Expressions trigonométriques numériques. Transformations d'identité d'expressions trigonométriques

Sections: Mathématiques

Classer: 11

Leçon 1

Sujet: 11e année (préparation à l'examen)

Simplification des expressions trigonométriques.

Solution des équations trigonométriques les plus simples. (2 heures)

Buts:

• Systématiser, généraliser, élargir les connaissances et les compétences des élèves liées à l'utilisation des formules de trigonométrie et à la résolution des équations trigonométriques les plus simples.

Matériel pour le cours :

Structure de la leçon :

1. Orgmoment
2. Tests sur portables. La discussion des résultats.
3. Simplifier les expressions trigonométriques
4. Solution des équations trigonométriques les plus simples
5. Travail indépendant.
6. Résumé de la leçon. Explication des devoirs.

1. Moment organisationnel. (2 minutes.)

L'enseignant salue le public, annonce le sujet de la leçon, rappelle que la tâche a été précédemment donnée de répéter les formules de trigonométrie et prépare les élèves pour les tests.

2. Tests. (15min + 3min de discussion)

Le but est de tester la connaissance des formules trigonométriques et la capacité à les appliquer. Chaque étudiant a un ordinateur portable sur son bureau dans lequel il y a une option de test.

Il peut y avoir un certain nombre d'options, je vais donner un exemple de l'une d'entre elles :

J'option.

Simplifiez les expressions :

a) identités trigonométriques de base

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) formules d'addition

3. sin5x - sin3x ;

c) convertir un produit en une somme

6. 2sin8y cos3y ;

d) formules d'angles doubles

7.2sin5x cos5x ;

e) formules de demi-angle

f) formules d'angles triples

g) substitution universelle

h) abaisser le degré

16.cos 2 (3x/7);

Les étudiants sur un ordinateur portable devant chaque formule voient leurs réponses.

Le travail est instantanément vérifié par l'ordinateur. Les résultats sont affichés sur un grand écran pour que tout le monde puisse les voir.

De plus, après la fin du travail, les bonnes réponses sont affichées sur les ordinateurs portables des élèves. Chaque élève voit où l'erreur a été commise et quelles formules il doit répéter.

3. Simplification des expressions trigonométriques. (25 min.)

Le but est de répéter, d'élaborer et de consolider l'application des formules de base de la trigonométrie. Résoudre les problèmes B7 de l'examen.

À ce stade, il est conseillé de diviser la classe en groupes d'élèves forts (travaillez de manière indépendante avec vérification ultérieure) et d'élèves faibles qui travaillent avec l'enseignant.

Devoir pour étudiants forts (préparé à l'avance sur une base imprimée). L'accent est mis sur les formules de réduction et d'angle double, selon l'USE 2011.

Simplifier les expressions (pour les apprenants forts) :

En parallèle, l'enseignant travaille avec des élèves faibles, discutant et résolvant des tâches à l'écran sous la dictée des élèves.

Calculer:

5) sin(270º - α) + cos(270º + α)

6)

Simplifier:

Ce fut au tour de discuter des résultats des travaux du groupe fort.

Les réponses apparaissent à l'écran, et aussi, à l'aide d'une caméra vidéo, le travail de 5 élèves différents est affiché (une tâche pour chacun).

Le groupe faible voit la condition et la méthode de résolution. Il y a discussion et analyse. Avec l'utilisation de moyens techniques, cela se fait rapidement.

4. Solution des équations trigonométriques les plus simples. (30 minutes.)

Le but est de répéter, systématiser et généraliser la solution des équations trigonométriques les plus simples, en enregistrant leurs racines. Solution du problème B3.

Toute équation trigonométrique, quelle que soit la manière dont on la résout, conduit à la plus simple.

Lors de la réalisation de la tâche, les élèves doivent faire attention à écrire les racines des équations des cas particuliers et vue générale et sur la sélection des racines dans la dernière équation.

Résoudre des équations :

Écrivez la plus petite racine positive de la réponse.

5. Travail indépendant (10 min.)

L'objectif est de tester les compétences acquises, d'identifier les problèmes, les erreurs et les moyens de les éliminer.

Une variété de travaux est offerte au choix de l'étudiant.

Options pour "3"

1) Trouver la valeur de l'expression

2) Simplifier l'expression 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Résolvez l'équation

Options pour "4"

1) Trouver la valeur de l'expression

2) Résolvez l'équation Écrivez la plus petite racine positive de votre réponse.

Options pour "5"

1) Trouver tgα si

2) Trouver la racine de l'équation Écrivez la plus petite racine positive de votre réponse.

6. Résumé de la leçon (5 min.)

L'enseignant résume le fait que la leçon a répété et consolidé des formules trigonométriques, la solution des équations trigonométriques les plus simples.

Les devoirs sont assignés (préparés à l'avance sur une base imprimée) avec une vérification ponctuelle lors de la prochaine leçon.

Résoudre des équations :

9)

10) Donnez votre réponse sous la forme de la plus petite racine positive.

Leçon 2

Sujet: 11e année (préparation à l'examen)

Méthodes de résolution d'équations trigonométriques. Sélection racine. (2 heures)

Buts:

• Généraliser et systématiser les connaissances sur la résolution d'équations trigonométriques de différents types.
• Promouvoir le développement de la pensée mathématique des élèves, la capacité d'observer, de comparer, de généraliser, de classer.
• Encourager les élèves à surmonter les difficultés du processus activité mentaleà la maîtrise de soi, à l'auto-analyse de leurs activités.

Matériel pour le cours : KRMu, des ordinateurs portables pour chaque étudiant.

Structure de la leçon :

1. Orgmoment
2. Discussion d/s et samot. le travail de la dernière leçon
3. Répétition de méthodes de résolution d'équations trigonométriques.
4. Résolution d'équations trigonométriques
5. Sélection des racines dans les équations trigonométriques.
6. Travail indépendant.
7. Résumé de la leçon. Devoirs.

1. Moment d'organisation (2 min.)

L'enseignant salue le public, annonce le sujet de la leçon et le plan de travail.

2. a) Analyse devoirs(5 minutes.)

Le but est de vérifier les performances. Un travail à l'aide d'une caméra vidéo est affiché sur l'écran, le reste est collecté de manière sélective pour que l'enseignant puisse le vérifier.

b) Analyse travail indépendant(3 min.)

Le but est de trier les erreurs, d'indiquer les moyens de les surmonter.

Sur l'écran se trouvent les réponses et les solutions, les élèves ont pré-publié leur travail. L'analyse va vite.

3. Répétition de méthodes de résolution d'équations trigonométriques (5 min.)

Le but est de rappeler des méthodes de résolution d'équations trigonométriques.

Demandez aux élèves quelles méthodes de résolution d'équations trigonométriques ils connaissent. Insistez sur le fait qu'il existe des méthodes dites basiques (fréquemment utilisées) :

• substitution de variables,
• factorisation,
• équations homogènes,

et il existe des méthodes appliquées:

• selon les formules de conversion d'une somme en produit et d'un produit en somme,
• par les formules de réduction,
• substitution trigonométrique universelle
• introduction d'un angle auxiliaire,
• multiplication par quelques fonction trigonométrique.

Il convient également de rappeler qu'une équation peut être résolue de différentes manières.

4. Résolution d'équations trigonométriques (30 min.)

L'objectif est de généraliser et de consolider les connaissances et les compétences sur ce sujet, pour se préparer à résoudre C1 à partir de l'USE.

Je considère qu'il est opportun de résoudre les équations pour chaque méthode avec les élèves.

L'élève dicte la solution, le professeur écrit sur la tablette, tout le processus s'affiche à l'écran. Cela vous permettra de restaurer rapidement et efficacement le matériel précédemment couvert dans votre mémoire.

Résoudre des équations :

1) changement de variable 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) factorisation 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) équations homogènes sin2x + 3cos2x - 2sin2x = 0

4) convertir la somme en produit cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) convertir le produit en la somme 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) abaisser le degré de sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) substitution trigonométrique universelle sinx + 5cosx + 5 = 0.

Lors de la résolution de cette équation, il convient de noter que l'utilisation cette méthode conduit à un rétrécissement du domaine de définition, puisque le sinus et le cosinus sont remplacés par tg(x/2). Par conséquent, avant d'écrire la réponse, il est nécessaire de vérifier si les nombres de l'ensemble π + 2πn, n Z sont des chevaux de cette équation.

8) introduction d'un angle auxiliaire √3sinx + cosx - √2 = 0

9) multiplication par une fonction trigonométrique cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Sélection des racines des équations trigonométriques (20 min.)

Étant donné que dans les conditions de concurrence féroce lors de l'entrée à l'université, la solution d'une première partie de l'examen ne suffit pas, la plupart des étudiants doivent prêter attention aux tâches de la deuxième partie (C1, C2, C3).

Par conséquent, le but de cette étape de la leçon est de rappeler la matière étudiée précédemment, pour se préparer à résoudre le problème C1 de l'USE en 2011.

Exister équations trigonométriques, dans lequel il est nécessaire de sélectionner les racines lors de l'extraction de la réponse. Cela est dû à certaines restrictions, par exemple : le dénominateur d'une fraction n'est pas égal à zéro, l'expression sous la racine d'un degré pair est non négative, l'expression sous le signe du logarithme est positive, etc.

Ces équations sont considérées comme des équations de complexité accrue et en version de l'examen sont dans la deuxième partie, à savoir C1.

Résous l'équation:

La fraction est nulle si alors en utilisant le cercle unité, nous sélectionnerons les racines (voir Figure 1)

Image 1.

on obtient x = π + 2πn, n Z

Réponse : π + 2πn, n Z

Sur l'écran, la sélection des racines est indiquée sur un cercle dans une image en couleur.

Le produit est égal à zéro lorsqu'au moins un des facteurs est égal à zéro, et l'arc, en même temps, ne perd pas son sens. Alors

À l'aide du cercle unité, sélectionnez les racines (voir Figure 2)

Figure 2.

5)

Passons au système :

Dans la première équation du système, on fait le changement log 2 (sinx) = y, on obtient alors l'équation , retour au système

à l'aide du cercle unité, on sélectionne les racines (voir Figure 5),

Figure 5

6. Travail indépendant (15 min.)

L'objectif est de consolider et de vérifier l'assimilation de la matière, d'identifier les erreurs et d'esquisser des pistes pour les corriger.

L'ouvrage est proposé en trois versions, préparées à l'avance sur une base imprimée, au choix des étudiants.

Les équations peuvent être résolues de n'importe quelle manière.

Options pour "3"

Résoudre des équations :

1) 2sin 2 x + sinx - 1 = 0

2) sin2x = √3cosx

Options pour "4"

Résoudre des équations :

1) cos2x = 11sinx - 5

2) (2sinx + √3)log 8 (cosx) = 0

Options pour "5"

Résoudre des équations :

1) 2sinx - 3cosx = 2

2)

7. Résumé de la leçon, devoirs (5 min.)

L'enseignant résume la leçon, attire à nouveau l'attention sur le fait que l'équation trigonométrique peut être résolue de plusieurs manières. Plus Le meilleur moyen pour la réalisation résultats rapides c'est celui qui est le mieux appris par un élève en particulier.

Lors de la préparation de l'examen, vous devez répéter systématiquement les formules et les méthodes de résolution des équations.

Des devoirs (préparés à l'avance sur une base imprimée) sont distribués et des façons de résoudre certaines équations sont commentées.

Résoudre des équations :

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0

3) 4sin 2x + sin2x = 3

4) péché 2 x + péché 2 2x - péché 2 3x - péché 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8) cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8) cos15x

9) (2sin 2 x - sinx)log 3 (2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x - √3cosx)log 7 (-tgx) = 0

11)

Voronkova Olga Ivanovna

MBOU "L'école secondaire

N° 18"

Engels, région de Saratov.

Professeur de mathématiques.

"Les expressions trigonométriques et leurs transformations"

Présentation …………………………………………………………………………....3

Chapitre 1 Classification des tâches pour l'utilisation des transformations d'expressions trigonométriques ………………………….……………………...5

1.1. Tâches de calcul valeurs des expressions trigonométriques……….5

1.2.Tâches pour simplifier les expressions trigonométriques .... 7

1.3. Tâches pour la conversion d'expressions trigonométriques numériques ... ..7

1.4 Tâches mixtes…………………………………………………….....9

Chapitre 2

2.1 Redoublement thématique en 10e année…………………………………………...11

Essai 1……………………………………………………………………………..12

Essai 2………………………………………………………………………………..13

Essai 3………………………………………………………………………………..14

2.2 Redoublement final en 11e année…………………………………………...15

Essai 1………………………………………………………………………………..17

Essai 2………………………………………………………………………………..17

Essai 3………………………………………………………………………………..18

Conclusion.……………………………………………………………………......19

Liste de la littérature utilisée………………………………………..…….20

Introduction.

Dans les conditions actuelles, la question la plus importante est : « Comment pouvons-nous contribuer à combler certaines lacunes dans les connaissances des élèves et les mettre en garde contre erreurs possiblesà l'examen ? Pour résoudre ce problème, il est nécessaire d'obtenir des étudiants non pas une assimilation formelle du matériel du programme, mais sa compréhension profonde et consciente, le développement de la vitesse des calculs et des transformations oraux, ainsi que le développement de compétences pour résoudre les problèmes les plus simples. problèmes "dans l'esprit". Il faut convaincre les élèves que seulement s'il y a poste actif, dans l'étude des mathématiques, sous réserve de l'acquisition de compétences pratiques et de leur utilisation, vous pouvez compter sur un réel succès. Il est nécessaire de saisir toutes les occasions de se préparer à l'examen, y compris les matières facultatives de la 10e à la 11e année, pour analyser régulièrement des tâches complexes avec les élèves, en choisissant la manière la plus rationnelle de les résoudre en classe et dans les cours supplémentaires.résultat positif endomaines de solutions tâches typiques peut être atteint si les professeurs de mathématiques, en créantbonne formation de base des étudiants, chercher de nouvelles façons de résoudre les problèmes qui se sont posés devant nous, expérimenter activement, appliquer les technologies, méthodes et techniques pédagogiques modernes qui créent des conditions favorables à une autoréalisation et à une autodétermination efficaces des étudiants dans nouvelles conditions sociales.

Trigonométrie - composant cours de mathématiques à l'école. De bonnes connaissances et de solides compétences en trigonométrie attestent d'un niveau suffisant de culture mathématique, condition indispensable à la réussite de l'étude des mathématiques, de la physique, et d'un certain nombre de disciplines techniques. disciplines.

La pertinence du travail. Une part importante des diplômés du secondaire affiche d'année en année une très mauvaise préparation dans cette importante section des mathématiques, comme en témoignent les résultats des années passées (pourcentage d'achèvement en 2011-48,41 %, 2012-51,05 %), puisque l'analyse des taux de réussite l'examen d'État unifié a montré que les étudiants commettent de nombreuses erreurs lors de l'exécution des devoirs de cette section particulière ou n'entreprennent pas du tout de tels devoirs. Dans une Les questions d'examen d'État en trigonométrie se retrouvent dans presque trois types de tâches. Il s'agit de la solution des équations trigonométriques les plus simples dans la tâche B5, et de travailler avec des expressions trigonométriques dans la tâche B7, et l'étude des fonctions trigonométriques dans la tâche B14, ainsi que les tâches B12, dans lesquelles il y a des formules décrivant phénomènes physiques et contenant des fonctions trigonométriques. Et ce n'est qu'une partie des tâches B ! Mais il y a aussi des équations trigonométriques préférées avec la sélection des racines C1, et "pas très préférées" tâches géométriques C2 et C4.

Objectif. Analyser le matériel des tâches USE B7, consacrées à la transformation d'expressions trigonométriques et classer les tâches selon la forme de leur présentation dans les épreuves.

Le travail se compose de deux chapitres, introduction et conclusion. L'introduction souligne la pertinence de l'ouvrage. Le premier chapitre fournit une classification des tâches pour l'utilisation des transformations d'expressions trigonométriques dans le test UTILISER les devoirs(2012).

Dans le deuxième chapitre, l'organisation de la répétition du sujet "Transformation des expressions trigonométriques" en 10e, 11e année est envisagée et des tests sur ce sujet sont développés.

La liste des références comprend 17 sources.

Chapitre 1. Classification des tâches pour l'utilisation des transformations d'expressions trigonométriques.

Conformément à la norme de l'enseignement secondaire (complet) et aux exigences relatives au niveau de formation des étudiants, les tâches de connaissance des bases de la trigonométrie sont incluses dans le codificateur des exigences.

Apprendre les bases de la trigonométrie sera plus efficace lorsque :

les étudiants seront positivement motivés pour répéter le matériel déjà étudié;

une approche centrée sur l'étudiant sera mise en œuvre dans le processus éducatif;

un système de tâches sera appliqué qui contribue à l'expansion, à l'approfondissement et à la systématisation des connaissances des étudiants;

des technologies pédagogiques avancées seront utilisées.

Après analyse de la littérature et des ressources Internet de préparation à l'examen, nous avons proposé une des classifications possibles des tâches B7 (KIM USE 2012-trigonométrie) : tâches de calculvaleurs des expressions trigonométriques ; missions pourconversion d'expressions trigonométriques numériques; devoirs pour la transformation d'expressions trigonométriques littérales; tâches mixtes.

1.1. Tâches de calcul valeurs des expressions trigonométriques.

L'un des types les plus courants de problèmes simples de trigonométrie est le calcul des valeurs des fonctions trigonométriques par la valeur de l'une d'entre elles :

a) Utilisation de l'identité trigonométrique de base et de ses corollaires.

Exemple 1 . Trouver si
et
.

La solution.
,
,

Car , alors
.

Réponse.

Exemple 2 . Trouver
, si
et .

La solution.
,
,
.

Car , alors
.

Réponse. .

b) Utilisation de formules d'angle double.

Exemple 3 . Trouver
, si
.

La solution. , .

Réponse.
.

Exemple 4 . Trouver la valeur d'une expression
.

La solution. .

Réponse.
.

1. Trouver , si
et
. Réponse. -0,2

2. Trouver , si
et
. Réponse. 0,4

3. Trouver
, si . Réponse. -12.884. Trouver
, si
. Réponse. -0,845. Trouvez la valeur de l'expression :
. Réponse. 66. Trouver la valeur d'une expression
.Réponse. -19

1.2.Tâches pour simplifier les expressions trigonométriques. Les formules de réduction doivent être bien maîtrisées par les élèves, car elles seront ensuite utilisées dans les cours de géométrie, de physique et d'autres disciplines connexes.

Exemple 5 . Simplifier les expressions
.

La solution. .

Réponse.
.

Tâches pour une solution indépendante :

1. Simplifier l'expression
. Réponse. 0,62. Trouver
, si
et. Réponse. 10.563. Trouver la valeur d'une expression
, si
. Réponse. 2

1.3. Tâches pour la transformation d'expressions trigonométriques numériques.

Lors du développement des compétences et des capacités des tâches de conversion d'expressions trigonométriques numériques, il convient de prêter attention à la connaissance du tableau des valeurs des fonctions trigonométriques, des propriétés de parité et de périodicité des fonctions trigonométriques.

a) Utilisation valeurs exactes fonctions trigonométriques pour certains angles.

Exemple 6 . Calculer
.

La solution.
.

Réponse.
.

b) Utilisation des propriétés de parité fonctions trigonométriques.

Exemple 7 . Calculer
.

La solution. .

Réponse.

dans) Utilisation des propriétés de périodicitéfonctions trigonométriques.

Exemple 8 . Trouver la valeur d'une expression
.

La solution. .

Réponse.
.

Tâches pour une solution indépendante :

1. Trouver la valeur d'une expression
. Réponse. -40,52. Trouver la valeur de l'expression
. Réponse. 17

3. Trouver la valeur d'une expression
. Réponse. 6

. Réponse. -24
Réponse. -64

1.4 Tâches mixtes.

Le formulaire de test de certification a des caractéristiques très importantes, il est donc important de prêter attention aux tâches associées à l'utilisation de plusieurs formules trigonométriques en même temps.

Exemple 9 Trouver
, si
.

La solution.
.

Réponse.
.

Exemple 10 . Trouver
, si
et
.

La solution. .

Car , alors
.

Réponse.
.

Exemple 11. Trouver
, si .

La solution. , ,
,
,
,
,
.

Réponse.

Exemple 12. Calculer
.

La solution. .

Réponse.
.

Exemple 13 Trouver la valeur d'une expression
, si
.

La solution. .

Réponse.
.

Tâches pour une solution indépendante :

1. Trouver
, si
. Réponse. -1,75
2. Trouver
, si
. Réponse. 33. Trouvez
, si .Réponse. 0,254. Trouver la valeur de l'expression
, si
. Réponse. 0,35. Trouver la valeur de l'expression
, si
. Réponse. 5

Chapitre 2. Aspects méthodologiques Organisation de la répétition finale du sujet "Transformation des expressions trigonométriques".

L'un des problèmes les plus importants contribuant à l'amélioration des performances scolaires, à l'acquisition de connaissances approfondies et solides chez les étudiants, est la question de la répétition du matériel déjà étudié. La pratique montre qu'en 10e année, il est plus opportun d'organiser une répétition thématique ; en 11e année - la répétition finale.

2.1. Répétition thématique en 10e année.

En train de travailler sur du matériel mathématique, en particulier grande importance acquiert une répétition de chaque sujet terminé ou une section entière du cours.

Avec la répétition thématique, les connaissances des élèves sur le sujet sont systématisées au stade final de son passage ou après une pause.

Pour la répétition thématique, des leçons spéciales sont attribuées, sur lesquelles le matériel d'un sujet particulier est concentré et généralisé.

La répétition dans la leçon est réalisée à travers une conversation avec une large implication des élèves dans cette conversation. Après cela, les étudiants sont chargés de répéter un certain sujet et sont avertis qu'il y aura des crédits de travail sur les tests.

Un test sur un sujet doit inclure toutes ses questions principales. Une fois le travail terminé, les erreurs caractéristiques sont analysées et une répétition est organisée pour les éliminer.

Pour les cours de répétition thématique, nous proposons des cours développés papiers de test sur le thème "Conversion d'expressions trigonométriques".

Essai #1

Essai #2

Essai #3

Tableau de réponses

Test

2.2. Répétition finale en 11e année.

La répétition finale est effectuée au stade final de l'étude des principaux enjeux du cours de mathématiques et s'effectue en lien logique avec l'étude du matériel pédagogique de cette section ou du cours dans son ensemble.

La répétition finale du matériel pédagogique a les objectifs suivants :

1. Activation de la matière de l'ensemble formation clarifier sa structure logique et construire un système au sein du sujet et des relations inter-sujets.

2. Approfondir et, si possible, élargir les connaissances des étudiants sur les principaux enjeux du cours en voie de redoublement.

Dans le cadre de l'examen obligatoire de mathématiques pour tous les bacheliers, l'introduction progressive de l'USE amène les enseignants à adopter une nouvelle approche de la préparation et de la conduite des cours, en tenant compte de la nécessité de s'assurer que tous les élèves maîtrisent le matériel pédagogique à un niveau de base, ainsi que l'opportunité pour les étudiants motivés intéressés à obtenir des scores élevés pour l'admission dans une université, un avancement dynamique dans la maîtrise du matériel à un niveau accru et élevé.

Dans les leçons de la répétition finale, vous pouvez envisager les tâches suivantes :

Exemple 1 . Calculez la valeur de l'expression .La solution. =
= =
=
=
=
=0,5. Réponse. 0,5. Exemple 2 Spécifiez la plus grande valeur entière que l'expression peut prendre
.

La solution. Car
peut prendre n'importe quelle valeur appartenant au segment [–1; 1], puis
prend n'importe quelle valeur du segment [–0,4 ; 0,4], donc . La valeur entière de l'expression est un - le nombre 4.

Réponse : 4 Exemple 3 . Simplifier l'expression
.

Solution : Utilisons la formule de factorisation de la somme des cubes : . Nous avons

Nous avons:
.

Réponse 1

Exemple 4 Calculer
.

La solution. .

Réponse : 0,28

Pour les leçons de la répétition finale, nous proposons des tests développés sur le thème "Conversion d'expressions trigonométriques".

Spécifiez le plus grand nombre entier ne dépassant pas 1

Conclusion.

Après avoir parcouru la littérature méthodologique pertinente sur ce sujet, nous pouvons conclure que la capacité et les compétences pour résoudre des tâches liées aux transformations trigonométriques dans le cours de mathématiques à l'école sont très importantes.

Au cours des travaux effectués, la classification des tâches B7 a été effectuée. Les formules trigonométriques les plus fréquemment utilisées dans les MMT de 2012 sont considérées. Des exemples de tâches avec des solutions sont donnés. Des tests différentiables ont été développés pour organiser la répétition et la systématisation des connaissances en préparation à l'examen.

Il convient de poursuivre le travail commencé, compte tenu la solution des équations trigonométriques les plus simples dans la tâche B5, l'étude des fonctions trigonométriques dans la tâche B14, la tâche B12, dans laquelle se trouvent des formules décrivant des phénomènes physiques et contenant des fonctions trigonométriques.

En conclusion, je voudrais souligner que l'efficacité de la réussite à l'examen est largement déterminée par l'efficacité avec laquelle le processus de préparation est organisé à tous les niveaux d'enseignement, avec toutes les catégories d'étudiants. Et si nous parvenons à former les étudiants à l'indépendance, à la responsabilité et à la volonté de continuer à apprendre tout au long de leur vie ultérieure, alors non seulement nous respecterons l'ordre de l'État et de la société, mais nous augmenterons également notre propre estime de soi.

La répétition du matériel didactique oblige l'enseignant travail créatif. Il doit établir un lien clair entre les types de répétition, mettre en œuvre un système de répétition profondément réfléchi. Maîtriser l'art d'organiser la répétition est la tâche de l'enseignant. La force des connaissances des élèves dépend en grande partie de sa solution.

Littérature.

Vygodsky Ya.Ya., Manuel de mathématiques élémentaires. -M. : Nauka, 1970.

Tâches de difficulté accrue en algèbre et les débuts de l'analyse : manuel de la 10e à la 11e année lycée/ B.M. Ivlev, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn, S.I. Schwarzburd. – M. : Lumières, 1990.

Application des formules trigonométriques de base à la transformation d'expressions (10e année) //Festival idées pédagogiques. 2012-2013.

Korianov A.G. , Prokofiev A.A. Nous préparons de bons étudiants et d'excellents étudiants à l'examen. - M. : Université Pédagogique "Premier Septembre", 2012.- 103 p.

Kuznetsova E.N. Simplification des expressions trigonométriques. Résolution d'équations trigonométriques diverses méthodes(préparation à l'examen). 11e année. 2012-2013.

Kulanin E.D. 3000 problèmes compétitifs en mathématiques. 4e id., correcte. et supplémentaire – M. : Rolf, 2000.

Mordkovitch A.G. Problèmes méthodiques d'étude de la trigonométrie dans une école d'enseignement général // Mathématiques à l'école. 2002. N° 6.

Pichurin L.F. De la trigonométrie et pas que d'elle : -M. Lumières, 1985

Reshetnikov N.N. Trigonométrie à l'école : -M. : Université pédagogique "Premier septembre", 2006, lk 1.

Shabunin M.I., Prokofiev A.A. Mathématiques. Algèbre. Débuts de l'analyse mathématique.Niveau du profil: manuel pour la 10e année - M.: BINOM. Laboratoire de connaissances, 2007.

Portail pédagogique de préparation à l'examen.

Préparation à l'examen de mathématiques « Oh, cette trigonométrie ! http://festival.1september.ru/articles/621971/

Projet "Mathématiques ? Facile !!!" http://www.resolventa.ru/

La leçon vidéo "Simplification des expressions trigonométriques" est conçue pour développer les compétences des élèves dans la résolution de problèmes trigonométriques à l'aide d'identités trigonométriques de base. Au cours de la leçon vidéo, des types d'identités trigonométriques sont considérés, des exemples de résolution de problèmes les utilisant. En utilisant des aides visuelles, il est plus facile pour l'enseignant d'atteindre les objectifs de la leçon. Une présentation vivante du matériel contribue à la mémorisation les points importants. L'utilisation d'effets d'animation et de doublage vous permet de remplacer complètement l'enseignant au stade de l'explication du matériel. Ainsi, en utilisant cette aide visuelle dans les cours de mathématiques, l'enseignant peut augmenter l'efficacité de l'enseignement.

Au début de la leçon vidéo, son sujet est annoncé. Puis les identités trigonométriques étudiées précédemment sont rappelées. L'écran affiche les égalités sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, où t≠π/2+πk pour kϵZ, ctg t=cos t/sin t, vrai pour t≠πk, où kϵZ, tan t · ctg t=1, à t≠πk/2, où kϵZ, appelées identités trigonométriques de base. On note que ces identités sont souvent utilisées pour résoudre des problèmes où il est nécessaire de prouver l'égalité ou de simplifier l'expression.

De plus, des exemples d'application de ces identités dans la résolution de problèmes sont considérés. Dans un premier temps, il est proposé d'envisager la résolution de problèmes de simplification d'expressions. Dans l'exemple 1, il faut simplifier l'expression cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Pour résoudre l'exemple, le facteur commun cos 2 t est d'abord mis entre parenthèses. À la suite d'une telle transformation entre parenthèses, l'expression 1-cos 2 t est obtenue, dont la valeur à partir de l'identité de base de la trigonométrie est égale à sin 2 t. Après la transformation de l'expression, il est évident qu'un autre facteur commun sin 2 t peut être retiré des parenthèses, après quoi l'expression prend la forme sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t). De la même identité de base, on déduit la valeur de l'expression entre parenthèses égale à 1. Par simplification, on obtient cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

Dans l'exemple 2, l'expression coût/(1- sint)+ coût/(1+ sint) doit également être simplifiée. Étant donné que le coût de l'expression est dans les numérateurs des deux fractions, il peut être mis entre parenthèses comme facteur commun. Ensuite, les fractions entre parenthèses sont réduites à un dénominateur commun en multipliant (1- sint)(1+ sint). Après réduction des termes similaires, 2 reste au numérateur et 1 - sin 2 t au dénominateur. A droite de l'écran, l'identité trigonométrique de base sin 2 t+cos 2 t=1 est rappelée. En l'utilisant, nous trouvons le dénominateur de la fraction cos 2 t. Après avoir réduit la fraction, nous obtenons une forme simplifiée de l'expression coût / (1- sint) + coût / (1 + sint) \u003d 2 / coût.

Ensuite, nous considérons des exemples de preuves d'identités dans lesquelles les connaissances acquises sur les identités de base de la trigonométrie sont appliquées. Dans l'exemple 3, il faut prouver l'identité (tg 2 t - sin 2 t)·ctg 2 t = sin 2 t. Le côté droit de l'écran affiche trois identités qui seront nécessaires pour la preuve - tg t ctg t=1, ctg t=cos t/sin t et tg t=sin t/cos t avec restrictions. Pour prouver l'identité, les parenthèses sont d'abord ouvertes, après quoi un produit est formé qui reflète l'expression de l'identité trigonométrique principale tg t·ctg t=1. Ensuite, selon l'identité de la définition de la cotangente, ctg 2 t est transformé. À la suite de transformations, l'expression 1-cos 2 t est obtenue. En utilisant l'identité de base, nous trouvons la valeur de l'expression. Ainsi, il est prouvé que (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

Dans l'exemple 4, vous devez trouver la valeur de l'expression tg 2 t+ctg 2 t si tg t+ctg t=6. Pour évaluer l'expression, les côtés droit et gauche de l'équation (tg t+ctg t) 2 =6 2 sont d'abord élevés au carré. La formule de multiplication abrégée s'affiche sur le côté droit de l'écran. Après ouverture des parenthèses à gauche de l'expression, on forme la somme tg 2 t+2 tg t ctg t+ctg 2 t, pour la transformation de laquelle on peut appliquer l'une des identités trigonométriques tg t ctg t=1, dont la forme est rappelée sur la partie droite de l'écran. Après la transformation, l'égalité tg 2 t + ctg 2 t = 34 est obtenue. Le côté gauche de l'égalité coïncide avec la condition du problème, donc la réponse est 34. Le problème est résolu.

La leçon vidéo "Simplifier les expressions trigonométriques" est recommandée pour une utilisation dans une leçon de mathématiques scolaire traditionnelle. De plus, le matériel sera utile à un enseignant qui dispense un enseignement à distance. Afin de former une compétence dans la résolution de problèmes trigonométriques.

INTERPRÉTATION DU TEXTE :

"Simplification des expressions trigonométriques".

Égalité

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus au carré te plus cosinus au carré te égale un)

2) cible =, à t ≠ + πk, kϵZ (la tangente de te est égale au rapport du sinus de te au cosinus de te lorsque te n'est pas égal à pi par deux plus pi ka, ka appartient à zet)

3) ctgt = , à t ≠ πk, kϵZ (la cotangente de te est égale au rapport du cosinus de te au sinus de te lorsque te n'est pas égal au pic de ka, qui appartient à z).

4)cible ∙ ctgt = 1 pour t ≠ , kϵZ

sont appelées identités trigonométriques de base.

Ils sont souvent utilisés pour simplifier et prouver des expressions trigonométriques.

Considérez des exemples d'utilisation de ces formules lors de la simplification d'expressions trigonométriques.

EXEMPLE 1. Simplifiez l'expression : cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (expression un cosinus au carré de te moins le cosinus du quatrième degré de te plus le sinus du quatrième degré de te).

La solution. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1= sin 2 t

(on sort le facteur commun cosinus carré te, entre parenthèses on obtient la différence entre l'unité et le carré du cosinus te, qui est égal au carré du sinus te par la première identité. On obtient la somme du sinus de la quatrième degré te du produit du cosinus carré te et du sinus carré te. Nous sortons le facteur commun sinus carré te en dehors des parenthèses, nous obtenons entre parenthèses la somme des carrés du cosinus et du sinus, qui, selon la base trigonométrique identité, est égal à 1. Par conséquent, nous obtenons le carré du sinus te).

EXEMPLE 2. Simplifiez l'expression : + .

(expression soit la somme de deux fractions au numérateur du premier cosinus te au dénominateur un moins le sinus te, au numérateur du second cosinus te au dénominateur du second plus le sinus te).

(Nous prenons le facteur commun cosinus te entre parenthèses, et entre parenthèses nous l'amenons à un dénominateur commun, qui est le produit de un moins le sinus te par un plus le sinus te.

Au numérateur, nous obtenons: un plus sinus te plus un moins sinus te, nous donnons des semblables, le numérateur est égal à deux après avoir apporté des semblables.

Au dénominateur, vous pouvez appliquer la formule de multiplication abrégée (différence des carrés) et obtenir la différence entre l'unité et le carré du sinus te, qui, selon l'identité trigonométrique de base

est égal au carré du cosinus te. Après avoir réduit par le cosinus te, nous obtenons la réponse finale : deux divisé par le cosinus te).

Considérons des exemples d'utilisation de ces formules dans la preuve d'expressions trigonométriques.

EXEMPLE 3. Prouver l'identité (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d sin 2 t (le produit de la différence entre les carrés de la tangente de te et du sinus de te et le carré de la cotangente de te est égal au carré du sinus de te).

Preuve.

Transformons le côté gauche de l'égalité :

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = péché 2 t

(Ouvrons les parenthèses, d'après la relation obtenue précédemment, on sait que le produit des carrés de la tangente de te par la cotangente de te est égal à un. Rappelons que la cotangente de te est égale au rapport du cosinus de te au sinus de te, ce qui signifie que le carré de la cotangente est le rapport du carré du cosinus de te au carré du sinus de te.

Après réduction par le sinus au carré de te, on obtient la différence entre l'unité et le cosinus du carré de te, qui est égal au sinus du carré de te). Q.E.D.

EXEMPLE 4. Trouver la valeur de l'expression tg 2 t + ctg 2 t si tgt + ctgt = 6.

(la somme des carrés de la tangente de te et de la cotangente de te, si la somme de la tangente et de la cotangente est de six).

La solution. (cible + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ cible ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Mettons au carré les deux parties de l'égalité d'origine :

(cible + ctgt) 2 = 6 2 (le carré de la somme de la tangente de te et de la cotangente de te est six au carré). Rappelez-vous la formule de multiplication abrégée : Le carré de la somme de deux quantités est égal au carré de la première plus deux fois le produit de la première et de la seconde plus le carré de la seconde. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 On obtient tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 .

Puisque le produit de la tangente de te et de la cotangente de te est égal à un, alors tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (la somme des carrés de la tangente de te et de la cotangente de te et deux est trente-six),

Sections: Mathématiques

Classer: 11

Leçon 1

Sujet: 11e année (préparation à l'examen)

Simplification des expressions trigonométriques.

Solution des équations trigonométriques les plus simples. (2 heures)

Buts:

• Systématiser, généraliser, élargir les connaissances et les compétences des élèves liées à l'utilisation des formules de trigonométrie et à la résolution des équations trigonométriques les plus simples.

Matériel pour le cours :

Structure de la leçon :

1. Orgmoment
2. Tests sur portables. La discussion des résultats.
3. Simplifier les expressions trigonométriques
4. Solution des équations trigonométriques les plus simples
5. Travail indépendant.
6. Résumé de la leçon. Explication des devoirs.

1. Moment organisationnel. (2 minutes.)

L'enseignant salue le public, annonce le sujet de la leçon, rappelle que la tâche a été précédemment donnée de répéter les formules de trigonométrie et prépare les élèves pour les tests.

2. Tests. (15min + 3min de discussion)

Le but est de tester la connaissance des formules trigonométriques et la capacité à les appliquer. Chaque étudiant a un ordinateur portable sur son bureau dans lequel il y a une option de test.

Il peut y avoir un certain nombre d'options, je vais donner un exemple de l'une d'entre elles :

J'option.

Simplifiez les expressions :

a) identités trigonométriques de base

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) formules d'addition

3. sin5x - sin3x ;

c) convertir un produit en une somme

6. 2sin8y cos3y ;

d) formules d'angles doubles

7.2sin5x cos5x ;

e) formules de demi-angle

f) formules d'angles triples

g) substitution universelle

h) abaisser le degré

16.cos 2 (3x/7);

Les étudiants sur un ordinateur portable devant chaque formule voient leurs réponses.

Le travail est instantanément vérifié par l'ordinateur. Les résultats sont affichés sur un grand écran pour que tout le monde puisse les voir.

De plus, après la fin du travail, les bonnes réponses sont affichées sur les ordinateurs portables des élèves. Chaque élève voit où l'erreur a été commise et quelles formules il doit répéter.

3. Simplification des expressions trigonométriques. (25 min.)

Le but est de répéter, d'élaborer et de consolider l'application des formules de base de la trigonométrie. Résoudre les problèmes B7 de l'examen.

À ce stade, il est conseillé de diviser la classe en groupes d'élèves forts (travaillez de manière indépendante avec vérification ultérieure) et d'élèves faibles qui travaillent avec l'enseignant.

Devoir pour étudiants forts (préparé à l'avance sur une base imprimée). L'accent est mis sur les formules de réduction et d'angle double, selon l'USE 2011.

Simplifier les expressions (pour les apprenants forts) :

En parallèle, l'enseignant travaille avec des élèves faibles, discutant et résolvant des tâches à l'écran sous la dictée des élèves.

Calculer:

5) sin(270º - α) + cos(270º + α)

6)

Simplifier:

Ce fut au tour de discuter des résultats des travaux du groupe fort.

Les réponses apparaissent à l'écran, et aussi, à l'aide d'une caméra vidéo, le travail de 5 élèves différents est affiché (une tâche pour chacun).

Le groupe faible voit la condition et la méthode de résolution. Il y a discussion et analyse. Avec l'utilisation de moyens techniques, cela se fait rapidement.

4. Solution des équations trigonométriques les plus simples. (30 minutes.)

Le but est de répéter, systématiser et généraliser la solution des équations trigonométriques les plus simples, en enregistrant leurs racines. Solution du problème B3.

Toute équation trigonométrique, quelle que soit la manière dont on la résout, conduit à la plus simple.

Lors de l'exécution de la tâche, les élèves doivent faire attention à écrire les racines des équations des cas particuliers et de la forme générale et à la sélection des racines dans la dernière équation.

Résoudre des équations :

Écrivez la plus petite racine positive de la réponse.

5. Travail indépendant (10 min.)

L'objectif est de tester les compétences acquises, d'identifier les problèmes, les erreurs et les moyens de les éliminer.

Une variété de travaux est offerte au choix de l'étudiant.

Options pour "3"

1) Trouver la valeur de l'expression

2) Simplifier l'expression 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Résolvez l'équation

Options pour "4"

1) Trouver la valeur de l'expression

2) Résolvez l'équation Écrivez la plus petite racine positive de votre réponse.

Options pour "5"

1) Trouver tgα si

2) Trouver la racine de l'équation Écrivez la plus petite racine positive de votre réponse.

6. Résumé de la leçon (5 min.)

L'enseignant résume le fait que la leçon a répété et consolidé des formules trigonométriques, la solution des équations trigonométriques les plus simples.

Les devoirs sont assignés (préparés à l'avance sur une base imprimée) avec une vérification ponctuelle lors de la prochaine leçon.

Résoudre des équations :

9)

10) Donnez votre réponse sous la forme de la plus petite racine positive.

Leçon 2

Sujet: 11e année (préparation à l'examen)

Méthodes de résolution d'équations trigonométriques. Sélection racine. (2 heures)

Buts:

• Généraliser et systématiser les connaissances sur la résolution d'équations trigonométriques de différents types.
• Promouvoir le développement de la pensée mathématique des élèves, la capacité d'observer, de comparer, de généraliser, de classer.
• Encourager les élèves à surmonter les difficultés dans le processus de l'activité mentale, à la maîtrise de soi, à l'introspection de leurs activités.

Matériel pour le cours : KRMu, des ordinateurs portables pour chaque étudiant.

Structure de la leçon :

1. Orgmoment
2. Discussion d/s et samot. le travail de la dernière leçon
3. Répétition de méthodes de résolution d'équations trigonométriques.
4. Résolution d'équations trigonométriques
5. Sélection des racines dans les équations trigonométriques.
6. Travail indépendant.
7. Résumé de la leçon. Devoirs.

1. Moment d'organisation (2 min.)

L'enseignant salue le public, annonce le sujet de la leçon et le plan de travail.

2. a) Analyse des devoirs (5 min.)

Le but est de vérifier les performances. Un travail à l'aide d'une caméra vidéo est affiché sur l'écran, le reste est collecté de manière sélective pour que l'enseignant puisse le vérifier.

b) Analyse du travail indépendant (3 min.)

Le but est de trier les erreurs, d'indiquer les moyens de les surmonter.

Sur l'écran se trouvent les réponses et les solutions, les élèves ont pré-publié leur travail. L'analyse va vite.

3. Répétition de méthodes de résolution d'équations trigonométriques (5 min.)

Le but est de rappeler des méthodes de résolution d'équations trigonométriques.

Demandez aux élèves quelles méthodes de résolution d'équations trigonométriques ils connaissent. Insistez sur le fait qu'il existe des méthodes dites basiques (fréquemment utilisées) :

• substitution de variables,
• factorisation,
• équations homogènes,

et il existe des méthodes appliquées:

• selon les formules de conversion d'une somme en produit et d'un produit en somme,
• par les formules de réduction,
• substitution trigonométrique universelle
• introduction d'un angle auxiliaire,
• multiplication par une fonction trigonométrique.

Il convient également de rappeler qu'une équation peut être résolue de différentes manières.

4. Résolution d'équations trigonométriques (30 min.)

L'objectif est de généraliser et de consolider les connaissances et les compétences sur ce sujet, pour se préparer à résoudre C1 à partir de l'USE.

Je considère qu'il est opportun de résoudre les équations pour chaque méthode avec les élèves.

L'élève dicte la solution, le professeur écrit sur la tablette, tout le processus s'affiche à l'écran. Cela vous permettra de restaurer rapidement et efficacement le matériel précédemment couvert dans votre mémoire.

Résoudre des équations :

1) changement de variable 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) factorisation 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) équations homogènes sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) convertir la somme en produit cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) convertir le produit en la somme 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) abaisser le degré de sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) substitution trigonométrique universelle sinx + 5cosx + 5 = 0.

Lors de la résolution de cette équation, il convient de noter que l'utilisation de cette méthode conduit à un rétrécissement du domaine de définition, puisque le sinus et le cosinus sont remplacés par tg(x/2). Par conséquent, avant d'écrire la réponse, il est nécessaire de vérifier si les nombres de l'ensemble π + 2πn, n Z sont des chevaux de cette équation.

8) introduction d'un angle auxiliaire √3sinx + cosx - √2 = 0

9) multiplication par une fonction trigonométrique cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Sélection des racines des équations trigonométriques (20 min.)

Étant donné que dans les conditions de concurrence féroce lors de l'entrée à l'université, la solution d'une première partie de l'examen ne suffit pas, la plupart des étudiants doivent prêter attention aux tâches de la deuxième partie (C1, C2, C3).

Par conséquent, le but de cette étape de la leçon est de rappeler la matière étudiée précédemment, pour se préparer à résoudre le problème C1 de l'USE en 2011.

Il existe des équations trigonométriques dans lesquelles vous devez sélectionner les racines lors de la rédaction de la réponse. Cela est dû à certaines restrictions, par exemple : le dénominateur d'une fraction n'est pas égal à zéro, l'expression sous la racine d'un degré pair est non négative, l'expression sous le signe du logarithme est positive, etc.

Ces équations sont considérées comme des équations de complexité accrue et dans la version USE, elles se trouvent dans la deuxième partie, à savoir C1.

Résous l'équation:

La fraction est nulle si alors en utilisant le cercle unité, nous sélectionnerons les racines (voir Figure 1)

Image 1.

on obtient x = π + 2πn, n Z

Réponse : π + 2πn, n Z

Sur l'écran, la sélection des racines est indiquée sur un cercle dans une image en couleur.

Le produit est égal à zéro lorsqu'au moins un des facteurs est égal à zéro, et l'arc, en même temps, ne perd pas son sens. Alors

À l'aide du cercle unité, sélectionnez les racines (voir Figure 2)