Ajout de la formule des racines cubiques. Quelles actions peut-on entreprendre avec eux ? Maintenir votre vie privée au niveau de l'entreprise

La racine carrée d'un nombre x est le nombre a, qui, multiplié par lui-même, donne le nombre x : a * a = a^2 = x, √x = a. Comme pour tout nombre, vous pouvez effectuer les opérations arithmétiques d'addition et de soustraction sur les racines carrées.

Instruction

• Tout d'abord, lors de l'ajout racines carrées essayer d'extraire ces racines. Cela sera possible si les nombres sous le signe racine sont des carrés parfaits. Par exemple, donnons l'expression √4 + √9. Le premier chiffre 4 est le carré du chiffre 2. Le deuxième chiffre 9 est le carré du chiffre 3. Il s'avère donc que : √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
• S'il n'y a pas de carrés pleins sous le signe racine, essayez de retirer le multiplicateur du nombre sous le signe racine. Par exemple, disons que √24 + √54 est donné. Factorisez les nombres : 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Le nombre 24 a un facteur de 4, qui peut être extrait du signe de la racine carrée. Le nombre 54 a un facteur 9. Ainsi, il s'avère que : √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . Dans cet exemple, à la suite de la suppression du multiplicateur du signe racine, il s'est avéré simplifier l'expression donnée.
• Soit la somme de deux racines carrées le dénominateur d'une fraction, par exemple A / (√a + √b). Et laissez votre tâche consister à "se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur". Ensuite, vous pouvez utiliser la méthode suivante. Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par l'expression √a - √b. Ainsi, au dénominateur, la formule de multiplication abrégée sera obtenue : (√a + √b) * (√a - √b) = a - b. Par analogie, si la différence des racines est donnée au dénominateur : √a - √b, alors le numérateur et le dénominateur de la fraction doivent être multipliés par l'expression √a + √b. Par exemple, étant donné une fraction 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
• Voir plus exemple complexe se débarrasser de l'irrationalité dans le dénominateur. Soit la fraction 12 / (√2 + √3 + √5) donnée. Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par l'expression √2 + √3 - √5 :
  12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
• Et enfin, si vous n'avez besoin que d'une valeur approximative, vous pouvez calculer les racines carrées sur la calculatrice. Calculez les valeurs séparément pour chaque nombre et notez-les avec la précision requise (par exemple, deux décimales). Et puis effectuez les opérations arithmétiques requises, comme avec les nombres ordinaires. Par exemple, supposons que vous souhaitiez connaître la valeur approximative de l'expression √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.

La racine carrée d'un nombre X appelé un numéro UN, qui en train de se multiplier par lui-même ( Un*Un) peut donner un nombre X.
Ceux. UNE * UNE = UNE 2 = X, et √X = UNE.

Sur les racines carrées ( √x), comme pour les autres nombres, vous pouvez effectuer des opérations arithmétiques telles que la soustraction et l'addition. Pour soustraire et ajouter des racines, il faut les relier à l'aide de signes correspondant à ces actions (par exemple √x - √y ).
Et puis apportez-leur les racines forme la plus simple- s'il y en a des semblables entre eux, il faut faire un casting. Elle consiste dans le fait que les coefficients des termes semblables sont pris avec les signes des termes correspondants, puis ils sont mis entre parenthèses et la racine commune est affichée en dehors des parenthèses multiplicatrices. Le coefficient que nous avons obtenu est simplifié selon les règles habituelles.

Étape 1. Extraction des racines carrées

Tout d'abord, pour ajouter des racines carrées, vous devez d'abord extraire ces racines. Cela peut être fait si les nombres sous le signe racine sont des carrés parfaits. Par exemple, prenons l'expression donnée √4 + √9 . Premier numéro 4 est le carré du nombre 2 . Deuxième numéro 9 est le carré du nombre 3 . Ainsi, l'égalité suivante peut être obtenue : √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Tout, l'exemple est résolu. Mais cela ne se passe pas toujours ainsi.

Étape 2. Retirer le multiplicateur d'un nombre sous la racine

S'il n'y a pas de carrés pleins sous le signe racine, vous pouvez essayer de retirer le multiplicateur du nombre sous le signe racine. Prenons par exemple l'expression √24 + √54 .

Factorisons les nombres :
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Dans la liste 24 nous avons un multiplicateur 4 , il peut être retiré sous le signe de la racine carrée. Dans la liste 54 nous avons un multiplicateur 9 .

On obtient l'égalité :
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Considérant exemple donné, nous obtenons le multiplicateur sous le signe racine, simplifiant ainsi l'expression donnée.

Étape 3. Réduire le dénominateur

Considérez la situation suivante : la somme de deux racines carrées est le dénominateur d'une fraction, par exemple, A / (√a + √b).
Nous sommes maintenant confrontés à la tâche de "se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur".
Utilisons la méthode suivante : multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par l'expression √a - √b.

Nous obtenons maintenant la formule de multiplication abrégée au dénominateur :
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

De même, si le dénominateur contient la différence des racines : √a - √b, le numérateur et le dénominateur de la fraction sont multipliés par l'expression √a + √b.

Prenons une fraction comme exemple :
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Un exemple de réduction de dénominateur complexe

Nous allons maintenant considérer un exemple assez compliqué de suppression de l'irrationalité dans le dénominateur.

Prenons une fraction comme exemple : 12 / (√2 + √3 + √5) .
Vous devez prendre son numérateur et son dénominateur et multiplier par l'expression √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Étape 4. Calculez la valeur approximative sur la calculatrice

Si vous n'avez besoin que d'une valeur approximative, cela peut être fait sur une calculatrice en calculant la valeur des racines carrées. Séparément, pour chaque nombre, la valeur est calculée et enregistrée avec la précision requise, qui est déterminée par le nombre de décimales. De plus, toutes les opérations requises sont effectuées, comme avec les nombres ordinaires.

Exemple de calcul estimé

Il faut calculer la valeur approchée de cette expression √7 + √5 .

En conséquence, nous obtenons :

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Attention : il ne faut en aucun cas ajouter des racines carrées, car nombres premiers, c'est totalement inacceptable. Autrement dit, si vous ajoutez la racine carrée de cinq et trois, nous ne pouvons pas obtenir la racine carrée de huit.

Conseil utile: si vous décidez de factoriser un nombre, afin de dériver un carré sous le signe racine, vous devez effectuer une vérification inverse, c'est-à-dire multiplier tous les facteurs résultant des calculs et le résultat final de ce le calcul mathématique devrait être le nombre qui nous a été donné à l'origine.

Règles de soustraction des racines

1. La racine du degré du produit de nombres non négatifs est égale au produit des racines du même degré des facteurs: où (la règle pour extraire la racine du produit).

2. Si , alors y (la règle pour extraire la racine d'une fraction).

3. Si alors (la règle d'extraction de la racine de la racine).

4. Si alors la règle pour élever une racine à une puissance).

5. Si alors où, c'est-à-dire, l'index racine et l'index d'expression radicale peuvent être multipliés par le même nombre.

6. Si alors 0, c'est-à-dire qu'une expression radicale positive plus grande correspond à et plus grande valeur racine.

7. Toutes les formules ci-dessus sont souvent appliquées dans l'ordre inverse (c'est-à-dire de droite à gauche). Par exemple,

(règle de multiplication des racines);

(la règle pour diviser les racines);

8. La règle pour retirer le multiplicateur sous le signe de la racine. À

9. Problème inverse - introduction d'un facteur sous le signe de la racine. Par exemple,

10. Destruction de l'irrationalité au dénominateur d'une fraction.

Considérons quelques cas typiques.

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Par exemple,

11. Application des identités de multiplication abrégées aux opérations avec des racines arithmétiques :

12. Le facteur devant la racine s'appelle son coefficient. Par exemple, ici 3 est un facteur.

13. Les racines (radicaux) sont dites similaires si elles ont les mêmes exposants racines et les mêmes expressions radicales, mais ne diffèrent que par le coefficient. Pour juger si ces racines (radicaux) sont similaires ou non, il faut les réduire à leur forme la plus simple.

Par exemple, et sont similaires parce que

EXERCICES AVEC SOLUTIONS

1. Simplifiez les expressions :

La solution. 1) Cela n'a aucun sens de multiplier l'expression racine, puisque chacun des facteurs représente le carré d'un nombre entier. Utilisons la règle d'extraction de la racine du produit :

À l'avenir, ces actions seront effectuées oralement.

2) Essayons, si possible, de représenter l'expression radicale comme un produit de facteurs, dont chacun est le cube d'un entier, et appliquons la règle sur la racine du produit :

2. Trouvez la valeur de l'expression :

La solution. 1) D'après la règle d'extraction de la racine d'une fraction, on a :

3) Nous transformons les expressions radicales et extrayons la racine :

3. Simplifiez quand

La solution. Lors de l'extraction d'une racine à partir d'une racine, les indices des racines sont multipliés et l'expression de la racine reste inchangée.

S'il y a un coefficient avant la racine sous la racine, alors avant d'effectuer l'opération d'extraction de la racine, ce coefficient est entré sous le signe du radical devant lequel il se trouve.

Sur la base des règles ci-dessus, nous extrayons les deux dernières racines :

4. Élever à une puissance :

La solution. Lors de l'élévation d'une racine à une puissance, l'exposant racine reste inchangé et les exposants de l'expression radicale sont multipliés par l'exposant.

(puisqu'il est défini, alors );

Si la racine donnée a un coefficient, alors ce coefficient est élevé à une puissance séparément et le résultat est écrit par le coefficient à la racine.

Ici, nous avons utilisé la règle selon laquelle l'indice de la racine et l'indice de l'expression radicale peuvent être multipliés par le même nombre (nous avons multiplié par c'est-à-dire divisé par 2).

Par exemple, ou

4) L'expression entre parenthèses, représentant la somme de deux radicaux différents, sera cubée et simplifiée :

Parce que nous avons:

5. Éliminer l'irrationalité dans le dénominateur :

La solution. Pour éliminer (détruire) l'irrationalité dans le dénominateur d'une fraction, vous devez trouver la plus simple des expressions qui, dans le produit avec le dénominateur, donne une expression rationnelle, et multiplier le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le facteur trouvé.

Par exemple, s'il y a un binôme dans le dénominateur d'une fraction, alors le numérateur et le dénominateur de la fraction doivent être multipliés par l'expression conjuguée au dénominateur, c'est-à-dire que la somme doit être multipliée par la différence correspondante et vice versa.

Dans les cas plus complexes, l'irrationalité est détruite non pas immédiatement, mais en plusieurs étapes.

1) L'expression doit contenir

En multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction par on obtient :

2) En multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction par le carré incomplet de la somme, on obtient :

3) Ramenons les fractions à un dénominateur commun :

Lors de la résolution de cet exemple, nous devons garder à l'esprit que chaque fraction a une signification, c'est-à-dire que le dénominateur de chaque fraction est différent de zéro. Outre,

Lors de la conversion d'expressions contenant des radicaux, des erreurs sont souvent commises. Ils sont causés par l'incapacité d'appliquer correctement le concept (définition) de la racine arithmétique et de la valeur absolue.

Règles de soustraction des racines

Calculer la valeur de l'expression

La solution.

Explication.
Pour réduire l'expression racine, représentons dans le deuxième facteur de son expression racine le nombre 31 comme la somme de 15+16. (ligne 2)

Après la transformation, on peut voir que la somme dans la deuxième expression radicale peut être représentée comme le carré de la somme en utilisant les formules de multiplication abrégées. (ligne 3)

Représentons maintenant chaque racine du produit donné par un degré. (ligne 4)

Simplifiez l'expression (ligne 5)

Puisque la puissance du produit est égale au produit des puissances de chacun des facteurs, nous le représentons en conséquence (ligne 6)

Comme vous pouvez le voir, selon les formules de multiplication abrégée, nous avons la différence des carrés de deux nombres. D'où et calculer la valeur de l'expression (ligne 7)

Calculez la valeur de l'expression.

La solution.

Explication.

Nous utilisons les propriétés de la racine, que la racine d'une puissance arbitraire de nombres privés est égale au privé des racines de ces nombres (ligne 2)

La racine d'une puissance arbitraire d'un nombre de même degré est égale à ce nombre (ligne 3)

Supprimons le moins du support du premier multiplicateur. Dans ce cas, tous les caractères à l'intérieur de la parenthèse seront inversés (ligne 4)

Réduisons la fraction (ligne 5)

Représentons le nombre 729 comme le carré du nombre 27, et le nombre 27 comme le cube du nombre 3. D'où nous obtenons la valeur de l'expression radicale.

Racine carrée. Premier niveau.

Voulez-vous tester votre force et connaître le résultat de votre degré de préparation à l'examen d'État unifié ou à l'OGE ?

1. Introduction du concept de racine carrée arithmétique

La racine carrée (racine carrée arithmétique) d'un nombre non négatif est un nombre non négatif dont le carré est égal.
.

Le nombre ou l'expression sous le signe racine doit être non négatif

2. Tableau des carrés

3. Propriétés de la racine carrée arithmétique

Introduction au concept de racine carrée arithmétique

Essayons de comprendre quel genre de concept est une "racine" et "avec quoi elle est mangée". Pour ce faire, considérez des exemples que vous avez déjà rencontrés dans les leçons (enfin, ou vous devez simplement y faire face).

Par exemple, nous avons une équation. quelle est la solution équation donnée? Quels nombres peuvent être élevés au carré et obtenus en même temps ? En vous souvenant de la table de multiplication, vous pouvez facilement donner la réponse : et (car lorsque vous multipliez deux nombres négatifs, vous obtenez un nombre positif) ! Pour simplifier, les mathématiciens ont introduit un concept spécial de racine carrée et lui ont attribué un symbole spécial.

Définissons la racine carrée arithmétique.

Pourquoi le nombre doit-il être non négatif ? Par exemple, à quoi est égal ? Bon, essayons de comprendre. Peut-être trois ? Vérifions : et non. Peut-être, ? Encore une fois, vérifiez : Eh bien, n'est-il pas sélectionné? C'est à prévoir - car il n'y a pas de nombres qui, une fois au carré, donnent un nombre négatif !

Cependant, vous avez probablement déjà remarqué que la définition dit que la solution de la racine carrée de "un nombre est un nombre non négatif dont le carré est égal à". Et au tout début, nous avons analysé l'exemple, sélectionné des nombres qui peuvent être élevés au carré et obtenus en même temps, la réponse était et, et ici il s'agit d'une sorte de "nombre non négatif" ! Une telle remarque est tout à fait appropriée. Ici, il faut simplement distinguer les concepts équations du second degré et la racine carrée arithmétique du nombre. Par exemple, il n'est pas équivalent à une expression.

Et cela s'ensuit.

Bien sûr, c'est très déroutant, mais il faut se rappeler que les signes sont le résultat de la résolution de l'équation, car lors de la résolution de l'équation, nous devons écrire tous les x qui, une fois substitués dans l'équation d'origine, donneront le bon résultat. Dans notre équation quadratique correspond à la fois et.

Cependant, si vous prenez simplement la racine carrée de quelque chose, vous obtenez toujours un résultat non négatif.

Essayez maintenant de résoudre cette équation. Tout n'est pas si simple et fluide, n'est-ce pas? Essayez de trier les chiffres, peut-être que quelque chose va griller ?

Commençons par le tout début - à partir de zéro : - ne convient pas, passez à autre chose ; - moins de trois, on s'écarte aussi, mais et si ? Vérifions : - ne convient pas non plus, car c'est plus que trois. Avec des nombres négatifs, la même histoire se produira. Et que faire maintenant ? La recherche ne nous a-t-elle rien donné ? Pas du tout, maintenant nous savons avec certitude que la réponse sera un certain nombre entre et, ainsi qu'entre et. De plus, il est évident que les solutions ne seront pas des nombres entiers. De plus, ils ne sont pas rationnels. Alors, quelle est la prochaine? Construisons un graphique de la fonction et marquons les solutions dessus.

Essayons de tromper le système et d'obtenir une réponse à l'aide d'une calculatrice ! Sortons la racine des affaires ! Oh-oh-oh, il s'avère qu'un tel nombre ne finit jamais. Comment pouvez-vous vous en souvenir, car il n'y aura pas de calculatrice à l'examen !? Tout est très simple, vous n'avez pas besoin de vous en souvenir, vous devez vous souvenir (ou être capable d'estimer rapidement) une valeur approximative. et les réponses elles-mêmes. De tels nombres sont appelés irrationnels, et c'est pour simplifier la notation de tels nombres que le concept de racine carrée a été introduit.
Prenons un autre exemple pour renforcer. Analysons le problème suivant : vous devez traverser en diagonale un champ carré de km de côté, combien de km devez-vous parcourir ?

La chose la plus évidente ici est de considérer le triangle séparément et d'utiliser le théorème de Pythagore :. De cette façon, . Alors, quelle est la distance requise ici ? Évidemment, la distance ne peut pas être négative, nous comprenons cela. La racine de deux est approximativement égale, mais, comme nous l'avons noté précédemment, est déjà une réponse complète.

Extraction de racines

Pour que la résolution d'exemples avec des racines ne pose pas de problèmes, vous devez les voir et les reconnaître. Pour ce faire, vous devez connaître au moins les carrés des nombres de à, ainsi que pouvoir les reconnaître.

Autrement dit, vous devez savoir ce qui est au carré, et aussi, inversement, ce qui est au carré. Dans un premier temps, ce tableau vous aidera à extraire la racine.

Dès que vous aurez résolu un nombre suffisant d'exemples, le besoin en disparaîtra automatiquement.
Essayez d'extraire vous-même la racine carrée des expressions suivantes :

Eh bien, comment cela a-t-il fonctionné ? Voyons maintenant ces exemples :

Propriétés de la racine carrée arithmétique

Vous savez maintenant comment extraire des racines et il est temps d'apprendre les propriétés de la racine carrée arithmétique. Il n'y en a que 3 :

• multiplication;
• division;
• exponentiation.

Eh bien, ils sont simplement très faciles à retenir à l'aide de ce tableau et, bien sûr, de la formation :

Comment décider
équations du second degré

Dans les leçons précédentes, nous avons analysé "Comment résoudre des équations linéaires", c'est-à-dire des équations du premier degré. Dans cette leçon, nous explorerons qu'est-ce qu'une équation quadratique et comment le résoudre.

Qu'est-ce qu'une équation quadratique

Le degré d'une équation est déterminé par le degré le plus élevé auquel se situe l'inconnue.

Si le degré maximum auquel l'inconnue est "2", alors vous avez une équation quadratique.

Exemples d'équations quadratiques

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

Pour trouver "a", "b" et "c", vous devez comparer votre équation avec la forme générale de l'équation quadratique "ax 2 + bx + c = 0".

Entraînons-nous à déterminer les coefficients "a", "b" et "c" dans les équations quadratiques.

• un=5
• b = −14
• c = 17

• un = −7
• b = −13
• c = 8

• un = −1
• b = 1

• un = 1
• b = 0,25
• c = 0

• un = 1
• b = 0
• c = −8

Comment résoudre des équations quadratiques

Contrairement à équations linéaires pour résoudre des équations quadratiques, un formule pour trouver des racines.

Pour résoudre une équation quadratique, il vous faut :

• amener l'équation quadratique à vue générale" ax 2 + bx + c = 0 ". C'est-à-dire que seul "0" doit rester sur le côté droit ;
• utilisez la formule pour les racines:

Prenons un exemple pour comprendre comment appliquer la formule pour trouver les racines d'une équation quadratique. Résolvons l'équation quadratique.

L'équation "x 2 − 3x − 4 = 0" a déjà été réduite à la forme générale "ax 2 + bx + c = 0" et ne nécessite pas de simplifications supplémentaires. Pour le résoudre, il suffit d'appliquer formule pour trouver les racines d'une équation quadratique.

Définissons les coefficients "a", "b" et "c" pour cette équation.

• un = 1
• b = −3
• c = −4

Remplacez-les dans la formule et trouvez les racines.

Assurez-vous de mémoriser la formule pour trouver des racines.

Avec son aide, toute équation quadratique est résolue.

Prenons un autre exemple d'équation quadratique.

Sous cette forme, il est assez difficile de déterminer les coefficients "a", "b" et "c". Ramenons d'abord l'équation à la forme générale "ax 2 + bx + c = 0".

Vous pouvez maintenant utiliser la formule pour les racines.

Il y a des moments où il n'y a pas de racines dans les équations quadratiques. Cette situation se produit lorsqu'un nombre négatif apparaît dans la formule sous la racine.

Nous nous souvenons de la définition de la racine carrée que vous ne pouvez pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif.

Prenons un exemple d'équation quadratique qui n'a pas de racines.

Donc, nous avons une situation où il y a un nombre négatif sous la racine. Cela signifie qu'il n'y a pas de racines dans l'équation. Par conséquent, en réponse, nous avons écrit "Il n'y a pas de vraies racines."

Que signifient les mots "pas de vraies racines" ? Pourquoi ne pouvez-vous pas simplement écrire "pas de racines" ?

En fait, il y a des racines dans de tels cas, mais elles ne sont pas transmises dans le cadre du programme scolaire, donc, en réponse, nous écrivons qu'il n'y a pas de racines parmi les nombres réels. En d'autres termes, "Il n'y a pas de vraies racines."

Équations quadratiques incomplètes

Parfois, il existe des équations quadratiques dans lesquelles il n'y a pas de coefficients explicites "b" et/ou "c". Par exemple, dans cette équation :

De telles équations sont appelées équations quadratiques incomplètes. Comment les résoudre est discuté dans la leçon "Équations quadratiques incomplètes".

La racine d'un nombre est plus facile à soustraire à l'aide d'une calculatrice. Mais si vous n'avez pas de calculatrice, vous devez connaître l'algorithme de calcul de la racine carrée. Le fait est qu'un nombre dans un carré se trouve sous la racine. Par exemple, 4 au carré est 16. Autrement dit, la racine carrée de 16 sera égale à quatre. De plus, 5 au carré est 25. Par conséquent, la racine de 25 sera 5. Et ainsi de suite.

Si le nombre est petit, il peut être facilement soustrait verbalement, par exemple, la racine de 25 sera 5 et la racine de 144-12. Vous pouvez également calculer sur la calculatrice, il y a une icône racine spéciale, vous devez entrer un nombre et cliquer sur l'icône.

Le tableau des racines carrées aidera également :

Il existe d'autres moyens plus complexes, mais très efficaces :

La racine de n'importe quel nombre peut être soustraite à l'aide d'une calculatrice, d'autant plus qu'ils se trouvent dans tous les téléphones aujourd'hui.

Vous pouvez essayer de comprendre approximativement comment un nombre donné peut se révéler en multipliant un nombre par lui-même.



Calculer la racine carrée d'un nombre n'est pas difficile, surtout s'il existe une table spéciale. Une table bien connue des leçons d'algèbre. Une telle opération s'appelle prendre la racine carrée du nombre a, c'est-à-dire résoudre l'équation. Presque toutes les calculatrices des smartphones ont une fonction racine carrée.



Le résultat de l'extraction de la racine carrée d'un nombre connu sera un autre nombre qui, une fois élevé à la deuxième puissance (carré), donnera le même nombre que nous connaissons. Considérez l'une des descriptions des colonies, qui semble courte et compréhensible :







Voici une vidéo sur le sujet :

Il existe plusieurs façons de calculer la racine carrée d'un nombre.

Le moyen le plus courant consiste à utiliser une table racine spéciale (voir ci-dessous).

De plus, sur chaque calculatrice, il existe une fonction avec laquelle vous pouvez trouver la racine.

Ou en utilisant une formule spéciale.



Il existe plusieurs façons d'extraire la racine carrée d'un nombre. L'un d'eux est le plus rapide, à l'aide d'une calculatrice.

Mais s'il n'y a pas de calculatrice, vous pouvez le faire manuellement.

Le résultat sera précis.

Le principe est presque le même que la division par une colonne :



















Essayons sans calculatrice de trouver la valeur de la racine carrée d'un nombre, par exemple 190969.







Ainsi, tout est extrêmement simple. Dans les calculs, l'essentiel est de respecter certains règles simples et penser logiquement.

Pour cela, vous avez besoin d'une table de carrés



Par exemple, la racine de 100 = 10, de 20 = 400 de 43 = 1849

Désormais, presque toutes les calculatrices, y compris celles des smartphones, peuvent calculer la racine carrée d'un nombre. MAIS si vous n'avez pas de calculatrice, vous pouvez trouver la racine du nombre de plusieurs manières simples :

Décomposition en facteurs premiers



Décomposer le nombre racine en facteurs qui sont nombres carrés. Selon le numéro de la racine, vous obtiendrez une réponse approximative ou exacte. Les nombres carrés sont des nombres à partir desquels la racine carrée entière peut être extraite. Facteurs d'un nombre qui, une fois multipliés, donnent le nombre d'origine. Par exemple, les facteurs du nombre 8 sont 2 et 4, puisque 2 x 4 = 8, les nombres 25, 36, 49 sont des nombres carrés, puisque 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7. Les facteurs carrés sont des facteurs qui sont des nombres carrés. Tout d'abord, essayez de factoriser le nombre racine en facteurs carrés.

Par exemple, calculez la racine carrée de 400 (manuellement). Essayez d'abord de factoriser 400 en facteurs carrés. 400 est un multiple de 100, qui est un nombre carré divisible par 25. Diviser 400 par 25 donne 16, qui est aussi un nombre carré. Ainsi, 400 peut être factorisé en facteurs carrés de 25 et 16, c'est-à-dire 25 x 16 = 400.

Écrivez-le comme suit : 400 = (25 x 16).



La racine carrée du produit de certains termes est égale au produit des racines carrées de chaque terme, c'est-à-dire (a x b) = a x b. En utilisant cette règle, prenez la racine carrée de chaque facteur carré et multipliez les résultats pour trouver la réponse.

Dans notre exemple, prenons la racine carrée de 25 et 16.



Si le nombre racine ne se divise pas en deux facteurs carrés (et c'est le cas dans la plupart des cas), vous ne pourrez pas trouver la réponse exacte sous la forme d'un nombre entier. Mais vous pouvez simplifier le problème en décomposant le nombre racine en un facteur carré et un facteur ordinaire (un nombre à partir duquel la racine carrée entière ne peut pas être extraite). Ensuite, vous prendrez la racine carrée du facteur carré et vous prendrez la racine du facteur ordinaire.

Par exemple, calculez la racine carrée du nombre 147. Le nombre 147 ne peut pas être divisé en deux facteurs carrés, mais il peut être divisé en facteurs suivants : 49 et 3. Résolvez le problème comme suit :



Vous pouvez maintenant évaluer la valeur de la racine (trouver une valeur approximative) en la comparant aux valeurs des racines carrées les plus proches (des deux côtés de la droite numérique) du nombre racine. Vous obtiendrez la valeur de la racine sous forme de fraction décimale, qui doit être multipliée par le nombre derrière le signe racine.

Revenons à notre exemple. Le nombre racine est 3. Les nombres carrés les plus proches seront les nombres 1 (1 \u003d 1) et 4 (4 \u003d 2). Ainsi, la valeur de 3 est comprise entre 1 et 2. Comme la valeur de 3 est probablement plus proche de 2 que de 1, notre estimation est : 3 = 1,7. Nous multiplions cette valeur par le nombre au signe racine: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Si vous faites les calculs sur une calculatrice, vous obtenez 12,13, ce qui est assez proche de notre réponse.

Cette méthode fonctionne également avec de grands nombres. Par exemple, considérons 35. Le nombre racine est 35. Les nombres carrés les plus proches sont 25 (25 = 5) et 36 (36 = 6). Ainsi, la valeur 35 est comprise entre 5 et 6. Comme la valeur 35 est beaucoup plus proche de 6 que de 5 (car 35 n'est que 1 de moins que 36), on peut dire que 35 est légèrement inférieur à 6. Une vérification sur la calculatrice donne nous la réponse 5,92 - nous avions raison.



Une autre façon est de factoriser le nombre racine en facteurs premiers. Facteurs premiers d'un nombre qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes. Écris les facteurs premiers dans une rangée et trouve des paires de facteurs identiques. De tels facteurs peuvent être retirés du signe de la racine.

Par exemple, calculez la racine carrée de 45. Nous décomposons le nombre racine en facteurs premiers : 45 \u003d 9 x 5 et 9 \u003d 3 x 3. Ainsi, 45 \u003d (3 x 3 x 5). 3 peut être extrait du signe racine : 45 = 35. Nous pouvons maintenant estimer 5.

Prenons un autre exemple : 88.

= (2x4x11)

= (2x2x2x11). Vous avez trois multiplicateurs 2 ; prenez-en quelques-uns et sortez-les du signe de la racine.

2(2 x 11) = 22 x 11. Vous pouvez maintenant évaluer 2 et 11 et trouver une réponse approximative.

Ce didacticiel vidéo peut également être utile :

Pour extraire la racine d'un nombre, vous devez utiliser une calculatrice, ou s'il n'y en a pas, je vous conseille d'aller sur ce site et de résoudre le problème en utilisant calculateur en ligne, qui donnera la valeur correcte en secondes.

En mathématiques, les racines peuvent être carrées, cubiques ou avoir tout autre exposant (puissance), qui est écrit à gauche au-dessus du signe racine. L'expression sous le signe racine est appelée l'expression racine. L'addition de racines est similaire à l'addition des termes d'une expression algébrique, c'est-à-dire qu'elle nécessite la définition de racines similaires.

Pas

Désignation racine. Une expression sous le signe racine () signifie qu'il faut extraire une racine d'un certain degré de cette expression.

• La racine est désignée par un signe.
• L'indice (degré) de la racine est écrit à gauche au-dessus du signe racine. Par exemple, la racine cubique de 27 s'écrit : (27)
• Si l'exposant (degré) de la racine est absent, alors l'exposant est considéré comme égal à 2, c'est-à-dire qu'il s'agit de la racine carrée (ou de la racine du deuxième degré).
• Le nombre écrit avant le signe racine s'appelle un multiplicateur (c'est-à-dire que ce nombre est multiplié par la racine), par exemple 5 (2)
• S'il n'y a pas de facteur devant la racine, alors il est égal à 1 (rappelez-vous que tout nombre multiplié par 1 est égal à lui-même).
• Si vous travaillez avec des racines pour la première fois, prenez des notes appropriées sur le multiplicateur et l'exposant de la racine afin de ne pas vous tromper et de mieux comprendre leur objectif.

Rappelez-vous quelles racines peuvent être pliées et lesquelles ne le peuvent pas. Tout comme vous ne pouvez pas ajouter différents termes d'une expression, tels que 2a + 2b 4ab, vous ne pouvez pas ajouter différentes racines.

Identifiez et regroupez les racines similaires. Les racines similaires sont des racines qui ont les mêmes exposants et les mêmes expressions de racine. Par exemple, considérons l'expression :
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

• Tout d'abord, réécrivez l'expression de sorte que les racines avec le même exposant soient en série.
  2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
• Ensuite, réécrivez l'expression de sorte que les racines avec le même exposant et la même expression de racine soient en série.
  2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Simplifiez vos racines. Pour ce faire, décomposez (si possible) les expressions radicales en deux facteurs, dont l'un est extrait de sous la racine. Dans ce cas, le nombre rendu et le facteur racine sont multipliés.

Additionnez les facteurs de racines similaires. Dans notre exemple, il existe des racines carrées similaires de 2 (elles peuvent être additionnées) et des racines carrées similaires de 3 (elles peuvent également être additionnées). À racine cubique sur 3 il n'y a pas de telles racines.

• Il n'y a pas de règles généralement acceptées pour l'ordre dans lequel les racines sont écrites dans une expression. Par conséquent, vous pouvez écrire les racines dans l'ordre croissant de leurs exposants et dans l'ordre croissant des expressions radicales.

Tout intéressant

Le nombre qui se trouve sous le signe racine interfère souvent avec la solution de l'équation, il n'est pas pratique de travailler avec. Même s'il est élevé à une puissance, fractionnaire, ou ne peut pas être représenté comme un entier dans une certaine mesure, on peut essayer de le dériver de…

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Le sujet des racines carrées est obligatoire dans le programme scolaire du cours de mathématiques. Vous ne pouvez pas vous en passer lorsque vous résolvez des équations quadratiques. Et plus tard, il devient nécessaire non seulement d'extraire les racines, mais également d'effectuer d'autres actions avec elles. Parmi eux sont assez complexes : exponentiation, multiplication et division. Mais il en existe aussi d'assez simples : la soustraction et l'addition de racines. Soit dit en passant, ils ne le semblent qu'à première vue. Les exécuter sans erreur n'est pas toujours facile pour quelqu'un qui commence tout juste à s'y familiariser.

Qu'est-ce qu'une racine mathématique ?

Cette action est apparue par opposition à l'exponentiation. Les mathématiques supposent la présence de deux opérations opposées. Il y a soustraction pour addition. La multiplication s'oppose à la division. L'action inverse du degré est l'extraction de la racine correspondante.

Si l'exposant est 2, alors la racine sera carrée. C'est le plus courant en mathématiques scolaires. Il n'a même pas d'indication qu'il est carré, c'est-à-dire qu'on ne lui attribue pas le numéro 2. La notation mathématique de cet opérateur (radical) est indiquée sur la figure.

De l'action décrite, sa définition suit en douceur. Pour extraire la racine carrée d'un certain nombre, vous devez savoir ce que l'expression radicale donnera lorsqu'elle sera multipliée par elle-même. Ce nombre sera la racine carrée. Si nous écrivons cela mathématiquement, nous obtenons ce qui suit : x * x \u003d x 2 \u003d y, ce qui signifie √y \u003d x.

Quelles actions peut-on entreprendre avec eux ?

À la base, une racine est une puissance fractionnaire qui a une unité dans le numérateur. Et le dénominateur peut être n'importe quoi. Par exemple, la racine carrée vaut deux. Par conséquent, toutes les actions pouvant être effectuées avec des degrés seront également valables pour les racines.

Et ils ont les mêmes exigences pour ces actions. Si la multiplication, la division et l'exponentiation ne rencontrent pas de difficultés pour les élèves, l'addition des racines, ainsi que leur soustraction, prêtent parfois à confusion. Et tout cela parce que vous souhaitez effectuer ces opérations sans regarder le signe de la racine. Et c'est là que les erreurs commencent.

Quelles sont les règles d'addition et de soustraction ?

Vous devez d'abord vous souvenir de deux "non" catégoriques :

• il est impossible d'effectuer des additions et des soustractions de racines, comme pour les nombres premiers, c'est-à-dire qu'il est impossible d'écrire les expressions racines de la somme sous un signe et d'effectuer des opérations mathématiques avec elles;
• vous ne pouvez pas ajouter et soustraire des racines avec des exposants différents, tels que carré et cubique.

Un exemple illustratif de la première interdiction : √6 + √10 ≠ √16 mais √(6 + 10) = √16.

Dans le second cas, mieux vaut se limiter à simplifier les racines elles-mêmes. Et dans la réponse laissez leur somme.

Passons maintenant aux règles

1. Trouvez et groupez des racines similaires. Autrement dit, ceux qui non seulement ont mêmes numéros sous le radical, mais ils ont eux-mêmes un indicateur.
2. Effectuez l'addition des racines combinées en un groupe par la première action. Il est facile à mettre en œuvre, car il suffit d'ajouter les valeurs qui précèdent les radicaux.
3. Extrayez les racines des termes dans lesquels l'expression radicale forme un carré entier. Autrement dit, ne rien laisser sous le signe du radical.
4. Simplifiez les expressions racine. Pour ce faire, vous devez les factoriser en facteurs premiers et voir s'ils donnent le carré de n'importe quel nombre. Il est clair que cela est vrai en ce qui concerne la racine carrée. Lorsque l'exposant est trois ou quatre, alors les facteurs premiers doivent donner le cube ou la quatrième puissance du nombre.
5. Sortez de sous le signe du radical un facteur qui donne une puissance entière.
6. Vérifiez si des termes similaires apparaissent à nouveau. Si oui, recommencez la deuxième étape.

Dans une situation où la tâche ne nécessite pas valeur exacte root, il peut être calculé sur une calculatrice. Sans fin décimal, qui sera mis en évidence dans sa fenêtre, arrondi. Le plus souvent, cela se fait jusqu'aux centièmes. Et puis effectuez toutes les opérations pour les fractions décimales.

Ce sont toutes les informations sur la façon dont l'ajout des racines est effectué. Les exemples ci-dessous illustreront ce qui précède.

Première tâche

Calculez la valeur des expressions :

a) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18 ;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300 ;

c) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

a) Si vous suivez l'algorithme ci-dessus, vous pouvez voir qu'il n'y a rien pour les deux premières actions dans cet exemple. Mais vous pouvez simplifier certaines expressions radicales.

Par exemple, divisez 32 en deux facteurs 2 et 16 ; 18 sera égal au produit de 9 et 2 ; 128 est 2 par 64. Compte tenu de cela, l'expression s'écrira comme ceci :

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9).

Maintenant, vous devez retirer du signe radical les facteurs qui donnent le carré du nombre. C'est 16=4 2 , 9=3 2 , 64=8 2 . L'expression prendra la forme :

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Il faut simplifier un peu l'écriture. Pour cela, les coefficients sont multipliés avant les signes de la racine :

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

Dans cette expression, tous les termes se sont avérés similaires. Par conséquent, il suffit de les plier. La réponse sera : 5√2.

b) Comme dans l'exemple précédent, l'addition des racines commence par leur simplification. Les expressions racine 75, 147, 48 et 300 seront représentées par les paires suivantes : 5 et 25, 3 et 49, 3 et 16, 3 et 100. Chacune d'elles a un nombre qui peut être extrait sous le signe racine :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

Après simplification, la réponse est : 5√5 - 5√3. Il peut être laissé sous cette forme, mais il est préférable de retirer le facteur commun 5 de la parenthèse : 5 (√5 - √3).

c) Et encore factorisation : 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Après factorisation du signe racine, on a :

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Après réduction des termes similaires, on obtient le résultat : 7√11.

Exemple fractionnaire

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

Les nombres suivants devront être factorisés : 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Comme pour ceux déjà considérés, vous devez retirer les facteurs sous la racine signe et simplifie l'expression :

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Cette expression nécessite de se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur. Pour cela, multipliez le second terme par √2/√2 :

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

Pour terminer l'action, vous devez sélectionner la partie entière des facteurs devant les racines. Le premier vaut 1, le second vaut 2.