propriétés des sinus. Solution des équations trigonométriques les plus simples

Dans cet article, nous allons faire un tour d'horizon complet de . Les identités trigonométriques de base sont des égalités qui établissent une relation entre le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle, et vous permettent de trouver n'importe lequel d'entre eux fonctions trigonométriquesà travers un autre connu.

Nous énumérons immédiatement les principales identités trigonométriques, que nous analyserons dans cet article. Nous les écrivons dans un tableau, et ci-dessous nous donnons la dérivation de ces formules et donnons les explications nécessaires.

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Relation entre le sinus et le cosinus d'un angle

Parfois, ils ne parlent pas des principales identités trigonométriques répertoriées dans le tableau ci-dessus, mais d'une seule identité trigonométrique de base gentil . L'explication de ce fait est assez simple : les égalités sont obtenues à partir de l'identité trigonométrique de base après avoir divisé ses deux parties par et respectivement, et les égalités et découlent des définitions de sinus, cosinus, tangente et cotangente. Nous en discuterons plus en détail dans les paragraphes suivants.

C'est-à-dire que c'est l'égalité qui présente un intérêt particulier, qui a reçu le nom d'identité trigonométrique principale.

Avant de prouver l'identité trigonométrique de base, donnons sa formulation : la somme des carrés du sinus et du cosinus d'un angle est identiquement égale à un. Prouvons-le maintenant.

L'identité trigonométrique de base est très souvent utilisée dans transformation expressions trigonométriques . Il permet de remplacer par un la somme des carrés du sinus et du cosinus d'un angle. Non moins souvent, l'identité trigonométrique de base est utilisée dans l'ordre inverse: l'unité est remplacée par la somme des carrés du sinus et du cosinus de n'importe quel angle.

Tangente et cotangente par sinus et cosinus

Identités reliant la tangente et la cotangente avec le sinus et le cosinus d'un angle de la forme et découlent immédiatement des définitions de sinus, cosinus, tangente et cotangente. En effet, par définition, le sinus est l'ordonnée de y, le cosinus est l'abscisse de x, la tangente est le rapport de l'ordonnée à l'abscisse, c'est-à-dire , et la cotangente est le rapport de l'abscisse à l'ordonnée, c'est-à-dire .

En raison de cette évidence des identités et souvent les définitions de tangente et de cotangente sont données non par le rapport de l'abscisse et de l'ordonnée, mais par le rapport du sinus et du cosinus. Ainsi la tangente d'un angle est le rapport du sinus au cosinus de cet angle, et la cotangente est le rapport du cosinus au sinus.

Pour conclure cette section, il convient de noter que les identités et tenir pour tous ces angles pour lesquels les fonctions trigonométriques en eux ont un sens. Donc la formule est valable pour tout autre que (sinon le dénominateur sera zéro, et nous n'avons pas défini la division par zéro), et la formule - pour tout , différent de , où z est quelconque .

Relation entre tangente et cotangente

Une identité trigonométrique encore plus évidente que les deux précédentes est l'identité reliant la tangente et la cotangente d'un angle de la forme . Il est clair que cela se produit pour tous les angles autres que , sinon la tangente ou la cotangente n'est pas définie.

Preuve de la formule très simple. Par définition et d'où . La preuve aurait pu être effectuée d'une manière légèrement différente. Depuis et , alors .

Ainsi, la tangente et la cotangente d'un angle, auxquelles elles ont un sens, l'est.

- il y aura sûrement des tâches en trigonométrie. La trigonométrie est souvent détestée car elle doit entasser une quantité énorme de formules difficiles regorgeant de sinus, cosinus, tangentes et cotangentes. Le site donnait déjà une fois des conseils pour se souvenir d'une formule oubliée, en prenant l'exemple des formules d'Euler et de Peel.

Et dans cet article, nous essaierons de montrer qu'il suffit de ne connaître fermement que cinq des formules trigonométriques les plus simples, et d'avoir à peu près le reste idée générale et retirez-les au fur et à mesure. C'est comme avec l'ADN : les dessins complets d'un être vivant fini ne sont pas stockés dans la molécule. Il contient plutôt des instructions pour l'assembler à partir des acides aminés disponibles. C'est donc en trigonométrie, connaissant quelques principes généraux, nous obtiendrons toutes les formules nécessaires à partir d'un petit ensemble de celles qu'il faut garder à l'esprit.

On s'appuiera sur les formules suivantes :

A partir des formules du sinus et du cosinus des sommes, sachant que la fonction cosinus est paire et que la fonction sinus est impaire, en substituant -b à b, on obtient les formules des différences :

1. Sinus de différence: péché(un B) = péchéunparce que(-b)+parce queunpéché(-b) = péchéunparce queb-parce queunpéchéb
2. différence de cosinus: parce que(un B) = parce queunparce que(-b)-péchéunpéché(-b) = parce queunparce queb+péchéunpéchéb

En mettant a \u003d b dans les mêmes formules, nous obtenons les formules du sinus et du cosinus des angles doubles:

1. Sinus d'un angle double: péché2a = péché(a+a) = péchéunparce queun+parce queunpéchéun = 2péchéunparce queun
2. Cosinus d'un angle double: parce que2a = parce que(a+a) = parce queunparce queun-péchéunpéchéun = parce que2a-péché2a

Les formules pour d'autres angles multiples sont obtenues de la même manière :

1. Sinus d'un angle triple: péché3a = péché(2a+a) = péché2aparce queun+parce que2apéchéun = (2péchéunparce queun)parce queun+(parce que2a-péché2a)péchéun = 2péchéunparce que2a+péchéunparce que2a-péché 3 un = 3 péchéunparce que2a-péché 3 un = 3 péchéun(1-péché2a)-péché 3 un = 3 péchéun-4péché 3a
2. Cosinus d'un angle triple: parce que3a = parce que(2a+a) = parce que2aparce queun-péché2apéchéun = (parce que2a-péché2a)parce queun-(2péchéunparce queun)péchéun = parce que 3a- péché2aparce queun-2péché2aparce queun = parce que 3a-3 péché2aparce queun = parce que 3a-3(1- parce que2a)parce queun = 4parce que 3a-3 parce queun

Avant de poursuivre, considérons un problème.
Donné : l'angle est aigu.
Trouvez son cosinus si
Solution donnée par un étudiant :
Car , alors péchéun= 3,a parce queun = 4.
(De l'humour mathématique)

Ainsi, la définition de la tangente relie cette fonction à la fois au sinus et au cosinus. Mais vous pouvez obtenir une formule qui donne la connexion de la tangente uniquement avec le cosinus. Pour le dériver, nous prenons l'identité trigonométrique de base : péché 2 un+parce que 2 un= 1 et le diviser par parce que 2 un. On a:

Donc la solution à ce problème serait :

(Parce que l'angle est aigu, le signe + est pris lors de l'extraction de la racine)

La formule de la tangente de la somme en est une autre difficile à retenir. Sortons-le comme ceci :

sortie immédiatement et

À partir de la formule du cosinus pour un angle double, vous pouvez obtenir les formules du sinus et du cosinus pour un demi-angle. Pour ce faire, à gauche de la formule du cosinus à angle double :
parce que2 un = parce que 2 un-péché 2 un
nous ajoutons une unité, et à droite - une unité trigonométrique, c'est-à-dire somme des carrés du sinus et du cosinus.
parce que2a+1 = parce que2a-péché2a+parce que2a+péché2a
2parce que 2 un = parce que2 un+1
exprimer parce queunà travers parce que2 un et en effectuant un changement de variables, on obtient :

Le signe est pris en fonction du quadrant.

De même, en soustrayant un du côté gauche de l'égalité, et la somme des carrés du sinus et du cosinus du côté droit, on obtient :
parce que2a-1 = parce que2a-péché2a-parce que2a-péché2a
2péché 2 un = 1-parce que2 un

Et enfin, pour convertir la somme des fonctions trigonométriques en un produit, nous utilisons l'astuce suivante. Supposons que nous ayons besoin de représenter la somme des sinus comme un produit péchéun+péchéb. Introduisons des variables x et y telles que a = x+y, b+x-y. Alors
péchéun+péchéb = péché(x+y)+ péché(x-y) = péché X parce que y+ parce que X péché y+ péché X parce que v- parce que X péché y=2 péché X parce que y. Exprimons maintenant x et y en fonction de a et b.

Puisque a = x+y, b = x-y, alors . C'est pourquoi

Vous pouvez retirer immédiatement

1. Formule de partage produits du sinus et du cosinus dans montant: péchéunparce queb = 0.5(péché(a+b)+péché(un B))

Nous vous recommandons de pratiquer et de dériver des formules pour convertir le produit de la différence des sinus et la somme et la différence des cosinus en un produit, ainsi que pour diviser les produits des sinus et des cosinus en une somme. Après avoir fait ces exercices, vous maîtriserez à fond l'habileté de dériver des formules trigonométriques et ne vous perdrez pas même dans le contrôle, l'olympiade ou les tests les plus difficiles.

Si nous construisons un cercle unitaire centré à l'origine et fixons une valeur arbitraire de l'argument x0 et compter à partir de l'axe Bœuf coin X 0, alors cet angle sur le cercle unitaire correspond à un point UN(Fig. 1) et sa projection sur l'axe Oh il y aura un point M. Longueur de coupe OM est égal à valeur absolue point d'abscisse UN. valeur donnée dispute x0 valeur de la fonction mappée y= cos X 0 comme l'abscisse d'un point MAIS. En conséquence, le point À(X 0 ;à 0) appartient au graphe de fonctions à= cos X(Fig. 2). Si pointe MAIS situé à droite de l'axe UO, le tocosinus sera positif, si à gauche il sera négatif. Mais dans tous les cas, le point MAIS ne peut pas quitter le cercle. Par conséquent, le cosinus varie de -1 à 1 :

-1 = cos X = 1.

Rotation supplémentaire à n'importe quel angle, multiple de 2 p, renvoie un point UN au même endroit. Par conséquent, la fonction y= parce que Xp:

car( X+ 2p) = cos X.

Si l'on prend deux valeurs de l'argument égales en valeur absolue mais opposées en signe, X et - X, trouver les points correspondants sur le cercle Un x et Hache. Comme on le voit sur la fig. 3 leur projection sur l'axe Oh est le même point M. C'est pourquoi

car(- X) = cos( X),

ceux. le cosinus est une fonction paire, F(–X) = F(X).

Ainsi, nous pouvons explorer les propriétés de la fonction y= cos X sur la tranche , puis tenir compte de sa parité et de sa périodicité.

À X= 0 points MAIS se trouve sur l'axe Oh, son abscisse est 1, et donc cos 0 = 1. Avec une augmentation X point MAIS se déplace autour du cercle vers le haut et vers la gauche, sa projection, bien sûr, uniquement vers la gauche, et pour x = p/2 cosinus devient 0. Point UNà ce moment, il monte à la hauteur maximale, puis continue de se déplacer vers la gauche, mais déjà en descendant. Son abscisse ne cesse de décroître jusqu'à atteindre la plus petite valeur, égal à –1 à X= p. Ainsi, sur le segment, la fonction à= cos X diminue de façon monotone de 1 à –1 (Fig. 4, 5).

Il résulte de la parité du cosinus que sur l'intervalle [– p, 0], la fonction croît de manière monotone de –1 à 1, prenant une valeur nulle à x =–p/2. Si vous prenez plusieurs périodes, vous obtenez une courbe ondulée (Fig. 6).

Donc la fonction y= cos X prend des valeurs nulles aux points X= p/2 + kp, où k- n'importe quel entier. Les maximums égaux à 1 sont atteints aux points X= 2kp, c'est à dire. avec l'étape 2 p, et les minima égaux à –1 aux points X= p + 2kp.

Fonction y \u003d sin x.

Sur le cercle unité X 0 correspond au point MAIS(Fig. 7), et sa projection sur l'axe UO il y aura un point N.O valeur de la fonction y 0 = péché x0 défini comme l'ordonnée d'un point MAIS. Point À(coin X 0 ,à 0) appartient au graphe de fonctions y= péché X(Fig. 8). Il est clair que la fonction y= péché X périodique, sa période est de 2 p:

péché( X+ 2p) = péché ( X).

Pour deux valeurs d'argument, X et - , projections de leurs points correspondants Un x et Hache par essieu UO situé symétriquement par rapport au point O. C'est pourquoi

péché(- X) = –sin ( X),

ceux. le sinus est une fonction impaire, f(– X) = –f( X) (Fig. 9).

Si la pointe UN tourner autour d'un point O dans le coin p/2 dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (autrement dit, si l'angle X augmenté de p/2), alors son ordonnée dans la nouvelle position sera égale à l'abscisse dans l'ancienne. Ce qui signifie

péché( X+ p/2) = cos X.

Sinon, le sinus est le cosinus, "en retard" de p/2, car toute valeur de cosinus "se répétera" dans le sinus lorsque l'argument augmente de p/2. Et pour construire un graphe sinusoïdal, il suffit de décaler le graphe cosinus de p/2 vers la droite (Fig. 10). Une propriété extrêmement importante du sinus est exprimée par l'égalité

La signification géométrique de l'égalité peut être vue à partir de la Fig. 11. Ici X - c'est la moitié de l'arc UN B, et le péché X - moitié de l'accord correspondant. Évidemment, à l'approche des points MAIS et À la longueur de la corde se rapproche de plus en plus de la longueur de l'arc. De la même figure, il est facile d'extraire l'inégalité

|péché X| x|, valable pour tout X.

La formule (*) est appelée la limite merveilleuse par les mathématiciens. Il en résulte, en particulier, que le péché X» X au petit X.

Les fonctions à=tg x, y=ctg X. Deux autres fonctions trigonométriques - tangente et cotangente sont les plus faciles à définir comme des rapports du sinus et du cosinus déjà connus :

Comme le sinus et le cosinus, la tangente et la cotangente sont des fonctions périodiques, mais leurs périodes sont égales p, c'est à dire. ils sont la moitié de ceux du sinus et du cosinus. La raison en est claire : si le sinus et le cosinus changent tous les deux de signe, alors leur rapport ne changera pas.

Puisqu'il y a un cosinus dans le dénominateur de la tangente, la tangente n'est pas définie aux points où le cosinus est 0 - lorsque X= p/2 +kp. À tous les autres points, il augmente de façon monotone. Direct X= p/2 + kp pour la tangente sont les asymptotes verticales. Aux points kp tangente et pente sont respectivement 0 et 1 (Fig. 12).

La cotangente n'est pas définie là où le sinus vaut 0 (lorsque x = kp). À d'autres points, il diminue de façon monotone, et les lignes x = kp – ses asymptotes verticales. Aux points x = p/2 +kp la cotangente devient 0 et la pente en ces points est de -1 (Fig. 13).

Parité et périodicité.

Une fonction est appelée même si F(–X) = F(X). Les fonctions cosinus et sécante sont paires, et les fonctions sinus, tangente, cotangente et cosécante sont impaires :

Les propriétés de parité découlent de la symétrie des points P un et R-un (Fig. 14) autour de l'axe X. Avec une telle symétrie, l'ordonnée du point change de signe (( X;à) va à ( X; -y)). Toutes les fonctions - périodique, sinus, cosinus, sécante et cosécante ont une période de 2 p, et tangente et cotangente - p:

La périodicité du sinus et du cosinus découle du fait que tous les points P un + 2 kp, où k= 0, ±1, ±2,…, coïncident, et la périodicité de la tangente et de la cotangente est due au fait que les points P un + kp tomber alternativement en deux points diamétralement opposés du cercle, donnant le même point sur l'axe des tangentes.

Les principales propriétés des fonctions trigonométriques peuvent être résumées dans un tableau :

Formules de coulée.

Selon ces formules, la valeur de la fonction trigonométrique de l'argument a, où p/2 a p , peut être réduit à la valeur de la fonction de l'argument a , où 0 a p /2, à la fois identique et complémentaire.

Argument b	- un	+ un	p- un	p+ un	+ un	+ un	2p- un
péché b	car un	car un	péché un	-pécher un	-cos un	-cos un	-pécher un
cosb	péché un	-pécher un	-cos un	-cos un	-pécher un	péché un	car un

Par conséquent, dans les tableaux des fonctions trigonométriques, les valeurs ne sont données que pour les angles aigus, et il suffit de se limiter, par exemple, au sinus et à la tangente. Le tableau ne contient que les formules les plus couramment utilisées pour le sinus et le cosinus. À partir d'eux, il est facile d'obtenir des formules pour la tangente et la cotangente. Lors de la conversion d'une fonction à partir d'un argument de la forme kp/2 ± a , où k est un entier, à une fonction à partir de l'argument a :

1) le nom de la fonction est enregistré si k pair, et devient "complémentaire" si kétrange;

2) le signe du côté droit coïncide avec le signe de la fonction réductible au point kp/2 ± a si l'angle a est aigu.

Par exemple, lors du lancement de ctg (a - p/2) assurez-vous qu'un - p/2 à 0 a p /2 se trouve dans le quatrième quadrant, où la cotangente est négative, et, selon la règle 1, on change le nom de la fonction : ctg (a - p/2) = –tg a .

Formules d'addition.

Formules d'angles multiples.

Ces formules dérivent directement des formules d'addition :

sin 2a \u003d 2 sin a cos a;

cos 2a \u003d cos 2 a - sin 2 a \u003d 2 cos 2 a - 1 \u003d 1 - 2 sin 2 a;

péché 3a \u003d 3 péché un - 4 péché 3 un;

cos 3a \u003d 4 cos 3 a - 3 cos a;

La formule de cos 3a a été utilisée par François Viet lors de la résolution d'une équation cubique. Il a été le premier à trouver des expressions pour cos n a et péché n a , qui ont ensuite été obtenus plus façon simple de la formule de De Moivre.

Si vous remplacez a par un /2 dans les formules à double argument, elles peuvent être converties en formules demi-angle :

Formules universelles de substitution.

En utilisant ces formules, une expression impliquant différentes fonctions trigonométriques du même argument peut être réécrite comme une expression rationnelle à partir d'une seule fonction tg (a / 2), ceci est utile lors de la résolution de certaines équations :

Formules pour convertir des sommes en produits et des produits en sommes.

Avant l'avènement des ordinateurs, ces formules étaient utilisées pour simplifier les calculs. Les calculs ont été effectués à l'aide de tables logarithmiques, et plus tard - une règle à calcul, parce que. les logarithmes sont les mieux adaptés pour multiplier les nombres, de sorte que toutes les expressions originales ont été réduites à une forme pratique pour les logarithmes, c'est-à-dire pour des travaux tels que :

2 péché un sin b = cos ( un B) – cos ( a+b);

2 cos un parce que b= cos ( un B) + cos( a+b);

2 péché un parce que b= péché ( un B) + péché ( a+b).

Les formules des fonctions tangente et cotangente peuvent être obtenues à partir de ce qui précède.

Formules de réduction de degré.

A partir des formules d'un argument multiple, des formules sont dérivées :

A l'aide de ces formules, les équations trigonométriques peuvent être réduites à des équations de degrés inférieurs. De la même manière, on peut dériver des formules de réduction pour plus hauts degrés sinus et cosinus.

Toute fonction trigonométrique en tout point de son domaine de définition est continue et infiniment différentiable. De plus, les dérivées des fonctions trigonométriques sont des fonctions trigonométriques et, lorsqu'elles sont intégrées, des fonctions trigonométriques ou leurs logarithmes sont également obtenus. Les intégrales de combinaisons rationnelles de fonctions trigonométriques sont toujours des fonctions élémentaires.

Représentation des fonctions trigonométriques sous forme de séries entières et de produits infinis.

Toutes les fonctions trigonométriques peuvent être étendues en séries de puissance. Dans ce cas, les fonctions sin X b cos X apparaissent en rangées. convergent pour toutes les valeurs X:

Ces séries peuvent être utilisées pour obtenir des expressions approximatives pour sin X et cos X pour les petites valeurs X:

à | x| p/2 ;

à 0x| p

(B n sont des nombres de Bernoulli).

fonctions sin X et cos X peuvent être représentés par des produits infinis :

Système trigonométrique 1, cos X, péché X, cos 2 X, péché 2 X, ¼, cos nx, péché nx, ¼, se forme sur l'intervalle [– p, p] système orthogonal de fonctions, qui permet de représenter des fonctions sous forme de séries trigonométriques.

sont définis comme des prolongements analytiques des fonctions trigonométriques correspondantes d'un argument réel dans le plan complexe. Oui, le péché z et cos z peut être défini en utilisant des séries pour sin X et cos X, si au lieu de X mettre z:

Ces séries convergent sur tout le plan, donc sin z et cos z sont des fonctions entières.

La tangente et la cotangente sont déterminées par les formules :

fonctions TG z et ctg z sont des fonctions méromorphes. Pôles tg z et seconde z sont simples (1er ordre) et sont situés aux points z=p/2 + pn, poteaux ctg z et cosec z sont également simples et sont situés aux points z = p n, n = 0, ±1, ±2,…

Toutes les formules valables pour les fonctions trigonométriques d'un argument réel sont également valables pour un argument complexe. En particulier,

péché(- z) = -sin z,

car(- z) = cos z,

tg(- z) = –tg z,

ctg (- z) = -ctg z,

ceux. les parités paires et impaires sont conservées. Les formules sont également enregistrées

péché( z + 2p) = péché z, (z + 2p) = cos z, (z + p) = tg z, (z + p) = ctg z,

ceux. la périodicité est également conservée, et les périodes sont les mêmes que pour les fonctions d'un argument réel.

Les fonctions trigonométriques peuvent être exprimées en termes de fonction exponentielle d'un argument purement imaginaire :

Retour, e iz exprimé en termes de cos z et le péché z selon la formule :

e iz= cos z + je péché z

Ces formules sont appelées les formules d'Euler. Leonhard Euler les a introduits en 1743.

Les fonctions trigonométriques peuvent également être exprimées en termes de fonctions hyperboliques :

z = –je sh je suis, cos z = ch iz, z = –i ième iz.

où sh, ch et th sont sinus, cosinus et tangente hyperboliques.

Fonctions trigonométriques d'argument complexe z = x + iy, où X et y- les nombres réels, peuvent être exprimés en termes de fonctions trigonométriques et hyperboliques d'arguments réels, par exemple :

péché( x+iy) = péché X ch y + je parce que X sh y;

car( x+iy) = cos X ch y + je péché X sh y.

Le sinus et le cosinus d'un argument complexe peuvent prendre des valeurs réelles supérieures à 1 en valeur absolue. Par exemple:

Si un angle inconnu entre dans l'équation comme argument des fonctions trigonométriques, alors l'équation est dite trigonométrique. De telles équations sont si courantes que leurs méthodes les solutions sont très détaillées et soigneusement conçues. DE en utilisant diverses méthodes et formules, les équations trigonométriques sont réduites à des équations de la forme F(X)= un, où F- n'importe laquelle des fonctions trigonométriques les plus simples : sinus, cosinus, tangente ou cotangente. Ensuite, exprimez l'argument X cette fonction par sa valeur connue un.

Comme les fonctions trigonométriques sont périodiques, le même unà partir de la plage de valeurs, il existe une infinité de valeurs de l'argument, et la solution de l'équation ne peut pas être écrite comme une seule fonction de un. Ainsi, dans le domaine de définition de chacune des principales fonctions trigonométriques, on sélectionne une section dans laquelle elle prend toutes ses valeurs, chacune une seule fois, et on trouve une fonction qui lui est inverse dans cette section. De telles fonctions sont notées en attribuant le préfixe arc (arc) au nom de la fonction d'origine, et sont appelées trigonométrique inverse fonctions ou simplement des fonctions d'arc.

Fonctions trigonométriques inverses.

Pour le péché X, parce que X, TG X et ctg X peut être défini fonctions inverses. Ils sont désignés respectivement arcsin X(lire "arxine X"), arcos X, arctg X et arcctg X. Par définition, arcsin X il y a un tel nombre y, Quel

péché à = X.

Il en va de même pour les autres fonctions trigonométriques inverses. Mais cette définition souffre de quelques imprécisions.

Si nous reflétons le péché X, parce que X, TG X et ctg X par rapport à la bissectrice des premier et troisième quadrants du plan de coordonnées, alors les fonctions deviennent ambiguës du fait de leur périodicité : un même sinus (cosinus, tangente, cotangente) correspond à une infinité d'angles.

Pour lever l'ambiguïté, une section de la courbe d'une largeur de p, alors qu'il est nécessaire qu'une correspondance biunivoque soit observée entre l'argument et la valeur de la fonction. Les zones proches de l'origine sont sélectionnées. Pour les sinus comme "l'intervalle de un à un" est pris le segment [- p/2, p/2], sur lequel le sinus augmente de manière monotone de –1 à 1, pour le cosinus - le segment , pour la tangente et la cotangente, respectivement, les intervalles (– p/2, p/2) et (0, p). Chaque courbe de l'intervalle est réfléchie autour de la bissectrice et vous pouvez maintenant définir des fonctions trigonométriques inverses. Par exemple, laissez la valeur de l'argument être donnée x 0 , tel que 0 J X 0 Ј 1. Alors la valeur de la fonction y 0 = arcsin X 0 sera la seule valeur à 0 , tel que - p/2J à 0 Ј p/2 et X 0 = péché y 0 .

Ainsi, l'arcsinus est une fonction de l'arcsin un, défini sur l'intervalle [–1, 1] et égal pour chaque un une telle valeur a , – p/2 a p /2 que sin a = un. Il est très pratique de le représenter à l'aide d'un cercle unité (Fig. 15). Quand | un| 1 il y a deux points sur le cercle avec une ordonnée un, symétrique par rapport à l'axe y. L'un d'eux est l'angle un= arcsin un, et l'autre est l'angle p-a. DE compte tenu de la périodicité du sinus, la solution de l'équation sin X= un s'écrit comme suit :

x =(–1)n péché d'arc un + 2p n,

où n= 0, ±1, ±2,...

D'autres équations trigonométriques simples sont également résolues :

parce que X = un, –1 =un= 1;

x=±arcos un + 2p n,

où P= 0, ±1, ±2,... (Fig. 16) ;

TG X = un;

X= arctg un + p n,

où n = 0, ±1, ±2,... (Fig. 17) ;

CTG X= un;

X= arcctg un + p n,

où n = 0, ±1, ±2,... (Fig. 18).

Les principales propriétés des fonctions trigonométriques inverses :

péché d'arc X(Fig. 19) : le domaine de définition est le segment [–1, 1] ; intervalle - [- p/2, p/2], une fonction monotone croissante ;

arccos X(Fig. 20) : le domaine de définition est le segment [–1, 1] ; plage de valeurs - ; fonction décroissante monotone ;

arctg X(Fig. 21): domaine de définition - tous les nombres réels ; plage de valeurs – intervalle (– p/2, p/2); fonction monotone croissante; droit à= –p/2 et y \u003d p / 2 - asymptotes horizontales ;

arcctg X(Fig. 22): domaine de définition - tous les nombres réels ; plage de valeurs - intervalle (0, p); fonction décroissante monotone ; droit y= 0 et y = p sont les asymptotes horizontales.

Pour tout le monde z = x+iy, où X et y sont des nombres réels, il y a des inégalités

½| e \ ey–e-y| ≤|péché z|≤½( e y +e-y),

½| e y–e-y| ≤|cos z|≤½( e y +e -y),

dont y® Ґ suivent les formules asymptotiques (uniformément par X)

|péché z| » 1/2 e |y| ,

|cos z| » 1/2 e |y| .

Les fonctions trigonométriques sont apparues pour la première fois dans le cadre de recherches en astronomie et en géométrie. Les rapports des segments d'un triangle et d'un cercle, qui sont essentiellement des fonctions trigonométriques, se retrouvent déjà au IIIe siècle. avant JC e. dans les travaux des mathématiciens de la Grèce antique – Euclide, Archimède, Apollonius de Perga et d'autres, cependant, ces rapports n'étaient pas un objet d'étude indépendant, ils n'ont donc pas étudié les fonctions trigonométriques en tant que telles. Ils étaient à l'origine considérés comme des segments et sous cette forme ont été utilisés par Aristarque (fin IVe - 2e moitié du IIIe siècle av. J.-C.), Hipparque (IIe siècle av. J.-C.), Ménélas (Ier siècle ap. résolution de triangles sphériques. Ptolémée a compilé la première table d'accords pour les angles aigus jusqu'à 30 "avec une précision de 10 -6. Ce fut la première table des sinus. En tant que rapport, la fonction sin a se trouve déjà dans Ariabhata (fin du 5ème siècle). Les fonctions tg a et ctg a se retrouvent chez al-Battani (2e moitié du IXe - début Xe siècles) et Abul-Wefa (Xe siècle), qui utilise aussi sec a et cosec a... Aryabhata connaissait déjà la formule ( sin 2 a + cos 2 a) \u003d 1, ainsi que des formules demi-angle sin et cos, à l'aide desquelles il a construit des tables de sinus pour des angles passant par 3 ° 45 "; basé sur les valeurs connues des fonctions trigonométriques pour les arguments les plus simples. Bhaskara (12ème siècle) a donné une méthode pour construire des tables à travers 1 en utilisant des formules d'addition. Des formules pour convertir la somme et la différence des fonctions trigonométriques de divers arguments en un produit ont été dérivées par Regiomontanus (XVe siècle) et J. Napier en relation avec l'invention des logarithmes par ce dernier (1614). Regiomontanus a donné un tableau des valeurs de sinus à travers 1 ". L'expansion des fonctions trigonométriques en séries de puissance a été obtenue par I. Newton (1669). Dans forme moderne la théorie des fonctions trigonométriques a été introduite par L. Euler (XVIIIe siècle). Il possède leur définition d'arguments réels et complexes, le symbolisme désormais accepté, l'établissement d'un lien avec fonction exponentielle et l'orthogonalité du système de sinus et cosinus.

Identités trigonométriques sont des égalités qui établissent une relation entre le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle, ce qui permet de trouver n'importe laquelle de ces fonctions, pourvu que l'on en connaisse une autre.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Cette identité dit que la somme du carré du sinus d'un angle et du carré du cosinus d'un angle est égale à un, ce qui en pratique permet de calculer le sinus d'un angle lorsque son cosinus est connu et inversement .

Lors de la conversion d'expressions trigonométriques, cette identité est très souvent utilisée, ce qui vous permet de remplacer la somme des carrés du cosinus et du sinus d'un angle par un et également d'effectuer l'opération de remplacement dans l'ordre inverse.

Trouver la tangente et la cotangente par le sinus et le cosinus

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Ces identités sont formées à partir des définitions de sinus, cosinus, tangente et cotangente. Après tout, si vous regardez, alors par définition, l'ordonnée de y est le sinus et l'abscisse de x est le cosinus. Alors la tangente sera égale au rapport \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), et le rapport \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- sera une cotangente.

Nous ajoutons que ce n'est que pour de tels angles \alpha pour lesquels les fonctions trigonométriques qu'ils contiennent ont un sens que les identités auront lieu, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Par exemple: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) est valable pour des angles \alpha différents de \frac(\pi)(2)+\pi z, un ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- pour un angle \alpha différent de \pi z , z est un entier.

Relation entre tangente et cotangente

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Cette identité n'est valable que pour des angles \alpha différents de \frac(\pi)(2) z. Sinon, la cotangente ou la tangente ne sera pas déterminée.

Sur la base des points ci-dessus, nous obtenons que tg \alpha = \frac(y)(x), un ctg\alpha=\frac(x)(y). D'où il suit que tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Ainsi, la tangente et la cotangente d'un angle auquel elles ont un sens sont des nombres mutuellement réciproques.

Relations entre tangente et cosinus, cotangente et sinus

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- la somme du carré de la tangente de l'angle \alpha et 1 est égale à l'inverse du carré du cosinus de cet angle. Cette identité est valable pour tout \alpha autre que \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- la somme de 1 et le carré de la cotangente de l'angle \alpha , est égal à l'inverse du carré du sinus angle donné. Cette identité est valable pour tout \alpha autre que \pi z .

Exemples avec des solutions à des problèmes utilisant des identités trigonométriques

Exemple 1

Trouver \sin \alpha et tg \alpha si \cos\alpha=-\frac12 et \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

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La solution

Les fonctions \sin \alpha et \cos \alpha sont liées par la formule \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. En remplaçant dans cette formule \cos\alpha = -\frac12, on a:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Cette équation admet 2 solutions :

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Par condition \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Au deuxième trimestre, le sinus est positif, donc \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Pour trouver tg \alpha , nous utilisons la formule tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Exemple 2

Trouver \cos \alpha et ctg \alpha si et \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

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La solution

Remplacer dans la formule \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 nombre conditionnel \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), on a \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Cette équation a deux solutions \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Par condition \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Au deuxième trimestre, le cosinus est négatif, donc \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Pour trouver ctg \alpha , nous utilisons la formule ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Nous connaissons les valeurs correspondantes.

ctg \alpha = -\frac12 : \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Initialement, le sinus et le cosinus sont apparus en raison de la nécessité de calculer des quantités dans des triangles rectangles. Il a été remarqué que si la valeur de la mesure en degrés des angles dans un triangle rectangle n'est pas modifiée, alors le rapport d'aspect, peu importe combien ces côtés changent de longueur, reste toujours le même.

C'est ainsi que les concepts de sinus et de cosinus ont été introduits. Sinus angle aigu dans un triangle rectangle, c'est le rapport de la jambe opposée à l'hypoténuse, et le cosinus est le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse.

Théorèmes des cosinus et des sinus

Mais les cosinus et les sinus peuvent être utilisés non seulement dans les triangles rectangles. Pour trouver la valeur d'un angle obtus ou aigu, le côté de n'importe quel triangle, il suffit d'appliquer le théorème du cosinus et du sinus.

Le théorème du cosinus est assez simple : "Le carré d'un côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés moins le double du produit de ces côtés par le cosinus de l'angle qui les sépare."

Il existe deux interprétations du théorème des sinus : petit et étendu. Selon le petit : "Dans un triangle, les angles sont proportionnels aux côtés opposés." Ce théorème est souvent étendu en raison de la propriété du cercle circonscrit à un triangle : "Dans un triangle, les angles sont proportionnels aux côtés opposés, et leur rapport est égal au diamètre du cercle circonscrit."

Dérivés

Une dérivée est un outil mathématique qui montre à quelle vitesse une fonction change par rapport à un changement de son argument. Les dérivés sont utilisés en géométrie et dans un certain nombre de disciplines techniques.

Lors de la résolution de problèmes, vous devez connaître les valeurs tabulaires des dérivées des fonctions trigonométriques: sinus et cosinus. La dérivée du sinus est le cosinus, et la dérivée du cosinus est le sinus, mais avec un signe moins.

Application en mathématiques

Particulièrement souvent, les sinus et les cosinus sont utilisés pour résoudre triangles rectangles et les tâches qui leur sont associées.

La commodité des sinus et des cosinus se reflète également dans la technologie. Les angles et les côtés étaient faciles à évaluer à l'aide des théorèmes du cosinus et du sinus, décomposant des formes et des objets complexes en triangles "simples". Les ingénieurs et, souvent confrontés à des calculs de rapports d'aspect et de mesures de degrés, ont passé beaucoup de temps et d'efforts à calculer les cosinus et les sinus d'angles non tabulaires.

Puis les tables de Bradis sont venues à la rescousse, contenant des milliers de valeurs de sinus, cosinus, tangentes et cotangentes d'angles différents. À L'heure soviétique certains enseignants ont forcé leurs pupilles à mémoriser les pages des tableaux Bradys.

Radian - la valeur angulaire de l'arc, sur la longueur égale au rayon ou 57,295779513 ° degrés.

Degré (en géométrie) - 1/360e partie d'un cercle ou 1/90e partie angle droit.

π = 3,141592653589793238462… (valeur approximative de pi).

Table des cosinus pour les angles : 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.