Somme des sinus au carré. Acheter un diplôme d'études supérieures pas cher

Données de référence pour la tangente (tg x) et la cotangente (ctg x). Définition géométrique, propriétés, graphiques, formules. Tableau des tangentes et cotangentes, dérivées, intégrales, développements en série. Expressions à travers des variables complexes. Connexion avec les fonctions hyperboliques.

Définition géométrique

|BD| - la longueur de l'arc de cercle centré au point A.
α est l'angle exprimé en radians.

Tangente ( tga) est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle α entre l'hypoténuse et la branche d'un triangle rectangle, égale au rapport de la longueur de la branche opposée |BC| à la longueur de la branche adjacente |AB| .

Cotangente ( ctgα) est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle α entre l'hypoténuse et la branche d'un triangle rectangle, égale au rapport de la longueur de la branche adjacente |AB| à la longueur de la jambe opposée |BC| .

Tangente

Où n- ensemble.

Dans la littérature occidentale, la tangente est notée comme suit :
.
;
;
.

Graphique de la fonction tangente, y = tg x

Cotangente

Où n- ensemble.

Dans la littérature occidentale, la cotangente est notée comme suit :
.
La notation suivante a également été adoptée :
;
;
.

Graphique de la fonction cotangente, y = ctg x

Propriétés de la tangente et de la cotangente

Périodicité

Fonctions y= TG x et y= ctg x sont périodiques de période π.

Parité

Les fonctions tangente et cotangente sont impaires.

Domaines de définition et de valeurs, ascendants, descendants

Les fonctions tangente et cotangente sont continues sur leur domaine de définition (voir la preuve de continuité). Les principales propriétés de la tangente et de la cotangente sont présentées dans le tableau ( n- entier).

Formules

Expressions en termes de sinus et de cosinus

; ;
; ;
;

Formules pour la tangente et la cotangente de la somme et de la différence

Le reste des formules est facile à obtenir, par exemple

Produit de tangentes

La formule pour la somme et la différence des tangentes

Ce tableau montre les valeurs des tangentes et des cotangentes pour certaines valeurs de l'argument.

Expressions en termes de nombres complexes

Expressions en termes de fonctions hyperboliques

;
;

Dérivés

; .

.
Dérivée d'ordre n par rapport à la variable x de la fonction :
.
Dérivation des formules pour tangente > > > ; pour cotangente > > >

Intégrales

Extensions en série

Pour obtenir le développement de la tangente en puissances de x, vous devez prendre plusieurs termes du développement en une série de puissances pour les fonctions péché x et parce que x et diviser ces polynômes entre eux , . Cela se traduit par les formules suivantes.

À .

à .
où B n- Nombres de Bernoulli. Ils sont déterminés soit à partir de la relation de récurrence :
;
;
où .
Ou selon la formule de Laplace :

Fonctions inverses

Fonctions inversesà tangente et cotangente sont respectivement arctangente et arccotangente.

Arctangente, arctg

, où n- ensemble.

Arc tangente, arcctg

, où n- ensemble.

Références:
DANS. Bronstein, KA Semendyaev, Manuel de mathématiques pour les ingénieurs et les étudiants des établissements d'enseignement supérieur, Lan, 2009.
G. Korn, Manuel de mathématiques pour chercheurs et ingénieurs, 2012.

Questions les plus fréquemment posées

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Dans cet article, nous parlerons de substitution trigonométrique universelle. Cela implique l'expression du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente de n'importe quel angle passant par la tangente d'un demi-angle. De plus, un tel remplacement est effectué de manière rationnelle, c'est-à-dire sans racines.

Tout d'abord, nous écrivons des formules exprimant le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente en fonction de la tangente d'un demi-angle. Ensuite, nous montrons la dérivation de ces formules. Et en conclusion, regardons plusieurs exemples d'utilisation de la substitution trigonométrique universelle.

Navigation dans les pages.

Sinus, cosinus, tangente et cotangente passant par la tangente d'un demi-angle

Commençons par écrire quatre formules exprimant le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle en fonction de la tangente d'un demi-angle.

Ces formules sont valables pour tous les angles auxquels les tangentes et cotangentes qu'elles contiennent sont définies :

Dérivation de formules

Analysons la dérivation des formules exprimant le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle passant par la tangente d'un demi-angle. Commençons par les formules du sinus et du cosinus.

Nous représentons le sinus et le cosinus en utilisant les formules d'angle double comme et respectivement. Maintenant les expressions et écrire sous forme de fractions avec le dénominateur 1 comme et . De plus, sur la base de l'identité trigonométrique principale, nous remplaçons les unités du dénominateur par la somme des carrés du sinus et du cosinus, après quoi nous obtenons et . Enfin, nous divisons le numérateur et le dénominateur des fractions résultantes par (sa valeur est différente de zéro, à condition que ). En conséquence, toute la chaîne d'actions ressemble à ceci:


et

Ceci termine la dérivation des formules exprimant le sinus et le cosinus passant par la tangente d'un demi-angle.

Il reste à dériver les formules de la tangente et de la cotangente. Maintenant, compte tenu des formules obtenues ci-dessus, et des formules et , on obtient immédiatement des formules exprimant la tangente et la cotangente passant par la tangente d'un demi-angle :

Ainsi, nous avons dérivé toutes les formules de la substitution trigonométrique universelle.

Exemples d'utilisation de la substitution trigonométrique universelle

Considérons d'abord un exemple d'utilisation de la substitution trigonométrique universelle lors de la conversion d'expressions.

Exemple.

Donner une expression à une expression contenant une seule fonction trigonométrique.

La solution.

Réponse:

.

Bibliographie.

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• Bashmakov M.I. Algèbre et début d'analyse : Proc. pour 10-11 cellules. moy. école - 3e éd. - M. : Lumières, 1993. - 351 p. : ill. - ISBN 5-09-004617-4.
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• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathématiques (un manuel pour les candidats aux écoles techniques): Proc. indemnité.- M.; Plus haut scolaire, 1984.-351 p., ill.

L'une des branches des mathématiques avec lesquelles les écoliers rencontrent le plus de difficultés est la trigonométrie. Pas étonnant: pour maîtriser librement ce domaine de connaissances, vous avez besoin d'une pensée spatiale, de la capacité de trouver des sinus, des cosinus, des tangentes, des cotangentes à l'aide de formules, de simplifier des expressions et de pouvoir utiliser le nombre pi dans les calculs. De plus, vous devez être capable d'appliquer la trigonométrie lors de la démonstration de théorèmes, ce qui nécessite soit une mémoire mathématique développée, soit la capacité de déduire des chaînes logiques complexes.

Origines de la trigonométrie

La connaissance de cette science devrait commencer par la définition du sinus, du cosinus et de la tangente de l'angle, mais vous devez d'abord comprendre ce que fait la trigonométrie en général.

Historiquement, les triangles rectangles ont été le principal objet d'étude dans cette section des sciences mathématiques. La présence d'un angle de 90 degrés permet d'effectuer diverses opérations permettant de déterminer les valeurs de tous les paramètres de la figure considérée en utilisant deux côtés et un angle ou deux angles et un côté. Dans le passé, les gens ont remarqué ce modèle et ont commencé à l'utiliser activement dans la construction de bâtiments, la navigation, l'astronomie et même l'art.

Première étape

Au départ, les gens parlaient de la relation des angles et des côtés exclusivement sur l'exemple des triangles rectangles. Ensuite, des formules spéciales ont été découvertes qui ont permis d'élargir les limites d'utilisation dans Vie courante cette branche des mathématiques.

L'étude de la trigonométrie à l'école commence aujourd'hui par les triangles rectangles, après quoi les connaissances acquises sont utilisées par les étudiants en physique et en résolution de problèmes abstraits. équations trigonométriques, travail avec lequel commence au lycée.

Trigonométrie sphérique

Plus tard, lorsque la science a atteint le niveau de développement suivant, les formules avec sinus, cosinus, tangente, cotangente ont commencé à être utilisées dans la géométrie sphérique, où d'autres règles s'appliquent, et la somme des angles dans un triangle est toujours supérieure à 180 degrés. Cette section n'est pas étudiée à l'école, mais il est nécessaire de connaître son existence, du moins parce que la surface de la Terre, et la surface de toute autre planète, est convexe, ce qui signifie que tout marquage de surface sera "en forme d'arc" dans espace tridimensionnel.

Prenez le globe et le fil. Attachez le fil à deux points quelconques du globe afin qu'il soit tendu. Faites attention - il a acquis la forme d'un arc. C'est avec de telles formes que traite la géométrie sphérique, qui est utilisée en géodésie, en astronomie et dans d'autres domaines théoriques et appliqués.

Triangle rectangle

Après avoir appris un peu les manières d'utiliser la trigonométrie, revenons à la trigonométrie de base afin de mieux comprendre ce que sont le sinus, le cosinus, la tangente, quels calculs peuvent être effectués avec leur aide et quelles formules utiliser.

Tout d'abord, il est nécessaire de comprendre les concepts liés à triangle rectangle. Premièrement, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle de 90 degrés. Elle est la plus longue. Rappelons que, selon le théorème de Pythagore, sa valeur numérique est égale à la racine de la somme des carrés des deux autres côtés.

Par exemple, si deux côtés mesurent respectivement 3 et 4 centimètres, la longueur de l'hypoténuse sera de 5 centimètres. Soit dit en passant, les anciens Égyptiens le savaient il y a environ quatre mille cinq cents ans.

Les deux côtés restants qui forment un angle droit sont appelés jambes. De plus, nous devons nous rappeler que la somme des angles d'un triangle dans un système de coordonnées rectangulaire est de 180 degrés.

Définition

Enfin, avec une solide compréhension de la base géométrique, nous pouvons nous tourner vers la définition du sinus, du cosinus et de la tangente d'un angle.

Le sinus d'un angle est le rapport de la jambe opposée (c'est-à-dire le côté opposé à l'angle souhaité) à l'hypoténuse. Le cosinus d'un angle est le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse.

N'oubliez pas que ni le sinus ni le cosinus ne peuvent être supérieurs à un ! Pourquoi? Parce que l'hypoténuse est par défaut la plus longue, quelle que soit la longueur de la jambe, elle sera plus courte que l'hypoténuse, ce qui signifie que leur rapport sera toujours inférieur à un. Ainsi, si vous obtenez un sinus ou un cosinus avec une valeur supérieure à 1 dans la réponse au problème, recherchez une erreur de calcul ou de raisonnement. Cette réponse est clairement fausse.

Enfin, la tangente d'un angle est le rapport du côté opposé au côté adjacent. Le même résultat donnera la division du sinus par le cosinus. Regardez: conformément à la formule, nous divisons la longueur du côté par l'hypoténuse, après quoi nous divisons par la longueur du deuxième côté et multiplions par l'hypoténuse. Ainsi, nous obtenons le même rapport que dans la définition de la tangente.

La cotangente, respectivement, est le rapport du côté adjacent au coin au côté opposé. On obtient le même résultat en divisant l'unité par la tangente.

Nous avons donc examiné les définitions de ce que sont le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente, et nous pouvons traiter des formules.

Les formules les plus simples

En trigonométrie, on ne peut pas se passer de formules - comment trouver sinus, cosinus, tangente, cotangente sans elles ? Et c'est exactement ce qu'il faut pour résoudre des problèmes.

La première formule que vous devez connaître lorsque vous commencez à étudier la trigonométrie dit que la somme des carrés du sinus et du cosinus d'un angle est égale à un. Cette formule est une conséquence directe du théorème de Pythagore, mais elle fait gagner du temps si vous voulez connaître la valeur de l'angle, pas le côté.

De nombreux élèves ne se souviennent pas de la deuxième formule, qui est également très populaire lors de la résolution de problèmes scolaires : la somme de un et le carré de la tangente d'un angle est égal à un divisé par le carré du cosinus de l'angle. Regardez de plus près: après tout, c'est la même affirmation que dans la première formule, seuls les deux côtés de l'identité ont été divisés par le carré du cosinus. Il s'avère qu'une simple opération mathématique rend la formule trigonométrique complètement méconnaissable. N'oubliez pas : connaissant ce qu'est un sinus, un cosinus, une tangente et une cotangente, les règles de conversion et quelques formules de base, vous pouvez à tout moment en déduire vous-même la plus formules complexes sur une feuille de papier.

Formules à double angle et ajout d'arguments

Deux autres formules que vous devez apprendre sont liées aux valeurs du sinus et du cosinus pour la somme et la différence des angles. Ils sont présentés dans la figure ci-dessous. Veuillez noter que dans le premier cas, le sinus et le cosinus sont multipliés les deux fois, et dans le second, le produit par paire du sinus et du cosinus est ajouté.

Il existe également des formules associées aux arguments à double angle. Ils sont complètement dérivés des précédents - en pratique, essayez de les obtenir vous-même en prenant l'angle alpha égal à l'angle bêta.

Enfin, notez que les formules à double angle peuvent être converties pour abaisser le degré de sinus, cosinus, tangente alpha.

Théorèmes

Les deux principaux théorèmes de la trigonométrie de base sont le théorème du sinus et le théorème du cosinus. À l'aide de ces théorèmes, vous pouvez facilement comprendre comment trouver le sinus, le cosinus et la tangente, et donc l'aire de la figure, et la taille de chaque côté, etc.

Le théorème des sinus stipule qu'en divisant la longueur de chacun des côtés du triangle par la valeur de l'angle opposé, on obtient le même numéro. De plus, ce nombre sera égal à deux rayons du cercle circonscrit, c'est-à-dire le cercle contenant tous les points du triangle donné.

Le théorème du cosinus généralise le théorème de Pythagore en le projetant sur n'importe quel triangle. Il s'avère que de la somme des carrés des deux côtés, soustrayez leur produit multiplié par le double cosinus de l'angle qui leur est adjacent - la valeur résultante sera égale au carré du troisième côté. Ainsi, le théorème de Pythagore s'avère être un cas particulier du théorème du cosinus.

Erreurs dues à l'inattention

Même en sachant ce que sont le sinus, le cosinus et la tangente, il est facile de faire une erreur due à une distraction ou à une erreur dans les calculs les plus simples. Pour éviter de telles erreurs, familiarisons-nous avec les plus populaires d'entre elles.

Tout d'abord, vous ne devez pas convertir les fractions ordinaires en décimales tant que le résultat final n'est pas obtenu - vous pouvez laisser la réponse sous la forme fraction communeà moins que la condition n'indique le contraire. Une telle transformation ne peut pas être qualifiée d'erreur, mais il convient de rappeler qu'à chaque étape du problème, de nouvelles racines peuvent apparaître, qui, selon l'idée de l'auteur, devraient être réduites. Dans ce cas, vous perdrez du temps en opérations mathématiques inutiles. Cela est particulièrement vrai pour des valeurs telles que la racine de trois ou deux, car elles apparaissent dans les tâches à chaque étape. Il en va de même pour arrondir les nombres "moches".

De plus, notez que le théorème du cosinus s'applique à n'importe quel triangle, mais pas le théorème de Pythagore ! Si vous oubliez par erreur de soustraire deux fois le produit des côtés multiplié par le cosinus de l'angle entre eux, vous obtiendrez non seulement un résultat complètement faux, mais démontrerez également une incompréhension complète du sujet. C'est pire qu'une erreur d'inattention.

Troisièmement, ne confondez pas les valeurs des angles de 30 et 60 degrés pour les sinus, cosinus, tangentes, cotangentes. Rappelez-vous ces valeurs, car le sinus de 30 degrés est égal au cosinus de 60, et vice versa. Il est facile de les mélanger, ce qui entraînera inévitablement un résultat erroné.

Application

De nombreux étudiants ne sont pas pressés de commencer à étudier la trigonométrie, car ils ne comprennent pas sa signification appliquée. Qu'est-ce que le sinus, le cosinus, la tangente pour un ingénieur ou un astronome ? Ce sont des concepts grâce auxquels vous pouvez calculer la distance aux étoiles lointaines, prédire la chute d'une météorite, envoyer une sonde de recherche sur une autre planète. Sans eux, il est impossible de construire un bâtiment, de concevoir une voiture, de calculer la charge sur la surface ou la trajectoire d'un objet. Et ce ne sont là que les exemples les plus évidents ! Après tout, la trigonométrie sous une forme ou une autre est utilisée partout, de la musique à la médecine.

Pour terminer

Donc vous êtes sinus, cosinus, tangente. Vous pouvez les utiliser dans des calculs et résoudre avec succès des problèmes scolaires.

Toute l'essence de la trigonométrie se résume au fait que des paramètres inconnus doivent être calculés à partir des paramètres connus du triangle. Il y a six paramètres au total : les longueurs trois partis et les dimensions des trois angles. Toute la différence dans les tâches réside dans le fait que différentes données d'entrée sont données.

Comment trouver le sinus, le cosinus, la tangente en fonction des longueurs connues des jambes ou de l'hypoténuse, vous savez maintenant. Puisque ces termes ne signifient rien de plus que le rapport et que le rapport est une fraction, objectif principal trouver les racines d'une équation ordinaire ou d'un système d'équations devient un problème trigonométrique. Et ici, vous serez aidé par les mathématiques de l'école ordinaire.

Les rapports entre les principales fonctions trigonométriques - sinus, cosinus, tangente et cotangente - sont donnés formules trigonométriques. Et comme il y a pas mal de liens entre les fonctions trigonométriques, cela explique aussi l'abondance des formules trigonométriques. Certaines formules relient les fonctions trigonométriques du même angle, d'autres - les fonctions d'un angle multiple, d'autres - vous permettent d'abaisser le degré, la quatrième - d'exprimer toutes les fonctions par la tangente d'un demi-angle, etc.

Dans cet article, nous listons dans l'ordre toutes les formules trigonométriques de base, qui suffisent à résoudre la grande majorité des problèmes de trigonométrie. Pour faciliter la mémorisation et l'utilisation, nous les regrouperons selon leur objectif et les saisirons dans des tableaux.

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Identités trigonométriques de base

Identités trigonométriques de base définir la relation entre le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle. Ils découlent de la définition du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente, ainsi que de la notion de cercle unité. Ils vous permettent d'exprimer une fonction trigonométrique à travers n'importe quelle autre.

Pour une description détaillée de ces formules de trigonométrie, leur dérivation et des exemples d'application, voir l'article.

Formules coulées

Formules coulées découlent des propriétés du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente, c'est-à-dire qu'ils reflètent la propriété de périodicité fonctions trigonométriques, la propriété de symétrie, ainsi que la propriété de décalage par angle donné. Ces formules trigonométriques vous permettent de passer d'un travail avec des angles arbitraires à un travail avec des angles allant de zéro à 90 degrés.

La raison d'être de ces formules, une règle mnémotechnique pour les mémoriser et des exemples de leur application peuvent être étudiés dans l'article.

Formules d'addition

Formules d'addition trigonométriques montrer comment les fonctions trigonométriques de la somme ou de la différence de deux angles sont exprimées en fonction des fonctions trigonométriques de ces angles. Ces formules servent de base à la dérivation des formules trigonométriques suivantes.

Formules pour double, triple, etc. angle

Formules pour double, triple, etc. angle (elles sont également appelées formules d'angles multiples) montrent comment les fonctions trigonométriques de double, triple, etc. les angles () sont exprimés en termes de fonctions trigonométriques d'un seul angle. Leur dérivation est basée sur des formules d'addition.

Des informations plus détaillées sont collectées dans les formules d'article pour le double, le triple, etc. angle .

Formules demi-angle

Formules demi-angle montrer comment les fonctions trigonométriques d'un demi-angle sont exprimées en fonction du cosinus d'un angle entier. Ces formules trigonométriques découlent des formules à double angle.

Leur conclusion et des exemples d'application se trouvent dans l'article.

Formules de réduction

Formules trigonométriques pour les degrés décroissants conçu pour faciliter la transition de degrés naturels fonctions trigonométriques en sinus et cosinus au premier degré, mais à angles multiples. En d'autres termes, ils permettent de réduire les puissances des fonctions trigonométriques à la première.

Formules pour la somme et la différence des fonctions trigonométriques

destination principale formules de somme et de différence pour les fonctions trigonométriques est de passer au produit de fonctions, ce qui est très utile pour simplifier expressions trigonométriques. Ces formules sont également largement utilisées dans la résolution d'équations trigonométriques, car elles permettent de factoriser la somme et la différence des sinus et des cosinus.

Formules pour le produit des sinus, cosinus et sinus par cosinus

Le passage du produit des fonctions trigonométriques à la somme ou à la différence s'effectue par les formules du produit des sinus, cosinus et sinus par cosinus.

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