Grundbegriff der Wahrscheinlichkeitstheorie. Gesetze der Wahrscheinlichkeitstheorie

sondern auch alle Zukunft

beobachtete Frequenzen werden stabilisiert,

bei

Was ist die praktische Anwendung Methoden?

Praktischer Nutzen Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie bestehen darin, die Wahrscheinlichkeiten „komplexer“ Ereignisse durch die Wahrscheinlichkeiten „einfacher Ereignisse“ neu zu berechnen.

Beispiel. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Wappen bei einem einzigen Wurf einer fairen Münze herausfällt, beträgt ½ (die beobachtete Häufigkeit des Herausfallens des Wappens bei einer großen Anzahl von Würfen tendiert zu dieser Zahl). Sie müssen die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass Sie beim dreimaligen Werfen einer fairen Münze zwei Wappen erhalten.

Antwort: Berullis Formel beantwortet diese Frage:

0,375 (d. h. ein solches Ereignis tritt in 37,5 % der Fälle bei 2 Würfen einer fairen Münze auf).

Charakteristisches Merkmal moderne Theorie Am wahrscheinlichsten ist die Tatsache, dass es trotz seiner Praxisorientierung die neuesten Abschnitte fast aller Teilgebiete der Mathematik nutzt.

Grundkonzepte: Allgemein- und Stichprobenpopulation.

Hier finden Sie eine Korrelationstabelle zwischen den Grundkonzepten der Allgemeinbevölkerung und der Stichprobe.

Bevölkerung	Stichprobenpopulation
Zufallsvariable (x, h, z)	Vorzeichen (x, y, z)
Wahrscheinlichkeit p, p-Gen	Relative Häufigkeit p, p auswählen
Wahrscheinlichkeitsverteilung	Häufigkeitsverteilung
Parameter (Merkmal der Wahrscheinlichkeitsverteilung)	Statistik (eine Funktion von Stichprobenwerten von Merkmalen) dient der Schätzung des einen oder anderen Parameters der allgemeinen Wahrscheinlichkeitsverteilung
Beispiele für Parameter und entsprechende Statistiken
Univariate Zufallsvariablen (univariate Verteilungen)
Erwarteter Wert(m, Mx)	Arithmetisches Mittel (m, )
Mode (Mo)	Mode (Mo)
Median (Ich)	Median (Ich)
	Standardabweichungen)
Streuung (s 2 , Dx)	Streuung (s 2 , Dx)
Bivariate Zufallsvariablen (bivariate Verteilungen)
Korrelationskoeffizient r(x, h)	Korrelationskoeffizient r(x,y)
Multivariate Zufallsvariablen (multivariate Verteilungen)
Koeffizienten der Regressionsgleichung b 1 ,b 2 ,…,b n	Koeffizienten der Regressionsgleichung b 1, b 2, …, b n

Varianzanalyse

Vorlesungsplan.

1. Einweg-Varianzanalyse.

Fragen zur Vorlesung.

Korrelationskoeffizient

Akzeptiert Werte im Bereich -1 bis +1

Dimensionslose Menge

Zeigt die Nähe der Verbindung an (Verbindung als). Synchronizität, Konsistenz) zwischen Zeichen

Regressionskoeffizienten

Kann jeden Wert annehmen

Verknüpft mit den Maßeinheiten beider Merkmale

Zeigt die Struktur der Beziehung zwischen Features: charakterisiert den Zusammenhang als Abhängigkeit, Einfluss, stellt Ursache-Wirkungs-Beziehungen her.

Das Vorzeichen des Koeffizienten gibt die Richtung der Verbindung an

Kompliziert das Modell

Der Gesamteffekt aller unabhängigen Faktoren auf die abhängige Variable kann nicht als einfache Summe mehrerer paarweiser Regressionen dargestellt werden.

Dieser kumulative Effekt wird durch eine komplexere Methode ermittelt – die Methode der multiplen Regression.

Phasen der Durchführung von Korrelationen und Regressionsanalyse:

· Identifizieren des Vorhandenseins einer Beziehung zwischen Merkmalen;

· Festlegung der Kommunikationsform;

· Bestimmung der Festigkeit, Dichtheit und Richtung der Verbindung.

Nach der Lektüre dieser Vorlesung zu lösende Aufgaben:

Sie können für diese Größen Vorwärts- und Rückwärtsregressionsgleichungen schreiben. Erstellen Sie geeignete Diagramme. Finden Sie den Korrelationskoeffizienten der betrachteten Größen. Testen Sie anhand des Student-Kriteriums die Hypothese über die Signifikanz der Korrelationsbeziehung. Wir verwenden die Befehle: LINEST und Chart Wizard in Excel.

Literatur.

1. Skript zur Vorlesung.

1. Gmurman, V.E. Wahrscheinlichkeitstheorie und Mathematische Statistik. - M.: Höhere Schule, 2003. - 479 S.

1.8. Grundlegende Konzepte des experimentellen Designs und einige Empfehlungen

Vorlesungsplan.

1. Experimentelle Planung: Hauptphasen und Prinzipien.

2. Das Konzept von Experiment, Reaktion, Reaktionsoberfläche, Faktorraum.

3. Bestimmen des Zwecks der Experimentplanung.

4. Hauptphasen der Planung:

Vorlesungsfragen:

1. Grundkonzepte. Formulierung des Problems.

Unter experimenteller Planung versteht man die optimale (effektivste) Steuerung des Ablaufs eines Experiments, um auf Basis der minimal zulässigen Datenmenge die größtmögliche Information zu erhalten. Mit dem Experiment selbst meinen wir ein System von Operationen, Aktionen oder Beobachtungen, die darauf abzielen, Informationen über ein Objekt zu erhalten.

Die Theorie der experimentellen Planung setzt das Vorhandensein bestimmter Kenntnisse voraus und kann bedingt unterschieden werden Nächste Schritte Planung:

1) Erhebung und primäre Verarbeitung statistischer Daten

2) Bestimmung von Punkt- und Intervallschätzungen der Verteilung

3) und deren anschließende Verarbeitung, die Wissen voraussetzt statistische Methoden Messungen einer Zufallsvariablen, Theorie der Prüfung statistischer Hypothesen, Methoden der Experimentplanung, insbesondere passive Experimente, Methoden der Varianzanalyse, Methoden zur Suche nach dem Extremum der Antwortfunktion;

2) Erstellung eines Versuchsplans, Durchführung des Experiments selbst, Verarbeitung der Versuchsergebnisse, Beurteilung der Genauigkeit des Experiments.

Lassen Sie uns also das Konzept des Experiments selbst erläutern.

Experiment. Das Experiment ist die wichtigste und fortschrittlichste Erkenntnismethode, die aktiv oder passiv sein kann.

Aktiv ist die Hauptart von Experimenten, die unter kontrollierten und kontrollierten Bedingungen durchgeführt werden und folgende Vorteile haben:

1) Beobachtungsergebnisse unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen;

2) die Varianzen sind einander gleich (aufgrund der Tatsache, dass die Stichprobenschätzungen homogen sind);

3) unabhängige Variablen werden mit einem kleinen Fehler im Vergleich zum Fehler des Werts gemessen j ;

4) Aktives Experiment ist besser organisiert: optimale Nutzung Der Faktorraum ermöglicht es Ihnen, mit minimalen Kosten maximale Informationen über die untersuchten Prozesse oder Phänomene zu erhalten.

Ein passives Experiment ist nicht auf den Experimentator angewiesen, der in diesem Fall als externer Beobachter fungiert.

Bei der Planung eines Experiments wird das Untersuchungsobjekt in Form einer „Black Box“ dargestellt, die von kontrollierbaren und unkontrollierbaren Faktoren beeinflusst wird:

Hier - kontrollierbare Faktoren; - unkontrollierbare Faktoren, - Optimierungsparameter, die den Betrieb des Objekts charakterisieren können.

Faktoren. Jeder Faktor kann eine bestimmte Anzahl genannter Werte annehmen Ebenen Faktoren. Die Menge der möglichen Stufen eines Faktors heißt Definitionsbereich Faktoren, die kontinuierlich oder diskret, begrenzt oder unbegrenzt sein können. Faktoren können sein:

- kompatibel: Es wird davon ausgegangen, dass jede Kombination von Faktoren zulässig ist, die die Erhaltung des untersuchten Prozesses nicht beeinträchtigen sollte.

- unabhängig: Es sollte keine Korrelation zwischen den Faktoren bestehen, d. h. es ist möglich, den Wert jedes der im System berücksichtigten Faktoren unabhängig voneinander zu ändern. Ein Verstoß gegen mindestens eine dieser Anforderungen führt entweder zur Unmöglichkeit der Verwendung des Versuchsdesigns oder zu sehr schwerwiegenden Schwierigkeiten. Richtige Wahl Faktoren ermöglicht es Ihnen, die Bedingungen des Experiments klar festzulegen.

Untersuchte Parameter muss eine Reihe von Anforderungen erfüllen:

- Effizienz, die zum schnellen Erreichen des Ziels beiträgt;

- Universalität, die nicht nur für das untersuchte Objekt charakteristisch ist;

- statistische Homogenität, die die Einhaltung eines bestimmten Satzes von Faktorwerten eines bestimmten Faktorwerts bis zum experimentellen Fehler voraussetzt;

- quantitativer Ausdruck in einer Zahl;

- einfache Berechnung;

- Existenz in jedem Zustand des Objekts.

Modell. Die Beziehung zwischen dem Ausgabeparameter (Antwort) und den Eingabeparametern (Faktoren) wird Antwortfunktion genannt und hat die folgende Form:

(1)

Hier ist die Antwort (das Ergebnis des Experiments); - unabhängige Variablen (Faktoren), die beim Versuchsaufbau variiert werden können.

Antwort. Die Antwort ist das Ergebnis der Erfahrung unter geeigneten Bedingungen, die auch Zielfunktion, Effizienzkriterium, Optimalitätskriterium, Optimierungsparameter usw. genannt wird.

In der Theorie der Versuchsplanung werden Anforderungen an den Optimierungsparameter gestellt, deren Erfüllung erforderlich ist erfolgreiche Lösung Aufgaben. Die Wahl des Optimierungsparameters sollte auf einem klar formulierten Problem und einem klaren Verständnis des Endziels der Studie basieren. Der Optimierungsparameter muss im statistischen Sinne wirksam sein, also mit ausreichender Genauigkeit ermittelt werden. Liegt ein großer Fehler bei der Bestimmung vor, ist es notwendig, die Anzahl paralleler Experimente zu erhöhen.

Es ist wünschenswert, möglichst wenige Optimierungsparameter zu haben. Man sollte jedoch nicht danach streben, die Anzahl der Optimierungsparameter auf Kosten der Vollständigkeit der Systemeigenschaften zu reduzieren. Es ist außerdem wünschenswert, dass das System vollständig durch einfache Optimierungsparameter charakterisiert wird, die eine klare physikalische Bedeutung haben. Natürlich, einfach, klar physikalische Bedeutung Der Optimierungsparameter schützt den Experimentator vor vielen Fehlern und entlastet ihn von vielen Schwierigkeiten, die mit der Lösung verschiedener methodischer Fragen des Experiments und der technologischen Interpretation der erzielten Ergebnisse verbunden sind.

Das geometrische Analogon des Parameters (Antwortfunktion), das Gleichung (1) entspricht, wird als Antwortoberfläche bezeichnet, und der Raum, in dem die angegebene Oberfläche konstruiert ist, wird als Faktorraum bezeichnet. Im einfachsten Fall, wenn die Abhängigkeit der Reaktion von einem Faktor untersucht wird, ist die Reaktionsfläche eine Linie in einer Ebene, also im zweidimensionalen Raum. Wenn Faktoren berücksichtigt werden, beschreibt Gleichung (1) im Allgemeinen die Reaktionsfläche in - Dimensionsraum. So ist beispielsweise bei zwei Faktoren der Faktorraum eine Faktorebene.

Der Zweck der Planung eines Experiments besteht darin, ein mathematisches Modell des untersuchten Objekts oder Prozesses zu erhalten. Bei sehr begrenzten Kenntnissen über den Mechanismus des Prozesses ist der analytische Ausdruck der Antwortfunktion unbekannt, daher werden üblicherweise polynomiale mathematische Modelle (algebraische Polynome), sogenannte Regressionsgleichungen, verwendet. generelle Form von welchem:

(2)

Wo – Beispiel-Regressionskoeffizienten, die anhand der Ergebnisse des Experiments ermittelt werden können.

4. Zu den Hauptphasen der Experimentplanung gehören:

1.Sammlung, Untersuchung, Analyse aller Daten über das Objekt.

2. Kodierung von Faktoren.

3. Erstellen einer Experimentplanungsmatrix.

4. Überprüfung der Reproduzierbarkeit von Experimenten.

5. Berechnung von Schätzungen der Regressionsgleichungskoeffizienten.

6. Überprüfung der Signifikanz von Regressionskoeffizienten.

7. Überprüfung der Angemessenheit des resultierenden Modells.

8. Übergang zu physikalischen Variablen.

Literatur

1. Skript zur Vorlesung.

4.1 Markov-Ketten. Zufallsfunktionen. Monte-Carlo-Methode. Simulationsmodellierung. Netzwerkplanung. Dynamische und ganzzahlige Programmierung

Vorlesungsplan.

1. Monte-Carlo-Methoden.

2. Statistische Testmethode (Monte-Carlo-Methoden)

Fragen zur Vorlesung.

Was untersucht die Wahrscheinlichkeitstheorie?

Die Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht sogenannte Zufallsereignisse und legt Muster in der Manifestation solcher Ereignisse fest; wir können sagen, dass die Wahrscheinlichkeitstheorie ein Zweig der Mathematik ist, in dem mathematische Modelle von Zufallsexperimenten untersucht werden, d. h. Experimente, deren Ergebnisse nicht eindeutig durch die Bedingungen des Experiments bestimmt werden können.

Um das Konzept eines Zufallsereignisses einzuführen, müssen einige Beispiele realer Experimente betrachtet werden.

2. Beschreiben Sie das Konzept eines Zufallsexperiments und nennen Sie Beispiele für Zufallsexperimente.

Hier sind Beispiele für Zufallsexperimente:

1. Wirf einmal eine Münze.

2. Einmal würfeln.

3. Zufällige Auswahl einer Kugel aus der Urne.

4. Messung der Betriebszeit einer Glühbirne.

5. Messung der Anzahl der Anrufe, die pro Zeiteinheit bei der TK-Anlage eingehen.

Ein Experiment ist zufällig, wenn es nicht möglich ist, das Ergebnis nicht nur des ersten Experiments vorherzusagen, sondern auch alle Zukunft. Zum Beispiel einige chemische Reaktion, dessen Ausgang unbekannt ist. Wenn es einmal durchgeführt wird und ein bestimmtes Ergebnis erzielt wird, verschwindet die Zufälligkeit bei weiteren Experimenten unter den gleichen Bedingungen.

Sie können so viele Beispiele dieser Art nennen, wie Sie möchten. Was ist die Gemeinsamkeit von Experimenten mit zufälligen Ergebnissen? Es stellt sich heraus, dass es trotz der Tatsache, dass es unmöglich ist, die Ergebnisse jedes der oben aufgeführten Experimente vorherzusagen, in der Praxis seit langem ein bestimmtes Muster für sie gibt, nämlich: bei der Durchführung große Menge Tests beobachtete Frequenzen Auftreten jedes zufälligen Ereignisses werden stabilisiert, diese. weichen immer weniger von einer bestimmten Zahl ab, die als Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bezeichnet wird.

Die beobachtete Häufigkeit von Ereignis A () ist das Verhältnis der Anzahl des Auftretens von Ereignis A () zur Gesamtzahl der Versuche (N):

Diese Eigenschaft der Frequenzstabilität ermöglicht es, die Eigenschaften von Phänomenen, die mit der betreffenden Erfahrung verbunden sind, genau vorherzusagen, ohne das Ergebnis eines einzelnen Experiments vorhersagen zu können. Daher sind die Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie in modernes Leben drang in alle Bereiche menschlichen Handelns ein, und zwar nicht nur in die Naturwissenschaften, die Wirtschaftswissenschaften, sondern auch in die Geisteswissenschaften wie Geschichte, Linguistik usw. Basierend auf diesem Ansatz statistische Bestimmung der Wahrscheinlichkeit.

bei (Die beobachtete Häufigkeit eines Ereignisses tendiert zu seiner Wahrscheinlichkeit, wenn die Anzahl der Experimente zunimmt, also mit n).

Allerdings ist die Definition der Wahrscheinlichkeit anhand der Häufigkeit für die Wahrscheinlichkeitstheorie als mathematische Wissenschaft nicht zufriedenstellend. Dies liegt daran, dass es praktisch unmöglich ist, unendlich viele Tests durchzuführen und Die beobachtete Häufigkeit variiert von Experiment zu Experiment. Deshalb A.N. Kolmogorov schlug eine axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit vor, die derzeit akzeptiert wird.

Mama hat den Rahmen gewaschen

Am Ende von langem Sommerferien Es ist an der Zeit, langsam zur höheren Mathematik zurückzukehren und feierlich die leere Verdov-Datei zu öffnen, um mit der Erstellung eines neuen Abschnitts zu beginnen – . Ich gebe zu, die ersten Zeilen sind nicht einfach, aber der erste Schritt ist schon die Hälfte des Weges, daher empfehle ich jedem, den Einführungsartikel sorgfältig zu studieren, dann wird es Ihnen doppelt so leicht fallen, das Thema zu beherrschen! Ich übertreibe überhaupt nicht. …Am Vorabend des nächsten 1. Septembers erinnere ich mich an die erste Klasse und die Einführung…. Buchstaben bilden Silben, Silben bilden Wörter, Wörter bilden kurze Sätze – Mama hat den Rahmen gewaschen. Umgang mit dem Terver und mathematische Statistik so einfach wie lesen lernen! Dazu müssen Sie jedoch wichtige Begriffe, Konzepte und Bezeichnungen sowie einige spezifische Regeln kennen, die Gegenstand dieser Lektion sind.

Aber nehmen Sie bitte zunächst meine Glückwünsche zum Anfang entgegen (Fortsetzung, Abschluss, ggf. Anmerkung) Schuljahr und nimm das Geschenk an. Bestes Geschenk- Dies ist ein Buch, und für unabhängige Arbeit Ich empfehle folgende Literatur:

1) Gmurman V.E. Wahrscheinlichkeitstheorie und Mathematische Statistik

Legendär Lernprogramm, das mehr als zehn Nachdrucke erlebte. Es zeichnet sich durch seine Verständlichkeit und eine äußerst einfache Darstellung des Stoffes aus und die ersten Kapitel sind meiner Meinung nach bereits für Schüler der Klassen 6-7 vollständig zugänglich.

2) Gmurman V.E. Leitfaden zur Lösung von Problemen in der Wahrscheinlichkeitstheorie und der mathematischen Statistik

Ein Lösungsbuch von Wladimir Efimovich mit detaillierten Beispielen und Problemen.

NOTWENDIG Laden Sie beide Bücher aus dem Internet herunter oder holen Sie sich die gedruckten Originale! Es funktioniert auch die Version aus den 60er und 70er Jahren, was für Dummies noch besser ist. Obwohl der Ausdruck „Wahrscheinlichkeitstheorie für Dummies“ ziemlich lächerlich klingt, da sich fast alles auf das Elementare beschränkt Rechenoperationen. Sie überspringen jedoch stellenweise Derivate Und Integrale, aber das ist nur stellenweise der Fall.

Ich werde versuchen, die gleiche Klarheit der Präsentation zu erreichen, muss aber darauf hinweisen, dass mein Kurs darauf abzielt Probleme lösen und theoretische Berechnungen werden auf ein Minimum beschränkt. Wenn Sie also eine detaillierte Theorie und Beweise für Theoreme (Theoreme-Theoreme!) benötigen, lesen Sie bitte das Lehrbuch. Nun, wer will lernen, Probleme zu lösen in Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematischer Statistik in kürzester Zeit, folgen Sie mir!

Das reicht für den Anfang =)

Beim Lesen der Artikel empfiehlt es sich, sich (zumindest kurz) mit weiteren Aufgaben der betrachteten Art vertraut zu machen. Auf der Seite Vorgefertigte Lösungen für die höhere Mathematik Die entsprechenden PDFs mit Lösungsbeispielen werden veröffentlicht. Auch erhebliche Hilfestellung wird bereitstellen IDZ 18.1 Ryabushko(einfacher) und löste IDZ laut Chudesenkos Sammlung(schwieriger).

1) Menge zwei Ereignisse und das Ereignis heißt, dass es passieren wird oder Ereignis oder Ereignis oder beide Ereignisse gleichzeitig. Für den Fall, dass Ereignisse unvereinbar, die letzte Option verschwindet, das heißt, sie kann auftreten oder Ereignis oder Ereignis .

Die Regel gilt auch für eine größere Anzahl von Begriffen, beispielsweise für das Ereignis ist, was passieren wird mindestens ein aus Ereignissen , A wenn Ereignisse inkompatibel sind – dann eine Sache und nur eine Sache Veranstaltung ab diesem Betrag: oder Ereignis , oder Ereignis , oder Ereignis , oder Ereignis , oder Ereignis .

Es gibt viele Beispiele:

Ereignisse (beim Würfeln erscheinen keine 5 Punkte) werden angezeigt oder 1, oder 2, oder 3, oder 4, oder 6 Punkte.

Ereignis (wird gelöscht nicht mehr zwei Punkte) ist, dass 1 erscheint oder 2Punkte.

Ereignis (es wird eine gerade Anzahl von Punkten geben) wird angezeigt oder 2 oder 4 oder 6 Punkte.

Das Ereignis besteht darin, dass eine rote Karte (Herz) vom Stapel gezogen wird oder Tamburin) und die Veranstaltung – dass das „Bild“ extrahiert wird (Jack oder Dame oder König oder As).

Etwas interessanter ist der Fall bei gemeinsamen Veranstaltungen:

Das Ereignis besteht darin, dass ein Verein vom Deck gezogen wird oder Sieben oder Sieben Vereine Gemäß der oben gegebenen Definition gilt immerhin etwas- oder ein beliebiger Verein oder eine beliebige Sieben oder deren „Schnittpunkt“ – sieben von Vereinen. Es lässt sich leicht berechnen, dass dieses Ereignis 12 Grundergebnissen entspricht (9 Clubkarten + 3 verbleibende Siebener).

Das Ereignis ist, dass morgen um 12.00 Uhr kommen wird MINDESTENS EINE der summierbaren gemeinsamen Veranstaltungen, nämlich:

– oder es wird nur Regen / nur Gewitter / nur Sonne geben;
– oder nur ein Ereignispaar auftritt (Regen + Gewitter / Regen + Sonne / Gewitter + Sonne);
– oder alle drei Ereignisse erscheinen gleichzeitig.

Das heißt, die Veranstaltung umfasst 7 mögliche Ergebnisse.

Die zweite Säule der Algebra der Ereignisse:

2) Die Arbeit zwei Ereignisse und nennen ein Ereignis, das im gemeinsamen Auftreten dieser Ereignisse besteht, mit anderen Worten bedeutet Multiplikation, dass es unter bestimmten Umständen ein Ereignis geben wird Und Ereignis , Und Ereignis . Eine ähnliche Aussage gilt für eine größere Anzahl von Ereignissen, beispielsweise impliziert ein Werk, dass es unter bestimmten Bedingungen stattfinden wird Und Ereignis , Und Ereignis , Und Ereignis , …, Und Ereignis .

Stellen Sie sich einen Test vor, bei dem zwei Münzen geworfen werden und die folgenden Ereignisse:

– Kopf erscheint auf der 1. Münze;
– die 1. Münze wird Kopf ergeben;
– Kopf erscheint auf der 2. Münze;
– Die 2. Münze wird Kopf ergeben.

Dann:
Und am 2.) erscheinen Köpfe;
– Das Ereignis ist, dass auf beiden Münzen (am 1 Und am 2.) werden es Köpfe sein;
– Das Ereignis ist, dass die 1. Münze „Kopf“ landet Und die 2. Münze ist Zahl;
– Das Ereignis ist, dass die 1. Münze „Kopf“ landet Und Auf der 2. Münze ist ein Adler zu sehen.

Es ist leicht, diese Ereignisse zu erkennen unvereinbar (weil es zum Beispiel nicht gleichzeitig 2 Kopf und 2 Zahl sein kann) und Form volle Gruppe (seitdem berücksichtigt Alle mögliche Ergebnisse beim Werfen zweier Münzen). Fassen wir diese Ereignisse zusammen: . Wie ist dieser Eintrag zu interpretieren? Ganz einfach – Multiplikation bedeutet eine logische Verknüpfung UND, und Ergänzung – ODER. Somit ist der Betrag in verständlicher menschlicher Sprache leicht zu lesen: „Es werden zwei Köpfe erscheinen oder zwei Köpfe oder Die erste Münze wird „Kopf“ landen Und am 2. Schwanz oder Die erste Münze wird „Kopf“ landen Und auf der 2. Münze ist ein Adler abgebildet“

Dies war ein Beispiel, als in einem Test Es handelt sich um mehrere Gegenstände, in diesem Fall um zwei Münzen. Ein weiteres häufiges Schema bei praktischen Problemen ist erneut testen , wenn beispielsweise dreimal hintereinander mit demselben Würfel gewürfelt wird. Betrachten Sie zur Demonstration die folgenden Ereignisse:

– im 1. Wurf erhalten Sie 4 Punkte;
– im 2. Wurf erhältst du 5 Punkte;
– im 3. Wurf erhältst du 6 Punkte.

Dann die Veranstaltung ist, dass Sie im 1. Wurf 4 Punkte erhalten Und Im 2. Wurf erhältst du 5 Punkte Und Beim 3. Wurf erhältst du 6 Punkte. Offensichtlich gibt es bei einem Würfel wesentlich mehr Kombinationen (Ergebnisse), als wenn wir eine Münze werfen würden.

...Ich verstehe, dass sie es vielleicht nicht sehr gut verstehen interessante Beispiele, aber das sind Dinge, die man oft bei Problemen antrifft und aus denen es kein Entrinnen gibt. Neben einer Münze, einem Würfel und einem Kartenspiel, Urnen mit mehrfarbige Kugeln, mehrere anonyme Personen, die auf ein Ziel schießen, und ein unermüdlicher Arbeiter, der ständig an einigen Details feilt =)

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist der zentrale Begriff der Wahrscheinlichkeitstheorie. ...Eine mörderisch logische Sache, aber wir mussten irgendwo anfangen =) Es gibt mehrere Ansätze für die Definition:

;
Geometrische Definition der Wahrscheinlichkeit ;
Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit .

In diesem Artikel werde ich mich auf die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit konzentrieren, die bei pädagogischen Aufgaben am häufigsten verwendet wird.

Bezeichnungen. Die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses wird durch einen lateinischen Großbuchstaben angegeben, und das Ereignis selbst wird als eine Art Argument in Klammern gesetzt. Zum Beispiel:

Außerdem wird der Kleinbuchstabe häufig zur Bezeichnung der Wahrscheinlichkeit verwendet. Insbesondere können Sie auf die umständliche Benennung von Ereignissen und deren Wahrscheinlichkeiten verzichten zugunsten des folgenden Stils:

– die Wahrscheinlichkeit, dass ein Münzwurf „Kopf“ ergibt;
– die Wahrscheinlichkeit, dass ein Würfelwurf 5 Punkte ergibt;
– die Wahrscheinlichkeit, dass eine Karte der Clubfarbe vom Stapel gezogen wird.

Diese Option ist bei der Lösung praktischer Probleme beliebt, da Sie damit die Aufzeichnung der Lösung erheblich verkürzen können. Wie im ersten Fall ist es auch hier zweckmäßig, „sprechende“ Tief-/Hochstellungen zu verwenden.

Jeder hat die Zahlen, die ich gerade oben notiert habe, schon lange erraten, und jetzt erfahren wir, wie sie sich herausstellten:

Klassische Definition von Wahrscheinlichkeit:

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in einem bestimmten Test auftritt, wird als Verhältnis bezeichnet, wobei:

– Gesamtzahl aller gleichermaßen möglich, elementar Ergebnisse dieses Tests, die sich bilden vollständige Veranstaltungsgruppe;

- Menge elementar Ergebnisse, günstig Ereignis.

Beim Werfen einer Münze kann entweder Kopf oder Zahl herausfallen – es entstehen diese Ereignisse volle Gruppe, also die Gesamtzahl der Ergebnisse; gleichzeitig jeder von ihnen elementar Und gleichermaßen möglich. Das Ereignis wird durch den Ausgang (Kopf) begünstigt. Nach der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition: .

Ebenso können beim Würfeln elementare, gleich mögliche Ergebnisse auftreten, die eine vollständige Gruppe bilden, und das Ereignis wird durch ein einziges Ergebnis (Würfen einer Fünf) begünstigt. Deshalb: DIES IST NICHT AKZEPTIERT (obwohl es nicht verboten ist, Prozentsätze im Kopf zu schätzen).

Es ist üblich, Bruchteile einer Einheit zu verwenden, und natürlich kann die Wahrscheinlichkeit innerhalb variieren. Wenn außerdem, dann ist das Ereignis unmöglich, Wenn - zuverlässig, und wenn , dann reden wir darüber zufällig Ereignis.

! Wenn Sie beim Lösen eines Problems einen anderen Wahrscheinlichkeitswert erhalten, suchen Sie nach dem Fehler!

Beim klassischen Ansatz zur Wahrscheinlichkeitsbestimmung werden Extremwerte (Null und Eins) durch genau dieselben Überlegungen ermittelt. Aus einer bestimmten Urne mit 10 roten Kugeln soll zufällig 1 Kugel gezogen werden. Betrachten Sie die folgenden Ereignisse:

In einem einzelnen Versuch wird kein Ereignis mit geringer Wahrscheinlichkeit eintreten.

Aus diesem Grund knacken Sie den Jackpot im Lotto nicht, wenn die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses beispielsweise 0,00000001 beträgt. Ja, ja, Sie sind es – mit dem einzigen Los einer bestimmten Auflage. Eine größere Anzahl an Losen und eine größere Anzahl an Ziehungen werden Ihnen jedoch nicht viel nützen. ...Wenn ich anderen davon erzähle, höre ich fast immer als Antwort: „Aber jemand gewinnt.“ Okay, dann machen wir das folgende Experiment: Bitte kaufen Sie heute oder morgen ein Los für eine beliebige Lotterie (zögern Sie nicht!). Und wenn Sie gewinnen ... nun ja, mindestens mehr als 10 Kilorubel, melden Sie sich unbedingt an – ich werde Ihnen erklären, warum das passiert ist. Für einen Prozentsatz natürlich =) =)

Aber es besteht kein Grund, traurig zu sein, denn es gibt ein gegenteiliges Prinzip: Wenn die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses sehr nahe bei eins liegt, dann wird es in einem einzigen Versuch so sein fast sicher wird passieren. Deshalb brauchen Sie vor dem Fallschirmspringen keine Angst zu haben, im Gegenteil, lächeln Sie! Schließlich müssen völlig unvorstellbare und fantastische Umstände eintreten, damit beide Fallschirme versagen.

Obwohl dies alles Lyrik ist, kann sich je nach Inhalt der Veranstaltung das erste Prinzip als fröhlich und das zweite als traurig erweisen; oder sogar beide sind parallel.

Vielleicht reicht das für den Moment, im Unterricht Klassische Wahrscheinlichkeitsprobleme Wir werden das Beste aus der Formel herausholen. Im letzten Teil dieses Artikels werden wir einen wichtigen Satz betrachten:

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen, die eine vollständige Gruppe bilden, ist gleich eins. Grob gesagt: Wenn Ereignisse eine vollständige Gruppe bilden, dann wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 100 % eines davon eintreten. Im einfachsten Fall wird eine vollständige Gruppe durch gegensätzliche Ereignisse gebildet, zum Beispiel:

– als Ergebnis eines Münzwurfs erscheint „Kopf“;
– Das Ergebnis eines Münzwurfs ist „Kopf“.

Nach dem Satz:

Es ist völlig klar, dass diese Ereignisse gleichermaßen möglich und ihre Wahrscheinlichkeiten gleich sind .

Aufgrund der Gleichheit der Wahrscheinlichkeiten werden oft auch gleich mögliche Ereignisse genannt gleich wahrscheinlich . Und hier ist ein Zungenbrecher zur Bestimmung des Rauschgrades =)

Beispiel mit einem Würfel: Ereignisse sind also gegensätzlich .

Der betrachtete Satz ist insofern praktisch, als er es Ihnen ermöglicht, schnell die Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses zu ermitteln. Wenn also die Wahrscheinlichkeit bekannt ist, dass eine Fünf gewürfelt wird, lässt sich die Wahrscheinlichkeit, dass sie nicht gewürfelt wird, leicht berechnen:

Dies ist viel einfacher, als die Wahrscheinlichkeiten von fünf elementaren Ergebnissen zusammenzufassen. Für elementare Ergebnisse gilt übrigens auch dieser Satz:
. Wenn zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Schütze das Ziel trifft, dann ist es auch die Wahrscheinlichkeit, dass er das Ziel verfehlt.

! In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist es unerwünscht, Buchstaben für andere Zwecke zu verwenden.

Zu Ehren des Wissenstages werde ich nicht fragen Hausaufgaben=), aber es ist sehr wichtig, dass Sie die folgenden Fragen beantworten können:

– Welche Arten von Veranstaltungen gibt es?
– Was ist Zufall und gleiche Möglichkeit eines Ereignisses?
– Wie verstehen Sie die Begriffe Kompatibilität/Inkompatibilität von Veranstaltungen?
– Was ist eine vollständige Gruppe von Ereignissen, gegensätzliche Ereignisse?
– Was bedeutet Addition und Multiplikation von Ereignissen?
– Was ist der Kern der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition?
– Warum ist der Satz zur Addition der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen, die eine vollständige Gruppe bilden, nützlich?

Nein, Sie müssen nichts pauken, das sind nur die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie – eine Art Einführung, die Ihnen schnell in den Sinn kommt. Und damit dies so schnell wie möglich geschieht, empfehle ich Ihnen, sich mit den Lektionen vertraut zu machen

Abschnitt 12. Wahrscheinlichkeitstheorie.

1. Einleitung

2. Die einfachsten Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie

3. Algebra der Ereignisse

4. Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses

5. Geometrische Wahrscheinlichkeiten

6. Klassische Wahrscheinlichkeiten. Kombinatorische Formeln.

7. Bedingte Wahrscheinlichkeit. Unabhängigkeit von Ereignissen.

8. Formel volle Wahrscheinlichkeit und Bayes-Formeln

9. Wiederholtes Testschema. Bernoulli-Formel und ihre Asymptotik

10. Zufallsvariablen (RV)

11. DSV-Verteilungsreihe

12. Kumulative Verteilungsfunktion

13. NSV-Verteilungsfunktion

14. Wahrscheinlichkeitsdichte von NSV

15. Numerische Eigenschaften von Zufallsvariablen

16. Beispiele wichtiger SV-Verteilungen

16.1. Binomialverteilung von DSV.

16.2. Poisson-Verteilung

16.3. Gleichmäßige Verteilung von NSV.

16.4. Normalverteilung.

17. Grenzwertsätze der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Einführung

Die Wahrscheinlichkeitstheorie entwickelte sich wie viele andere mathematische Disziplinen aus den Bedürfnissen der Praxis. Gleichzeitig war es bei der Untersuchung eines realen Prozesses notwendig, ein abstraktes mathematisches Modell des realen Prozesses zu erstellen. Normalerweise das wichtigste, wichtigste Antriebskräfte realer Prozess, wobei sekundäre Prozesse, die als zufällig bezeichnet werden, aus der Betrachtung ausgeschlossen werden. Natürlich ist das, was als Hauptaufgabe gilt und was als zweitrangig gilt, eine separate Aufgabe. Die Lösung dieser Frage bestimmt den Abstraktionsgrad, die Einfachheit oder Komplexität des mathematischen Modells und den Grad der Angemessenheit des Modells für den realen Prozess. Im Wesentlichen ist jedes abstrakte Modell das Ergebnis zweier gegensätzlicher Bestrebungen: Einfachheit und Realitätsnähe.

In der Schießtheorie wurden beispielsweise recht einfache und praktische Formeln entwickelt, um die Flugbahn eines Projektils aus einer an einem Punkt befindlichen Waffe zu bestimmen (Abb. 1).

Unter bestimmten Bedingungen ist die genannte Theorie ausreichend, beispielsweise bei der massiven Artillerievorbereitung.

Es ist jedoch klar, dass, wenn mehrere Schüsse aus einer Waffe unter den gleichen Bedingungen abgefeuert werden, die Flugbahnen zwar ähnlich, aber dennoch unterschiedlich sind. Und wenn die Zielgröße im Vergleich zur Streufläche klein ist, stellen sich spezifische Fragen, die sich speziell auf den Einfluss von Faktoren beziehen, die im vorgeschlagenen Modell nicht berücksichtigt werden. Gleichzeitig Buchhaltung zusätzliche Faktoren wird zu einem übermäßig komplexen Modell führen, das praktisch unmöglich zu verwenden ist. Darüber hinaus gibt es viele dieser Zufallsfaktoren, deren Natur meist unbekannt ist.

Im obigen Beispiel sind solche spezifischen Fragen, die über das deterministische Modell hinausgehen, beispielsweise die folgenden: Wie viele Schüsse müssen abgegeben werden, um das Treffen des Ziels mit einer bestimmten Sicherheit (z. B. auf ) zu gewährleisten? wie man schießt, um Geld für das Treffen des Ziels auszugeben geringste Menge Muscheln? usw.

Wie wir später sehen werden, werden die Wörter „zufällig“ und „Wahrscheinlichkeit“ zu strengen mathematischen Begriffen. Allerdings kommen sie im Alltag sehr häufig vor Umgangssprache. Es wird angenommen, dass das Adjektiv „zufällig“ das Gegenteil von „natürlich“ ist. Dies ist jedoch nicht der Fall, da die Natur so konzipiert ist, dass zufällige Prozesse Muster erkennen lassen, allerdings unter bestimmten Bedingungen.

Die Hauptbedingung heißt Massencharakter.

Wenn Sie beispielsweise eine Münze werfen, können Sie nicht vorhersagen, was herauskommt, ein Wappen oder eine Zahl, Sie können nur raten. Wenn Sie jedoch diese Münze werfen große Nummer mal, dass der Anteil der Wappenabbrecher nicht wesentlich von einer bestimmten Zahl nahe 0,5 abweichen wird (im Folgenden nennen wir diese Zahl Wahrscheinlichkeit). Darüber hinaus nimmt mit zunehmender Anzahl der Würfe die Abweichung von dieser Zahl ab. Diese Eigenschaft heißt Stabilität Durchschnittsindikatoren (in diesem Fall der Anteil der Wappen). Es muss gesagt werden, dass selbst große Wissenschaftler es in den ersten Schritten der Wahrscheinlichkeitstheorie, als es notwendig war, das Vorhandensein der Stabilitätseigenschaft in der Praxis zu überprüfen, nicht für schwierig hielten, ihre eigene Überprüfung durchzuführen. So warf das berühmte Experiment von Buffon 4040 Mal eine Münze und das Wappen kam 2048 Mal zum Vorschein, daher beträgt der Anteil (oder die relative Häufigkeit) des Verlusts des Wappens 0,508, was dem intuitiven Wert nahe kommt erwartete Zahl von 0,5.

Daher wird normalerweise die Definition angegeben das Thema der Wahrscheinlichkeitstheorie als Teilgebiet der Mathematik, das die Muster von Massenzufallsprozessen untersucht.

Das muss man trotz der Tatsache sagen größte Errungenschaften Wahrscheinlichkeitstheorien stammen aus dem Anfang des letzten Jahrhunderts, insbesondere dank der axiomatischen Konstruktion der Theorie in den Werken von A.N. Kolmogorov (1903-1987) interessierte sich schon vor langer Zeit für die Erforschung von Unfällen.

Das anfängliche Interesse bestand darin, einen numerischen Ansatz auf das Glücksspiel anzuwenden. Die ersten recht interessanten Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie werden üblicherweise mit den Werken von L. Pacioli (1494), D. Cardano (1526) und N. Tartaglia (1556) in Verbindung gebracht.

Später legten B. Pascal (1623-1662), P. Fermat (1601-1665) und H. Huygens (1629-1695) den Grundstein für die klassische Wahrscheinlichkeitstheorie. Zu Beginn des 18. Jahrhunderts entwickelte J. Bernoulli (1654-1705) den Begriff der Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses als Verhältnis der Anzahl günstiger Chancen zur Anzahl aller möglichen. E. Borel (1871-1956), A. Lomnitsky (1881-1941), R. Mises (1883-1953) bauten ihre Theorien auf der Verwendung des Konzepts des Maßes einer Menge auf.

Der mengentheoretische Standpunkt wurde 1933 in seiner vollständigsten Form dargelegt. EIN. Kolmogorov in seiner Monographie „Grundkonzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie“. Von diesem Moment an wird die Wahrscheinlichkeitstheorie zu einer strengen mathematischen Wissenschaft.

Die russischen Mathematiker P.L. leisteten einen großen Beitrag zur Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie. Tschebyschew (1821-1894), A.A. Markov (1856-1922), S.N. Bernstein (1880-1968) und andere.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie entwickelt sich derzeit rasant.

Die einfachsten Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie

Wie jede mathematische Disziplin beginnt die Wahrscheinlichkeitstheorie mit der Einführung der einfachsten Konzepte, die nicht definiert, sondern nur erklärt werden.

Eines der wichtigsten Grundkonzepte ist Erfahrung. Unter Erfahrung versteht man eine Reihe von Bedingungen, die unbegrenzt oft reproduziert werden können. Wir werden jede Implementierung dieses Komplexes als Erfahrung oder Test bezeichnen. Die Ergebnisse des Experiments können unterschiedlich sein, und hier kommt das Element des Zufalls ins Spiel. Die verschiedenen Ergebnisse oder Folgen einer Erfahrung werden genannt Veranstaltungen(genauer gesagt, zufällige Ereignisse). Daher kann es während der Durchführung des Experiments zu dem einen oder anderen Ereignis kommen. Mit anderen Worten ist ein Zufallsereignis ein Ergebnis eines Experiments, das während der Durchführung des Experiments auftreten (erscheinen) kann oder auch nicht auftreten kann.

Erfahrung wird mit dem Buchstaben bezeichnet, und zufällige Ereignisse werden normalerweise mit Großbuchstaben bezeichnet

Bei einem Experiment ist es oft möglich, seine Ergebnisse im Voraus zu identifizieren, die als die einfachsten bezeichnet werden können und nicht in einfachere zerlegt werden können. Solche Ereignisse werden aufgerufen elementare Ereignisse(oder Fälle).

Beispiel 1. Lassen Sie die Münze werfen. Die Ergebnisse des Experiments sind: der Verlust des Wappens (wir kennzeichnen dieses Ereignis mit dem Buchstaben); Zahlenverlust (gekennzeichnet mit ). Dann können wir schreiben: Erfahrung = (Münzwurf), Ergebnisse: Es ist klar, dass elementare Ereignisse in diese Erfahrung. Mit anderen Worten: Die Auflistung aller elementaren Ereignisse der Erfahrung beschreibt diese vollständig. In diesem Zusammenhang werden wir sagen, dass Erfahrung der Raum elementarer Ereignisse ist, und in unserem Fall kann Erfahrung kurz in der Form geschrieben werden: = (Münzwurf) = (G; C).

Beispiel 2. =(Münze wird zweimal geworfen)= Hier ist eine verbale Beschreibung des Erlebnisses und eine Auflistung aller elementaren Ereignisse: Es bedeutet, dass beim ersten Münzwurf ein Wappen fiel, beim zweiten auch das Wappen; bedeutet, dass beim ersten Münzwurf das Wappen auftauchte, beim zweiten die Zahl usw.

Beispiel 3. Im Koordinatensystem werden Punkte in ein Quadrat geworfen. In diesem Beispiel sind die Elementarereignisse Punkte mit Koordinaten, die die angegebenen Ungleichungen erfüllen. Dies wird kurz aufgeschrieben auf die folgende Weise:

Ein Doppelpunkt in geschweiften Klammern bedeutet, dass er aus Punkten besteht, jedoch nicht aus beliebigen, sondern nur aus solchen, die die nach dem Doppelpunkt angegebene Bedingung (oder Bedingungen) erfüllen (in unserem Beispiel handelt es sich um Ungleichungen).

Beispiel 4. Die Münze wird geworfen, bis das erste Wappen erscheint. Mit anderen Worten: Der Münzwurf wird fortgesetzt, bis die Münze „Kopf“ landet. In diesem Beispiel können elementare Ereignisse aufgelistet werden, obwohl ihre Anzahl unendlich ist:

Beachten Sie, dass in den Beispielen 3 und 4 der Raum der Elementarereignisse unendlich viele Ergebnisse hat. In Beispiel 4 können sie aufgelistet werden, d.h. neu berechnen. Eine solche Menge heißt abzählbar. In Beispiel 3 ist der Raum unzählbar.

Lassen Sie uns zwei weitere Ereignisse vorstellen, die in jeder Erfahrung vorhanden sind und von großer theoretischer Bedeutung sind.

Nennen wir die Veranstaltung unmöglich, es sei denn, aufgrund der Erfahrung geschieht dies zwangsläufig nicht. Wir bezeichnen es mit dem Vorzeichen der leeren Menge. Im Gegenteil wird ein Ereignis genannt, das aufgrund der Erfahrung mit Sicherheit eintreten wird zuverlässig. Ein verlässliches Ereignis wird genauso bezeichnet wie der Raum der Elementarereignisse selbst – mit dem Buchstaben .

Beim Würfeln beispielsweise ist das Ereignis (weniger als 9 gewürfelte Punkte) zuverlässig, das Ereignis (genau 9 gewürfelte Punkte) jedoch unmöglich.

Der Raum elementarer Ereignisse kann also durch eine verbale Beschreibung, eine Auflistung aller seiner elementaren Ereignisse und die Festlegung von Regeln oder Bedingungen spezifiziert werden, nach denen alle seine elementaren Ereignisse erhalten werden.

Algebra der Ereignisse

Bisher haben wir nur von elementaren Ereignissen als unmittelbaren Ergebnissen der Erfahrung gesprochen. Im Rahmen der Erfahrung können wir jedoch neben elementaren auch über andere zufällige Ereignisse sprechen.

Beispiel 5.При подбрасывании игральной кости, кроме элементарных событий выпадений соответственно единицы, двойки,…, шестерки, можно говорить о других событиях: (выпадение четного числа), (выпадение нечетного числа), (выпадение числа, кратного трем), (выпадение числа, меньшего 4 ) usw. IN in diesem Beispiel Diese Ereignisse können zusätzlich zur verbalen Aufgabe durch die Auflistung elementarer Ereignisse spezifiziert werden:

Die Bildung neuer Ereignisse aus elementaren sowie aus anderen Ereignissen erfolgt durch Operationen (oder Aktionen) auf Ereignissen.

Definition. Das Produkt zweier Ereignisse ist ein Ereignis, das darin besteht, dass als Ergebnis ein Experiment eintritt Und Ereignis , Und Ereignis, d. h. beide Ereignisse werden gleichzeitig (gleichzeitig) auftreten.

Das Produktzeichen (Punkt) wird oft weggelassen:

Definition. Die Summe zweier Ereignisse ist ein Ereignis, das darin besteht, dass als Ergebnis das Experiment eintritt oder Ereignis , oder Ereignis , oder beides zusammen (gleichzeitig).

In beiden Definitionen haben wir bewusst Konjunktionen hervorgehoben Und Und oder- um die Aufmerksamkeit des Lesers bei der Lösung von Problemen auf Ihre Rede zu lenken. Wenn wir die Konjunktion „und“ aussprechen, dann sprechen wir von der Produktion von Ereignissen; Wenn die Konjunktion „oder“ ausgesprochen wird, müssen die Ereignisse hinzugefügt werden. Gleichzeitig stellen wir fest, dass die Konjunktion „oder“ in der Alltagssprache oft in dem Sinne verwendet wird, dass eines von zwei ausgeschlossen wird: „nur oder nur“. In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird eine solche Ausnahme nicht angenommen: und , und , und bedeuten das Eintreten eines Ereignisses

Wenn sie durch Aufzählung elementarer Ereignisse gegeben sind, können komplexe Ereignisse mithilfe der angegebenen Operationen leicht ermittelt werden. Um dies zu erhalten, müssen Sie alle Elementarereignisse finden, die zu beiden Ereignissen gehören. Wenn keine vorhanden sind, lässt sich die Summe der Ereignisse auch einfach zusammenstellen: Sie müssen eines der beiden Ereignisse nehmen und die Elementarereignisse aus diesen beiden Ereignissen hinzufügen die anderen Ereignisse, die nicht im ersten enthalten sind.

Im Beispiel 5 erhalten wir insbesondere

Die eingeführten Operationen werden als binär bezeichnet, weil für zwei Ereignisse definiert. Die folgende unäre Operation (definiert für ein einzelnes Ereignis) ist von großer Bedeutung: Das Ereignis wird aufgerufen Gegenteil Ereignis, wenn es in der Tatsache besteht, dass das Ereignis in einer bestimmten Erfahrung nicht eingetreten ist. Aus der Definition geht hervor, dass jedes Ereignis und sein Gegenteil die folgenden Eigenschaften haben: Die eingeführte Operation wird aufgerufen Zusatz Ereignisse A.

Daraus folgt, dass, wenn es durch eine Auflistung von Elementarereignissen gegeben ist, es bei Kenntnis der Spezifikation des Ereignisses leicht ist, zu ermitteln, dass es aus allen Elementarereignissen des Raums besteht, die nicht dazugehören. Insbesondere zum Beispiel 5 das Ereignis

Wenn keine Klammern vorhanden sind, wird bei der Ausführung von Operationen die folgende Priorität festgelegt: Addition, Multiplikation, Addition.

Mit Hilfe der eingeführten Operationen wird also der Raum der Elementarereignisse mit anderen Zufallsereignissen aufgefüllt, die die sogenannten bilden Algebra der Ereignisse.

Beispiel 6. Der Schütze gab drei Schüsse auf das Ziel ab. Betrachten Sie die Ereignisse = (der Schütze hat das Ziel getroffen, als i-ter Schuss), i = 1,2,3.

Lassen Sie uns aus diesen Ereignissen einige Ereignisse zusammenstellen (vergessen wir nicht die gegenteiligen Ereignisse). Wir geben keine ausführlichen Kommentare ab. Wir glauben, dass der Leser sie selbstständig durchführen wird.

Ereignis B = (alle drei Schüsse treffen das Ziel). Weitere Details: B = ( Und Erste, Und zweite, Und der dritte Schuss traf das Ziel). Gebrauchte Verbindung Und, daher werden die Ereignisse multipliziert:

Ebenfalls:

C = (kein Schuss traf das Ziel)

E = (ein Schuss erreichte das Ziel)

D = (Zieltreffer beim zweiten Schuss) = ;

F = (Ziel von zwei Schüssen getroffen)

N = (mindestens ein Treffer trifft das Ziel)

Bekanntlich in der Mathematik sehr wichtig verfügt über eine geometrische Interpretation analytischer Objekte, Konzepte und Formeln.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist es zweckmäßig, Erfahrungen, zufällige Ereignisse und Operationen darauf in Form sogenannter visuell darzustellen (geometrische Interpretation). Euler-Venn-Diagramme. Das Wesentliche ist, dass jede Erfahrung mit dem Werfen von Punkten in ein bestimmtes Quadrat identifiziert (interpretiert) wird. Die Punkte werden nach dem Zufallsprinzip geworfen, sodass alle Punkte die gleiche Chance haben, irgendwo auf dem Feld zu landen. Das Quadrat definiert den Rahmen des jeweiligen Erlebnisses. Jedes Ereignis innerhalb des Erlebnisses wird mit einem bestimmten Bereich des Platzes identifiziert. Mit anderen Worten bedeutet das Eintreten eines Ereignisses, dass ein zufälliger Punkt in den durch den Buchstaben angegebenen Bereich fällt. Dann können Operationen an Ereignissen leicht geometrisch interpretiert werden (Abb. 2).

A:

A + B: beliebig

Schraffur

In Abb. 2 a) ist der Übersichtlichkeit halber Ereignis A durch vertikale Schattierung und Ereignis B durch horizontale Schattierung hervorgehoben. Dann entspricht die Multiplikationsoperation einer Doppelschraffur – das Ereignis entspricht dem Teil des Quadrats, der mit einer Doppelschraffur bedeckt ist. Darüber hinaus werden sie als inkompatible Ereignisse bezeichnet. Dementsprechend entspricht die Additionsoperation jeder Schraffur – das Ereignis bedeutet einen Teil des Quadrats, der durch jede Schraffur – vertikal, horizontal und doppelt – schattiert ist. In Abb. 2 b) ist das Ereignis dargestellt; es entspricht dem schraffierten Teil des Quadrats – also allem, was nicht in der Fläche enthalten ist. Die eingeführten Operationen haben die folgenden Grundeigenschaften, die teilweise auch für gleichnamige Operationen gelten auf Zahlen, es gibt aber auch konkrete.

10 . Kommutativität der Multiplikation;

20 . Kommutativität der Addition;

dreißig . Assoziativität der Multiplikation;

4 0 . Additionsassoziativität,

50 . Distributivität der Multiplikation relativ zur Addition,

6 0 . Distributivität der Addition relativ zur Multiplikation;

9 0 . de Morgans Gesetze der Dualität,

10 0 .

1 .A .A+ .A· =A, 1 .A+ . 1 .A· = , 1 .A+ =

Beispiel 7. Ivan und Peter vereinbarten, sich im Zeitintervall von T Stunden zu treffen, zum Beispiel (0,T). Gleichzeitig einigten sie sich darauf, dass jeder von ihnen, wenn er zum Treffen kam, nicht länger als eine Stunde auf den anderen warten würde.

Lassen Sie uns dieses Beispiel geometrisch interpretieren. Bezeichnen wir: den Zeitpunkt von Ivans Ankunft beim Treffen; Peters Ankunftszeit für das Treffen. Wie vereinbart: 0 . Dann erhalten wir im Koordinatensystem: = Es ist leicht zu erkennen, dass in unserem Beispiel der Raum der Elementarereignisse ein Quadrat ist. 1

0 x entspricht dem Teil des Quadrats, der über dieser Linie liegt. Ebenso gilt für die zweite Ungleichung y≤x+ und; und funktioniert nicht, wenn nicht alle Elemente funktionieren, d.h. .Somit wird de Morgans zweites Dualitätsgesetz umgesetzt, wenn Elemente parallel verbunden sind.

Das obige Beispiel zeigt, warum die Wahrscheinlichkeitstheorie findet tolle Anwendung in der Physik, insbesondere bei der Berechnung der Zuverlässigkeit realer technischer Geräte.

Einige Programmierer denken nach ihrer Arbeit im Bereich der Entwicklung regulärer kommerzieller Anwendungen darüber nach, maschinelles Lernen zu beherrschen und Datenanalyst zu werden. Sie verstehen oft nicht, warum bestimmte Methoden funktionieren, und die meisten Methoden des maschinellen Lernens wirken wie Zauberei. Tatsächlich basiert maschinelles Lernen auf mathematischen Statistiken, die wiederum auf der Wahrscheinlichkeitstheorie basieren. Daher widmen wir uns in diesem Artikel den Grundkonzepten der Wahrscheinlichkeitstheorie: Wir gehen auf die Definitionen von Wahrscheinlichkeit und Verteilung ein und analysieren einige einfache Beispiele.

Sie wissen vielleicht, dass die Wahrscheinlichkeitstheorie üblicherweise in zwei Teile unterteilt ist. Die diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht Phänomene, die durch eine Verteilung mit einer endlichen (oder abzählbaren) Zahl beschrieben werden können Möglichkeiten Verhalten (Würfel, Münzen werfen). Die kontinuierliche Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht Phänomene, die über eine dichte Menge verteilt sind, beispielsweise auf einem Segment oder in einem Kreis.

Man kann sich mit dem Thema Wahrscheinlichkeitstheorie beschäftigen einfaches Beispiel. Stellen Sie sich vor, Sie wären ein Shooter-Entwickler. Ein wesentlicher Bestandteil der Entwicklung von Spielen dieses Genres ist die Schießmechanik. Es ist klar, dass ein Shooter, bei dem alle Waffen absolut präzise schießen, für Spieler wenig interessant sein wird. Daher ist es unbedingt erforderlich, die Streuung Ihrer Waffe zu erhöhen. Aber eine einfache Zufallsverteilung der Waffeneinschlagpunkte ermöglicht keine Feinabstimmung, sodass es schwierig sein wird, die Spielbalance anzupassen. Gleichzeitig kann die Verwendung von Zufallsvariablen und deren Verteilungen analysieren, wie sich eine Waffe bei einer bestimmten Streuung verhält, und dabei helfen, die erforderlichen Anpassungen vorzunehmen.

Raum elementarer Ergebnisse

Nehmen wir an, dass wir aus einem Zufallsexperiment, das wir viele Male wiederholen können (z. B. dem Werfen einer Münze), einige formalisierte Informationen extrahieren können (es kam Kopf oder Zahl heraus). Diese Informationen werden als Elementarergebnis bezeichnet, und es ist sinnvoll, die Menge aller Elementarergebnisse zu betrachten, die oft mit dem Buchstaben Ω (Omega) bezeichnet werden.

Die Struktur dieses Raumes hängt ganz von der Art des Experiments ab. Wenn wir beispielsweise überlegen, auf ein ausreichend großes kreisförmiges Ziel zu schießen, wird der Raum der Elementarergebnisse der Einfachheit halber ein Kreis sein, dessen Mittelpunkt bei Null liegt, und das Ergebnis wird ein Punkt in diesem Kreis sein.

Darüber hinaus werden Sätze elementarer Ergebnisereignisse berücksichtigt (z. B. das Erreichen der Top Ten ist ein konzentrischer Kreis mit kleinem Radius und einem Ziel). Im diskreten Fall ist alles ganz einfach: Wir können jedes Ereignis, einschließlich oder ohne elementare Ergebnisse, in einer endlichen Zeit erhalten. Im kontinuierlichen Fall ist alles viel komplizierter: Wir müssen eine ziemlich gute Familie von Mengen betrachten, die in Analogie zu einfachen reellen Zahlen, die addiert, subtrahiert, dividiert und multipliziert werden können, Algebra genannt wird. Mengen in der Algebra können geschnitten und kombiniert werden, und das Ergebnis der Operation steht in der Algebra. Dies ist eine sehr wichtige Eigenschaft für die Mathematik, die all diesen Konzepten zugrunde liegt. Eine Minimalfamilie besteht nur aus zwei Mengen – der leeren Menge und dem Raum der Elementarergebnisse.

Maß und Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeit ist eine Möglichkeit, Rückschlüsse auf das Verhalten sehr komplexer Objekte zu ziehen, ohne deren Funktionsweise zu verstehen. Daher wird die Wahrscheinlichkeit als Funktion eines Ereignisses (aus dieser sehr guten Mengenfamilie) definiert, das eine Zahl zurückgibt – ein Merkmal dafür, wie oft ein solches Ereignis in der Realität auftreten kann. Allerdings waren sich die Mathematiker einig, dass diese Zahl zwischen null und eins liegen sollte. Darüber hinaus gelten für diese Funktion Anforderungen: Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null, die Wahrscheinlichkeit der gesamten Ergebnismenge ist Eins und die Wahrscheinlichkeit der Kombination zweier unabhängiger Ereignisse (disjunkte Mengen) ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten. Ein anderer Name für Wahrscheinlichkeit ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Am häufigsten wird das Lebesgue-Maß verwendet, das die Konzepte von Länge, Fläche und Volumen auf beliebige Dimensionen (n-dimensionales Volumen) verallgemeinert und daher auf eine breite Klasse von Mengen anwendbar ist.

Zusammen wird die Sammlung einer Menge elementarer Ergebnisse, einer Familie von Mengen und eines Wahrscheinlichkeitsmaßes genannt Wahrscheinlichkeitsraum. Betrachten wir, wie wir einen Wahrscheinlichkeitsraum für das Beispiel des Schießens auf ein Ziel konstruieren können.

Erwägen Sie, auf ein großes rundes Ziel mit Radius R zu schießen, das unmöglich zu verfehlen ist. Durch eine Reihe elementarer Ereignisse legen wir einen Kreis fest, dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung des Radius R liegt. Da wir die Fläche (das Lebesgue-Maß für zweidimensionale Mengen) verwenden werden, um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu beschreiben, werden wir eine Familie messbarer Mengen (für die dieses Maß existiert) verwenden.

Hinweis Eigentlich ist dies ein technischer Punkt und einfache Aufgaben Der Prozess der Bestimmung eines Maßes und einer Mengenfamilie spielt keine besondere Rolle. Es ist jedoch notwendig zu verstehen, dass diese beiden Objekte existieren, denn in vielen Büchern zur Wahrscheinlichkeitstheorie beginnen die Theoreme mit den Worten: „ Sei (Ω,Σ,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum...».

Wie oben erwähnt, muss die Wahrscheinlichkeit des gesamten Raums der Elementarergebnisse gleich eins sein. Die Fläche (zweidimensionales Lebesgue-Maß, das wir mit λ 2 (A) bezeichnen, wobei A ein Ereignis ist) eines Kreises ist nach einer bekannten Formel aus der Schule gleich π *R 2. Dann können wir die Wahrscheinlichkeit P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2) einführen, und dieser Wert wird für jedes Ereignis A bereits zwischen 0 und 1 liegen.

Wenn wir davon ausgehen, dass das Treffen eines beliebigen Punktes auf dem Ziel gleich wahrscheinlich ist, läuft die Suche nach der Wahrscheinlichkeit, dass ein Schütze einen bestimmten Bereich des Ziels trifft, darauf hinaus, den Bereich dieses Satzes zu finden (von hier aus können wir schließen, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftreffens auf einen bestimmten Punkt ist Null, weil die Fläche des Punktes Null ist).

Wir möchten zum Beispiel herausfinden, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Schütze die Top Ten erreicht (Ereignis A – der Schütze trifft den gewünschten Satz). In unserem Modell wird die „Zehn“ durch einen Kreis mit einem Mittelpunkt bei Null und einem Radius r dargestellt. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, in diesen Kreis zu gelangen, P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2.

Dies ist eine der einfachsten Arten von „geometrischen Wahrscheinlichkeitsproblemen“ – die meisten dieser Probleme erfordern das Finden einer Fläche.

Zufällige Variablen

Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, die elementare Ergebnisse in reelle Zahlen umwandelt. Beispielsweise können wir in das betrachtete Problem eine Zufallsvariable ρ(ω) einführen – den Abstand vom Auftreffpunkt zum Mittelpunkt des Ziels. Die Einfachheit unseres Modells ermöglicht es uns, den Raum elementarer Ergebnisse explizit zu definieren: Ω = (ω = (x,y) solche Zahlen, dass x 2 +y 2 ≤ R 2 ) . Dann ist die Zufallsvariable ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 .

Mittel zur Abstraktion aus dem probabilistischen Raum. Verteilungsfunktion und Dichte

Es ist gut, wenn die Struktur des Raumes bekannt ist, aber in der Realität ist das nicht immer der Fall. Auch wenn die Struktur eines Raumes bekannt ist, kann er komplex sein. Um Zufallsvariablen zu beschreiben, deren Ausdruck unbekannt ist, gibt es das Konzept einer Verteilungsfunktion, die mit F ξ (x) = P(ξ) bezeichnet wird< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .

Die Verteilungsfunktion hat mehrere Eigenschaften:

1. Erstens liegt er zwischen 0 und 1.
2. Zweitens nimmt es nicht ab, wenn sein Argument x zunimmt.
3. Drittens liegt die Verteilungsfunktion nahe bei 0, wenn die Zahl -x sehr groß ist, und wenn x selbst groß ist, liegt die Verteilungsfunktion nahe bei 1.

Wahrscheinlich ist die Bedeutung dieser Konstruktion beim ersten Lesen nicht ganz klar. Einer von nützliche Eigenschaften– Mit der Verteilungsfunktion können Sie nach der Wahrscheinlichkeit suchen, dass ein Wert einen Wert aus einem Intervall annimmt. Also, P (die Zufallsvariable ξ nimmt Werte aus dem Intervall an) = F ξ (b)-F ξ (a). Basierend auf dieser Gleichheit können wir untersuchen, wie sich dieser Wert ändert, wenn die Grenzen a und b des Intervalls nahe beieinander liegen.

Sei d = b-a, dann ist b = a+d. Und daher ist F ξ (b) - F ξ (a) = F ξ (a+d) - F ξ (a) . Für kleine Werte von d ist der obige Unterschied ebenfalls gering (wenn die Verteilung kontinuierlich ist). Es ist sinnvoll, das Verhältnis p ξ (a,d)= (F ξ (a+d) - F ξ (a))/d zu betrachten. Wenn sich dieses Verhältnis für ausreichend kleine Werte von d kaum von einer von d unabhängigen Konstante p ξ (a) unterscheidet, dann hat die Zufallsvariable an diesem Punkt eine Dichte gleich p ξ (a).

Hinweis Lesern, die bereits mit dem Konzept der Ableitung vertraut sind, ist möglicherweise aufgefallen, dass p ξ (a) die Ableitung der Funktion F ξ (x) am Punkt a ist. Auf jeden Fall können Sie das Konzept einer Ableitung in einem Artikel zu diesem Thema auf der Mathprofi-Website studieren.

Nun kann die Bedeutung der Verteilungsfunktion wie folgt definiert werden: Ihre Ableitung (Dichte p ξ, die wir oben definiert haben) am Punkt a beschreibt, wie oft eine Zufallsvariable in ein kleines Intervall fällt, das am Punkt a (der Umgebung von Punkt a) zentriert ist ) im Vergleich zur Nachbarschaft anderer Punkte . Mit anderen Worten: Je schneller die Verteilungsfunktion wächst, desto wahrscheinlicher ist es, dass ein solcher Wert in einem Zufallsexperiment auftritt.

Kehren wir zum Beispiel zurück. Wir können die Verteilungsfunktion für die Zufallsvariable ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 berechnen, die den Abstand vom Zentrum zum zufälligen Trefferpunkt auf dem Ziel angibt. Per Definition ist F ρ (t) = P(ρ(x,y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} — состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0

Wir können die Dichte p ρ dieser Zufallsvariablen ermitteln. Beachten wir sofort, dass es außerhalb des Intervalls Null ist, weil Die Verteilungsfunktion über dieses Intervall bleibt unverändert. An den Enden dieses Intervalls wird die Dichte nicht bestimmt. Innerhalb des Intervalls kann es anhand einer Ableitungstabelle (z. B. von der Mathprofi-Website) und elementarer Differenzierungsregeln ermittelt werden. Die Ableitung von t 2 /R 2 ist gleich 2t/R 2. Das bedeutet, dass wir die Dichte auf der gesamten Achse der reellen Zahlen gefunden haben.

Eine weitere nützliche Eigenschaft der Dichte ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Funktion einen Wert aus einem Intervall annimmt, berechnet anhand des Integrals der Dichte über dieses Intervall (was das ist, erfahren Sie in den Artikeln über echte, uneigentliche und unbestimmte Integrale auf Mathprofi Webseite).

Beim ersten Lesen kann man sich das Integral über ein Intervall der Funktion f(x) als die Fläche eines gekrümmten Trapezes vorstellen. Seine Seiten sind ein Fragment der Ox-Achse, eine Lücke (horizontale Koordinatenachse), vertikale Segmente, die die Punkte (a,f(a)), (b,f(b)) auf der Kurve mit den Punkten (a,0) verbinden. (b,0 ) auf der Ox-Achse. Die letzte Seite ist ein Fragment des Graphen der Funktion f von (a,f(a)) bis (b,f(b)) . Wir können über das Integral über das Intervall (-∞; b] sprechen, wenn sich bei ausreichend großen negativen Werten a der Wert des Integrals über das Intervall im Vergleich zur Änderung der Zahl a vernachlässigbar ändert. Das Integral über Intervalle beträgt ähnlich definiert)