Ecuații. Cu alte cuvinte, soluția tuturor ecuațiilor începe cu aceste transformări. La hotărâre ecuatii lineare, it (soluție) pe transformări identice și se termină cu răspunsul final.

Cazul unui coeficient diferit de zero pentru o variabilă necunoscută.

ax+b=0, a ≠ 0

Transferăm membri cu x pe o parte și numere pe cealaltă parte. Asigurați-vă că rețineți că atunci când transferați termenii în partea opusă a ecuației, trebuie să schimbați semnul:

ax:(a)=-b:(a)

Reducem A la X si obtinem:

x=-b:(a)

Acesta este răspunsul. Dacă doriți să verificați dacă un număr este -b:(a) rădăcina ecuației noastre, atunci trebuie să înlocuim în ecuația inițială în loc de X acesta este același număr:

a(-b:(a))+b=0 ( acestea. 0=0)

Deoarece această egalitate este adevărată, atunci -b:(a) iar adevărul este rădăcina ecuației.

Răspuns: x=-b:(a), a ≠ 0.

Primul exemplu:

5x+2=7x-6

Transferăm într-o parte termenii de la X, iar pe cealaltă parte a numărului:

5x-7x=-6-2

-2x:(-2)=-8:(-2)

Cu un coeficient necunoscut, l-au redus și au primit răspunsul:

Acesta este răspunsul. Dacă trebuie să verificați dacă numărul 4 este într-adevăr rădăcina ecuației noastre, înlocuim acest număr în loc de x în ecuația originală:

5*4+2=7*4-6 ( acestea. 22=22)

Deoarece această egalitate este adevărată, atunci 4 este rădăcina ecuației.

Al doilea exemplu:

Rezolvați ecuația:

5x+14=x-49

Transferând necunoscutele și numerele în direcții diferite, am obținut:

Împărțim părțile ecuației la coeficientul de la X(pe 4) și obțineți:

Al treilea exemplu:

Rezolvați ecuația:

În primul rând, scăpăm de iraționalitatea în coeficientul necunoscutului prin înmulțirea tuturor termenilor cu:

Această formă este considerată simplificată, deoarece numărul are rădăcina numărului în numitor. Simplificați răspunsul înmulțind numărătorul și numitorul cu acelasi numar, avem asta:

Cazul fără soluții.

Rezolvați ecuația:

2x+3=2x+7

Pentru toți X ecuația noastră nu va deveni o adevărată egalitate. Adică, ecuația noastră nu are rădăcini.

Răspuns: Nu există soluții.

Un caz special este un număr infinit de soluții.

Rezolvați ecuația:

2x+3=2x+3

Transferând x și numere în direcții diferite și aducând termeni similari, obținem ecuația:

Nici aici nu este posibilă împărțirea ambelor părți la 0, deoarece este interzis. Cu toate acestea, punerea în loc X orice număr, obținem egalitatea corectă. Adică, fiecare număr este o soluție a unei astfel de ecuații. Astfel, există un număr infinit de soluții.

Răspuns: un număr infinit de soluții.

Cazul egalității a două forme complete.

ax+b=cx+d

ax-cx=d-b

(a-c)x=d-b

x=(d-b):(a-c)

Răspuns: x=(d-b):(a-c), Dacă d≠b și a≠c, în rest sunt infinit de soluții, dar dacă a=c, A d≠b, atunci nu există soluții.

Învățarea rezolvării ecuațiilor este una dintre sarcinile principale pe care algebra le pune elevilor. Începând cu cele mai simple, când constă dintr-o necunoscută, și trecând la altele din ce în ce mai complexe. Dacă nu ai stăpânit acțiunile de efectuat cu ecuațiile din primul grup, va fi dificil să faci față altora.

Pentru a continua conversația, trebuie să cădem de acord asupra notării.

Forma generală a unei ecuații liniare cu o necunoscută și principiul soluției acesteia

Orice ecuație care poate fi scrisă astfel:

a * x = in,

numit liniar. Acest formula generala. Dar deseori în sarcini, ecuațiile liniare sunt scrise într-o formă implicită. Atunci trebuie să faci transformări identice pentru a obține intrarea general acceptată. Aceste acțiuni includ:

• paranteze de deschidere;
• mutand toti termenii cu variabilîn partea stângă a egalității, iar restul - în dreapta;
• reducerea termenilor similari.

În cazul în care o valoare necunoscută se află în numitorul unei fracții, este necesar să se determine valorile acesteia pentru care expresia nu va avea sens. Cu alte cuvinte, se presupune că trebuie să cunoască domeniul ecuației.

Principiul prin care sunt rezolvate toate ecuațiile liniare este împărțirea valorii din partea dreaptă a ecuației la coeficientul din fața variabilei. Adică, „x” va fi egal cu / a.

Cazuri particulare ale unei ecuații liniare și soluțiile acestora

În timpul raționamentului, pot exista momente în care ecuațiile liniare iau una dintre formele speciale. Fiecare dintre ele are o soluție specifică.

In prima situatie:

a * x = 0, și a ≠ 0.

Soluția acestei ecuații va fi întotdeauna x = 0.

În al doilea caz, „a” ia valoarea egală cu zero:

0 * x = 0.

Răspunsul la această ecuație este orice număr. Adică are un număr infinit de rădăcini.

A treia situație arată astfel:

0*x=in, unde în ≠ 0.

Această ecuație nu are sens. Pentru că nu există rădăcini care să-l satisfacă.

Forma generală a unei ecuații liniare cu două variabile

Din numele său devine clar că există deja două cantități necunoscute în el. Ecuații liniare cu două variabile arata asa:

a * x + b * y = c.

Deoarece există două necunoscute în intrare, răspunsul va arăta ca o pereche de numere. Adică nu este suficient să specificați o singură valoare. Acesta va fi un răspuns incomplet. Perechea de mărimi la care ecuația devine o identitate este o soluție a ecuației. Mai mult, în răspuns, variabila care vine prima în alfabet este întotdeauna scrisă prima. Se spune uneori că aceste cifre îl mulțumesc. Mai mult, poate exista un număr infinit de astfel de perechi.

Cum se rezolvă o ecuație liniară cu două necunoscute?

Pentru a face acest lucru, trebuie doar să ridicați orice pereche de numere care se dovedește a fi corectă. Pentru simplitate, puteți lua una dintre necunoscutele egală cu un număr prim și apoi găsiți al doilea.

Când rezolvați, de multe ori trebuie să efectuați acțiuni pentru a simplifica ecuația. Se numesc transformări identice. În plus, următoarele proprietăți sunt întotdeauna adevărate pentru ecuații:

• fiecare termen poate fi transferat în partea opusă a egalității prin înlocuirea semnului său cu cel opus;
• părțile stânga și dreaptă ale oricărei ecuații pot fi împărțite la același număr, dacă acesta nu este egal cu zero.

Exemple de sarcini cu ecuații liniare

Prima sarcină. Rezolvați ecuații liniare: 4x \u003d 20, 8 (x - 1) + 2x \u003d 2 (4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

În ecuația care vine prima în această listă, este suficient să împărțiți pur și simplu 20 la 4. Rezultatul va fi 5. Acesta este răspunsul: x \u003d 5.

A treia ecuație necesită ca transformarea identității să fie efectuată. Va consta în deschiderea parantezelor și aducerea unor condiții similare. După prima acțiune, ecuația va lua forma: 8x - 8 + 2x \u003d 8 - 4x. Apoi trebuie să transferați toate necunoscutele în partea stângă a egalității, iar restul în dreapta. Ecuația va arăta astfel: 8x + 2x + 4x \u003d 8 + 8. După ce aducem termeni similari: 14x \u003d 16. Acum arată la fel ca prima, iar soluția sa este ușoară. Răspunsul este x=8/7. Dar în matematică se presupune că izolează întreaga parte dintr-o fracție improprie. Apoi rezultatul va fi transformat, iar „x” va fi egal cu un întreg și o șapte.

În exemplele rămase, variabilele sunt la numitor. Aceasta înseamnă că mai întâi trebuie să aflați pentru ce valori sunt definite ecuațiile. Pentru a face acest lucru, trebuie să excludeți numerele la care numitorii devin zero. În primul dintre exemple este „-4”, în al doilea este „-3”. Adică, aceste valori ar trebui excluse din răspuns. După aceea, trebuie să înmulțiți ambele părți ale egalității cu expresiile din numitor.

Deschizând parantezele și aducând termeni similari, în prima dintre aceste ecuații rezultă: 5x + 15 = 4x + 16, iar în a doua 5x + 15 = 4x + 12. După transformări, soluția primei ecuații va fi x = -1. Al doilea se dovedește a fi egal cu „-3”, ceea ce înseamnă că ultimul nu are soluții.

A doua sarcină. Rezolvați ecuația: -7x + 2y = 5.

Să presupunem că prima necunoscută x \u003d 1, apoi ecuația va lua forma -7 * 1 + 2y \u003d 5. Transferând multiplicatorul „-7” în partea dreaptă a egalității și schimbându-și semnul în plus, se transformă scoateți că 2y \u003d 12. Deci, y =6. Răspuns: una dintre soluțiile ecuației x = 1, y = 6.

Forma generală a inegalității cu o variabilă

Toate situațiile posibile pentru inegalități sunt prezentate aici:

• a * x > b;
• topor< в;
• a*x ≥v;
• a * x ≤c.

În general, arată ca cea mai simplă ecuație liniară, doar semnul egal este înlocuit cu o inegalitate.

Reguli pentru transformări identice ale inegalității

La fel ca ecuațiile liniare, inegalitățile pot fi modificate conform anumitor legi. Ei ajung la asta:

1. în părțile din stânga și din dreapta ale inegalității, puteți adăuga orice literă sau expresie numerică, iar semnul inegalității rămâne același;
2. este, de asemenea, posibil să se înmulțească sau să se împartă cu același număr pozitiv, din nou semnul nu se schimbă;
3. la înmulțirea sau împărțirea cu același număr negativ, egalitatea va rămâne adevărată, cu condiția ca semnul inegalității să fie inversat.

Forma generală a inegalităților duble

În sarcini, pot fi prezentate următoarele variante de inegalități:

• V< а * х < с;
• c ≤ a * x< с;
• V< а * х ≤ с;
• c ≤ a * x ≤ c.

Se numește dublu deoarece este limitat de semne de inegalitate de ambele părți. Se rezolvă folosind aceleași reguli ca și inegalitățile obișnuite. Iar găsirea răspunsului se reduce la o serie de transformări identice. Până se obține cel mai simplu.

Caracteristici ale rezolvării inegalităților duble

Prima dintre acestea este imaginea sa pe axa de coordonate. Nu este nevoie să folosiți această metodă pentru inegalități simple. Dar în cazuri dificile, poate fi pur și simplu necesar.

Pentru a reprezenta inegalitatea, este necesar să se marcheze pe axă toate punctele care au fost obținute în timpul raționamentului. Acestea sunt atât valori nevalide, care sunt notate cu puncte, cât și valori din inegalitățile obținute în urma transformărilor. Și aici este important să trageți punctele corect. Dacă inegalitatea este strictă, atunci< или >, atunci aceste valori sunt perforate. În inegalitățile nestricte, punctele trebuie pictate peste.

Apoi este necesar să se indice sensul inegalităților. Acest lucru se poate face cu hașurare sau arcuri. Intersecția lor va indica răspunsul.

A doua caracteristică este legată de înregistrarea acesteia. Aici sunt oferite două opțiuni. Prima este inegalitatea finală. Al doilea este sub formă de goluri. Aici intră în necazuri. Răspunsul în lacune arată întotdeauna ca o variabilă cu un semn de proprietate și paranteze cu numere. Uneori există mai multe goluri, atunci trebuie să scrieți simbolul „și” între paranteze. Aceste semne arată astfel: ∈ și ∩. Parantezele de spațiere joacă, de asemenea, un rol. Rotunda este plasată atunci când punctul este exclus din răspuns, iar dreptunghiular include această valoare. Semnul infinitului este întotdeauna între paranteze.

Exemple de rezolvare a inegalităților

1. Rezolvați inegalitatea 7 - 5x ≥ 37.

După transformări simple, rezultă: -5x ≥ 30. Împărțind cu „-5”, puteți obține următoarea expresie: x ≤ -6. Acesta este deja un răspuns, dar se poate scrie în alt mod: x ∈ (-∞; -6].

2. Rezolvați inegalitatea dublă -4< 2x + 6 ≤ 8.

Mai întâi trebuie să scazi peste tot 6. Rezultă: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

În acest videoclip, vom analiza un întreg set de ecuații liniare care sunt rezolvate folosind același algoritm - de aceea sunt numite cele mai simple.

Pentru început, să definim: ce este o ecuație liniară și care dintre ele ar trebui să fie numită cea mai simplă?

O ecuație liniară este una în care există o singură variabilă și numai de gradul I.

Cea mai simplă ecuație înseamnă construcția:

Toate celelalte ecuații liniare sunt reduse la cele mai simple folosind algoritmul:

1. Deschideți paranteze, dacă există;
2. Mutați termenii care conțin o variabilă într-o parte a semnului egal și termenii fără variabilă în cealaltă;
3. Aduceți termeni similari la stânga și la dreapta semnului egal;
4. Împărțiți ecuația rezultată la coeficientul variabilei $x$ .

Desigur, acest algoritm nu ajută întotdeauna. Cert este că uneori, după toate aceste mașinațiuni, coeficientul variabilei $x$ se dovedește a fi egal cu zero. În acest caz, sunt posibile două opțiuni:

1. Ecuația nu are deloc soluții. De exemplu, când obțineți ceva de genul $0\cdot x=8$, de exemplu. în stânga este zero, iar în dreapta este un număr diferit de zero. În videoclipul de mai jos, vom analiza mai multe motive pentru care această situație este posibilă.
2. Soluția sunt toate numerele. Singurul caz în care acest lucru este posibil este atunci când ecuația a fost redusă la construcția $0\cdot x=0$. Este destul de logic că, indiferent de ce $x$ înlocuim, se va dovedi totuși „zero este egal cu zero”, adică. egalitate numerică corectă.

Și acum să vedem cum funcționează totul pe exemplul problemelor reale.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor

Astăzi ne ocupăm de ecuații liniare și doar de cele mai simple. În general, o ecuație liniară înseamnă orice egalitate care conține exact o variabilă și merge doar la primul grad.

Astfel de construcții sunt rezolvate aproximativ în același mod:

1. În primul rând, trebuie să deschideți parantezele, dacă există (ca în ultimul nostru exemplu);
2. Apoi aduceți similare
3. În cele din urmă, izolați variabila, adică tot ceea ce este legat de variabilă - termenii în care este conținut - este transferat într-o parte, iar tot ceea ce rămâne fără ea este transferat pe cealaltă parte.

Apoi, de regulă, trebuie să aduceți similar de fiecare parte a egalității rezultate, iar după aceea rămâne doar să împărțiți cu coeficientul de la "x", și vom obține răspunsul final.

În teorie, acest lucru pare frumos și simplu, dar în practică, chiar și elevii de liceu cu experiență pot face greșeli jignitoare în ecuații liniare destul de simple. De obicei, greșelile sunt făcute fie la deschiderea parantezelor, fie la numărarea „plusurilor” și „minusurilor”.

În plus, se întâmplă ca o ecuație liniară să nu aibă deloc soluții, sau astfel încât soluția să fie întreaga dreaptă numerică, adică. orice număr. Vom analiza aceste subtilități în lecția de astăzi. Dar vom începe, după cum ați înțeles deja, cu cel mai mult sarcini simple.

Schema de rezolvare a ecuatiilor liniare simple

Pentru început, permiteți-mi să scriu încă o dată întreaga schemă pentru rezolvarea celor mai simple ecuații liniare:

1. Extindeți parantezele, dacă există.
2. Seclude variabile, de ex. tot ceea ce conține „x” este transferat pe o parte, iar fără „x” - pe cealaltă.
3. Prezentăm termeni similari.
4. Împărțim totul cu coeficientul de la „x”.

Desigur, această schemă nu funcționează întotdeauna, are anumite subtilități și trucuri, iar acum le vom cunoaște.

Rezolvarea exemplelor reale de ecuații liniare simple

Sarcina 1

În primul pas, ni se cere să deschidem paranteze. Dar nu sunt în acest exemplu, așa că sărim peste acest pas. În a doua etapă, trebuie să izolăm variabilele. Vă rugăm să rețineți: vorbim doar despre termeni individuali. Hai să scriem:

Dăm termeni similari în stânga și în dreapta, dar acest lucru s-a făcut deja aici. Prin urmare, trecem la al patrulea pas: împărțim la un factor:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Aici avem răspunsul.

Sarcina #2

În această sarcină, putem observa parantezele, așa că să le extindem:

Atat in stanga cat si in dreapta vedem aproximativ aceeasi constructie, dar sa actionam conform algoritmului, i.e. variabile sechester:

Iată câteva de genul:

La ce rădăcini funcționează asta? Răspuns: pentru orice. Prin urmare, putem scrie că $x$ este orice număr.

Sarcina #3

A treia ecuație liniară este deja mai interesantă:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Sunt mai multe paranteze aici, dar nu sunt înmulțite cu nimic, doar au semne diferite în fața lor. Să le defalcăm:

Facem al doilea pas deja cunoscut de noi:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Să calculăm:

Efectuăm ultimul pas - împărțim totul cu coeficientul de la "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Lucruri de reținut atunci când rezolvați ecuații liniare

Dacă ignorăm sarcini prea simple, atunci aș dori să spun următoarele:

• După cum am spus mai sus, nu orice ecuație liniară are o soluție - uneori pur și simplu nu există rădăcini;
• Chiar dacă există rădăcini, zero poate intra printre ele - nu este nimic rău în asta.

Zero este același număr cu restul, nu ar trebui să-l discriminezi cumva sau să presupui că dacă obții zero, atunci ai greșit ceva.

O altă caracteristică este legată de extinderea parantezelor. Vă rugăm să rețineți: când există un „minus” în fața lor, îl eliminăm, dar între paranteze schimbăm semnele în opus. Și apoi îl putem deschide conform algoritmilor standard: vom obține ceea ce am văzut în calculele de mai sus.

Înțelegând asta simplu fapt vă va permite să evitați greșelile stupide și jignitoare în liceu atunci când faceți asemenea actiuni luate de la sine înțelese.

Rezolvarea ecuațiilor liniare complexe

Să trecem la mai multe ecuații complexe. Acum construcțiile vor deveni mai complicate și o funcție pătratică va apărea la efectuarea diferitelor transformări. Cu toate acestea, nu trebuie să vă fie teamă de acest lucru, deoarece dacă, conform intenției autorului, rezolvăm o ecuație liniară, atunci în procesul de transformare toate monomiile care conțin o funcție pătratică vor fi în mod necesar reduse.

Exemplul #1

Evident, primul pas este deschiderea parantezelor. Să facem asta cu mare atenție:

Acum să luăm confidențialitate:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Iată câteva de genul:

Evident, această ecuație nu are soluții, așa că în răspuns scriem după cum urmează:

\[\varietate \]

sau fără rădăcini.

Exemplul #2

Facem aceiași pași. Primul pas:

Să mutăm totul cu o variabilă la stânga și fără ea - la dreapta:

Iată câteva de genul:

Evident, această ecuație liniară nu are soluție, așa că o scriem astfel:

\[\varnothing\],

sau fără rădăcini.

Nuanțe ale soluției

Ambele ecuații sunt complet rezolvate. Pe exemplul acestor două expresii, ne-am asigurat încă o dată că, chiar și în cele mai simple ecuații liniare, totul poate să nu fie atât de simplu: poate fi fie unul, fie niciunul, fie infinit. În cazul nostru, am luat în considerare două ecuații, în ambele pur și simplu nu există rădăcini.

Dar aș dori să vă atrag atenția asupra unui alt fapt: cum să lucrați cu paranteze și cum să le extindeți dacă există un semn minus în fața lor. Luați în considerare această expresie:

Înainte de deschidere, trebuie să înmulțiți totul cu „x”. Vă rugăm să rețineți: înmulțiți fiecare termen individual. În interior sunt doi termeni - respectiv, doi termeni și se înmulțește.

Și abia după ce aceste transformări aparent elementare, dar foarte importante și periculoase au fost finalizate, paranteza poate fi deschisă din punctul de vedere că există un semn minus după el. Da, da: abia acum, când transformările sunt făcute, ne amintim că în fața parantezelor este un semn minus, ceea ce înseamnă că tot ce este dedesubt doar se schimbă semnele. În același timp, parantezele în sine dispar și, cel mai important, dispare și „minus” din față.

Facem același lucru cu a doua ecuație:

Nu întâmplător sunt atent la aceste fapte mici, aparent nesemnificative. Pentru că rezolvarea ecuațiilor este întotdeauna o succesiune de transformări elementare, unde incapacitatea de a efectua clar și competent acțiuni simple duce la faptul că elevii de liceu vin la mine și învață din nou să rezolve astfel de ecuații simple.

Bineînțeles, va veni și ziua în care vei perfecționa aceste abilități la automatism. Nu mai trebuie să faci atâtea transformări de fiecare dată, vei scrie totul într-un singur rând. Dar în timp ce doar înveți, trebuie să scrii fiecare acțiune separat.

Rezolvarea unor ecuații liniare și mai complexe

Ceea ce vom rezolva acum cu greu poate fi numit cea mai simplă sarcină, dar sensul rămâne același.

Sarcina 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Să înmulțim toate elementele din prima parte:

Să facem o retragere:

Iată câteva de genul:

Să facem ultimul pas:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Iată răspunsul nostru final. Și, în ciuda faptului că în procesul de rezolvare am avut coeficienți cu o funcție pătratică, totuși, ei s-au anulat reciproc, ceea ce face ca ecuația să fie exact liniară, nu pătrată.

Sarcina #2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Să facem primul pas cu atenție: înmulțiți fiecare element din prima paranteză cu fiecare element din al doilea. În total, după transformări ar trebui obținute patru termeni noi:

Și acum efectuați cu atenție înmulțirea în fiecare termen:

Să mutăm termenii cu „x” la stânga și fără - la dreapta:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Iată termeni similari:

Am primit un răspuns definitiv.

Nuanțe ale soluției

Cea mai importantă remarcă despre aceste două ecuații este aceasta: de îndată ce începem să înmulțim paranteze în care există mai mult de un termen, atunci aceasta se face după următoarea regulă: luăm primul termen din primul și înmulțim cu fiecare element. din a doua; apoi luăm al doilea element din primul și în mod similar ne înmulțim cu fiecare element din al doilea. Ca rezultat, obținem patru termeni.

Pe suma algebrică

Cu ultimul exemplu, aș dori să le reamintesc elevilor ce este o sumă algebrică. În matematica clasică, prin $1-7$ ne referim design simplu: Scădeți șapte din unu. În algebră, înțelegem prin aceasta următoarele: la numărul „unu” adăugăm un alt număr, și anume „minus șapte”. Această sumă algebrică diferă de suma aritmetică obișnuită.

De îndată ce efectuați toate transformările, fiecare adunare și înmulțire, începeți să vedeți construcții similare cu cele descrise mai sus, pur și simplu nu veți avea probleme în algebră când lucrați cu polinoame și ecuații.

În concluzie, să ne uităm la câteva exemple care vor fi chiar mai complexe decât cele la care tocmai ne-am uitat și, pentru a le rezolva, va trebui să extindem ușor algoritmul nostru standard.

Rezolvarea ecuațiilor cu o fracție

Pentru a rezolva astfel de sarcini, va mai trebui adăugat un pas la algoritmul nostru. Dar mai întâi, voi aminti algoritmul nostru:

1. Deschideți paranteze.
2. Variabile separate.
3. Aduceți similare.
4. Împărțiți cu un factor.

Din păcate, acest minunat algoritm, cu toată eficiența lui, nu este pe deplin potrivit atunci când avem fracții în fața noastră. Și în ceea ce vom vedea mai jos, avem o fracție în stânga și în dreapta în ambele ecuații.

Cum se lucrează în acest caz? Da, este foarte simplu! Pentru a face acest lucru, trebuie să adăugați încă un pas la algoritm, care poate fi efectuat atât înainte de prima acțiune, cât și după aceasta, și anume, pentru a scăpa de fracții. Astfel, algoritmul va fi după cum urmează:

1. Scapă de fracții.
2. Deschideți paranteze.
3. Variabile separate.
4. Aduceți similare.
5. Împărțiți cu un factor.

Ce înseamnă „să scapi de fracții”? Și de ce este posibil să faceți acest lucru atât după, cât și înainte de primul pas standard? De fapt, în cazul nostru, toate fracțiile sunt numerice în ceea ce privește numitorul, adică. peste tot numitorul este doar un număr. Prin urmare, dacă înmulțim ambele părți ale ecuației cu acest număr, atunci vom scăpa de fracții.

Exemplul #1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Să scăpăm de fracțiile din această ecuație:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Vă rugăm să rețineți: totul este înmulțit cu „patru” o dată, adică. doar pentru că ai două paranteze nu înseamnă că trebuie să înmulți fiecare dintre ele cu „patru”. Hai să scriem:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Acum să-l deschidem:

Efectuăm izolarea unei variabile:

Efectuăm reducerea termenilor similari:

\[-4x=-1\left| :\stânga(-4 \dreapta) \dreapta.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Am primit soluția finală, trecem la a doua ecuație.

Exemplul #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Aici efectuăm toate aceleași acțiuni:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problema rezolvata.

Asta, de fapt, este tot ce am vrut să spun astăzi.

Puncte cheie

Principalele constatări sunt următoarele:

• Cunoașteți algoritmul de rezolvare a ecuațiilor liniare.
• Abilitatea de a deschide paranteze.
• Nu vă faceți griji dacă aveți undeva funcții pătratice, cel mai probabil, în procesul de transformări ulterioare, acestea vor fi reduse.
• Rădăcinile din ecuațiile liniare, chiar și cele mai simple, sunt de trei tipuri: o singură rădăcină, întreaga linie numerică este o rădăcină, nu există deloc rădăcini.

Sper că această lecție vă va ajuta să stăpâniți un subiect simplu, dar foarte important pentru înțelegerea ulterioară a tuturor matematicii. Dacă ceva nu este clar, intră pe site, rezolvă exemplele prezentate acolo. Rămâneți pe fază, sunt multe alte lucruri interesante care vă așteaptă!

În această lecție, vom lua în considerare metode de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare. În cursul matematicii superioare, sistemele de ecuații liniare trebuie să fie rezolvate atât sub formă de sarcini separate, de exemplu, „Rezolvați sistemul folosind formulele lui Cramer”, cât și în cursul rezolvării altor probleme. Trebuie să se ocupe de sisteme de ecuații liniare în aproape toate ramurile matematicii superioare.

În primul rând, o mică teorie. Ce înseamnă cuvântul matematic „liniar” în acest caz? Aceasta înseamnă că în ecuațiile sistemului Toate sunt incluse variabilele în gradul întâi: fără chestii de lux ca etc., de la care doar participanții la olimpiadele matematice sunt încântați.

În matematica superioară, nu numai literele familiare din copilărie sunt folosite pentru a desemna variabile.
O opțiune destul de populară sunt variabilele cu indici: .
Sau literele inițiale ale alfabetului latin, mici și mari:
Nu este atât de rar să găsești litere grecești: - binecunoscute de mulți „alfa, beta, gama”. Și, de asemenea, un set cu indici, să zicem, cu litera „mu”:

Folosirea unuia sau altui set de litere depinde de ramura matematicii superioare în care ne confruntăm cu un sistem de ecuații liniare. Deci, de exemplu, în sistemele de ecuații liniare întâlnite în rezolvarea integralelor, ecuatii diferentiale notație folosită în mod tradițional

Dar indiferent de modul în care sunt desemnate variabilele, principiile, metodele și metodele de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare nu se schimbă de la aceasta. Astfel, dacă dai peste ceva groaznic de genul, nu te grăbi să închizi cartea cu probleme de frică, la urma urmei, în schimb poți desena soarele, în schimb - o pasăre și în schimb - o față (a unui profesor). Și, în mod ciudat, se poate rezolva și un sistem de ecuații liniare cu aceste notații.

Ceva am o astfel de presimțire că articolul se va dovedi a fi destul de lung, deci un mic cuprins. Deci, „debriefingul” secvenţial va fi după cum urmează:

– Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare prin metoda substituției (“ metoda scolara») ;
– Rezolvarea sistemului prin metoda adunării (scăderii) termen cu termen a ecuațiilor sistemului;
– Rezolvarea sistemului prin formulele lui Cramer;
– Rezolvarea sistemului folosind matricea inversă;
– Rezolvarea sistemului prin metoda Gauss.

Toată lumea este familiarizată cu sistemele de ecuații liniare de la cursul de matematică din școală. De fapt, începem cu repetarea.

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare prin metoda substituției

Această metodă poate fi numită și „metoda școlii” sau metoda eliminării necunoscutelor. Figurat vorbind, poate fi numită și „metoda Gauss pe jumătate terminată”.

Exemplul 1

Aici avem un sistem de două ecuații cu două necunoscute. Rețineți că termenii liberi (numerele 5 și 7) sunt localizați în partea stângă a ecuației. În general, nu contează unde se află, în stânga sau în dreapta, doar că în problemele de matematică superioară ele sunt adesea localizate așa. Și o astfel de înregistrare nu ar trebui să fie confuză, dacă este necesar, sistemul poate fi întotdeauna scris „ca de obicei”:. Nu uitați că atunci când transferați un termen dintr-o parte în parte, trebuie să îi schimbați semnul.

Ce înseamnă să rezolvi un sistem de ecuații liniare? Rezolvarea unui sistem de ecuații înseamnă găsirea mulțimii soluțiilor sale. Soluția sistemului este un set de valori ale tuturor variabilelor incluse în acesta, care transformă FIECARE ecuație a sistemului într-o adevărată egalitate. În plus, sistemul poate fi incompatibil (nu am solutii).Nu fi timid, este definiție generală=) Vom avea o singură valoare a lui "x" și o singură valoare a lui "y", care satisfac fiecare ecuație cu-noi.

Există metoda grafica soluții la sistem, care pot fi găsite în lecție Cele mai simple probleme cu o linie dreaptă. Acolo am vorbit despre sens geometric sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute. Dar acum în curte este epoca algebrei, și numere-numere, acțiuni-acțiuni.

Noi decidem: din prima ecuație exprimăm:
Inlocuim expresia rezultata in a doua ecuatie:

Deschidem parantezele, dăm termeni similari și găsim valoarea:

În continuare, ne amintim din ce au dansat:
Știm deja valoarea, rămâne de găsit:

Răspuns:

După ce ORICE sistem de ecuații a fost rezolvat în ORICE mod, recomand cu tărie verificarea (oral, pe o ciornă sau pe calculator). Din fericire, acest lucru se face rapid și ușor.

1) Înlocuiți răspunsul găsit în prima ecuație:

- se obţine egalitatea corectă.

2) Inlocuim raspunsul gasit in a doua ecuatie:

- se obţine egalitatea corectă.

Sau, pentru a spune mai simplu, „totul a venit împreună”

Metoda de rezolvare avută în vedere nu este singura; din prima ecuație s-a putut exprima , dar nu .
Puteți și invers - exprimați ceva din a doua ecuație și înlocuiți-l în prima ecuație. Apropo, rețineți că cea mai dezavantajoasă dintre cele patru moduri este de a exprima din a doua ecuație:

Se obțin fracții, dar de ce? Există o soluție mai rațională.

Cu toate acestea, în unele cazuri, fracțiile sunt încă indispensabile. În acest sens, vă atrag atenția asupra CUM am scris expresia. Nu așa: și nicidecum așa: .

Dacă la matematică superioară aveți de-a face cu numere fracționale, atunci încercați să efectuați toate calculele în fracții improprii obișnuite.

Mai exact, nu sau!

Virgula poate fi folosită doar ocazional, în special dacă - acesta este răspunsul final la o anumită problemă și nu trebuie efectuate alte acțiuni cu acest număr.

Mulți cititori probabil s-au gândit „de ce o explicație atât de detaliată, ca pentru o clasă de corecție, și totul este clar”. Nimic asemănător, pare atât de simplu exemplu de școală, și câte concluzii FOARTE importante! Iată încă una:

Orice sarcină ar trebui să fie îndeplinită în cel mai rațional mod.. Numai pentru că economisește timp și nervi și, de asemenea, reduce probabilitatea de a face o greșeală.

Dacă într-o sarcină de matematică superioară întâlniți un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute, atunci puteți utiliza întotdeauna metoda substituției (cu excepția cazului în care se indică faptul că sistemul trebuie rezolvat printr-o altă metodă).
Mai mult decât atât, în unele cazuri, metoda substituției este indicată de utilizat cu un număr mai mare de variabile.

Exemplul 2

Rezolvați un sistem de ecuații liniare cu trei necunoscute

Un sistem similar de ecuații apare adesea atunci când se utilizează așa-numita metodă a coeficienților nedeterminați, când găsim integrala unei funcții fracționale raționale. Sistemul cu pricina a fost luat de mine de acolo.

La găsirea integralei - scopul rapid găsiți valorile coeficienților și nu fiți sofisticați cu formulele lui Cramer, metoda matrice inversă etc. Prin urmare, în acest caz, metoda de substituție este adecvată.

Când este dat orice sistem de ecuații, în primul rând este de dorit să aflăm, dar este posibil să-l simplificăm cumva IMMEDIAT? Analizând ecuațiile sistemului, observăm că a doua ecuație a sistemului poate fi împărțită la 2, ceea ce facem:

Referinţă: semn matematicînseamnă „din aceasta urmează aceasta”, este adesea folosit în cursul rezolvării problemelor.

Acum analizăm ecuațiile, trebuie să exprimăm o variabilă prin restul. Ce ecuație să alegi? Probabil ați ghicit deja că cel mai simplu mod în acest scop este să luați prima ecuație a sistemului:

Aici, nu contează ce variabilă să exprimăm, la fel de bine s-ar putea exprima sau .

În continuare, înlocuim expresia pentru în a doua și a treia ecuație a sistemului:

Deschideți parantezele și adăugați termeni similari:

Împărțim a treia ecuație la 2:

Din a doua ecuație, exprimăm și substituim în a treia ecuație:

Aproape totul este gata, din a treia ecuație găsim:
Din a doua ecuație:
Din prima ecuație:

Verificați: Înlocuiți valorile găsite ale variabilelor din partea stângă a fiecărei ecuații a sistemului:

1)
2)
3)

Se obțin părțile din dreapta corespunzătoare ale ecuațiilor, astfel încât soluția este găsită corect.

Exemplul 3

Rezolvați un sistem de ecuații liniare cu 4 necunoscute

Acesta este un exemplu pentru solutie independenta(răspuns la sfârșitul lecției).

Rezolvarea sistemului prin adunarea (scăderea) termen cu termen a ecuațiilor sistemului

În timpul rezolvării sistemelor de ecuații liniare, ar trebui să încercați să folosiți nu „metoda școlii”, ci metoda adunării (scăderii) termen cu termen a ecuațiilor sistemului. De ce? Acest lucru economisește timp și simplifică calculele, cu toate acestea, acum va deveni mai clar.

Exemplul 4

Rezolvați sistemul de ecuații liniare:

Am luat același sistem ca primul exemplu.
Analizând sistemul de ecuații, observăm că coeficienții variabilei sunt identici în valoare absolută și opuși în semn (–1 și 1). În această situație, ecuațiile pot fi adăugate termen cu termen:

Acțiunile încercuite cu roșu sunt efectuate MENTAL.
După cum puteți vedea, ca urmare a adunării pe termeni, am pierdut variabila . Aceasta, de fapt, este esența metodei este de a scăpa de una dintre variabile.

Primul nivel

Ecuatii lineare. Ghid complet (2019)

Ce sunt „ecuațiile liniare”

sau verbal - câte trei prieteni au primit mere, pe baza faptului că Vasya are toate merele.

Și acum te-ai hotărât ecuație liniară
Acum să dăm acestui termen o definiție matematică.

Ecuație liniară - este o ecuație algebrică al cărei grad total al polinoamelor sale constitutive este. Arata cam asa:

Unde și sunt orice numere și

Pentru cazul nostru cu Vasya și mere, vom scrie:

- „dacă Vasia le dă tuturor celor trei prieteni același număr de mere, nu va mai avea mere”

Ecuații liniare „ascunse” sau importanța transformărilor identice

În ciuda faptului că la prima vedere totul este extrem de simplu, atunci când rezolvați ecuații, trebuie să fiți atenți, deoarece ecuațiile liniare sunt numite nu numai ecuații ale formei, ci și orice ecuații care sunt reduse la această formă prin transformări și simplificări. De exemplu:

Vedem că este în dreapta, ceea ce, teoretic, indică deja că ecuația nu este liniară. Mai mult, dacă deschidem paranteze, vom obține încă doi termeni în care va fi, dar nu sari la concluzii! Înainte de a judeca dacă ecuația este liniară, este necesar să faceți toate transformările și astfel să simplificați exemplul original. În acest caz, transformările se pot schimba aspect, dar nu însăși esența ecuației.

Cu alte cuvinte, aceste transformări trebuie să fie identic sau echivalent. Există doar două astfel de transformări, dar joacă foarte, FOARTE rol important la rezolvarea problemelor. Să luăm în considerare ambele transformări pe exemple concrete.

Deplasați la stânga - la dreapta.

Să presupunem că trebuie să rezolvăm următoarea ecuație:

De asemenea, în școală primară ni s-a spus: „cu X – la stânga, fără X – la dreapta”. Ce expresie cu x este în dreapta? Corect, nu cum nu. Și acest lucru este important, pentru că dacă acest lucru este înțeles greșit, s-ar părea intrebare simpla, dă un răspuns incorect. Și care este expresia cu x în stânga? Dreapta, .

Acum că ne-am ocupat de asta, transferăm toți termenii cu necunoscute către partea stanga, și tot ceea ce este cunoscut - în dreapta, amintindu-ne că, dacă nu există niciun semn în fața numărului, de exemplu, atunci numărul este pozitiv, adică este precedat de semnul „”.

S-a mutat? Ce ai primit?

Tot ce rămâne de făcut este să aducem condiții similare. Vă prezentăm:

Așadar, am analizat cu succes prima transformare identică, deși sunt sigur că o știai deja și o folosești activ fără mine. Principalul lucru - nu uitați de semnele pentru numere și schimbați-le la opus atunci când transferați prin semnul egal!

Înmulțire-împărțire.

Să începem imediat cu un exemplu

Ne uităm și ne gândim: ce nu ne place în acest exemplu? Necunoscutul este totul într-o parte, cunoscutul este în cealaltă, dar ceva ne oprește... Și acesta este ceva - un patru, pentru că dacă nu ar fi acolo, totul ar fi perfect - x este egal cu un număr - exact cum avem nevoie!

Cum poți scăpa de ea? Nu putem transfera la dreapta, pentru că atunci trebuie să transferăm întregul multiplicator (nu îl putem lua și smulge din el), iar transferul întregului multiplicator, de asemenea, nu are sens ...

Este timpul să ne amintim despre împărțirea, în legătură cu care vom împărți totul doar în! Toate - asta înseamnă atât partea stângă, cât și cea dreaptă. Așa și numai așa! Ce primim?

Iată răspunsul.

Să ne uităm acum la un alt exemplu:

Ghiciți ce să faceți în acest caz? Așa este, înmulțiți părțile din stânga și din dreapta cu! Ce răspuns ai primit? Dreapta. .

Cu siguranță știai deja totul despre transformări identice. Luați în considerare că tocmai am reîmprospătat aceste cunoștințe în memoria dvs. și este timpul pentru ceva mai mult - De exemplu, pentru a rezolva marele nostru exemplu:

După cum am spus mai devreme, privindu-l, nu poți spune asta ecuația dată este liniară, dar trebuie să deschidem parantezele și să efectuăm transformări identice. Asadar, haideti sa începem!

Pentru început, amintim formulele de înmulțire prescurtată, în special, pătratul sumei și pătratul diferenței. Dacă nu vă amintiți ce este și cum se deschid parantezele, vă recomand să citiți subiectul, deoarece aceste abilități vă vor fi utile atunci când rezolvați aproape toate exemplele găsite la examen.
Dezvăluit? Comparaţie:

Acum este timpul să aducem condiții similare. Îți amintești cum suntem în același timp școală primară au spus „nu punem muște cu cotlet”? Aici vă reamintesc de asta. Adăugăm totul separat - factori care au, factori care au și alți factori care nu au necunoscute. Pe măsură ce aduceți termeni similari, mutați toate necunoscutele la stânga și tot ceea ce este cunoscut la dreapta. Ce ai primit?

După cum puteți vedea, pătratul x a dispărut și vedem un complet obișnuit ecuație liniară. Rămâne doar de găsit!

Și, în sfârșit, voi spune încă un lucru foarte important despre transformările identice - transformările identice sunt aplicabile nu numai pentru ecuații liniare, ci și pentru pătrat, rațional fracțional și altele. Trebuie doar să rețineți că atunci când transferăm factori prin semnul egal, schimbăm semnul în opus, iar când împărțim sau înmulțim cu un număr, înmulțim / împărțim ambele părți ale ecuației cu același număr.

Ce altceva ai luat din acest exemplu? Că, privind o ecuație, nu este întotdeauna posibil să se determine în mod direct și precis dacă este liniară sau nu. Mai întâi trebuie să simplificați complet expresia și abia apoi să judecați ce este.

Ecuatii lineare. Exemple.

Iată încă câteva exemple pe care să le exersați pe cont propriu - determinați dacă ecuația este liniară și, dacă da, găsiți-i rădăcinile:

Raspunsuri:

1. Este.

2. Nu este.

Să deschidem parantezele și să dăm termeni similari:

Să facem o transformare identică - împărțim părțile din stânga și din dreapta în:

Vedem că ecuația nu este liniară, deci nu este nevoie să-i căutăm rădăcinile.

3. Este.

Să facem o transformare identică - înmulțiți părțile din stânga și din dreapta cu pentru a scăpa de numitor.

Gândiți-vă de ce este atât de important să? Dacă știți răspunsul la această întrebare, trecem la rezolvarea ulterioară a ecuației, dacă nu, asigurați-vă că vă uitați la subiect pentru a nu greși în mai multe exemple dificile. Apropo, după cum puteți vedea, o situație în care este imposibil. De ce?
Deci, să mergem mai departe și să rearanjam ecuația:

Dacă ați făcut față cu totul fără dificultate, să vorbim despre ecuații liniare cu două variabile.

Ecuații liniare cu două variabile

Acum să trecem la una puțin mai complicată - ecuații liniare cu două variabile.

Ecuatii lineare cu două variabile arată astfel:

Unde, și sunt orice numere și.

După cum puteți vedea, singura diferență este că se adaugă încă o variabilă la ecuație. Și deci totul este la fel - nu există x pătrat, nu există împărțire printr-o variabilă etc. și așa mai departe.

Ce exemplu de viață să-ți dau... Să luăm același Vasya. Să presupunem că decide că va oferi fiecăruia dintre cei 3 prieteni ai săi același număr de mere și să păstreze merele pentru el. Câte mere trebuie să cumpere Vasya dacă îi dă fiecărui prieten câte un măr? Ce ziceti? Ce dacă prin?

Dependența numărului de mere pe care le va primi fiecare persoană de numărul total de mere care trebuie achiziționate va fi exprimată prin ecuația:

• - numărul de mere pe care o persoană le va primi (, sau, sau);
• - numărul de mere pe care Vasya le va lua pentru sine;
• - câte mere trebuie să cumpere Vasya, ținând cont de numărul de mere de persoană.

Rezolvând această problemă, obținem că, dacă Vasya îi dă unui prieten un măr, atunci el trebuie să cumpere bucăți, dacă dă mere - și așa mai departe.

Și în general vorbind. Avem două variabile. De ce să nu reprezentați această dependență pe un grafic? Construim și marcam valoarea noastră, adică puncte, cu coordonate, și!

După cum puteți vedea, și depind unul de celălalt liniar, de unde și numele ecuațiilor - „ liniar».

Facem abstracție de la mere și luăm în considerare ecuații diferite din punct de vedere grafic. Priviți cu atenție cele două grafice construite - o linie dreaptă și o parabolă, date de funcții arbitrare:

Găsiți și marcați punctele corespunzătoare pe ambele figuri.
Ce ai primit?

Puteți vedea asta pe graficul primei funcție singur corespunde unu, adică și depind liniar unul de celălalt, ceea ce nu se poate spune despre a doua funcție. Desigur, puteți obiecta că pe cel de-al doilea grafic, x corespunde și cu - , dar acesta este doar un punct, adică un caz special, deoarece încă puteți găsi unul care corespunde mai multor. Iar graficul construit nu seamănă în niciun fel cu o linie, ci este o parabolă.

Repet, inca o data: graficul unei ecuații liniare trebuie să fie o dreaptă DREPTĂ.

Cu faptul că ecuația nu va fi liniară dacă mergem în orice măsură - acest lucru este de înțeles folosind exemplul unei parabole, deși pentru tine poți construi câteva grafice mai simple, de exemplu sau. Dar vă asigur - niciunul dintre ele nu va fi o LINIE DREPTĂ.

Nu crede? Construiește și apoi compară cu ceea ce am primit:

Și ce se întâmplă dacă împărțim ceva cu, de exemplu, un număr? Va exista o dependență liniară și? Nu ne vom certa, dar vom construi! De exemplu, să reprezentăm graficul unei funcții.

Cumva, nu arată ca o linie dreaptă construită ... în consecință, ecuația nu este liniară.
Să rezumăm:

1. Ecuație liniară - este o ecuație algebrică în care gradul total al polinoamelor sale constitutive este egal.
2. Ecuație liniară cu o variabilă arată astfel:
   , unde și sunt orice numere;
   Ecuație liniară cu doua variabile:
   , unde și sunt orice numere.
3. Nu este întotdeauna posibil să se determine dacă o ecuație este liniară sau nu. Uneori, pentru a înțelege acest lucru, este necesar să efectuați transformări identice, să mutați termeni similari la stânga/dreapta, fără a uita să schimbați semnul, sau să înmulțiți / împărțiți ambele părți ale ecuației cu același număr.

ECUATII LINEARE. SCURT DESPRE PRINCIPALA

1. Ecuație liniară

Aceasta este o ecuație algebrică în care gradul total al polinoamelor sale constitutive este egal.

2. Ecuație liniară cu o variabilă se pare ca:

Unde și sunt numerele;

3. Ecuație liniară cu două variabile se pare ca:

Unde și sunt orice numere.

4. Transformări identitare

Pentru a determina dacă ecuația este liniară sau nu, este necesar să se facă transformări identice:

• mutați la stânga/dreapta ca termeni, fără a uita să schimbați semnul;
• înmulțiți/împărțiți ambele părți ale ecuației cu același număr.