So finden Sie den kleinsten Wert der Wurzelfunktion. An welchem ​​Punkt ist der Wert der Ableitung am größten?

Manchmal gibt es in den Aufgaben B14 „schlechte“ Funktionen, für die es schwierig ist, die Ableitung zu finden. Früher galt dies nur für Prüfungen, mittlerweile sind diese Aufgaben so alltäglich, dass sie bei der Vorbereitung auf diese Prüfung nicht mehr außer Acht gelassen werden dürfen. In diesem Fall funktionieren andere Tricks, darunter die Monotonie. Definition Die Funktion f (x) heißt auf der Strecke monoton steigend, wenn für beliebige Punkte x 1 und x 2 dieser Strecke gilt: x 1

Definition. Die Funktion f (x) heißt monoton fallend auf dem Segment, wenn für beliebige Punkte x 1 und x 2 dieses Segments gilt: x 1 f (x 2). Mit anderen Worten: Für eine zunehmende Funktion gilt: Je größer x, desto größer f(x). Für eine abnehmende Funktion gilt das Gegenteil: Je größer x, desto kleiner f(x).

Beispiele. Der Logarithmus steigt monoton, wenn die Basis a > 1 ist, und nimmt monoton ab, wenn 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) 1, und nimmt monoton ab, wenn 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1, und nimmt monoton ab, wenn 0 0. f (x) = log a x (a > 0 ; a 1; x > 0)"> 1 und nimmt monoton ab, wenn 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)" title="Beispiele) Der Logarithmus ist monoton steigend, wenn die Basis a > 1 und monoton fallend, wenn 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> title="Beispiele. Der Logarithmus steigt monoton, wenn die Basis a > 1 ist, und nimmt monoton ab, wenn 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> !}

Beispiele. Exponentialfunktion verhält sich ähnlich wie der Logarithmus: Er nimmt für a > 1 zu und für 0 0 ab: 1 und fallend bei 0 0:"> 1 und fallend bei 0 0:"> 1 und fallend bei 0 0:" title="Beispiele. Die Exponentialfunktion verhält sich wie ein Logarithmus: Sie steigt für a > 1 und verringert sich für 0 0:"> title="Beispiele. Die Exponentialfunktion verhält sich ähnlich wie der Logarithmus: Sie wächst für a > 1 und nimmt für 0 0 ab:"> !}

0) oder nach unten (eine 0) oder nach unten (eine 9). Koordinaten des Parabelscheitelpunkts Am häufigsten wird das Funktionsargument durch ein quadratisches Trinom der Form ersetzt. Sein Graph ist eine Standardparabel, bei der wir an Verzweigungen interessiert sind: Parabelzweige können nach oben (für a > 0) oder nach unten (a 0) oder gehen der größte (a 0) oder unten (a 0) oder unten (a 0) oder größte (a 0) oder unten (a 0) oder unten (a title=" Parabelscheitelpunktkoordinaten Am häufigsten das Funktionsargument wird durch ein quadratisches Trinom der Form ersetzt. Sein Graph ist eine Standardparabel, deren Äste uns interessieren: Die Äste einer Parabel können nach oben (für a > 0) oder nach unten (a) gehen

Es gibt kein Segment im Zustand des Problems. Daher besteht keine Notwendigkeit, f(a) und f(b) zu berechnen. Es bleiben nur noch die Extrempunkte zu betrachten; Aber es gibt nur einen solchen Punkt – das ist die Spitze der Parabel x 0, deren Koordinaten wörtlich und ohne Ableitungen berechnet werden.

Dadurch wird die Lösung des Problems stark vereinfacht und auf nur zwei Schritte reduziert: Schreiben Sie die Gleichung der Parabel auf und ermitteln Sie ihren Scheitelpunkt mit der Formel: Finden Sie den Wert der ursprünglichen Funktion an diesem Punkt: f (x 0). Wenn keine zusätzliche Bedingungen Nein, das wäre die Antwort.

0. Spitze der Parabel: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="Find kleinster Wert Funktionen: Lösung: Unter der Wurzel steht quadratische Funktion Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel mit nach oben gerichteten Zweigen, da der Koeffizient a = 1 > 0 ist. Die Spitze der Parabel: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" Klasse ="link_thumb"> 18 Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion: Lösung: Unter der Wurzel liegt eine quadratische Funktion. Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel mit nach oben gerichteten Zweigen, da der Koeffizient a \u003d 1\u003e 0 ist. Oberseite der Parabel: x 0 \ u003d b / (2a) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3 0. Spitze der Parabel: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Spitze der Parabel: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Spitze der Parabel: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion: Lösung: Unter der Wurzel liegt eine quadratische Funktion. Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel mit Verzweigungen nach oben, da der Koeffizient a \u003d 1\u003e 0 ist. Die Spitze der Parabel: x 0 \u003d b / ( 2a) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3"> title="Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion: Lösung: Unter der Wurzel liegt eine quadratische Funktion. Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel mit nach oben gerichteten Zweigen, da der Koeffizient a \u003d 1\u003e 0 ist. Oberseite der Parabel: x 0 \ u003d b / (2a) = 6 / (2 1) = 6/2 = 3"> !}

Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion: Lösung Unter dem Logarithmus liegt wieder eine quadratische Funktion. a = 1 > 0. Spitze der Parabel: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1 0. Spitze der Parabel: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Spitze der Parabel: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Spitze der Parabel: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1" title="Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion: Lösung Unter dem Logarithmus liegt wieder eine quadratische Funktion vor. Graph der Parabel mit Ästen nach oben, weil a = 1 > 0. Scheitelpunkt der Parabel: x 0 = b / (2a) = 2 / ( 2 1) = 2/2 = 1"> title="Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion: Lösung Unter dem Logarithmus liegt wieder eine quadratische Funktion. a = 1 > 0. Spitze der Parabel: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> !}

Finden Höchster Wert Funktionen: Lösung: Der Exponent enthält eine quadratische Funktion. Schreiben wir ihn in Normalform um: Es ist offensichtlich, dass der Graph dieser Funktion eine Parabel ist, die nach unten verzweigt (a = 1).

Konsequenzen aus dem Funktionsbereich Manchmal reicht es zur Lösung von Problem B14 nicht aus, nur den Scheitelpunkt der Parabel zu finden. Der gewünschte Wert liegt möglicherweise am Ende des Segments und überhaupt nicht am Extrempunkt. Wenn ein Segment in der Aufgabe überhaupt nicht angegeben ist, schauen wir uns den Bereich der zulässigen Werte der Originalfunktion an. Nämlich:

0 2. Arithmetik Quadratwurzel existiert nur aus nicht negativen Zahlen: 3. Der Nenner des Bruchs darf nicht Null sein:" title="1. Das Logarithmusargument muss positiv sein: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Die arithmetische Quadratwurzel existiert nur aus nicht negativen Zahlen: 3. Der Nenner des Bruchs darf nicht gleich Null sein:" class="link_thumb"> 26 !} 1. Das Argument des Logarithmus muss positiv sein: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Die arithmetische Quadratwurzel existiert nur aus nicht negativen Zahlen: 3. Der Nenner des Bruchs darf nicht gleich sein null: 0 2. Die arithmetische Quadratwurzel existiert nur aus nicht negativen Zahlen: 3. Der Nenner des Bruchs darf nicht gleich Null sein: "> 0 2. Die arithmetische Quadratwurzel existiert nur aus nicht negativen Zahlen: 3. Der Nenner des Bruch darf nicht gleich Null sein:"> 0 2. Arithmetisch die Quadratwurzel existiert nur aus nicht negativen Zahlen: 3. Der Nenner des Bruchs darf nicht Null sein:" title="1. Das Logarithmus-Argument muss sein positiv: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Arithmetisches Quadrat Die Wurzel existiert nur aus nicht negativen Zahlen: 3. Der Nenner des Bruchs darf nicht gleich Null sein:"> title="1. Das Argument des Logarithmus muss positiv sein: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Die arithmetische Quadratwurzel existiert nur aus nicht negativen Zahlen: 3. Der Nenner des Bruchs darf nicht gleich sein null:"> !}

Lösung Die Quadratwurzel ist wiederum eine quadratische Funktion. Sein Graph ist eine Parabel, aber die Äste verlaufen nach unten, weil a = 1
Finden wir nun den Scheitelpunkt der Parabel: x 0 = b/(2a) = (2)/(2 · (1)) = 2/(2) = 1 Der Punkt x 0 = 1 gehört zum ODZ-Segment und das ist Gut. Nun betrachten wir den Wert der Funktion am Punkt x 0 sowie an den Enden der ODZ: y (3) \u003d y (1) \u003d 0. Wir haben also die Zahlen 2 und 0 erhalten. Wir werden gefragt um die größte Zahl 2 zu finden. Antwort: 2

Bitte beachten Sie: Die Ungleichung ist streng, daher gehören die Enden nicht zur ODZ. Auf diese Weise unterscheidet sich der Logarithmus von der Wurzel, bei der uns die Enden des Segments recht gut passen. Wir suchen den Scheitelpunkt der Parabel: x 0 = b / (2a) = 6 / (2 (1)) = 6 / (2) = 3 Da uns aber die Enden des Segments nicht interessieren, betrachten wir den Wert der Funktion nur am Punkt x 0:

Y min = y(3) = log 0,5 (6 ) = = log 0,5 (18 9 5) = log 0,5 4 = 2 Antwort: -2

Der Prozess des Findens der kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem Segment ähnelt einem faszinierenden Flug um ein Objekt (einen Funktionsgraphen) in einem Hubschrauber, bei dem an bestimmten Punkten aus einer Langstreckenkanone abgefeuert und ausgewählt wird Diese Punkte sind ganz besondere Punkte für Kontrollschüsse. Punkte werden auf eine bestimmte Art und Weise und nach bestimmten Regeln ausgewählt. Nach welchen Regeln? Wir werden weiter darüber sprechen.

Wenn die Funktion j = F(X) kontinuierlich auf dem Segment [ A, B] , dann erreicht es dieses Segment am wenigsten Und höchste Werte . Dies kann entweder in passieren Extrempunkte oder an den Enden des Segments. Daher zu finden am wenigsten Und die größten Werte der Funktion , kontinuierlich auf dem Segment [ A, B] , müssen Sie seine Werte insgesamt berechnen kritische Punkte und an den Enden des Segments und wählen Sie dann das kleinste und das größte davon aus.

Nehmen wir zum Beispiel an, dass es erforderlich ist, den Maximalwert der Funktion zu bestimmen F(X) auf dem Segment [ A, B] . Finden Sie dazu alle kritischen Punkte, die auf [ A, B] .

kritischer Punkt heißt der Punkt, an dem Funktion definiert, und sie Derivat ist entweder Null oder existiert nicht. Dann sollten Sie die Werte der Funktion an kritischen Punkten berechnen. Und schließlich sollte man die Werte der Funktion an kritischen Punkten und an den Enden des Segments vergleichen ( F(A) Und F(B) ). Die größte dieser Zahlen wird sein der größte Wert der Funktion im Segment [A, B] .

Das Problem des Findens die kleinsten Werte der Funktion .

Wir suchen gemeinsam den kleinsten und größten Wert der Funktion

Beispiel 1. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment [-1, 2] .

Lösung. Wir finden die Ableitung dieser Funktion. Setzen Sie die Ableitung mit Null () gleich und erhalten Sie zwei kritische Punkte: und . Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, reicht es aus, ihre Werte an den Enden des Segments und am Punkt zu berechnen, da der Punkt nicht zum Segment gehört [-1, 2] . Diese Funktionswerte sind die folgenden: , , . Es folgt dem kleinster Funktionswert(im Diagramm unten rot markiert), gleich -7, wird am rechten Ende des Segments erreicht - am Punkt , und größte(ebenfalls rot in der Grafik) beträgt am kritischen Punkt 9,-.

Wenn die Funktion in einem bestimmten Intervall stetig ist und dieses Intervall kein Segment ist (sondern z. B. ein Intervall ist); der Unterschied zwischen einem Intervall und einem Segment: Die Randpunkte des Intervalls sind nicht im Intervall enthalten, sondern die Randpunkte des Segments sind im Segment enthalten), dann gibt es unter den Werten der Funktion möglicherweise nicht den kleinsten und den größten. So ist beispielsweise die in der Abbildung unten dargestellte Funktion stetig auf ]-∞, +∞[ und hat nicht den größten Wert.

Für jedes Intervall (geschlossen, offen oder unendlich) gilt jedoch die folgende Eigenschaft stetiger Funktionen.

Beispiel 4. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment [-1, 3] .

Lösung. Die Ableitung dieser Funktion finden wir als Ableitung des Quotienten:

.

Wir setzen die Ableitung mit Null gleich, was uns einen kritischen Punkt gibt: . Es gehört zum Intervall [-1, 3] . Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, ermitteln wir ihre Werte an den Enden des Segments und am gefundenen kritischen Punkt:

Vergleichen wir diese Werte. Fazit: gleich -5/13, an der Stelle und den größten Wert gleich 1 an der Stelle.

Wir suchen weiterhin gemeinsam nach dem kleinsten und größten Wert der Funktion

Es gibt Lehrer, die den Schülern zum Thema Finden der kleinsten und größten Werte einer Funktion keine komplizierteren Beispiele als die gerade betrachteten geben, also solche, bei denen die Funktion ein Polynom oder ein Bruch, der Zähler, ist und deren Nenner Polynome sind. Aber wir werden uns nicht auf solche Beispiele beschränken, denn unter den Lehrern gibt es Liebhaber, die es den Schülern ermöglichen, vollständig nachzudenken (Tabelle der Ableitungen). Daher werden der Logarithmus und die trigonometrische Funktion verwendet.

Beispiel 6. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment .

Lösung. Wir finden die Ableitung dieser Funktion als Derivat des Produkts :

Wir setzen die Ableitung mit Null gleich, was einen kritischen Punkt ergibt: . Es gehört zum Segment. Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, ermitteln wir ihre Werte an den Enden des Segments und am gefundenen kritischen Punkt:

Das Ergebnis aller Aktionen: Die Funktion erreicht ihren Minimalwert, gleich 0, an einem Punkt und an einem Punkt und den größten Wert gleich e², an der Stelle.

Beispiel 7. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment .

Lösung. Wir finden die Ableitung dieser Funktion:

Setzen Sie die Ableitung mit Null gleich:

Der einzige kritische Punkt betrifft das Segment. Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, ermitteln wir ihre Werte an den Enden des Segments und am gefundenen kritischen Punkt:

Abschluss: Die Funktion erreicht ihren Minimalwert, gleich , am Punkt und den größten Wert, gleich , am Punkt .

Bei angewandten Extremalproblemen kommt es beim Finden der kleinsten (größten) Werte einer Funktion in der Regel darauf an, das Minimum (Maximum) zu finden. Aber nicht die Minima oder Maxima selbst sind von größerem praktischen Interesse, sondern die Werte des Arguments, bei denen sie erreicht werden. Bei der Lösung angewandter Probleme entsteht eine zusätzliche Schwierigkeit – die Zusammenstellung von Funktionen, die das betrachtete Phänomen oder den betrachteten Prozess beschreiben.

Beispiel 8 Ein Tank mit einem Fassungsvermögen von 4 Litern, der die Form eines Parallelepipeds mit quadratischer Grundfläche hat und oben offen ist, muss verzinnt sein. Welche Abmessungen sollte der Tank haben, damit er Platz findet? geringste Menge Material?

Lösung. Lassen X- Basisseite H- Tankhöhe, S- seine unbedeckte Oberfläche, V- seine Lautstärke. Die Oberfläche des Tanks wird durch die Formel ausgedrückt, d.h. ist eine Funktion zweier Variablen. Ausdrücken S Als Funktion einer Variablen verwenden wir die Tatsache, dass , woher . Ersetzen des gefundenen Ausdrucks H in die Formel für S:

Untersuchen wir diese Funktion für ein Extremum. Es ist überall in ]0, +∞[ , und definiert und differenzierbar

.

Wir setzen die Ableitung mit Null () gleich und finden den kritischen Punkt. Darüber hinaus existiert bei , die Ableitung nicht, aber dieser Wert ist nicht im Definitionsbereich enthalten und kann daher kein Extrempunkt sein. Also – der einzige kritische Punkt. Überprüfen wir anhand des zweiten ausreichenden Zeichens, ob ein Extremum vorliegt. Finden wir die zweite Ableitung. Wenn die zweite Ableitung größer als Null ist (). Dies bedeutet, dass die Funktion ein Minimum erreicht . Weil das Minimum – das einzige Extremum dieser Funktion, es ist ihr kleinster Wert. Die Seitenlänge des Tankbodens und seine Höhe sollten also 2 m betragen.

Beispiel 9 Aus Absatz A, an der Bahnstrecke gelegen, bis zum Punkt MIT, in einiger Entfernung davon l Es müssen Güter transportiert werden. Die Kosten für den Transport einer Gewichtseinheit pro Entfernungseinheit auf der Schiene betragen , auf der Autobahn betragen sie . Bis zu welchem ​​Punkt M Linien Eisenbahn Es sollte eine Autobahn gebaut werden, damit der Gütertransport erfolgen kann A V MIT war am wirtschaftlichsten AB wird davon ausgegangen, dass die Eisenbahn gerade ist)?

Wie finde ich den größten und kleinsten Wert einer Funktion in einem Segment?

Dafür Wir folgen dem bekannten Algorithmus:

1 . Wir finden ODZ-Funktionen.

2 . Finden der Ableitung einer Funktion

3 . Setzen Sie die Ableitung mit Null gleich

4 . Wir ermitteln die Intervalle, in denen die Ableitung ihr Vorzeichen behält, und bestimmen daraus die Intervalle der Zunahme und Abnahme der Funktion:

Wenn auf dem Intervall I die Ableitung der Funktion 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} nimmt in diesem Zeitraum zu.

Wenn auf dem Intervall I die Ableitung der Funktion ist, dann ist die Funktion nimmt in diesem Zeitraum ab.

5 . Wir finden Maximal- und Minimalpunkte der Funktion.

IN der Funktionsmaximumpunkt, die Ableitung ändert das Vorzeichen von „+“ nach „-“.

IN Minimalpunkt der FunktionAbleitung ändert Vorzeichen von „-“ zu „+“.

6 . Wir finden den Wert der Funktion an den Enden des Segments,

• dann vergleichen wir den Wert der Funktion an den Enden des Segments und an den Maximalpunkten und Wählen Sie den größten Wert aus, wenn Sie den größten Wert der Funktion ermitteln möchten
• oder wir vergleichen den Wert der Funktion an den Enden des Segments und an den Mindestpunkten und Wählen Sie den kleinsten Wert aus, wenn Sie den kleinsten Wert der Funktion ermitteln möchten

Abhängig davon, wie sich die Funktion auf dem Intervall verhält, kann dieser Algorithmus jedoch erheblich reduziert werden.

Betrachten Sie die Funktion . Der Graph dieser Funktion sieht folgendermaßen aus:

Betrachten wir einige Beispiele zur Lösung von Problemen aus der Open Task Bank für

1 . Aufgabe B15 (#26695)

Auf dem Schnitt.

1. Die Funktion ist für alle reellen Werte von x definiert

Offensichtlich hat diese Gleichung keine Lösungen und die Ableitung ist für alle Werte von x positiv. Daher steigt die Funktion und nimmt am rechten Ende des Intervalls, also bei x=0, den größten Wert an.

Antwort: 5.

2 . Aufgabe B15 (Nr. 26702)

Finden Sie den größten Wert einer Funktion auf dem Segment.

1.ODZ-Funktion title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Die Ableitung ist bei Null, ändert jedoch an diesen Punkten das Vorzeichen nicht:

Daher ist title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} steigt und nimmt den größten Wert am rechten Ende des Intervalls an, bei .

Um zu verdeutlichen, warum die Ableitung das Vorzeichen nicht ändert, transformieren wir den Ausdruck für die Ableitung wie folgt:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Antwort: 5.

3 . Aufgabe B15 (#26708)

Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion im Intervall.

1. ODZ-Funktionen: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Legen wir die Wurzeln dieser Gleichung auf einen trigonometrischen Kreis.

Das Intervall enthält zwei Zahlen: und

Lasst uns die Schilder aufstellen. Dazu bestimmen wir das Vorzeichen der Ableitung am Punkt x=0: . Beim Durchlaufen der Punkte und der Ableitung ändert sich das Vorzeichen.

Stellen wir den Vorzeichenwechsel der Ableitung der Funktion auf der Koordinatenlinie dar:

Offensichtlich ist der Punkt ein Minimalpunkt (wo die Ableitung das Vorzeichen von „-“ zu „+“ ändert), und um den kleinsten Wert der Funktion im Intervall zu finden, müssen Sie die Werte der Funktion vergleichen am Minimalpunkt und am linken Ende des Segments, .

In der Praxis ist es durchaus üblich, die Ableitung zu verwenden, um den größten und kleinsten Wert einer Funktion zu berechnen. Wir führen diese Aktion durch, wenn wir herausfinden, wie wir Kosten minimieren, Gewinne steigern, die optimale Produktionsbelastung berechnen usw., also in den Fällen, in denen es notwendig ist, den optimalen Wert eines Parameters zu bestimmen. Um solche Probleme richtig zu lösen, muss man den größten und kleinsten Wert einer Funktion genau kennen.

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Normalerweise definieren wir diese Werte innerhalb eines bestimmten Intervalls x , das wiederum dem gesamten Umfang der Funktion oder einem Teil davon entsprechen kann. Es kann entweder ein Segment [ a ; b ] und offenes Intervall (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) , unendliches Intervall (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) oder unendliches Intervall - ∞ ; a, (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

In diesem Artikel erklären wir, wie man den größten und kleinsten Wert einer explizit angegebenen Funktion mit einer Variablen y=f(x) y = f (x) berechnet.

Grundlegende Definitionen

Wir beginnen wie immer mit der Formulierung der wichtigsten Definitionen.

Definition 1

Der größte Wert der Funktion y = f (x) in einem Intervall x ist der Wert m a x y = f (x 0) x ∈ X , was für jeden Wert x x ∈ X , x ≠ x 0, die Ungleichung f (x) ergibt ) ≤ f (x 0) .

Definition 2

Der kleinste Wert der Funktion y = f (x) in einem Intervall x ist der Wert m i n x ∈ X y = f (x 0) , der für jeden Wert x ∈ X , x ≠ x 0, die Ungleichung f(X) ergibt f (x) ≥ f(x0) .

Diese Definitionen sind ziemlich offensichtlich. Noch einfacher kann man sagen: Der größte Wert einer Funktion ist ihr größter Wert sehr wichtig auf einem bekannten Intervall auf der Abszisse x 0 , und der kleinste ist der kleinste akzeptierte Wert auf demselben Intervall auf x 0 .

Definition 3

Stationäre Punkte sind solche Werte des Funktionsarguments, bei denen seine Ableitung 0 wird.

Warum müssen wir wissen, was stationäre Punkte sind? Um diese Frage zu beantworten, müssen wir uns an den Satz von Fermat erinnern. Daraus folgt, dass ein stationärer Punkt ein Punkt ist, an dem sich das Extremum einer differenzierbaren Funktion befindet (d. h. ihr lokales Minimum oder Maximum). Folglich nimmt die Funktion in einem bestimmten Intervall genau an einem der stationären Punkte den kleinsten oder größten Wert an.

Eine andere Funktion kann den größten oder kleinsten Wert an den Stellen annehmen, an denen die Funktion selbst eindeutig ist und ihre erste Ableitung nicht existiert.

Die erste Frage, die sich beim Studium dieses Themas stellt, lautet: Können wir in allen Fällen den Maximal- oder Minimalwert einer Funktion in einem bestimmten Intervall bestimmen? Nein, das können wir nicht tun, wenn die Grenzen des gegebenen Intervalls mit den Grenzen des Definitionsbereichs übereinstimmen oder wenn wir es mit einem unendlichen Intervall zu tun haben. Es kommt auch vor, dass eine Funktion in einem bestimmten Intervall oder im Unendlichen unendlich kleine oder unendlich große Werte annimmt. In diesen Fällen ist es nicht möglich, den größten und/oder kleinsten Wert zu ermitteln.

Diese Momente werden nach dem Bild in den Grafiken verständlicher:

Die erste Abbildung zeigt uns eine Funktion, die an stationären Punkten im Intervall [ - 6 ; 6].

Lassen Sie uns den in der zweiten Grafik dargestellten Fall im Detail untersuchen. Ändern wir den Wert des Segments in [ 1 ; 6] und wir erhalten, dass der größte Wert der Funktion an dem Punkt mit der Abszisse am rechten Rand des Intervalls und der kleinste am stationären Punkt erreicht wird.

In der dritten Abbildung stellen die Abszissen der Punkte die Randpunkte des Segments dar [ - 3 ; 2]. Sie entsprechen dem größten und kleinsten Wert der gegebenen Funktion.

Schauen wir uns nun das vierte Bild an. Darin nimmt die Funktion m a x y (den größten Wert) und m i n y (den kleinsten Wert) an stationären Punkten im offenen Intervall (- 6 ; 6) an.

Wenn wir das Intervall [ 1 ; 6) , dann können wir sagen, dass der kleinste Wert der darauf befindlichen Funktion an einem stationären Punkt erreicht wird. Wir werden den Maximalwert nicht kennen. Die Funktion könnte den größten Wert bei x gleich 6 annehmen, wenn x = 6 zum Intervall gehörte. Dieser Fall ist in Abbildung 5 dargestellt.

In Diagramm 6 erhält diese Funktion den kleinsten Wert am rechten Rand des Intervalls (- 3 ; 2 ], und wir können keine eindeutigen Schlussfolgerungen über den größten Wert ziehen.

In Abbildung 7 sehen wir, dass die Funktion am stationären Punkt m a x y hat und eine Abszisse gleich 1 hat. Die Funktion erreicht ihren Minimalwert am Rand des Intervalls mit rechte Seite. Bei minus unendlich nähern sich die Werte der Funktion asymptotisch y = 3 an.

Nehmen wir ein Intervall x ∈ 2 ; + ∞ , dann werden wir sehen, dass die gegebene Funktion weder den kleinsten noch den größten Wert annimmt. Wenn x gegen 2 tendiert, tendieren die Werte der Funktion gegen minus Unendlich, da die Gerade x = 2 eine vertikale Asymptote ist. Wenn die Abszisse gegen Unendlich tendiert, nähern sich die Werte der Funktion asymptotisch y = 3. Dies ist der in Abbildung 8 dargestellte Fall.

In diesem Absatz geben wir eine Abfolge von Aktionen an, die ausgeführt werden müssen, um den größten oder kleinsten Wert einer Funktion in einem bestimmten Intervall zu ermitteln.

1. Lassen Sie uns zunächst den Definitionsbereich der Funktion ermitteln. Prüfen wir, ob das in der Bedingung angegebene Segment darin enthalten ist.
2. Berechnen wir nun die in diesem Segment enthaltenen Punkte, an denen die erste Ableitung nicht existiert. Am häufigsten sind sie in Funktionen zu finden, deren Argument unter dem Modulzeichen steht, oder in Potenzfunktionen, deren Exponent eine gebrochen rationale Zahl ist.
3. Als nächstes finden wir heraus, welche stationären Punkte in ein bestimmtes Segment fallen. Dazu müssen Sie die Ableitung der Funktion berechnen, sie dann mit 0 gleichsetzen, die resultierende Gleichung lösen und dann die entsprechenden Wurzeln auswählen. Wenn wir keinen einzigen stationären Punkt erhalten oder diese nicht in ein bestimmtes Segment fallen, fahren wir mit dem nächsten Schritt fort.
4. Lassen Sie uns bestimmen, welche Werte die Funktion an den gegebenen stationären Punkten (falls vorhanden) oder an den Punkten annehmen wird, an denen die erste Ableitung nicht existiert (falls vorhanden), oder wir berechnen die Werte für x = a und x = b .
5. 5. Wir haben eine Reihe von Funktionswerten, aus denen wir nun den größten und den kleinsten auswählen müssen. Dies sind die größten und kleinsten Werte der Funktion, die wir finden müssen.

Sehen wir uns an, wie man diesen Algorithmus bei der Lösung von Problemen richtig anwendet.

Beispiel 1

Zustand: die Funktion y = x 3 + 4 x 2 ist gegeben. Bestimmen Sie seinen größten und kleinsten Wert auf den Segmenten [ 1 ; 4 ] und [ - 4 ; - 1 ] .

Lösung:

Beginnen wir damit, den Definitionsbereich dieser Funktion zu ermitteln. In diesem Fall handelt es sich um die Menge aller reellen Zahlen außer 0 . Mit anderen Worten, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞ . Beide in der Bedingung angegebenen Segmente liegen innerhalb des Definitionsbereichs.

Nun berechnen wir die Ableitung der Funktion nach der Regel der Differenzierung eines Bruchs:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Wir haben gelernt, dass die Ableitung der Funktion an allen Punkten der Segmente [ 1 ; 4 ] und [ - 4 ; - 1 ] .

Jetzt müssen wir die stationären Punkte der Funktion bestimmen. Machen wir das mit der Gleichung x 3 - 8 x 3 = 0. Es hat nur eine echte Wurzel, nämlich 2. Es wird ein stationärer Punkt der Funktion sein und in das erste Segment [ 1 ; 4 ] .

Berechnen wir die Werte der Funktion an den Enden des ersten Segments und am angegebenen Punkt, d.h. für x = 1 , x = 2 und x = 4:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Wir haben erhalten, dass der größte Wert der Funktion m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 wird bei x = 1 erreicht, und das kleinste m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – bei x = 2 .

Das zweite Segment enthält keine stationären Punkte, daher müssen wir die Funktionswerte nur an den Enden des gegebenen Segments berechnen:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Daher ist m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Antwort: Für das Segment [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , für das Segment [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Siehe Bild:

Vor dem Lernen diese Methode Wir empfehlen Ihnen, die korrekte Berechnung des einseitigen Grenzwerts und des Grenzwerts im Unendlichen zu wiederholen und die grundlegenden Methoden zu deren Ermittlung zu erlernen. Um den größten und/oder kleinsten Wert einer Funktion in einem offenen oder unendlichen Intervall zu finden, führen wir die folgenden Schritte nacheinander aus.

1. Zuerst müssen Sie prüfen, ob das angegebene Intervall eine Teilmenge des Definitionsbereichs der angegebenen Funktion ist.
2. Bestimmen wir alle Punkte, die im gewünschten Intervall enthalten sind und an denen die erste Ableitung nicht existiert. Normalerweise treten sie in Funktionen auf, bei denen das Argument im Vorzeichen des Moduls eingeschlossen ist, und in Potenzfunktionen mit einem gebrochenrationalen Exponenten. Fehlen diese Punkte, können Sie mit dem nächsten Schritt fortfahren.
3. Jetzt bestimmen wir, welche stationären Punkte in ein bestimmtes Intervall fallen. Zuerst setzen wir die Ableitung mit 0 gleich, lösen die Gleichung und finden passende Wurzeln. Wenn wir keinen einzigen stationären Punkt haben oder dieser nicht in das angegebene Intervall fällt, fahren wir sofort mit weiteren Aktionen fort. Sie werden durch die Art des Intervalls bestimmt.

• Wenn das Intervall wie folgt aussieht: [ a ; b) , dann müssen wir den Wert der Funktion am Punkt x = a und dem einseitigen Grenzwert lim x → b - 0 f (x) berechnen.
• Wenn das Intervall die Form (a ; b ] hat, müssen wir den Wert der Funktion am Punkt x = b und dem einseitigen Grenzwert lim x → a + 0 f (x) berechnen.
• Wenn das Intervall die Form (a ; b) hat, müssen wir die einseitigen Grenzen lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) berechnen.
• Wenn das Intervall wie folgt aussieht: [ a ; + ∞) , dann ist es notwendig, den Wert am Punkt x = a und die Grenze zu plus unendlich lim x → + ∞ f (x) zu berechnen.
• Wenn das Intervall wie folgt aussieht (- ∞ ; b ] , berechnen wir den Wert am Punkt x = b und den Grenzwert bei minus Unendlich lim x → - ∞ f (x) .
• Wenn - ∞ ; b , dann betrachten wir den einseitigen Grenzwert lim x → b - 0 f (x) und den Grenzwert bei minus Unendlich lim x → - ∞ f (x)
• Wenn - ∞ ; + ∞ , dann betrachten wir die Grenzen zu minus und plus unendlich lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Am Ende müssen Sie auf der Grundlage der erhaltenen Funktionswerte und Grenzwerte eine Schlussfolgerung ziehen. Hier gibt es viele Möglichkeiten. Wenn also der einseitige Grenzwert gleich minus Unendlich oder plus Unendlich ist, dann ist sofort klar, dass über den kleinsten und größten Wert der Funktion nichts gesagt werden kann. Im Folgenden betrachten wir ein typisches Beispiel. Detaillierte Beschreibungen helfen Ihnen zu verstehen, was was ist. Bei Bedarf können Sie zu den Abbildungen 4 – 8 im ersten Teil des Materials zurückkehren.

Bedingung: Gegeben sei eine Funktion y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Berechnen Sie seinen größten und kleinsten Wert in den Intervallen - ∞ ; - 4 , - ∞ ; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; +∞) .

Lösung

Zunächst ermitteln wir den Definitionsbereich der Funktion. Der Nenner des Bruchs ist ein quadratisches Trinom, das nicht gegen 0 gehen sollte:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Wir haben den Umfang der Funktion erhalten, zu dem alle in der Bedingung angegebenen Intervalle gehören.

Lassen Sie uns nun die Funktion differenzieren und erhalten:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Folglich existieren Ableitungen einer Funktion im gesamten Definitionsbereich.

Fahren wir mit der Suche nach stationären Punkten fort. Die Ableitung der Funktion wird bei x = - 1 2 0. Dies ist ein stationärer Punkt, der in den Intervallen (- 3 ; 1 ] und (- 3 ; 2) liegt.

Berechnen wir den Wert der Funktion bei x = - 4 für das Intervall (- ∞ ; - 4 ] sowie den Grenzwert bei minus Unendlich:

y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Da 3 e 1 6 - 4 > - 1 , dann m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4 . Dadurch können wir den kleinsten Wert der Funktion nicht eindeutig bestimmen. Wir können nur den Schluss ziehen, dass es einen Grenzwert unterhalb von -1 gibt, da sich die Funktion diesem Wert asymptotisch bei minus Unendlich annähert.

Ein Merkmal des zweiten Intervalls ist, dass es keinen einzigen stationären Punkt und keine einzige strenge Grenze hat. Daher können wir weder den größten noch den kleinsten Wert der Funktion berechnen. Indem wir den Grenzwert bei minus Unendlich definieren und das Argument auf der linken Seite zu -3 tendiert, erhalten wir nur den Wertebereich:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Dies bedeutet, dass die Funktionswerte im Intervall liegen - 1 ; +∞

Um den Maximalwert der Funktion im dritten Intervall zu finden, bestimmen wir ihren Wert am stationären Punkt x = - 1 2, wenn x = 1 . Wir müssen auch den einseitigen Grenzwert für den Fall kennen, dass das Argument auf der rechten Seite zu -3 tendiert:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Es stellte sich heraus, dass die Funktion an einem stationären Punkt den größten Wert annimmt m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Den kleinsten Wert können wir nicht bestimmen. Alles was wir wissen, ist das Vorhandensein einer unteren Grenze bis -4.

Für das Intervall (- 3 ; 2) nehmen wir die Ergebnisse der vorherigen Berechnung und berechnen noch einmal, wie groß die einseitige Grenze ist, wenn wir von links nach 2 tendieren:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Daher ist m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 , und der kleinste Wert kann nicht bestimmt werden, und die Werte der Funktion werden von unten durch die Zahl - 4 begrenzt.

Basierend auf dem, was wir in den beiden vorherigen Berechnungen gemacht haben, können wir das für das Intervall [ 1 ; 2) Die Funktion nimmt bei x = 1 den größten Wert an und es ist unmöglich, den kleinsten zu finden.

Auf dem Intervall (2 ; + ∞) erreicht die Funktion weder den größten noch den kleinsten Wert, d.h. es werden Werte aus dem Intervall - 1 angenommen; +∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Nachdem wir den Wert der Funktion bei x = 4 berechnet haben, finden wir heraus, dass m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , und die gegebene Funktion bei plus Unendlich nähert sich asymptotisch der Linie y = - 1 .

Vergleichen wir das, was wir in jeder Berechnung erhalten haben, mit dem Diagramm der gegebenen Funktion. In der Abbildung sind die Asymptoten durch gestrichelte Linien dargestellt.

Das ist alles, was wir über die Ermittlung des größten und kleinsten Werts einer Funktion besprechen wollten. Die von uns angegebenen Handlungsabläufe helfen Ihnen, die notwendigen Berechnungen so schnell und einfach wie möglich durchzuführen. Denken Sie jedoch daran, dass es oft nützlich ist, zunächst herauszufinden, in welchen Intervallen die Funktion abnimmt und in welchen sie zunimmt. Anschließend können weitere Schlussfolgerungen gezogen werden. So können Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion genauer bestimmen und die Ergebnisse begründen.

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Liebe Freunde! Die Aufgabengruppe im Zusammenhang mit der Ableitung umfasst Aufgaben – in der Bedingung ist der Graph der Funktion angegeben, mehrere Punkte auf diesem Graphen und die Frage lautet:

An welchem ​​Punkt ist der Wert der Ableitung am größten (kleinsten)?

Wiederholen wir kurz:

Die Ableitung an einem Punkt ist Winkelkoeffizient Tangente, die durchgehtDieser Punkt in der Grafik.

Beider globale Koeffizient der Tangente wiederum gleich Tangente die Steigung dieser Tangente.

*Dies bezieht sich auf den Winkel zwischen der Tangente und der x-Achse.

1. Auf Intervallen mit zunehmender Funktion hat die Ableitung positiver Wert.

2. In den Intervallen seiner Abnahme hat die Ableitung negative Bedeutung.

Betrachten Sie die folgende Skizze:

An den Punkten 1,2,4 hat die Ableitung der Funktion einen negativen Wert, da diese Punkte zu den abnehmenden Intervallen gehören.

An den Punkten 3,5,6 hat die Ableitung der Funktion einen positiven Wert, da diese Punkte zu den Anstiegsintervallen gehören.

Wie Sie sehen, ist mit dem Wert der Ableitung alles klar, das heißt, es ist nicht schwer zu bestimmen, welches Vorzeichen sie an einem bestimmten Punkt im Diagramm hat (positiv oder negativ).

Wenn wir außerdem gedanklich Tangenten an diesen Punkten konstruieren, werden wir sehen, dass die Linien, die durch die Punkte 3, 5 und 6 verlaufen, Winkel mit der oX-Achse bilden, die im Bereich von 0 bis 90° liegen, und die Linien, die durch die Punkte 1, 2 verlaufen und 4 bilden mit der oX-Achse Winkel im Bereich von 90° bis 180°.

* Die Beziehung ist klar: Tangenten, die durch Punkte gehen, die zu Intervallen steigender Funktionen gehören, bilden spitze Winkel mit der oX-Achse, Tangenten, die durch Punkte gehen, die zu Intervallen fallender Funktionen gehören, bilden stumpfe Winkel mit der oX-Achse.

Jetzt die wichtige Frage!

Wie verändert sich der Wert des Derivats? Immerhin die Tangente verschiedene Punkte Grafik kontinuierliche Funktion bildet unterschiedliche Winkel, je nachdem, durch welchen Punkt im Diagramm es verläuft.

*Oder sprechend einfache Sprache, die Tangente liegt sozusagen „horizontaler“ oder „vertikaler“. Sehen:

Gerade Linien bilden mit der oX-Achse Winkel im Bereich von 0 bis 90 °

Gerade Linien bilden mit der oX-Achse Winkel im Bereich von 90° bis 180°

Falls es also noch Fragen gibt:

- An welchem ​​der angegebenen Punkte im Diagramm hat der Wert der Ableitung den kleinsten Wert?

- An welchem ​​der angegebenen Punkte im Diagramm hat der Wert der Ableitung den größten Wert?

Für die Antwort ist es dann notwendig zu verstehen, wie sich der Wert des Tangentenwinkels im Bereich von 0 bis 180 ° ändert.

*Wie bereits erwähnt, ist der Wert der Ableitung der Funktion an einem Punkt gleich der Tangente der Steigung der Tangente an die x-Achse.

Der Tangenswert ändert sich wie folgt:

Wenn sich die Steigung der Geraden von 0 ° auf 90 ° ändert, ändert sich der Wert der Tangente und damit der Ableitung jeweils von 0 auf +∞;

Wenn sich die Steigung der Geraden von 90° auf 180° ändert, ändert sich der Wert der Tangente und damit die Ableitung entsprechend –∞ auf 0.

Dies ist aus dem Diagramm der Tangensfunktion deutlich zu erkennen:

In einfachen Worten:

Wenn der Neigungswinkel der Tangente zwischen 0° und 90° liegt

Je näher es an 0 o liegt, desto größer ist der Wert der Ableitung nahe Null (auf der positiven Seite).

Je näher der Winkel bei 90° liegt, desto stärker steigt der Wert der Ableitung in Richtung +∞.

Wenn der Neigungswinkel der Tangente 90° bis 180° beträgt

Je näher es an 90 o liegt, desto mehr nimmt der Wert der Ableitung in Richtung –∞ ab.

Je näher der Winkel bei 180° liegt, desto größer ist der Wert der Ableitung nahe Null (auf der negativen Seite).

317543. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y = F(X) und markierte Punkte–2, –1, 1, 2. An welchem ​​dieser Punkte ist der Wert der Ableitung am größten? Bitte geben Sie diesen Punkt in Ihrer Antwort an.

Wir haben vier Punkte: Zwei davon gehören zu den Intervallen, in denen die Funktion abnimmt (das sind die Punkte –1 und 1) und zwei zu den Intervallen, in denen die Funktion zunimmt (das sind die Punkte –2 und 2).

Wir können sofort schließen, dass die Ableitung an den Punkten -1 und 1 einen negativen Wert hat, an den Punkten -2 und 2 einen positiven Wert. Daher ist es in diesem Fall notwendig, die Punkte -2 und 2 zu analysieren und zu bestimmen, welcher von ihnen den größten Wert hat. Konstruieren wir Tangenten, die durch die angegebenen Punkte verlaufen:

Der Wert des Tangens des Winkels zwischen der Geraden a und der Abszissenachse beträgt mehr Wert der Tangens des Winkels zwischen der Linie b und dieser Achse. Das bedeutet, dass der Wert der Ableitung am Punkt -2 am größten sein wird.

Beantworten wir die folgende Frage: An welchem ​​der Punkte -2, -1, 1 oder 2 ist der Wert der Ableitung am größten negativ? Bitte geben Sie diesen Punkt in Ihrer Antwort an.

Die Ableitung wird an den Punkten, die zu den abnehmenden Intervallen gehören, einen negativen Wert haben, also betrachten wir die Punkte -2 und 1. Konstruieren wir die durch sie verlaufenden Tangenten:

Wir sehen das stumpfer Winkel zwischen der Linie b und der Achse oX liegt „näher“ bei 180Ö , daher ist sein Tangens größer als der Tangens des Winkels, der durch die Gerade a und die x-Achse gebildet wird.

Somit ist der Wert der Ableitung am Punkt x = 1 der größte negative Wert.

317544. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y = F(X) und markierte Punkte–2, –1, 1, 4. An welchem ​​dieser Punkte ist der Wert der Ableitung am kleinsten? Bitte geben Sie diesen Punkt in Ihrer Antwort an.

Wir haben vier Punkte: Zwei davon gehören zu den Intervallen, in denen die Funktion abnimmt (das sind die Punkte –1 und 4) und zwei zu den Intervallen, in denen die Funktion zunimmt (das sind die Punkte –2 und 1).

Wir können sofort schließen, dass die Ableitung an den Punkten -1 und 4 einen negativen Wert hat, an den Punkten -2 und 1 einen positiven Wert. Daher ist es in diesem Fall notwendig, die Punkte –1 und 4 zu analysieren und zu bestimmen, welcher von ihnen den kleinsten Wert hat. Konstruieren wir Tangenten, die durch die angegebenen Punkte verlaufen:

Der Wert des Tangens des Winkels zwischen der Linie a und der Abszissenachse wird größer sein als der Wert des Tangens des Winkels zwischen der Linie b und dieser Achse. Das bedeutet, dass der Wert der Ableitung am Punkt x = 4 am kleinsten ist.

Antwort: 4

Ich hoffe, ich habe Sie mit der Fülle des Schreibens nicht „überfordert“. Tatsächlich ist alles sehr einfach, man muss nur die Eigenschaften der Ableitung, ihre geometrische Bedeutung und wie sich der Wert des Tangens des Winkels von 0 auf 180 ° ändert, verstehen.

1. Bestimmen Sie zunächst die Vorzeichen der Ableitung an diesen Punkten (+ oder -) und wählen Sie die erforderlichen Punkte aus (abhängig von der gestellten Frage).

2. Konstruieren Sie Tangenten an diesen Punkten.

3. Markieren Sie mithilfe des Tangesoiddiagramms schematisch die Ecken und zeigen Sie sie anAlexander.

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie in sozialen Netzwerken von der Seite berichten würden.