Définition et méthodes de spécification d'une séquence numérique. Séquences de nombres et méthodes pour les spécifier

2. Définir opération arithmétique, à l'aide duquel la moyenne est obtenue à partir de deux nombres extrêmes, et au lieu du signe *, insérez le nombre manquant : ,3104.62.51043.60.94 1.7*4.43.1*37.2*0.8

3. Les élèves ont résolu une tâche dans laquelle ils devaient trouver des nombres manquants. Ils ont obtenu des réponses différentes. Trouvez les règles selon lesquelles les gars ont rempli les cellules. Tâche Réponse 1Réponse

Définition séquence de nombres On dit qu'une séquence numérique est donnée si, selon une loi, chaque nombre naturel (numéro de lieu) est associé de manière unique à un certain nombre (membre de la séquence). D'une manière générale, cette correspondance peut être représentée comme suit : y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, ..., y n, ... ... n ... Le nombre n est le nième terme de la séquence. La séquence entière est généralement notée (y n).

Méthode analytique de spécification de séquences numériques Une séquence est spécifiée analytiquement si la formule du nième terme est spécifiée. Par exemple, 1) y n= n 2 – tâche analytique de la séquence 1, 4, 9, 16, … 2) y n= С – séquence constante (stationnaire) 2) y n= 2 n – tâche analytique de la séquence 2, 4 , 8, 16, ... Résoudre 585

Méthode récurrente de spécification de suites numériques La méthode récurrente de spécification d'une suite consiste à spécifier une règle qui permet de calculer le nième terme si ses membres précédents sont connus 1) progression arithmétique est donné par les relations récurrentes a 1 =a, a n+1 =a n + d 2) progression géométrique – b 1 =b, b n+1 =b n * q

Fixation 591, 592 (a, b) 594, – 614 (a)

Bornée par le haut Une séquence (y n) est dite bornée par le haut si tous ses termes ne sont pas supérieurs à un certain nombre. En d'autres termes, la séquence (yn) est limitée à une limite supérieure s'il existe un nombre M tel que pour tout n, l'inégalité y n M est la limite supérieure de la séquence. Par exemple, -1, -4, -9, -. 16, ..., -n 2, ...

Bornée par le bas Une séquence (y n) est dite limitée par le bas si tous ses termes sont au moins un certain nombre. En d’autres termes, la séquence (y n) est bornée par le haut s’il existe un nombre m tel que pour tout n l’inégalité y n m est vraie. m – limite inférieure de la séquence Par exemple, 1, 4, 9, 16, …, n 2, …

Limite d'une séquence Une séquence (y n) est dite limitée s'il est possible de spécifier deux nombres A et B entre lesquels se trouvent tous les membres de la séquence. L'inégalité Ay n B A est la borne inférieure, B est la borne supérieure. Par exemple, 1 est la borne supérieure, 0 est la borne inférieure.

Séquence décroissante Une séquence est dite décroissante si chaque membre est inférieur au précédent : y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Par exemple, y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Par exemple, "> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Par exemple, "> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Par exemple," title="Séquence décroissante Une séquence est dite décroissante si chaque membre est inférieur au précédent : y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n >...Par exemple,"> title="Séquence décroissante Une séquence est dite décroissante si chaque membre est inférieur au précédent : y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Par exemple,"> !} 23

Travail de test Option 1Option 2 1. La suite de nombres est donnée par la formule a) Calculer les quatre premiers termes de cette suite b) Un nombre est-il membre de la suite ? b) Le nombre 12,25 est-il membre de la séquence ? 2. Créez une formule pour le ème terme de la séquence 2, 5, 10, 17, 26,…1, 2, 4, 8, 16,…

Leçon n°32 ALGÈBRE	Professeur de mathématiques, première catégorie Olga Viktorovna Gaun. Région du Kazakhstan oriental, district de Glubokovsky KSU "Cheremshanskaya" lycée»
Sujet: Séquence numérique et méthodes pour la spécifier
Principaux buts et objectifs de la leçon	Éducatif: Expliquer aux élèves la signification des concepts « séquence », « nième membre de la séquence » ; introduire des méthodes de définition d’une séquence. Du développement I : développement des capacités de réflexion logique ; développement des compétences informatiques; développement culturel discours oral, développement de la communication et de la coopération.Éducatif : éducation à l'observation, inculquant l'amour et l'intérêt pour le sujet.
Résultats attendus de la maîtrise du sujet	Au cours de la leçon, ils acquerront de nouvelles connaissances sur les suites de nombres et sur la façon de les attribuer. Apprendre à trouver la bonne décision, créez un algorithme de solution et utilisez-le lors de la résolution de problèmes. Grâce à la recherche, certaines de leurs propriétés seront découvertes. Tous les travaux sont accompagnés de diapositives. L'utilisation des TIC permettra de mener une leçon vivante, d'effectuer une grande quantité de travail et les enfants auront un intérêt sincère et une perception émotionnelle. Les étudiants doués feront une présentation sur les nombres de Fibonacci et le nombre d'or. Activités éducatives universelles dont la formation vise à processus éducatif: capacité à travailler en binôme, développer une pensée logique, capacité à analyser, rechercher, tirer des conclusions, défendre son point de vue. Enseigner les compétences de communication et de collaboration. L'utilisation de ces technologies contribue au développement des étudiants méthodes universelles activité, expérience créative, compétence, capacités de communication.
Idées clés de la leçon	De nouvelles approches de l’enseignement et de l’apprentissage Formation au dialogue Apprendre à apprendre Enseigner la pensée critique Éducation d'enfants talentueux et doués
Type de cours	Étudier nouveau sujet
Méthodes d'enseignement	Visuel (présentation), verbal (conversation, explication, dialogue), pratique.
Formes d'organisation Activités éducativesétudier	frontale; chambre à vapeur; individuel.

PENDANT LES COURS

Organisation du temps

(Accueillir les élèves, identifier les absents, vérifier l'état de préparation des élèves pour le cours, organiser l'attention).

Motivation de la leçon.

« Les chiffres gouvernent le monde », disaient les scientifiques de la Grèce antique. "Tout est un nombre." Selon leur vision philosophique du monde, les nombres régissent non seulement la mesure et le poids, mais aussi les phénomènes qui se produisent dans la nature et constituent l’essence de l’harmonie qui règne dans le monde. Aujourd'hui, en classe, nous continuerons à travailler avec les chiffres.

Introduction au sujet, apprentissage de nouveau matériel.

Testons vos capacités logiques. Je nomme quelques mots, et vous devez continuer :

–Lundi Mardi,…..

– Janvier février mars…;

– Aliev, Gordeeva, Gribacheva... (liste des classes) ;

–10,11,12,…99;

Conclusion: Ce sont des séquences, c'est-à-dire des séries ordonnées de nombres ou de concepts, lorsque chaque nombre ou concept est strictement à sa place. Ainsi, le sujet de la leçon est la cohérence.

Aujourd'hui, nous allonsparler des types et des composants des séquences de nombres, ainsi que des moyens de les attribuer.Nous désignerons les séquences comme suit : (аn), (bn), (сn), etc.

Et maintenant je vous propose la première tâche : devant vous se trouvent quelques séquences numériques et une description verbale de ces séquences. Vous devez trouver le motif de chaque rangée et le corréler avec la description. (montrer avec la flèche)(Vérification mutuelle)

Les séries que nous avons considérées sont des exemplesséquences de nombres .

Les éléments qui forment une séquence sont appelésmembres de la séquence Etsont appelés respectivement premier, deuxième, troisième,...n- membres numériques de la séquence. Les membres de la séquence sont désignés comme suit :UN 1 ; UN 2 ; UN 3 ; UN 4 ; … UN n ; Où n - nombre , sous lequel se trouve le numéro donné dans la séquence.
Les séquences suivantes sont enregistrées à l'écran :
( À l'aide des séquences répertoriées, la forme de notation du membre de séquence a est élaborée n , et les concepts de termes précédents et suivants ) .
3; 6; 9; 12; 15; 18;…
5, 3, 1, -1.
1, 4, 9, 16 ,…
–1; 2; –3; 4; –5; 6; …
3; 3; 3; 3; …; 3; … .

Nommez un 1 pour chaque séquence, et 3 etc. Pourriez-vous continuer chacune de ces lignes ? Que devez-vous savoir pour cela ?

Examinons d'autres concepts commeultérieur et précédent .

(par exemple, pour un 5…, et pour un n ?) - enregistrement sur la diapositiveun n +1, un n -1

Types de séquences
( À l’aide des séquences énumérées ci-dessus, la capacité d’identifier les types de séquences est développée. )
1) Croissant - si chaque terme est inférieur au suivant, c'est-à-direun n < un n +1.
2) Décroissant – si chaque terme est supérieur au suivant, c'est-à-direun n > un n +1 .
3) Infini
4) Finale
5) Alternance
6) Constante (stationnaire)

Essayez de définirchaque espèce et caractériser chacune des séquences proposées.

Tâches orales

Nom dans la séquence 1 ; 1/2 ; 1/3 ; 1/4 ; 1/5 ; … 1/n ; 1/(n+1) termes a 1 ; UN 4 ; UN 10 ; UN n ;

La séquence de nombres à quatre chiffres est-elle finie ? (Oui)

Nommez son premier et son dernier membre. (Réponse : 1000 ; 9999)

La séquence d'écriture des nombres est-elle 2 ; 4 ; 7; 1; -21 ; -15 ; ...? (non, car il est impossible de détecter une quelconque tendance à partir des six premiers termes)

Pause physique (également en lien avec le sujet de la leçon d'aujourd'hui : le ciel étoilé, les planètes du système solaire... quel est le lien ?)

Méthodes de spécification des séquences
1) verbal – définir une séquence par description ;
2) analytique - formulen -ème membre;
3) graphique – à l'aide d'un graphique ;
4) récurrent - tout membre de la séquence, à partir de certains, est exprimé en fonction des précédents
Aujourd'hui, dans la leçon, nous examinerons les deux premières méthodes. Donc,verbal chemin. Peut-être que certains d’entre vous pourraient essayer de définir une sorte de séquence ?

(Par exemple:Faire une séquence de nombres naturels impairs . Décrivez cette séquence : croissante, infinie)
Analytique méthode : en utilisant la formule du nième terme de la séquence.

La formule générale du terme vous permet de calculer le terme d'une séquence avec un nombre donné. Par exemple, si x n =3n+2, alors

X 1 =3*1+2=5;

X 2 =3*2+2=8

X 5 =3 . 5+2=17;

X 45 =3 . 45+2=137, etc. Alors quel est l'avantageanalytique bien avantverbal ?

Et je vous propose la tâche suivante : des formules pour spécifier certaines séquences et les séquences elles-mêmes formées selon ces formules sont données. Il manque certains termes à ces séquences. Ta tâche,travailler en binôme , combler les lacunes.

Auto-test (la bonne réponse apparaît sur la diapositive)

Performance projet créatif"Numéros de Fibonacci" (tâche avancée )

Aujourd'hui, nous allons faire connaissance avec la fameuse séquence :

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, (Diapositive) Chaque nombre, à partir du troisième, est égal à la somme des deux précédents. Cette série de nombres naturels, qui porte son propre nom historique - la série de Fibonacci, a sa propre logique et sa propre beauté. Léonard Fibonacci (1180-1240). Éminent mathématicien italien, auteur du Livre du Boulier. Ce livre est resté le principal référentiel d'informations sur l'arithmétique et l'algèbre pendant plusieurs siècles. C'est grâce aux travaux de L. Fibonacci que l'Europe entière a maîtrisé les chiffres arabes, le système de comptage, ainsi que la géométrie pratique. Ils sont restés des manuels scolaires presque jusqu'à l'époque de Descartes (et nous sommes déjà au XVIIe siècle !).

Regarder une vidéo.

Vous ne comprenez probablement pas vraiment quel est le lien entre la spirale et la série de Fibonacci. Alors je vais vous montrer comment ça se passe .

Si l'on construit deux carrés côte à côte avec le côté 1, puis sur le plus grand côté égal à 2 l'autre, puis sur le plus grand côté égal à 3 un autre carré à l'infini... Puis dans chaque carré, en commençant par le plus petit, on construisons un quart d'arc, nous obtiendrons la spirale dont nous parlons dans le film.

En fait utilisation pratique connaissances acquises dans cette leçon en vrai vie assez gros. Devant vous se trouvent plusieurs tâches issues de différents domaines scientifiques.

(Travail individuel)

Tache 1.

16, 15, 18, … (17, 20, 19)

1, 2, 2, 4, 8, … (32, 256, 8192)

33, 31, 32, … (30, 31, 29)

Tâche 2.

(Les réponses des élèves sont inscrites au tableau : 500, 530, 560, 590, 620).

Tâche 3.

Tâche 4. Chaque jour, chaque personne grippée peut contaminer 4 personnes de son entourage. Dans combien de jours tous les élèves de notre école (300 personnes) tomberont-ils malades ? (Après 4 jours).

Problème 5 . Combien de bactéries du choléra du poulet apparaîtront en 10 heures si une bactérie se divise en deux toutes les heures ?
Problème 6 . Le cours des bains d'air commence par 15 minutes le premier jour et augmente la durée de cette procédure de 10 minutes chaque jour suivant. Combien de jours faut-il prendre des bains d'air dans le mode indiqué pour atteindre leur durée maximale de 1 heure 45 minutes ? ( 10)

Problème 7 . En chute libre, un corps parcourt 4,8 m dans la première seconde et 9,8 m de plus dans chaque seconde suivante. Trouvez la profondeur du puits si un corps en chute libre atteint son fond 5 s après le début de la chute.

Problème 8 . Le citoyen K. a laissé un testament. Il a dépensé 1 000 $ le premier mois, et chaque mois suivant, il a dépensé 500 $ de plus. Combien d'argent a été légué au citoyen K. si cela suffit pour 1 an de vie confortable ? (45000)

L'étude des sujets suivants dans ce chapitre de « Progression » nous permettra de résoudre ces problèmes rapidement et sans erreurs.

Devoirs: page 66 n°151, 156, 157

Tâche créative : message sur le triangle de Pascal

En résumé. Réflexion. (évaluation de « l’augmentation » des connaissances et de l’atteinte des objectifs)

Quel était le but de la leçon d’aujourd’hui ?

L'objectif a-t-il été atteint ?

Continuer la déclaration

Je ne savais pas….

Maintenant je sais…

Problèmes sur l'application pratique des propriétés des séquences (progressions)

Tache 1. Continuez la séquence de nombres :

16, 15, 18, …

1, 2, 2, 4, 8, …

33, 31, 32, …

Tâche 2. Il y a 500 tonnes de charbon dans l'entrepôt, 30 tonnes sont livrées chaque jour. Quelle quantité de charbon y aura-t-il dans l'entrepôt en 1 jour ? Jour 2? Jour 3 ? Jour 4 ? Jour 5 ?

Tâche 3. Une voiture, se déplaçant à une vitesse de 1 m/s, changeait sa vitesse de 0,6 m/s pour chaque seconde suivante. Quelle vitesse aura-t-il après 10 secondes ?

Problème 4 . Chaque jour, chaque personne grippée peut contaminer 4 personnes de son entourage. Dans combien de jours tous les élèves de notre école (300 personnes) tomberont-ils malades ?

Tâche 5. Combien de bactéries du choléra du poulet apparaîtront en 10 heures si une bactérie se divise en deux toutes les heures ?

Tâche 6. Le cours des bains d'air commence par 15 minutes le premier jour et augmente la durée de cette procédure de 10 minutes chaque jour suivant. Combien de jours faut-il prendre des bains d'air dans le mode indiqué pour atteindre leur durée maximale de 1 heure 45 minutes ?

Tâche 7. En chute libre, un corps parcourt 4,8 m dans la première seconde et 9,8 m de plus dans chaque seconde suivante. Trouvez la profondeur du puits si un corps en chute libre atteint son fond 5 s après le début de la chute.

Tâche 8. Le citoyen K. a laissé un testament. Il a dépensé 1 000 $ le premier mois, et chaque mois suivant, il a dépensé 500 $ de plus. Combien d'argent a été légué au citoyen K. si cela suffit pour 1 an de vie confortable ?

Une séquence de nombres infinis est une fonction numérique définie sur l'ensemble de tous les nombres naturels. Forme générale: un 1 ; un 2 ; un 3 ; ... un ; ... (ou (un n)).

Méthodes de spécification des séquences :

1. La séquence peut être spécifiée à l'aide d'une formule indiquant comment calculer sa valeur a à partir du nombre n du membre de la séquence.

Une séquence dans laquelle tous les termes prennent des valeurs égales est appelée une séquence constante.

2. Méthode récurrente (inductive) : elle consiste à préciser une règle (généralement une formule) qui permet de calculer le terme général de la suite à travers les précédents, et à préciser plusieurs termes initiaux de la suite. Cette formule est appelée relation récurrente.

3. La séquence peut être spécifiée verbalement, c'est-à-dire description de ses membres.

Lors de l’étude de séquences, il est pratique d’utiliser leur représentation géométrique. Il existe principalement 2 méthodes utilisées pour cela :

1. Parce que la séquence (a n) est une fonction définie sur N, alors elle peut être représentée comme un graphique de cette fonction avec les coordonnées des points (n ; a n).

2. Les membres de la séquence (a n) peuvent être représentés par des points x = a n.

Séquences limitées et illimitées.

Une séquence (a n) est dite bornée s'il existe des nombres M et m tels que l'inégalité m≤a n ≤M est vraie. Sinon on dit qu’il est illimité.

Il existe 3 types de séquences illimitées :

1. Pour cela, il existe m et il n'y a pas de M - dans ce cas, il est limité en bas et illimité au-dessus.

2. Pour lui, il n'y a pas de m et il y a M - dans ce cas, il est illimité par le bas et limité par le haut.

3. Pour lui, il n'y a ni m ni M - dans ce cas, il n'est limité ni par le bas ni par le haut.

Séquences monotones.

Les séquences monotones comprennent des séquences décroissantes, strictement décroissantes, croissantes et strictement croissantes.

Une suite (a n) est dite décroissante si chaque membre précédent n'est pas inférieur au suivant : a n +1 ≤a n.

Une suite (a n) est dite strictement décroissante si chaque membre précédent est strictement supérieur au suivant : a n >a 2 >a 3 >…>a n +1 >…

Une séquence (a n) est dite croissante si chaque membre suivant n'est pas inférieur au précédent : a n ≤a n +1.

Une suite est dite strictement croissante si chaque terme suivant est strictement supérieur au précédent : a 1

Limite de séquence de numéros. Théorèmes de base sur les limites.

Un nombre a est appelé la limite d'une suite (a n) si pour tout nombre positif ε il existe un tel entier naturel N, que pour tout n>N l’inégalité suivante est vraie :

|une n – une|< ε.

Dans ce cas ils écrivent : lim a n = a, ou a n ->a pour n->∞.

Une suite qui a une limite est dite convergente, et une suite qui n’a pas de limite est dite divergente.

Si une suite a une limite, alors elle est bornée.

Toute suite convergente n’a qu’une seule limite.

Une suite est dite infinitésimale si sa limite est nulle.

Pour que le nombre a soit la limite de la suite (a n), il faut et suffisant que a n ait la représentation a n = a + α n, où (α n) est une suite infinitésimale.

La somme de deux séquences infinitésimales est une séquence infinitésimale.

Le produit d’une séquence infinitésimale et d’une séquence bornée est une séquence infinitésimale.

Théorèmes limites :

1. A la limite de la somme : Si la suite (a n) et (in n) convergent, alors la suite (an + in n) converge également : lim (an + in n) = lim a n + lim in n.

n ->∞ n ->∞ n ->∞

2. Sur la limite du produit : Si les suites (a n) et (in n) convergent, alors la suite (a n ∙ in n) converge également :

lim (un n ∙ dans n) = lim un n ∙ lim dans n.

n ->∞ n ->∞ n ->∞

Corollaire 1 : Le facteur constant peut être pris au-delà du signe limite :

lim (ca n) = c ∙ lim une n

n ->∞ n ->∞

3. Si les séquences (a n) et (in n) convergent, alors la séquence (a n /in n) converge également : lim (a n / in n) = (lim a n)/ (lim in n).

n ->∞ n ->∞ n ->∞

Fonction. Méthodes de spécification d'une fonction.

Si chaque élément x, selon une règle f, est associé à un élément y, unique pour chaque x, alors ils disent que sur l'ensemble A une fonction f est donnée avec une valeur de l'ensemble B, et ils écrivent : f : A- >B, ou y = f(x).

Soit la fonction y=f (x). Puis x nom. argument ou variable indépendante, et y est la valeur de la fonction ou de la variable dépendante.

L'ensemble A est appelé le domaine de définition de la fonction, et l'ensemble de tous y associés à au moins un x est l'ensemble des valeurs de la fonction. Le domaine de définition d'une fonction est également appelé plage de valeurs d'arguments, ou plage de changement de la variable indépendante.

Méthodes de spécification d'une fonction :

1. Méthode tabulaire.

2. Méthode analytique : avec cette méthode, le domaine de définition de la fonction (ensemble A) est indiqué, et une loi est formulée (une formule est précisée) selon laquelle chaque x est associé au y correspondant.

3. Méthode de description verbale.

4. Méthode géométrique (graphique) : définir graphiquement une fonction signifie dessiner son graphique.

Objectif d'apprentissage: donner le concept et la définition d'une séquence de nombres, réfléchir aux moyens d'attribuer des séquences de nombres, résoudre des exercices.

Objectif de développement: développer la pensée logique, les compétences cognitives, les techniques de calcul, les compétences de comparaison lors du choix de formules, les compétences de travail académique

Objectif pédagogique: favoriser des motivations positives pour l’apprentissage, une attitude consciencieuse envers le travail et la discipline.

Type de cours: leçon sur la sécurisation du matériel.

Équipement: tableau interactif, test de l'installation ACTIVwote, ACTIVwand, ACTIVslate, document à distribuer.

Plan de cours

1. Organisation des cours.
2. Répétition du matériel théorique. Enquête frontale. Référence historique.
3. Consolidation : exercices de résolution sur le thème "Façons d'attribuer des séquences numériques".
4. Vérification des connaissances. Test
5. Devoirs.

Pendant les cours

je. Organisation du temps.

II. Répétition du matériel théorique.

1) Enquête frontale.

1. Comment s’appelle une séquence de nombres ?

Répondre: Un ensemble de nombres dont les éléments peuvent être numérotés.

2. Donnez un exemple de séquence de nombres.

Répondre:

2,4,6,8,10,…..
1,3,5,7,9,11,…..
3,6,9,12,15,….

3. Comment s’appellent les membres d’une séquence de nombres ?

Répondre: Nombres qui composent une séquence de nombres.

un 1 =2, un 2 =4, un 3 =6 et 4 =8,….
un 1 =1, un 2 =3, un 3 =5 et 4 =7,….
un 1 =3, un 2 =6, un 3 =9 et 4 =12,….

4. Qu'est-ce qu'un membre commun d'une séquence de nombres ?

Répondre: an est appelé le membre général de la séquence, et la séquence elle-même est brièvement désignée par (an).

5. Comment désigne-t-on une séquence de nombres ?

Répondre: Habituellement, une séquence numérique est désignée par des lettres minuscules de l'alphabet latin avec des indices indiquant le numéro de ce membre dans la séquence : a 1, a 2, a 3, a 4,…., a p,…

5. Quand une séquence de nombres est-elle considérée comme donnée ?

Répondre: Si nous pouvons spécifier n’importe quel membre de la séquence.

2) Contexte historique.

Selon le mathématicien Leibniz, « celui qui veut se limiter au présent sans connaître le passé ne le comprendra jamais ».

FIBONACCI (Léonard de Pise)

Fibonacci (Léonard de Pise),D'ACCORD. 1175–1250

Mathématicien italien. Né à Pise, il devient le premier grand mathématicien d'Europe à la fin du Moyen Âge. Il a été attiré par les mathématiques par le besoin pratique d'établir des contacts d'affaires. Il a publié ses livres sur l'arithmétique, l'algèbre et d'autres disciplines mathématiques. Grâce à des mathématiciens musulmans, il a appris le système numérique inventé en Inde et déjà adopté dans le monde arabe, et a été convaincu de sa supériorité (ces chiffres étaient les prédécesseurs des chiffres arabes modernes).

Léonard de Pise, dit Fibonacci, fut le premier des grands mathématiciens européens de la fin du Moyen Âge. Né à Pise dans une riche famille de commerçants, il s'est tourné vers les mathématiques par un besoin purement pratique d'établir des contacts d'affaires. Dans sa jeunesse, Leonardo a beaucoup voyagé, accompagnant son père lors de voyages d'affaires. Par exemple, on connaît son long séjour à Byzance et en Sicile. Au cours de ces voyages, il a beaucoup communiqué avec les scientifiques locaux.

La série de nombres qui porte aujourd'hui son nom est née du problème du lapin que Fibonacci a décrit dans son livre Liber abacci, écrit en 1202 :

Un homme a placé deux lapins dans un enclos entouré de tous côtés par un mur. Combien de couples de lapins ce couple peut-il produire en un an, si l'on sait que chaque mois, à partir de la seconde, chaque couple de lapins produit un couple ?

Vous pouvez être sûr que le nombre de couples dans chacun des douze mois suivants sera de 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Autrement dit, le nombre de couples de lapins crée une série dont chaque terme est la somme des deux précédents. Il est connu sous le nom Série de Fibonacci, et les chiffres eux-mêmes - Numéros de Fibonacci. Il s’avère que cette séquence possède de nombreuses propriétés intéressantes d’un point de vue mathématique. Voici un exemple : vous pouvez diviser une ligne en deux segments, de sorte que le rapport entre le segment le plus grand et le segment le plus petit soit proportionnel au rapport entre la ligne entière et le segment le plus grand. Ce facteur de proportionnalité, d'environ 1,618, est appelé nombre d'or. A la Renaissance, on croyait que c'était précisément cette proportion observée dans structures architecturales, le plus agréable à l'oeil. Si vous prenez des paires successives de la série de Fibonacci et divisez le plus grand nombre de chaque paire par le plus petit nombre, votre résultat se rapprochera progressivement du nombre d'or.

Depuis que Fibonacci a découvert sa séquence, on a même découvert des phénomènes naturels dans lesquels cette séquence semble jouer un rôle important. L'un d'eux - phyllotaxie(disposition des feuilles) - la règle selon laquelle, par exemple, les graines sont disposées dans une inflorescence de tournesol. Les graines de tournesol sont disposées en deux spirales. Les nombres indiquant le nombre de graines dans chacune des spirales font partie d’une étonnante séquence mathématique.

Les graines sont disposées en deux rangées de spirales, l'une allant dans le sens des aiguilles d'une montre, l'autre dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Et quel est le nombre de graines dans chaque cas ? 34 et 55.

Numéros de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Une suite de nombres dont chaque terme est égal à la somme des deux précédents possède de nombreuses propriétés intéressantes.

III.Consolidation.

Travail à partir du manuel (chaîne)

№343 Écrivez les cinq premiers termes de la suite.

1. une n =2 n +1/2 n

2.xn=3n2+2n+1

3.

1. Solutions :

et n =2 n +1/2 n

Répondre:

2. Solutions :

n=1, x1 =3*1 2 +2*1+1=3+2+1=6

n=2, x2 =3*2 2 +2*2+1=3*4+4+1=12+5=17

n=3, x3 =3*3 2 +2*3+1=27+6+1=34

n=4, x4 =3*4 2 +2-4+1=3*16+8+1=48+9=57

n=5, x5 =3*5 2 +2*5+1=3*25+10+1=75+11=86

Répondre: 6,17,34,57,86…….

3. Solutions :

Répondre:

N° 344. Écrivez une formule pour le terme commun d’une séquence de nombres naturels multiples de 3.

Répondre: 0,3,6,9,12,15,.... 3n, et n =3n

N° 345. Écrivez une formule pour le terme commun d’une séquence de nombres naturels multiples de 7.

Répondre: 0,7,14,25,28,35,42.... 7n, et n =7n

N° 346 Écrivez une formule pour le terme général d'une séquence de nombres naturels qui, lorsqu'ils sont divisés par 4, laissent un reste de 1.

Répondre:5,9,13,17,21....... 4n +1, et n =4n+1

N° 347 Écrivez une formule pour le terme général d'une séquence de nombres naturels qui, lorsqu'ils sont divisés par 5, laissent un reste de 2.

Répondre: a n =5n+2, 7.12,17,22, 27,.... 5 n +2

N° 348 Écrivez la formule du terme général de la séquence.

Vida oui= F(X), XÀ PROPOS N, Où N– un ensemble de nombres naturels (ou une fonction d'un argument naturel), noté oui=F(n) ou oui 1 ,oui 2 ,…, o n,…. Valeurs oui 1 ,oui 2 ,oui 3 ,… sont appelés respectivement premier, deuxième, troisième, ... membres de la séquence.

Par exemple, pour la fonction oui= n 2 peut s'écrire :

oui 1 = 1 2 = 1;

oui 2 = 2 2 = 4;

oui 3 = 3 2 = 9;…oui n = n 2 ;…

Méthodes de spécification de séquences. Les séquences peuvent être spécifiées différentes façons, parmi lesquels trois sont particulièrement importants : analytique, descriptif et récurrent.

1. Une séquence est donnée analytiquement si sa formule est donnée nème membre :

o n=F(n).

Exemple. o n= 2n – 1 – séquence de nombres impairs : 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Descriptif La manière de spécifier une séquence numérique consiste à expliquer à partir de quels éléments la séquence est construite.

Exemple 1. "Tous les termes de la séquence sont égaux à 1." Cela signifie que nous parlons d'une séquence stationnaire 1, 1, 1, …, 1, ….

Exemple 2. « Une séquence se compose de tous nombres premiers Dans l'ordre croissant". Ainsi, la séquence donnée est 2, 3, 5, 7, 11,…. Avec cette méthode de spécification de la séquence dans dans cet exemple il est difficile de répondre à quoi, disons, est égal au 1000ème élément de la séquence.

3. La méthode récurrente pour spécifier une séquence consiste à spécifier une règle qui permet de calculer n-ème membre d'une séquence si ses membres précédents sont connus. Le nom méthode récurrente vient du mot latin récurrent- revenir. Le plus souvent, dans de tels cas, une formule est indiquée qui permet d'exprimer nème membre de la séquence en passant par les précédents, et spécifiez 1 à 2 membres initiaux de la séquence.

Exemple 1. oui 1 = 3; oui n = oui n–1 + 4 si n = 2, 3, 4,….

Ici oui 1 = 3; oui 2 = 3 + 4 = 7;oui 3 = 7 + 4 = 11; ….

Vous pouvez voir que la séquence obtenue dans cet exemple peut également être spécifiée analytiquement : o n= 4n – 1.

Exemple 2. oui 1 = 1; oui 2 = 1; o n = o n –2 + o n–1 si n = 3, 4,….

Ici: oui 1 = 1; oui 2 = 1; oui 3 = 1 + 1 = 2; oui 4 = 1 + 2 = 3; oui 5 = 2 + 3 = 5; oui 6 = 3 + 5 = 8;

La séquence de cet exemple est particulièrement étudiée en mathématiques car elle possède un certain nombre de propriétés et d’applications intéressantes. C'est ce qu'on appelle la séquence de Fibonacci, du nom du mathématicien italien du XIIIe siècle. Il est très facile de définir la suite de Fibonacci de manière récurrente, mais très difficile analytiquement. n Le ème nombre de Fibonacci est exprimé par son numéro de série la formule suivante.

À première vue, la formule pour n le ème nombre de Fibonacci semble invraisemblable, puisque la formule qui spécifie la séquence de nombres naturels contient à elle seule racines carrées, mais vous pouvez vérifier « manuellement » la validité de cette formule pour les premiers n.

Propriétés des séquences de nombres.

Séquence numérique - un cas particulier fonction numérique, donc un certain nombre de propriétés des fonctions sont également prises en compte pour les séquences.

Définition . Sous-séquence ( o n} est dit croissant si chacun de ses termes (sauf le premier) est supérieur au précédent :

oui 1 an 2 an 3 a n o n +1

Définition.Séquence ( o n} est dit décroissant si chacun de ses termes (sauf le premier) est inférieur au précédent :

oui 1 > oui 2 > oui 3 > … > o n> o n +1 > … .

Les séquences croissantes et décroissantes sont combinées sous le terme commun : séquences monotones.

Exemple 1. oui 1 = 1; o n= n 2 – séquence croissante.

Ainsi, le théorème suivant est vrai (propriété caractéristique d’une progression arithmétique). Une suite de nombres est arithmétique si et seulement si chacun de ses membres, à l'exception du premier (et du dernier dans le cas d'une suite finie), est égal à la moyenne arithmétique des membres précédents et suivants.

Exemple. A quelle valeur X numéros 3 X + 2, 5X– 4 et 11 X+ 12 forment une progression arithmétique finie ?

Selon propriété caractéristique, les expressions données doivent satisfaire la relation

5X – 4 = ((3X + 2) + (11X + 12))/2.

La résolution de cette équation donne X= –5,5. A cette valeur X expressions données 3 X + 2, 5X– 4 et 11 X+ 12 prennent respectivement les valeurs –14,5, –31,5, –48,5. Il s'agit d'une progression arithmétique, sa différence est de –17.

Progression géométrique.

Une suite numérique dont tous les termes sont non nuls et dont chacun des termes, à partir du second, s'obtient à partir du terme précédent en multipliant par le même nombre q, appelé progression géométrique, et le numéro q- le dénominateur d'une progression géométrique.

Ainsi, une progression géométrique est une suite de nombres ( bn), défini récursivement par les relations

b 1 = b, bn = bn –1 q (n = 2, 3, 4…).

(b Et q – chiffres donnés, b ≠ 0, q ≠ 0).

Exemple 1. 2, 6, 18, 54, ... – progression géométrique croissante b = 2, q = 3.

Exemple 2. 2, –2, 2, –2, … – progression géométrique b= 2,q= –1.

Exemple 3. 8, 8, 8, 8, … – progression géométrique b= 8, q= 1.

Une progression géométrique est une suite croissante si b 1 > 0, q> 1, et décroissant si b 1 > 0, 0q

L'une des propriétés évidentes d'une progression géométrique est que si la séquence est une progression géométrique, alors la séquence de carrés l'est aussi, c'est-à-dire

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, bn 2,... est une progression géométrique dont le premier terme est égal à b 1 2 , et le dénominateur est q 2 .

Formule n- le ème terme de la progression géométrique a la forme

bn= b 1 qn– 1 .

Vous pouvez obtenir une formule pour la somme des termes d'une progression géométrique finie.

Soit une progression géométrique finie

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, bn

laisser S n – la somme de ses membres, c'est-à-dire

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +bn.

Il est admis que q N ° 1. Pour déterminer S n une technique artificielle est utilisée : certains transformations géométriques expressions S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + bn –1 + bn)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ bn+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

Ainsi, S n q= S n +b n q – b 1 et donc

C'est la formule avec umma n termes de progression géométrique pour le cas où q≠ 1.

À q= 1, la formule n'a pas besoin d'être dérivée séparément, il est évident que dans ce cas ; S n= un 1 n.

La progression est dite géométrique car chaque terme qu'elle contient, à l'exception du premier, est égal à la moyenne géométrique des termes précédents et suivants. En effet, depuis

bn=bn- 1 q;

md = md+ 1 /q,

ainsi, bn 2=md– 1 milliards+ 1 et le théorème suivant est vrai (propriété caractéristique d'une progression géométrique) :

une suite de nombres est une progression géométrique si et seulement si le carré de chacun de ses termes, sauf le premier (et le dernier dans le cas d'une suite finie), est égal au produit des termes précédents et suivants.

Limite de cohérence.

Soit une séquence ( c n} = {1/n}. Cette séquence est dite harmonique, puisque chacun de ses termes, à partir du second, est la moyenne harmonique entre les termes précédent et suivant. Moyenne géométrique des nombres un Et b il y a un numéro

Sinon la suite est dite divergente.

A partir de cette définition, on peut, par exemple, prouver l'existence d'une limite A=0 pour la séquence harmonique ( c n} = {1/n). Soit ε un nombre positif arbitrairement petit. La différence est considérée

Une telle chose existe-t-elle ? N c'est pour tout le monde n ≥ N l'inégalité 1 est vraie /N ? Si nous le prenons comme N tout nombre naturel supérieur à 1/ε , alors pour tout le monde n ≥ N l'inégalité 1 est vraie /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.

Prouver la présence d’une limite pour une séquence particulière peut parfois s’avérer très difficile. Les séquences les plus fréquentes sont bien étudiées et répertoriées dans des ouvrages de référence. Il existe des théorèmes importants qui permettent de conclure qu'une séquence donnée a une limite (et même de la calculer), sur la base de séquences déjà étudiées.

Théorème 1. Si une suite a une limite, alors elle est bornée.

Théorème 2. Si une suite est monotone et bornée, alors elle a une limite.

Théorème 3. Si la séquence ( un} a une limite UN, puis les séquences ( peut}, {un+c) et (| un|} avoir des limites Californie, UN +c, |UN| en conséquence (ici c– nombre arbitraire).

Théorème 4. Si les suites ( un} Et ( bn) ont des limites égales à UN Et B poêle + qbn) a une limite Pennsylvanie+ qB.

Théorème 5. Si les suites ( un) Et ( bn)ont des limites égales à UN Et B en conséquence, alors la séquence ( un n b n) a une limite UN B.

Théorème 6. Si les suites ( un} Et ( bn) ont des limites égales à UN Et B en conséquence, et, en outre, b n ≠ 0 et B≠ 0, puis la séquence ( un n / b n) a une limite UN B.

Anna Tchougainova