulțirea unui rând de matrice cu un alt număr decât zero și adăugarea la un alt rând pentru sistem înseamnă înmulțirea ecuației cu același număr și adăugarea acesteia la o altă ecuație, ceea ce nu schimbă soluția sistemului .
Înmulțiți primul rând cu (3). Înmulțiți al 2-lea rând cu (-1). Să adăugăm a doua linie la prima:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Înmulțiți al 2-lea rând cu (2). Înmulțiți al treilea rând cu (-3). Să adăugăm a treia linie la a doua:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Înmulțiți al 2-lea rând cu (-1). Să adăugăm a doua linie la prima:
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Minorul selectat are cel mai mare ordin (dintre minorii posibili) și este diferit de zero (este egal cu produsul elementelor de pe diagonala reciprocă), iar acest minor aparține atât matricei principale, cât și celei extinse, prin urmare rang( A) = rang(B) = 3 Deoarece rangul matricei principale este egal cu rangul matricei extinse, atunci sistemul este colaborativ.
Acest minor este de bază. Include coeficienți pentru necunoscut x 1, x 2, x 3, ceea ce înseamnă că necunoscutele x 1, x 2, x 3 sunt dependente (de bază) și x 4, x 5 sunt libere.
Transformăm matricea, lăsând doar minorul de bază în stânga.
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -1 | 3 | -6 |
| 2 | 3 | -3 | 1 | -3 | 2 |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
27x3=
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Prin metoda eliminării necunoscutelor găsim:
Am obținut relații care exprimă variabile dependente x 1, x 2, x 3 prin liber x 4, x 5, adică am găsit decizie comună:
x 3 = 0
x2 = 1 - 3x4 + 6x5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
incert, deoarece are mai multe soluții.
Exercițiu. Rezolvați sistemul de ecuații.
Răspuns:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67x 3 + 0,67x 4
Oferind valori arbitrare necunoscutelor libere, obținem orice număr de soluții particulare. Sistemul este incert
- dacă sistemul este colaborativ;
- dacă sistemul este consistent, atunci este definit sau nedefinit (criteriul compatibilității sistemului este determinat de teoremă);
- dacă sistemul este definit, atunci cum să-i găsiți soluția unică (se folosesc metoda Cramer, metoda matricei inverse sau metoda Jordan-Gauss);
- dacă sistemul este nedefinit, atunci cum se descrie setul soluțiilor sale.
Clasificarea sistemelor de ecuații liniare
Un sistem arbitrar de ecuații liniare are forma:a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
...................................................
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a m n x n = b m
- Sisteme de ecuații liniare neomogene (numărul de variabile este egal cu numărul de ecuații, m = n).
- Sisteme arbitrare de ecuații liniare neomogene (m > n sau m< n).
Definiție. Se spune că două sisteme sunt echivalente dacă soluția primului este soluția celui de-al doilea și invers.
Definiție. Un sistem care are cel puțin o soluție este numit comun. Un sistem care nu are nicio soluție se numește inconsistent.
Definiție. Se numește un sistem cu o soluție unică anumit, iar a avea mai multe soluții este nedefinit.
Algoritm pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare
- Găsiți rangurile matricelor principale și extinse. Dacă nu sunt egale, atunci, după teorema Kronecker-Capelli, sistemul este inconsecvent și aici se termină studiul.
- Fie rang(A) = rang(B) . Selectăm minorul de bază. În acest caz, toate sistemele necunoscute de ecuații liniare sunt împărțite în două clase. Necunoscutele, ai căror coeficienți sunt incluși în minorul de bază, se numesc dependente, iar necunoscutele, ai căror coeficienți nu sunt incluși în minorul de bază, se numesc libere. Rețineți că alegerea necunoscutelor dependente și libere nu este întotdeauna unică.
- Tăiem acele ecuații ale sistemului ai căror coeficienți nu au fost incluși în minorul de bază, deoarece sunt consecințe ale restului (conform teoremei minorului de bază).
- Termenii ecuațiilor care conțin necunoscute libere vor fi transferați în partea dreaptă. Ca urmare, obținem un sistem de r ecuații cu r necunoscute, echivalent cu cel dat, al cărui determinant este diferit de zero.
- Sistemul rezultat este rezolvat în una din următoarele moduri: metoda Cramer, metoda matricei inverse sau metoda Jordan-Gauss. Se găsesc relaţii care exprimă variabilele dependente în termenii celor libere.