La devise de notre leçon sera les paroles du mathématicien russe V.P. Ermakova: "En mathématiques, il ne faut pas se souvenir des formules, mais des processus de pensée."

Pendant les cours

Formulation du problème

Au tableau figure un portrait de Gauss. Un enseignant ou un élève chargé de préparer un message à l'avance raconte que lorsque Gauss était à l'école, l'enseignant a demandé aux élèves d'additionner tous les nombres naturels de 1 à 100. Le petit Gauss a résolu ce problème en une minute.

Question . Comment Gauss a-t-il obtenu la réponse ?

Rechercher des solutions

Les élèves expriment leurs hypothèses, puis résument : se rendre compte que les sommes 1 + 100, 2 + 99, etc. sont égaux, Gauss a multiplié 101 par 50, c'est-à-dire par le nombre de telles sommes. En d'autres termes, il a remarqué une tendance inhérente progression arithmétique.

Dérivation de la formule de somme n les premiers termes d'une progression arithmétique

Écrivez le sujet de la leçon au tableau et dans vos cahiers. Les élèves, avec l'enseignant, écrivent la dérivation de la formule:

Laisser un 1 ; un 2 ; un 3 ; un 4 ; ...; un – 2 ; un – 1 ; un- progression arithmétique.

Fixation primaire

1. Résolvons, à l'aide de la formule (1), le problème de Gauss :

2. À l'aide de la formule (1), résolvez les problèmes oralement (leurs conditions sont écrites au tableau ou en code positif), ( un) - progression arithmétique:

un) un 1 = 2, un 10 = 20. S 10 - ?

b) un 1 = –5, un 7 = 1. S 7 - ? [–14]

dans) un 1 = –2, un 6 = –17. S 6 - ? [–57]

G) un 1 = –5, un 11 = 5. S 11 - ?

3. Terminez la tâche.

Donné :( un) - progression arithmétique;

un 1 = 3, un 60 = 57.

Trouver: S 60 .

La solution. Utilisons la formule de somme n les premiers termes d'une progression arithmétique

Réponse: 1800.

Question complémentaire. Combien de types de problèmes différents peuvent être résolus par cette formule ?

Réponse. Quatre types de tâches :

Trouver le montant S n;

Trouver le premier terme d'une suite arithmétique un 1 ;

Trouver n-ème membre d'une progression arithmétique un;

Trouver le nombre de membres d'une progression arithmétique.

4. Terminez la tâche : n° 369(b).

Trouver la somme des soixante et unième termes d'une suite arithmétique ( un), si un 1 = –10,5, un 60 = 51,5.

La solution.

Réponse: 1230.

Question supplémentaire. Ecrivez la formule nème membre d'une progression arithmétique.

Réponse: un = un 1 + ré(n – 1).

5. Calculer la formule des neuf premiers termes d'une progression arithmétique ( b n),
si b 1 = –17, ré = 6.

Est-il possible de calculer immédiatement à l'aide d'une formule ?

Non, car le neuvième terme est inconnu.

Comment le trouver ?

Selon la formule nème membre d'une progression arithmétique.

La solution. b 9 = b 1 + 8ré = –17 + 8∙6 = 31;

Réponse: 63.

Question. Est-il possible de trouver la somme sans calculer le neuvième terme de la progression ?

Formulation du problème

Problème : obtenir la formule de la somme n les premiers termes d'une suite arithmétique, connaissant son premier terme et la différence ré.

(La sortie de la formule au tableau noir par l'élève.)

Nous résolvons le n° 371(a) en utilisant la nouvelle formule (2) :

Consolider verbalement les formules (2) ( les conditions de la tâche sont écrites au tableau).

(un

1. un 1 = 3, ré = 4. S 4 - ?

2. un 1 = 2, ré = –5. S 3 - ? [–9]

Demandez aux élèves quelles questions ils ne comprennent pas.

Travail indépendant

Option 1

1. un 1 = –3, un 6 = 21. S 6 - ?

2. un 1 = 6, ré = –3. S 4 - ?

Option 2

Donné: (un) est une progression arithmétique.

1.un 1 = 2, un 8 = –23. S 8 - ? [–84]

2.un 1 = –7, ré = 4. S 5 - ?

Les élèves changent de cahier et vérifient les solutions des autres.

Résumez l'assimilation de la matière sur la base des résultats d'un travail indépendant.

leçon4

Algèbre des noms de sujet

classe9

Algèbre UMK. 9e année À 14 h Partie 1. Un manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement / A. G. Mordkovich. - M. : Mnémosyne, 2012 - 160 p. Partie 2. Cahier de tâches pour les étudiants des établissements d'enseignement [A. G. Mordkovitch et autres] ; éd. A.G. Mordkovitch. - M. : Mnémosyne, 2012 - 270

Niveau d'éducation de base

Sujet de la leçon " Propriété caractéristique d'une progression arithmétique"

Le nombre total d'heures consacrées à l'étude du sujet 5

La place de la leçon dans le système des leçons sur le thème 4

Le but de la leçon :
Connaissance de la propriété caractéristique des membres d'une progression arithmétique.

Tâches leçon:
1) Éducatif - déduire et prouver propriété caractéristique progression arithmétique; former la capacité d'appliquer la propriété d'une progression arithmétique à la résolution de problèmes
2) Développer - développer la capacité de comparer des concepts mathématiques, de trouver des similitudes et des différences, la capacité d'observer, de remarquer des modèles, de raisonner par analogie; former la capacité de construire et d'interpréter un modèle mathématique d'une situation réelle.
3) Éducatif - pour promouvoir le développement de l'intérêt pour les mathématiques et ses applications, l'activité, la capacité de communiquer et de défendre raisonnablement ses opinions.

Équipement: ordinateur, projecteur multimédia, présentation

Résultats attendus : Dans cette leçon, nous devons établir une relation entre les membres d'une progression arithmétique et résoudre des problèmes qui utilisent les propriétés des progressions arithmétiques.

II. Actualisation des connaissances des étudiants

Premier sondage :

Qu'est-ce qu'une progression arithmétique ?

Comment définir une progression arithmétique ?

- Nommez la formule Pème membre d'une progression arithmétique.

2. Dictée mathématique (les devoirs sont distribués sur des fiches)

1 option

№1. Soit une progression arithmétique

1;4;7;11;…

№2. un 1 =, ré= Trouver un 11 - ?

№3. Trouver la somme (S) des cent premiers termes d'une progression arithmétique (a n) si un 1 =-9, ré=4

Option 2

N ° 1. Une progression arithmétique est donnée -

9;6;3;0;;… Trouvez son premier terme et sa différence.

№2. un 1 =0,2, ré= .Trouver un 11 - ?

Numéro 3. Trouver la somme (S) des cent premiers termes d'une progression arithmétique (a n) si un 1 =70, ré=-1

III. Apprendre du nouveau matériel. (diapositives 1-3)

1. Considérons une progression arithmétique ( X P): 2; 5; 8; 11; 14.

Voyons s'il existe un lien entre trois membres consécutifs de la progression ? Je vous suggère de faire cette connexion vous-même. Pour ce faire, nous allons travail de recherche.

= (5.)

= (8.)

= (11.)

Quelle conclusion peut-on tirer de la relation entre les membres d'une progression arithmétique ?

Conclusion : "Chaque membre de la progression arithmétique, à partir du second, est égal à la moyenne arithmétique des membres précédents et suivants."

2. Puisque nous avons supposé cela sur la base de la considération d'une séquence spécifique, cette affirmation doit être prouvée :

Laisser ( X P) est une progression arithmétique, alors

X P – X P – 1 = X P + 1 – X P, C'est

2X P = X P – 1 + X P + 1 ,

Devrait être payé Attention particulièreétudiants que cette déclaration est propriété progression arithmétique. Et si nous formulons l'énoncé inverse et pouvons le prouver, comment s'appellera-t-il ? Cette volonté pancarte progression arithmétique : "Si dans la suite ( X P) chaque terme, à partir du second, est égal à la moyenne arithmétique des termes précédents et suivants, alors cette séquence est une progression arithmétique.

Laisser X P =
, où P≥ 2, puis 2 X P = X P – 1 + X P + 1,

X P – X P – 1 = X P + 1 – X P, c'est-à-dire la différence entre les membres suivants et précédents de la séquence ( X P) reste constant. Moyens, ( X P) est une progression arithmétique.

IV. Formation des compétences et des capacités.

Résolvez #16.40 verbalement en utilisant la propriété caractéristique d'une progression arithmétique :

un)
alors

b)
alors un 18 + un 20 = 2  un 19 = 2  5 = 10;

2. Résoudre le n° 16.42 (b) avec des commentaires sur place.

Si un un 14 + un 16 = -20, alors un 15 = –20: 2 = –10;

Si un un 29 + un 31 = 40 alors un 30 = 40: 2 = 20;

Allons trouver un 15 + un 30 = –10 + 20 = 10.

Réponse : 10.

3. Résolvez le numéro 16.44 au tableau et dans des cahiers.

Selon la propriété caractéristique, les expressions données doivent satisfaire la relation

2à = 5à – 3; 3à = 3; à = 1.

Réponse 1.

4. Résolvez #16.46. La solution est expliquée par le professeur.

a) On parle de la somme des termes de la progression arithmétique finale 104 ; 112 ; 120 ; … 992. Cette progression a un 1 = 104; un n = 992; ré= 8. Nous trouvons d'abord n(nombre de membres de la progression):

un n = un 1 + (n –1)ré; 992 = 104 + (n – 1)  8;

992 = 8n + 96; n = 112.

Réponse : 61376.

5. Résolvez le n° 16.48 (b ; d) au tableau et dans les cahiers.

b) un 9 = –30; un 19 = -45. Allons trouver un n .

un n = un 1 + (n – 1)ré= –18 + (n – 1)(–1,5) = –1,5n – 16,5.

G) un 5 = 0,2; un 16 = -7,5. Allons trouver un n .

un n = 3 – 0,7(n– 1).

R : b) –18 – 1,5( n- une); d) 3 – 0,7( n– 1).

6. Résolution n° 16.68  . La solution est expliquée par le professeur.

En utilisant la propriété caractéristique d'une progression arithmétique, on obtient l'équation
X – 3 =
= (X– 5) 2 ; X 2 – 11X + 28 = 0; X 1 = 7; X 2 \u003d 4 - une racine étrangère qui ne satisfait pas équation irrationnelle

Réponse : 7.

V. Les résultats de la leçon.

Questions de h a shch et m s i :

- Formuler la propriété d'une progression arithmétique.

En étudiant l'algèbre en école d'enseignement général(9e année) L'un des sujets importants est l'étude des séquences numériques, qui comprennent des progressions - géométriques et arithmétiques. Dans cet article, nous allons considérer une progression arithmétique et des exemples avec des solutions.

Qu'est-ce qu'une progression arithmétique ?

Pour comprendre cela, il est nécessaire de donner une définition de la progression considérée, ainsi que de donner les formules de base qui seront ensuite utilisées pour résoudre les problèmes.

Arithmétique ou est un tel ensemble de nombres rationnels ordonnés, dont chaque membre diffère du précédent par une valeur constante. Cette valeur s'appelle la différence. Autrement dit, connaissant n'importe quel membre d'une série ordonnée de nombres et la différence, vous pouvez restaurer l'intégralité de la progression arithmétique.

Prenons un exemple. La suite de nombres suivante sera une progression arithmétique : 4, 8, 12, 16, ..., puisque la différence dans ce cas est de 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Mais l'ensemble des nombres 3, 5, 8, 12, 17 ne peut plus être attribué au type de progression considéré, puisque la différence pour lui n'est pas valeur constante (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Formules importantes

Nous donnons maintenant les formules de base qui seront nécessaires pour résoudre des problèmes en utilisant une progression arithmétique. Dénoter par le symbole a n nième terme séquences où n est un entier. La différence est notée par la lettre latine d. Alors les expressions suivantes sont vraies :

1. Pour déterminer la valeur du nième terme, la formule convient: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Pour déterminer la somme des n premiers termes : S n = (a n + a 1)*n/2.

Pour comprendre des exemples de progression arithmétique avec une solution en 9e année, il suffit de se souvenir de ces deux formules, car tous les problèmes du type considéré sont construits sur leur utilisation. N'oubliez pas non plus que la différence de progression est déterminée par la formule : d = a n - a n-1 .

Exemple #1 : Recherche d'un membre inconnu

Nous donnons un exemple simple d'une progression arithmétique et les formules qui doivent être utilisées pour résoudre.

Soit donnée la suite 10, 8, 6, 4, ..., il faut y trouver cinq termes.

Il résulte déjà des conditions du problème que les 4 premiers termes sont connus. Le cinquième peut être défini de deux manières :

1. Calculons d'abord la différence. Nous avons : d = 8 - 10 = -2. De même, on pourrait prendre n'importe quels deux autres termes côte à côte. Par exemple, d = 4 - 6 = -2. Puisqu'on sait que d \u003d a n - a n-1, alors d \u003d a 5 - a 4, d'où l'on obtient: a 5 \u003d a 4 + d. Nous substituons les valeurs connues : a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. La deuxième méthode nécessite également la connaissance de la différence de la progression en question, vous devez donc d'abord la déterminer, comme indiqué ci-dessus (d = -2). Sachant que le premier terme a 1 = 10, on utilise la formule du nombre n de la suite. Nous avons: un n \u003d (n - 1) * d + un 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. En remplaçant n = 5 dans la dernière expression, on obtient : a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Comme vous pouvez le voir, les deux solutions conduisent au même résultat. A noter que dans cet exemple la différence d de la progression est négative. De telles suites sont dites décroissantes car chaque terme successif est inférieur au précédent.

Exemple #2 : différence de progression

Maintenant, compliquons un peu la tâche, donnons un exemple pour trouver la différence d'une progression arithmétique.

On sait que dans certaines progressions algébriques le 1er terme est égal à 6, et le 7ème terme est égal à 18. Il faut trouver la différence et restituer cette suite au 7ème terme.

Utilisons la formule pour déterminer le terme inconnu : a n = (n - 1) * d + a 1 . Nous y substituons les données connues de la condition, c'est-à-dire les nombres a 1 et a 7, nous avons: 18 \u003d 6 + 6 * d. A partir de cette expression, vous pouvez facilement calculer la différence : d = (18 - 6) / 6 = 2. Ainsi, la première partie du problème a été résolue.

Pour restituer une séquence jusqu'à 7 termes, il faut utiliser la définition progression algébrique, c'est-à-dire a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d et ainsi de suite. Du coup, on restaure la suite entière : a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , un 6 = 14 + 2 = 16 et 7 = 18.

Exemple #3 : faire une progression

Compliquons encore plus l'état du problème. Vous devez maintenant répondre à la question de savoir comment trouver une progression arithmétique. On peut donner l'exemple suivant : on donne deux nombres, par exemple 4 et 5. Il faut faire une progression algébrique pour que trois termes supplémentaires s'intercalent entre eux.

Avant de commencer à résoudre ce problème, il est nécessaire de comprendre quelle place les nombres donnés occuperont dans la progression future. Puisqu'il y aura trois autres termes entre eux, alors un 1 \u003d -4 et un 5 \u003d 5. Ceci étant établi, nous passons à une tâche similaire à la précédente. Encore une fois, pour le nième terme, on utilise la formule, on obtient : a 5 \u003d a 1 + 4 * d. De : d \u003d (un 5 - un 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Ici, nous n'avons pas reçu une valeur entière de la différence, mais c'est nombre rationnel, donc les formules de la progression algébrique restent les mêmes.

Ajoutons maintenant la différence trouvée à un 1 et restaurez les membres manquants de la progression. On obtient : a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, qui coïncidait avec l'état du problème.

Exemple #4 : Le premier membre de la progression

Nous continuons à donner des exemples de progression arithmétique avec une solution. Dans tous les problèmes précédents, le premier nombre de la progression algébrique était connu. Considérons maintenant un problème d'un autre type : donnons deux nombres, où a 15 = 50 et a 43 = 37. Il faut trouver à partir de quel nombre commence cette suite.

Les formules utilisées jusqu'ici supposent la connaissance de a 1 et d. On ne sait rien de ces chiffres dans l'état du problème. Néanmoins, écrivons les expressions pour chaque terme sur lequel nous avons des informations : a 15 = a 1 + 14 * d et a 43 = a 1 + 42 * d. Nous avons obtenu deux équations dans lesquelles il y a 2 quantités inconnues (a 1 et d). Cela signifie que le problème se réduit à résoudre un système d'équations linéaires.

Le système spécifié est plus facile à résoudre si vous exprimez un 1 dans chaque équation, puis comparez les expressions résultantes. Première équation : a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d ; deuxième équation: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. En égalant ces expressions, nous obtenons: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, d'où la différence d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (seulement 3 décimales sont données).

Connaissant d, vous pouvez utiliser n'importe laquelle des 2 expressions ci-dessus pour un 1 . Par exemple, d'abord: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

En cas de doute sur le résultat, vous pouvez le vérifier, par exemple, déterminer le 43e membre de la progression, qui est spécifié dans la condition. Nous obtenons: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Une petite erreur est due au fait que l'arrondi au millième a été utilisé dans les calculs.

Exemple #5 : Somme

Voyons maintenant quelques exemples avec des solutions pour la somme d'une progression arithmétique.

Soit une progression numérique de la forme suivante : 1, 2, 3, 4, ...,. Comment calculer la somme de 100 de ces nombres ?

Grâce au développement de la technologie informatique, ce problème peut être résolu, c'est-à-dire additionner séquentiellement tous les nombres qui Machine à calculer fera dès que la personne appuie sur la touche Entrée. Cependant, le problème peut être résolu mentalement si vous faites attention que la série de nombres présentée est une progression algébrique et que sa différence est de 1. En appliquant la formule de la somme, nous obtenons : S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Il est curieux de noter que ce problème est appelé "Gaussien" car dans début XVIII du siècle, le célèbre Allemand, encore âgé de seulement 10 ans, a su le résoudre dans sa tête en quelques secondes. Le garçon ne connaissait pas la formule de la somme d'une progression algébrique, mais il a remarqué que si vous additionnez des paires de nombres situés aux bords de la séquence, vous obtenez toujours le même résultat, c'est-à-dire 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., et puisque ces sommes seront exactement 50 (100/2), alors pour obtenir la bonne réponse, il suffit de multiplier 50 par 101.

Exemple #6 : somme des termes de n à m

Un autre exemple typique de la somme d'une progression arithmétique est le suivant : étant donné une suite de nombres : 3, 7, 11, 15, ..., il faut trouver quelle sera la somme de ses termes de 8 à 14.

Le problème est résolu de deux manières. La première d'entre elles consiste à trouver des termes inconnus de 8 à 14, puis à les additionner séquentiellement. Comme il y a peu de termes, cette méthode n'est pas assez laborieuse. Néanmoins, il est proposé de résoudre ce problème par la deuxième méthode, qui est plus universelle.

L'idée est d'obtenir une formule pour la somme d'une progression algébrique entre les termes m et n, où n > m sont des entiers. Dans les deux cas, nous écrivons deux expressions pour la somme :

1. S m \u003d m * (un m + un 1) / 2.
2. S n \u003d n * (un n + un 1) / 2.

Puisque n > m, il est évident que la somme 2 inclut la première. La dernière conclusion signifie que si nous prenons la différence entre ces sommes et y ajoutons le terme a m (dans le cas de la différence, il est soustrait de la somme S n), alors nous obtenons la réponse nécessaire au problème. Nous avons: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + un n * n / 2 + un m * (1- m / 2). Il est nécessaire de substituer des formules pour a n et a m dans cette expression. On obtient alors : S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = une 1 * (n - m + 1) + ré * n * (n - 1) / 2 + ré * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

La formule résultante est quelque peu lourde, cependant, la somme S mn ne dépend que de n, m, a 1 et d. Dans notre cas, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. En substituant ces nombres, on obtient : S mn = 301.

Comme on peut le voir à partir des solutions ci-dessus, tous les problèmes sont basés sur la connaissance de l'expression du nième terme et de la formule de la somme de l'ensemble des premiers termes. Avant de commencer à résoudre l'un de ces problèmes, il est recommandé de lire attentivement la condition, de comprendre clairement ce que vous voulez trouver, et ensuite seulement de procéder à la solution.

Une autre astuce consiste à rechercher la simplicité, c'est-à-dire que si vous pouvez répondre à la question sans utiliser de calculs mathématiques complexes, vous devez le faire, car dans ce cas, la probabilité de faire une erreur est moindre. Par exemple, dans l'exemple d'une progression arithmétique avec la solution n ° 6, on pourrait s'arrêter à la formule S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, et diviser tâche commune en sous-problèmes séparés (dans ce cas, trouvez d'abord les termes a n et a m).

En cas de doute sur le résultat obtenu, il est recommandé de le vérifier, comme cela a été fait dans certains des exemples donnés. Comment trouver une progression arithmétique, découvert. Une fois que vous avez compris, ce n'est pas si difficile.

Premier niveau

Progression arithmétique. Théorie détaillée avec des exemples (2019)

Séquence numérique

Alors asseyons-nous et commençons à écrire quelques chiffres. Par exemple:
Vous pouvez écrire n'importe quel nombre, et il peut y en avoir autant que vous le souhaitez (dans notre cas, eux). Peu importe le nombre de nombres que nous écrivons, nous pouvons toujours dire lequel d'entre eux est le premier, lequel est le second, et ainsi de suite jusqu'au dernier, c'est-à-dire que nous pouvons les numéroter. Voici un exemple de séquence de nombres :

Séquence numérique
Par exemple, pour notre séquence :

Le numéro attribué est spécifique à un seul numéro de séquence. En d'autres termes, il n'y a pas de nombres de trois secondes dans la séquence. Le deuxième nombre (comme le -ième nombre) est toujours le même.
Le nombre avec le nombre est appelé le -ème membre de la séquence.

Nous appelons généralement la séquence entière une lettre (par exemple,), et chaque membre de cette séquence - la même lettre avec un index, égal au nombre ce membre : .

Dans notre cas:

Disons que nous avons séquence numérique, dans lequel la différence entre les nombres voisins est la même et égale.
Par exemple:

etc.
Une telle séquence numérique est appelée une progression arithmétique.
Le terme « progression » a été introduit par l'auteur romain Boèce dès le 6ème siècle et a été compris dans un sens plus large comme une séquence numérique sans fin. Le nom "arithmétique" a été transféré de la théorie des proportions continues, dans laquelle les anciens Grecs étaient engagés.

Il s'agit d'une séquence numérique dont chaque membre est égal au précédent, additionné du même nombre. Ce nombre est appelé la différence d'une progression arithmétique et est noté.

Essayez de déterminer quelles suites de nombres sont une progression arithmétique et lesquelles ne le sont pas :

un)
b)
c)
ré)

J'ai compris? Comparez nos réponses :
Est progression arithmétique - b, c.
N'est pas progression arithmétique - a, d.

Revenons à la progression donnée () et essayons de trouver la valeur de son ème membre. Existe deux moyen de le trouver.

1. Méthode

Nous pouvons ajouter à la valeur précédente du numéro de progression jusqu'à ce que nous atteignions le ème terme de la progression. C'est bien que nous n'ayons pas grand-chose à résumer - seulement trois valeurs :

Ainsi, le -ième membre de la progression arithmétique décrite est égal à.

2. Méthode

Et s'il fallait trouver la valeur du ième terme de la progression ? La sommation nous aurait pris plus d'une heure, et ce n'est pas un fait que nous n'aurions pas fait d'erreurs lors de l'addition des chiffres.
Bien sûr, les mathématiciens ont trouvé un moyen de ne pas avoir besoin d'ajouter la différence d'une progression arithmétique à la valeur précédente. Regardez attentivement l'image dessinée ... Vous avez sûrement déjà remarqué un certain schéma, à savoir:

Voyons par exemple ce qui constitue la valeur du -ème membre de cette progression arithmétique :


Autrement dit:

Essayez de trouver de cette manière indépendamment la valeur d'un membre de cette progression arithmétique.

Calculé? Comparez vos entrées avec la réponse :

Faites attention que vous obteniez exactement le même nombre que dans la méthode précédente, lorsque l'on ajoutait successivement les membres d'une progression arithmétique à la valeur précédente.
Essayons de "dépersonnaliser" cette formule - introduisons-la dans Forme générale et obtenir:

Les progressions arithmétiques sont soit croissantes soit décroissantes.

En augmentant- progressions dans lesquelles chaque valeur suivante des termes est supérieure à la précédente.
Par exemple:

Descendant- progressions dans lesquelles chaque valeur suivante des termes est inférieure à la précédente.
Par exemple:

La formule dérivée est utilisée dans le calcul des termes en termes croissants et décroissants d'une progression arithmétique.
Vérifions-le en pratique.
On nous donne une progression arithmétique composée des nombres suivants :

Depuis:

Ainsi, nous étions convaincus que la formule fonctionne aussi bien en progression arithmétique décroissante qu'en progression arithmétique croissante.
Essayez de trouver par vous-même les -ième et -ième membres de cette progression arithmétique.

Comparons les résultats :

Propriété de progression arithmétique

Compliquons la tâche - nous déduisons la propriété d'une progression arithmétique.
Supposons qu'on nous donne la condition suivante :
- progression arithmétique, trouver la valeur.
C'est facile, dites-vous, et commencez à compter selon la formule que vous connaissez déjà :

Soit, a, alors :

Absolument raison. Il s'avère que nous trouvons d'abord, puis l'ajoutons au premier numéro et obtenons ce que nous recherchons. Si la progression est représentée par de petites valeurs, alors il n'y a rien de compliqué à ce sujet, mais que se passe-t-il si on nous donne des nombres dans la condition ? D'accord, il y a une possibilité de faire des erreurs dans les calculs.
Pensez maintenant, est-il possible de résoudre ce problème en une seule étape en utilisant n'importe quelle formule ? Bien sûr, oui, et nous allons essayer de le faire ressortir maintenant.

Désignons le terme souhaité de la progression arithmétique comme, nous connaissons la formule pour le trouver - c'est la même formule que nous avons dérivée au début :
, alors:

• le membre précédent de la progression est :
• le terme suivant de la progression est :

Résumons les membres précédents et suivants de la progression :

Il s'avère que la somme des membres précédents et suivants de la progression est le double de la valeur du membre de la progression situé entre eux. En d'autres termes, pour trouver la valeur d'un membre de progression avec des valeurs précédentes et successives connues, il faut les additionner et diviser par.

C'est vrai, nous avons le même numéro. Fixons le matériel. Calculez vous-même la valeur de la progression, car ce n'est pas difficile du tout.

Bien fait! Vous savez presque tout sur la progression ! Il ne reste plus qu'à découvrir une seule formule, qui, selon la légende, l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps, le "roi des mathématiciens" - Karl Gauss, a facilement déduit pour lui-même ...

Lorsque Carl Gauss avait 9 ans, l'enseignant, occupé à vérifier le travail des élèves des autres classes, a demandé la tâche suivante à la leçon: «Calculez la somme de tous nombres naturels de à (selon d'autres sources jusqu'à) inclus. Quelle a été la surprise du professeur lorsqu'un de ses élèves (c'était Karl Gauss) après une minute a donné la bonne réponse à la tâche, alors que la plupart des camarades de classe du casse-cou après de longs calculs ont reçu le mauvais résultat ...

Le jeune Carl Gauss a remarqué un schéma que vous pouvez facilement remarquer.
Disons que nous avons une progression arithmétique composée de membres -ti : nous devons trouver la somme des membres donnés de la progression arithmétique. Bien sûr, nous pouvons additionner manuellement toutes les valeurs, mais que se passe-t-il si nous devons trouver la somme de ses termes dans la tâche, comme le recherchait Gauss ?

Décrivons la progression qui nous est donnée. Regardez attentivement les nombres en surbrillance et essayez d'effectuer diverses opérations mathématiques avec eux.


A essayé? Qu'avez-vous remarqué ? Correctement! Leurs sommes sont égales

Répondez maintenant, combien y aura-t-il de telles paires dans la progression qui nous est donnée ? Bien sûr, exactement la moitié de tous les nombres, c'est-à-dire.
Partant du fait que la somme de deux termes d'une progression arithmétique est égale, et des paires égales similaires, on obtient que la somme totale est égale à :
.
Ainsi, la formule de la somme des premiers termes de toute progression arithmétique sera :

Dans certains problèmes, nous ne connaissons pas le ème terme, mais nous connaissons la différence de progression. Essayez de substituer dans la formule de somme, la formule du ème membre.
Qu'est-ce que vous obtenez?

Bien fait! Revenons maintenant au problème qui a été confié à Carl Gauss : calculez vous-même quelle est la somme des nombres à partir du -ème, et la somme des nombres à partir du -ème.

Combien avez-vous obtenu?
Gauss s'est avéré que la somme des termes est égale, et la somme des termes. C'est comme ça que tu as décidé ?

En fait, la formule de la somme des membres d'une progression arithmétique a été prouvée par l'ancien scientifique grec Diophantus au 3ème siècle, et tout au long de cette période, des personnes pleines d'esprit ont utilisé les propriétés d'une progression arithmétique avec force et force.
Par exemple, imaginez L'Egypte ancienne et le plus grand chantier de construction de cette époque - la construction d'une pyramide ... La figure en montre un côté.

Où est la progression ici me direz-vous ? Regardez attentivement et trouvez un modèle dans le nombre de blocs de sable dans chaque rangée du mur de la pyramide.


Pourquoi pas une progression arithmétique ? Comptez le nombre de blocs nécessaires pour construire un mur si des blocs de briques sont placés dans la base. J'espère que vous ne compterez pas en déplaçant votre doigt sur l'écran, vous souvenez-vous de la dernière formule et de tout ce que nous avons dit sur la progression arithmétique ?

Dans ce cas, la progression ressemble à de la manière suivante: .
Différence de progression arithmétique.
Le nombre de membres d'une progression arithmétique.
Remplaçons nos données dans les dernières formules (nous comptons le nombre de blocs de 2 manières).

Méthode 1.

Méthode 2.

Et maintenant, vous pouvez également calculer sur le moniteur : comparez les valeurs obtenues avec le nombre de blocs qui se trouvent dans notre pyramide. C'était d'accord ? Bravo, vous maîtrisez la somme des ème termes d'une progression arithmétique.
Bien sûr, vous ne pouvez pas construire une pyramide à partir des blocs à la base, mais à partir de ? Essayez de calculer combien de briques de sable sont nécessaires pour construire un mur avec cette condition.
Avez-vous réussi?
La bonne réponse est blocs :

Entraînement

Tâches:

1. Masha se prépare pour l'été. Chaque jour, elle augmente le nombre de squats de. Combien de fois Masha s'accroupira-t-elle en semaines si elle a fait des squats lors du premier entraînement.
2. Quelle est la somme de tous les nombres impairs contenus dans.
3. Lors du stockage des bûches, les bûcherons les empilent de manière à ce que chaque couche supérieure contienne une bûche de moins que la précédente. Combien y a-t-il de bûches dans une maçonnerie, si la base de la maçonnerie est constituée de bûches.

Réponses:

1. Définissons les paramètres de la progression arithmétique. Dans ce cas
   (semaines = jours).

   Réponse: Dans deux semaines, Masha devrait s'accroupir une fois par jour.

2. Premier nombre impair, dernier nombre.
   Différence de progression arithmétique.
   Le nombre de nombres impairs dans - la moitié, cependant, vérifiez ce fait en utilisant la formule pour trouver le -ème membre d'une progression arithmétique :

   Les nombres contiennent des nombres impairs.
   Nous substituons les données disponibles dans la formule :

   Réponse: La somme de tous les nombres impairs contenus dans est égale à.

3. Rappelez-vous le problème des pyramides. Pour notre cas, a , étant donné que chaque couche supérieure est réduite d'un log, il n'y a qu'un tas de couches, c'est-à-dire.
   Remplacez les données dans la formule :

   Réponse: Il y a des bûches dans la maçonnerie.

Résumé

1. - une séquence numérique dans laquelle la différence entre des nombres adjacents est la même et égale. Il augmente et diminue.
2. Trouver la formuleème membre d'une progression arithmétique est écrit par la formule - , où est le nombre de nombres dans la progression.
3. Propriété des membres d'une progression arithmétique- - où - le nombre de numéros dans la progression.
4. La somme des membres d'une progression arithmétique peut être trouvée de deux manières :
   
   , où est le nombre de valeurs.

PROGRESSION ARITHMÉTIQUE. NIVEAU MOYEN

Séquence numérique

Asseyons-nous et commençons à écrire quelques chiffres. Par exemple:

Vous pouvez écrire n'importe quel nombre, et il peut y en avoir autant que vous le souhaitez. Mais vous pouvez toujours dire lequel d'entre eux est le premier, lequel est le second, et ainsi de suite, c'est-à-dire que nous pouvons les numéroter. Ceci est un exemple de séquence de nombres.

Séquence numérique est un ensemble de nombres, chacun pouvant se voir attribuer un numéro unique.

En d'autres termes, chaque nombre peut être associé à un certain nombre naturel, et à un seul. Et nous n'attribuerons ce numéro à aucun autre numéro de cet ensemble.

Le nombre avec le nombre est appelé le -ème membre de la séquence.

Nous appelons généralement la séquence entière une lettre (par exemple,), et chaque membre de cette séquence - la même lettre avec un indice égal au numéro de ce membre : .

C'est très pratique si le -ième membre de la séquence peut être donné par une formule. Par exemple, la formule

définit la séquence :

Et la formule est la séquence suivante :

Par exemple, une progression arithmétique est une suite (le premier terme ici est égal, et la différence). Ou (, différence).

formule du nième terme

On appelle récurrente une formule dans laquelle, pour connaître le -ème terme, il faut connaître le précédent ou plusieurs précédents :

Pour trouver, par exemple, le ième terme de la progression à l'aide d'une telle formule, il faut calculer les neuf précédents. Par exemple, laissez. Alors:

Eh bien, maintenant c'est clair quelle est la formule?

Dans chaque ligne, nous ajoutons à, multiplié par un certain nombre. Pour quelle raison? Très simple : c'est le numéro du membre actuel moins :

Beaucoup plus confortable maintenant, non ? Nous vérifions:

Décider vous-même:

Dans une progression arithmétique, trouvez la formule du nième terme et trouvez le centième terme.

La solution:

Le premier terme est égal. Et quelle est la différence? Et voici quoi :

(après tout, on l'appelle la différence car elle est égale à la différence des membres successifs de la progression).

Donc la formule est :

Alors le centième terme est :

Quelle est la somme de tous les nombres naturels de à ?

Selon la légende, le grand mathématicien Carl Gauss, étant un garçon de 9 ans, a calculé ce montant en quelques minutes. Il a remarqué que la somme du premier et du dernier nombre est égale, la somme du deuxième et de l'avant-dernier est la même, la somme du troisième et du 3e à partir de la fin est la même, et ainsi de suite. Combien y a-t-il de telles paires ? C'est vrai, exactement la moitié du nombre de tous les nombres, c'est-à-dire. Alors,

La formule générale pour la somme des premiers termes de toute progression arithmétique sera :

Exemple:
Trouver la somme de tous les multiples à deux chiffres.

La solution:

Le premier de ces nombres est celui-ci. Chaque suivant est obtenu en ajoutant un nombre au précédent. Ainsi, les nombres qui nous intéressent forment une progression arithmétique avec le premier terme et la différence.

La formule du ème terme de cette progression est :

Combien y a-t-il de termes dans la progression s'ils doivent tous être à deux chiffres ?

Très facile: .

Le dernier terme de la progression sera égal. Puis la somme :

Réponse: .

Décidez maintenant par vous-même :

1. Chaque jour, l'athlète court 1 m de plus que la veille. Combien de kilomètres parcourra-t-il en semaines s'il a couru km m le premier jour ?
2. Un cycliste parcourt plus de kilomètres chaque jour que le précédent. Le premier jour, il a parcouru km. Combien de jours doit-il conduire pour parcourir un kilomètre ? Combien de kilomètres parcourra-t-il le dernier jour du voyage ?
3. Le prix d'un réfrigérateur dans le magasin est réduit du même montant chaque année. Déterminez de combien le prix d'un réfrigérateur a diminué chaque année si, mis en vente pour des roubles, six ans plus tard, il a été vendu pour des roubles.

Réponses:

1. La chose la plus importante ici est de reconnaître la progression arithmétique et de déterminer ses paramètres. Dans ce cas, (semaines = jours). Il faut déterminer la somme des premiers termes de cette progression :
   .
   Réponse:
2. Ici c'est donné :, il faut trouver.
   Évidemment, vous devez utiliser la même formule de somme que dans le problème précédent :
   .
   Remplacez les valeurs :

   La racine ne correspond évidemment pas, donc la réponse.
   Calculons la distance parcourue le dernier jour en utilisant la formule du -ème membre :
   (km).
   Réponse:

3. Donné: . Trouver: .
   Rien de plus simple :
   (frotter).
   Réponse:

PROGRESSION ARITHMÉTIQUE. EN BREF SUR LE PRINCIPAL

Il s'agit d'une séquence numérique dans laquelle la différence entre des nombres adjacents est identique et égale.

La progression arithmétique est croissante () et décroissante ().

Par exemple:

La formule pour trouver le n-ième membre d'une progression arithmétique

s'écrit sous forme de formule, où est le nombre de nombres dans la progression.

Propriété des membres d'une progression arithmétique

Il est facile de trouver un membre de la progression si ses membres voisins sont connus - où est le nombre de numéros dans la progression.

La somme des membres d'une progression arithmétique

Il existe deux manières de trouver la somme :

Où est le nombre de valeurs.

Où est le nombre de valeurs.