Qu'est-ce qu'une fonction et sa formule générale. Concepts de base et propriétés des fonctions

14.10.2019

Collecte et utilisation des informations personnelles

Les informations personnelles font référence aux données qui peuvent être utilisées pour identifier ou contacter une personne spécifique.

Il peut vous être demandé de fournir vos informations personnelles à tout moment lorsque vous nous contactez.

Vous trouverez ci-dessous quelques exemples des types d'informations personnelles que nous pouvons collecter et de la manière dont nous pouvons utiliser ces informations.

Quelles informations personnelles collectons-nous :

Lorsque vous soumettez une candidature sur le site, nous pouvons collecter diverses informations, notamment votre nom, votre numéro de téléphone, votre adresse e-mail, etc.

Comment utilisons-nous vos informations personnelles:

Les informations personnelles que nous collectons nous permettent de vous contacter avec des offres uniques, des promotions et d'autres événements et événements à venir.
De temps en temps, nous pouvons utiliser vos informations personnelles pour envoyer des notifications et des communications importantes.
Nous pouvons également utiliser les informations personnelles à des fins internes, telles que la réalisation d'audits, d'analyses de données et diverses recherches afin d'améliorer les services que nous fournissons et de vous fournir des recommandations concernant nos services.
Si vous participez à un tirage au sort, un concours ou une promotion similaire, nous pouvons utiliser les informations que vous fournissez pour administrer ces programmes.

Divulgation d'informations à des tiers

Nous ne divulguons pas les informations reçues de votre part à des tiers.

Des exceptions:

Si nécessaire, conformément à la loi, procédure judiciaire, dans le cadre de procédures judiciaires et/ou sur la base de demandes publiques ou de demandes d'agences gouvernementales de la Fédération de Russie - pour divulguer vos informations personnelles. Nous pouvons également divulguer des informations vous concernant si nous déterminons qu'une telle divulgation est nécessaire ou appropriée à des fins de sécurité, d'application de la loi ou à d'autres fins d'importance publique.
En cas de réorganisation, de fusion ou de vente, nous pouvons transférer les informations personnelles que nous collectons au tiers successeur concerné.

Protection des informations personnelles

Nous prenons des précautions - notamment administratives, techniques et physiques - pour protéger vos informations personnelles contre la perte, le vol et l'utilisation abusive, ainsi que contre l'accès, la divulgation, l'altération et la destruction non autorisés.

Respecter votre vie privée au niveau de l'entreprise

Pour garantir la sécurité de vos informations personnelles, nous communiquons les normes de confidentialité et de sécurité à nos employés et appliquons strictement les pratiques de confidentialité.

La section contient du matériel de référence sur les principales fonctions élémentaires et leurs propriétés. Le classement est donné fonctions élémentaires. Vous trouverez ci-dessous des liens vers des sous-sections qui traitent des propriétés de fonctions spécifiques : graphiques, formules, dérivées, primitives (intégrales), développements en séries, expressions via des variables complexes.

Pages de référence pour les fonctions de base

Classification des fonctions élémentaires

Fonction algébrique est une fonction qui satisfait l'équation :
,
où est un polynôme dans la variable dépendante y et la variable indépendante x. On peut l'écrire ainsi :
,
où sont les polynômes.

Les fonctions algébriques sont divisées en polynômes (fonctions rationnelles entières), fonctions rationnelles et fonctions irrationnelles.

Fonction rationnelle entière, qu'on appelle aussi polynôme ou polynôme, est obtenu à partir de la variable x et d'un nombre fini de nombres en utilisant opérations arithmétiques addition (soustraction) et multiplication. Après avoir ouvert les parenthèses, le polynôme est réduit à la forme canonique :
.

Fonction rationnelle fractionnaire, ou simplement fonction rationnelle, est obtenu à partir de la variable x et d'un nombre fini de nombres en utilisant les opérations arithmétiques d'addition (soustraction), de multiplication et de division. La fonction rationnelle peut être réduite à la forme
,
où et sont des polynômes.

Fonction irrationnelle est une fonction algébrique qui n'est pas rationnelle. En règle générale, par fonction irrationnelle, on entend les racines et leurs compositions avec des fonctions rationnelles. Une racine de degré n est définie comme la solution de l'équation
.
Il est désigné comme suit :
.

Fonctions transcendantales sont appelées fonctions non algébriques. Ce sont des fonctions exponentielles, trigonométriques, hyperboliques et leurs fonctions inverses.

Aperçu des fonctions élémentaires de base

Toutes les fonctions élémentaires peuvent être représentées comme un nombre fini d'opérations d'addition, de soustraction, de multiplication et de division effectuées sur une expression de la forme :
zt.
Les fonctions inverses peuvent également être exprimées en termes de logarithmes. Les fonctions élémentaires de base sont listées ci-dessous.

Fonction de puissance :
y(x) = x p ,
où p est l'exposant. Cela dépend de la base du degré x.
L’inverse de la fonction puissance est également la fonction puissance :
.
Pour une valeur entière non négative de l'exposant p, c'est un polynôme. Pour une valeur entière p - une fonction rationnelle. Avec un sens rationnel - une fonction irrationnelle.

Fonctions transcendantales

Fonction exponentielle :
y(x) = une x ,
où a est la base du diplôme. Cela dépend de l'exposant x.
La fonction inverse est le logarithme pour baser a :
X = Connectez-vous un y.

Exposant, e à la puissance x :
y(x) = ex,
Il s'agit d'une fonction exponentielle dont la dérivée est égale à la fonction elle-même :
.
La base de l'exposant est le nombre e :
≈ 2,718281828459045... .
La fonction inverse est le logarithme népérien - le logarithme à la base du nombre e :
X = ln y ≡ log e y.

Fonctions trigonométriques:
Sinus : ;
Cosinus : ;
Tangente : ;
Cotangente : ;
Ici, i est l'unité imaginaire, i 2 = -1.

Fonctions trigonométriques inverses :
Arc sinus : x = arcsin y, ;
Arc cosinus : x = arccos et, ;
Arctangente : x = arctan y, ;
Arc tangent : x = arcctg y, .

Pour comprendre ce sujet, considérons une fonction représentée sur un graphique // Montrons comment le graphique d'une fonction permet de déterminer ses propriétés.

Regardons les propriétés d'une fonction à l'aide d'un exemple

Le domaine de définition de la fonction est portée [ 3,5 ; 5.5].

La plage de valeurs de la fonction est envergure [ 1 ; 3].

1. À x = -3, x = - 1, x = 1,5, x = 4,5, la valeur de la fonction est nulle.

La valeur de l'argument à laquelle la valeur de la fonction est nulle est appelée fonction zéro.

//ceux. pour cette fonction, les nombres sont -3 ; -1 ; 1,5 ; 4,5 sont des zéros.

2. À intervalles [ 4,5 ; 3) et (1 ; 1.5) et (4.5 ; 5.5] le graphique de la fonction f est situé au dessus de l'axe des abscisses, et dans les intervalles (-3 ; -1) et (1.5 ; 4.5) en dessous de l'axe des abscisses, il ça s'explique comme ça -à intervalles[ 4,5 ; 3) et (1 ; 1.5) et (4.5 ;5.5] la fonction prend valeurs positives, et sur les intervalles (-3 ; -1) et (1,5 ; 4,5) sont négatifs.

Chacun des intervalles indiqués (où la fonction prend des valeurs du même signe) est appelé l'intervalle de signe constant de la fonction f.//c'est-à-dire par exemple, si l'on prend l'intervalle (0 ; 3), alors ce n'est pas un intervalle de signe constant de cette fonction.

En mathématiques, lors de la recherche d'intervalles de signe constant d'une fonction, il est d'usage d'indiquer les intervalles de longueur maximale. //Ceux. l'intervalle (2 ; 3) est intervalle de constance du signe fonction f, mais la réponse doit inclure l'intervalle [ 4.5; 3) contenant l'intervalle (2 ; 3).

3. Si vous vous déplacez le long de l'axe des X de 4,5 à 2, vous remarquerez que le graphique de la fonction diminue, c'est-à-dire que les valeurs de la fonction diminuent. //En mathématiques, il est d'usage de dire que sur l'intervalle [ 4.5; 2] la fonction diminue.

À mesure que x augmente de 2 à 0, le graphique de la fonction augmente, c'est-à-dire les valeurs de la fonction augmentent. //En mathématiques, il est d'usage de dire que sur l'intervalle [ 2; 0] la fonction augmente.

Une fonction f est appelée si pour deux valeurs quelconques de l'argument x1 et x2 de cet intervalle telles que x2 > x1, l'inégalité f (x2) > f (x1) est vérifiée. // ou la fonction est appelée augmentant sur un certain intervalle, si pour des valeurs de l'argument de cet intervalle valeur plus élevée L'argument correspond à une valeur plus grande de la fonction.//c'est-à-dire plus x est grand, plus y est grand.

La fonction f s'appelle décroissant sur un certain intervalle, si pour deux valeurs quelconques de l'argument x1 et x2 de cet intervalle telles que x2 > x1, l'inégalité f(x2) diminue sur un certain intervalle, si pour n'importe quelle valeur de l'argument de cet intervalle la plus grande valeur de l’argument correspond à la plus petite valeur de la fonction. //ceux. plus x est grand, moins y est grand.

Si une fonction augmente sur tout le domaine de définition, alors elle est appelée en augmentant.

Si une fonction décroît sur tout le domaine de définition, alors elle est appelée décroissant.

Exemple 1. graphique des fonctions croissantes et décroissantes respectivement.

Exemple 2.

Définir le phénomène. si fonction linéaire f (x) = 3x + 5 croissant ou décroissant ?

Preuve. Utilisons les définitions. Soit x1 et x2 des valeurs arbitraires de l'argument, et x1< x2., например х1=1, х2=7

1) Domaine fonctionnel et plage de fonctions.

Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides X(variable X), pour lequel la fonction y = f(x) déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles oui, ce que la fonction accepte.

En mathématiques élémentaires, les fonctions sont étudiées uniquement sur l’ensemble des nombres réels.

2) Zéros de fonction.

La fonction zéro est la valeur de l'argument pour laquelle la valeur de la fonction est égale à zéro.

3) Intervalles de signe constant d'une fonction.

Les intervalles de signe constant d'une fonction sont des ensembles de valeurs d'arguments sur lesquels les valeurs de la fonction sont uniquement positives ou uniquement négatives.

4) Monotonie de la fonction.

Une fonction croissante (dans un certain intervalle) est une fonction dans laquelle une plus grande valeur de l'argument de cet intervalle correspond à une plus grande valeur de la fonction.

Une fonction décroissante (dans un certain intervalle) est une fonction dans laquelle une valeur plus grande de l'argument de cet intervalle correspond à une valeur plus petite de la fonction.

5) Fonction paire (impaire).

Une fonction paire est une fonction dont le domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine et pour tout X du domaine de la définition l'égalité f(-x) = f(x). Le graphique d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’ordonnée.

Une fonction impaire est une fonction dont le domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine et pour tout X du domaine de la définition, l'égalité est vraie f(-x) = - f(x). Le graphique d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.

6) Fonctions limitées et illimitées.

Une fonction est dite bornée s'il existe un nombre positif M tel que |f(x)| ≤ M pour toutes les valeurs de x. Si un tel nombre n’existe pas, alors la fonction est illimitée.

7) Périodicité de la fonction.

Une fonction f(x) est périodique s'il existe un nombre T non nul tel que pour tout x du domaine de définition de la fonction, ce qui suit est valable : f(x+T) = f(x). Ce plus petit nombre est appelé la période de la fonction. Toutes les fonctions trigonométriques sont périodiques. (Formules trigonométriques).

19. Fonctions élémentaires de base, leurs propriétés et graphiques. Application des fonctions en économie.

Fonctions élémentaires de base. Leurs propriétés et graphiques

1. Fonction linéaire.

Fonction linéaire est appelée une fonction de la forme , où x est une variable, a et b sont des nombres réels.

Nombre UN appelé pente hétéro, il égal à la tangente l'angle d'inclinaison de cette droite par rapport à la direction positive de l'axe des x. Le graphique d'une fonction linéaire est une ligne droite. Il est défini par deux points.

Propriétés d'une fonction linéaire

1. Domaine de définition - l'ensemble de tous les nombres réels : D(y)=R

2. L'ensemble des valeurs est l'ensemble de tous les nombres réels : E(y)=R

3. La fonction prend une valeur nulle lorsque ou.

4. La fonction augmente (diminue) sur tout le domaine de définition.

5. Une fonction linéaire est continue sur tout le domaine de définition, différentiable et .

2. Fonction quadratique.

Une fonction de la forme où x est une variable, les coefficients a, b, c sont des nombres réels, est appelée quadratique

Limites et continuité

Ensembles

Sous beaucoup est compris comme une collection d’objets homogènes. Les objets qui forment un ensemble sont appelés éléments ou points de cette multitude. Les ensembles désignent en majuscule, et leurs éléments sont en minuscules. Si un est un élément de l'ensemble UN, alors l'entrée est utilisée unÎ UN. Si b n'est pas un élément de l'ensemble UN, alors ça s'écrit comme ceci : b Ï UN. Un ensemble qui ne contient pas un seul élément est appelé un ensemble vide et est noté comme suit : Ø.

Si l'ensemble B se compose d'une partie des éléments de l'ensemble UN ou coïncide avec lui, alors l'ensemble B appelé sous-ensemble ensembles et désignent BÌ UN.

Les deux ensembles s'appellent égal, s'ils sont constitués des mêmes éléments.

Association deux jeux UN Et B appelé un ensemble C, constitué de tous les éléments appartenant à au moins un des ensembles : C=UNÈ B.

En traversant deux jeux UN Et B appelé un ensemble C, constitué de tous les éléments appartenant à chacun de ces ensembles : C=UNÇ B.

Par différence ensembles UN Et B appelé un ensemble E UN, qui n'appartiennent pas à l'ensemble B: .

Supplément ensembles UNÌ B appelé un ensemble C, composé de tous les éléments de l'ensemble B, n'appartenant pas UN.

Les ensembles dont les éléments sont des nombres réels sont appelés numérique:

Où NÌ ZÌ QÌ R., jeÌ R. Et R.=jeÈ Q.

Un tas de X, dont les éléments satisfont à l'inégalité est appelé segment(segment) et est noté [ un; b]; inégalité un<X<b – intervalle et est noté () ; les inégalités et - demi-intervalles et sont désignés par et respectivement. Vous devez aussi souvent composer avec des intervalles et demi-intervalles infinis : , , , et . C'est pratique de tous les appeler à intervalles .

Intervalle, c'est-à-dire ensemble de points satisfaisant l'inégalité (où ), s'appelle le -voisinage du point un.

La notion de fonction. Propriétés de base d'une fonction

Si chaque élément X ensembles X un seul élément correspond oui ensembles Oui, puis ils disent ça sur le plateau X donné fonction oui=F(X). Où X appelé variable indépendante ou argument, UN oui – variable dépendante ou fonction, UN F désigne la loi de la correspondance. Un tas de X appelé domaine de définition fonctions, et un ensemble Oui – plage de valeurs les fonctions.

Il existe plusieurs manières de spécifier des fonctions.

1) Méthode analytique - la fonction est donnée par une formule de la forme oui=F(X).

2) Méthode tabulaire - la fonction est spécifiée par un tableau contenant les valeurs des arguments et les valeurs de la fonction correspondantes oui=F(X).

3) Méthode graphique - représentant un graphique d'une fonction, c'est-à-dire ensemble de points ( X; oui) plan de coordonnées dont les abscisses représentent les valeurs de l'argument, et les ordonnées représentent les valeurs correspondantes de la fonction oui=F(X).

4) Méthode verbale - une fonction est décrite par la règle de sa composition. Par exemple, la fonction Dirichlet prend la valeur 1 si X est un nombre rationnel et 0 si X- nombre irrationnel.

Les principales propriétés suivantes des fonctions sont distinguées.

1 Pair et impair Fonction oui=F(X) est appelé même, si pour des valeurs X de son domaine de définition est satisfait F(–X)=F(X), Et impair, Si F(–X)=–F(X). Si aucune des égalités énumérées n’est satisfaite, alors oui=F(X) est appelé fonction générale. Le graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe Oy, et le graphique de la fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.

2 Monotonie Fonction oui=F(X) est appelé en augmentant (décroissant) sur l'intervalle X, si une valeur d'argument plus grande de cet intervalle correspond à une valeur de fonction plus grande (plus petite). Laisser X 1 ,X 2 î X, X 2 >X 1 . Alors la fonction augmente sur l'intervalle X, Si F(X 2)>F(X 1), et diminue si F(X 2)<F(X 1).

Outre les fonctions croissantes et décroissantes, les fonctions non décroissantes et non croissantes sont prises en compte. La fonction s'appelle non décroissant (non croissant), si à X 1 ,X 2 î X, X 2 >X 1 inégalité est vraie F(X 2)≥F(X 1) (F(X 2)≤F(X 1)).

Les fonctions croissantes et décroissantes, ainsi que les fonctions non croissantes et non décroissantes sont dites monotones.

3 Limité Fonction oui=F(X) est dit borné sur l’intervalle X, s'il existe un nombre aussi positif M>0, quoi | F(X)|≤M pour tout le monde XÎ X. Sinon la fonction est dite illimitée X.

4 Fréquence Fonction oui=F(X) est appelé périodique avec un point T≠0, le cas échéant X du domaine de la fonction F(X+T)=F(X). Dans ce qui suit, par période on entend la plus petite période positive d'une fonction.

La fonction s'appelle explicite, s'il est donné par une formule de la forme oui=F(X). Si la fonction est donnée par l'équation F(X, oui)=0, non autorisé par rapport à la variable dépendante oui, alors on l'appelle implicite.

Laisser oui=F(X) est fonction de la variable indépendante définie sur l'ensemble X avec portée Oui. Faisons correspondre chacun ouiÎ Oui sens unique XÎ X, auquel F(X)=oui.Puis la fonction résultante X=φ (oui), défini sur l'ensemble Oui avec portée X, appelé inverse et est désigné oui=F –1 (X). Graphiques mutuellement fonctions inverses symétrique par rapport à la bissectrice des premier et troisième quartiers de coordonnées.

Laissez la fonction oui=F(toi) est fonction d'une variable toi, défini sur l'ensemble U avec portée Oui, et la variable toià son tour est une fonction toi=φ (X), défini sur l'ensemble X avec portée U. Puis donné sur le plateau X fonction oui=F(φ (X)) est appelé fonction complexe (composition de fonctions, superposition de fonctions, fonction d'une fonction).

Fonctions élémentaires

Les principales fonctions élémentaires comprennent :

fonction de puissance oui=xn; oui=x-n Et oui=X 1/ n;
fonction exponentielle oui=un x;
fonction logarithmique oui=journal un x;
fonctions trigonométriques oui= péché X, oui=cos X, oui=tg X Et oui=ctg X;
fonctions trigonométriques inverses oui= arc sinus X, oui=arccos X, oui=arctg X Et oui=arcctg X.

A partir des fonctions élémentaires de base, de nouvelles fonctions peuvent être obtenues par opérations algébriques et superposition de fonctions.

Les fonctions construites à partir de fonctions élémentaires de base utilisant un nombre fini d'opérations algébriques et un nombre fini d'opérations de superposition sont appelées élémentaire.

Algébrique est une fonction dans laquelle un nombre fini d'opérations algébriques sont effectuées sur l'argument. Les fonctions algébriques comprennent :

· une fonction rationnelle entière (polynôme ou polynôme)

· fonction fractionnaire-rationnelle (rapport de deux polynômes)

· fonction irrationnelle (si les opérations sur l'argument incluent l'extraction de la racine).

Toute fonction non algébrique est appelée transcendantal. Les fonctions transcendantales comprennent les fonctions exponentielles, logarithmiques, trigonométriques et trigonométriques inverses.