Les notions de sinus (), cosinus (), tangente (), cotangente () sont inextricablement liées à la notion d'angle. Afin de bien comprendre ces concepts, à première vue complexes (qui provoquent un état d'horreur chez de nombreux écoliers), et pour s'assurer que « le diable n'est pas aussi terrible qu'on le peint », commençons par le tout début et comprendre le concept d’angle.

Notion d'angle : radian, degré

Regardons la photo. Le vecteur a « tourné » par rapport au point d’un certain montant. Donc la mesure de cette rotation par rapport à la position initiale sera coin.

Que devez-vous savoir d’autre sur le concept d’angle ? Eh bien, les unités d'angle, bien sûr !

L'angle, tant en géométrie qu'en trigonométrie, peut être mesuré en degrés et en radians.

L'angle (un degré) est l'angle au centre d'un cercle sous-tendu par un arc de cercle égal à une partie du cercle. Ainsi, le cercle entier est constitué de « morceaux » d’arcs de cercle, ou l’angle décrit par le cercle est égal.

Autrement dit, la figure ci-dessus montre un angle égal à, c'est-à-dire que cet angle repose sur un arc de cercle de la taille de la circonférence.

Un angle en radians est l'angle au centre d'un cercle sous-tendu par un arc de cercle dont la longueur est égale au rayon du cercle. Eh bien, avez-vous compris ? Sinon, comprenons-le à partir du dessin.

Ainsi, la figure montre un angle égal à un radian, c'est-à-dire que cet angle repose sur un arc de cercle dont la longueur est égale au rayon du cercle (la longueur est égale à la longueur ou le rayon est égal au longueur de l'arc). Ainsi, la longueur de l'arc est calculée par la formule :

Où est l’angle central en radians.

Eh bien, sachant cela, pouvez-vous répondre combien de radians sont contenus dans l’angle décrit par le cercle ? Oui, pour cela, vous devez vous rappeler la formule de la circonférence. Elle est là:

Eh bien, corrélons maintenant ces deux formules et constatons que l’angle décrit par le cercle est égal. Autrement dit, en corrélant la valeur en degrés et en radians, nous obtenons cela. Respectivement, . Comme vous pouvez le constater, contrairement à « degrés », le mot « radian » est omis, car l'unité de mesure ressort généralement clairement du contexte.

Combien y a-t-il de radians ? C'est exact!

J'ai compris? Alors allez-y et corrigez-le :

Vous rencontrez des difficultés ? Alors regarde réponses:

Triangle rectangle : sinus, cosinus, tangente, cotangente d'un angle

Nous avons donc compris le concept d'angle. Mais qu’est-ce que le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d’un angle ? Voyons cela. Pour ce faire, un triangle rectangle nous aidera.

Comment s'appellent les côtés ? triangle rectangle? C'est vrai, l'hypoténuse et les jambes : l'hypoténuse est le côté qui se trouve à l'opposé de l'angle droit (dans notre exemple c'est le côté) ; les jambes sont les deux côtés restants et (ceux adjacents à angle droit), et, si l'on considère les jambes par rapport à l'angle, alors la jambe est la jambe adjacente et la jambe est l'opposée. Alors maintenant, répondons à la question : que sont le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d’un angle ?

Sinus d'angle- c'est le rapport de la jambe opposée (éloignée) à l'hypoténuse.

Dans notre triangle.

Cosinus de l'angle- c'est le rapport entre la jambe adjacente (fermée) et l'hypoténuse.

Dans notre triangle.

Tangente de l'angle- c'est le rapport du côté opposé (éloigné) au côté adjacent (proche).

Dans notre triangle.

Cotangente d'angle- c'est le rapport entre la jambe adjacente (proche) et la jambe opposée (éloignée).

Dans notre triangle.

Ces définitions sont nécessaires souviens-toi! Pour qu'il soit plus facile de se rappeler quelle jambe diviser en quoi, vous devez clairement comprendre que dans tangente Et cotangente seules les jambes sont assises et l'hypoténuse n'apparaît que dans sinus Et cosinus. Et puis vous pouvez créer une chaîne d’associations. Par exemple, celui-ci :

Cosinus → toucher → toucher → adjacent ;

Cotangente → toucher → toucher → adjacent.

Tout d'abord, vous devez vous rappeler que le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente, comme les rapports des côtés d'un triangle, ne dépendent pas des longueurs de ces côtés (au même angle). Ne crois pas? Assurez-vous ensuite en regardant la photo :

Prenons par exemple le cosinus d’un angle. Par définition, à partir d'un triangle : , mais on peut calculer le cosinus d'un angle à partir d'un triangle : . Vous voyez, les longueurs des côtés sont différentes, mais la valeur du cosinus d'un angle est la même. Ainsi, les valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente dépendent uniquement de la grandeur de l'angle.

Si vous comprenez les définitions, alors allez-y et consolidez-les !

Pour le triangle représenté dans la figure ci-dessous, nous trouvons.

Eh bien, tu l'as eu ? Alors essayez-le vous-même : calculez la même chose pour l’angle.

Cercle unitaire (trigonométrique)

Comprenant les notions de degrés et de radians, nous avons considéré un cercle de rayon égal à. Un tel cercle s'appelle célibataire. Ce sera très utile lors de l’étude de la trigonométrie. Par conséquent, regardons-le un peu plus en détail.

Comme vous pouvez le voir, ce cercle est construit dans le système de coordonnées cartésiennes. Le rayon du cercle est égal à un, tandis que le centre du cercle se trouve à l'origine des coordonnées, la position initiale du vecteur rayon est fixée le long de la direction positive de l'axe (dans notre exemple, il s'agit du rayon).

Chaque point du cercle correspond à deux nombres : la coordonnée de l'axe et la coordonnée de l'axe. Quels sont ces numéros de coordonnées ? Et de manière générale, qu’ont-ils à voir avec le sujet abordé ? Pour ce faire, nous devons nous souvenir du triangle rectangle considéré. Dans la figure ci-dessus, vous pouvez voir deux triangles rectangles entiers. Considérons un triangle. Il est rectangulaire car perpendiculaire à l’axe.

A quoi est égal le triangle ? C'est exact. De plus, nous savons qu’il s’agit du rayon du cercle unité, ce qui signifie . Remplaçons cette valeur dans notre formule du cosinus. Voici ce qui se passe :

A quoi est égal le triangle ? Oui bien sur, ! Remplacez la valeur du rayon dans cette formule et obtenez :

Alors, pouvez-vous dire quelles sont les coordonnées d’un point appartenant à un cercle ? Eh bien, pas question ? Et si vous vous rendiez compte de cela et que vous n’étiez que des chiffres ? A quelle coordonnée correspond-il ? Et bien sûr, les coordonnées ! Et à quelle coordonnée correspond-elle ? C'est vrai, les coordonnées ! Donc point final.

À quoi valent donc et sont égaux ? C'est vrai, utilisons les définitions correspondantes de tangente et de cotangente et obtenons cela, a.

Et si l'angle est plus grand ? Par exemple, comme sur cette photo :

Qu'est-ce qui a changé dans dans cet exemple? Voyons cela. Pour ce faire, revenons à un triangle rectangle. Considérons un triangle rectangle : angle (comme adjacent à un angle). Quelles sont les valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente pour un angle ? C'est vrai, nous adhérons aux définitions correspondantes des fonctions trigonométriques :

Eh bien, comme vous pouvez le constater, la valeur du sinus de l'angle correspond toujours à la coordonnée ; la valeur du cosinus de l'angle - la coordonnée ; et les valeurs de tangente et de cotangente aux rapports correspondants. Ainsi, ces relations s’appliquent à toute rotation du rayon vecteur.

Il a déjà été mentionné que la position initiale du rayon vecteur se situe dans la direction positive de l’axe. Jusqu’à présent, nous avons fait pivoter ce vecteur dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, mais que se passe-t-il si nous le faisons pivoter dans le sens des aiguilles d’une montre ? Rien d'extraordinaire, vous obtiendrez aussi un angle d'une certaine valeur, mais seulement il sera négatif. Ainsi, en faisant tourner le rayon vecteur dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, nous obtenons angles positifs, et en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre - négatif.

Ainsi, nous savons qu’une révolution entière du rayon vecteur autour d’un cercle est ou. Est-il possible de faire pivoter le rayon vecteur vers ou vers ? Bien sûr que tu peux! Dans le premier cas, le rayon vecteur fera donc un tour complet et s'arrêtera en position ou.

Dans le deuxième cas, c'est-à-dire que le rayon vecteur fera trois tours complets et s'arrêtera en position ou.

Ainsi, à partir des exemples ci-dessus, nous pouvons conclure que les angles qui diffèrent par ou (où est un nombre entier) correspondent à la même position du rayon vecteur.

La figure ci-dessous montre un angle. La même image correspond au coin, etc. Cette liste peut être poursuivie indéfiniment. Tous ces angles peuvent être écrits par la formule générale ou (où est un nombre entier)

Maintenant, connaissant les définitions des fonctions trigonométriques de base et en utilisant le cercle unité, essayez de répondre quelles sont les valeurs :

Voici un cercle unitaire pour vous aider :

Vous rencontrez des difficultés ? Alors découvrons-le. Nous savons donc que :

A partir de là, on détermine les coordonnées des points correspondant à certaines mesures d'angle. Bon, commençons dans l'ordre : l'angle à correspond à un point avec des coordonnées, donc :

N'existe pas;

De plus, en adhérant à la même logique, nous découvrons que les coins correspondent respectivement à des points avec des coordonnées. Sachant cela, il est facile de déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques aux points correspondants. Essayez-le vous-même d'abord, puis vérifiez les réponses.

Réponses:

N'existe pas

N'existe pas

N'existe pas

N'existe pas

Ainsi, nous pouvons faire le tableau suivant :

Il n’est pas nécessaire de mémoriser toutes ces valeurs. Il suffit de rappeler la correspondance entre les coordonnées des points sur le cercle unité et les valeurs des fonctions trigonométriques :

Mais les valeurs des fonctions trigonométriques des angles dans et, données dans le tableau ci-dessous, il faut se souvenir:

N'ayez pas peur, nous allons maintenant vous montrer un exemple assez simple pour retenir les valeurs correspondantes:

Pour utiliser cette méthode, il est essentiel de mémoriser les valeurs du sinus pour les trois mesures d'angle (), ainsi que la valeur de la tangente de l'angle. Connaissant ces valeurs, il est assez simple de restituer l'intégralité du tableau - les valeurs du cosinus sont transférées conformément aux flèches, soit :

Sachant cela, vous pouvez restaurer les valeurs de. Le numérateur " " correspondra et le dénominateur " " correspondra. Les valeurs cotangentes sont transférées conformément aux flèches indiquées sur la figure. Si vous comprenez cela et que vous vous souvenez du diagramme avec les flèches, il suffira alors de mémoriser toutes les valeurs du tableau.

Coordonnées d'un point sur un cercle

Est-il possible de trouver un point (ses coordonnées) sur un cercle, connaître les coordonnées du centre du cercle, son rayon et son angle de rotation?

Bien sûr que tu peux! Sortons-le formule générale trouver les coordonnées d'un point.

Par exemple, voici un cercle devant nous :

On nous dit que le point est le centre du cercle. Le rayon du cercle est égal. Il faut trouver les coordonnées d'un point obtenues en faisant pivoter le point de degrés.

Comme le montre la figure, la coordonnée du point correspond à la longueur du segment. La longueur du segment correspond à la coordonnée du centre du cercle, c'est-à-dire qu'elle est égale. La longueur d'un segment peut être exprimée en utilisant la définition du cosinus :

Ensuite, nous avons cela pour la coordonnée du point.

En utilisant la même logique, nous trouvons la valeur de coordonnée y du point. Ainsi,

Alors, dans vue générale les coordonnées des points sont déterminées par les formules :

Coordonnées du centre du cercle,

Rayon du cercle,

L'angle de rotation du rayon vectoriel.

Comme vous pouvez le constater, pour le cercle unité que nous considérons, ces formules sont considérablement réduites, puisque les coordonnées du centre sont égales à zéro et le rayon est égal à un :

Eh bien, essayons ces formules en nous entraînant à trouver des points sur un cercle ?

1. Trouvez les coordonnées d'un point sur le cercle unité obtenu en faisant pivoter le point.

2. Trouvez les coordonnées d'un point sur le cercle unité obtenu en faisant pivoter le point.

3. Trouvez les coordonnées d'un point sur le cercle unité obtenu en faisant pivoter le point.

4. Le point est le centre du cercle. Le rayon du cercle est égal. Il faut retrouver les coordonnées du point obtenu en faisant tourner le rayon vecteur initial de.

5. Le point est le centre du cercle. Le rayon du cercle est égal. Il faut retrouver les coordonnées du point obtenu en faisant tourner le rayon vecteur initial de.

Vous avez du mal à trouver les coordonnées d'un point sur un cercle ?

Résolvez ces cinq exemples (ou apprenez à les résoudre) et vous apprendrez à les trouver !

1.

Vous pouvez le remarquer. Mais on sait ce qui correspond à une révolution complète du point de départ. Ainsi, le point souhaité sera dans la même position que lors du virage. Sachant cela, on trouve les coordonnées recherchées du point :

2. Le cercle unité est centré en un point, ce qui signifie que nous pouvons utiliser des formules simplifiées :

Vous pouvez le remarquer. On sait ce qui correspond à deux tours complets du point de départ. Ainsi, le point souhaité sera dans la même position que lors du virage. Sachant cela, on trouve les coordonnées recherchées du point :

Le sinus et le cosinus sont des valeurs de tableau. Nous rappelons leurs significations et obtenons :

Ainsi, le point souhaité possède des coordonnées.

3. Le cercle unité est centré en un point, ce qui signifie que nous pouvons utiliser des formules simplifiées :

Vous pouvez le remarquer. Représentons l'exemple en question dans la figure :

Le rayon fait des angles égaux à et avec l'axe. Sachant que les valeurs du tableau du cosinus et du sinus sont égales, et ayant déterminé que le cosinus prend ici Sens négatif, et le sinus est positif, on a :

De tels exemples sont discutés plus en détail lors de l'étude des formules de réduction des fonctions trigonométriques dans le sujet.

Ainsi, le point souhaité possède des coordonnées.

4.

Angle de rotation du rayon du vecteur (par condition)

Pour déterminer les signes correspondants du sinus et du cosinus, nous construisons un cercle et un angle unitaires :

Comme vous pouvez le voir, la valeur est positive et la valeur est négative. Connaissant les valeurs tabulaires des fonctions trigonométriques correspondantes, on obtient que :

Remplaçons les valeurs obtenues dans notre formule et trouvons les coordonnées :

Ainsi, le point souhaité possède des coordonnées.

5. Pour résoudre ce problème, nous utilisons des formules sous forme générale, où

Coordonnées du centre du cercle (dans notre exemple,

Rayon du cercle (par condition)

Angle de rotation du rayon du vecteur (par condition).

Remplaçons toutes les valeurs dans la formule et obtenons :

et - les valeurs du tableau. Rappelons-les et substituons-les dans la formule :

Ainsi, le point souhaité possède des coordonnées.

RÉSUMÉ ET FORMULES DE BASE

Le sinus d'un angle est le rapport entre la jambe opposée (lointaine) et l'hypoténuse.

Le cosinus d'un angle est le rapport entre la jambe adjacente (fermée) et l'hypoténuse.

La tangente d'un angle est le rapport entre le côté opposé (éloigné) et le côté adjacent (proche).

La cotangente d'un angle est le rapport entre le côté adjacent (proche) et le côté opposé (éloigné).

Je n'essaierai pas de vous convaincre de ne pas rédiger d'aide-mémoire. Écrire! Y compris des aide-mémoire sur la trigonométrie. Plus tard, j'ai l'intention d'expliquer pourquoi les aide-mémoire sont nécessaires et pourquoi les aide-mémoire sont utiles. Et voici des informations sur la façon de ne pas apprendre, mais de mémoriser quelques formules trigonométriques. Donc - la trigonométrie sans aide-mémoire ! Nous utilisons des associations pour la mémorisation.

1. Formules d'addition :

Les cosinus « viennent toujours par paires » : cosinus-cosinus, sinus-sinus. Et encore une chose : les cosinus sont « inadéquats ». « Tout ne va pas » pour eux, alors ils changent les signes : « - » en « + », et vice versa.

Sinus – « mélanger »: sinus-cosinus, cosinus-sinus.

2. Formules de somme et de différence :

les cosinus « viennent toujours par paires ». En ajoutant deux cosinus - « koloboks », nous obtenons une paire de cosinus - « koloboks ». Et en soustrayant, nous n'obtiendrons certainement pas de koloboks. Nous obtenons quelques sinus. Aussi avec un moins à venir.

Sinus – « mélanger » :

3. Formules pour convertir un produit en somme et différence.

Quand obtenons-nous une paire de cosinus ? Quand on ajoute des cosinus. C'est pourquoi

Quand avons-nous quelques sinus ? Lors de la soustraction des cosinus. D'ici:

Le « mélange » est obtenu à la fois en ajoutant et en soustrayant des sinus. Quoi de plus amusant : ajouter ou soustraire ? C'est vrai, pliez-vous. Et pour la formule ils prennent l'addition :

Dans les première et troisième formules, la somme est entre parenthèses. Réorganiser les places des termes ne change pas la somme. L'ordre n'est important que pour la deuxième formule. Mais, pour ne pas se tromper, pour faciliter la mémorisation, dans les trois formules des premières parenthèses, nous prenons la différence

et deuxièmement - le montant

Des aide-mémoire dans votre poche vous permettent d'avoir l'esprit tranquille : si vous oubliez la formule, vous pouvez la copier. Et ils vous donnent confiance : si vous n'utilisez pas l'aide-mémoire, vous pouvez facilement mémoriser les formules.

Exemples:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0,416…\)

Argument et signification

Cosinus d'un angle aigu

Cosinus d'un angle aigu peut être déterminé à l'aide d'un triangle rectangle - il est égal au rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse.

Exemple :

1) Soit un angle donné et nous devons déterminer le cosinus de cet angle.

2) Complétons n’importe quel triangle rectangle sur cet angle.

3) Après avoir mesuré les côtés requis, nous pouvons calculer le cosinus.

Cosinus d'un nombre

Le cercle numérique vous permet de déterminer le cosinus de n'importe quel nombre, mais vous trouvez généralement le cosinus des nombres lié d'une manière ou d'une autre à : \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

Par exemple, pour le nombre \(\frac(π)(6)\) - le cosinus sera égal à \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . Et pour le nombre \(-\)\(\frac(3π)(4)\) il sera égal à \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (environ \ (-0,71\)).

Pour le cosinus d'autres nombres souvent rencontrés dans la pratique, voir.

La valeur du cosinus est toujours comprise entre \(-1\) et \(1\). Dans ce cas, le cosinus peut être calculé pour absolument n'importe quel angle et n'importe quel nombre.

Cosinus de n'importe quel angle

Grâce au cercle numérique, vous pouvez déterminer le cosinus non seulement angle aigu, mais aussi brutal, négatif et même supérieur à \(360°\) (révolution complète). Comment faire cela est plus facile à voir une fois qu'à entendre \(100\) fois, alors regardez l'image.

Maintenant une explication : supposons que nous devions déterminer le cosinus de l'angle KOA avec une mesure de degré en \(150°\). Combiner le point À PROPOS avec le centre du cercle et le côté D'ACCORD– avec l’axe \(x\). Après cela, réservez \(150°\) dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Puis l'ordonnée du point UN va nous montrer le cosinus de cet angle.

Si l'on s'intéresse à un angle avec une mesure en degré, par exemple en \(-60°\) (angle KOV), faites de même, mais réglez \(60°\) dans le sens des aiguilles d'une montre.

Et enfin, l'angle est supérieur à \(360°\) (angle CBS) - tout est semblable au stupide, seulement après avoir fait un tour complet dans le sens des aiguilles d'une montre, nous passons au deuxième cercle et "obtenons le manque de degrés". Plus précisément, dans notre cas, l'angle \(405°\) est tracé comme \(360° + 45°\).

Il est facile de deviner que pour tracer un angle, par exemple en \(960°\), il faut faire deux tours (\(360°+360°+240°\)), et pour un angle en \(2640 °\) - sept entiers.

Comme vous pourriez le remplacer, le cosinus d’un nombre et le cosinus d’un angle arbitraire sont définis presque de la même manière. Seule la façon dont le point est trouvé sur le cercle change.

Signes cosinus par quarts

À l'aide de l'axe des cosinus (c'est-à-dire l'axe des abscisses, surligné en rouge sur la figure), il est facile de déterminer les signes des cosinus le long du cercle numérique (trigonométrique) :

Là où les valeurs sur l'axe vont de \(0\) à \(1\), le cosinus aura un signe plus (quarts I et IV - zone verte),
- où les valeurs sur l'axe vont de \(0\) à \(-1\), le cosinus aura un signe moins (quarts II et III - zone violette).

Relation avec d'autres fonctions trigonométriques :

- le même angle (ou nombre) : l'identité trigonométrique de base \(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
- le même angle (ou nombre) : par la formule \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac(1)(\cos^2⁡x)\)
- et le sinus de même angle (ou nombre) : la formule \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sin⁡x)\)
Pour les autres formules les plus couramment utilisées, voir.

Solution de l'équation \(\cos⁡x=a\)

La solution de l'équation \(\cos⁡x=a\), où \(a\) est un nombre non supérieur à \(1\) et non inférieur à \(-1\), c'est-à-dire \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)

Si \(a>1\) ou \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

Exemple . Résolvez l'équation trigonométrique \(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\.
Solution:

Résolvons l'équation en utilisant le cercle numérique. Pour ça:
1) Construisons les axes.
2) Construisons un cercle.
3) Sur l'axe cosinus (axe \(y\)) marquez le point \(\frac(1)(2)\) .
4) Tracez une perpendiculaire à l’axe du cosinus passant par ce point.
5) Marquez les points d'intersection de la perpendiculaire et du cercle.
6) Signons les valeurs de ces points : \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) Notons toutes les valeurs correspondant à ces points à l'aide de la formule \(x=t+2πk\), \(k∈Z\) :
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);

Répondre: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)

Fonction \(y=\cos(x)\)

Si l'on trace les angles en radians le long de l'axe \(x\), et les valeurs de cosinus correspondant à ces angles le long de l'axe \(y\), on obtient le graphique suivant :

Ce graphe est appelé et possède les propriétés suivantes :

Le domaine de définition est n'importe quelle valeur de x : \(D(\cos(⁡x))=R\)
- plage de valeurs – de \(-1\) à \(1\) inclus : \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- même : \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- périodique de période \(2π\) : \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- points d'intersection avec les axes de coordonnées :
axe des abscisses : \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), où \(n ϵ Z\)
Axe Y : \((0;1)\)
- intervalles de constance de signe :
la fonction est positive sur les intervalles : \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), où \(n ϵ Z\)
la fonction est négative sur les intervalles : \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), où \(n ϵ Z\)
- intervalles d'augmentation et de diminution :
la fonction augmente sur les intervalles : \((π+2πn;2π+2πn)\), où \(n ϵ Z\)
la fonction décroît sur les intervalles : \((2πn;π+2πn)\), où \(n ϵ Z\)
- les maximums et les minimums de la fonction :
la fonction a une valeur maximale \(y=1\) aux points \(x=2πn\), où \(n ϵ Z\)
la fonction a une valeur minimale \(y=-1\) aux points \(x=π+2πn\), où \(n ϵ Z\).

Dans cet article, nous allons jeter un regard complet. Les identités trigonométriques de base sont des égalités qui établissent une connexion entre le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle, et permettent de trouver l'une de ces fonctions trigonométriques à travers un autre connu.

Listons immédiatement les principales identités trigonométriques que nous analyserons dans cet article. Écrivons-les dans un tableau, et ci-dessous nous donnerons le résultat de ces formules et fournirons les explications nécessaires.

Navigation dans les pages.

Relation entre le sinus et le cosinus d'un angle

Parfois, ils ne parlent pas des principales identités trigonométriques énumérées dans le tableau ci-dessus, mais d'une seule. identité trigonométrique de base taper . L'explication de ce fait est assez simple : les égalités sont obtenues à partir de l'identité trigonométrique principale après avoir divisé ses deux parties par et, respectivement, et les égalités Et découlent des définitions du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente. Nous en parlerons plus en détail dans les paragraphes suivants.

C'est-à-dire que c'est l'égalité qui présente un intérêt particulier, à laquelle on a donné le nom d'identité trigonométrique principale.

Avant de prouver l'identité trigonométrique principale, donnons sa formulation : la somme des carrés du sinus et du cosinus d'un angle est identiquement égale à un. Maintenant, prouvons-le.

L'identité trigonométrique de base est très souvent utilisée lorsque conversion d'expressions trigonométriques. Il permet de remplacer la somme des carrés du sinus et du cosinus d'un angle par un. Non moins souvent, l'identité trigonométrique de base est utilisée dans l'ordre inverse : l'unité est remplacée par la somme des carrés du sinus et du cosinus de n'importe quel angle.

Tangente et cotangente par sinus et cosinus

Identités reliant la tangente et la cotangente au sinus et au cosinus d'un angle de vue et découlent immédiatement des définitions du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente. En effet, par définition, le sinus est l'ordonnée de y, le cosinus est l'abscisse de x, la tangente est le rapport de l'ordonnée à l'abscisse, soit , et la cotangente est le rapport de l'abscisse à l'ordonnée, c'est-à-dire .

Grâce à une telle évidence des identités et La tangente et la cotangente sont souvent définies non pas par le rapport de l'abscisse et de l'ordonnée, mais par le rapport du sinus et du cosinus. Ainsi, la tangente d'un angle est le rapport du sinus au cosinus de cet angle, et la cotangente est le rapport du cosinus au sinus.

En conclusion de ce paragraphe, il convient de noter que les identités et avoir lieu pour tous les angles sous lesquels les fonctions trigonométriques qu'ils contiennent ont un sens. Donc la formule est valable pour tout autre que (sinon le dénominateur aura zéro, et nous n'avons pas défini la division par zéro), et la formule - pour tout , différent de , où z est quelconque .

Relation entre tangente et cotangente

Une identité trigonométrique encore plus évidente que les deux précédentes est l'identité reliant la tangente et la cotangente d'un angle de la forme . Il est clair que cela est valable pour tous les angles autres que , sinon la tangente ou la cotangente ne sont pas définies.

Preuve de la formule très simple. Par définition et d'où . La preuve aurait pu être réalisée un peu différemment. Depuis , Que .

Ainsi, la tangente et la cotangente du même angle sous lequel elles ont un sens sont .

Tableau des valeurs des fonctions trigonométriques

Note. Ce tableau de valeurs de fonctions trigonométriques utilise le signe √ pour représenter la racine carrée. Pour indiquer une fraction, utilisez le symbole "/".

voir également matériel utile :

Pour déterminer la valeur d'une fonction trigonométrique, trouvez-le à l'intersection de la ligne indiquant la fonction trigonométrique. Par exemple, sinus 30 degrés - nous recherchons la colonne avec le titre sin (sinus) et trouvons l'intersection de cette colonne du tableau avec la ligne "30 degrés", à leur intersection nous lisons le résultat - une moitié. De même on retrouve cosinus 60 degrés, sinus 60 degrés (encore une fois, à l'intersection de la colonne sin et de la ligne des 60 degrés on trouve la valeur sin 60 = √3/2), etc. Les valeurs des sinus, cosinus et tangentes d'autres angles « populaires » se trouvent de la même manière.

Sinus pi, cosinus pi, tangente pi et autres angles en radians

Le tableau ci-dessous des cosinus, sinus et tangentes convient également pour trouver la valeur des fonctions trigonométriques dont l'argument est donné en radians. Pour ce faire, utilisez la deuxième colonne de valeurs d'angle. Grâce à cela, vous pouvez convertir la valeur des angles populaires de degrés en radians. Par exemple, trouvons l'angle de 60 degrés sur la première ligne et lisons sa valeur en radians en dessous. 60 degrés équivaut à π/3 radians.

Le nombre pi exprime sans ambiguïté la dépendance de la circonférence par rapport à la mesure en degré de l'angle. Ainsi, pi radians est égal à 180 degrés.

Tout nombre exprimé en pi (radians) peut être facilement converti en degrés en remplaçant pi (π) par 180..

Exemples:
1. Sinus pi.
péché π = péché 180 = 0
ainsi, le sinus de pi est le même que le sinus de 180 degrés et il est égal à zéro.

2. Cosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
ainsi, le cosinus de pi est le même que le cosinus de 180 degrés et il est égal à moins un.

3. Tangente pi
tg π = tg 180 = 0
ainsi, la tangente pi est la même que la tangente 180 degrés et elle est égale à zéro.

Tableau des valeurs sinus, cosinus et tangentes pour les angles 0 - 360 degrés (valeurs communes)

valeur de l'angle α (degrés)	valeur de l'angle α en radians (via pi)	péché (sinus)	parce que (cosinus)	tg (tangente)	CTG (cotangente)	seconde (sécante)	cosec (cosécante)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Si dans le tableau des valeurs des fonctions trigonométriques un tiret est indiqué à la place de la valeur de la fonction (tangente (tg) 90 degrés, cotangente (ctg) 180 degrés), alors pour une valeur donnée du degré mesure de l'angle la fonction n'a pas de valeur spécifique. S'il n'y a pas de tiret, la cellule est vide, ce qui signifie que nous n'avons pas encore saisi la valeur requise. Nous sommes intéressés par les requêtes que les utilisateurs nous contactent et complètent le tableau avec de nouvelles valeurs, malgré le fait que les données actuelles sur les valeurs des cosinus, des sinus et des tangentes des valeurs d'angle les plus courantes sont tout à fait suffisantes pour résoudre la plupart problèmes.

Tableau des valeurs des fonctions trigonométriques sin, cos, tg pour les angles les plus courants
0, 15, 30, 45, 60, 90... 360 degrés
(valeurs numériques « selon les tables Bradis »)

valeur de l'angle α (degrés)	valeur de l'angle α en radians	péché (sinus)	cos (cosinus)	tg (tangente)	ctg (cotangente)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
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