Metode de găsire a matricei inverse. Modalități de a găsi matricea inversă

Luați în considerare problema definirii operației inverse înmulțirii matriceale.

Fie A o matrice pătrată de ordinul n. Matricea A^(-1) , care împreună cu matricea dată A satisface următoarele egalități:

A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,

numit verso. Se numește matricea A reversibil, dacă există un invers pentru el, în caz contrar - ireversibil.

Din definiție rezultă că, dacă există o matrice inversă A^(-1), atunci aceasta este pătrat de același ordin cu A . Cu toate acestea, nu orice matrice pătrată are un invers. Dacă determinantul matricei A este egal cu zero (\det(A)=0) , atunci nu există inversă pentru el. Într-adevăr, aplicând teorema asupra determinantului produsului de matrice pentru matricea de identitate E=A^(-1)A, obținem o contradicție

\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0

întrucât determinantul matricei de identitate este egal cu 1. Se dovedește că diferența de la zero a determinantului matricei pătrate este singura condiție pentru existența unei matrici inverse. Amintiți-vă că o matrice pătrată al cărei determinant este egal cu zero se numește degenerată (singulară), altfel - nesingulară (nesingulară).

Teorema 4.1 privind existența și unicitatea matricei inverse. matrice pătrată A=\begin(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmatrix), al cărui determinant este diferit de zero, are o matrice inversă și, în plus, doar una:

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n) )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),

unde A^(+) este matricea transpusă pentru matricea compusă din complementele algebrice ale elementelor matricei A .

Se numește matricea A^(+). matrice atașatăîn raport cu matricea A .

Într-adevăr, matricea \frac(1)(\det(A))\,A^(+) există sub condiția \det(A)\ne0 . Trebuie să arătăm că este inversă lui A , adică. indeplineste doua conditii:

\begin(aligned)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(aligned)

Să demonstrăm prima egalitate. Conform punctului 4 din Observațiile 2.3, din proprietățile determinantului rezultă că AA^(+)=\det(A)\cdot E. De aceea

A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,

care urma să fie arătat. A doua egalitate este dovedită în mod similar. Prin urmare, în condiția \det(A)\ne0, matricea A are inversă

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).

Demonstrăm unicitatea matricei inverse prin contradicție. Fie ca pe lângă matricea A^(-1) mai există o matrice inversă B\,(B\ne A^(-1)) astfel încât AB=E . Înmulțind ambele părți ale acestei egalități din stânga cu matricea A^(-1) , obținem \underbrace(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. Prin urmare, B=A^(-1) , ceea ce contrazice ipoteza B\ne A^(-1) . Prin urmare, matricea inversă este unică.

Observații 4.1

1. Din definiție rezultă că matricele A și A^(-1) sunt permutabile.

2. Matricea inversă unei diagonale nedegenerate este și ea diagonală:

\Bigl[\operatorname(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatorname(diag)\!\left(\frac(1) )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\right)\!.

3. Matricea inversă unei matrice triunghiulare inferioară (superioară) nedegenerată este triunghiulară inferioară (superioară).

4. Matricele elementare au inverse, care sunt de asemenea elementare (vezi punctul 1 din Observațiile 1.11).

Proprietățile matricei inverse

Operația de inversare a matricei are următoarele proprietăți:

\begin(aligned)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1) )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \bold(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \end(aliniat)

dacă operaţiile indicate în egalităţile 1-4 au sens.

Să demonstrăm proprietatea 2: dacă produsul AB al matricelor pătrate nesingulare de același ordin are o matrice inversă, atunci (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).

Într-adevăr, determinantul produsului matricelor AB nu este egal cu zero, deoarece

\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), Unde \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0

Prin urmare, matricea inversă (AB)^(-1) există și este unică. Să arătăm prin definiție că matricea B^(-1)A^(-1) este inversă față de matricea AB . Într-adevăr.

Metode de găsire a matricei inverse, . Luați în considerare o matrice pătrată

Notați Δ = det A.

Matricea pătrată A se numește nedegenerat, sau nespecială dacă determinantul său este diferit de zero și degenerat, sau special, DacăΔ = 0.

O matrice pătrată B există pentru o matrice pătrată A de același ordin dacă produsul lor A B = B A = E, unde E este matricea de identitate de același ordin ca și matricele A și B.

Teorema . Pentru ca matricea A să aibă o matrice inversă, este necesar și suficient ca determinantul său să fie diferit de zero.

Matrice inversă față de matricea A, notată cu A- 1 deci B = A - 1 și se calculează prin formula

, (1)

unde А i j - complemente algebrice ale elementelor a i j ale matricei A..

Calcularea A -1 prin formula (1) pentru matrice de ordin înalt este foarte laborioasă, așa că în practică este convenabil să găsiți A -1 folosind metoda transformărilor elementare (EP). Orice matrice nesingulară A poate fi redusă prin EP de numai coloane (sau numai rânduri) la matricea de identitate E. Dacă EP-urile efectuate pe matricea A sunt aplicate în aceeași ordine matricei de identitate E, atunci rezultatul este o matrice inversă. Este convenabil să se efectueze un EP pe matricele A și E simultan, scriind ambele matrice una lângă alta prin linie. Observăm încă o dată că la căutarea formei canonice a unei matrice, pentru a o găsi, se pot folosi transformări de rânduri și coloane. Dacă trebuie să găsiți matricea inversă, ar trebui să utilizați numai rânduri sau numai coloane în procesul de transformare.

Exemplul 2.10. Pentru matrice găsiți A-1.

Soluţie.Găsim mai întâi determinantul matricei A
deci matricea inversă există și o putem găsi prin formula: , unde A i j (i,j=1,2,3) - complemente algebrice ale elementelor a i j ale matricei originale.

Unde .

Exemplul 2.11. Folosind metoda transformărilor elementare, găsiți A -1 pentru matricea: A=.

Soluţie.Atribuim o matrice de identitate de aceeași ordine matricei originale din dreapta: . Cu ajutorul transformărilor elementare de coloane, reducem „jumătatea” stângă la cea identitară, efectuând simultan exact astfel de transformări pe matricea din dreapta.
Pentru a face acest lucru, schimbați prima și a doua coloană: ~ . Adăugăm primul la a treia coloană, iar primul înmulțit cu -2 la a doua: . Din prima coloană scadem secunda dublată, iar din a treia - a doua înmulțită cu 6; . Să adăugăm a treia coloană la prima și a doua: . Înmulțiți ultima coloană cu -1: . Matricea pătrată obținută în dreapta barei verticale este matricea inversă matricei date A. Deci,
.

O matrice inversă pentru una dată este o astfel de matrice, multiplicarea celei inițiale prin care dă o matrice de identitate: O condiție obligatorie și suficientă pentru prezența unei matrice inverse este inegalitatea determinantului celei originale (care la rândul său implică că matricea trebuie să fie pătrată). Dacă determinantul unei matrice este egal cu zero, atunci se numește degenerat și o astfel de matrice nu are inversă. În matematica superioară, matricele inverse sunt importante și sunt folosite pentru a rezolva o serie de probleme. De exemplu, pe aflarea matricei inverse se construieşte o metodă matriceală pentru rezolvarea sistemelor de ecuaţii. Site-ul nostru de servicii permite calcula inversul matricei online două metode: metoda Gauss-Iordan și folosind matricea adunărilor algebrice. Primul implică un numar mare de transformări elementare în interiorul matricei, a doua - calculul determinantului și adunărilor algebrice la toate elementele. Pentru a calcula determinantul unei matrice online, puteți utiliza celălalt serviciu al nostru - Calcularea determinantului unei matrice online

.

Găsiți matricea inversă pe site

site-ul web vă permite să găsiți matrice inversă online rapid și gratuit. Pe site se fac calcule de catre serviciul nostru iar rezultatul este afisat cu solutie detaliata după locație matrice inversă. Serverul oferă întotdeauna doar răspunsul exact și corect. În sarcini prin definiție matrice inversă online, este necesar ca determinantul matrici era diferit de zero, altfel site-ul web va raporta imposibilitatea de a găsi matricea inversă datorită faptului că determinantul matricei originale este egal cu zero. Găsirea sarcinii matrice inversăîntâlnit în multe ramuri ale matematicii, fiind unul dintre cele mai de bază concepte ale algebrei și un instrument matematic în problemele aplicate. Independent definirea matricei inverse necesită efort considerabil, mult timp, calcule și mare grijă pentru a nu face o derapaj sau o mică eroare în calcule. Prin urmare, serviciul nostru găsirea matricei inverse online vă va facilita foarte mult sarcina și va deveni un instrument indispensabil pentru rezolvarea problemelor matematice. Chiar daca tu găsiți matricea inversă dvs., vă recomandăm să vă verificați soluția pe serverul nostru. Introduceți matricea dumneavoastră originală în Calculate Inverse Matrix Online și verificați răspunsul. Sistemul nostru nu greșește niciodată și găsește matrice inversă dimensiune dată în mod pe net imediat! Pe site site-ul web intrările de caractere sunt permise în elemente matrici, în acest caz matrice inversă online vor fi prezentate sub formă simbolică generală.

Continuăm să vorbim despre acțiuni cu matrice. Și anume, în cursul studierii acestei prelegeri, veți învăța cum să găsiți matricea inversă. Învăța. Chiar dacă matematica este îngustă.

Ce este o matrice inversă? Aici putem face o analogie cu reciprocele: luați în considerare, de exemplu, numărul optimist 5 și reciproca acestuia. Produsul acestor numere este egal cu unu: . La fel este și cu matricele! Produsul unei matrice și inversul acesteia este - matrice de identitate, care este analogul matriceal al unității numerice. Cu toate acestea, mai întâi, vom rezolva o problemă practică importantă, și anume, vom învăța cum să găsim această matrice foarte inversă.

Ce trebuie să știți și să puteți găsi matricea inversă? Trebuie să poți decide determinanți. Trebuie să înțelegi ce este matriceși să poată efectua unele acțiuni cu ei.

Există două metode principale pentru a găsi matricea inversă:
prin utilizarea adunări algebriceȘi folosind transformări elementare.

Astăzi vom studia primul mod, mai ușor.

Să începem cu cele mai teribile și de neînțeles. Considera pătrat matrice . Matricea inversă poate fi găsită folosind următoarea formulă:

Unde este determinantul matricei, este matricea transpusă de complemente algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei.

Conceptul de matrice inversă există numai pentru matrice pătrată, matrice „două câte două”, „trei câte trei”, etc.

Notaţie: După cum probabil ați observat deja, inversul unei matrice este notat cu un superscript

Să începem cu cel mai simplu caz - o matrice două câte două. Cel mai adesea, desigur, este necesar „trei câte trei”, dar, cu toate acestea, recomand insistent să studiați o sarcină mai simplă pentru a învăța principiu general solutii.

Exemplu:

Aflați inversul unei matrice

Noi decidem. Secvența de acțiuni este descompusă convenabil în puncte.

1) Mai întâi găsim determinantul matricei.

Dacă înțelegerea acestei acțiuni nu este bună, citiți materialul Cum se calculează determinantul?

Important! Dacă determinantul matricei este ZERO– matrice inversă NU EXISTA.

În exemplul luat în considerare, după cum sa dovedit, , ceea ce înseamnă că totul este în ordine.

2) Găsiți matricea minorilor.

Pentru a ne rezolva problema, nu este necesar să știm ce este un minor, totuși, este indicat să citiți articolul Cum se calculează determinantul.

Matricea minorilor are aceleași dimensiuni ca și matricea , adică în acest caz .
Cazul este mic, rămâne să găsiți patru numere și să le puneți în loc de asteriscuri.

Înapoi la matricea noastră
Să ne uităm mai întâi la elementul din stânga sus:

Cum să-l găsești minor?
Și acest lucru se face astfel: tăiați MENTAL rândul și coloana în care se află acest element:

Numărul rămas este minor al elementului dat, pe care o scriem în matricea noastră de minori:

Luați în considerare următorul element de matrice:

Trimiteți mental rândul și coloana în care se află acest element:

Ceea ce a mai rămas este minorul acestui element, pe care îl scriem în matricea noastră:

În mod similar, luăm în considerare elementele din al doilea rând și găsim minorii acestora:


Gata.

E simplu. În matricea minorilor, ai nevoie SCHIMBARE SEMNE pentru doua numere:

Aceste numere sunt pe care le-am încercuit!

este matricea complementelor algebrice ale elementelor corespondente ale matricei .

Și doar ceva...

4) Aflați matricea transpusă de adunări algebrice.

este matricea transpusă de complemente algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei .

5) Răspuns.

Amintiți-vă formula noastră
Toate găsite!

Deci matricea inversă este:

Cel mai bine este să lăsați răspunsul așa cum este. NU ESTE NEVOIEîmpărțiți fiecare element al matricei la 2, deoarece se vor obține numere fracționale. Această nuanță este discutată mai detaliat în același articol. Acțiuni cu matrice.

Cum se verifică soluția?

Înmulțirea matriceală trebuie efectuată fie

Examinare:

deja menționate matrice de identitate este o matrice cu unități activate diagonala principalăși zerouri în altă parte.

Astfel, matricea inversă este găsită corect.

Dacă efectuați o acțiune, atunci rezultatul va fi și o matrice de identitate. Acesta este unul dintre puținele cazuri în care multiplicarea matricei este permutabilă, mai multe informații găsiți în articol Proprietăţi ale operaţiilor pe matrice. Expresii matriceale. De asemenea, rețineți că în timpul verificării, constanta (fracția) este adusă înainte și procesată la sfârșit - după înmulțirea matricei. Aceasta este o luare standard.

Să trecem la un caz mai comun în practică - matricea de trei câte trei:

Exemplu:

Aflați inversul unei matrice

Algoritmul este exact același ca pentru cazul doi câte doi.

Găsim matricea inversă prin formula: , unde este matricea transpusă de complemente algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei .

1) Aflați determinantul matricei.

Aici se dezvăluie determinantul pe prima linie.

De asemenea, nu uitați asta, ceea ce înseamnă că totul este bine - matrice inversă există.

2) Găsiți matricea minorilor.

Matricea minorilor are dimensiunea „trei câte trei” , și trebuie să găsim nouă numere.

Voi arunca o privire la câțiva minori în detaliu:

Luați în considerare următorul element de matrice:

Trimiteți MENTAL rândul și coloana în care se află acest element:

Cele patru numere rămase sunt scrise cu determinantul „două câte doi”

Acest determinant doi câte doi și este un minor al elementului dat. Trebuie calculat:


Asta e, minorul este găsit, îl scriem în matricea noastră de minori:

După cum probabil ați ghicit, există nouă determinanți doi câte doi de calculat. Procesul, desigur, este trist, dar cazul nu este cel mai dificil, poate fi și mai rău.

Ei bine, pentru a consolida - găsirea unui alt minor în imagini:

Încercați să calculați singuri restul minorilor.

Rezultat final:
este matricea de minore a elementelor corespondente ale matricei .

Faptul că toți minorii s-au dovedit a fi negativi este pură coincidență.

3) Aflați matricea adunărilor algebrice.

În matricea minorilor, este necesar SCHIMBARE SEMNE strict pentru următoarele elemente:

În acest caz:

Găsirea matricei inverse pentru matricea „patru cu patru” nu este luată în considerare, deoarece numai un profesor sadic poate da o astfel de sarcină (pentru ca elevul să calculeze un determinant „patru cu patru” și 16 determinanți „trei cu trei”). . În practica mea, a existat un singur astfel de caz și clientul munca de control plătit scump pentru chinul meu =).

Într-o serie de manuale, manuale, puteți găsi o abordare ușor diferită pentru găsirea matricei inverse, dar vă recomand să utilizați algoritmul de soluție de mai sus. De ce? Pentru că probabilitatea de a te confunda în calcule și semne este mult mai mică.

Matricea A -1 se numește matrice inversă față de matricea A, dacă A * A -1 \u003d E, unde E este matricea de identitate de ordinul al n-lea. Matricea inversă poate exista doar pentru matrice pătrată.

Atribuirea serviciului. Folosind acest serviciu online, puteți găsi adunări algebrice, matrice transpusă A T , matrice de unire și matrice inversă. Soluția se realizează direct pe site (online) și este gratuită. Rezultatele calculului sunt prezentate într-un raport în format Word și în format Excel (adică este posibilă verificarea soluției). vezi exemplul de proiectare.

Instruire. Pentru a obține o soluție, trebuie să specificați dimensiunea matricei. Apoi, în noua casetă de dialog, completați matricea A .

Dimensiunea matricei 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Vezi și Matrice inversă prin metoda Jordan-Gauss

Algoritm pentru găsirea matricei inverse

1. Aflarea matricei transpuse A T .
2. Definiţia algebraic additions. Înlocuiți fiecare element al matricei cu complementul său algebric.
3. Compilarea unei matrici inverse din adunări algebrice: fiecare element al matricei rezultate este împărțit la determinantul matricei originale. Matricea rezultată este inversul matricei originale.

Următorul algoritm de matrice inversă asemănător celui precedent, cu excepția unor pași: mai întâi se calculează complementele algebrice, apoi se determină matricea de unire C.

1. Determinați dacă matricea este pătrată. Dacă nu, atunci nu există o matrice inversă pentru aceasta.
2. Calculul determinantului matricei A . Dacă nu este egal cu zero, continuăm soluția, în caz contrar, matricea inversă nu există.
3. Definiţia algebraic additions.
4. Completarea matricei de unire (mutuală, adjunctă) C .
5. Compilarea matricei inverse din adunări algebrice: fiecare element al matricei adiacente C este împărțit la determinantul matricei originale. Matricea rezultată este inversul matricei originale.
6. Faceți o verificare: înmulțiți matricea originală și matricea rezultată. Rezultatul ar trebui să fie o matrice de identitate.

Exemplul #1. Scriem matricea sub forma:

Adunări algebrice.

A 1,1 = (-1) 1+1

-1 -2 5 4

∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

A 1,2 = (-1) 1+2

2 -2 -2 4

∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

A 1,3 = (-1) 1+3

2 -1 -2 5

∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

A 2,1 = (-1) 2+1

2 3 5 4

∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7

A 2,2 = (-1) 2+2

-1 3 -2 4

∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

A 2,3 = (-1) 2+3

-1 2 -2 5

∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

A 3,1 = (-1) 3+1

2 3 -1 -2

∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

A 3,2 = (-1) 3+2

-1 3 2 -2

∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

A 3,3 = (-1) 3+3

-1 2 2 -1

∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Apoi matrice inversă poate fi scris ca:

A -1 = 1 / 10

6 -4 8 7 2 1 -1 4 -3

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Un alt algoritm pentru găsirea matricei inverse

Prezentăm o altă schemă de găsire a matricei inverse.

1. Aflați determinantul matricei pătrate date A .
2. Găsim adunări algebrice la toate elementele matricei A .
3. Complementele algebrice ale elementelor rândurilor le scriem în coloane (transpunere).
4. Împărțim fiecare element al matricei rezultate la determinantul matricei A .

După cum puteți vedea, operația de transpunere poate fi aplicată atât la început, peste matricea originală, cât și la sfârșit, peste adunările algebrice rezultate.

Un caz special: Inversul, în raport cu matricea de identitate E , este matricea de identitate E .