Nombres et mesures rationnels. Que sont les nombres rationnels ? Quels sont les autres ?

Dans cet article, nous commencerons à explorer nombres rationnels. Nous donnerons ici des définitions des nombres rationnels, donnerons les explications nécessaires et donnerons des exemples de nombres rationnels. Après cela, nous nous concentrerons sur la façon de déterminer si un nombre donné est rationnel ou non.

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Définition et exemples de nombres rationnels

Dans cette section, nous donnerons plusieurs définitions des nombres rationnels. Malgré les différences de formulation, toutes ces définitions ont la même signification : les nombres rationnels unissent les entiers et les fractions, tout comme les nombres entiers unissent les nombres naturels, leurs opposés et le nombre zéro. En d’autres termes, les nombres rationnels généralisent les nombres entiers et fractionnaires.

Commençons avec définitions des nombres rationnels, ce qui est perçu le plus naturellement.

De la définition énoncée, il s'ensuit qu'un nombre rationnel est :

• Tout nombre naturel n. En effet, vous pouvez représenter n’importe quel nombre naturel sous la forme d’une fraction ordinaire, par exemple 3=3/1.
• Tout entier, en particulier le nombre zéro. En fait, tout nombre entier peut être écrit sous la forme d’une fraction positive, d’une fraction négative ou de zéro. Par exemple, 26=26/1, .
• Toute fraction commune (positive ou négative). Ceci est directement confirmé par la définition donnée des nombres rationnels.
• N’importe quel nombre mixte. En effet, on peut toujours représenter un nombre fractionnaire comme une fraction impropre. Par exemple, et.
• Toute fraction décimale finie ou fraction périodique infinie. Cela est dû au fait que les fractions décimales indiquées sont converties en fractions ordinaires. Par exemple, , et 0,(3)=1/3.

Il est également clair que toute fraction décimale non périodique infinie n’est PAS un nombre rationnel, puisqu’elle ne peut pas être représentée comme une fraction commune.

Maintenant, nous pouvons facilement donner exemples de nombres rationnels. Les nombres 4, 903, 100,321 sont des nombres rationnels car ce sont des nombres naturels. Les entiers 58, −72, 0, −833 333 333 sont également des exemples de nombres rationnels. Les fractions communes 4/9, 99/3 sont également des exemples de nombres rationnels. Les nombres rationnels sont aussi des nombres.

D’après les exemples ci-dessus, il est clair qu’il existe des nombres rationnels positifs et négatifs, et que le nombre rationnel zéro n’est ni positif ni négatif.

La définition ci-dessus des nombres rationnels peut être formulée sous une forme plus concise.

Définition.

Nombres rationnels sont des nombres qui peuvent être écrits sous forme de fraction z/n, où z est un nombre entier et n est un nombre naturel.

Montrons que cette définition des nombres rationnels est équivalente à la définition précédente. Nous savons que nous pouvons considérer la ligne d'une fraction comme un signe de division, puis des propriétés de division des nombres entiers et des règles de division des nombres entiers, la validité des égalités suivantes découle et. Voilà donc la preuve.

Donnons des exemples de nombres rationnels basés sur cette définition. Les nombres −5, 0, 3 et sont des nombres rationnels, puisqu'ils peuvent être écrits sous forme de fractions avec un numérateur entier et un dénominateur naturel de la forme et, respectivement.

La définition des nombres rationnels peut être donnée dans la formulation suivante.

Définition.

Nombres rationnels sont des nombres qui peuvent être écrits sous forme périodique finie ou infinie décimal.

Cette définition est également équivalente à la première définition, puisque toute fraction ordinaire correspond à une fraction décimale finie ou périodique et vice versa, et tout nombre entier peut être associé à une fraction décimale avec des zéros après la virgule.

Par exemple, les nombres 5, 0, −13 sont des exemples de nombres rationnels car ils peuvent être écrits sous la forme des fractions décimales suivantes : 5,0, 0,0, −13,0, 0,8 et −7, (18).

Terminons la théorie de ce point par les affirmations suivantes :

• les nombres entiers et les fractions (positives et négatives) constituent l'ensemble des nombres rationnels ;
• chaque nombre rationnel peut être représenté comme une fraction avec un numérateur entier et un dénominateur naturel, et chacune de ces fractions représente un certain nombre rationnel ;
• chaque nombre rationnel peut être représenté comme une fraction décimale périodique finie ou infinie, et chacune de ces fractions représente un nombre rationnel.

Ce chiffre est-il rationnel ?

Dans le paragraphe précédent, nous avons découvert que tout nombre naturel, tout entier, toute fraction ordinaire, tout nombre fractionnaire, toute fraction décimale finie, ainsi que toute fraction décimale périodique est un nombre rationnel. Cette connaissance nous permet de « reconnaître » des nombres rationnels à partir d’un ensemble de nombres écrits.

Mais que se passe-t-il si le nombre est donné sous la forme de certains , ou comme , etc., comment répondre à la question de savoir si ce nombre est rationnel ? Dans de nombreux cas, il est très difficile de répondre. Indiquons quelques pistes de réflexion.

Si le numéro est donné sous la forme expression numérique, qui ne contient que des nombres et des signes rationnels opérations arithmétiques(+, −, · et :), alors la valeur de cette expression est un nombre rationnel. Cela découle de la façon dont les opérations avec des nombres rationnels sont définies. Par exemple, après avoir effectué toutes les opérations dans l’expression, nous obtenons le nombre rationnel 18.

Parfois, après avoir simplifié les expressions et plus encore type complexe, il devient possible de déterminer si un nombre donné est rationnel.

Allons plus loin. Le nombre 2 est un nombre rationnel, puisque tout nombre naturel est rationnel. Et le numéro ? Est-ce rationnel ? Il s'avère que non, ce n'est pas un nombre rationnel, c'est un nombre irrationnel (la preuve de ce fait par contradiction est donnée dans le manuel d'algèbre de 8e année, listé ci-dessous dans la liste des références). Il a également été prouvé que Racine carrée d'un nombre naturel n'est un nombre rationnel que dans les cas où la racine contient un nombre qui est le carré parfait d'un nombre naturel. Par exemple, et sont des nombres rationnels, puisque 81 = 9 2 et 1 024 = 32 2, et les nombres et ne sont pas rationnels, puisque les nombres 7 et 199 ne sont pas des carrés parfaits. nombres naturels.

Le nombre est-il rationnel ou non ? Dans ce cas, il est facile de remarquer que ce nombre est donc rationnel. Le nombre est-il rationnel ? Il a été prouvé que la kième racine d'un entier est un nombre rationnel seulement si le nombre sous le signe racine est la kième puissance d'un entier. Ce n’est donc pas un nombre rationnel, puisqu’il n’existe pas d’entier dont la puissance cinquième est 121.

La méthode par contradiction permet de prouver que les logarithmes de certains nombres ne sont pas des nombres rationnels pour une raison quelconque. Par exemple, prouvons que - n'est pas un nombre rationnel.

Supposons le contraire, c'est-à-dire disons qu'il s'agit d'un nombre rationnel et qu'il peut s'écrire sous la forme d'une fraction ordinaire m/n. On donne alors les égalités suivantes : . La dernière égalité est impossible, puisque du côté gauche il y a nombre impair 5 n, et sur le côté droit se trouve le nombre pair 2 m. Par conséquent, notre hypothèse est incorrecte et ne constitue donc pas un nombre rationnel.

En conclusion, il convient particulièrement de noter que lors de la détermination de la rationalité ou de l'irrationalité des nombres, il convient de s'abstenir de tirer des conclusions soudaines.

Par exemple, il ne faut pas affirmer immédiatement que le produit des nombres irrationnels π et e est un nombre irrationnel ; cela est « apparemment évident », mais n'est pas prouvé ; Cela soulève la question : « Pourquoi un produit serait-il un nombre rationnel ? » Et pourquoi pas, car vous pouvez donner un exemple de nombres irrationnels dont le produit donne un nombre rationnel : .

On ne sait pas non plus si les nombres et bien d’autres nombres sont rationnels ou non. Par exemple, il existe des nombres irrationnels dont le pouvoir irrationnel est un nombre rationnel. A titre d'illustration, nous présentons un degré de la forme , la base de ce degré et l'exposant ne sont pas des nombres rationnels, mais , et 3 est un nombre rationnel.

Bibliographie.

• Mathématiques. 6e année : pédagogique. pour l'enseignement général institutions / [N. Ya. Vilenkin et autres]. - 22e éd., rév. - M. : Mnémosyne, 2008. - 288 p. : ill. ISBN978-5-346-00897-2.
• Algèbre: cahier de texte pour la 8ème année. enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova] ; édité par S.A. Telyakovsky. - 16e éd. - M. : Éducation, 2008. - 271 p. : je vais. - ISBN978-5-09-019243-9.
• Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques) : Proc. allocation.- M.; Plus haut école, 1984.-351 p., ill.

Nombres rationnels sont des nombres de la forme , où
est un entier, et - naturel. L'ensemble des nombres rationnels est désigné par la lettre . Dans ce cas la relation est remplie
, puisque tout entier
peut être représenté sous la forme . Ainsi, on peut dire que les nombres rationnels sont tous des nombres entiers, ainsi que des fractions ordinaires positives et négatives.

Décimales - ce sont des fractions ordinaires dont le dénominateur est un avec des zéros, soit 10 ; 100 ; 1000, etc Les fractions décimales s'écrivent sans dénominateurs. Tout d'abord, toute la partie du nombre est écrite, une virgule est placée à sa droite ; Le premier chiffre après la virgule décimale signifie le nombre de dixièmes, le deuxième – les centièmes, le troisième – les millièmes, etc. Les nombres après la virgule sont appelés décimales.

Infini est une fraction décimale qui comporte un nombre infini de chiffres après la virgule.

Chaque nombre rationnel peut être représenté comme un nombre décimal fini ou infini. Ceci est obtenu en divisant le numérateur par le dénominateur.

Une fraction décimale infinie s'appelle périodique , si, à partir d'un certain endroit, un chiffre ou un groupe de chiffres est répété, directement les uns après les autres. Un chiffre ou un groupe de chiffres répétitif est appelé point et est écrit entre parenthèses. Par exemple, .

L’inverse est également vrai : toute fraction décimale périodique infinie peut être représentée comme une fraction ordinaire.

Énumérons quelques informations sur les fractions périodiques.

1. Si la période d'une fraction commence immédiatement après la virgule décimale, alors la fraction est appelée purement périodique , sinon immédiatement après la virgule – périodique mixte .

Par exemple, 1,(58) est une fraction purement périodique et 2,4(67) est une fraction périodique mixte.

2. Si une fraction irréductible est tel que dans l'expansion de son dénominateur en facteurs premiers contient uniquement les chiffres 2 et 5, puis écrire le numéro sous forme décimale, représente la fraction décimale finale ; s'il y a d'autres facteurs premiers dans le développement indiqué, alors une fraction périodique décimale infinie sera obtenue.

3. Si une fraction irréductible est tel que la décomposition de son dénominateur en facteurs premiers ne contient pas les nombres 2 et 5, alors l'enregistrement du nombre sous forme de fraction décimale, c'est une fraction décimale purement périodique ; si dans le développement indiqué, avec d'autres facteurs premiers, il y en a 2 ou 5, alors le résultat est une fraction décimale périodique mixte.

4. Une fraction périodique peut avoir une période de n'importe quelle longueur, c'est-à-dire contenir n'importe quel nombre de chiffres.

1.3. Nombres irrationnels

Nombre irrationnel appelée fraction décimale non périodique infinie .

Des exemples de nombres irrationnels sont les racines de nombres naturels qui ne sont pas des carrés de nombres naturels. Par exemple,
,
. Les chiffres sont irrationnels
;
. L'ensemble des nombres irrationnels est désigné par la lettre .

Exemple 1.10. Prouve-le
est un nombre irrationnel.

Solution. Faisons comme si
- nombre rationnel. Évidemment, ce n'est pas un tout, et donc
, Où
Et – fraction irréductible ; signifie des chiffres
Et mutuellement simples. Parce que
, Que
, c'est
.

Ensemble de nombres rationnels

L’ensemble des nombres rationnels est noté et peut s’écrire comme suit :

Il s'avère que différentes notations peuvent représenter la même fraction, par exemple et , (toutes les fractions qui peuvent être obtenues les unes des autres en multipliant ou en divisant par le même nombre naturel représentent le même nombre rationnel). Puisqu'en divisant le numérateur et le dénominateur d'une fraction par leur plus grand diviseur commun, nous pouvons obtenir une seule représentation irréductible d'un nombre rationnel, nous pouvons parler de leur ensemble comme l'ensemble irréductible fractions avec un numérateur entier et un dénominateur naturel premiers entre eux :

Voici le plus grand diviseur commun des nombres et .

L’ensemble des nombres rationnels est une généralisation naturelle de l’ensemble des nombres entiers. Il est facile de voir que si un nombre rationnel a un dénominateur, alors c’est un entier. L'ensemble des nombres rationnels est situé partout de manière dense sur l'axe des nombres : entre deux nombres rationnels différents, il y a au moins un nombre rationnel (et donc un ensemble infini de nombres rationnels). Cependant, il s’avère que l’ensemble des nombres rationnels a une cardinalité dénombrable (c’est-à-dire que tous ses éléments peuvent être renumérotés). Notons au passage que les anciens Grecs étaient convaincus de l'existence de nombres qui ne peuvent être représentés comme une fraction (par exemple, ils ont prouvé qu'il n'existe pas de nombre rationnel dont le carré est 2).

Terminologie

Définition formelle

Formellement, les nombres rationnels sont définis comme l'ensemble des classes d'équivalence de paires par rapport à la relation d'équivalence if. Dans ce cas, les opérations d'addition et de multiplication sont définies de la manière suivante:

Définitions associées

Fractions propres, impropres et mixtes

Correct Une fraction dont le numérateur est inférieur à son dénominateur est appelée une fraction. Les fractions propres représentent des nombres rationnels modulo inférieur à un. Une fraction qui n'est pas propre s'appelle faux et représente un nombre rationnel supérieur ou égal à un en module.

Une fraction impropre peut être représentée comme la somme d’un nombre entier et d’une fraction propre, appelée fraction mixte . Par exemple, . Une notation similaire (avec le signe d'addition manquant), bien qu'utilisée en arithmétique élémentaire, est évitée dans la littérature mathématique stricte en raison de la similitude de la notation fraction mixte avec la notation du produit d'un entier et d'une fraction.

Hauteur de tir

Hauteur d'une fraction commune est la somme du module du numérateur et du dénominateur de cette fraction. Hauteur d'un nombre rationnel est la somme du module du numérateur et du dénominateur de la fraction ordinaire irréductible correspondant à ce nombre.

Par exemple, la hauteur d'une fraction est . La hauteur du nombre rationnel correspondant est égale à , puisque la fraction peut être réduite de .

Un commentaire

Terme fraction (fraction) Parfois [ spécifier] est utilisé comme synonyme du terme nombre rationnel, et parfois synonyme de tout nombre non entier. Dans ce dernier cas, les nombres fractionnaires et rationnels sont des choses différentes, car les nombres rationnels non entiers ne sont alors qu'un cas particulier de nombres fractionnaires.

Propriétés

Propriétés de base

L’ensemble des nombres rationnels satisfait seize propriétés de base, qui peuvent facilement être dérivées des propriétés des nombres entiers.

1. Ordre. Pour tout nombre rationnel, il existe une règle qui permet d'identifier de manière unique une et une seule des trois relations entre eux : "", " " ou " ". Cette règle s'appelle règle de commande et se formule ainsi : deux nombres positifs et sont liés par la même relation que deux entiers et ; deux nombres non positifs et sont liés par la même relation que deux nombres non négatifs et ; si tout à coup ce n'est pas négatif, mais - négatif, alors .

   

   Ajouter des fractions

2. Opération d’addition. règle de sommation montant nombres et et est noté , et le processus de recherche d'un tel nombre est appelé addition. La règle de sommation a la forme suivante : .
3. Opération de multiplication. Pour tout nombre rationnel, il existe ce qu'on appelle règle de multiplication, ce qui les met en correspondance avec un nombre rationnel. Dans ce cas, le numéro lui-même est appelé travail nombres et et est désigné par , et le processus de recherche d'un tel nombre est également appelé multiplication. La règle de multiplication a la forme suivante : .
4. Transitivité de la relation d'ordre. Pour tout triple de nombres rationnels, et si de moins en moins, alors moins, et si égal et égal, alors égal.
5. Commutativité de l'addition. Changer la place des termes rationnels ne change pas la somme.
6. Associativité de l'addition. L’ordre dans lequel trois nombres rationnels sont ajoutés n’affecte pas le résultat.
7. Présence de zéro. Il existe un nombre rationnel 0 qui préserve tous les autres nombres rationnels une fois ajoutés.
8. La présence de nombres opposés. Tout nombre rationnel a un nombre rationnel opposé qui, une fois ajouté, donne 0.
9. Commutativité de la multiplication. Changer la place des facteurs rationnels ne change pas le produit.
10. Associativité de la multiplication. L’ordre dans lequel trois nombres rationnels sont multipliés n’affecte pas le résultat.
11. Disponibilité de l'unité. Il existe un nombre rationnel 1 qui préserve tous les autres nombres rationnels lorsqu'il est multiplié.
12. Présence de nombres réciproques. Tout nombre rationnel non nul a un nombre rationnel inverse qui, multiplié par, donne 1.
13. Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition. L'opération de multiplication est coordonnée avec l'opération d'addition par la loi de distribution :
14. Liaison de la relation d'ordre avec l'opération d'addition. Le même nombre rationnel peut être ajouté aux côtés gauche et droit d’une inégalité rationnelle.
15. Le lien entre la relation d'ordre et l'opération de multiplication. Les côtés gauche et droit d’une inégalité rationnelle peuvent être multipliés par le même nombre rationnel positif.
16. Axiome d'Archimède. Quel que soit le nombre rationnel, vous pouvez prendre autant d'unités que leur somme dépasse .

Propriétés supplémentaires

Toutes les autres propriétés inhérentes aux nombres rationnels ne sont pas considérées comme fondamentales, car, d'une manière générale, elles ne sont plus basées directement sur les propriétés des nombres entiers, mais peuvent être prouvées sur la base des propriétés de base données ou directement par la définition d'un objet mathématique. . Il existe de nombreuses propriétés supplémentaires de ce type. Il est logique d’en énumérer seulement quelques-uns ici.

Comptabilité d'un ensemble

Pour estimer le nombre de nombres rationnels, vous devez trouver la cardinalité de leur ensemble. Il est facile de prouver que l’ensemble des nombres rationnels est dénombrable. Pour ce faire, il suffit de donner un algorithme qui énumère les nombres rationnels, c'est-à-dire établit une bijection entre les ensembles de nombres rationnels et naturels. Un exemple d’une telle construction est l’algorithme simple suivant. Une table sans fin est créée fractions ordinaires, sur chaque -ème ligne de chaque -ème colonne dont il y a une fraction. Par souci de précision, on suppose que les lignes et les colonnes de ce tableau sont numérotées à partir de un. Les cellules du tableau sont désignées par , où est le numéro de la ligne du tableau dans laquelle se trouve la cellule et est le numéro de la colonne.

Le tableau résultant est parcouru à l’aide d’un « serpent » selon l’algorithme formel suivant.

Ces règles sont recherchées de haut en bas et la position suivante est sélectionnée en fonction de la première correspondance.

Au cours d'un tel parcours, chaque nouveau nombre rationnel est associé à un autre nombre naturel. C'est-à-dire que les fractions reçoivent le numéro 1, les fractions reçoivent le numéro 2, etc. Il convient de noter que seules les fractions irréductibles sont numérotées. Un signe formel d'irréductibilité est que le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur de la fraction est égal à un.

En suivant cet algorithme, nous pouvons énumérer tous les nombres rationnels positifs. Cela signifie que l’ensemble des nombres rationnels positifs est dénombrable. Il est facile d’établir une bijection entre les ensembles de nombres rationnels positifs et négatifs en attribuant simplement à chaque nombre rationnel son opposé. Que. l'ensemble des nombres rationnels négatifs est également dénombrable. Leur union est aussi dénombrable par la propriété des ensembles dénombrables. L’ensemble des nombres rationnels est également dénombrable comme l’union d’un ensemble dénombrable avec un ensemble fini.

Bien entendu, il existe d’autres façons d’énumérer des nombres rationnels. Par exemple, pour cela, vous pouvez utiliser des structures telles que l'arbre de Kalkin-Wilf, l'arbre de Stern-Broko ou la série Farey.

L'affirmation sur la dénombrabilité de l'ensemble des nombres rationnels peut prêter à confusion, car à première vue, il semble qu'elle soit beaucoup plus étendue que l'ensemble des nombres naturels. En fait, ce n’est pas le cas et il existe suffisamment de nombres naturels pour énumérer tous les nombres rationnels.

Manque de nombres rationnels

voir également

Remarques

Littérature

• I. Kushnir. Manuel de mathématiques pour les écoliers. - Kiev : ASTARTA, 1998. - 520 p.
• P.S. Alexandrov. Introduction à la théorie des ensembles et à la topologie générale. - M. : chapitre. éd. physique et mathématiques allumé. éd. "Sciences", 1977
• I. L. Khmelnitski. Introduction à la théorie des systèmes algébriques

Définition des nombres rationnels :

Un nombre rationnel est un nombre qui peut être représenté sous forme de fraction. Le numérateur d'une telle fraction appartient à l'ensemble des nombres entiers et le dénominateur appartient à l'ensemble des nombres naturels.

Pourquoi les nombres sont-ils appelés rationnels ?

En latin, ratio signifie ratio. Les nombres rationnels peuvent être représentés sous forme de rapport, c'est-à-dire en d'autres termes, sous forme de fraction.

Exemple de nombre rationnel

Le nombre 2/3 est un nombre rationnel. Pourquoi? Ce nombre est représenté comme une fraction dont le numérateur appartient à l'ensemble des nombres entiers et le dénominateur à l'ensemble des nombres naturels.

Pour plus d'exemples de nombres rationnels, consultez l'article.

Nombres rationnels égaux

Différentes fractions peuvent représenter le même nombre rationnel.

Considérons le nombre rationnel 3/5. Ce nombre rationnel est égal à

Réduisons le numérateur et le dénominateur d'un facteur commun de 2 :

Nous avons la fraction 3/5, ce qui signifie que

Nombres rationnels

Quartiers

1. Ordre. un Et b il existe une règle qui permet d’identifier de manière unique une et une seule des trois relations entre elles : «< », « >" ou " = ". Cette règle s'appelle règle de commande et est formulé comme suit : deux nombres non négatifs et sont liés par la même relation que deux nombres entiers et ; deux nombres non positifs un Et b sont liés par la même relation que deux nombres non négatifs et ; si tout d'un coup un non négatif, mais b- négatif, alors un > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   Ajouter des fractions

2. Opération d’addition. Pour tout nombre rationnel un Et b il y a un soi-disant règle de sommation c. En même temps, le numéro lui-même c appelé montant Nombres un Et b et est noté , et le processus de recherche d'un tel nombre est appelé addition. La règle de sommation a la forme suivante : .
3. Opération de multiplication. Pour tout nombre rationnel un Et b il y a un soi-disant règle de multiplication, ce qui leur attribue un nombre rationnel c. En même temps, le numéro lui-même c appelé travail Nombres un Et b et est noté , et le processus de recherche d'un tel nombre est également appelé multiplication. La règle de multiplication ressemble à ceci : .
4. Transitivité de la relation d'ordre. Pour tout triplet de nombres rationnels un , b Et c Si un moins b Et b moins c, Que un moins c, et si unéquivaut à b Et béquivaut à c, Que unéquivaut à c. 6435">Commutativité de l'addition. Changer la place des termes rationnels ne change pas la somme.
5. Associativité de l'addition. L’ordre dans lequel trois nombres rationnels sont ajoutés n’affecte pas le résultat.
6. Présence de zéro. Il existe un nombre rationnel 0 qui préserve tous les autres nombres rationnels une fois ajoutés.
7. La présence de nombres opposés. Tout nombre rationnel a un nombre rationnel opposé qui, une fois ajouté, donne 0.
8. Commutativité de la multiplication. Changer la place des facteurs rationnels ne change pas le produit.
9. Associativité de la multiplication. L’ordre dans lequel trois nombres rationnels sont multipliés n’affecte pas le résultat.
10. Disponibilité de l'unité. Il existe un nombre rationnel 1 qui préserve tous les autres nombres rationnels lorsqu'il est multiplié.
11. Présence de nombres réciproques. Tout nombre rationnel a un nombre rationnel inverse qui, multiplié par, donne 1.
12. Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition. L'opération de multiplication est coordonnée avec l'opération d'addition par la loi de distribution :
13. Liaison de la relation d'ordre avec l'opération d'addition. Le même nombre rationnel peut être ajouté aux côtés gauche et droit d’une inégalité rationnelle. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Axiome d'Archimède. Quel que soit le nombre rationnel un, vous pouvez prendre tellement d'unités que leur somme dépasse un. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Propriétés supplémentaires

Toutes les autres propriétés inhérentes aux nombres rationnels ne sont pas considérées comme fondamentales, car, d'une manière générale, elles ne sont plus basées directement sur les propriétés des nombres entiers, mais peuvent être prouvées sur la base des propriétés de base données ou directement par la définition d'un objet mathématique. . Il existe de nombreuses propriétés supplémentaires de ce type. Il est logique d’en énumérer seulement quelques-uns ici.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Comptabilité d'un ensemble

Numérotation des nombres rationnels

Pour estimer le nombre de nombres rationnels, vous devez trouver la cardinalité de leur ensemble. Il est facile de prouver que l’ensemble des nombres rationnels est dénombrable. Pour ce faire, il suffit de donner un algorithme qui énumère les nombres rationnels, c'est-à-dire établit une bijection entre les ensembles de nombres rationnels et naturels.

Le plus simple de ces algorithmes ressemble à ceci. Un tableau sans fin de fractions ordinaires est compilé, sur chaque je-ième ligne dans chacun j la ème colonne dans laquelle se trouve la fraction. Par souci de précision, on suppose que les lignes et les colonnes de ce tableau sont numérotées à partir de un. Les cellules du tableau sont désignées par , où je- le numéro de la ligne du tableau dans laquelle se trouve la cellule, et j- numéro de colonne.

Le tableau résultant est parcouru à l’aide d’un « serpent » selon l’algorithme formel suivant.

Ces règles sont recherchées de haut en bas et la position suivante est sélectionnée en fonction de la première correspondance.

Au cours d'un tel parcours, chaque nouveau nombre rationnel est associé à un autre nombre naturel. C'est-à-dire que la fraction 1/1 est attribuée au nombre 1, la fraction 2/1 au nombre 2, etc. Il est à noter que seules les fractions irréductibles sont numérotées. Un signe formel d'irréductibilité est que le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur de la fraction est égal à un.

En suivant cet algorithme, nous pouvons énumérer tous les nombres rationnels positifs. Cela signifie que l’ensemble des nombres rationnels positifs est dénombrable. Il est facile d’établir une bijection entre les ensembles de nombres rationnels positifs et négatifs en attribuant simplement à chaque nombre rationnel son opposé. Que. l'ensemble des nombres rationnels négatifs est également dénombrable. Leur union est aussi dénombrable par la propriété des ensembles dénombrables. L’ensemble des nombres rationnels est également dénombrable comme l’union d’un ensemble dénombrable avec un ensemble fini.

L'affirmation sur la dénombrabilité de l'ensemble des nombres rationnels peut prêter à confusion, car à première vue, il semble qu'elle soit beaucoup plus étendue que l'ensemble des nombres naturels. En fait, ce n’est pas le cas et il existe suffisamment de nombres naturels pour énumérer tous les nombres rationnels.

Manque de nombres rationnels

L'hypoténuse d'un tel triangle ne peut être exprimée par aucun nombre rationnel

Nombres rationnels de la forme 1 / n en général n des quantités arbitrairement petites peuvent être mesurées. Ce fait crée l’impression trompeuse que les nombres rationnels peuvent être utilisés pour mesurer n’importe quelle distance géométrique. Il est facile de montrer que ce n’est pas vrai.

Remarques

Littérature

• I. Kushnir. Manuel de mathématiques pour les écoliers. - Kiev : ASTARTA, 1998. - 520 p.
• P.S. Alexandrov. Introduction à la théorie des ensembles et à la topologie générale. - M. : chapitre. éd. physique et mathématiques allumé. éd. "Sciences", 1977
• I. L. Khmelnitski. Introduction à la théorie des systèmes algébriques

Liens

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