Préparation à l'étude des fractions : divisibilité et décomposition en facteurs premiers. La peur de l'intimité est comme un boomerang qui revient
Lire aussi
Compilé par le professeur du Département de mathématiques supérieures Ishchanov T.R.
Leçon numéro 1. Eléments de combinatoire
La théorie.
Règle de multiplication : si à partir d'un ensemble fini, le premier objet (élément) peut être choisi de différentes manières, et le deuxième objet (élément) de différentes manières, alors les deux objets ( et ) dans l'ordre spécifié peuvent être choisis de différentes manières.
Règle d'addition : si un objet peut être choisi de différentes manières, et que l'objet peut être choisi de différentes manières, et que les première et deuxième manières ne se croisent pas, alors n'importe lequel des objets ( ou ) peut être choisi de différentes manières.
matériel pratique.
1. (6.1.44. L) Combien de nombres différents à trois chiffres peut-on former à partir des nombres 0, 1, 2, 3, 4 si :
a) les nombres ne peuvent pas être répétés ;
b) les nombres peuvent être répétés ;
c) les nombres doivent être pairs (les nombres peuvent être répétés);
d) le nombre doit être divisible par 5 (les nombres ne peuvent pas être répétés)
(Réponse : a) 48 b) 100 c) 60 d) 12)
2. (6.1.2.) Combien de nombres contenant au moins trois chiffres différents peut-on former à partir des chiffres 3, 4, 5, 6, 7 ? (Réponse : 300.)
3. (6.1.39) Combien de nombres à quatre chiffres peut-on former pour que deux chiffres adjacents soient différents ? (Réponse : 6561)
La théorie. Soit un ensemble composé de n éléments distincts.
Un arrangement de n éléments par k éléments (0?k?n) est tout sous-ensemble ordonné d'un ensemble donné qui contient k éléments. Deux arrangements sont différents s'ils diffèrent l'un de l'autre soit par la composition des éléments, soit par l'ordre dans lequel ils apparaissent.
Le nombre de placements de n éléments par k est désigné par un symbole et est calculé par la formule :
où n!=1·2·3·…·n , et 1!=1,0!=1.
matériel pratique.
4. (6.1.9 L.) Composez divers arrangements de deux éléments à partir des éléments de l'ensemble A=(3,4,5) et comptez leur nombre. (Réponse : 6)
5. (6.1.3 K) De combien de manières trois prix peuvent-ils être distribués entre 16 concurrents ? (Réponse : 3360)
6. (6.1.11. K) Combien y a-t-il de nombres à cinq chiffres dont tous les chiffres sont différents ? Astuce : tenez compte du fait que des numéros comme 02345, 09782, etc. ne compte pas comme 5 chiffres. (Réponse : 27216)
7. (6.1.12.L.) De combien de façons peut-on fabriquer un drapeau à rayures tricolores (trois bandes horizontales) s'il y a matière de 5 couleurs différentes ? (Réponse : 60.)
La théorie. Une combinaison de n éléments par k éléments (0?k?n) est tout sous-ensemble de l'ensemble donné qui contient k éléments.
Deux combinaisons ne diffèrent l'une de l'autre que par la composition des éléments. Le nombre de combinaisons de n éléments par k est désigné par un symbole et est calculé par la formule :
matériel pratique.
8.(6.1.20.) Faites diverses combinaisons de deux éléments à partir des éléments de l'ensemble A=(3,4,5) et comptez leur nombre. (Réponse : 3.)
9. (6.1.25.) Un groupe de touristes de 12 garçons et 7 filles choisit 5 personnes par lot pour préparer le dîner. Combien y a-t-il de façons dont ce "cinq" obtiendra :
a) uniquement des filles b) 3 garçons et 2 filles ;
c) 1 garçon et 4 filles ; d) 5 garçons ; e) touristes du même sexe.
(Réponse : a) 21 ; b) 4620 ; c) 420 ; d) 792 ; e) 813.)
La théorie. Une permutation de n éléments est un arrangement de n éléments par n éléments. Ainsi, indiquer telle ou telle permutation d'un ensemble donné de n éléments revient à choisir un certain ordre de ces éléments. Par conséquent, deux permutations ne diffèrent l'une de l'autre que par l'ordre des éléments.
Le nombre de permutations de n éléments est désigné par un symbole et est calculé par la formule :
matériel pratique.
10.(6.1.14.L) Composez différentes permutations à partir des éléments de l'ensemble A=(5;8;9). (Réponse : 6)
11.(6.1.15.L) De combien de manières un ensemble d'œuvres en dix volumes de D. London peut-il être disposé sur une étagère, en les disposant :
a) au hasard
b) de sorte que 1, 5, 9 volumes se tiennent côte à côte (dans n'importe quel ordre) ;
c) de sorte que 1, 2, 3 volumes se tiennent côte à côte (dans n'importe quel ordre).
(Réponse : a) 10 ! b) 8!?3! dans) )
12. (1.6.16.L.) Il y a 7 chaises dans la pièce. De combien de manières peut-on y placer 7 invités ? 3 invités ? (Réponse : 5040 ; 210)
Schéma de sélection avec retour.
La théorie. Si, dans une sélection ordonnée de k éléments sur n, les éléments sont retournés, alors les échantillons résultants sont des arrangements avec des répétitions. Le nombre de tous les placements avec des répétitions de n éléments par k est indiqué par le symbole et est calculé par la formule :
Si, lors de la sélection de k éléments à partir de n, les éléments sont renvoyés sans ordre ultérieur (ainsi, les mêmes éléments peuvent être extraits plusieurs fois, c'est-à-dire répétés), alors les échantillons résultants sont des combinaisons avec des répétitions. Le nombre de toutes les combinaisons avec répétitions de n éléments par k est indiqué par un symbole et est calculé par la formule :
matériel pratique.
13.(6.1.29.) À partir des éléments (numéros) 2, 4, 5, composez tous les placements et combinaisons avec des répétitions de deux éléments. (Réponse : 9 ; 6)
14. (6.1.31.L.) Cinq personnes sont entrées dans l'ascenseur au 1er étage d'un immeuble de neuf étages. De combien de manières les passagers peuvent-ils sortir de l'ascenseur aux étages souhaités ? (Réponse: 
)
15. (6.1.59.L.) Il existe 7 types de gâteaux dans la confiserie. De combien de manières pouvez-vous y acheter : a) 3 gâteaux du même type ; b) 5 gâteaux ? (Réponse : a) 7 ; b) 462)
La théorie. Soit un ensemble de n éléments ayant k différents types d'éléments, tandis que le 1er type d'éléments est répété une fois, la 2ème - fois, . . . , kth - fois, et . Alors les permutations des éléments de cet ensemble sont des permutations avec répétitions.
Le nombre de permutations avec répétitions (il fait parfois référence au nombre de partitions d'un ensemble) de n éléments est désigné par un symbole et est calculé par la formule :
matériel pratique.
16.(6.1.32.) Combien de "mots" différents (un "mot" signifie n'importe quelle combinaison de lettres) peuvent être formés en réarrangeant les lettres du mot AHA ? MISSISSIPPI?
La solution.
En général, trois lettres peuvent être utilisées pour former divers "mots" de trois lettres. Dans le mot AGA, la lettre A est répétée et le réarrangement des mêmes lettres ne change pas le "mot". Par conséquent, le nombre de permutations avec répétitions est inférieur au nombre de permutations sans répétitions autant de fois qu'il est possible de permuter des lettres qui se répètent. Dans ce mot, deux lettres (1ère et 3ème) sont répétées ; il existe donc autant de permutations différentes de "mots" de trois lettres à partir des lettres du mot AGA : . Cependant, la réponse peut être obtenue plus simplement :. En utilisant la même formule, nous trouverons le nombre de "mots" de onze lettres en permutant les lettres du mot MISSISSIPPI. Ici (4 lettres S), (4 lettres I), donc
17.(6.1.38.L.) Combien de permutations différentes de lettres y a-t-il dans le mot TRAITEMENT ? Et dans le "mot" AAAAAAAAAA ? (Réponse : 420;210)
Sections: Mathématiques
Classer: 5
Sujet: Division avec reste.
Objectifs de la leçon:
Répétez la division avec un reste, dérivez une règle sur la façon de trouver le dividende lors de la division avec un reste et écrivez-la sous forme d'expression littérale;
- développer l'attention, la pensée logique, le discours mathématique;
- favoriser une culture de la parole, de la persévérance.
Pendant les cours
La leçon est accompagnée d'une présentation informatique. (Application)
je. Organisation du temps
II. Comptage verbal. Message du sujet de la leçon
Après avoir résolu les exemples et rempli le tableau, vous pourrez lire le sujet de la leçon.
Sur le bureau:
Lisez le sujet de la leçon.
Ils ont ouvert des cahiers, noté la date, le sujet de la leçon. (Diapositive 1)
III. Travail sur le sujet de la leçon
Décidez verbalement. (Diapositive 2)
1. Lisez les expressions :
30: 5
103: 10
34: 5
60: 7
47: 6
131: 11
42: 6
En quels deux groupes peuvent-ils être divisés ? Écrivez et résolvez ceux dont la division est avec un reste.
2. Allons vérifier. (Diapositive 3)
Pas de reste : |
Avec le reste : |
|
30: 5 |
103 : 10 = 10 (reste 3) |
Pouvez-vous me dire comment vous avez fait la division avec un reste ?
Un nombre naturel n'est pas toujours divisible par un autre nombre. Mais vous pouvez toujours effectuer une division avec un reste.
Que signifie diviser avec le reste ? Pour répondre à cette question, résolvons le problème. ( diapositive 4)
4 petits-enfants sont venus rendre visite à leur grand-mère. Grand-mère a décidé de traiter ses petits-enfants avec des bonbons. Il y avait 23 bonbons dans le vase. Combien de bonbons chaque petit-enfant recevra-t-il si la grand-mère propose de partager les bonbons à parts égales ?
Raisonnons.
Combien de bonbons a grand-mère ? (23)
Combien de petits-enfants sont venus rendre visite à leur grand-mère ? (4)
Que faut-il faire selon l'état de la tâche ? (Les bonbons doivent être divisés en parts égales, 23 doivent être divisés par 4 ; 23 sont divisés par 4 avec un reste ; dans le quotient, ce sera 5, et le reste sera 3.)
Combien de bonbons recevra chaque petit-enfant ? (Chaque petit-enfant recevra 5 bonbons et 3 bonbons resteront dans le vase.)
Écrivons la solution. (Diapositive 5)
23 : 4=5 (reste 3)
Quel est le nom du nombre qui est divisé? (Divisible.)
Qu'est-ce qu'un diviseur ? (Nombre par lequel diviser.)
Comment appelle-t-on le résultat d'une division avec un reste ? (quotient incomplet.)
Nommez le dividende, le diviseur, le quotient partiel et le reste dans notre solution (23 est le dividende, 4 est le diviseur, 5 est le quotient partiel, 3 est le reste.)
Les gars, réfléchissez et écrivez comment trouver le dividende 23, connaissant le diviseur, le quotient incomplet et le reste?
Allons vérifier.
Les gars, formulons une règle sur la façon de trouver le dividende si le diviseur, le quotient incomplet et le reste sont connus.
Régner. (Diapositive 6)
Le dividende est égal au produit du diviseur et du quotient incomplet, additionné du reste.
a = soleil + ré , a - dividende, c - diviseur, c - quotient partiel, d - reste.
Lorsque la division avec un reste est effectuée, que faut-il retenir ?
C'est vrai, le reste est toujours inférieur au diviseur.
Et si le reste est nul, le dividende est divisible par le diviseur sans reste, complètement.
IV. Consolidation du matériel étudié
Diapositive 7
Trouvez le dividende si :
A) le quotient partiel est 7, le reste est 3 et le diviseur est 6.
B) le quotient incomplet est 11, le reste est 1 et le diviseur est 9.
C) le quotient partiel est 20, le reste est 13 et le diviseur est 15.
V. Travailler avec le manuel
1.
Travailler sur une tâche.
2.
Formuler une solution à un problème.
№ 516 (L'élève résout le problème au tableau.)
20 x 10 : 18 = 11 (reste 2)
Réponse : 11 pièces de 18 kg chacune peuvent être coulées à partir de 10 lingots, il restera 2 kg de fonte.
№ 519 (Cahier d'exercices, p. 52 n° 1.)
diapositives 8, 9
La première tâche est effectuée par l'élève au tableau noir. Les deuxième et troisième - les étudiants effectuent indépendamment avec l'auto-examen.
Nous résolvons les problèmes verbalement. (Diapositive 10)
VI. Résumé de la leçon
Il y a 17 élèves dans votre classe. Vous étiez aligné. Il s'est avéré plusieurs lignes de 5 étudiants et une ligne incomplète. Combien de lignes complètes a-t-il produit et combien de personnes se trouvent dans une ligne incomplète ?
Votre classe dans la leçon d'éducation physique était à nouveau alignée. Cette fois, il s'est avéré 4 lignes complètes identiques et une incomplète? Combien y a-t-il de personnes dans chaque file ? Et en incomplet ?
Nous répondons aux questions :
Le reste peut-il être supérieur au diviseur ? Le reste peut-il être égal au diviseur ?
Comment trouver le dividende par le quotient incomplet, diviseur et reste ?
Quels sont les restes divisés par 5 ? Donne des exemples.
Comment vérifier si la division avec reste est correcte ?
Oksana a pensé à un chiffre. Si ce nombre est augmenté de 7 fois et que 17 sont ajoutés au produit, alors ce sera 108. À quel nombre a pensé Oksana ?
VII. Devoirs
Point 13, n° 537, 538, cahier d'exercices, p. 42, n° 4.
Bibliographie
1. Mathématiques : Proc. pour 5 cellules. enseignement général institutions / N.Ya. Vilenkin, V.I. Jokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd. - 9e éd., stéréotype. – M. : Mnemozina, 2001. – 384 p. : ill.
2. Mathématiques. Niveau 5 Cahier numéro 1. nombres naturels / V.N. Roudnitskaïa. – 7e éd. – M. : Mnemozina, 2008. – 87 p. : ill.
3. Chesnokov A.S., Neshkov K.I. Matériel didactique en mathématiques pour la 5e année. - M. : Classics Style, 2007. - 144 p. : ill.
Il convient de noter que la combinatoire est une section indépendante des mathématiques supérieures (et non une partie de terver) et des manuels importants ont été écrits dans cette discipline, dont le contenu, parfois, n'est pas plus facile que l'algèbre abstraite. Cependant, une petite part de connaissances théoriques nous suffira, et dans cet article, je vais essayer d'analyser les bases du sujet avec des problèmes combinatoires typiques sous une forme accessible. Et vous serez nombreux à m'aider ;-)
Qu'allons nous faire? Au sens étroit, la combinatoire est le calcul de diverses combinaisons qui peuvent être faites à partir d'un certain ensemble discret objets. Par objets, on entend tout objet isolé ou être vivant - personnes, animaux, champignons, plantes, insectes, etc. En même temps, la combinatoire ne se soucie pas du tout que l'ensemble se compose d'une assiette de semoule, d'un fer à souder et d'une grenouille des marais. Il est fondamental que ces objets soient énumérables - il y en a trois. (discrétion) et il est essentiel qu'aucun d'eux ne se ressemble.
Avec beaucoup de choses triées, maintenant sur les combinaisons. Les types de combinaisons les plus courants sont les permutations d'objets, leur sélection dans un ensemble (combinaison) et leur distribution (placement). Voyons comment cela se passe maintenant :
Permutations, combinaisons et placements sans répétition
N'ayez pas peur des termes obscurs, d'autant plus que certains d'entre eux n'ont vraiment pas beaucoup de succès. Commençons par la fin du titre - qu'est-ce que " sans répétition" ? Cela signifie que dans cette section, nous considérerons des ensembles constitués de divers objets. Par exemple, ... non, je n'offrirai pas de bouillie avec un fer à souder et une grenouille, quelque chose de plus savoureux est mieux =) Imaginez qu'une pomme, une poire et une banane se matérialisent sur la table devant vous (s'il y en a quelconque, la situation peut être simulée en réel). Nous disposons les fruits de gauche à droite dans l'ordre suivant :
pomme / poire / banane
Question une: De combien de manières peuvent-elles être réarrangées ?
Une combinaison a déjà été écrite ci-dessus et il n'y a aucun problème avec le reste :
pomme / banane / poire
poire / pomme / banane
poire / banane / pomme
banane / pomme / poire
banane / poire / pomme
Total: 6 combinaisons ou 6 permutations.
Eh bien, ce n'était pas difficile d'énumérer tous les cas possibles ici, mais que se passe-t-il s'il y a plus d'objets ? Déjà avec quatre fruits différents, le nombre de combinaisons augmentera considérablement !
Veuillez ouvrir le matériel de référence (Le manuel est facile à imprimer) et au paragraphe numéro 2, trouvez la formule du nombre de permutations.
Pas de tourment - 3 objets peuvent être réarrangés de différentes manières.
Question deux: De combien de manières peux-tu choisir a) un fruit, b) deux fruits, c) trois fruits, d) au moins un fruit ?
Pourquoi choisir? Ils se sont donc mis en appétit dans le paragraphe précédent - pour manger! =)
a) Un fruit peut être choisi, évidemment, de trois manières - prenez soit une pomme, soit une poire, soit une banane. Le comptage formel est basé sur formule du nombre de combinaisons
:
L'entrée dans ce cas doit être comprise comme suit : "de combien de manières pouvez-vous choisir 1 fruit sur trois ?"
b) On liste toutes les combinaisons possibles de deux fruits :
pomme et poire;
pomme et banane;
poire et banane.
Le nombre de combinaisons est facile à vérifier en utilisant la même formule :
L'entrée se comprend de la même manière : "de combien de manières pouvez-vous choisir 2 fruits sur trois ?".
c) Et enfin, trois fruits peuvent être choisis de manière unique :
Soit dit en passant, la formule du nombre de combinaisons a également un sens pour un échantillon vide :
De cette façon, vous ne pouvez pas choisir un seul fruit - en fait, ne rien prendre et c'est tout.
d) De combien de façons pouvez-vous prendre au moins un fruit? La condition "au moins un" implique que nous sommes satisfaits d'1 fruit (n'importe lequel) ou de 2 fruits quelconques ou des 3 fruits :
façons dont vous pouvez choisir au moins un fruit.
Les lecteurs qui ont étudié attentivement la leçon d'introduction sur théorie des probabilités déjà compris quelque chose. Mais sur la signification du signe plus plus tard.
Pour répondre à la question suivante, j'ai besoin de deux volontaires ... ... Bon, puisque personne ne veut, alors je vais appeler au conseil =)
Question trois: De combien de manières un fruit peut-il être distribué à Dasha et Natasha ?
Afin de distribuer deux fruits, vous devez d'abord les sélectionner. Selon le paragraphe "être" de la question précédente, cela peut se faire de différentes manières, je vais les réécrire à nouveau :
pomme et poire;
pomme et banane;
poire et banane.
Mais maintenant, il y aura deux fois plus de combinaisons. Considérons, par exemple, la première paire de fruits :
vous pouvez traiter Dasha avec une pomme et Natasha avec une poire;
ou vice versa - Dasha obtiendra la poire et Natasha obtiendra la pomme.
Et une telle permutation est possible pour chaque paire de fruits.
Considérez le même groupe d'étudiants qui est allé au bal. De combien de façons peut-on coupler un garçon et une fille ?
Façons dont vous pouvez choisir 1 jeune homme;
façons dont vous pouvez choisir 1 fille.
Alors un jeune homme et une fille peut être choisie: 
façons.
Lorsqu'un objet est sélectionné dans chaque ensemble, le principe suivant de comptage des combinaisons est valide : " chaque un objet d'un ensemble peut former une paire avec chaque objet d'un autre ensemble.
C'est-à-dire qu'Oleg peut inviter n'importe laquelle des 13 filles à danser, Evgeny - également n'importe laquelle des treize, et d'autres jeunes ont un choix similaire. Total : paires possibles.
Il convient de noter que dans cet exemple, "l'historique" de la formation des paires n'a pas d'importance ; cependant, si l'initiative est prise en compte, alors le nombre de combinaisons doit être doublé, puisque chacune des 13 filles peut également inviter n'importe quel garçon à danser. Tout dépend des conditions d'une tâche particulière!
Un principe similaire est valable pour des combinaisons plus complexes, par exemple : de combien de façons peut-on choisir deux jeunes hommes et deux filles pour participer à un sketch KVN?
syndicat Et laisse entendre sans ambiguïté que les combinaisons doivent être multipliées :
Groupes d'artistes possibles.
Autrement dit, chaque paire de garçons (45 paires uniques) peuvent rivaliser avec n'importe quel un couple de filles (78 couples uniques). Et si l'on considère la répartition des rôles entre les participants, alors il y aura encore plus de combinaisons. ... j'en ai très envie, mais je m'abstiendrai tout de même de continuer, pour ne pas vous inculquer une aversion pour la vie étudiante =).
La règle de multiplication s'applique à plusieurs multiplicateurs :
Tâche 8
Combien y a-t-il de nombres à trois chiffres divisibles par 5 ?
La solution: pour plus de clarté, nous désignons ce numéro par trois astérisques : ***
À endroit des centaines vous pouvez écrire n'importe lequel des nombres (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9). Zéro n'est pas bon, car dans ce cas, le nombre cesse d'être à trois chiffres.
Mais en place des dizaines(« au milieu »), vous pouvez choisir n'importe lequel des 10 chiffres : .
Par condition, le nombre doit être divisible par 5. Le nombre est divisible par 5 s'il se termine par 5 ou 0. Ainsi, dans le chiffre le moins significatif, on se contente de 2 chiffres.
Au total, il y a: nombres à trois chiffres divisibles par 5.
Parallèlement, l'œuvre se décrypte ainsi : « 9 manières de choisir un nombre dans endroit des centaines et 10 façons de sélectionner un nombre dans place des dizaines et 2 voies d'accès chiffre de l'unité»
Ou encore plus simple : chaque de 9 chiffres à endroit des centaines combiné avec chaque de 10 chiffres place des dizaines et avec chacun de deux chiffres chiffre des unités».
Réponse: 180
Et maintenant…
Oui, j'ai presque oublié le commentaire promis au problème n ° 5, dans lequel Borya, Dima et Volodia peuvent recevoir une carte chacun de différentes manières. La multiplication a ici le même sens : de différentes manières, vous pouvez extraire 3 cartes du jeu Et dans chaque sample pour les réorganiser.
Et maintenant, le problème d'une solution indépendante ... maintenant je vais proposer quelque chose de plus intéressant, ... que ce soit à propos de la même version russe du blackjack:
Tâche 9
Combien y a-t-il de combinaisons gagnantes de 2 cartes dans un jeu "point" ?
Pour ceux qui ne savent pas : gagne la combinaison 10 + ACE (11 points) = 21 points et, considérons la combinaison gagnante de deux as.
(l'ordre des cartes dans n'importe quelle paire n'a pas d'importance)
Solution courte et réponse à la fin de la leçon.
À propos, il n'est pas nécessaire de considérer un exemple primitif. Le blackjack est presque le seul jeu pour lequel il existe un algorithme mathématiquement justifié qui vous permet de battre le casino. Ceux qui le souhaitent peuvent facilement trouver de nombreuses informations sur la stratégie et la tactique optimales. Certes, de tels maîtres tombent rapidement dans la liste noire de tous les établissements =)
Il est temps de consolider le matériel couvert de quelques tâches solides :
Tâche 10
Vasya a 4 chats à la maison.
a) De combien de manières les chats peuvent-ils être assis dans les coins de la pièce ?
b) De combien de manières les chats peuvent-ils errer ?
c) de combien de manières Vasya peut-elle prendre deux chats (l'un à gauche, l'autre à droite) ?
Nous décidons: tout d'abord, il convient à nouveau de noter que le problème concerne différent objets (même si les chats sont des vrais jumeaux). C'est une condition très importante !
a) Le silence des chats. Cette exécution est soumise à tous les chats à la fois
+ leur emplacement est important, il y a donc des permutations ici :
façons de faire asseoir les chats dans les coins de la pièce.
Je répète que lors de la permutation, seuls le nombre d'objets différents et leur position relative importent. Selon son humeur, Vasya peut asseoir les animaux en demi-cercle sur le canapé, en rangée sur le rebord de la fenêtre, etc. - il y aura 24 permutations dans tous les cas.Pour plus de commodité, ceux qui le souhaitent peuvent imaginer que les chats sont multicolores (par exemple, blanc, noir, rouge et rayé) et lister toutes les combinaisons possibles.
b) De combien de manières les chats peuvent-ils errer ?
On suppose que les chats ne se promènent que par la porte, tandis que la question implique une indifférence quant au nombre d'animaux - 1, 2, 3 ou les 4 chats peuvent se promener.
Nous considérons toutes les combinaisons possibles :
Façons de laisser aller se promener un chat (n'importe lequel des quatre); 
comment vous pouvez laisser deux chats se promener (énumérez vous-même les options);
comment vous pouvez laisser trois chats se promener (l'un des quatre est assis à la maison);
façon dont vous pouvez libérer tous les chats.
Vous avez probablement deviné que les valeurs obtenues doivent être additionnées :
façons de laisser les chats se promener.
Pour les passionnés, je propose une version compliquée du problème - lorsque n'importe quel chat de n'importe quel échantillon peut sortir au hasard, à la fois par la porte et par la fenêtre du 10e étage. Il y aura plus de combinaisons!
c) De combien de façons Vasya peut-elle prendre deux chats ?
La situation implique non seulement le choix de 2 animaux, mais également leur placement sur les mains :
façons dont vous pouvez ramasser 2 chats.
La deuxième solution : de différentes manières, vous pouvez choisir deux chats et façons de planter tous un couple à la main : 
Réponse: a) 24, b) 15, c) 12
Bon, pour me donner bonne conscience, quelque chose de plus précis sur la multiplication des combinaisons.... Laissez Vasya avoir 5 chats supplémentaires =) Combien de façons pouvez-vous laisser 2 chats se promener et 1 chat ?
C'est-à-dire avec chaque un couple de chats peut être libéré tous chat.
Un autre accordéon à boutons pour une solution indépendante :
Tâche 11
3 passagers montent dans l'ascenseur d'un immeuble de 12 étages. Tout le monde, indépendamment des autres, peut sortir à n'importe quel étage (à partir du 2ème) avec la même probabilité. De combien de manières :
1) Les passagers peuvent descendre au même étage (l'ordre de sortie n'a pas d'importance);
2) deux personnes peuvent descendre à un étage et une troisième à un autre ;
3) les gens peuvent descendre à différents étages ;
4) Les passagers peuvent-ils sortir de l'ascenseur ?
Et là ils redemandent souvent, je précise : si 2 ou 3 personnes sortent au même étage, alors l'ordre de sortie n'a pas d'importance. PENSEZ, utilisez des formules et des règles pour les combinaisons d'addition/multiplication. En cas de difficulté, il est utile que les passagers donnent des noms et des raisons dans quelles combinaisons ils peuvent sortir de l'ascenseur. Pas besoin de s'inquiéter si quelque chose ne fonctionne pas, par exemple, le point numéro 2 est assez insidieux, cependant, l'un des lecteurs a trouvé une solution simple, et encore une fois, j'exprime ma gratitude pour vos lettres !
Solution complète avec des commentaires détaillés à la fin du tutoriel.
Le dernier paragraphe est consacré aux combinaisons qui se produisent également assez souvent - selon mon évaluation subjective, dans environ 20 à 30 % des problèmes combinatoires :
Permutations, combinaisons et placements avec répétitions
Les types de combinaisons répertoriés sont décrits au paragraphe n ° 5 du document de référence Formules de base de la combinatoire , cependant, certains d'entre eux peuvent ne pas être très clairs en première lecture. Dans ce cas, il est conseillé de se familiariser d'abord avec des exemples pratiques, puis de comprendre la formulation générale. Aller:
Permutations avec répétitions
Dans les permutations avec répétitions, comme dans les permutations "ordinaires", l'ensemble des objets à la fois, mais il y a une chose : dans cet ensemble, un ou plusieurs éléments (objets) sont répétés. Respectez la norme suivante :
Tâche 12
Combien de combinaisons de lettres différentes peut-on obtenir en réarrangeant les cartes avec les lettres suivantes : K, O, L, O, K, O, L, L, H, I, K ?
La solution: dans le cas où toutes les lettres seraient différentes, alors une formule triviale devrait être appliquée, cependant, il est tout à fait clair que pour le jeu de cartes proposé, certaines manipulations fonctionneront "au ralenti", donc, par exemple, si vous échangez deux cartes avec les lettres "K dans n'importe quel mot, ce sera le même mot. De plus, physiquement les cartes peuvent être très différentes : l'une peut être ronde avec une lettre « K » imprimée, l'autre carrée avec une lettre « K » dessinée. Mais selon le sens du problème, même de telles cartes considéré comme le même, puisque la condition pose des questions sur les combinaisons de lettres.
Tout est extrêmement simple - au total : 11 cartes, dont la lettre :
K - répété 3 fois;
O - répété 3 fois ;
L - répété 2 fois ;
b - répété 1 fois ;
H - répété 1 fois ;
Et - répète 1 fois.
Vérifier : 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, c'est ce que nous voulions vérifier.
Selon la formule nombre de permutations avec répétitions
:
différentes combinaisons de lettres peuvent être obtenues. Plus d'un demi-million !
Pour un calcul rapide d'une grande valeur factorielle, il est pratique d'utiliser la fonction standard d'Excel : on note dans n'importe quelle cellule =FACT(11) et cliquez Entrer.
En pratique, il est tout à fait acceptable de ne pas écrire la formule générale et, en plus, d'omettre les factorielles unitaires : 
Mais des commentaires préliminaires sur les lettres répétées sont nécessaires !
Réponse: 554400
Un autre exemple typique de permutations avec répétitions se trouve dans le problème de l'agencement des pièces d'échecs, que l'on peut trouver dans l'entrepôt des solutions toutes faites dans le pdf correspondant. Et pour une solution indépendante, j'ai proposé une tâche moins modèle :
Tâche 13
Alexey fait du sport et 4 jours par semaine - athlétisme, 2 jours - exercices de musculation et 1 jour de repos. De combien de manières peut-il programmer ses cours hebdomadaires ?
La formule ne fonctionne pas ici car elle tient compte des permutations qui se chevauchent (par exemple, lorsque les exercices de force du mercredi sont échangés avec des exercices de force du jeudi). Et encore une fois - en fait, les 2 mêmes séances de musculation peuvent être très différentes l'une de l'autre, mais dans le contexte de la tâche (en termes d'horaire), elles sont considérées comme les mêmes éléments.
Solution en deux lignes et réponse à la fin de la leçon.
Combinaisons avec répétitions
Un trait caractéristique de ce type de combinaison est que l'échantillon est tiré de plusieurs groupes, dont chacun est composé des mêmes objets.
Tout le monde a travaillé dur aujourd'hui, il est donc temps de vous rafraîchir :
Tâche 14
La cafétéria étudiante vend des saucisses en pâte, des cheesecakes et des beignets. De combien de manières peut-on acheter cinq gâteaux ?
La solution: faites immédiatement attention au critère typique des combinaisons avec répétitions - selon la condition, pas un ensemble d'objets en tant que tel, mais différentes sortes objets; on suppose qu'il y a au moins cinq hot-dogs, 5 gâteaux au fromage et 5 beignets en vente. Les tartes de chaque groupe, bien sûr, sont différentes - car des beignets absolument identiques ne peuvent être simulés que sur un ordinateur =) Cependant, les caractéristiques physiques des tartes ne sont pas essentielles au sens du problème, et les hot-dogs / cheesecakes / beignets dans leurs groupes sont considérés comme identiques.
Que peut-il y avoir dans l'échantillon ? Tout d'abord, il convient de noter qu'il y aura certainement des tartes identiques dans l'échantillon (car nous choisissons 5 pièces, et 3 types sont proposés au choix). Des options ici pour tous les goûts : 5 hot dogs, 5 cheesecakes, 5 donuts, 3 hot dogs + 2 cheesecakes, 1 hot dog + 2 + cheesecakes + 2 donuts, etc.
Comme pour les combinaisons "régulières", l'ordre de sélection et de placement des tartes dans l'échantillon n'a pas d'importance - ils ont juste choisi 5 pièces et c'est tout.
Nous utilisons la formule 
nombre de combinaisons avec répétitions : 
façon dont vous pouvez acheter 5 tartes.
Bon appétit!
Réponse: 21
Quelle conclusion peut-on tirer de nombreux problèmes combinatoires ?
Parfois, la chose la plus difficile est de comprendre la condition.
Un exemple similaire pour une solution à faire soi-même :
Tâche 15
Le portefeuille contient un assez grand nombre de pièces de 1, 2, 5 et 10 roubles. De combien de manières trois pièces peuvent-elles être retirées du portefeuille ?
À des fins de maîtrise de soi, répondez à quelques questions simples :
1) Toutes les pièces de l'échantillon peuvent-elles être différentes ?
2) Nommez la combinaison de pièces « la moins chère » et la plus « chère ».
Solution et réponses à la fin de la leçon.
D'après mon expérience personnelle, je peux dire que les combinaisons avec répétitions sont les invités les plus rares dans la pratique, ce qui ne peut pas être dit pour le type de combinaisons suivant :
Placements avec répétitions
À partir d'un ensemble composé d'éléments, les éléments sont sélectionnés et l'ordre des éléments dans chaque échantillon est important. Et tout irait bien, mais une blague plutôt inattendue est que nous pouvons choisir n'importe quel objet de l'ensemble original autant de fois que nous le souhaitons. Au sens figuré, de "la multitude ne diminuera pas".
Quand est-ce que cela arrive? Un exemple typique est une serrure à combinaison avec plusieurs disques, mais du fait de l'évolution de la technologie, il est plus pertinent de considérer son descendant numérique :
Tâche 16
Combien y a-t-il de codes PIN à 4 chiffres ?
La solution: en fait, pour résoudre le problème, il suffit de connaître les règles de la combinatoire : vous pouvez choisir le premier chiffre du code pin de différentes manières et façons - le deuxième chiffre du code PIN et d'autant de façons - une troisième et autant - le quatrième. Ainsi, selon la règle de multiplication des combinaisons, un code PIN à quatre chiffres peut être composé : de manières.
Et maintenant avec la formule. Par condition, on nous propose un ensemble de numéros, à partir desquels les numéros sont sélectionnés et placés dans un certain ordre, tandis que les nombres de l'échantillon peuvent être répétés (c'est-à-dire que n'importe quel chiffre de l'ensemble d'origine peut être utilisé un nombre arbitraire de fois). Selon la formule du nombre de placements avec répétitions : 
Réponse: 10000
Ce qui me vient à l'esprit ici ... ... si le guichet automatique "mange" la carte après la troisième tentative infructueuse de saisie du code PIN, les chances de le récupérer au hasard sont très illusoires.
Et qui a dit que la combinatoire n'avait aucun sens pratique ? Une tâche cognitive pour tous les lecteurs du site :
Problème 17
Selon la norme nationale, une plaque d'immatriculation de voiture se compose de 3 chiffres et 3 lettres. Dans ce cas, un nombre avec trois zéros n'est pas autorisé et les lettres sont sélectionnées dans l'ensemble A, B, E, K, M, H, O, R, C, T, U, X (seules les lettres cyrilliques sont utilisées, dont l'orthographe correspond aux lettres latines).
Combien de plaques d'immatriculation différentes peut-on composer pour une région ?
Pas si, d'ailleurs, et beaucoup. Dans les grandes régions, ce nombre n'est pas suffisant, et donc pour eux, il existe plusieurs codes pour l'inscription RUS.
Solution et réponse à la fin de la leçon. N'oubliez pas d'utiliser les règles de la combinatoire ;-) …Je voulais me vanter d'être exclusif, mais il s'est avéré que ce n'était pas exclusif =) J'ai regardé Wikipedia - il y a des calculs, cependant, sans commentaires. Bien qu'à des fins éducatives, probablement, peu de gens l'ont résolu.
Notre leçon passionnante est terminée, et à la fin je veux dire que vous n'avez pas perdu votre temps - pour la raison que les formules combinatoires trouvent une autre application pratique vitale : elles se retrouvent dans diverses tâches sur théorie des probabilités
,
et en tâches sur la définition classique de la probabilité
- surtout souvent
Merci à tous pour votre participation active et à bientôt !
Solutions et réponses:
Tâche 2 : La solution: trouver le nombre de toutes les permutations possibles de 4 cartes :
Lorsqu'une carte avec un zéro est à la 1ère place, le nombre devient à trois chiffres, donc ces combinaisons doivent être exclues. Soit zéro à la 1ère place, puis les 3 chiffres restants dans les chiffres les moins significatifs peuvent être réorganisés de différentes manières.
Noter
: car il y a peu de cartes, il est facile d'énumérer toutes ces options ici :
0579
0597
0759
0795
0957
0975
Ainsi, à partir de l'ensemble proposé, vous pourrez réaliser :
24 - 6 = 18 nombres à quatre chiffres
Réponse
: 18
ZY Jamais pensé , que ces tâches seront proposées aux élèves de première année, dont l'un a remarqué que la carte "9" peut être utilisée comme un "6", et donc le nombre de combinaisons devrait être doublé. Mais la condition indique néanmoins un chiffre précis et il vaut mieux s'abstenir de doubler.
Tâche 4 : La solution: 3 cartes peuvent être sélectionnées parmi 36 façons.
Réponse
: 7140
Tâche 6 : La solution: 
façons.
Une autre solution
: manières de sélectionner deux personnes dans un groupe et manières de répartir les positions dans chaque échantillon. Ainsi, le chef et son adjoint peuvent être choisis 
façons. La troisième solution
trouvé par un autre lecteur du site. Par le produit combinatoire :
(11 façons de descendre d'un passager et pour chaqueà partir de ces options - 10 façons peuvent obtenir un autre passager et pour chaque combinaison possible de leur sortie - 9 façons pour le troisième passager de sortir)
4) Première méthode: résumer les combinaisons des trois premiers points :
façon dont les passagers peuvent sortir de l'ascenseur.
Deuxième méthode
: dans le cas général, c'est plus rationnel ; de plus, cela permet de se passer des résultats des paragraphes précédents. Le raisonnement est le suivant : comment le 1er passager peut-il sortir de l'ascenseur et comment le 2e passager peut-il descendre et
2) L'ensemble "le moins cher" contient 3 pièces en roubles et l'ensemble le plus "cher" contient 3 pièces de dix roubles.
Tâche 17 : La solution: 
façons dont vous pouvez faire une combinaison numérique d'une plaque d'immatriculation, tandis que l'un d'eux (000) doit être exclu :.
façons dont vous pouvez faire une combinaison de lettres d'un numéro de voiture.
Selon la règle de la multiplication des combinaisons, tout peut être composé :
numéros de voiture
(chaque combinaison numérique combinée avec chaque combinaison de lettres).
Réponse
: 1726272
La division des nombres naturels, en particulier ceux à valeurs multiples, est commodément effectuée par une méthode spéciale, appelée division par une colonne (dans une colonne). Vous pouvez également voir le nom division d'angle. Immédiatement, nous notons que la colonne peut être effectuée à la fois par division de nombres naturels sans reste et par division de nombres naturels avec reste.
Dans cet article, nous allons comprendre comment s'effectue la division par une colonne. Nous parlerons ici des règles d'écriture, et de tous les calculs intermédiaires. Tout d'abord, arrêtons-nous sur la division d'un nombre naturel multivalué par un nombre à un chiffre par une colonne. Après cela, nous nous concentrerons sur les cas où le dividende et le diviseur sont des nombres naturels à valeurs multiples. Toute la théorie de cet article est fournie avec des exemples caractéristiques de division par une colonne de nombres naturels avec des explications détaillées de la solution et des illustrations.
Navigation dans les pages.
Règles d'enregistrement lors de la division par une colonne
Commençons par étudier les règles d'écriture du dividende, du diviseur, de tous les calculs intermédiaires et des résultats lors de la division des nombres naturels par une colonne. Disons tout de suite qu'il est plus pratique de diviser une colonne en écrivant sur du papier avec une ligne en damier - il y a donc moins de chance de s'égarer de la ligne et de la colonne souhaitées.
Tout d'abord, le dividende et le diviseur sont écrits sur une ligne de gauche à droite, après quoi un symbole de la forme est affiché entre les nombres écrits. Par exemple, si le dividende est le nombre 6 105 et que le diviseur est 5 5, alors leur notation correcte lorsqu'ils sont divisés en une colonne sera :
Regardez le diagramme suivant, qui illustre les emplacements pour écrire les calculs de dividende, diviseur, quotient, reste et intermédiaire lors de la division par une colonne.
On peut voir sur le schéma ci-dessus que le quotient souhaité (ou quotient incomplet lors de la division avec un reste) sera écrit sous le diviseur sous la ligne horizontale. Et les calculs intermédiaires seront effectués en dessous du dividende, et vous devez prendre soin de la disponibilité de l'espace sur la page à l'avance. Dans ce cas, il faut être guidé par la règle: plus la différence de nombre de caractères dans les entrées du dividende et du diviseur est grande, plus il faut d'espace. Par exemple, en divisant un nombre naturel 614 808 par 51 234 par une colonne (614 808 est un nombre à six chiffres, 51 234 est un nombre à cinq chiffres, la différence dans le nombre de caractères dans les enregistrements est 6−5=1), intermédiaire les calculs nécessiteront moins d'espace que lors de la division des nombres 8 058 et 4 (ici la différence du nombre de caractères est 4−1=3 ). Pour confirmer nos propos, nous présentons les enregistrements complétés de division par une colonne de ces nombres naturels :
Vous pouvez maintenant passer directement au processus de division des nombres naturels par une colonne.
Division par une colonne d'un nombre naturel par un nombre naturel à un chiffre, algorithme de division par une colonne
Il est clair que diviser un nombre naturel à un chiffre par un autre est assez simple, et il n'y a aucune raison de diviser ces nombres en une colonne. Cependant, il sera utile de pratiquer les compétences initiales de division par une colonne sur ces exemples simples.
Exemple.
Il faut diviser par une colonne 8 par 2.
La solution.
Bien sûr, nous pouvons effectuer une division à l'aide de la table de multiplication et noter immédiatement la réponse 8: 2 = 4.
Mais nous sommes intéressés par la façon de diviser ces nombres par une colonne.
On écrit d'abord le dividende 8 et le diviseur 2 comme l'exige la méthode :
Maintenant, nous commençons à déterminer combien de fois le diviseur est dans le dividende. Pour cela, on multiplie successivement le diviseur par les nombres 0, 1, 2, 3, ... jusqu'à ce que le résultat soit un nombre égal au dividende (ou un nombre supérieur au dividende, s'il y a une division avec un reste ). Si nous obtenons un nombre égal au dividende, nous l'écrivons immédiatement sous le dividende et, à la place du privé, nous écrivons le nombre par lequel nous avons multiplié le diviseur. Si nous obtenons un nombre supérieur au divisible, alors sous le diviseur, nous écrivons le nombre calculé à l'avant-dernière étape, et à la place du quotient incomplet, nous écrivons le nombre par lequel le diviseur a été multiplié à l'avant-dernière étape.
Allons : 2 0=0 ; 2 1=2 ; 2 2=4 ; 2 3=6 ; 2 4=8 . Nous avons obtenu un nombre égal au dividende, nous l'écrivons donc sous le dividende, et à la place du privé, nous écrivons le nombre 4. L'enregistrement ressemblera alors à ceci :
La dernière étape de division des nombres naturels à un chiffre par une colonne reste. Sous le nombre écrit sous le dividende, vous devez tracer une ligne horizontale et soustraire les nombres au-dessus de cette ligne de la même manière que lors de la soustraction de nombres naturels avec une colonne. Le nombre obtenu après soustraction sera le reste de la division. S'il est égal à zéro, les nombres originaux sont divisés sans reste.
Dans notre exemple, on obtient
Nous avons maintenant un enregistrement fini de division par une colonne du nombre 8 par 2. Nous voyons que le quotient 8:2 est 4 (et le reste est 0 ).
Réponse:
8:2=4 .
Considérons maintenant comment la division par une colonne de nombres naturels à un chiffre avec un reste est effectuée.
Exemple.
Diviser par une colonne 7 par 3.
La solution.
Au stade initial, l'entrée ressemble à ceci :
Nous commençons à découvrir combien de fois le dividende contient un diviseur. Nous multiplierons 3 par 0, 1, 2, 3, etc. jusqu'à obtenir un nombre égal ou supérieur au dividende 7. On obtient 3 0=0<7
; 3·1=3<7
; 3·2=6<7
; 3·3=9>7 (si nécessaire, se référer à l'article comparaison des nombres naturels). Sous le dividende, nous écrivons le nombre 6 (il a été obtenu à l'avant-dernière étape), et à la place du quotient incomplet, nous écrivons le nombre 2 (il a été multiplié à l'avant-dernière étape).
Il reste à effectuer la soustraction, et la division par une colonne de nombres naturels à un chiffre 7 et 3 sera terminée.
Donc le quotient partiel est 2 , et le reste est 1 .
Réponse:
7:3=2 (reste 1) .
Nous pouvons maintenant passer à la division des nombres naturels à plusieurs valeurs par des nombres naturels à un chiffre par une colonne.
Nous allons maintenant analyser algorithme de division de colonne. A chaque étape, nous présenterons les résultats obtenus en divisant l'entier naturel multivalué 140 288 par l'entier naturel univalué 4 . Cet exemple n'a pas été choisi par hasard, car lors de sa résolution, nous rencontrerons toutes les nuances possibles, nous pourrons les analyser en détail.
Tout d'abord, nous regardons le premier chiffre à partir de la gauche dans l'entrée du dividende. Si le nombre défini par ce chiffre est supérieur au diviseur, alors dans le paragraphe suivant, nous devons travailler avec ce nombre. Si ce nombre est inférieur au diviseur, nous devons ajouter le chiffre suivant à gauche dans l'enregistrement du dividende et continuer à travailler avec le nombre déterminé par les deux chiffres en question. Pour plus de commodité, nous sélectionnons dans notre dossier le numéro avec lequel nous travaillerons.
Le premier chiffre à partir de la gauche du dividende 140 288 est le nombre 1. Le nombre 1 est inférieur au diviseur 4, nous regardons donc également le chiffre suivant à gauche dans l'enregistrement des dividendes. En même temps, nous voyons le nombre 14, avec lequel nous devons travailler davantage. Nous sélectionnons ce nombre dans la notation du dividende.
Les points suivants du deuxième au quatrième sont répétés cycliquement jusqu'à ce que la division des nombres naturels par une colonne soit terminée.
Nous devons maintenant déterminer combien de fois le diviseur est contenu dans le nombre avec lequel nous travaillons (pour plus de commodité, notons ce nombre par x ). Pour ce faire, on multiplie successivement le diviseur par 0, 1, 2, 3, ... jusqu'à obtenir le nombre x ou un nombre supérieur à x. Lorsqu'un nombre x est obtenu, alors on l'écrit sous le nombre sélectionné selon les règles de notation utilisées lors de la soustraction par une colonne de nombres naturels. Le nombre par lequel la multiplication a été effectuée est écrit à la place du quotient lors de la première passe de l'algorithme (lors des passes suivantes de 2 à 4 points de l'algorithme, ce nombre est écrit à droite des nombres déjà présents). Lorsqu'un nombre supérieur au nombre x est obtenu, alors sous le nombre sélectionné, nous écrivons le nombre obtenu à l'avant-dernière étape, et à la place du quotient (ou à droite des nombres déjà présents), nous écrivons le nombre par dont la multiplication a été effectuée à l'avant-dernière étape. (Nous avons effectué des actions similaires dans les deux exemples discutés ci-dessus).
Nous multiplions le diviseur de 4 par les nombres 0 , 1 , 2 , ... jusqu'à obtenir un nombre égal à 14 ou supérieur à 14 . Nous avons 4 0=0<14
, 4·1=4<14
, 4·2=8<14
, 4·3=12<14
, 4·4=16>Quatorze . Puisqu'à la dernière étape, nous avons obtenu le nombre 16, qui est supérieur à 14, puis sous le nombre sélectionné, nous écrivons le nombre 12, qui s'est avéré à l'avant-dernière étape, et à la place du quotient, nous écrivons le nombre 3, car dans l'avant-dernier paragraphe la multiplication a été effectuée précisément sur celui-ci.
À ce stade, du nombre sélectionné, soustrayez le nombre en dessous dans une colonne. Sous la ligne horizontale se trouve le résultat de la soustraction. Cependant, si le résultat de la soustraction est zéro, il n'est pas nécessaire de l'écrire (sauf si la soustraction à ce stade est la toute dernière action qui complète complètement la division par une colonne). Ici, pour votre contrôle, il ne sera pas superflu de comparer le résultat de la soustraction avec le diviseur et de s'assurer qu'il est inférieur au diviseur. Sinon, une erreur a été commise quelque part.
Il faut soustraire le nombre 12 du nombre 14 dans une colonne (pour la notation correcte, il ne faut pas oublier de mettre un signe moins à gauche des nombres soustraits). Après l'achèvement de cette action, le numéro 2 est apparu sous la ligne horizontale. Maintenant, nous vérifions nos calculs en comparant le nombre résultant avec un diviseur. Étant donné que le nombre 2 est inférieur au diviseur 4, vous pouvez passer en toute sécurité à l'élément suivant.
Maintenant, sous la ligne horizontale à droite des nombres qui s'y trouvent (ou à droite de l'endroit où nous n'avons pas écrit zéro), nous notons le nombre situé dans la même colonne du registre du dividende. S'il n'y a pas de chiffres dans l'enregistrement du dividende dans cette colonne, la division par une colonne se termine ici. Après cela, nous sélectionnons le nombre formé sous la ligne horizontale, le prenons comme nombre de travail et répétons avec lui de 2 à 4 points de l'algorithme.
Sous la ligne horizontale à droite du chiffre 2 déjà là, on écrit le chiffre 0, puisque c'est le chiffre 0 qui se trouve dans l'enregistrement du dividende 140 288 dans cette colonne. Ainsi, le nombre 20 est formé sous la ligne horizontale.
Nous sélectionnons ce nombre 20, le prenons comme nombre de travail et répétons les actions des deuxième, troisième et quatrième points de l'algorithme avec lui.
Nous multiplions le diviseur de 4 par 0 , 1 , 2 , ... jusqu'à obtenir le nombre 20 ou un nombre supérieur à 20 . Nous avons 4 0=0<20
, 4·1=4<20
, 4·2=8<20
, 4·3=12<20
, 4·4=16<20
, 4·5=20
. Так как мы получили число, равное числу 20
, то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3
записываем число 5
(на него производилось умножение).
Nous effectuons une soustraction par une colonne. Puisque nous soustrayons des nombres naturels égaux, alors, en raison de la propriété de soustraire des nombres naturels égaux, nous obtenons zéro en conséquence. Nous n'écrivons pas zéro (puisque ce n'est pas encore l'étape finale de la division par une colonne), mais nous nous souvenons de l'endroit où nous pourrions l'écrire (pour plus de commodité, nous marquerons cet endroit avec un rectangle noir).
Sous la ligne horizontale à droite du lieu mémorisé, on note le chiffre 2, puisque c'est elle qui figure dans l'enregistrement du dividende 140 288 dans cette colonne. Ainsi, sous la ligne horizontale, nous avons le chiffre 2 .
Nous prenons le numéro 2 comme numéro de travail, le marquons, et encore une fois nous devrons effectuer les étapes de 2 à 4 points de l'algorithme.
Nous multiplions le diviseur par 0 , 1 , 2 et ainsi de suite, et comparons les nombres obtenus avec le nombre marqué 2 . Nous avons 4 0=0<2
, 4·1=4>2. Par conséquent, sous le nombre marqué, nous écrivons le nombre 0 (il a été obtenu à l'avant-dernière étape), et à la place du quotient à droite du nombre déjà là, nous écrivons le nombre 0 (nous avons multiplié par 0 à l'avant-dernière marcher).
Nous effectuons une soustraction par une colonne, nous obtenons le nombre 2 sous la ligne horizontale. Nous nous vérifions en comparant le nombre résultant avec le diviseur 4 . Depuis 2<4
, то можно спокойно двигаться дальше.
Sous la ligne horizontale à droite du chiffre 2, on ajoute le chiffre 8 (puisqu'il se trouve dans cette colonne dans l'enregistrement du dividende 140 288). Ainsi, sous la ligne horizontale se trouve le nombre 28.
Nous acceptons ce numéro en tant que travailleur, le marquons et répétons les étapes 2 à 4 des paragraphes.
Il ne devrait pas y avoir de problèmes ici si vous avez été prudent jusqu'à présent. Après avoir effectué toutes les actions nécessaires, le résultat suivant est obtenu.
Il reste pour la dernière fois à effectuer les actions des points 2, 3, 4 (nous vous les fournissons), après quoi vous obtiendrez une image complète de la division des nombres naturels 140 288 et 4 dans une colonne :
Veuillez noter que le chiffre 0 est écrit tout en bas de la ligne. S'il ne s'agissait pas de la dernière étape de division par une colonne (c'est-à-dire s'il y avait des nombres dans les colonnes de droite dans l'enregistrement du dividende), nous n'écririons pas ce zéro.
Ainsi, en regardant l'enregistrement complété de la division de l'entier naturel multivalué 140 288 par l'entier naturel univalué 4, on voit que le nombre 35 072 est privé (et le reste de la division est nul, c'est sur le tout ligne du bas).
Bien sûr, lorsque vous divisez des nombres naturels par une colonne, vous ne décrivez pas toutes vos actions avec autant de détails. Vos solutions ressembleront aux exemples suivants.
Exemple.
Effectuez une division longue si le dividende est 7136 et que le diviseur est un nombre naturel unique 9.
La solution.
À la première étape de l'algorithme de division des nombres naturels par une colonne, nous obtenons un enregistrement de la forme
Après avoir effectué les actions des deuxième, troisième et quatrième points de l'algorithme, l'enregistrement de la division par une colonne prendra la forme
En répétant le cycle, nous aurons
Un passage de plus nous donnera une image complète de la division par une colonne de nombres naturels 7 136 et 9
Ainsi, le quotient partiel est 792 , et le reste de la division est 8 .
Réponse:
7 136:9=792 (reste 8) .
Et cet exemple montre à quoi devrait ressembler la division.
Exemple.
Divisez le nombre naturel 7 042 035 par le nombre naturel à un chiffre 7 .
La solution.
Il est plus pratique d'effectuer une division par une colonne. 
Réponse:
7 042 035:7=1 006 005 .
Division par une colonne de nombres naturels multivalués
Nous nous empressons de vous faire plaisir: si vous maîtrisez bien l'algorithme de division par une colonne du paragraphe précédent de cet article, alors vous savez déjà presque comment effectuer division par une colonne de nombres naturels multivalués. Ceci est vrai, puisque les étapes 2 à 4 de l'algorithme restent inchangées, et seuls des changements mineurs apparaissent dans la première étape.
Lors de la première étape de la division en une colonne de nombres naturels à valeurs multiples, vous devez regarder non pas le premier chiffre à gauche dans l'entrée du dividende, mais autant d'entre eux qu'il y a de chiffres dans l'entrée du diviseur. Si le nombre défini par ces nombres est supérieur au diviseur, alors dans le paragraphe suivant, nous devons travailler avec ce nombre. Si ce nombre est inférieur au diviseur, nous devons ajouter à la considération le chiffre suivant à gauche dans l'enregistrement du dividende. Après cela, les actions indiquées aux paragraphes 2, 3 et 4 de l'algorithme sont effectuées jusqu'à l'obtention du résultat final.
Il ne reste plus qu'à voir l'application de l'algorithme de division par une colonne de nombres naturels à valeurs multiples dans la pratique lors de la résolution d'exemples.
Exemple.
Effectuons une division par une colonne de nombres naturels multivalués 5562 et 206.
La solution.
Puisque 3 caractères sont impliqués dans l'enregistrement du diviseur 206, nous regardons les 3 premiers chiffres à gauche dans l'enregistrement du dividende 5 562. Ces chiffres correspondent au nombre 556. Puisque 556 est supérieur au diviseur 206, nous prenons le nombre 556 comme nombre de travail, le sélectionnons et passons à l'étape suivante de l'algorithme.
Multiplions maintenant le diviseur 206 par les nombres 0 , 1 , 2 , 3 , ... jusqu'à obtenir un nombre égal à 556 ou supérieur à 556 . On a (si la multiplication est difficile, alors il vaut mieux effectuer la multiplication des nombres naturels dans une colonne) : 206 0=0<556
, 206·1=206<556
, 206·2=412<556
, 206·3=618>556 . Puisque nous avons obtenu un nombre supérieur au nombre 556, puis sous le nombre sélectionné, nous écrivons le nombre 412 (il a été obtenu à l'avant-dernière étape), et à la place du quotient, nous écrivons le nombre 2 (puisqu'il a été multiplié à l'avant-dernière étape). L'entrée de division de colonne prend la forme suivante :
Effectuez une soustraction de colonne. Nous obtenons la différence 144, ce nombre est inférieur au diviseur, vous pouvez donc continuer en toute sécurité à effectuer les actions requises.
Sous la ligne horizontale à droite du numéro disponible là-bas, on écrit le chiffre 2, puisqu'il se trouve dans l'enregistrement du dividende 5 562 dans cette colonne :
Maintenant, nous travaillons avec le nombre 1442, le sélectionnons et reprenons les étapes deux à quatre.
Nous multiplions le diviseur 206 par 0 , 1 , 2 , 3 , ... jusqu'à obtenir le nombre 1442 ou un nombre supérieur à 1442 . Allons-y : 206 0=0<1 442
, 206·1=206<1 442
, 206·2=412<1 332
, 206·3=618<1 442
, 206·4=824<1 442
, 206·5=1 030<1 442
, 206·6=1 236<1 442
, 206·7=1 442
. Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442
, а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7
:
Nous soustrayons par une colonne, nous obtenons zéro, mais nous ne l'écrivons pas tout de suite, mais retenons seulement sa position, car nous ne savons pas si la division se termine ici, ou nous devrons répéter les étapes de l'algorithme encore:
Nous voyons maintenant que sous la ligne horizontale à droite de la position mémorisée, nous ne pouvons écrire aucun nombre, car il n'y a pas de nombre dans l'enregistrement du dividende dans cette colonne. Par conséquent, cette division par une colonne est terminée, et nous complétons l'entrée :
- Mathématiques. Tous les manuels pour les grades 1, 2, 3, 4 des établissements d'enseignement.
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