Fonction inverse x. Fonctions mutuellement inverses

21.09.2019

Propriétés de base des fonctions mutuellement inverses

Dans cette sous-section, nous énumérons les principales propriétés des fonctions y = f (x) et x = g (y) qui sont mutuellement inverses.

Définition 1

Nous avons déjà dérivé la première propriété plus tôt : y = f (g (y)) et x = g (f (x)) .
La deuxième propriété découle de la première : le domaine de définition y = f (x) coïncidera avec le domaine de la fonction inverse x = g (y) , et vice versa.
Les graphiques des fonctions inverses seront symétriques par rapport à y = x .
Si y = f (x) augmente, alors x = g (y) augmentera également, et si y = f (x) diminue, alors x = g (y) diminuera également.

Nous vous conseillons de bien considérer les notions de domaine de définition et d'étendue des fonctions et de ne jamais les confondre. Disons que nous avons deux fonctions mutuellement inverses y = f (x) = a x et x = g (y) = log a y . Selon la première propriété, y = f (g (y)) = a log a y . Cette égalité ne sera vraie que si valeurs positives y , et le logarithme n'est pas défini pour les négatifs, alors ne vous précipitez pas pour noter qu'un log a y = y . Assurez-vous de vérifier et d'ajouter que cela n'est vrai que pour y positif.

Mais l'égalité x \u003d f (g (x)) \u003d log a a x \u003d x sera vraie pour toutes les valeurs réelles de x.

N'oubliez pas ce point, surtout si vous devez travailler avec des fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses. Donc, a r c sin sin 7 π 3 ≠ 7 π 3 parce que la plage de l'arcsinus est π 2 ; π 2 et 7 π 3 n'y sont pas inclus. La bonne entrée sera

a r c sin sin 7 π 3 \u003d a r c sin sin 2 π + π 3 \u003d \u003d \u003d sous la forme d'un s u l p r i o n i o n \u003d a r c sin sin π 3 \u003d π 3

Mais sin a r c sin 1 3 \u003d 1 3 est l'égalité correcte, c'est-à-dire sin (a r c sin X) = x pour x ∈ - 1 ; 1 et a r c sin (sin x) = x pour x ∈ - π 2 ; π 2 . Soyez toujours prudent avec la portée et la portée des fonctions inverses!

Fonctions de base mutuellement inverses : puissance

Si nous avons une fonction puissance y = x a , alors pour x > 0 la fonction puissance x = y 1 a lui sera également inverse. Remplaçons les lettres et obtenons respectivement y = x a et x = y 1 a.

Sur le graphique, ils ressembleront à ceci (cas avec coefficient positif et négatif a):

Fonctions de base mutuellement inverses : exponentielles et logarithmiques

Prenons a, qui sera un nombre positif, non égal à 1 .

Graphiques pour les fonctions avec a > 1 et a< 1 будут выглядеть так:

Fonctions de base mutuellement inverses : trigonométriques et trigonométriques inverses

Si nous devons tracer la branche principale du sinus et de l'arc sinus, cela ressemblera à ceci (indiqué dans la zone claire en surbrillance).

Travaux finis

CES TRAVAUX

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Définition d'une fonction inverse et de ses propriétés : lemme sur la monotonie mutuelle des fonctions directes et inverses ; symétrie des graphiques de fonctions directes et inverses ; théorèmes sur l'existence et la continuité de la fonction inverse pour une fonction strictement monotone sur un segment, un intervalle et un demi-intervalle. Exemples de fonctions inverses. Un exemple de solution à un problème. Preuves de propriétés et de théorèmes.

Définition et propriétés

Définition de la fonction inverse
Soit la fonction ayant un domaine X et un ensemble de valeurs Y . Et laissez-lui la propriété:
pour tous .
Alors pour tout élément de l'ensemble Y, un seul élément de l'ensemble X peut être associé, pour lequel . Cette correspondance définit une fonction appelée fonction inverseà . La fonction inverse est notée comme suit :
.

Il découle de la définition que
;
pour tous ;
pour tous .

Propriété sur la symétrie des graphes de fonctions directes et inverses
Les graphiques des fonctions directes et inverses sont symétriques par rapport à la ligne directe.

Théorème sur l'existence et la continuité de la fonction inverse sur un segment
Soit la fonction continue et strictement croissante (décroissante) sur l'intervalle . Alors sur l'intervalle la fonction inverse est définie et continue, strictement croissante (décroissante).

Pour une fonction croissante. Pour descendre - .

Théorème sur l'existence et la continuité de la fonction inverse sur un intervalle
Soit la fonction continue et strictement croissante (décroissante) sur un intervalle ouvert fini ou infini. Alors la fonction inverse est définie et continue sur l'intervalle strictement croissant (décroissant).

Pour une fonction croissante.
Pour la descente : .

De manière similaire, on peut formuler un théorème sur l'existence et la continuité d'une fonction inverse sur un demi-intervalle.

Si la fonction est continue et strictement croissante (diminue) sur le demi-intervalle ou , alors sur le demi-intervalle ou la fonction inverse est définie, qui strictement augmente (diminue). Ici .

S'il est strictement croissant, alors les intervalles et correspondent aux intervalles et . S'ils sont strictement décroissants, alors les intervalles et correspondent aux intervalles et .
Ce théorème se démontre de la même manière que le théorème sur l'existence et la continuité de la fonction inverse sur un intervalle.

Exemples de fonctions inverses

Arcsinus

Parcelles y= péché x et fonction inverse y = arcsin x.

Considérez la fonction trigonométrique sinus: . Il est défini et continu pour toutes les valeurs de l'argument , mais n'est pas monotone. Cependant, si le domaine de définition est restreint, alors les sections monotones peuvent être distinguées. Ainsi, sur le segment , la fonction est définie, continue, strictement croissante et prenant des valeurs de -1 avant de +1 . Par conséquent, il a une fonction inverse sur lui, qui s'appelle l'arcsinus. L'arc sinus a un domaine de définition et un ensemble de valeurs.

Logarithme

Parcelles y= 2x et fonction inverse y = bûche 2 x.

La fonction exponentielle est définie, continue et strictement croissante pour toutes les valeurs de l'argument . L'ensemble de ses valeurs est un intervalle ouvert. La fonction inverse est le logarithme de base deux. Il a une portée et un ensemble de valeurs.

Racine carrée

Parcelles y=x 2 et fonction inverse.

Fonction de puissance est défini et continu pour tous . L'ensemble de ses valeurs est un demi-intervalle. Mais il n'est pas monotone pour toutes les valeurs de l'argument. Cependant, sur le demi-intervalle, il est continu et strictement croissant de manière monotone. Par conséquent, si, comme domaine, nous prenons l'ensemble , alors il existe une fonction inverse, qui s'appelle racine carrée. La fonction inverse a un domaine de définition et un ensemble de valeurs.

Exemple. Preuve de l'existence et de l'unicité d'une racine de degré n

Montrer que l'équation , où n est un nombre naturel, est un nombre réel non négatif, a seule décision sur l'ensemble des nombres réels, . Cette solution est appelée racine nième de a. Autrement dit, vous devez montrer que tout nombre non négatif a une racine unique de degré n.

Considérons une fonction de variable x :
(P1) .

Montrons qu'elle est continue.
En utilisant la définition de la continuité, nous montrons que
.
On applique la formule binomiale de Newton :
(P2)
.
Appliquons les propriétés arithmétiques des limites de la fonction . Puisque , alors seul le premier terme est non nul :
.
La continuité a été prouvée.

Montrons que la fonction (P1) est strictement croissante lorsque .
Prenons des nombres arbitraires reliés par des inégalités :
, , .
Nous devons montrer cela. Introduisons des variables. Alors . Puisque , il ressort de (A2) que . Ou
.
L'augmentation stricte est prouvée.

Trouvez l'ensemble des valeurs de fonction pour .
À ce point , .
Trouvons la limite.
Pour cela, appliquez l'inégalité de Bernoulli. Quand nous avons:
.
Depuis , puis et .
En appliquant la propriété des inégalités de fonctions infiniment grandes, on trouve que .
De cette façon, , .

Selon le théorème de la fonction inverse, une fonction inverse est définie et continue sur un intervalle. Autrement dit, pour tout, il existe un unique qui satisfait l'équation. Puisque nous avons , cela signifie que pour tout , l'équation a une solution unique, qui s'appelle la racine du degré n à partir du nombre x :
.

Preuves de propriétés et théorèmes

Preuve du lemme sur la monotonie mutuelle des fonctions directes et inverses

Soit la fonction ayant un domaine X et un ensemble de valeurs Y . Montrons qu'il a une fonction inverse. Sur la base de , nous devons prouver que
pour tous .

Supposons le contraire. Qu'il y ait des nombres , donc . Laissez en même temps. Sinon, nous changeons la notation pour qu'elle soit . Alors, du fait de la stricte monotonie de f , l'une des inégalités doit être vraie :
si f est strictement croissante ;
si f est strictement décroissante.
C'est-à-dire . Il y avait une contradiction. Il a donc une fonction inverse.

Soit la fonction strictement croissante. Montrons que la fonction inverse est aussi strictement croissante. Introduisons la notation :
. Autrement dit, nous devons prouver que si , alors .

Supposons le contraire. Laissez , mais .

Si donc . Cette affaire est sortie.

Laisser . Alors, du fait de la stricte augmentation de la fonction , , ou . Il y avait une contradiction. Par conséquent, seul le cas est possible.

Le lemme est démontré pour une fonction strictement croissante. Ce lemme se démontre de manière similaire pour une fonction strictement décroissante.

Preuve d'une propriété sur la symétrie des graphes de fonctions directes et inverses

Soit un point arbitraire du graphe de la fonction directe :
(2.1) .
Montrons que le point , symétrique au point A par rapport à la droite , appartient au graphe de la fonction inverse :
.
Il résulte de la définition de la fonction inverse que
(2.2) .
Il faut donc montrer (2.2).

Graphique de la fonction inverse y = f -1 fois) est symétrique au graphe de la fonction directe y = f (X) par rapport à la droite y = x .

A partir des points A et S, nous déposons des perpendiculaires sur les axes de coordonnées. Alors
, .

Par le point A, nous traçons une ligne perpendiculaire à la ligne. Laissez les droites se croiser au point C. On construit un point S sur la droite tel que . Alors le point S sera symétrique au point A par rapport à la droite.

Considérons les triangles et . Ils ont deux côtés de même longueur : et, et angles égaux entre eux: . Ils sont donc congruents. Alors
.

Considérons un triangle. Depuis
.
Idem pour le triangle :
.
Alors
.

Maintenant on trouve :
;
.

Donc, équation (2.2) :
(2.2)
est satisfait car , et (2.1) est satisfait :
(2.1) .

Puisque nous avons choisi arbitrairement le point A, cela s'applique à tous les points du graphique :
tous les points du graphe de la fonction, réfléchis symétriquement par rapport à la droite, appartiennent au graphe de la fonction inverse.
Ensuite, nous pouvons échanger nos places. En conséquence, nous obtenons
tous les points du graphe de la fonction, réfléchis symétriquement par rapport à la droite, appartiennent au graphe de la fonction.
Il s'ensuit que les graphes des fonctions et sont symétriques par rapport à la droite.

La propriété a été prouvée.

Preuve du théorème sur l'existence et la continuité de la fonction inverse sur un intervalle

Soit désigne le domaine de définition de la fonction - le segment .

1. Montrons que l'ensemble des valeurs de la fonction est l'intervalle :
,
où .

En effet, puisque la fonction est continue sur le segment , alors, d'après le théorème de Weierstrass, elle atteint son minimum et son maximum sur celui-ci. Ensuite, selon le théorème de Bolzano-Cauchy, la fonction prend toutes les valeurs du segment. Autrement dit, pour tout existe , pour lequel . Puisqu'il y a un minimum et un maximum, la fonction ne prend sur le segment que les valeurs de l'ensemble .

2. Puisque la fonction est strictement monotone, alors selon ce qui précède, il existe une fonction inverse , qui est également strictement monotone (augmente si augmente et diminue si diminue). Le domaine de la fonction inverse est l'ensemble et l'ensemble des valeurs est l'ensemble.

3. Maintenant, nous prouvons que la fonction inverse est continue.

3.1. Soit un point intérieur quelconque du segment : . Montrons que la fonction inverse est continue en ce point.

Qu'il corresponde au point . Puisque la fonction inverse est strictement monotone, c'est-à-dire le point intérieur du segment :
.
D'après la définition de la continuité, il faut prouver que pour tout il existe une fonction telle que
(3.1) pour tous .

Notez que nous pouvons prendre arbitrairement petit. En effet, si nous avons trouvé une fonction telle que les inégalités (3.1) soient satisfaites pour des valeurs suffisamment petites de , alors elles le seront automatiquement pour toute grande valeur de , si nous posons pour .

Prenons-le si petit que les points et appartiennent au segment :
.
Introduisons et arrangeons la notation :

.

On transforme la première inégalité (3.1) :
(3.1) pour tous .
;
;
;
(3.2) .
Comme il est strictement monotone, il s'ensuit que
(3.3.1) , si augmente ;
(3.3.2) s'il diminue.
Comme la fonction inverse est aussi strictement monotone, les inégalités (3.3) impliquent les inégalités (3.2).

Pour tout ε > 0 existe δ, donc |f -1 (y) - f -1 (y 0) |< ε pour tout |y - y 0 | < δ .

Les inégalités (3.3) définissent un intervalle ouvert dont les extrémités sont séparées du point par des distances et . Soit la plus petite de ces distances :
.
En raison de la stricte monotonie de , , . C'est pourquoi . Alors l'intervalle sera compris dans l'intervalle défini par les inégalités (3.3). Et pour toutes les valeurs qui lui appartiennent, les inégalités (3.2) seront remplies.

Donc, nous avons trouvé que pour suffisamment petit , existe , de sorte que
à .
Changeons maintenant de notation.
Pour assez petit , il existe tel que
à .
Cela signifie que la fonction inverse est continue aux points intérieurs.

3.2. Considérons maintenant les extrémités du domaine de définition. Ici, tous les arguments restent les mêmes. Seuls les voisinages unilatéraux de ces points doivent être pris en compte. Au lieu d'un point, il y aura ou , et au lieu d'un point - ou .

Ainsi, pour une fonction croissante , .
à .
La fonction inverse est continue à , car pour tout suffisamment petit il y a , de sorte que
à .

Pour une fonction décroissante , .
La fonction inverse est continue à , car pour tout suffisamment petit il y a , de sorte que
à .
La fonction inverse est continue à , car pour tout suffisamment petit il y a , de sorte que
à .

Le théorème a été démontré.

Preuve du théorème sur l'existence et la continuité de la fonction inverse sur l'intervalle

Soit désigne le domaine de la fonction - un intervalle ouvert. Soit l'ensemble de ses valeurs. D'après ce qui précède, il existe une fonction inverse qui a un domaine de définition, un ensemble de valeurs et qui est strictement monotone (augmente si elle augmente et diminue si elle diminue). Il nous reste à prouver que
1) l'ensemble est un intervalle ouvert , et que
2) la fonction inverse est continue sur elle.
Ici .

1. Montrons que l'ensemble des valeurs de la fonction est un intervalle ouvert :
.

Comme tout ensemble non vide dont les éléments ont une opération de comparaison, l'ensemble des valeurs de fonction a des bornes inférieure et supérieure :
.
Ici, et peuvent être des nombres finis ou des symboles et .

1.1. Montrons que les points et n'appartiennent pas à l'ensemble des valeurs de la fonction. Autrement dit, l'ensemble de valeurs ne peut pas être un segment.

Si ou est pointe à l'infini: ou , alors un tel point n'est pas un élément de l'ensemble. Elle ne peut donc pas appartenir à un ensemble de valeurs.

Soit (ou ) un nombre fini. Supposons le contraire. Soit le point (ou ) appartenir à l'ensemble des valeurs de la fonction . C'est-à-dire qu'il existe telle pour laquelle (ou ). Prendre des points et satisfaire les inégalités :
.
Comme la fonction est strictement monotone, alors
, si f augmente ;
si f est décroissante.
Autrement dit, nous avons trouvé un point auquel la valeur de la fonction est inférieure (supérieure à ). Mais cela contredit la définition de la face inférieure (supérieure), selon laquelle
pour tous .
Par conséquent, les points et ne peut pas appartenir à un ensemble de valeurs les fonctions .

1.2. Montrons maintenant que l'ensemble de valeurs est un intervalle , plutôt qu'une union d'intervalles et de points. c'est-à-dire pour tout point existe , Pour qui .

D'après les définitions des faces inférieure et supérieure, en tout voisinage des points et contient au moins un élément de l'ensemble . Laisser - un nombre arbitraire appartenant à l'intervalle : . Alors pour le quartier existe , Pour qui
.
Pour le quartier existe , Pour qui
.

Parce que le et , alors . Alors
(4.1.1) si augmente;
(4.1.2) si diminue.
Les inégalités (4.1) sont faciles à prouver par contradiction. Mais vous pouvez utiliser , selon lequel sur le plateau il existe une fonction inverse , qui est strictement croissante si et décroît strictement si . On obtient alors immédiatement les inégalités (4.1).

Nous avons donc un segment , où si augmente;
si diminue.
Aux extrémités du segment, la fonction prend les valeurs et . Parce que le , alors par le théorème de Bolzano-Cauchy, il y a un point , Pour qui .

Parce que le , nous avons ainsi montré que pour tout existe , Pour qui . Cela signifie que l'ensemble des valeurs de la fonction est un intervalle ouvert .

2. Montrons maintenant que la fonction inverse est continue en un point quelconque intervalle : . Pour ce faire, appliquez-vous au segment . Parce que le , alors la fonction inverse continue sur le segment , y compris au point .

Le théorème a été démontré.

Références:
O.I. Démons. Conférences sur l'analyse mathématique. Partie 1. Moscou, 2004.
CM. Nikolsky. Cours d'analyse mathématique. Tome 1. Moscou, 1983.

Expressions correspondantes qui se transforment l'une en l'autre. Pour comprendre ce que cela signifie, il convient de considérer exemple concret. Disons que nous avons y = cos(x). Si nous prenons le cosinus de l'argument, alors nous pouvons trouver la valeur de y. Évidemment, pour cela, vous devez avoir x. Mais que se passe-t-il si le jeu est initialement donné ? C'est là qu'on entre dans le vif du sujet. Pour résoudre le problème, l'utilisation d'une fonction inverse est nécessaire. Dans notre cas, il s'agit de l'arc cosinus.

Après toutes les transformations, on obtient : x = arccos(y).

Autrement dit, pour trouver une fonction inverse d'une fonction donnée, il suffit d'exprimer simplement un argument à partir de celle-ci. Mais cela ne fonctionne que si le résultat aura une seule valeur (plus à ce sujet plus tard).

À vue générale on peut écrire ce fait comme suit : f(x) = y, g(y) = x.

Définition

Soit f une fonction dont le domaine est l'ensemble X et dont le domaine est l'ensemble Y. Alors s'il existe g dont les domaines effectuent des tâches opposées, alors f est réversible.

De plus, dans ce cas g est unique, ce qui signifie qu'il existe exactement une fonction qui satisfait cette propriété (ni plus, ni moins). Ensuite, on l'appelle la fonction inverse et, par écrit, elle est notée comme suit: g (x) \u003d f -1 (x).

En d'autres termes, ils peuvent être considérés comme une relation binaire. La réversibilité n'a lieu que lorsqu'un élément de l'ensemble correspond à une valeur d'une autre.

Il n'y a pas toujours de fonction inverse. Pour ce faire, chaque élément y є Y doit correspondre au plus à un x є X. Alors f est appelé bijectif ou injection. Si f -1 appartient à Y, alors chaque élément de cet ensemble doit correspondre à un certain x ∈ X. Les fonctions possédant cette propriété sont appelées surjections. C'est vrai par définition si Y est une image f, mais ce n'est pas toujours le cas. Pour être inverse, une fonction doit être à la fois une injection et une surjection. De telles expressions sont appelées bijections.

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La fonction est définie sur R. Une partition d'un segment [, b] est un ensemble de points τ = (x, x 1,..., x n 1, x n ) [, b] tel que = x< x 1 < < x n 1

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