Sistemul de ecuații se numește definit. Rezolvarea sistemelor prin metoda substituției
Citeste si
- dacă sistemul este colaborativ;
- dacă sistemul este consistent, atunci este definit sau nedefinit (criteriul compatibilității sistemului este determinat de teoremă);
- dacă sistemul este definit, atunci cum să îl găsiți singura decizie(se folosesc metoda Cramer, metoda matricei inverse sau metoda Jordan-Gauss);
- dacă sistemul este nedefinit, atunci cum se descrie setul soluțiilor sale.
Clasificarea sistemelor de ecuații liniare
Un sistem arbitrar de ecuații liniare are forma:a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
...................................................
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a m n x n = b m
- Sisteme de ecuații liniare neomogene (numărul de variabile este egal cu numărul de ecuații, m = n).
- Sisteme arbitrare de ecuații liniare neomogene (m > n sau m< n).
Definiție. Se spune că două sisteme sunt echivalente dacă soluția primului este soluția celui de-al doilea și invers.
Definiție. Un sistem care are cel puțin o soluție este numit comun. Un sistem care nu are nicio soluție se numește inconsistent.
Definiție. Se numește un sistem cu o soluție unică anumit, iar a avea mai multe soluții este nedefinit.
Algoritm pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare
- Găsiți rangurile matricelor principale și extinse. Dacă nu sunt egale, atunci, după teorema Kronecker-Capelli, sistemul este inconsecvent și aici se termină studiul.
- Fie rang(A) = rang(B) . Selectăm minorul de bază. În acest caz, toate sistemele necunoscute de ecuații liniare sunt împărțite în două clase. Necunoscutele, ai căror coeficienți sunt incluși în minorul de bază, se numesc dependente, iar necunoscutele, ai căror coeficienți nu sunt incluși în minorul de bază, se numesc libere. Rețineți că alegerea necunoscutelor dependente și libere nu este întotdeauna unică.
- Tăiem acele ecuații ale sistemului ai căror coeficienți nu au fost incluși în minorul de bază, deoarece sunt consecințe ale restului (conform teoremei minorului de bază).
- Termenii ecuațiilor care conțin necunoscute libere vor fi transferați în partea dreaptă. Ca urmare, obținem un sistem de r ecuații cu r necunoscute, echivalent cu cel dat, al cărui determinant este diferit de zero.
- Sistemul rezultat este rezolvat în una din următoarele moduri: metoda Cramer, metoda matricei inverse sau metoda Jordan-Gauss. Se găsesc relaţii care exprimă variabilele dependente în termenii celor libere.
Continuăm să ne ocupăm de sisteme de ecuații liniare. Până acum, am luat în considerare sisteme care au o soluție unică. Astfel de sisteme pot fi rezolvate în orice mod: metoda de substitutie("şcoală") prin formulele lui Cramer, metoda matricei, metoda Gauss. Cu toate acestea, încă două cazuri sunt larg răspândite în practică atunci când:
1) sistemul este inconsecvent (nu are soluții);
2) sistemul are infinite de soluții.
Pentru aceste sisteme, se utilizează cea mai universală dintre toate metodele de soluție - metoda Gauss. De fapt, metoda „școală” va duce și ea la răspuns, dar în matematica superioară se obișnuiește să se folosească metoda gaussiană a eliminării succesive a necunoscutelor. Cei care nu sunt familiarizați cu algoritmul metodei Gauss, vă rugăm să studiați mai întâi lecția metoda Gauss
Transformările matricei elementare în sine sunt exact aceleași, diferența va fi în finalul soluției. Mai întâi, luați în considerare câteva exemple în care sistemul nu are soluții (incoerente).
Exemplul 1
Ce vă atrage imediat atenția în acest sistem? Numărul de ecuații este mai mic decât numărul de variabile. Există o teoremă care spune: „Dacă numărul de ecuații din sistem cantitate mai mica variabile, atunci sistemul fie este inconsecvent, fie are infinite de soluții.Și rămâne doar de aflat.
Începutul soluției este destul de obișnuit - scriem matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, o aducem într-o formă treptat:
(1). Pe pasul din stânga sus, trebuie să obținem (+1) sau (-1). Nu există astfel de numere în prima coloană, așa că rearanjarea rândurilor nu va funcționa. Unitatea va trebui organizată independent, iar acest lucru se poate face în mai multe moduri. Așa am făcut. La prima linie adăugăm a treia linie, înmulțită cu (-1).
(2). Acum obținem două zerouri în prima coloană. La a doua linie, adăugați prima linie, înmulțită cu 3. La a treia linie, adăugați prima, înmulțită cu 5.
(3). După ce transformarea este făcută, este întotdeauna recomandabil să vedeți dacă este posibil să simplificați șirurile rezultate? Poate sa. Împărțim a doua linie la 2, obținând în același timp și cea dorită (-1) pe a doua treaptă. Împărțiți a treia linie la (-3).
(4). Adăugați a doua linie la a treia linie. Probabil, toată lumea a acordat atenție liniei proaste, care s-a dovedit ca urmare a transformărilor elementare:
. Este clar că nu poate fi așa.
Într-adevăr, rescriem matricea rezultată
înapoi la sistemul de ecuații liniare:
Dacă în urma transformărilor elementare un şir de formă , Undeλ este un număr diferit de zero, atunci sistemul este inconsecvent (nu are soluții).
Cum să înregistrezi sfârșitul unei sarcini? Trebuie să scrieți fraza:
„În urma transformărilor elementare se obține un șir de formă, unde λ ≠ 0 ". Răspuns: „Sistemul nu are soluții (incoerente).”
Vă rugăm să rețineți că în acest caz nu există o mișcare inversă a algoritmului gaussian, nu există soluții și pur și simplu nu există nimic de găsit.
Exemplul 2
Rezolvați un sistem de ecuații liniare 
Acesta este un exemplu pentru solutie independenta. Soluție completăși răspunsul la sfârșitul lecției.
Din nou, vă reamintim că procesul dvs. de soluție poate diferi de procesul nostru de soluție, metoda Gauss nu stabilește un algoritm clar, trebuie să ghiciți procedura și acțiunile în sine în fiecare caz în mod independent.
Încă unul caracteristica tehnica soluții: transformările elementare pot fi oprite O dată, de îndată ce o linie ca , unde λ ≠ 0 . Luați în considerare un exemplu condiționat: să presupunem că după prima transformare obținem o matrice
.
Această matrice nu a fost încă redusă la o formă în trepte, dar nu este nevoie de alte transformări elementare, deoarece a apărut o linie a formei, unde λ ≠ 0 . Ar trebui să se răspundă imediat că sistemul este incompatibil.
Când un sistem de ecuații liniare nu are soluții, acesta este aproape un cadou pentru elev, deoarece se obține o soluție scurtă, uneori literalmente în 2-3 pași. Dar totul în această lume este echilibrat, iar problema în care sistemul are infinit de soluții este doar mai lungă.
Exemplul 3:
Rezolvați un sistem de ecuații liniare
Există 4 ecuații și 4 necunoscute, deci sistemul poate fie să aibă o singură soluție, fie să nu aibă soluții, fie să aibă infinite de soluții. Oricare ar fi fost, dar metoda Gauss, în orice caz, ne va conduce la răspuns. Aceasta este versatilitatea sa.
Începutul este din nou standard. Scriem matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, o aducem la o formă de pas:
Asta e tot și ți-a fost frică.
(1). Vă rugăm să rețineți că toate numerele din prima coloană sunt divizibile cu 2, așa că pe treapta din stânga sus ne mulțumim și cu un doi. La a doua linie adăugăm prima linie, înmulțită cu (-4). La a treia linie adăugăm prima linie, înmulțită cu (-2). La a patra linie adăugăm prima linie, înmulțită cu (-1).
Atenţie! Mulți pot fi tentați din a patra linie scădea prima linie. Acest lucru se poate face, dar nu este necesar, experiența arată că probabilitatea unei erori în calcule crește de mai multe ori. Adăugăm doar: la a patra linie adăugăm prima linie, înmulțită cu (-1) - exact!
(2). Ultimele trei rânduri sunt proporționale, două dintre ele pot fi șterse. Aici din nou este necesar să se arate atenție sporită, dar liniile sunt într-adevăr proporționale? Pentru reasigurare, nu va fi de prisos să înmulțiți al doilea rând cu (-1) și să împărțiți al patrulea rând cu 2, rezultând trei rânduri identice. Și numai după aceea eliminați două dintre ele. Ca rezultat al transformărilor elementare, matricea extinsă a sistemului este redusă la o formă în trepte:
Când finalizați o sarcină într-un caiet, este recomandabil să faceți aceleași note în creion pentru claritate.
Rescriem sistemul de ecuații corespunzător: 
Singura soluție „obișnuită” a sistemului nu miroase aici. Linie proastă unde λ ≠ 0, de asemenea nu. Prin urmare, acesta este al treilea caz rămas - sistemul are infinite de soluții.
Setul infinit de soluții ale sistemului este scris pe scurt sub forma așa-numitului soluție generală de sistem.
Vom găsi soluția generală a sistemului folosind mișcarea inversă a metodei Gauss. Pentru sistemele de ecuații cu un set infinit de soluții apar concepte noi: „variabile de bază”Și "variabile libere". Mai întâi, să definim ce variabile avem de bazăși ce variabile - gratuit. Nu este necesar să explicăm în detaliu termenii algebrei liniare, este suficient să ne amintim că există astfel variabile de bazăȘi variabile libere.
Variabilele de bază „stau” întotdeauna strict pe treptele matricei. ÎN acest exemplu variabilele de bază sunt X 1 și X 3 .
Variabilele gratuite sunt totul rămas variabile care nu au primit un pas. În cazul nostru, sunt două: X 2 și X 4 - variabile libere.
Acum ai nevoie Toatevariabile de bază expres numai prinvariabile libere. Mișcarea inversă a algoritmului gaussian funcționează în mod tradițional de jos în sus. Din a doua ecuație a sistemului, exprimăm variabila de bază X 3:
Acum uitați-vă la prima ecuație: 
. Mai întâi, înlocuim expresia găsită în ea:
Rămâne de exprimat variabila de bază X 1 prin variabile libere X 2 și X 4:
Rezultatul este ceea ce aveți nevoie - Toate variabile de bază ( X 1 și X 3) exprimat numai prin variabile libere ( X 2 și X 4):
De fapt, decizie comună gata:
.
Cum să notez soluția generală? În primul rând, variabilele libere sunt scrise în soluția generală „pe cont propriu” și strict la locul lor. În acest caz, variabilele libere X 2 și X 4 trebuie scris în pozițiile a doua și a patra:
.
Expresiile rezultate pentru variabilele de bază și, evident, trebuie scris în prima și a treia poziție:
Din soluția generală a sistemului, se pot găsi infinitate decizii private. E foarte simplu. variabile libere X 2 și X 4 sunt numite astfel pentru că pot fi date orice valori finale. Cele mai populare valori sunt valorile zero, deoarece aceasta este cea mai simplă modalitate de a obține o anumită soluție.
Înlocuind ( X 2 = 0; X 4 = 0) în soluția generală, obținem una dintre soluțiile particulare:
, sau este o soluție particulară corespunzătoare variabilelor libere cu valori ( X 2 = 0; X 4 = 0).
Cei sunt un alt cuplu dulce, să înlocuim ( X 2 = 1 și X 4 = 1) în soluția generală:
, adică (-1; 1; 1; 1) este o altă soluție particulară.
Este ușor de observat că sistemul de ecuații are infinit de solutiiîntrucât putem da variabile libere orice valorile.
Fiecare o anumită soluție trebuie să satisfacă Pentru fiecare ecuația sistemului. Aceasta este baza pentru o verificare „rapidă” a corectitudinii soluției. Luați, de exemplu, o anumită soluție (-1; 1; 1; 1) și înlocuiți-o în partea stângă a fiecărei ecuații din sistemul original:
Totul trebuie să vină împreună. Și cu orice soluție specială pe care o obțineți, totul ar trebui să convergă.
Strict vorbind, verificarea unei anumite soluții înșală uneori, i.e. o anumită soluție poate satisface fiecare ecuație a sistemului, iar soluția generală în sine este de fapt găsită incorect. Prin urmare, în primul rând, verificarea soluției generale este mai amănunțită și mai fiabilă.
Cum se verifică soluția generală rezultată 
?
Nu este dificil, dar necesită o transformare destul de lungă. Trebuie să luăm expresii de bază variabile, în acest caz 
și , și înlocuiți-le în partea stângă a fiecărei ecuații a sistemului.
În partea stângă a primei ecuații a sistemului:
Se obține partea dreaptă a primei ecuații originale a sistemului.
În partea stângă a celei de-a doua ecuații a sistemului:
Se obține partea dreaptă a celei de-a doua ecuații originale a sistemului.
Și mai departe - în partea stângă a celei de-a treia și a patra ecuații ale sistemului. Această verificare este mai lungă, dar garantează corectitudinea 100% a soluției globale. În plus, în unele sarcini este necesară verificarea soluției generale.
Exemplul 4:
Rezolvați sistemul folosind metoda Gauss. Găsiți o soluție generală și două private. Verificați soluția generală.
Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Aici, apropo, din nou numărul de ecuații este mai mic decât numărul de necunoscute, ceea ce înseamnă că este imediat clar că sistemul va fi fie inconsecvent, fie cu un număr infinit de soluții.
Exemplul 5:
Rezolvați un sistem de ecuații liniare. Dacă sistemul are infinit de soluții, găsiți două soluții particulare și verificați soluția generală
Soluţie: Să notăm matricea extinsă a sistemului și, cu ajutorul transformărilor elementare, să o aducem într-o formă în trepte:
(1). Adăugați prima linie la a doua linie. La a treia linie adăugăm prima linie înmulțită cu 2. La a patra linie adăugăm prima linie înmulțită cu 3.
(2). La a treia linie adăugăm a doua linie, înmulțită cu (-5). La a patra linie adăugăm a doua linie, înmulțită cu (-7).
(3). Al treilea și al patrulea rând sunt aceleași, ștergem unul dintre ele. Iată o asemenea frumusețe:
Variabilele de bază se află pe trepte, deci sunt variabile de bază.
Există o singură variabilă liberă, care nu a primit un pas: .
(4). Mișcare inversă. Exprimăm variabilele de bază în termeni de variabilă liberă:
Din a treia ecuație:
Luați în considerare a doua ecuație și înlocuiți în ea expresia găsită:
, 
, ,
Luați în considerare prima ecuație și înlocuiți expresiile găsite și în ea:
Astfel, soluția generală cu o variabilă liberă X 4:
Încă o dată, cum s-a întâmplat? variabilă liberă X 4 stă singur pe locul al patrulea de drept. Expresiile rezultate pentru variabilele de bază , , sunt de asemenea la locul lor.
Să verificăm imediat soluția generală.
Inlocuim variabilele de baza , , in partea stanga a fiecarei ecuatii a sistemului:
Se obțin părțile din dreapta corespunzătoare ale ecuațiilor, astfel se găsește soluția generală corectă.
Acum din soluția generală găsită 
obținem două soluții particulare. Toate variabilele sunt exprimate aici printr-o singură variabila liberă x 4 . Nu trebuie să-ți rupi capul.
Lăsa X 4 = 0, atunci 
este prima soluție particulară.
Lăsa X 4 = 1, atunci 
este o altă soluție specială.
Răspuns: Decizie comună: . Soluții private:
Și .
Exemplul 6:
Aflați soluția generală a sistemului de ecuații liniare.
Am verificat deja soluția generală, răspunsul poate fi de încredere. Cursul dumneavoastră de acțiune poate diferi de cursul nostru de acțiune. Principalul lucru este să se potrivească solutii generale. Probabil, mulți oameni au observat un moment neplăcut în soluții: de foarte multe ori, în cursul invers al metodei Gauss, a trebuit să ne luptăm cu fracții obișnuite. În practică, acest lucru este adevărat, cazurile în care nu există fracții sunt mult mai puțin frecvente. Fii pregătit mental și, cel mai important, tehnic.
Să ne oprim asupra caracteristicilor soluției care nu au fost găsite în exemplele rezolvate. Soluția generală a sistemului poate include uneori o constantă (sau constante).
De exemplu, soluția generală: . Aici una dintre variabilele de bază este egală cu număr constant: . Nu este nimic exotic în asta, se întâmplă. Evident, în acest caz, orice soluție anume va conține un cinci în prima poziție.
Rareori, dar există sisteme în care numărul de ecuații este mai mare decât numărul de variabile. Cu toate acestea, metoda Gauss funcționează în cele mai severe condiții. Ar trebui să aduceți calm matricea extinsă a sistemului într-o formă în trepte conform algoritmului standard. Un astfel de sistem poate fi inconsecvent, poate avea infinit de soluții și, în mod ciudat, poate avea o soluție unică.
Repetăm în sfatul nostru - pentru a vă simți confortabil atunci când rezolvați un sistem folosind metoda Gauss, ar trebui să vă umpleți mâna și să rezolvați cel puțin o duzină de sisteme.
Solutii si raspunsuri:
Exemplul 2:
Soluţie:Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte.
Transformări elementare efectuate:
(1) Prima și a treia linie au fost schimbate.
(2) Prima linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu (-6). Prima linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu (-7).
(3) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu (-1).
Ca rezultat al transformărilor elementare, un șir de formă, Unde λ ≠ 0 .Deci sistemul este inconsecvent.Răspuns: nu exista solutii.
Exemplul 4:
Soluţie:Scriem matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, o aducem la o formă de pas:
Conversii efectuate:
(1). Prima linie înmulțită cu 2 a fost adăugată la a doua linie, prima linie înmulțită cu 3 a fost adăugată la a treia linie.
Nu există nicio unitate pentru a doua etapă , iar transformarea (2) are ca scop obținerea acesteia.
(2). A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu -3.
(3). Al doilea și al treilea rând au fost schimbate (-1 rezultat a fost mutat la a doua etapă)
(4). A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu 3.
(5). Semnul primelor două linii a fost schimbat (înmulțit cu -1), a treia linie a fost împărțită la 14.
Mișcare inversă:
(1). Aici sunt variabilele de bază (care sunt pe trepte) și sunt variabile libere (care nu au primit pasul).
(2). Exprimăm variabilele de bază în termeni de variabile libere:
Din a treia ecuație: .
(3). Luați în considerare a doua ecuație:, soluții speciale:
Răspuns: Decizie comună: 
Numere complexe
În această secțiune, vom introduce conceptul număr complex, considera algebric, trigonometricȘi arata forma număr complex. De asemenea, vom învăța cum să efectuăm operații cu numere complexe: adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea, exponențiarea și extragerea rădăcinilor.
Pentru dezvoltare numere complexe nu sunt necesare cunoștințe speciale de la cursul de matematică superioară, iar materialul este disponibil chiar și pentru un școlar. Este suficient să puteți efectua operații algebrice cu numere „obișnuite” și să vă amintiți trigonometria.
În primul rând, să ne amintim de numerele „obișnuite”. În matematică se numesc set de numere realeși sunt marcate cu litera R, sau R (gros). Toate numerele reale se află pe linia numerică familiară:
Compania numerelor reale este foarte colorată - aici sunt numere întregi, fracții și numere iraționale. În acest caz, fiecare punct al axei numerice corespunde în mod necesar unui număr real.
Exemplul 1. Găsiți o soluție generală și o soluție particulară a sistemuluiSoluţie fă-o cu un calculator. Scriem matricele extinse și principale: 
Matricea principală A este despărțită printr-o linie punctată De sus scriem sistemele necunoscute, ținând cont de posibila permutare a termenilor în ecuațiile sistemului. Determinând rangul matricei extinse, găsim simultan și rangul matricei principale. În matricea B, prima și a doua coloană sunt proporționale. Dintre cele două coloane proporționale, doar una poate cădea în minorul de bază, așa că să mutăm, de exemplu, prima coloană dincolo de linia întreruptă cu semnul opus. Pentru sistem, aceasta înseamnă transferul de termeni de la x 1 în partea dreaptă a ecuațiilor. 
Aducem matricea într-o formă triunghiulară. Vom lucra numai cu rânduri, deoarece înmulțirea unui rând de matrice cu un alt număr decât zero și adăugarea la un alt rând pentru sistem înseamnă înmulțirea ecuației cu același număr și adăugarea acesteia la o altă ecuație, ceea ce nu schimbă soluția sistemului . Lucrul cu primul rând: înmulțiți primul rând al matricei cu (-3) și adăugați la rândul al doilea și al treilea rând. Apoi înmulțim primul rând cu (-2) și îl adăugăm la al patrulea. 
A doua și a treia linie sunt proporționale, prin urmare, una dintre ele, de exemplu a doua, poate fi tăiată. Acest lucru este echivalent cu ștergerea celei de-a doua ecuații a sistemului, deoarece este o consecință a celei de-a treia. 
Acum lucrăm cu a doua linie: înmulțiți-o cu (-1) și adăugați-o la a treia. 
Minorul punctat are cel mai mare ordin (dintre toate minorele posibile) și este diferit de zero (este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principală), iar acest minor aparține atât matricei principale, cât și celei extinse, deci rangA = rangB = 3 .
Minor 
este de bază. Include coeficienți pentru necunoscut x 2, x 3, x 4, ceea ce înseamnă că necunoscutele x 2, x 3, x 4 sunt dependente și x 1, x 5 sunt libere.
Transformăm matricea, lăsând în stânga doar minorul de bază (care corespunde punctului 4 al algoritmului de soluție de mai sus). 
Sistemul cu coeficienți ai acestei matrice este echivalent cu sistemul original și are forma
Prin metoda eliminării necunoscutelor găsim: 
, ,
Am obținut relații care exprimă variabile dependente x 2, x 3, x 4 prin liber x 1 și x 5, adică am găsit o soluție generală: 
Oferind valori arbitrare necunoscutelor libere, obținem orice număr de soluții particulare. Să găsim două soluții speciale:
1) fie x 1 = x 5 = 0, apoi x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) pune x 1 = 1, x 5 = -1, apoi x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Astfel, am găsit două soluții: (0,1, -3,3,0) - o soluție, (1,4, -7,7, -1) - o altă soluție.
Exemplul 2. Investigați compatibilitatea, găsiți o soluție generală și una particulară a sistemului 
Soluţie. Să rearanjam prima și a doua ecuație pentru a avea o unitate în prima ecuație și să scriem matricea B. 
Obținem zerouri în a patra coloană, operând pe primul rând: 
Acum obțineți zerourile din a treia coloană folosind al doilea rând: 
Al treilea și al patrulea rând sunt proporționale, astfel încât unul dintre ele poate fi tăiat fără a schimba rangul:
Înmulțiți al treilea rând cu (-2) și adăugați la al patrulea: 
Vedem că rândurile matricelor principale și extinse sunt 4, iar rangul coincide cu numărul de necunoscute, prin urmare, sistemul are o soluție unică:
;
x 4 \u003d 10- 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 \u003d 11.
Exemplul 3. Examinați sistemul pentru compatibilitate și găsiți o soluție dacă există. 
Soluţie. Compunem matricea extinsă a sistemului. 
Rearanjați primele două ecuații astfel încât să existe un 1 în colțul din stânga sus:
Înmulțind primul rând cu (-1), îl adăugăm la al treilea: 
Înmulțiți a doua linie cu (-2) și adăugați la a treia: 
Sistemul este inconsecvent, deoarece matricea principală a primit un rând format din zerouri, care este tăiat când este găsit rangul, iar ultimul rând rămâne în matricea extinsă, adică r B > r A .
Exercițiu. Investigați acest sistem de ecuații pentru compatibilitate și rezolvați-l cu ajutorul calculului matriceal.
Soluţie
Exemplu. Demonstrați compatibilitatea unui sistem de ecuații liniare și rezolvați-l în două moduri: 1) prin metoda Gauss; 2) Metoda lui Cramer. (introduceți răspunsul sub forma: x1,x2,x3)
Soluție :doc :doc :xls
Răspuns: 2,-1,3.
Exemplu. Este dat un sistem de ecuații liniare. Demonstrați compatibilitatea acestuia. Găsiți o soluție generală a sistemului și o soluție particulară.
Soluţie
Răspuns: x 3 \u003d - 1 + x 4 + x 5; x 2 \u003d 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5
Exercițiu. Găsiți soluții generale și particulare pentru fiecare sistem.
Soluţie. Studiem acest sistem folosind teorema Kronecker-Capelli.
Scriem matricele extinse și principale:
| 1 | 1 | 14 | 0 | 2 | 0 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
Aici matricea A este cu caractere aldine.
Aducem matricea într-o formă triunghiulară. Vom lucra numai cu rânduri, deoarece înmulțirea unui rând de matrice cu un alt număr decât zero și adăugarea la un alt rând pentru sistem înseamnă înmulțirea ecuației cu același număr și adăugarea acesteia la o altă ecuație, ceea ce nu schimbă soluția sistemului .
Înmulțiți primul rând cu (3). Înmulțiți al 2-lea rând cu (-1). Să adăugăm a doua linie la prima:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Înmulțiți al 2-lea rând cu (2). Înmulțiți al treilea rând cu (-3). Să adăugăm a treia linie la a doua:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Înmulțiți al 2-lea rând cu (-1). Să adăugăm a doua linie la prima:
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Minorul selectat are cel mai mare ordin (dintre minorii posibili) și este diferit de zero (este egal cu produsul elementelor de pe diagonala reciprocă), iar acest minor aparține atât matricei principale, cât și celei extinse, prin urmare rang( A) = rang(B) = 3 Deoarece rangul matricei principale este egal cu rangul matricei extinse, atunci sistemul este colaborativ.
Acest minor este de bază. Include coeficienți pentru necunoscut x 1, x 2, x 3, ceea ce înseamnă că necunoscutele x 1, x 2, x 3 sunt dependente (de bază) și x 4, x 5 sunt libere.
Transformăm matricea, lăsând doar minorul de bază în stânga.
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -1 | 3 | -6 |
| 2 | 3 | -3 | 1 | -3 | 2 |
| x 1 | x2 | x 3 | x4 | x5 |
27x3=
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Prin metoda eliminării necunoscutelor găsim:
Am obținut relații care exprimă variabile dependente x 1, x 2, x 3 prin liber x 4, x 5, adică am găsit decizie comună:
x 3 = 0
x2 = 1 - 3x4 + 6x5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
incert, deoarece are mai multe soluții.
Exercițiu. Rezolvați sistemul de ecuații.
Răspuns:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67x 3 + 0,67x 4
Oferind valori arbitrare necunoscutelor libere, obținem orice număr de soluții particulare. Sistemul este incert
Matematică superioară » Sisteme de ecuații algebrice liniare » Termeni de bază. Notație matriceală.
Sistem de ecuații algebrice liniare. Termeni de bază. Notație matriceală.
- Definirea unui sistem de ecuații algebrice liniare. Soluție de sistem. Clasificarea sistemelor.
- Forma matriceală a sistemelor de scriere a ecuațiilor algebrice liniare.
Definirea unui sistem de ecuații algebrice liniare. Soluție de sistem. Clasificarea sistemelor.
Sub sistem de ecuații algebrice liniare(SLAE) implică un sistem
\begin(equation) \left \( \begin(aligned) & a_(11)x_1+a_(12)x_2+a_(13)x_3+\ldots+a_(1n)x_n=b_1;\\ & a_(21) x_1+a_(22)x_2+a_(23)x_3+\ldots+a_(2n)x_n=b_2;\\ & \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ ldots \\ & a_(m1)x_1+a_(m2)x_2+a_(m3)x_3+\ldots+a_(mn)x_n=b_m.\end(aligned) \right.\end(equation)
Parametrii $a_(ij)$ ($i=\overline(1,m)$, $j=\overline(1,n)$) sunt numiți coeficiențiși $b_i$ ($i=\overline(1,m)$) - membri liberi SLAU. Uneori, pentru a sublinia numărul de ecuații și necunoscute, se spune „$m\times n$ sistem de ecuații liniare” - indicând astfel că SLAE conține $m$ ecuații și $n$ necunoscute.
Dacă toți termenii liberi $b_i=0$ ($i=\overline(1,m)$), atunci SLAE este numit omogen. Dacă printre membrii liberi există cel puțin unul altul decât zero, se apelează SLAE eterogen.
Decizia SLAU(1) orice colecție ordonată de numere ($\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n$) este numită dacă elementele acestei colecții, înlocuite într-o ordine dată pentru necunoscutele $x_1,x_2,\ldots,x_n$ , inversează fiecare ecuație SLAE în identitate.
Orice SLAE omogen are cel puțin o soluție: zero(într-o terminologie diferită - trivială), i.e. $x_1=x_2=\ldots=x_n=0$.
Dacă SLAE (1) are cel puțin o soluție, se numește comun daca nu exista solutii, incompatibil. Dacă un SLAE comun are exact o soluție, se numește anumit, dacă un număr infinit de soluții - incert.
Exemplul #1
Luați în considerare SLAE
\begin(equation) \left \( \begin(aligned) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5= 0.\\ \end(aliniat)\dreapta.\end(ecuație)
Avem un sistem de ecuații algebrice liniare care conține $3$ ecuații și $5$ necunoscute: $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$. Se poate spune că este dat un sistem de $3\x 5$ ecuații liniare.
Coeficienții sistemului (2) sunt numerele din fața necunoscutelor. De exemplu, în prima ecuație aceste numere sunt: $3,-4,1,7,-1$. Membrii liberi ai sistemului sunt reprezentați de numerele $11,-65.0$. Deoarece printre termenii liberi există cel puțin unul care nu este egal cu zero, atunci SLAE (2) este neomogen.
Colecția ordonată $(4;-11;5;-7;1)$ este soluția acestui SLAE. Acest lucru este ușor de verificat dacă înlocuiți $x_1=4; x_2=-11; x_3=5; x_4=-7; x_5=1$ în ecuațiile sistemului dat:
\begin(aligned) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=3\cdot4-4\cdot(-11)+5+7\cdot(-7)-1=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5 =2\cdot 4+10\cdot (-7)-3\cdot 1=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5=3\cdot (-11)+19\cdot 5+8\cdot ( -7)-6\cdot 1=0. \\ \end(aliniat)
Desigur, se pune întrebarea dacă soluția verificată este singura. Problema numărului de soluții SLAE va fi discutată în subiectul relevant.
Exemplul #2
Luați în considerare SLAE
\begin(equation) \left \( \begin(aligned) & 4x_1+2x_2-x_3=0;\\ & 10x_1-x_2=0;\\ & 5x_2+4x_3=0; \\ & 3x_1-x_3=0; \\ & 14x_1+25x_2+5x_3=0.\end(aliniat) \right.\end(equation)
Sistemul (3) este un SLAE care conține $5$ ecuații și $3$ necunoscute: $x_1,x_2,x_3$. Deoarece toți termenii liberi ai acestui sistem sunt egali cu zero, atunci SLAE (3) este omogen. Este ușor să verificați că colecția $(0;0;0)$ este o soluție la SLAE dat. Înlocuind $x_1=0, x_2=0,x_3=0$, de exemplu, în prima ecuație a sistemului (3), obținem egalitatea corectă: $4x_1+2x_2-x_3=4\cdot 0+2\cdot 0 -0=0$ . Înlocuirea în alte ecuații se face într-un mod similar.
Forma matriceală a sistemelor de scriere a ecuațiilor algebrice liniare.
Cu fiecare SLAE pot fi asociate mai multe matrice; în plus, SLAE în sine poate fi scris ca o ecuație matriceală. Pentru SLAE (1), luați în considerare următoarele matrici:
Se numește matricea $A$ matricea sistemului. Elementele acestei matrice sunt coeficienții SLAE dat.
Se numește matricea $\widetilde(A)$ sistem de matrice extinsă. Se obține prin adăugarea la matricea sistemului a unei coloane care conține membri liberi $b_1,b_2,…,b_m$. De obicei, această coloană este separată printr-o linie verticală - pentru claritate.
Se numește matricea coloanelor $B$ matricea membrilor liberi, iar matricea coloanei $X$ - matricea necunoscutelor.
Folosind notația introdusă mai sus, SLAE (1) poate fi scris sub forma unei ecuații matriceale: $A\cdot X=B$.
Notă
Matricele asociate sistemului pot fi scrise căi diferite: totul depinde de ordinea variabilelor și ecuațiilor SLAE-ului considerat. Dar, în orice caz, ordinea necunoscutelor în fiecare ecuație a unui SLAE dat trebuie să fie aceeași (vezi exemplul nr. 4).
Exemplul #3
Scrieți SLAE $ \left \( \begin(aligned) & 2x_1+3x_2-5x_3+x_4=-5;\\ & 4x_1-x_3=0;\\ & 14x_2+8x_3+x_4=-11. \end(aligned) \right.$ sub formă de matrice și specificați matricea augmentată a sistemului.
Avem patru necunoscute, care în fiecare ecuație urmează în această ordine: $x_1,x_2,x_3,x_4$. Matricea necunoscutelor va fi: $\left(\begin(array) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(array) \right)$.
Membrii liberi ai acestui sistem sunt exprimați prin numerele $-5,0,-11$, prin urmare matricea membrilor liberi are forma: $B=\left(\begin(array) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(matrice )\right)$.
Să trecem la compilarea matricei sistemului. Primul rând al acestei matrice va conține coeficienții primei ecuații: $2.3,-5.1$.
În a doua linie scriem coeficienții celei de-a doua ecuații: $4.0,-1.0$. În acest caz, trebuie avut în vedere faptul că coeficienții sistemului cu variabilele $x_2$ și $x_4$ din a doua ecuație sunt egali cu zero (deoarece aceste variabile sunt absente în a doua ecuație).
În al treilea rând al matricei sistemului, scriem coeficienții celei de-a treia ecuații: $0,14,8,1$. Luăm în considerare egalitatea la zero a coeficientului la variabila $x_1$ (această variabilă este absentă în a treia ecuație). Matricea sistemului va arăta astfel:
$$ A=\left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(array) \right) $$
Pentru a face relația dintre matricea sistemului și sistemul în sine mai clară, voi nota SLAE-ul dat și matricea sa de sistem una lângă alta:
Sub formă de matrice, SLAE-ul dat va arăta ca $A\cdot X=B$. În intrarea extinsă:
$$ \left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(array) \right) \cdot \left(\begin(array) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(matrice) \right) $$
Să scriem matricea augmentată a sistemului. Pentru a face acest lucru, la matricea sistemului $ A=\left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \ end(array ) \right) $ adăugați o coloană de termeni liberi (adică $-5,0,-11$). Obținem: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (cccc|c) 2 & 3 & -5 & 1 & -5 \\ 4 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 14 & 8 & 1 & -11 \end(array) \right) $.
Exemplul #4
Scrieți SLAE $ \left \(\begin(aligned) & 3y+4a=17;\\ & 2a+4y+7c=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & 5a-c=-4; .\end(aligned)\right.$ sub formă de matrice și specificați matricea augmentată a sistemului.
După cum puteți vedea, ordinea necunoscutelor în ecuațiile acestui SLAE este diferită. De exemplu, în a doua ecuație ordinea este: $a,y,c$, dar în a treia ecuație: $c,y,a$. Înainte de a scrie SLAE sub formă de matrice, ordinea variabilelor din toate ecuațiile trebuie făcută aceeași.
Puteți ordona variabilele în ecuațiile unui SLAE dat căi diferite(numărul de moduri de aranjare a trei variabile este $3!=6$). Voi lua în considerare două moduri de a ordona necunoscutele.
Metoda numărul 1
Să introducem următoarea ordine: $c,y,a$. Să rescriem sistemul, plasând necunoscutele în ordinea necesară: $\left \(\begin(aligned) & 3y+4a=17;\\ & 7c+4y+2a=10;\\ & 8c+5y-9a= 25; \\ & -c+5a=-4.\end(aliniat)\right.$
Pentru claritate, voi scrie SLAE după cum urmează: $\left \(\begin(aligned) & 0\cdot c+3\cdot y+4\cdot a=17;\\ & 7\cdot c+4\cdot y+ 2\cdot a=10;\\ & 8\cdot c+5\cdot y-9\cdot a=25; \\ & -1\cdot c+0\cdot y+5\cdot a=-4. \ end(aliniat)\right.$
Matricea sistemului este: $ A=\left(\begin(array) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end( matrice) \dreapta) $. Matrice de membru liber: $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right)$. Când scrieți matricea necunoscutelor, amintiți-vă ordinea necunoscutelor: $X=\left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(array) \right)$. Deci, forma matriceală a SLAE dat este următoarea: $A\cdot X=B$. Extins:
$$ \left(\begin(array) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end(array) \right) \ cdot \left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(matrice) \right) $$
Matricea extinsă a sistemului este: $\left(\begin(array) (ccc|c) 0 & 3 & 4 & 17 \\ 7 & 4 & 2 & 10\\ 8 & 5 & -9 & 25 \\ -1 & 0 & 5 & -4 \end(array) \right) $.
Metoda numărul 2
Să introducem următoarea ordine: $a,c,y$. Să rescriem sistemul, punând necunoscutele în ordinea necesară: $\left \( \begin(aligned) & 4a+3y=17;\\ & 2a+7c+4y=10;\\ & -9a+8c+5y =25; \ \ & 5a-c=-4.\end(aliniat)\right.$
Pentru claritate, voi scrie SLAE după cum urmează: $\left \( \begin(aligned) & 4\cdot a+0\cdot c+3\cdot y=17;\\ & 2\cdot a+7\cdot c+ 4\cdot y=10;\\ & -9\cdot a+8\cdot c+5\cdot y=25; \\ & 5\cdot c-1\cdot c+0\cdot y=-4. \ end(aliniat)\right.$
Matricea sistemului este: $ A=\left(\begin(array) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end( matrice)\dreapta)$. Matrice de membru liber: $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right)$. Când scrieți matricea necunoscutelor, amintiți-vă ordinea necunoscutelor: $X=\left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(array) \right)$. Deci, forma matriceală a SLAE dat este următoarea: $A\cdot X=B$. Extins:
$$ \left(\begin(array) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end(array) \right) \ cdot \left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(matrice) \right) $$
Matricea extinsă a sistemului este: $\left(\begin(array) (ccc|c) 4 & 0 & 3 & 17 \\ 2 & 7 & 4 & 10\\ -9 & 8 & 5 & 25 \\ 5 & - 1 & 0 & -4 \end(array) \right) $.
După cum puteți vedea, schimbarea ordinii necunoscutelor este echivalentă cu rearanjarea coloanelor matricei sistemului. Dar oricare ar fi acest aranjament de necunoscute, trebuie să se potrivească în toate ecuațiile unui SLAE dat.
Ecuatii lineare
Ecuatii lineare- o temă matematică relativ simplă, întâlnită destul de des în temele de algebră.
Sisteme de ecuații algebrice liniare: concepte de bază, tipuri
Să ne dăm seama ce este și cum se rezolvă ecuațiile liniare.
De obicei, ecuație liniară este o ecuație de forma ax + c = 0, unde a și c sunt numere arbitrare sau coeficienți, iar x este un număr necunoscut.
De exemplu, o ecuație liniară ar fi:
Rezolvarea ecuațiilor liniare.
Cum se rezolvă ecuații liniare?
Rezolvarea ecuațiilor liniare este destul de ușoară. Pentru aceasta se folosește o tehnică matematică, cum ar fi transformarea identităţii. Să ne dăm seama ce este.
Un exemplu de ecuație liniară și soluția acesteia.
Fie ax + c = 10, unde a = 4, c = 2.
Astfel, obținem ecuația 4x + 2 = 10.
Pentru a o rezolva mai ușor și mai rapid, vom folosi prima metodă de transformare identică - adică vom transfera toate numerele în partea dreaptă a ecuației și vom lăsa necunoscutul 4x în partea stângă.
Obține:
Astfel, ecuația se reduce la o problemă foarte simplă pentru începători. Rămâne doar să folosiți a doua metodă de transformare identică - lăsând x în partea stângă a ecuației, transferați numerele în partea dreaptă. Primim:
Examinare:
4x + 2 = 10, unde x = 2.
Răspunsul este corect.
Graficul ecuației liniare.
Atunci când se rezolvă ecuații liniare cu două variabile, este adesea folosită și metoda graficului. Faptul este că o ecuație de forma ax + wy + c \u003d 0, de regulă, are multe soluții, deoarece multe numere se potrivesc în locul variabilelor și, în toate cazurile, ecuația rămâne adevărată.
Prin urmare, pentru a facilita sarcina, se construiește un grafic al unei ecuații liniare.
Pentru a-l construi, este suficient să luați o pereche de valori variabile - și, marcându-le cu puncte pe planul de coordonate, trageți o linie dreaptă prin ele. Toate punctele de pe această dreaptă vor fi variante ale variabilelor din ecuația noastră.
Expresii, conversie de expresii
Ordinea acțiunilor, regulilor, exemplelor.
Numerice, literale și expresii cu variabile în înregistrarea lor pot conține caractere de diferite operatii aritmetice. Când convertiți expresii și calculați valorile expresiilor, acțiunile sunt efectuate într-o anumită ordine, cu alte cuvinte, trebuie să respectați ordinea acțiunilor.
În acest articol, ne vom da seama ce acțiuni ar trebui efectuate mai întâi și care după ele. Să începem cu cele mai simple cazuri, când expresia conține doar numere sau variabile legate prin plus, minus, înmulțire și împărțire. În continuare, vom explica ce ordine de execuție a acțiunilor trebuie urmată în expresiile cu paranteze. În cele din urmă, luați în considerare succesiunea în care acțiunile sunt efectuate în expresii care conțin puteri, rădăcini și alte funcții.
Mai întâi înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea
Școala oferă următoarele o regulă care determină ordinea în care sunt efectuate acțiunile în expresii fără paranteze:
- acțiunile sunt efectuate în ordine de la stânga la dreapta,
- unde se fac mai întâi înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea.
Regula enunțată este percepută destul de firesc. Efectuarea acțiunilor în ordine de la stânga la dreapta se explică prin faptul că se obișnuiește să ținem înregistrări de la stânga la dreapta. Iar faptul că înmulțirea și împărțirea se efectuează înainte de adunare și scădere se explică prin semnificația pe care o poartă aceste acțiuni în sine.
Să ne uităm la câteva exemple de aplicare a acestei reguli. De exemplu, vom lua cel mai simplu expresii numerice, pentru a nu fi distras de calcule, ci pentru a se concentra pe ordinea în care sunt efectuate acțiunile.
Urmați pașii 7−3+6.
Expresia originală nu conține paranteze și nici înmulțirea și împărțirea. Prin urmare, ar trebui să efectuăm toate acțiunile în ordine de la stânga la dreapta, adică mai întâi scădem 3 din 7, obținem 4, după care adăugăm 6 la diferența rezultată 4, obținem 10.
Pe scurt, soluția se poate scrie astfel: 7−3+6=4+6=10.
Indicați ordinea în care sunt efectuate acțiunile în expresia 6:2·8:3.
Pentru a răspunde la întrebarea problemei, să ne întoarcem la regula care indică ordinea în care sunt efectuate acțiunile în expresii fără paranteze. Expresia originală conține doar operațiile de înmulțire și împărțire, iar conform regulii, acestea trebuie efectuate în ordine de la stânga la dreapta.
Mai întâi, împărțiți 6 la 2, înmulțiți acest coeficient cu 8 și, în final, împărțiți rezultatul cu 3.
Noțiuni de bază. Sisteme de ecuații liniare
Calculați valoarea expresiei 17−5 6:3−2+4:2.
Mai întâi, să stabilim în ce ordine ar trebui efectuate acțiunile din expresia originală. Include atât înmulțirea și împărțirea, cât și adunarea și scăderea.
În primul rând, de la stânga la dreapta, trebuie să efectuați înmulțirea și împărțirea. Deci înmulțim 5 cu 6, obținem 30, împărțim acest număr la 3, obținem 10. Acum împărțim 4 la 2, obținem 2. Înlocuim în expresia originală în loc de 5 6: 3 valoarea găsită 10, iar în loc de 4: 2 - valoarea 2, avem 17−5 6:3−2+4:2=17−10−2+2.
În expresia rezultată, nu mai există înmulțire și împărțire, așa că rămâne să efectuați acțiunile rămase în ordine de la stânga la dreapta: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7.
17−5 6:3−2+4:2=7.
La început, pentru a nu confunda ordinea efectuării acțiunilor la calcularea valorii unei expresii, este convenabil să plasați numere deasupra semnelor acțiunilor corespunzătoare ordinii în care sunt efectuate. Pentru exemplul anterior, ar arăta astfel: 
.
Aceeași ordine a operațiilor - mai întâi înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea - ar trebui urmată atunci când se lucrează cu expresii literale.
Începutul paginii
Pașii 1 și 2
În unele manuale de matematică, există o împărțire a operațiilor aritmetice în operații din primul și al doilea pas. Să ne ocupăm de asta.
În acești termeni, regula din paragraful anterior, care determină ordinea în care sunt efectuate acțiunile, se va scrie astfel: dacă expresia nu conține paranteze, atunci în ordine de la stânga la dreapta, acțiunile etapei a doua ( înmulțirea și împărțirea) se execută mai întâi, apoi acțiunile primei etape (adunarea și scăderea).
Începutul paginii
Ordinea de execuție a operațiilor aritmetice în expresii cu paranteze
Expresiile conțin adesea paranteze pentru a indica ordinea în care urmează să fie efectuate acțiunile. În acest caz o regulă care specifică ordinea în care sunt efectuate acțiunile în expresii cu paranteze, se formulează astfel: mai întâi se execută acțiunile dintre paranteze, în timp ce înmulțirea și împărțirea se fac tot în ordine de la stânga la dreapta, apoi adunarea și scăderea.
Deci, expresiile dintre paranteze sunt considerate componente ale expresiei originale, iar ordinea acțiunilor deja cunoscută nouă este păstrată în ele. Luați în considerare soluțiile exemplelor pentru o mai mare claritate.
Efectuați pașii indicați 5+(7−2 3) (6−4):2.
Expresia conține paranteze, așa că să efectuăm mai întâi operațiunile din expresiile incluse în aceste paranteze. Să începem cu expresia 7−2 3. În ea, trebuie mai întâi să efectuați înmulțirea, iar abia apoi scăderea, avem 7−2 3=7−6=1. Trecem la a doua expresie din paranteze 6−4. Există o singură acțiune aici - scăderea, o executăm 6−4=2.
Inlocuim valorile obtinute in expresia originala: 5+(7−2 3) (6−4):2=5+1 2:2. În expresia rezultată, mai întâi efectuăm înmulțirea și împărțirea de la stânga la dreapta, apoi scăderea, obținem 5+1 2:2=5+2:2=5+1=6. Pe aceasta, toate acțiunile sunt finalizate, am respectat următoarea ordine de execuție a acestora: 5+(7−2 3) (6−4):2.
Să scriem soluție scurtă: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2=5+1=6.
5+(7−2 3)(6−4):2=6.
Se întâmplă ca o expresie să conțină paranteze între paranteze. Nu ar trebui să vă fie frică de acest lucru, trebuie doar să aplicați în mod consecvent regula vocală pentru a efectua acțiuni în expresii cu paranteze. Să arătăm un exemplu de soluție.
Efectuați acțiuni în expresia 4+(3+1+4 (2+3)).
Aceasta este o expresie cu paranteze, ceea ce înseamnă că execuția acțiunilor trebuie să înceapă cu o expresie între paranteze, adică cu 3 + 1 + 4 (2 + 3).
Această expresie conține și paranteze, așa că mai întâi trebuie să efectuați acțiuni în ele. Să facem asta: 2+3=5. Înlocuind valoarea găsită, obținem 3+1+4 5. În această expresie, facem mai întâi înmulțirea, apoi adunarea, avem 3+1+4 5=3+1+20=24. Valoarea inițială, după înlocuirea acestei valori, ia forma 4+24, și rămâne doar de finalizat acțiunile: 4+24=28.
4+(3+1+4 (2+3))=28.
În general, când parantezele dintre paranteze sunt prezente într-o expresie, este adesea convenabil să începeți cu parantezele interioare și să vă îndreptați spre cele exterioare.
De exemplu, să presupunem că trebuie să efectuăm operații în expresia (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Mai întâi, efectuăm acțiuni între paranteze interne, deoarece 4−6:2=4−3=1, apoi expresia originală va lua forma (4+(4+1)−1)−1. Din nou, efectuăm acțiunea din parantezele interioare, deoarece 4+1=5, ajungem la următoarea expresie (4+5−1)−1. Din nou, efectuăm acțiunile dintre paranteze: 4+5−1=8, în timp ce ajungem la diferența 8−1, care este egală cu 7.
Începutul paginii
Ordinea în care operațiile sunt efectuate în expresii cu rădăcini, puteri, logaritmi și alte funcții
Dacă expresia include puteri, rădăcini, logaritmi, sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, precum și alte funcții, atunci valorile acestora sunt calculate înainte de a efectua alte acțiuni, ținând cont și de regulile din paragrafele anterioare care specifică ordinea în care sunt efectuate acțiunile. Cu alte cuvinte, lucrurile enumerate, aproximativ vorbind, pot fi considerate cuprinse între paranteze și știm că acțiunile dintre paranteze sunt efectuate mai întâi.
Să luăm în considerare exemple.
Efectuați operațiile din expresia (3+1) 2+6 2:3−7.
Această expresie conține o putere de 6 2 , valoarea acesteia trebuie calculată înainte de a efectua restul pașilor. Deci, efectuăm exponențiarea: 6 2 \u003d 36. Inlocuim aceasta valoare in expresia originala, ea va lua forma (3+1) 2+36:3−7.
Atunci totul este clar: executăm acțiuni între paranteze, după care rămâne o expresie fără paranteze, în care, în ordine de la stânga la dreapta, facem mai întâi înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea. Avem (3+1) 2+36:3−7=4 2+36:3−7=8+12−7=13.
(3+1) 2+6 2:3−7=13.
Altele, inclusiv mai multe exemple complexe efectuând acțiuni în expresii cu rădăcini, grade etc., puteți vedea calculul valorilor expresiei în articol.
Începutul paginii
Acțiuni de prim pas se numesc adunare și scădere, iar înmulțirea și împărțirea acțiuni de pasul al doilea.
- Matematică: studii. pentru 5 celule. educatie generala instituții / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Ed. 21, șters. — M.: Mnemozina, 2007. — 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
Scrieți sistemul de ecuații algebrice liniare în formă generală
Ce este o soluție SLAE?
Soluția unui sistem de ecuații este o mulțime de n numere,
Când care este substituit în sistem, fiecare ecuație devine o identitate.
Ce sistem se numește articulație (non-articulare)?
Un sistem de ecuații se numește consistent dacă are cel puțin o soluție.
Un sistem se numește inconsecvent dacă nu are soluții.
Ce sistem se numește definit (nedefinit)?
Un sistem de îmbinări se numește definit dacă are o soluție unică.
Un sistem articular se numește nedeterminat dacă are mai multe soluții.
Forma matriceală de scriere a unui sistem de ecuații
Rangul sistemului vectorial
Rangul unui sistem de vectori este numărul maxim de vectori liniar independenți.
Rangul matricei și modalități de a o găsi
Rangul matricei- cel mai mare dintre ordinele minorilor din această matrice, al cărui determinant este diferit de zero.
Prima metodă, metoda marginilor, este următoarea:
Dacă toți minorii sunt de ordinul 1, de ex. elementele matricei sunt egale cu zero, atunci r=0 .
Dacă cel puțin unul dintre minorii de ordinul 1 nu este egal cu zero și toți minorii de ordinul 2 sunt egali cu zero, atunci r=1.
Dacă minorul de ordinul 2 este diferit de zero, atunci investigăm minorii de ordinul 3. În acest fel, se găsește minorul de ordinul k-lea și se verifică dacă minorii de ordinul k+1-lea nu sunt egali cu zero.
Dacă toate minorele de ordin k+1 sunt egale cu zero, atunci rangul matricei este egal cu numărul k. Astfel de minore de ordin k+1 se găsesc de obicei prin „marginirea” minorului de ordinul k.
A doua metodă pentru determinarea rangului unei matrice este de a aplica transformări elementare ale matricei atunci când aceasta este ridicată la o formă diagonală. Rangul unei astfel de matrice este egal cu numărul de elemente diagonale diferite de zero.
Soluția generală a unui sistem neomogen de ecuații liniare, proprietățile acestuia.
Proprietatea 1. Suma oricărei soluții a unui sistem de ecuații liniare și a oricărei soluții a sistemului omogen corespunzător este o soluție a sistemului de ecuații liniare.
Proprietatea 2.
Sisteme de ecuații liniare: concepte de bază
Diferența dintre oricare două soluții ale unui sistem neomogen de ecuații liniare este o soluție a sistemului omogen corespunzător.
Metoda Gauss pentru rezolvarea SLAE
Urmare:
1) este compilată o matrice extinsă a sistemului de ecuații
2) cu ajutorul transformărilor elementare, matricea este redusă la o formă de pas
3) se determină rangul matricei extinse a sistemului și rangul matricei sistemului și se stabilește pactul de compatibilitate sau incompatibilitate a sistemului
4) în caz de compatibilitate se scrie sistemul echivalent de ecuații
5) se găsește soluția sistemului. Principalele variabile sunt exprimate în termeni de liber
Teorema Kronecker-Capelli
Kronecker - teorema Capelli- criteriul de compatibilitate a sistemului de ecuații algebrice liniare:
Un sistem de ecuații algebrice liniare este consistent dacă și numai dacă rangul matricei sale principale este egal cu rangul matricei sale extinse, iar sistemul are o soluție unică dacă rangul este egal cu numărul de necunoscute și un număr infinit de soluții dacă rangul este mai mic decât numărul de necunoscute.
Pentru ca un sistem liniar să fie consistent, este necesar și suficient ca rangul matricei extinse a acestui sistem să fie egal cu rangul matricei sale principale.
Când sistemul nu are soluție, când are o singură soluție, are multe soluții?
Dacă numărul de ecuații de sistem este egal cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei sale principale nu este egal cu zero, atunci astfel de sisteme de ecuații au o soluție unică, iar în cazul unui sistem omogen, toate necunoscute variabilele sunt egale cu zero.
Un sistem de ecuații liniare care are cel puțin o soluție se numește consistent. Altfel, i.e. dacă sistemul nu are soluții, atunci se numește inconsecvent.
ecuațiile liniare se numesc consistente dacă au cel puțin o soluție și inconsistente dacă nu există soluții. În exemplul 14 sistemul este compatibil, coloana este soluția sa:
Această soluție poate fi scrisă și fără matrice: x = 2, y = 1.
Un sistem de ecuații va fi numit nedefinit dacă are mai multe soluții și definit dacă soluția este unică.
Exemplul 15. Sistemul este nedeterminat. De exemplu, ... sunt soluțiile sale. Cititorul poate găsi multe alte soluții la acest sistem.
Formule care relaționează coordonatele vectorilor în bazele vechi și noi
Să învățăm cum să rezolvăm mai întâi sistemele de ecuații liniare într-un anumit caz. Un sistem de ecuații AX = B va fi numit al lui Cramer dacă matricea sa principală А este pătrată și nedegenerată. Cu alte cuvinte, numărul de necunoscute din sistemul cramerian coincide cu numărul de ecuații și |A| = 0.
Teorema 6 (regula lui Cramer). Sistemul de ecuații liniare Cramer are o soluție unică dată de formulele:
unde Δ = |A| este determinantul matricei principale, Δi este determinantul obținut din A prin înlocuirea coloanei i-a cu o coloană de termeni liberi.
Vom efectua demonstrația pentru n = 3, deoarece în cazul general argumentele sunt similare.
Deci, există un sistem Cramer:
Să presupunem mai întâi că există o soluție pentru sistem, adică există
Să-l înmulțim pe primul. egalitate pe complementul algebric la elementul aii, a doua egalitate - pe A2i, a treia - pe A3i și adăugați egalitățile rezultate:
Sistem de ecuații liniare ~ Soluție de sistem ~ Sisteme consistente și inconsistente ~ Sistem omogen ~ Consistența unui sistem omogen ~ Rangul matricei sistemului ~ Condiție de compatibilitate netrivială ~ Sistem fundamental de soluții. Soluție generală ~ Studiul unui sistem omogen
Luați în considerare sistemul m ecuații algebrice liniare în raport cu n necunoscut
x 1 , x 2 , …, x n :
Decizie sistem se numește totalitate n valori necunoscute
x 1 \u003d x’ 1, x 2 \u003d x’ 2, ..., x n \u003d x’ n,
la înlocuirea cărora toate ecuaţiile sistemului se transformă în identităţi.
Sistemul de ecuații liniare poate fi scris sub formă de matrice:
Unde A- matricea sistemului, b- partea dreapta, X- solutia dorita Ap - matrice extinsă sisteme:
.
Un sistem care are cel puțin o soluție este numit comun; sistem care nu are soluție incompatibil.
Un sistem omogen de ecuații liniare este un sistem a cărui latură dreaptă este egală cu zero:
Vedere matrice a unui sistem omogen: ax=0.
Un sistem omogen este întotdeauna consistent, deoarece orice sistem liniar omogen are cel puțin o soluție:
x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0, ..., x n \u003d 0.
Dacă un sistem omogen are o soluție unică, atunci această soluție unică este zero și sistemul este numit banal comun. Dacă un sistem omogen are mai multe soluții, atunci există soluții diferite de zero printre ele, iar în acest caz sistemul se numește netrivial articulat.
S-a dovedit că la m=n pentru compatibilitate non-trivială a sistemului necesar si suficient astfel încât determinantul matricei sistemului este egal cu zero.
EXEMPLU 1. Compatibilitatea netrivială a unui sistem omogen de ecuații liniare cu o matrice pătrată.
Aplicând algoritmul de eliminare gaussian la matricea sistemului, reducem matricea sistemului la forma de pas
.
Număr r se numesc rânduri diferite de zero în formă de pas a unei matrice rangul matricei, denota
r=rg(A) sau r=Rg(A).
Următoarea afirmație este adevărată.
Sistem de ecuații algebrice liniare
Pentru ca un sistem omogen să fie netrivial consistent, este necesar și suficient ca rangul r matricea sistemului a fost mai mică decât numărul de necunoscute n.
EXEMPLU 2. Compatibilitatea netrivială a unui sistem omogen de trei ecuații liniare cu patru necunoscute.
Dacă un sistem omogen este netrivial consistent, atunci are un număr infinit de soluții, iar o combinație liniară a oricăror soluții ale sistemului este, de asemenea, soluția sa.
Se dovedește că printre mulțimea infinită de soluții ale unui sistem omogen, exact n-r soluții liniar independente.
Agregat n-r soluții liniar independente ale unui sistem omogen se numește sistem fundamental de decizie. Orice soluție a sistemului este exprimată liniar în termenii sistemului fundamental. Astfel, dacă rangul r matrici A sistem liniar omogen ax=0 mai putine necunoscute nși vectori
e 1 , e 2 , …, e n-r formează sistemul său fundamental de soluții ( Ae i =0, i=1,2, …, n-r), apoi orice soluție X sisteme ax=0 poate fi scris sub forma
x=c 1 e 1 + c 2 e 2 + … + c n-r e n-r ,
Unde c 1 , c 2 , …, c n-r sunt constante arbitrare. Expresia scrisă se numește solutie comuna sistem omogen .
Cercetare
sistem omogen înseamnă a stabili dacă este non-trivial consistent și, dacă este, atunci găsiți un sistem fundamental de soluții și scrieți o expresie pentru soluția generală a sistemului.
Studiem un sistem omogen prin metoda Gauss.
matricea sistemului omogen studiat, al cărui rang este r< n .
O astfel de matrice este redusă prin eliminarea Gauss la forma în trepte
.
Sistemul echivalent corespunzător are forma
De aici este ușor să obțineți expresii pentru variabile x 1 , x 2 , …, x r prin x r+1 , x r+2 , …, x n. Variabile
x 1 , x 2 , …, x r numit variabile de bazăși variabile x r+1 , x r+2 , …, x n - variabile libere.
Transferând variabilele libere în partea dreaptă, obținem formulele
care determină soluţia de ansamblu a sistemului.
Să setăm succesiv valorile variabilelor libere egale cu
și calculați valorile corespunzătoare ale variabilelor de bază. Primit n-r soluțiile sunt liniar independente și, prin urmare, formează un sistem fundamental de soluții ale sistemului omogen studiat:
Investigarea unui sistem omogen pentru compatibilitate prin metoda Gauss.
Sistemul este numit comun, sau rezolvabil daca are cel putin o solutie. Sistemul este numit incompatibil, sau insolubil daca nu are solutii.
SLAE definit, nedefinit.
Dacă un SLAE are o soluție și este unic, atunci este numit anumit iar dacă soluția nu este unică, atunci incert.
ECUATII MATRICIALE
Matricele fac posibilă scrierea pe scurt a unui sistem de ecuații liniare. Să fie dat un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute:
Luați în considerare matricea sistemului 
și coloane matrice de membri necunoscuți și liberi 
Să găsim produsul 
acestea. ca rezultat al produsului, obținem părțile din stânga ecuațiilor acestui sistem. Apoi, folosind definiția egalității matriceale, acest sistem poate fi scris ca
sau mai scurt A∙X=B.
Aici matrice AȘi B sunt cunoscute, iar matricea X necunoscut. Ea trebuie găsită, pentru că. elementele sale sunt soluția acestui sistem. Această ecuație se numește ecuația matriceală.
Fie determinantul matricei diferit de zero | A| ≠ 0. Atunci se rezolvă ecuația matriceală în felul următor. Înmulțiți ambele părți ale ecuației din stânga cu matricea A-1, inversul matricei A: . Deoarece A -1 A = EȘi E∙X=X, apoi obținem soluția ecuației matriceale sub forma X = A -1 B .
Rețineți că din moment ce matrice inversă poate fi găsită numai pentru matrici pătrate, atunci metoda matricei poate rezolva numai acele sisteme în care numărul de ecuații este același cu numărul de necunoscute.
formulele lui Cramer
Metoda lui Cramer este aceea că găsim succesiv identificatorul principal al sistemului, adică determinant al matricei A: D = det (a i j) şi n determinanţi auxiliari Di (i= ), care se obțin din determinantul D prin înlocuirea coloanei i-a cu o coloană de termeni liberi.
Formulele lui Cramer arată astfel: D × x i = D i (i = ).
De aici rezultă regula lui Cramer, care dă un răspuns exhaustiv la întrebarea compatibilității sistemului: dacă principalul determinant al sistemului este diferit de zero, atunci sistemul are o soluție unică, determinată de formulele: x i = D i / D.
Dacă determinantul principal al sistemului D și toți determinanții auxiliari D i = 0 (i= ), atunci sistemul are un număr infinit de soluții. Dacă determinantul principal al sistemului D = 0 și cel puțin un determinant auxiliar este diferit de zero, atunci sistemul este inconsecvent.
Teorema (regula lui Cramer): Dacă determinantul sistemului este Δ ≠ 0, atunci sistemul luat în considerare are una și o singură soluție și 
Dovada: Deci, luați în considerare un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute. Înmulțiți prima ecuație a sistemului cu complementul algebric A 11 element un 11, a 2-a ecuație - pe A21și al 3-lea - pe A 31:
Să adăugăm aceste ecuații:
Luați în considerare fiecare dintre paranteze și partea dreaptă a acestei ecuații. Conform teoremei despre expansiunea determinantului în ceea ce privește elementele coloanei I.
În mod similar, se poate demonstra că și .
În cele din urmă, este ușor să vezi asta 
Astfel, obținem egalitatea: . Prin urmare, .
Egalitățile și sunt derivate în mod similar, de unde urmează afirmația teoremei.
Teorema Kronecker-Capelli.
Un sistem de ecuații liniare este consistent dacă și numai dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei augmentate.
Dovada: Se împarte în două etape.
1. Lăsați sistemul să aibă o soluție. Să arătăm asta.
Lasă setul de numere 
este soluția pentru sistem. Se notează prin -a coloană a matricei, 
. Atunci , adică coloana de termeni liberi este o combinație liniară a coloanelor matricei . Lăsa . Să ne prefacem că 
. Apoi prin 
. Alegem la minorul de bază. Are ordine. Coloana de membri liberi trebuie să treacă prin acest minor, altfel va fi minorul de bază al matricei. Coloana de termeni liberi în minor este o combinație liniară a coloanelor matricei. În virtutea proprietăților determinantului , unde este determinantul care se obține de la minor prin înlocuirea coloanei de termeni liberi cu coloana . Dacă coloana a trecut prin M minor, atunci în , vor exista două coloane identice și, prin urmare, . Dacă coloana nu a trecut prin minor, atunci ea va diferi de minorul de ordinul r + 1 al matricei doar prin ordinea coloanelor. De atunci . Astfel, ceea ce contrazice definiția de bază minoră. Prin urmare, presupunerea că , este falsă.
2. Fie . Să arătăm că sistemul are o soluție. Deoarece, atunci baza minoră a matricei este baza minoră a matricei. Lasă coloanele să treacă prin minor 
. Apoi, după teorema minoră a bazei dintr-o matrice, coloana de termeni liberi este o combinație liniară a coloanelor indicate:
| (1) |
Setăm , , , , și luăm necunoscutele rămase egale cu zero. Atunci pentru aceste valori obținem
În virtutea egalității (1) . Ultima egalitate înseamnă că mulțimea de numere 
este soluția pentru sistem. Se dovedește existența unei soluții.
În sistemul discutat mai sus 
, iar sistemul este consistent. În sistem , , iar sistemul este inconsecvent.
Notă: Deși teorema Kronecker-Capelli face posibilă determinarea dacă un sistem este consistent, este folosită destul de rar, în principal în studii teoretice. Motivul este că calculele efectuate la găsirea rangului unei matrice sunt practic aceleași cu calculele la găsirea unei soluții la sistem. Prin urmare, de obicei, în loc de a găsi și , se caută o soluție pentru sistem. Dacă poate fi găsit, atunci aflăm că sistemul este consistent și obținem simultan soluția acestuia. Dacă nu poate fi găsită o soluție, atunci tragem concluzia că sistemul este inconsecvent.
Algoritm pentru găsirea de soluții la un sistem arbitrar de ecuații liniare (metoda Gauss)
Să fie dat un sistem de ecuații liniare cu necunoscute. Este necesar să-și găsească soluția generală dacă este consecventă sau să-și stabilească inconsecvența. Metoda care va fi prezentată în această secțiune este apropiată de metoda de calcul a determinantului și de metoda de găsire a rangului unei matrice. Algoritmul propus este numit metoda Gauss sau metoda de eliminare succesiva a necunoscutelor.
Să scriem matricea augmentată a sistemului
Numim următoarele operații cu matrici operații elementare:
1. permutarea liniilor;
2. înmulțirea unui șir cu un număr diferit de zero;
3. adunarea unui șir cu un alt șir înmulțit cu un număr.
Rețineți că atunci când rezolvați un sistem de ecuații, spre deosebire de calcularea determinantului și găsirea rangului, nu se poate opera cu coloane. Dacă sistemul de ecuații este restabilit din matricea obținută din operația elementară, atunci sistem nou va fi egal cu originalul.
Scopul algoritmului este, prin aplicarea unei secvențe de operații elementare matricei, să se asigure că fiecare rând, cu excepția poate primul, începe cu zerouri, iar numărul de zerouri până la primul element diferit de zero din fiecare următor. rândul este mai mare decât în cel precedent.
Pasul algoritmului este următorul. Găsiți prima coloană diferită de zero din matrice. Să fie o coloană cu număr . Găsim un element diferit de zero în el și schimbăm linia cu acest element cu prima linie. Pentru a nu acumula notații suplimentare, vom presupune că o astfel de schimbare a rândurilor din matrice a fost deja făcută, adică . Apoi la a doua linie îl adunăm pe primul înmulțit cu numărul , pe a treia linie îl adunăm pe primul înmulțit cu numărul , etc. Ca rezultat, obținem matricea
(Primele coloane nule lipsesc de obicei.)
Dacă matricea are un rând cu numărul k, în care toate elementele sunt egale cu zero, și , atunci oprim execuția algoritmului și concluzionăm că sistemul este inconsecvent. Într-adevăr, restabilind sistemul de ecuații din matricea extinsă, obținem că ecuația -a va avea forma 
Această ecuație nu satisface niciun set de numere 
.
Matricea poate fi scrisă ca 
În ceea ce privește matricea, efectuăm pasul descris al algoritmului. Obțineți matricea
Unde , . Această matrice poate fi din nou scrisă ca
iar pasul de mai sus al algoritmului este din nou aplicat matricei.
Procesul se oprește dacă după executarea pasului următor noua matrice redusă constă numai din zerouri sau dacă toate rândurile sunt epuizate. Rețineți că concluzia despre incompatibilitatea sistemului ar putea opri procesul și mai devreme.
Dacă nu am reduce matricea, atunci în final am ajunge la o matrice de formă
În continuare, se realizează așa-numita trecere inversă a metodei gaussiene. Pe baza matricei, compunem un sistem de ecuații. În partea stângă, lăsăm necunoscutele cu numere corespunzătoare primelor elemente nenule din fiecare linie, adică . Observa asta . Necunoscutele rămase sunt transferate în partea dreaptă. Considerând necunoscutele din partea dreaptă a fi niște cantități fixe, este ușor de exprimat necunoscutele din partea stângă în termeni de ele.
Acum, dând valori arbitrare necunoscutelor din partea dreaptă și calculând valorile variabilelor din partea stângă, vom găsi diverse soluții la sistemul original Ax=b. Pentru a nota soluția generală, este necesar să notați necunoscutele în partea dreaptă în orice ordine prin litere 
, inclusiv acele necunoscute care nu sunt scrise în mod explicit în partea dreaptă din cauza coeficienților zero, iar apoi coloana de necunoscute poate fi scrisă ca o coloană, unde fiecare element este o combinație liniară de valori arbitrare 
(în special, doar o valoare arbitrară). Această intrare va fi soluția generală a sistemului.
Dacă sistemul era omogen, atunci obținem soluția generală a sistemului omogen. Coeficienții lui , luați în fiecare element al coloanei soluției generale, vor alcătui prima soluție din sistemul fundamental de soluții, coeficienții lui , a doua soluție și așa mai departe.
Metoda 2: Sistemul fundamental de soluții al unui sistem omogen poate fi obținut în alt mod. Pentru a face acest lucru, unei variabile, transferate în partea dreaptă, trebuie să i se atribuie valoarea 1, iar restul - zerouri. Calculând valorile variabilelor din partea stângă, obținem o soluție din sistemul fundamental. Atribuind valoarea 1 celeilalte variabile din partea dreaptă și zerouri celorlalte, obținem a doua soluție din sistemul fundamental și așa mai departe.
Definiție: sistemul se numește în comun th, dacă are cel puțin o soluție, și inconsecventă - în caz contrar, adică în cazul în care sistemul nu are soluții. Întrebarea dacă un sistem are sau nu o soluție este legată nu numai de raportul dintre numărul de ecuații și numărul de necunoscute. De exemplu, un sistem de trei ecuații cu două necunoscute
 |
are o soluție și chiar are infinit de soluții, dar un sistem de două ecuații cu trei necunoscute.
……. … ……
A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0
Acest sistemîntotdeauna compatibil deoarece are o soluție trivială x 1 =…=x n =0
Pentru ca soluții netriviale să existe, este necesar și suficient ca
conditii r = r(A)< n , что равносильно условию det(A)=0, когда матрица А – квадратная.
Th Mulțimea soluțiilor SLAE formează un spațiu liniar de dimensiune (n-r). Aceasta înseamnă că produsul soluției sale cu un număr, precum și suma și combinația liniară a unui număr finit al soluțiilor sale, sunt soluții ale acestui sistem. Spațiul de soluție liniară al oricărui SLAE este un subspațiu al spațiului R n .
Orice set de (n-r) soluții liniar independente ale unui SLAE (care este o bază în spațiul soluțiilor) se numește set fundamental de soluții (FSR).
Fie х 1 ,…,х r necunoscute de bază, х r +1 ,…,х n necunoscute libere. Oferim pe rând următoarele valori variabilelor libere:
……. … ……
A m 1 x 1 + … + a mn x n = 0
Formează un spațiu liniar S (spațiul soluțiilor), care este un subspațiu în R n (n este numărul de necunoscute), și dims=k=n-r, unde r este rangul sistemului. Baza din spațiul soluțiilor (x (1) ,…, x (k) ) se numește sistemul fundamental de soluții și soluţia generală are forma:
X=c 1 x (1) + … + c k x (k) , c (1) ,…, c (k) ? R