Definiție și metode de specificare a unei secvențe numerice. Secvențe numerice și cum să le setați

2. Determinați operație aritmetică, cu ajutorul căruia s-a obținut media din cele două numere extreme, iar în locul semnului * se introduce numărul care lipsește: ,3104.62.51043.60.94

3. Elevii au rezolvat sarcina în care se cere găsirea numerelor lipsă. Au primit răspunsuri diferite. Găsiți regulile după care băieții au completat celulele. Sarcină Răspuns 1 Răspuns

Definiție succesiune de numere Se spune că o secvență numerică este dată dacă, conform unei legi, un anumit număr (un membru al șirului) este atribuit în mod unic oricărui număr natural (număr de loc). În termeni generali, această corespondență poate fi reprezentată astfel: y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, ..., y n, ... ... n ... Numărul n este n- al-lea membru al secvenței. Întreaga secvență este de obicei notă (y n).

Mod analitic de specificare a secvenţelor numerice O secvenţă este specificată analitic dacă se specifică formula celui de-al n-lea membru. De exemplu, 1) y n= n 2 - alocarea analitică a secvenței 1, 4, 9, 16, ... 2) y n= С - secvența constantă (staționară) 2) y n= 2 n - alocarea analitică a secvenței 2 , 4, 8, 16, … Rezolvați 585

Metoda recurentă de precizare a secvenţelor numerice Metoda recurentă de precizare a unei secvenţe constă în specificarea unei reguli care să permită calcularea celui de-al n-lea termen dacă sunt cunoscuţi termenii anteriori ai acestuia 1) progresie aritmetică este dat de relații recursive a 1 =a, a n+1 =a n + d 2) progresie geometrică - b 1 =b, b n+1 =b n * q

Ancorare 591, 592 (a, b) 594, – 614 (a)

Delimitat superior Se spune că o secvență (y n) este mărginită de sus dacă toți membrii săi sunt cel mult un anumit număr. Cu alte cuvinte, o secvență (y n) este mărginită de sus dacă există un număr M astfel încât pentru orice n să fie valabilă inegalitatea y n M. M este limita superioară a șirului De exemplu, -1, -4, -9, -16, …, -n 2, …

Mărginită de jos O secvență (y n) se numește mărginită de jos dacă toți membrii ei sunt cel puțin un număr. Cu alte cuvinte, șirul (y n) este mărginit de sus dacă există un număr m astfel încât pentru orice n inegalitatea y n m să fie valabilă. m este limita inferioară a secvenței De exemplu, 1, 4, 9, 16, …, n 2, …

Mărginirea unei secvențe O secvență (y n) se numește mărginită dacă este posibil să se specifice două numere A și B între care se află toți membrii șirului. Inegalitatea Ay n B A este limita inferioară, B este limita superioară De exemplu, 1 este limita superioară, 0 este limita inferioară

Secvență descrescătoare O secvență se numește descrescătoare dacă fiecare membru este mai mic decât cel precedent: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > ... > y n > ... De exemplu, y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … De exemplu, „> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … De exemplu,”> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … De exemplu," title="Secvență descendentă O secvență se numește descrescătoare dacă fiecare dintre membrii săi este mai mic decât cel anterior: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … De exemplu,"> title="Secvență descrescătoare O secvență se numește descrescătoare dacă fiecare membru este mai mic decât cel precedent: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > ... > y n > ... De exemplu,"> !} 23

Lucrare de verificare Opțiunea 1Opțiunea 2 1. Succesul numeric este dat de formula a) Calculați primii patru termeni ai acestei secvențe b) Numărul este membru al șirului? b) Este numărul 12,25 un membru al succesiunii? 2. Formulați al treilea termen al șirului 2, 5, 10, 17, 26,…1, 2, 4, 8, 16,…

Lecția #32 ALGEBRA	Profesor de matematică, categoria I Gaun Olga Viktorovna. Regiunea Kazahstanului de Est districtul Glubokovsky KSU „Cheremshanskaya liceu»
Subiect: Secvență numerică și modalități de setare
Principalele scopuri și obiective ale lecției	Educational: explicați elevilor sensul conceptelor de „secvență”, „al-lea membru al secvenței”; Aflați despre metodele de secvențiere. în curs de dezvoltare I: dezvoltarea abilităților de gândire logică; dezvoltarea abilităților de calcul; dezvoltare culturală vorbire orală, dezvoltarea comunicării și cooperării.Educational : educarea observaţiei, insuflarea dragostei şi interesului pentru subiect.
Rezultate așteptate ale stăpânirii subiectului	În timpul lecției, ei vor dobândi cunoștințe noi despre secvențele numerice și despre cum să le stabilească. Învață să găsești decizia corectă, întocmește un algoritm de soluție și folosește-l la rezolvarea sarcinilor. Prin cercetare, unele dintre proprietățile lor vor fi descoperite. Toate lucrările sunt însoțite de diapozitive. Utilizarea TIC va face posibilă desfășurarea unei lecții într-un mod plin de viață, efectuarea unui volum mare de muncă, va exista un interes sincer și o percepție emoțională din partea copiilor. Elevii talentați vor face o prezentare despre numerele Fibonacci și raportul de aur. Activități de învățare universale, a căror formare este vizată proces educațional: capacitatea de a lucra în perechi, de a dezvolta gândirea logică, capacitatea de a analiza, explora, trage concluzii, a-și apăra punctul de vedere. Învățați abilitățile de comunicare și colaborare. Utilizarea acestor tehnologii contribuie la dezvoltarea elevilor moduri universale activitate, experiență de activitate creativă, competență, sociabilitate.
Idei cheie pentru lecții	Noi abordări în predare și învățare Învățare prin dialog Predarea cum să înveți Training pentru gândirea critică Predarea copiilor talentați și supradotați
Tipul de lecție	Studiu subiect nou
Metode de predare	Vizual (prezentare), verbal (conversație, explicație, dialog), practic.
Forme de organizare activități de învățare studiu	frontal; baie de aburi; individual.

ÎN CURILE CURĂRILOR

Organizarea timpului

(Salutarea elevilor, identificarea absenților, verificarea pregătirii elevilor pentru lecție, organizarea atenției).

Motivația lecției.

„Numerele conduc lumea”, au spus oamenii de știință greci antici. „Totul este un număr”. Conform concepției lor filozofice, numerele guvernează nu numai măsura și greutatea, ci și fenomenele care apar în natură și sunt esența armoniei care domnește în lume. Astăzi în lecție vom continua să lucrăm cu numere.

Introducere în subiect, învățarea de material nou.

Să vă testăm abilitățile de logică. Voi enumera câteva cuvinte și ar trebui să continuați:

–Luni Marți,…..

– Ianuarie februarie Martie…;

– Aliev, Gordeeva, Gribacheva ... (lista clasei);

–10,11,12,…99;

Concluzie: Acestea sunt secvențe, adică niște serii ordonate de numere sau concepte, când fiecare număr sau concept este strict la locul său. Deci, tema lecției este consistența.

Astăzi vom facevorbiți despre tipurile și componentele secvențelor numerice, precum și despre cum să le setați.Secvențele vor fi notate astfel: (аn), (bn), (сn), etc.

Și acum vă propun prima sarcină: înainte sunt câteva secvențe numerice și o descriere verbală a acestor secvențe. Trebuie să găsiți modelul fiecărei serii și să corelați cu descrierea. (arata cu sageata)(verificare reciprocă)

Serii pe care le-am luat în considerare sunt exemplesecvențe de numere .

Elementele care formează o secvență sunt numitemembrii secvenței Șise numesc respectiv primul, al doilea, al treilea,...n- orice membri ai secvenței. Termenii secvenței sunt notați caA 1 ; A 2 ; A 3 ; A 4 ; … A n ; Unde n - număr , sub care numărul dat este în succesiune.
Secvențele de pe ecran sunt:
( Pe secvențele enumerate, forma de scriere a unui membru al secvenței a n , și conceptele termenilor anteriori și următori ) .
3; 6; 9; 12; 15; 18;…
5, 3, 1, -1.
1, 4, 9, 16 ,…
–1; 2; –3; 4; –5; 6; …
3; 3; 3; 3; …; 3; … .

Numele a 1 pentru fiecare secvență și 3 etc. Ați putea continua fiecare dintre aceste rânduri? Ce trebuie să știi pentru asta?

Să aruncăm o privire la concepte precumurmătorul și anterior .

(de exemplu, pentru a 5…, a pentru a n ?) - intrare pe slideA n +1, A n -1

Tipuri de secvențe
( pe secvențele enumerate mai sus, deprinderea este elaborată pentru a determina tipurile de secvențe )
1) Crescator - daca fiecare termen este mai mic decat urmatorul, i.e.A n < A n +1.
2) Descrescator - daca fiecare termen este mai mare decat urmatorul, i.e.A n > A n +1 .
3) Nesfârșit
4) Ultima
5) Alternand
6) constantă (staționară)

Încercați să definițifiecare specie și descrieți fiecare dintre secvențele propuse.

Sarcini pentru lucru oral

Nume în secvența 1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; … 1/n; 1/(n+1) termeni a 1 ; A 4 ; A 10 ; A n ;

Este succesiunea de numere din patru cifre finită? (Da)

Numiți primii și ultimii săi membri. (Răspuns: 1000; 9999)

Este succesiunea de scriere a numerelor 2; 4; 7; 1; -21; -15; …? (nu, deoarece este imposibil de detectat vreo regularitate din primii șase termeni)

Pauza fizica (legat și de tema lecției de astăzi: cerul înstelat, planetele sistemului solar... care este legătura?)

Metode de secvențiere
1) verbal - stabilirea unei secvențe cu o descriere;
2) analitic - prin formulan -al-lea membru;
3) grafic - folosind un grafic;
4) recurent - orice membru al secvenței, începând de la unii, se exprimă prin precedentul
Astăzi în lecție vom analiza primele două metode. Asa de,verbal cale. Poate unul dintre voi va încerca să stabilească o secvență?

(De exemplu:Faceți o succesiune de numere naturale impare . Descrieți această secvență: crescător, infinit)
Analitic metoda: folosind formula celui de-al n-lea membru al secvenței.

Formula generală a termenului vă permite să calculați un termen de secvență cu orice număr dat. De exemplu, dacă x n =3n+2, atunci

X 1 =3*1+2=5;

X 2 =3*2+2=8

X 5 =3 . 5+2=17;

X 45 =3 . 45+2=137 etc. Deci care este avantajulanalitic cu mult înainteverbal ?

Și vă propun următoarea sarcină: sunt date formule pentru precizarea unor secvențe și secvențele în sine formate din aceste formule. Unii dintre termeni lipsesc din aceste secvențe. Sarcina ta,lucrând în perechi , completează spațiile.

Autotestare (răspunsul corect apare pe diapozitiv)

Performanţă proiect creativ„Numerele Fibonacci” (sarcina de conducere )

Astăzi ne vom familiariza cu celebra secvență:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ..., (Diapozitiv) Fiecare număr, începând de la al treilea, este egal cu suma celor două anterioare. Această serie de numere naturale, care își poartă numele istoric - seria Fibonacci, are propria sa logică și frumusețe. Leonardo Fibonacci (1180-1240). Un matematician italian proeminent, autor al cărții Abacus. Această carte a rămas timp de câteva secole principalul depozit de informații despre aritmetică și algebră. Conform lucrărilor lui L. Fibonacci, toată Europa a stăpânit cifrele arabe, sistemul de numărare, precum și geometria practică. Au rămas manuale pentru desktop, aproape până în epoca lui Descartes (și asta este deja secolul al XVII-lea!).

Vizionarea unui videoclip.

Probabil că nu ați înțeles prea bine care este legătura dintre spirală și seria Fibonacci. Așa că vă voi arăta cum iese .

Dacă construim două pătrate una lângă alta cu latura 1, atunci pe latura mai mare egală cu 2 cealaltă, apoi pe latura mai mare egală cu 3 un alt pătrat deci la infinit... Apoi în fiecare pătrat, începând de la cel mai mic, construim un sfert de arc, obținem o spirală, care este vorbirea în film.

De fapt uz practic cunoștințele acumulate în această lecție viata reala destul de mare. Iată mai multe sarcini din diferite domenii științifice.

(Munca individuala)

Sarcina 1.

16, 15, 18, … (17, 20, 19)

1, 2, 2, 4, 8, … (32, 256, 8192)

33, 31, 32, … (30, 31, 29)

Sarcină 2.

(Răspunsurile elevilor sunt scrise pe tablă: 500, 530, 560, 590, 620).

Sarcina 3.

Sarcina 4. În fiecare zi, fiecare persoană cu gripă poate infecta alte 4 persoane. În câte zile se vor îmbolnăvi toți elevii școlii noastre (300 de persoane)? (După 4 zile).

Sarcina 5 . Câte bacterii de holeră de pui vor apărea în 10 ore dacă o bacterie se împarte la jumătate în fiecare oră?
Sarcina 6 . Cursul băilor de aer începe cu 15 minute în prima zi și crește timpul acestei proceduri în fiecare zi următoare cu 10 minute. Câte zile trebuie făcute băi de aer în modul indicat pentru a ajunge la durata maximă a acestora de 1 oră 45 de minute? ( 10)

Sarcina 7 . În cădere liberă, un corp parcurge 4,8 m în prima secundă și cu 9,8 m mai mult în fiecare secundă ulterioară. Găsiți adâncimea arborelui dacă un corp în cădere liberă atinge partea inferioară la 5 s după începutul căderii.

Sarcina 8 . Cetăţeanul K. a lăsat un testament. A cheltuit 1.000 de dolari în prima lună și a cheltuit cu 500 de dolari mai mult în fiecare lună următoare. Câți bani i-au fost lăsați moștenire cetățeanului K., dacă este suficient pentru 1 an de viață confortabilă? (45000)

Rezolvarea rapidă și fără erori a unor astfel de probleme ne va permite să studiem următoarele subiecte ale acestui capitol din „Progresie”.

Teme pentru acasă: p.66 Nr. 151, 156, 157

Sarcina creativă: comunicare despre triunghiul lui Pascal

Rezumând. Reflecţie. (evaluarea „incrementului” de cunoștințe și atingerea obiectivelor)

Care a fost scopul lecției de astăzi?

Scopul a fost atins?

Continuați afirmația

Nu știam….

Acum stiu…

Sarcini pentru aplicarea practică a proprietăților secvențelor (progresii)

Sarcina 1. Continuați șirul de numere:

16, 15, 18, …

1, 2, 2, 4, 8, …

33, 31, 32, …

Sarcina 2. În depozit sunt 500 de tone de cărbune, se livrează 30 de tone în fiecare zi Cât cărbune va fi în depozit într-o zi? 2 zile? 3 zile? Ziua 4? Ziua 5?

Sarcina 3. O mașină care se deplasează cu o viteză de 1 m/s pentru fiecare secundă ulterioară și-a schimbat viteza cu 0,6 m/s. Ce viteză va avea după 10 secunde?

Sarcina 4 . În fiecare zi, fiecare persoană cu gripă poate infecta alte 4 persoane. În câte zile se vor îmbolnăvi toți elevii școlii noastre (300 de persoane)?

Sarcina 5. Câte bacterii de holeră de pui vor apărea în 10 ore dacă o bacterie se împarte la jumătate în fiecare oră?

Sarcina 6. Cursul băilor de aer începe cu 15 minute în prima zi și crește timpul acestei proceduri în fiecare zi următoare cu 10 minute. Câte zile trebuie făcute băi de aer în modul indicat pentru a ajunge la durata maximă a acestora de 1 oră 45 de minute?

Sarcina 7. În cădere liberă, un corp parcurge 4,8 m în prima secundă și cu 9,8 m mai mult în fiecare secundă ulterioară. Găsiți adâncimea arborelui dacă un corp în cădere liberă atinge partea inferioară la 5 s după începutul căderii.

Sarcina 8. Cetăţeanul K. a lăsat un testament. A cheltuit 1.000 de dolari în prima lună și a cheltuit cu 500 de dolari mai mult în fiecare lună următoare. Câți bani i-au fost lăsați moștenire cetățeanului K., dacă este suficient pentru 1 an de viață confortabilă?

O secvență de numere infinită este o funcție numerică definită pe mulțimea tuturor numerelor naturale. Forma generală: a 1 ; a 2 ; a 3 ; … si n ; ... (sau (un n)).

Metode de secvențiere:

1. O secvență poate fi specificată folosind o formulă care indică modul în care se calculează valoarea sa a prin numărul n al unui membru al secvenței.

O secvență în care toți termenii iau valori egale se numește o secvență constantă.

2. Metoda recurentă (inductivă): constă în faptul că se indică o regulă (de obicei o formulă) care îți permite să calculezi termenul comun al șirului prin cele anterioare, și se precizează mai mulți termeni inițiali ai șirului. Această formulă se numește relație de recurență.

3. Secvența poate fi dată verbal, adică. descrierea membrilor săi.

Când studiați secvențele, este convenabil să folosiți reprezentarea lor geometrică. Există practic 2 moduri de a face acest lucru:

1. Pentru că secvența (a n) este o funcție definită pe N, atunci poate fi reprezentată ca grafic al acestei funcții cu coordonatele punctelor (n; a n).

2. Membrii șirului (a n) pot fi reprezentați prin puncte x=a n .

Secvențe mărginite și nemărginite.

O secvență (a n) se numește mărginită dacă există numere M și m astfel încât m≤a n ≤M. În caz contrar, se numește nelimitat.

Există 3 tipuri de secvențe nelimitate:

1. Pentru el există m și nu există M - în acest caz este mărginit de jos și nemărginit de sus.

2. Nu există m pentru el și există M, caz în care este nemărginit de jos și mărginit de sus.

3. Pentru ea, nici m, nici M nu există - în acest caz, nu este limitat nici de jos, nici de sus.

secvențe monotone.

Secvențele monotone includ secvențe descrescătoare, strict descrescătoare, crescătoare, strict crescătoare.

O secvență (а n) se numește descrescătoare dacă fiecare termen anterior nu este mai mic decât următorul: a n +1 ≤a n .

O secvență (a n) se numește strict descrescătoare dacă fiecare termen anterior este strict mai mare decât următorul: a n >a 2 >a 3 >...>a n +1 >...

O secvență (a n) se numește crescătoare dacă fiecare termen ulterior nu este mai mic decât cel anterior: a n ≤a n +1 .

O secvență se numește strict crescătoare dacă fiecare termen ulterior este strict mai mare decât cel anterior: a 1

Limita succesiunii numerice. Teoreme de bază despre limite.

Numărul a se numește limita șirului (a n) dacă pentru fiecare număr pozitiv ε există un astfel de număr numar natural N astfel încât pentru orice n>N este valabilă următoarea inegalitate:

|a n – a|< ε.

În acest caz, ei scriu: lim a n = a, sau a n -> a pentru n->∞.

O secvență care are o limită se numește convergentă, iar o secvență care nu are limită se numește divergentă.

Dacă o secvență are o limită, atunci este mărginită.

Fiecare succesiune convergentă are o singură limită.

O secvență se numește infinitezimal dacă limita sa este zero.

Pentru ca numărul a să fie limita secvenței (a n), este necesar și suficient ca a n să aibă o reprezentare a n \u003d a + α n, unde (α n) este o secvență infinitezimală.

Suma a două secvențe infinitezimale este o secvență infinitezimală.

Produsul unei secvențe infinitezimale și a unei secvențe mărginite este o secvență infinitezimală.

Teoreme limită:

1. La limita sumei: Dacă șirul (a n) și (în n) converg, atunci converge și șirul (a n + în n) și: lim (a n + în n) = lim a n + lim în n.

n ->∞ n ->∞ n ->∞

2. La limita produsului: Dacă șirurile (a n) și (în n) converg, atunci și secvența (a n ∙ în n) converge și:

lim (a n ∙ în n) = lim a n ∙ lim în n .

n ->∞ n ->∞ n ->∞

Corolarul 1: Factorul constant poate fi scos din semnul limită:

lim (ca n) = c ∙ lim a n

n ->∞n ->∞

3. Dacă șirurile (a n) și (în n) converg, atunci și secvența (a n / în n) converge și: lim (a n / în n) = (lim a n)/ (lim în n).

n ->∞ n ->∞ n ->∞

Funcţie. Modalități de a seta o funcție.

Dacă fiecare element x, conform unei reguli f, este asociat cu un element y, care este unic pentru fiecare x, atunci ei spun că funcția f cu o valoare din mulțimea B este dată pe mulțimea A și scriu: f: A-> B sau y \u003d f(x).

Fie dată funcția y=f(x). Apoi x nume. argument sau variabilă independentă și y este valoarea funcției sau variabilei dependente.

Mulțimea A se numește domeniul funcției, iar mulțimea tuturor y asociată cu cel puțin un x se numește mulțimea de valori ale funcției. Sfera unei funcții se mai numește și intervalul argumentului sau domeniul variabilei independente.

Modalități de a seta o funcție:

1. Metoda tabulară.

2. Metoda analitică: cu această metodă se indică domeniul de definire a funcției (mulțimea A) și se formulează o lege (se dă o formulă), conform căreia fiecărui x i se asociază y-ul corespunzător.

3. Metoda descrierii verbale.

4. Metoda geometrică (grafică): a seta o funcție grafic înseamnă a reprezenta graficul acesteia.

Scopul de învățare: dați conceptul și definiția unei secvențe numerice, luați în considerare modalități de a seta secvențe numerice, rezolvați exerciții.

Scopul de dezvoltare: dezvolta gândirea logică, abilitățile cognitive, tehnicile de calcul, abilitățile de comparare la alegerea formulelor, abilitățile de studiu

scop educativ: educarea motivelor pozitive de învățare, atitudine conștiincioasă față de muncă, disciplină.

Tipul de lecție: o lectie de fixare a materialului.

Echipamente: tabla interactiva, instalare de testare ACTIVwote, ACTIVwand, ACTIVslate, fișă.

Planul lecției

1. Organizarea lecției.
2. Repetarea materialului teoretic. sondaj frontal. Referință istorică.
3. Consolidare: Rezolvarea exercițiilor pe tema „Metode de stabilire a secvențelor numerice”.
4. Verificarea cunoștințelor. Test
5. Teme pentru acasă.

În timpul orelor

eu. Organizarea timpului.

II. Repetarea materialului teoretic.

1) Sondaj frontal.

1. Ce se numește o secvență numerică?

Răspuns: Un set de numere ale căror elemente pot fi numerotate.

2. Dați un exemplu de succesiune numerică.

Răspuns:

2,4,6,8,10,…..
1,3,5,7,9,11,…..
3,6,9,12,15,….

3. Cum se numesc membrii sirului numeric?

Răspuns: numere care alcătuiesc o secvență de numere.

a 1 \u003d 2 și 2 \u003d 4 și 3 \u003d 6 și 4 \u003d 8, ....
a 1 \u003d 1 și 2 \u003d 3 și 3 \u003d 5 și 4 \u003d 7, ....
și 1 \u003d 3 și 2 \u003d 6 și 3 \u003d 9 și 4 \u003d 12, ....

4. Ce este un membru comun al unei secvențe numerice?

Răspuns: an este numit un membru comun al secvenței, iar secvența în sine este notată pe scurt cu (an).

5. Cum este indicată o succesiune numerică?

Răspuns: De obicei, o secvență numerică este notă cu litere mici ale alfabetului latin cu indici care indică numărul acestui membru în succesiune: a 1, a 2, a 3, a 4, ...., a p, ...

5. Când se consideră dată o succesiune numerică?

Răspuns: Dacă putem specifica orice membru al secvenței.

2) Referință istorică.

În cuvintele matematicianului Leibniz, „cel care vrea să se limiteze la prezent fără să cunoască trecutul nu îl va înțelege niciodată”.

FIBONACCCI (Leonardo din Pisa)

Fibonacci (Leonardo din Pisa),Bine. 1175–1250

matematician italian. Născut la Pisa, a devenit primul mare matematician al Europei la sfârșitul Evului Mediu. Nevoia practică de a stabili contacte de afaceri a fost cea care l-a condus la matematică. Și-a publicat cărțile despre aritmetică, algebră și alte discipline matematice. De la matematicienii musulmani, a aflat despre sistemul de numere inventat în India și adoptat deja în lumea arabă și a fost convins de superioritatea acestuia (aceste numere au fost precursorii cifrelor arabe moderne).

Leonardo din Pisa, cunoscut sub numele de Fibonacci, a fost primul dintre marii matematicieni europeni ai Evului Mediu târziu. Născut la Pisa într-o familie de comercianți bogată, a intrat în matematică printr-o nevoie pur practică de a stabili contacte de afaceri. În tinerețe, Leonardo a călătorit mult, însoțindu-și tatăl în călătoriile de afaceri. De exemplu, știm despre șederea lui îndelungată în Bizanț și Sicilia. În astfel de călătorii, el a interacționat foarte mult cu oamenii de știință locali.

Secvența de numere care îi poartă astăzi numele a apărut din problema cu iepurii pe care Fibonacci a subliniat-o în Liber abacci, scris în 1202:

Un bărbat a pus o pereche de iepuri într-un tarc, înconjurat din toate părțile de un zid. Câte perechi de iepuri poate naște această pereche într-un an, dacă se știe că în fiecare lună, începând din a doua, fiecare pereche de iepuri produce câte o pereche?

Vă puteți asigura că numărul de cupluri din fiecare dintre următoarele douăsprezece luni ale lunilor va fi respectiv 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Cu alte cuvinte, numărul de perechi de iepuri creează o serie, fiecare termen în care este suma celor doi anteriori. El este cunoscut ca Seria Fibonacci, și numerele în sine numere Fibonacci. Se pare că această secvență are multe proprietăți interesante din punct de vedere matematic. Iată un exemplu: puteți împărți o linie în două segmente, astfel încât raportul dintre segmentul mai mare și cel mai mic să fie proporțional cu raportul dintre întreaga linie și segmentul mai mare. Acest factor de proporționalitate, aproximativ egal cu 1,618, este cunoscut ca ratia de aur. În Renaștere, se credea că aceasta era această proporție, observată în structuri arhitecturale cel mai plăcut ochiului. Dacă luați perechi Fibonacci consecutive și împărțiți numărul mai mare al fiecărei perechi la cel mai mic, rezultatul se va apropia treptat de raportul de aur.

De când Fibonacci și-a descoperit secvența, s-au găsit chiar și fenomene naturale în care această secvență pare să joace un rol important. Unul din ei - filotaxie(aranjarea frunzelor) - regula conform căreia, de exemplu, semințele sunt situate în inflorescența unei floarea-soarelui.Semințele unei floarea-soarelui sunt ordonate în două spirale. Numerele care indică numărul de semințe din fiecare dintre spirale sunt membrii unei secvențe matematice uimitoare.

Semințele sunt dispuse în două rânduri de spirale, dintre care unul merge în sensul acelor de ceasornic, celălalt împotriva. Și care este numărul de semințe în fiecare caz? 34 și 55.

numerele Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

O succesiune de numere, al căror termen este egal cu suma celor doi anteriori, are multe proprietăți curioase.

III.Consolidare.

Lucrați conform manualului (lanț)

№343 Scrieți primii cinci termeni ai șirului.

1. a n \u003d 2 n + 1/2 n

2. x n \u003d 3n2 + 2 n + 1

3.

1. Soluție:

și n \u003d 2 n + 1/2 n

Răspuns:

2. Soluție:

n=1, x 1 =3*1 2 +2*1+1=3+2+1=6

n=2, x 2 =3*2 2 +2*2+1=3*4+4+1=12+5=17

n=3, x 3 =3*3 2 +2*3+1=27+6+1=34

n=4, x 4 =3*4 2 +2-4+1=3*16+8+1=48+9=57

n=5, x 5 =3*5 2 +2*5+1=3*25+10+1=75+11=86

Răspuns: 6,17,34,57,86…….

3. Soluție:

Răspuns:

nr. 344. Scrieți formula termenului comun al unei șiruri de numere naturale care sunt multipli ai lui 3.

Răspuns: 0,3,6,9,12,15,.... 3n și n =3n

nr. 345. Scrieți formula termenului comun al unei șiruri de numere naturale care sunt multipli ai lui 7.

Răspuns: 0,7,14,25,28,35,42.... 7n și n = 7n

№346 Scrieți formula termenului comun al șirului de numere naturale, care, împărțite la 4, au restul de 1.

Răspuns:5,9,13,17,21....... 4n +1 și n =4n+1

№347 Scrieți formula termenului comun al unei șiruri de numere naturale care, împărțite la 5, au restul de 2.

Răspuns: a n =5n+2, 7.12,17,22, 27,.... 5n +2

№348 Scrieți formula termenului comun al șirului.

Vida y= f(X), X DESPRE N, Unde N este mulțimea numerelor naturale (sau o funcție a unui argument natural), notat y=f(n) sau y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Valori y 1 ,y 2 ,y 3 ,… se numesc respectiv primul, al doilea, al treilea, ... membrii secvenţei.

De exemplu, pentru funcție y= n 2 se poate scrie:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Metode de stabilire a secvențelor. Secvențele pot fi setate căi diferite, printre care trei sunt deosebit de importante: analitice, descriptive și recurente.

1. O secvență este dată analitic dacă este dată formula ei n-al-lea membru:

y n=f(n).

Exemplu. y n= 2n- 1 – succesiune de numere impare: 1, 3, 5, 7, 9,...

2. Descriptiv modul de a specifica o secvență numerică este că explică din ce elemente este construită secvența.

Exemplul 1. „Toți membrii secvenței sunt egali cu 1”. Aceasta înseamnă că vorbim despre o secvență staționară 1, 1, 1, …, 1, ….

Exemplul 2. „Succesiunea constă din toate numere primeîn ordine crescătoare”. Astfel, este dată șirul 2, 3, 5, 7, 11, …. Cu această metodă de specificare a secvenței în acest exemplu este greu de răspuns cu ce este, să zicem, al 1000-lea element al secvenței.

3. Modul recurent de a specifica o secvență este că este indicată o regulă care permite calcularea n-al-lea membru al secvenței, dacă membrii ei anteriori sunt cunoscuți. Denumirea de metodă recurentă provine din cuvântul latin se repetă- întoarce-te. Cel mai adesea, în astfel de cazuri, este indicată o formulă care permite exprimarea n al-lea membru al secvenței prin cele anterioare și specificați 1–2 membri inițiali ai secvenței.

Exemplul 1 y 1 = 3; y n = y n–1 + 4 dacă n = 2, 3, 4,….

Aici y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Se poate observa că secvența obținută în acest exemplu poate fi specificată și analitic: y n= 4n- 1.

Exemplul 2 y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 dacă n = 3, 4,….

Aici: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Secvența compusă în acest exemplu este studiată special în matematică deoarece are o serie de proprietăți și aplicații interesante. Se numește șirul Fibonacci - după matematicianul italian din secolul al XIII-lea. Definirea secvenței Fibonacci recursiv este foarte ușoară, dar analitic este foarte dificilă. n-al-lea număr Fibonacci este exprimat prin intermediul său număr de serie următoarea formulă.

La prima vedere, formula pentru n al-lea număr Fibonacci pare neplauzibil, deoarece formula care specifică succesiunea numerelor naturale conține numai rădăcini pătrate, dar puteți verifica „manual” validitatea acestei formule pentru primele câteva n.

Proprietăţi ale secvenţelor numerice.

Secvență numerică - un caz special functie numerica, deci o serie de proprietăți ale funcțiilor sunt de asemenea luate în considerare pentru secvențe.

Definiție . Urmărire ( y n} se numește crescător dacă fiecare dintre termenii săi (cu excepția primului) este mai mare decât cel anterior:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Definiție.Secvență ( y n} se numește descrescător dacă fiecare dintre termenii săi (cu excepția primului) este mai mic decât cel anterior:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

Secvențele crescătoare și descrescătoare sunt unite printr-un termen comun - secvențe monotone.

Exemplul 1 y 1 = 1; y n= n 2 este o secvență crescătoare.

Astfel, următoarea teoremă este adevărată (o proprietate caracteristică a unei progresii aritmetice). O secvență numerică este aritmetică dacă și numai dacă fiecare dintre membrii săi, cu excepția primului (și ultimul în cazul unei secvențe finite), este egal cu media aritmetică a membrilor anteriori și următori.

Exemplu. La ce valoare X numarul 3 X + 2, 5X– 4 și 11 X+ 12 formează o progresie aritmetică finită?

Conform proprietate caracteristică, expresiile date trebuie să satisfacă relația

5X – 4 = ((3X + 2) + (11X + 12))/2.

Rezolvarea acestei ecuații dă X= –5,5. Cu această valoare X expresii date 3 X + 2, 5X– 4 și 11 X+ 12 iau, respectiv, valorile -14,5, –31,5, –48,5. Aceasta este o progresie aritmetică, diferența sa este -17.

Progresie geometrică.

O secvență numerică ai cărei toți membrii sunt nenuli și fiecare membru al cărei, începând cu al doilea, se obține de la membrul anterior prin înmulțirea cu același număr q, numit progresie geometrică, și numărul q- numitorul unei progresii geometrice.

Astfel, o progresie geometrică este o succesiune numerică ( b n) dat recursiv de relaţiile

b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(bȘi q- numere date, b ≠ 0, q ≠ 0).

Exemplul 1. 2, 6, 18, 54, ... - progresie geometrică crescătoare b = 2, q = 3.

Exemplul 2. 2, -2, 2, -2, ... – progresie geometrică b= 2,q= –1.

Exemplul 3. 8, 8, 8, 8, … – progresie geometrică b= 8, q= 1.

O progresie geometrică este o succesiune crescătoare dacă b 1 > 0, q> 1 și descrescătoare dacă b 1 > 0, 0q

Una dintre proprietățile evidente ale unei progresii geometrice este că, dacă o secvență este o progresie geometrică, atunci șirul de pătrate, adică.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,... este o progresie geometrică al cărei prim termen este egal cu b 1 2 , iar numitorul este q 2 .

Formulă n- al treilea termen al unei progresii geometrice are forma

b n= b 1 q n– 1 .

Puteți obține formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice finite.

Să existe o progresie geometrică finită

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

lăsa S n - suma membrilor săi, adică

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

Se accepta ca q Nr. 1. A determina S n se aplică un truc artificial: unele transformări geometrice expresii S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

Prin urmare, S n q= S n +b n q – b 1 și deci

Aceasta este formula cu umma n membri ai unei progresii geometrice pentru cazul când q≠ 1.

La q= 1 formula nu poate fi derivată separat, este evident că în acest caz S n= A 1 n.

Progresia geometrică este numită deoarece în ea fiecare termen, cu excepția primului, este egal cu media geometrică a termenilor anteriori și următori. Într-adevăr, din moment ce

b n = b n- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

prin urmare, b n 2= b n– 1 bn+ 1 și următoarea teoremă este adevărată (o proprietate caracteristică a unei progresii geometrice):

o secvență numerică este o progresie geometrică dacă și numai dacă pătratul fiecăruia dintre termenii săi, cu excepția primului (și ultimului în cazul unei secvențe finite), este egal cu produsul termenilor anteriori și următori.

Limită de secvență.

Să fie o secvență ( c n} = {1/n}. Această secvență se numește armonică, deoarece fiecare dintre membrii săi, începând cu al doilea, este media armonică dintre membrii anteriori și următorii. Media geometrică a numerelor AȘi b există un număr

În caz contrar, succesiunea se numește divergentă.

Pe baza acestei definiții, se poate demonstra, de exemplu, existența unei limite A=0 pentru secvența armonică ( c n} = {1/n). Fie ε un număr pozitiv arbitrar mic. Luăm în considerare diferența

Există așa ceva N asta pentru toata lumea n≥ N inegalitatea 1 /N? Dacă este luată ca N orice număr natural mai mare decât 1/ε , apoi pentru toți n ≥ N inegalitatea 1 /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.

Uneori este foarte dificil să se dovedească existența unei limite pentru o anumită secvență. Cele mai comune secvențe sunt bine studiate și sunt enumerate în cărțile de referință. Există teoreme importante care fac posibilă concluzia că o anumită secvență are o limită (și chiar să o calculeze) pe baza unor secvențe deja studiate.

Teorema 1. Dacă o secvență are o limită, atunci este mărginită.

Teorema 2. Dacă o secvență este monotonă și mărginită, atunci are o limită.

Teorema 3. Dacă șirul ( un n} are o limită A, apoi secvențele ( poate sa}, {un n+ c) și (| un n|} au limite cA, A +c, |A| respectiv (aici c este un număr arbitrar).

Teorema 4. Dacă secvențele ( un n} Și ( b n) au limite egale cu AȘi B tigaie + qb n) are o limită pA+ qB.

Teorema 5. Dacă secvențele ( un n) Și ( b n) au limite egale cu AȘi B respectiv, apoi succesiunea ( a n b n) are o limită AB.

Teorema 6. Dacă secvențele ( un n} Și ( b n) au limite egale cu AȘi B respectiv, şi în plus b n ≠ 0 și B≠ 0, apoi secvența ( un n/b n) are o limită A/B.

Anna Chugainova