Votre vie privée est importante pour nous. Pour cette raison, nous avons développé une politique de confidentialité qui décrit comment nous utilisons et stockons vos informations. Veuillez lire notre politique de confidentialité et faites-nous savoir si vous avez des questions.

Collecte et utilisation des informations personnelles

Les informations personnelles font référence aux données qui peuvent être utilisées pour identifier ou contacter une personne spécifique.

Vous pouvez être invité à fournir vos informations personnelles à tout moment lorsque vous nous contactez.

Voici quelques exemples des types d'informations personnelles que nous pouvons collecter et de la manière dont nous pouvons utiliser ces informations.

Quelles informations personnelles nous collectons :

• Lorsque vous soumettez une candidature sur le site, nous pouvons collecter diverses informations, notamment votre nom, votre numéro de téléphone, votre adresse e-mail, etc.

Comment utilisons-nous vos informations personnelles:

• Les informations personnelles que nous collectons nous permettent de vous contacter et de vous informer des offres uniques, promotions et autres événements et événements à venir.
• De temps à autre, nous pouvons utiliser vos informations personnelles pour vous envoyer des avis et des communications importants.
• Nous pouvons également utiliser des informations personnelles à des fins internes, telles que la réalisation d'audits, l'analyse de données et diverses recherches afin d'améliorer les services que nous fournissons et de vous fournir des recommandations concernant nos services.
• Si vous participez à un tirage au sort, à un concours ou à une incitation similaire, nous pouvons utiliser les informations que vous fournissez pour administrer ces programmes.

Divulgation à des tiers

Nous ne divulguons pas les informations reçues de votre part à des tiers.

Exceptions:

• Si nécessaire - conformément à la loi, ordre judiciaire, dans le cadre de procédures judiciaires et / ou sur la base de demandes publiques ou de demandes d'organismes publics sur le territoire de la Fédération de Russie - de divulguer vos informations personnelles. Nous pouvons également divulguer des informations vous concernant si nous déterminons qu'une telle divulgation est nécessaire ou appropriée pour des raisons de sécurité, d'application de la loi ou d'autres raisons d'intérêt public.
• En cas de réorganisation, de fusion ou de vente, nous pouvons transférer les informations personnelles que nous collectons au tiers successeur concerné.

Protection des informations personnelles

Nous prenons des précautions - y compris administratives, techniques et physiques - pour protéger vos informations personnelles contre la perte, le vol et l'utilisation abusive, ainsi que contre l'accès, la divulgation, l'altération et la destruction non autorisés.

Maintenir votre vie privée au niveau de l'entreprise

Pour garantir la sécurité de vos informations personnelles, nous communiquons les pratiques de confidentialité et de sécurité à nos employés et appliquons strictement les pratiques de confidentialité.

La racine n-ième d'un nombre réel a est un nombre b pour lequel l'égalité b^n = a est vraie. Les racines impaires existent pour les nombres négatifs et positifs, et les racines paires n'existent que pour les nombres positifs. La valeur de la racine est souvent infinie décimal, ce qui rend difficile son calcul précis, il est donc important de pouvoir comparer les racines.

Instruction

• Qu'il soit demandé de comparer deux nombres irrationnels. La première chose à laquelle vous devez faire attention est les exposants des racines des nombres comparés. Si les indicateurs sont les mêmes, alors les expressions radicales sont comparées. Évidemment, plus le nombre racine est grand, plus plus de valeur racines avec des exposants égaux. Par exemple, comparons racine cubique de deux et la racine cubique de huit. Les indicateurs sont les mêmes et égaux à 3, les expressions radicales sont 2 et 8, et 2< 8. Следовательно, и кубический корень из двух меньше кубического корня из восьми.
• Dans un autre cas, les exposants peuvent être différents, mais les expressions radicales sont les mêmes. Il est également tout à fait clair que lors de l'extraction d'une racine plus grande, un nombre plus petit sera obtenu.Prenons par exemple la racine cubique de huit et la racine sixième de huit. Si nous notons la valeur de la première racine par a et la deuxième racine par b, alors a^3 = 8 et b^6 = 8. Il est facile de voir que a doit être supérieur à b, donc la racine cubique de huit est supérieur à la sixième racine de huit.
• Plus compliquée est la situation avec différents exposants du degré de la racine et différentes expressions de racine. Dans ce cas, vous devez trouver le plus petit commun multiple des exposants racines et élever les deux expressions à une puissance égale au plus petit commun multiple. Exemple : vous devez comparer 3 ^ 1/3 et 2 ^ 1/2 (l'expression mathématique la notation des racines est dans la figure). Le plus petit commun multiple de 2 et 3 est 6. Élevez les deux racines à la puissance six. Il s'avère immédiatement que 3^2 = 9 et 2^3 = 8, 9 > 8. Par conséquent, 3^1/3 > 2^1/2.

Formules racines. propriétés des racines carrées.

Attention!
Il y a d'autres
matériel dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui fortement "pas très..."
Et pour ceux qui "beaucoup...")

Dans la leçon précédente, nous avons compris ce qu'est une racine carrée. Il est temps de comprendre ce que sont formules pour les racines, quels sont propriétés racine et que peut-on faire pour tout cela.

Formules racine, propriétés racine et règles pour les actions avec racines- c'est essentiellement la même chose. Formules pour racines carréesétonnamment peu. Ce qui, bien sûr, plaît! Au contraire, vous pouvez écrire beaucoup de formules de toutes sortes, mais seulement trois suffisent pour un travail pratique et confiant avec les racines. Tout le reste découle de ces trois. Bien que beaucoup s'égarent dans les trois formules des racines, oui...

Commençons par le plus simple. Elle est là:

Si vous aimez ce site...

Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)

Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprendre - avec intérêt !)

vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivés.

Premier niveau

Comparaison des nombres. Guide complet (2019)

Lors de la résolution d'équations et d'inéquations, ainsi que de problèmes avec des modules, il est nécessaire de localiser les racines trouvées sur la ligne réelle. Comme vous le savez, les racines trouvées peuvent être différentes. Ils peuvent être comme ça :, ou ils peuvent être comme ça :,.

En conséquence, si les nombres ne sont pas rationnels mais irrationnels (si vous avez oublié ce que c'est, regardez dans le sujet), ou sont des expressions mathématiques complexes, alors les placer sur la droite numérique est très problématique. De plus, les calculatrices ne peuvent pas être utilisées à l'examen, et un calcul approximatif ne garantit pas à 100 % qu'un nombre est inférieur à un autre (et s'il y a une différence entre les nombres comparés ?).

Bien sûr, vous savez que les nombres positifs sont toujours supérieurs aux nombres négatifs, et que si nous représentons un axe des nombres, alors lors de la comparaison, les plus grands nombres sera situé à droite que le plus petit : ; ; etc.

Mais est-ce toujours aussi simple ? Où sur la droite numérique nous marquons .

Comment les comparer, par exemple, avec un nombre ? C'est là que le bât blesse...)

Parlons d'abord de de façon générale comment et quoi comparer.

Important : il est souhaitable de faire les transformations de manière à ce que le signe de l'inégalité ne change pas ! Autrement dit, au cours des transformations, il n'est pas souhaitable de multiplier par un nombre négatif, et c'est interdit carré si l'une des parties est négative.

Comparaison de fractions

Il faut donc comparer deux fractions : et.

Il existe plusieurs options pour savoir comment procéder.

Option 1. Amener les fractions à un dénominateur commun.

Écrivons-le sous la forme d'une fraction ordinaire :

- (comme vous pouvez le voir, j'ai aussi réduit par le numérateur et le dénominateur).

Maintenant, nous devons comparer des fractions :

Maintenant, nous pouvons continuer à comparer également de deux manières. Nous pouvons:

1. il suffit de tout réduire à un dénominateur commun, en présentant les deux fractions comme impropres (le numérateur est supérieur au dénominateur) :

   Quel nombre est le plus grand ? C'est vrai, celui dont le numérateur est le plus grand, c'est-à-dire le premier.

2. "jeter" (supposons que nous avons soustrait un de chaque fraction, et que le rapport des fractions entre elles, respectivement, n'a pas changé) et nous comparerons les fractions :

   Nous les ramenons également à un dénominateur commun :

   Nous avons obtenu exactement le même résultat que dans le cas précédent - le premier nombre est supérieur au second :

   Vérifions également si nous avons correctement soustrait un ? Calculons la différence du numérateur dans le premier calcul et le second :
   1)
   2)

Nous avons donc examiné comment comparer des fractions, en les ramenant à un dénominateur commun. Passons à une autre méthode - comparer des fractions en les ramenant à un ... numérateur commun.

Option 2. Comparer des fractions en réduisant à un numérateur commun.

Oui oui. Ce n'est pas une faute de frappe. À l'école, cette méthode est rarement enseignée à qui que ce soit, mais très souvent, elle est très pratique. Pour que vous compreniez rapidement son essence, je ne vous poserai qu'une seule question - "dans quels cas la valeur de la fraction est-elle la plus grande?" Bien sûr, vous direz "lorsque le numérateur est le plus grand possible et le dénominateur le plus petit possible".

Par exemple, vous direz certainement que Vrai ? Et si nous devons comparer de telles fractions : Je pense que vous aussi, vous mettrez immédiatement le signe correctement, car dans le premier cas, ils sont divisés en parties et dans le second en entiers, ce qui signifie que dans le second cas, les morceaux sont très petits et, par conséquent :. Comme vous pouvez le voir, les dénominateurs sont différents ici, mais les numérateurs sont les mêmes. Cependant, pour comparer ces deux fractions, vous n'avez pas besoin de trouver un dénominateur commun. Bien que ... trouvez-le et voyez si le signe de comparaison est toujours faux?

Mais le signe est le même.

Revenons à notre tâche initiale - comparer et. Nous allons comparer et Nous amenons ces fractions non pas à un dénominateur commun, mais à un numérateur commun. Pour cela c'est simple numérateur et dénominateur multiplier la première fraction par. On a:

et. Quelle fraction est la plus grande ? C'est vrai, le premier.

Option 3. Comparer des fractions par soustraction.

Comment comparer des fractions par soustraction ? Oui, très simple. Nous soustrayons un autre d'une fraction. Si le résultat est positif, alors la première fraction (réduite) est supérieure à la seconde (soustraite), et s'il est négatif, alors vice versa.

Dans notre cas, essayons de soustraire la première fraction de la seconde : .

Comme vous l'avez déjà compris, nous traduisons également en une fraction ordinaire et obtenons le même résultat -. Notre expression devient :

De plus, nous devons encore recourir à la réduction à un dénominateur commun. La question est de savoir comment : de la première manière, convertir des fractions en fractions impropres, ou de la seconde, comme si l'on "supprimait" l'unité ? Soit dit en passant, cette action a une justification complètement mathématique. Voir:

J'aime mieux la deuxième option, car la multiplication au numérateur lors de la réduction à un dénominateur commun devient beaucoup plus facile.

On ramène à un dénominateur commun :

L'essentiel ici est de ne pas se tromper sur le nombre et l'endroit où nous avons soustrait. Regardez attentivement le cours de la solution et ne confondez pas accidentellement les signes. Nous avons soustrait le premier du deuxième nombre et avons obtenu une réponse négative, alors ? .. C'est vrai, le premier nombre est supérieur au second.

J'ai compris? Essayez de comparer des fractions :

Stop STOP. Ne vous précipitez pas pour amener à un dénominateur commun ou soustraire. Regardez : il peut être facilement converti en fraction décimale. Combien est-ce que ça va coûter? Correctement. Qu'est-ce qui finit par être plus?

Ceci est une autre option - comparer des fractions en réduisant à un nombre décimal.

Option 4. Comparer des fractions en utilisant la division.

Oui oui. Et donc c'est aussi possible. La logique est simple : lorsque nous divisons un plus grand nombre par un plus petit, nous obtenons un nombre supérieur à un dans la réponse, et si nous divisons un plus petit nombre par un plus grand, alors la réponse tombe sur l'intervalle de à.

Pour vous souvenir de cette règle, prenez pour comparaison deux nombres premiers, par exemple, je. Savez-vous quoi de plus? Maintenant, divisons par. Notre réponse est . En conséquence, la théorie est correcte. Si nous divisons par, ce que nous obtenons est inférieur à un, ce qui confirme à son tour ce qui est réellement inférieur.

Essayons d'appliquer cette règle à fractions communes. Comparer:

Divisez la première fraction par la seconde :

Raccourcis au fur et à mesure.

Le résultat est inférieur, donc le dividende est inférieur au diviseur, c'est-à-dire :

Nous avons tout démonté options possibles comparaisons de fractions. Comme vous pouvez le voir, il y en a 5 :

• réduction à un dénominateur commun;
• réduction à un numérateur commun ;
• réduction sous la forme d'une fraction décimale ;
• soustraction;
• division.

Prêt à vous entraîner ? Comparez les fractions de la meilleure façon :

Comparons les réponses :

1. (- convertir en décimal)
2. (diviser une fraction par une autre et réduire par le numérateur et le dénominateur)
3. (sélectionner la partie entière et comparer les fractions selon le principe du même numérateur)
4. (diviser une fraction par une autre et réduire par le numérateur et le dénominateur).

2. Comparaison des diplômes

Imaginez maintenant que nous devions comparer non seulement des nombres, mais des expressions où il y a un degré ().

Bien sûr, vous pouvez facilement mettre un signe :

Après tout, si nous remplaçons le degré par la multiplication, nous obtenons :

À partir de ce petit exemple primitif, la règle suit :

Essayez maintenant de comparer les éléments suivants : . Vous pouvez aussi facilement mettre un signe :

Parce que si on remplace l'exponentiation par la multiplication...

En général, vous comprenez tout, et ce n'est pas difficile du tout.

Les difficultés ne surgissent que lorsque, comparés, les diplômes ont des bases et des indicateurs différents. Dans ce cas, il faut essayer de se rapprocher d'une base commune. Par exemple:

Bien sûr, vous savez que cela, en conséquence, l'expression prend la forme :

Ouvrons les parenthèses et comparons ce qui se passe :

Un cas un peu particulier est celui où la base du degré () est inférieure à un.

Si, alors de deux degrés ou plus, celui dont l'indicateur est le moins.

Essayons de prouver cette règle. Laisser.

Introduisons-nous quelques entier naturel comme la différence entre et.

Logique, n'est-ce pas ?

Faisons maintenant attention à la condition - .

Respectivement: . Par conséquent, .

Par exemple:

Comme vous l'avez compris, nous avons considéré le cas où les bases des puissances sont égales. Voyons maintenant quand la base est dans la plage de à, mais les exposants sont égaux. Tout est très simple ici.

Rappelons-nous comment comparer cela avec un exemple :

Bien sûr, vous avez rapidement calculé :

Par conséquent, lorsque vous rencontrez des problèmes similaires à des fins de comparaison, gardez à l'esprit un exemple similaire simple que vous pouvez calculer rapidement et, sur la base de cet exemple, placez des signes dans un exemple plus complexe.

Lorsque vous effectuez des transformations, rappelez-vous que si vous multipliez, additionnez, soustrayez ou divisez, toutes les actions doivent être effectuées à gauche et à droite (si vous multipliez par, vous devez multiplier les deux).

De plus, il y a des moments où faire des manipulations n'est tout simplement pas rentable. Par exemple, vous devez comparer. Dans ce cas, il n'est pas si difficile d'élever à une puissance et d'organiser le signe en fonction de ceci:

Entraînons-nous. Comparez les diplômes :

Prêt à comparer les réponses ? C'est ce que j'ai fait:

1. - le même que
2. - le même que
3. - le même que
4. - le même que

3. Comparaison de nombres avec une racine

Commençons par ce que sont les racines ? Vous souvenez-vous de cette entrée ?

La racine d'un nombre réel est un nombre pour lequel l'égalité est vraie.

Les racines un degré impair existe pour les nombres négatifs et positifs, et même les racines- Uniquement pour le positif.

La valeur de la racine est souvent une décimale infinie, ce qui rend difficile son calcul précis, il est donc important de pouvoir comparer les racines.

Si vous avez oublié de quoi il s'agit et avec quoi il se mange -. Si vous vous souvenez de tout, apprenons à comparer les racines étape par étape.

Disons qu'il faut comparer :

Pour comparer ces deux racines, vous n'avez pas besoin de faire de calculs, analysez simplement le concept même de "racine". Compris de quoi je parle ? Oui, à ce sujet : sinon, il peut être écrit comme la troisième puissance d'un nombre, égal à l'expression racine.

Quoi de plus? ou? Ceci, bien sûr, vous pouvez comparer sans aucune difficulté. Plus le nombre que nous élevons à une puissance est grand, plus la valeur sera grande.

Alors. Obtenons la règle.

Si les exposants des racines sont les mêmes (dans notre cas, c'est le cas), alors il est nécessaire de comparer les expressions racine (et) - plus le nombre racine est grand, plus la valeur de la racine avec des indicateurs égaux est grande.

Difficile à retenir ? Ensuite, gardez juste un exemple à l'esprit et. Plus que?

Les exposants des racines sont les mêmes, puisque la racine est carrée. L'expression racine d'un nombre () est supérieure à un autre (), ce qui signifie que la règle est vraiment vraie.

Mais que se passe-t-il si les expressions radicales sont les mêmes, mais que les degrés des racines sont différents ? Par exemple: .

Il est également tout à fait clair que lors de l'extraction d'une racine d'un degré supérieur, un nombre plus petit sera obtenu. Prenons par exemple :

Dénotons la valeur de la première racine comme, et la seconde - comme, alors :

Vous pouvez facilement voir qu'il devrait y avoir plus dans ces équations, donc :

Si les expressions racine sont les mêmes(dans notre cas), et les exposants des racines sont différents(dans notre cas, c'est et), alors il faut comparer les exposants(et) - plus l'exposant est grand, plus l'expression donnée est petite.

Essayez de comparer les racines suivantes :

Comparons les résultats ?

Nous avons réussi à gérer cela :). Une autre question se pose : et si nous étions tous différents ? Et le degré, et l'expression radicale ? Tout n'est pas si difficile, il suffit de ... "se débarrasser" de la racine. Oui oui. Débarrassez-vous en.)

Si nous avons différents degrés et expressions radicales, il est nécessaire de trouver le plus petit commun multiple (lire la section à ce sujet) pour les exposants racines et d'élever les deux expressions à une puissance égale au plus petit commun multiple.

Que nous sommes tous dans les mots et dans les mots. Voici un exemple :

1. Nous regardons les indicateurs des racines - et. Leur plus petit multiple commun est .
2. Élevons les deux expressions à une puissance :
3. Transformons l'expression et développons les parenthèses (plus de détails dans le chapitre) :
4. Considérons ce que nous avons fait, et mettons un signe :

4. Comparaison des logarithmes

Alors, lentement mais sûrement, nous avons abordé la question de savoir comment comparer les logarithmes. Si vous ne vous souvenez pas de quel type d'animal il s'agit, je vous conseille de lire d'abord la théorie de la section. Lis? Répondez ensuite à quelques questions importantes :

1. Quel est l'argument du logarithme et quelle est sa base ?
2. Qu'est-ce qui détermine si une fonction est croissante ou décroissante ?

Si vous vous souvenez de tout et que vous l'avez bien appris, commençons !

Pour comparer les logarithmes entre eux, vous n'avez besoin de connaître que 3 astuces :

• réduction à la même base;
• casting au même argument;
• comparaison avec le troisième nombre.

Tout d'abord, faites attention à la base du logarithme. Vous vous souvenez que si elle est inférieure, la fonction diminue et si elle est supérieure, elle augmente. C'est sur cela que nos jugements seront basés.

Envisagez de comparer des logarithmes qui ont déjà été réduits à la même base ou au même argument.

Pour commencer, simplifions le problème : laissez entrer les logarithmes comparés sur un pied d'égalité. Alors:

1. La fonction, lorsqu'elle augmente sur l'intervalle de, signifie, par définition, alors ("comparaison directe").
2. Exemple:- les bases sont les mêmes, respectivement, on compare les arguments : , donc :
3. La fonction, at, décroît sur l'intervalle de, ce qui signifie, par définition, alors ("comparaison inverse"). - les bases sont les mêmes, respectivement, on compare les arguments : , cependant, le signe des logarithmes sera « inverse », puisque la fonction décroît : .

Considérons maintenant les cas où les bases sont différentes, mais les arguments sont les mêmes.

1. La base est plus grande.
   • . Dans ce cas, nous utilisons la "comparaison inverse". Par exemple : - les arguments sont les mêmes, et. On compare les bases : cependant, le signe des logarithmes sera "inversé" :
2. La base a est entre les deux.
   • . Dans ce cas, nous utilisons la "comparaison directe". Par exemple:
   • . Dans ce cas, nous utilisons la "comparaison inverse". Par exemple:

Écrivons tout sous une forme tabulaire générale :

En conséquence, comme vous l'avez déjà compris, lors de la comparaison de logarithmes, nous devons apporter à la même base, ou argument, Nous arrivons à la même base en utilisant la formule pour passer d'une base à une autre.

Vous pouvez également comparer les logarithmes avec un troisième nombre et, sur cette base, déduire ce qui est moins et ce qui est plus. Par exemple, réfléchissez à la façon de comparer ces deux logarithmes ?

Un petit indice - à titre de comparaison, le logarithme vous aidera beaucoup, dont l'argument sera égal.

Pensait? Décidons ensemble.

Nous pouvons facilement comparer ces deux logarithmes avec vous :

Vous ne savez pas comment ? Voir au dessus. Nous venons de le démonter. Quel signe y aura-t-il ? Correctement:

Je suis d'accord?

Comparons les uns avec les autres :

Vous devriez obtenir ce qui suit :

Combinez maintenant toutes nos conclusions en une seule. Passé?

5. Comparaison d'expressions trigonométriques.

Qu'est-ce que le sinus, le cosinus, la tangente, la cotangente ? À quoi sert le cercle unitaire et comment trouver sa valeur fonctions trigonométriques? Si vous ne connaissez pas les réponses à ces questions, je vous recommande fortement de lire la théorie sur ce sujet. Et si vous le savez, alors comparer des expressions trigonométriques entre elles n'est pas difficile pour vous !

Rafraîchissons-nous un peu la mémoire. Dessinons un cercle trigonométrique unitaire et un triangle inscrit dedans. Avez-vous réussi? Marquez maintenant de quel côté nous avons le cosinus, et sur quel sinus, en utilisant les côtés du triangle. (Bien sûr, vous vous souvenez que le sinus est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse, et le cosinus du côté adjacent ?). Avez-vous dessiné? Excellent! La touche finale - mettre où nous l'aurons, où et ainsi de suite. Déposer? Ouf) Comparez ce qui s'est passé entre moi et vous.

Phew! Commençons maintenant la comparaison !

Supposons que nous ayons besoin de comparer et . Dessinez ces angles en utilisant les indices dans les cases (où nous avons marqué où), en disposant les points sur le cercle unitaire. Avez-vous réussi? C'est ce que j'ai fait.

Abaissons maintenant la perpendiculaire des points que nous avons marqués sur le cercle à l'axe ... Lequel? Quel axe indique la valeur des sinus ? Correctement, . Voici ce que vous devriez obtenir :

En regardant ce chiffre, qui est plus grand : ou ? Bien sûr, parce que le point est au-dessus du point.

De même, nous comparons la valeur des cosinus. On abaisse seulement la perpendiculaire sur l'axe... A droite, . En conséquence, nous regardons quel point est à droite (bien, ou plus haut, comme dans le cas des sinus), alors la valeur est plus grande.

Vous savez probablement déjà comment comparer des tangentes, n'est-ce pas ? Tout ce que vous devez savoir, c'est ce qui est tangent. Alors, qu'est-ce que la tangente ?) C'est vrai, le rapport du sinus au cosinus.

Pour comparer les tangentes, on trace également un angle, comme dans le cas précédent. Disons qu'il faut comparer :

Avez-vous dessiné? Maintenant, nous marquons également les valeurs du sinus sur l'axe des coordonnées. Indiqué? Et maintenant indiquez les valeurs du cosinus sur la ligne de coordonnées. Passé? Comparons:

Maintenant, analysez ce que vous avez écrit. - nous grosse coupe diviser par petit. La réponse sera une valeur exactement supérieure à un. Droit?

Et quand on divise le petit par le grand. La réponse sera un nombre qui est exactement inférieur à un.

Alors quel est le sens expression trigonométrique Suite?

Correctement:

Comme vous le comprenez maintenant, la comparaison des cotangentes est la même, mais en sens inverse : nous examinons comment les segments qui définissent le cosinus et le sinus sont liés les uns aux autres.

Essayez de comparer vous-même les expressions trigonométriques suivantes :

Exemples.

Réponses.

COMPARAISON DES CHIFFRES. NIVEAU MOYEN.

Lequel des nombres est le plus grand : ou ? La réponse est évidente. Et maintenant : ou ? Ce n'est plus si évident, n'est-ce pas ? Et donc : ou ?

Il faut souvent savoir quel expressions numériques Suite. Par exemple, lorsque vous résolvez une inéquation, placez les points sur l'axe dans le bon ordre.

Maintenant, je vais vous apprendre à comparer ces nombres.

Si vous avez besoin de comparer des nombres et, mettez un signe entre eux (dérivé du mot latin Versus ou abrégé vs. - contre):. Ce signe remplace le signe d'inégalité inconnue (). Ensuite, nous allons exécuter transformations identiques jusqu'à ce qu'il devienne clair quel signe doit être placé entre les chiffres.

L'essence de la comparaison des nombres est la suivante : nous traitons le signe comme s'il s'agissait d'une sorte de signe d'inégalité. Et avec l'expression, on peut faire tout ce qu'on fait habituellement avec les inégalités :

• ajouter n'importe quel nombre aux deux parties (et soustraire, bien sûr, nous pouvons aussi)
• "déplacer tout dans une direction", c'est-à-dire soustraire l'une des expressions comparées des deux parties. A la place de l'expression soustraite restera : .
• multiplier ou diviser par le même nombre. Si ce nombre est négatif, le signe de l'inégalité est inversé : .
• Élevez les deux côtés à la même puissance. Si cette puissance est paire, vous devez vous assurer que les deux parties ont le même signe ; si les deux parties sont positives, le signe ne change pas lorsqu'il est élevé à une puissance, et s'ils sont négatifs, alors il change à l'opposé.
• prendre la racine du même degré des deux parties. Si nous extrayons la racine d'un degré pair, vous devez d'abord vous assurer que les deux expressions sont non négatives.
• toute autre transformation équivalente.

Important : il est souhaitable de faire les transformations de manière à ce que le signe de l'inégalité ne change pas ! C'est-à-dire qu'au cours des transformations, il n'est pas souhaitable de multiplier par un nombre négatif et il est impossible de mettre au carré si l'une des parties est négative.

Examinons quelques situations typiques.

1. Exponentation.

Exemple.

Quel est le plus : ou ?

La solution.

Puisque les deux côtés de l'inégalité sont positifs, nous pouvons mettre au carré pour nous débarrasser de la racine :

Exemple.

Quel est le plus : ou ?

La solution.

Ici aussi, nous pouvons mettre au carré, mais cela ne nous aidera qu'à nous débarrasser de la racine carrée. Ici, il est nécessaire d'élever à un degré tel que les deux racines disparaissent. Cela signifie que l'exposant de ce degré doit être divisible à la fois par (le degré de la première racine) et par. Ce nombre est donc on l'élève à la puissance ème :

2. Multiplication par le conjugué.

Exemple.

Quel est le plus : ou ?

La solution.

Multipliez et divisez chaque différence par la somme conjuguée :

Évidemment, le dénominateur de droite est supérieur au dénominateur de gauche. Par conséquent, la fraction de droite est inférieure à la gauche :

3. Soustraction

Rappelons-nous cela.

Exemple.

Quel est le plus : ou ?

La solution.

Bien sûr, nous pourrions tout concilier, nous regrouper et nous concilier à nouveau. Mais vous pouvez faire quelque chose de plus intelligent :

On peut voir que chaque terme du côté gauche est inférieur à chaque terme du côté droit.

En conséquence, la somme de tous les termes du côté gauche est inférieure à la somme de tous les termes du côté droit.

Mais fais attention! On nous en a demandé plus...

Le côté droit est plus grand.

Exemple.

Comparez les nombres et.

La solution.

Rappelez-vous les formules de trigonométrie :

Vérifions dans quels quartiers les points et se situent sur le cercle trigonométrique.

4. Division.

Ici, nous utilisons également une règle simple : .

Avec ou, c'est.

Lorsque le signe change : .

Exemple.

Faire une comparaison : .

La solution.

5. Comparez les nombres avec le troisième nombre

Si et, alors (loi de transitivité).

Exemple.

Comparer.

La solution.

Comparons les nombres non pas entre eux, mais avec le nombre.

Il est évident que.

D'autre part, .

Exemple.

Quel est le plus : ou ?

La solution.

Les deux nombres sont plus grands mais plus petits. Choisissez un nombre tel qu'il soit supérieur à un mais inférieur à l'autre. Par exemple, . Allons vérifier:

6. Que faire des logarithmes ?

Rien de spécial. Comment se débarrasser des logarithmes est décrit en détail dans la rubrique. Les règles de base sont :

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \coin (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \coin y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Nous pouvons également ajouter une règle sur les logarithmes avec des bases différentes et le même argument :

Cela peut s'expliquer ainsi : plus la base est grande, moins il faudra la soulever pour obtenir la même. Si la base est plus petite, alors l'inverse est vrai, puisque la fonction correspondante est monotone décroissante.

Exemple.

Comparez les nombres : i.

La solution.

Selon les règles ci-dessus :

Et maintenant la formule avancée.

La règle de comparaison des logarithmes peut aussi s'écrire plus court :

Exemple.

Quel est le plus : ou ?

La solution.

Exemple.

Comparez lequel des nombres est le plus grand : .

La solution.

COMPARAISON DES CHIFFRES. EN BREF SUR LE PRINCIPAL

1. Exponentation

Si les deux côtés de l'inégalité sont positifs, ils peuvent être élevés au carré pour se débarrasser de la racine

2. Multiplication par le conjugué

Un conjugué est un multiplicateur qui complète l'expression de la formule de la différence des carrés : - conjugué pour et inversement, car .

3. Soustraction

4. Division

À ou c'est

Lorsque le signe change :

5. Comparaison avec le troisième nombre

Si et alors

6. Comparaison des logarithmes

Règles de base.

La racine n-ième d'un nombre réel a est un nombre b pour lequel l'égalité b^n = a est vraie. Les racines les racines de degré impair existent pour les nombres négatifs et positifs, et les racines de degré pair n'existent que pour les nombres positifs. La valeur de la racine est souvent une décimale infinie, ce qui rend difficile son calcul précis, il est donc important de pouvoir comparer les racines.

Instruction

Qu'il soit demandé de comparer deux nombres irrationnels. La première chose à laquelle vous devez faire attention est les exposants des racines des nombres comparés. Si les indicateurs sont les mêmes, alors les expressions radicales sont comparées. Évidemment, plus le nombre de racine est grand, plus la valeur de la racine avec des indicateurs égaux est grande. Par exemple, comparons deux et la racine cubique de huit. Les indicateurs sont les mêmes et égaux à 3, les expressions radicales sont 2 et 8, et 2

Dans un autre cas, les exposants peuvent être différents, mais les expressions radicales sont les mêmes. Il est également tout à fait clair que lors de l'extraction d'une racine plus grande, un nombre plus petit sera obtenu.Prenons par exemple la racine cubique de huit et la racine sixième de huit. Si nous notons la valeur de la première racine par a et la deuxième racine par b, alors a^3 = 8 et b^6 = 8. Il est facile de voir que a doit être supérieur à b, donc la racine cubique de huit est supérieur à la sixième racine de huit.

Plus compliquée est la situation avec différents exposants du degré de la racine et différentes expressions de racine. Dans ce cas, vous devez trouver le plus petit commun multiple des exposants racines et élever les deux expressions à une puissance égale au plus petit commun multiple. Exemple : vous devez comparer 3 ^ 1/3 et 2 ^ 1/2 (l'expression mathématique la notation des racines est dans la figure). Le plus petit commun multiple de 2 et 3 est 6. Élevez les deux racines à la puissance six. Il s'avère immédiatement que 3^2 = 9 et 2^3 = 8, 9 > 8. Par conséquent, 3^1/3 > 2^1/2.