Numere complexe

Noțiuni de bază

Datele inițiale ale numărului se referă la Epoca de Piatră - Paleomelită. Acestea sunt „unul”, „puțini” și „mulți”. Au fost înregistrate sub formă de crestături, noduri etc. Dezvoltarea proceselor de muncă și apariția proprietății l-au obligat pe om să inventeze numerele și numele acestora. Numerele naturale au apărut pentru prima dată N obţinute prin numărarea obiectelor. Apoi, odată cu nevoia de numărare, oamenii au avut nevoia de a măsura lungimi, suprafețe, volume, timp și alte cantități, acolo unde era necesar să se țină cont de părți din măsura utilizată. Așa s-au născut fracțiile. Fundamentarea formală a conceptelor de număr fracționar și negativ a fost realizată în secolul al XIX-lea. Set de numere întregi Z sunt numere naturale, numere naturale cu semnul minus și zero. Numerele întregi și fracționale au format o mulțime de numere raționale Q, dar chiar și ea s-a dovedit a fi insuficientă pentru a studia în continuă schimbare variabile. Geneza a arătat din nou imperfecțiunea matematicii: imposibilitatea de a rezolva o ecuație de forma X 2 = 3, în legătură cu care au apărut numerele iraționale eu. Unirea mulțimii numerelor raționale Qși numere iraționale eu este mulțimea numerelor reale (sau reale). R. Drept urmare, linia numerică a fost completată: fiecărui număr real corespundea unui punct de pe el. Dar pe platou R nu există nicio modalitate de a rezolva ecuația X 2 = – A 2. În consecință, din nou a fost nevoie de extinderea conceptului de număr. Deci în 1545 au apărut numerele complexe. Creatorul lor, J. Cardano, le-a numit „pur negativ”. Denumirea „imaginar” a fost introdusă în 1637 de francezul R. Descartes, în 1777 Euler a sugerat folosirea primei litere a numărului francez i pentru a desemna unitatea imaginară. Acest simbol a intrat în uz general datorită lui K. Gauss.

În secolele al XVII-lea și al XVIII-lea, a continuat discuția despre natura aritmetică a imaginarilor și interpretarea lor geometrică. Danezul H. Wessel, francezul J. Argan și germanul K. Gauss au sugerat în mod independent ca un număr complex să fie reprezentat printr-un punct pe planul de coordonate. Mai târziu s-a dovedit că era și mai convenabil să reprezinte numărul nu prin punctul în sine, ci prin vectorul care merge în acest punct de la origine.

Abia la sfârșitul secolului al XVIII-lea - începutul secolului al XIX-lea numerele complexe și-au luat locul cuvenit în analiză matematică. Prima lor utilizare este în teorie ecuatii diferentiale iar în teoria hidrodinamicii.

Definiția 1.număr complex se numește o expresie de forma , unde XȘi y sunt numere reale și i este unitatea imaginară, .

două numere complexe și egal dacă și numai dacă , .

Dacă , atunci numărul este apelat pur imaginar; dacă , atunci numărul este un număr real, ceea ce înseamnă că mulțimea R CU, Unde CU- o multime de numere complexe.

Conjugat unui număr complex se numește număr complex.

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe.

Orice număr complex poate fi reprezentat printr-un punct. M(X, y) avion Oxy. O pereche de numere reale denotă, de asemenea, coordonatele vectorului rază , adică între mulţimea vectorilor de pe plan şi mulţimea numerelor complexe se poate stabili o corespondenţă unu-la-unu: .

Definiția 2.Parte reală X.

Desemnare: X= Re z(din latinescul Realis).

Definiția 3.parte imaginară număr complex se numește număr real y.

Desemnare: y= Sunt z(din latinescul Imaginarius).

Re z se depune pe axa ( Oh), Sunt z se depune pe axa ( Oi), atunci vectorul corespunzător numărului complex este vectorul rază a punctului M(X, y), (sau M(Re z, Sunt z)) (Fig. 1).

Definiția 4. Se numește un plan ale cărui puncte sunt asociate cu o mulțime de numere complexe plan complex. Abscisa se numește axa reală, deoarece conține numere reale . Axa y se numește axa imaginară, conține numere complexe pur imaginare . Se notează mulțimea numerelor complexe CU.

Definiția 5.modul număr complex z = (X, y) este lungimea vectorului : , i.e. .

Definiția 6.Argument număr complex se numește unghiul dintre direcția pozitivă a axei ( Oh) și vector: .

Modelați numerele

În dispozitivele digitale, există două forme de imagini ale numerelor: cu un fix і comă plutitoare.

În primul paragraf, erau vizibile doar câteva numere pozitive. Formula (1.14) oferă posibilitatea afișării unui număr dublu cu un întreg și o parte fracțională și o comă fixă. Semnul unui număr de două cifre cu o comă fixă ​​este dat de un rang suplimentar, care este plasat în fața numerelor. Pentru numere suplimentare, valoarea comenzii suplimentare este egală cu „ 0 ”, pentru imagini - „ 1 ”.

La masa 1.3 există trei opțiuni pentru codificarea ultimului și al doilea număr cu un cod dublu.

Tabelul 1.3.

În prima variantă, după cum reiese din tabele, în secvența dublă codificată, poate exista un loc de zerouri suplimentare și finale, ceea ce poate duce la probleme cu apariția operațiilor aritmetice.

Reprezentarea numerelor date în codul de poartă, de asemenea, nu rezolvă problema de mai sus. Nu vei greși o singură dată, dacă vezi numerele cod suplimentar, care se calculează prin formula:

Pe fig. 1.12 prezintă o interpretare grafică a imaginii numerelor pozitive și negative care sunt similare cu zero cu alternativele codurilor directe și complementare. După cum se va arăta mai târziu, o astfel de formă de reprezentare a numerelor zecimale va simplifica pur și simplu operațiile aritmetice.

Exemplul 1.10. Cunoașteți codul complementar numerelor a zecea: 0 10 , 17 10 , -127 10 .

Rozvyazanya. Cunoaștem două echivalente ale unor numere date:

0 10 = 00000000 2 ; 17 10 = 00010001 2 ; -127 10 = 10000001 2 .

Cunoaștem codul, zvorotnі dvіykovim - vіdpovіdno: 11111111; 11101110; 01111110.

Este cunoscută completarea codurilor numerelor date: 11111111 + 1 = 100000000 2 = 0 10;

11101110 + 1 = 11101111 2 = -17 10 ; 01111110 + 1 = 01111111 2 = 127 10 .

Acum explicăm esența înregistrării numerelor cu o comă fixă. Indiferent dacă numărul din sistemele digitale este preluat de dispozitive speciale de memorie, un rând de skinuri este format dintr-un număr fix de elemente. Coma, care includea în numărul de focuri o parte din numărul de focuri, ocupă într-un rând de memorie o poziție fixă ​​- în fața gradului superior sau după cel tânăr.

Pentru primul tip, valoarea absolută a numărului este mai mică de unu - de exemplu, 0,110101 2. Ca un rând de atribuiri de memorie pentru zece descărcări, atunci numărul din cel nou ar trebui scris așa cum se arată în Fig. 1.13, rangul final de taxă arată semnul numărului, iar reshta - rangul modulului. Evacuările tinerilor din Vilni sunt pline cu zerouri. Oskіlki în vipadku revizuit într-un rând de memorie transferă înregistrarea mai puțin de o parte fracțională a numărului, apoi rezultatele tuturor operațiunilor se datorează valorilor absolute mai mici de unu. Wikonnannya tsієї se gândește să fie sigur de alegerea diferiților factori de scară, pe care se înmulțesc datele externe. Dacă coeficientul de scară al vibrațiilor este incorect, atunci poate exista o reordonare a descărcărilor și aspectul întregii părți, ca și cum ar fi cheltuită, cioburi din grila de descărcare nu vor fi transferate la aspectul її. Cu toate acestea, te voi duce în iad în rezultat, care este scurt de o astfel de metodă.

Într-o altă dispoziție, dacă o comă este fixată după cea mai tânără ordine, poate fi corect cu numere întregi. Deci, de exemplu, numărul 10011 2 dintr-un rând de memorie este plasat în vizibilitatea fig. 1.14, rangul de livy este semn, iar în urma lui în dreapta, cifrele vacante sunt completate cu zerouri. În acest fel, valoarea modulului este un rând îngrădit de memorie.

Numerele cu comă plutitoare transferă imaginea numărului către mantisă, care este înmulțită cu baza sistemului de numere de la etapă, care este setat în ordine. De exemplu, numărul 200 este scris ca 0,2 × 10 3, iar numărul 0,000312 - ca 0,312 × 10 -3. Vidpovidno zapisyutsya și numere dvіykovі. Mantisa și ordinea sunt afișate într-un cod dublu, iar baza este două. De exemplu, numărul 0,111 × 2 10 \u003d 11,10 2 din al zecelea sistem este afișat ca 0,875 × 2 2 \u003d 3,5 10. Într-un rând de memorie, astfel de numere sunt luate din două grupuri de numere: primul grup - mantis - determină numărul în sine, celălalt - ordinea - locul Komi în număr (Fig. 1.15).

La elementul zero al rândului de memorie, este afișat semnul numărului (pentru numărul dublu dat, care este scris în rândul de memorie - „ 0 ”). Distanțele sunt stabilite în ordinea numărului însuși (stowpts 1...8). Dacă este dat de un număr mai mic de rânduri, atunci elementele de memorie din partea dreaptă a numărului sunt umplute cu zerouri. La ordinul a noua este afisat semnul ordinii, iar in resht, prin analogie cu mantisa, - numarul care semnifica ordinea. Cu o astfel de înregistrare, valoarea numărului este setată în așa fel încât prima cifră semnificativă a mantisului să nu fie egală cu „ 0 ". Această formă de intrare se numește normal.

Numărul suplimentar minim, care poate fi scris în forma normală într-un rând de memorie, este determinat de mantisa minimă 0.1000..0 2 și ordinea maximă de ieșire 111..1 2 . Cu o cantitate kîn ordinea minimului zece, numărul care poate fi notat este determinat de formula:

. (1.15)

Numărul maxim de matimemo la valoarea maximă a mantis (0,111 ... 1) 2 și ordinul suplimentar maxim (111 ... 1 2) = 2 k– 1, atunci

Gamă D numerele reprezentate în formă normală, după cum rezultă din formulele (1.15) și (1.16), înseamnă doar un număr k. De exemplu, pentru k= 6 este cunoscut:

; .

Precizia înregistrării numărului este stabilită de numărul de comenzi m mantici. Dacă numărul de ranguri ale numărului inversează numărul de ranguri introduse în mantis, atunci numărul este rotunjit la numărul necesar. Regula pentru rotunjirea a două numere în acest fel este următoarea: dacă ordinea superioară a părții cuvântului care se vede este una, atunci se adaugă unul la cel mai tânăr ordin al mantisului. Cu o astfel de cifră absolută rotunjită, imaginea mantisului nu depășește jumătate din coeficientul categoriei mantis tinere, care este luată, tobto:

Vrakhovuchi, că în forma normală a înregistrării mantisului nu poate fi mai mică de 0,5, o eroare evidentă η:

De exemplu, când m= 24 maєmo:

.

În sistemele digitale de astăzi pentru afișarea numerelor cu comă plutitoare, se utilizează un rând de octeți dozhinoy chotiri. Cu 23 de descărcări, setați mantis și 7 - magnitudinea comenzii. Gama de numere care sunt afișate este pliată de la ± 2 127 la ± 2 -127 .

Variația numerelor cu comă flotantă va extinde și simplifica reprezentarea numerelor, dar versatilitatea operațiunilor pe astfel de numere este mai colaborativă, mai mică în cazul numerelor cu comă fixă.

Se poate obține o reprezentare geometrică expresivă a sistemului de numere raționale în felul următor.

Orez. 8. Axa numerelor

Pe o linie dreaptă, „axa numerică”, marchem segmentul de la 0 la 1 (Fig. 8). Aceasta stabilește lungimea segmentului de unitate, care, în general, poate fi aleasă în mod arbitrar. Numerele întregi pozitive și negative sunt apoi descrise ca un set de puncte egal distanțate pe axa numerelor, și anume, numerele pozitive sunt marcate la dreapta, iar cele negative la stânga punctului 0. Pentru a reprezenta numerele cu un numitor, împărțim fiecare a segmentelor obținute de unitate de lungime în părți egale; punctele de împărțire vor reprezenta fracții cu un numitor. Dacă facem acest lucru pentru valorile corespunzătoare tuturor numerelor naturale, atunci fiecare Numar rational vor fi descrise printr-un punct de pe axa numerică. Vom fi de acord să numim aceste puncte „raționale”; în general, termenii „număr rațional” și „punct rațional” vor fi folosiți ca sinonimi.

În Capitolul I, § 1, a fost definită relația de inegalitate pentru numerele naturale. Pe axa numerelor, acest raport se reflectă astfel: dacă numar natural A este mai mic decât numărul natural B, atunci punctul A se află la stânga punctului B. Deoarece relația geometrică specificată este stabilită pentru orice pereche de puncte raționale, este firesc să încercăm să generalizăm relația de inegalitate aritmetică într-un astfel de mod de a păstra această ordine geometrică pentru punctele luate în considerare. Acest lucru reușește dacă acceptăm următoarea definiție: spuneți că numărul rațional A este mai mic decât numărul rațional sau că numărul B este mai mare decât numărul dacă diferența este pozitivă. Rezultă din aceasta (pentru ) că punctele (numerele) dintre sunt cele care

simultan Fiecare astfel de pereche de puncte, împreună cu toate punctele dintre ele, se numește segment (sau segment) și este notat (și numai mulțimea de puncte intermediare se numește interval (sau interval), notat cu

Distanța unui punct arbitrar A față de originea 0, considerată ca număr pozitiv, se numește valoarea absolută a lui A și se notează cu simbolul

Conceptul de " valoare absolută» se definește astfel: dacă , atunci dacă atunci Este clar că dacă numerele au același semn, atunci egalitatea este adevărată dacă au semne diferite, Acea . Combinând aceste două rezultate împreună, ajungem la inegalitatea generală

care este valabil indiferent de semne

Un fapt de importanță fundamentală este exprimat prin următoarea propoziție: punctele raționale sunt peste tot dense pe dreapta numerică. Sensul acestei afirmații este că în interiorul oricărui interval, oricât de mic ar fi acesta, există puncte raționale. Pentru a verifica validitatea afirmației enunțate, este suficient să luăm un număr atât de mare încât intervalul ( va fi mai mic decât intervalul dat; atunci cel puțin unul dintre punctele formei va fi în interiorul acestui interval. Deci, există nu există un astfel de interval pe axa numerelor (chiar și cel mai mic, care poate fi imaginat), în care nu ar exista puncte raționale. Aceasta implică un corolar suplimentar: fiecare interval conține un număr infinit de puncte raționale. Într-adevăr, dacă un anumit interval ar conține doar un numar finit de puncte rationale, apoi in interiorul intervalului format din doua astfel de puncte invecinate, nu ar mai exista puncte rationale, iar acest lucru contrazice ceea ce tocmai s-a dovedit.

NUMERE REALE II

§ 44 Reprezentarea geometrică a numerelor reale

Numerele reale din punct de vedere geometric, ca și numerele raționale, sunt reprezentate prin puncte pe o dreaptă.

Lăsa l - o linie dreaptă arbitrară, iar O - unele dintre punctele sale (Fig. 58). Fiecare număr real pozitiv α pune in corespondenta punctul A, situat in dreapta lui O la o distanta de α unități de lungime.

Dacă, de exemplu, α = 2,1356..., atunci

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

etc. Este evident că punctul A în acest caz trebuie să fie pe linie l în dreapta punctelor corespunzătoare numerelor

2; 2,1; 2,13; ... ,

dar în stânga punctelor corespunzătoare numerelor

3; 2,2; 2,14; ... .

Se poate arăta că aceste condiții se definesc pe linie l singurul punct A, pe care îl considerăm ca imagine geometrică a unui număr real α = 2,1356... .

La fel, fiecare număr real negativ β pune in corespondenta punctul B situat in stanga lui O la o distanta de | β | unități de lungime. În cele din urmă, atribuim punctul O numărului „zero”.

Deci, numărul 1 va fi afișat pe o linie dreaptă l punctul A, situat în dreapta lui O la o distanță de o unitate de lungime (Fig. 59), numărul - √2 - punctul B, situat în stânga lui O la o distanță de √2 unități de lungime etc.

Să arătăm cum pe linie dreaptă l folosind o busolă și o riglă, puteți găsi puncte corespunzătoare numerelor reale √2, √3, √4, √5 etc. Pentru a face acest lucru, în primul rând, vom arăta cum să construim segmente ale căror lungimi sunt exprimate prin aceste numere. Fie AB un segment luat ca unitate de lungime (Fig. 60).

În punctul A, refacem o perpendiculară pe acest segment și lăsăm deoparte pe acesta segmentul AC, egal cu segmentul AB. Apoi, aplicând teorema lui Pitagora triunghiului dreptunghic ABC, obținem; BC \u003d √AB 2 + AC 2 \u003d √1 + 1 \u003d √2

Prin urmare, segmentul BC are lungimea √2. Acum să restabilim perpendiculara pe segmentul BC în punctul C și să alegem punctul D de pe acesta, astfel încât segmentul CD să fie egal cu lungimea unității AB. Apoi de la triunghi dreptunghic Găsire BCD:

ВD \u003d √BC 2 + CD 2 \u003d √2 + 1 \u003d √3

Prin urmare, segmentul BD are lungimea √3. Continuând procesul descris în continuare, am putea obține segmentele BE, BF, ..., ale căror lungimi sunt exprimate prin numerele √4, √5 etc.

Acum pe linie l ușor de găsit acele puncte care servesc imagine geometrică numerele √2 , √3 , √4 , √5 etc.

Punând, de exemplu, în dreapta punctului O segmentul BC (Fig. 61), obținem punctul C, care servește ca reprezentare geometrică a numărului √2. În același mod, amânând segmentul BD din dreapta punctului O, obținem punctul D", care este imaginea geometrică a numărului √3 etc.

Cu toate acestea, nu ar trebui să credeți că cu ajutorul unei busole și a unei rigle pe o dreaptă numerică l se poate găsi un punct corespunzător oricărui număr real dat. S-a dovedit, de exemplu, că, având la dispoziție doar o busolă și o riglă, este imposibil să construiești un segment a cărui lungime să fie exprimată prin numărul π = 3,14 ... . Deci pe linia numerică l folosind astfel de construcții, este imposibil să se indice un punct corespunzător acestui număr, dar un astfel de punct există.

Deci pentru fiecare număr real α este posibil să se asocieze un punct bine definit al dreptei l . Acest punct va fi separat de punctul de plecare O la o distanță de | α | unități de lungime și să fie la dreapta lui O dacă α > 0, iar la stânga lui O dacă α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две diverse puncte Drept l . Într-adevăr, lasă numărul α corespunde punctului A și numărului β - punctul B. Atunci, dacă α > β , atunci A va fi la dreapta lui B (Fig. 62, a); dacă α < β , atunci A se va afla în stânga lui B (Fig. 62, b).

Vorbind în § 37 despre reprezentarea geometrică a numerelor raționale, ne-am pus întrebarea: orice punct al unei drepte poate fi considerat ca o imagine geometrică a unora? raţional numere? La acea vreme nu puteam da un răspuns la această întrebare; acum putem răspunde cu siguranță. Există puncte pe linie care servesc ca reprezentare geometrică a numerelor iraționale (de exemplu, √2). Prin urmare, nu orice punct de pe o dreaptă reprezintă un număr rațional. Dar în acest caz, se ridică o altă întrebare: orice punct al dreptei reale poate fi considerat ca o imagine geometrică a unora valabil numere? Această problemă a fost deja rezolvată pozitiv.

Într-adevăr, fie A un punct arbitrar pe linie l , situată în dreapta lui O (Fig. 63).

Lungimea segmentului OA este exprimată printr-un număr real pozitiv α (vezi § 41). Prin urmare, punctul A este imaginea geometrică a numărului α . În mod similar, se stabilește că fiecare punct B, situat la stânga lui O, poate fi considerat ca o imagine geometrică a unui număr real negativ - β , Unde β - lungimea segmentului VO. În cele din urmă, punctul O servește ca reprezentare geometrică a numărului zero. Este clar că două puncte distincte ale liniei l nu poate fi imaginea geometrică a aceluiași număr real.

Din motivele expuse mai sus, o linie dreaptă pe care un punct O este indicat ca punct „inițial” (pentru o anumită unitate de lungime) se numește linie numerică.

Concluzie. Mulțimea tuturor numerelor reale și mulțimea tuturor punctelor dreptei reale sunt într-o corespondență unu-la-unu.

Aceasta înseamnă că fiecărui număr real îi corespunde un punct bine definit al dreptei numerice și, invers, fiecărui punct al dreptei numerice, cu o astfel de corespondență, îi corespunde un număr real bine definit.

Exerciții

320. Aflați care dintre cele două puncte se află pe dreapta numerică la stânga și care la dreapta, dacă aceste puncte corespund numerelor:

a) 1,454545... și 1,455454...; c) 0 şi - 1,56673...;

b) - 12,0003... și - 12,0002...; d) 13.24... și 13.00....

321. Aflați care dintre cele două puncte este mai departe de punctul de pornire O pe dreapta numerică, dacă aceste puncte corespund numerelor:

a) 5,2397... și 4,4996...; .. c) -0,3567... și 0,3557... .

d) - 15,0001 și - 15,1000...;

322. În această secțiune s-a arătat că pentru a construi un segment de lungime √ n folosind o busolă și o linie dreaptă, puteți face următoarele: mai întâi construiți un segment cu lungimea de √2, apoi un segment cu lungimea de √3 etc., până ajungem la un segment cu lungimea de √ n . Dar pentru fiecare fix P > 3 acest proces poate fi accelerat. Cum, de exemplu, ați începe să construiți un segment de lungime √10?

323*. Cum să folosiți o busolă și o riglă pentru a găsi un punct pe linia numerică corespunzătoare numărului 1 / α , dacă poziţia punctului corespunzător numărului α , cunoscut?